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INSTITUCION EDUCATIVA JULIAN
TRUJILLO
PLAN DE ESTUDIOS
INSTITUCION EDUCATIVA: JULIAN TRUJILLO
GRADO: 10 DECIMO
AREA: MATEMATICAS
PERIODO: PRIMERO
PROGRAMA: MATEMATICAS
I.H. SEM: 3 HORAS
NIVEL ESCOLAR: EDUCACION MEDIA
GESTION ACADEMICA DEL PEI.
ESTANDAR
BASICO
DE COMPETENCIA:
AÑO LECTIVO:
2011
DISPOSICIONES DECRETO 1290
Conozco y aplico las funciones trigonométricas y sus gráficas en las diferentes situaciones
de la vida cotidiana.
GRUPO TEMATICO: PENSAMIENTO NÚMERICO Y SISTEMA NUMERICO






Números reales.
Funciones trigonométricas
Relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo
Reducción de ángulos al primer cuadrante
Problemas de aplicación
Mundo tecnológico
LOGRO ESPERADO:
Conocer y aplicar las funciones trigonométricas y sus gráficas en las diferentes
situaciones de la vida cotidiana.
CRITERIOS DE EVALUACION:
Al estudiante se le evaluará continuamente en los comportamientos que muestre, su trabajo cotidiano como su
actitud, dedicación, interés, participación, capacidad de diferenciación en los conceptos de la asignatura, su
habilidad para asimilar y comprender informaciones y procedimientos, su refinamiento progresivo en los
métodos para el conocer, analizar, crear y resolver problemas, así como su inventiva para redactar y buscar
nuevas posibilidades de resolver problemas.
ACTIVIDADES PEDAGOGICAS:
Conceptos previos - Trazado de gráficas
Análisis de gráficas - Trazado de gráficas de funciones periódicas.
MATERIAL DIDACTICO:
Conceptos previos - Trazado de gráficas
Análisis de gráficas - Trazado de gráficas de funciones periódicas.
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TRIGONOMETRÍA
es otra de las ramas de las matemáticas, que obviamente interviene directa o
indirectamente en esta y que se ocupa exclusivamente de estudiar las
relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Se la suele utilizar
especialmente cuando se necesita obtener medidas de precisión. Por
ejemplo, las técnicas de triangulación son utilizadas en astronomía para medir la
distancia entre las estrellas más próximas, en la medición de distancias entre
puntos geográficos y para los sistemas de navegación de los satélites, entre otras
cuestiones.
ÁNGULO
Es la avertura entre dos semi rectas (lado inicial,lado terminal) que se cortan en un
punto llamado vértice.Se nombran con letras mayusculas o con letras griegas en
su interior.
Para medir un ángulo, debemos identificar: el lado Inicial y el Lado Terminal.
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Lado Terminal
Vértice
Lado Inicial
CLASES DE ÁNGULOS
Ángulo agudo
Ángulo recto
Ángulo obtuso
Ángulo llano
Ángulo cóncavo
Ángulo completo
DESCRIPCIÓN
Mide menos de 90°
Mide 90°
Mide más de 90° y menos de 180°
Mide exactamente 180°
Mide mas de 180°
Mide exatamente 360°
EJEMPLO
30°,45°
90°
100°,160°,140°
180°
190°,210°
360°
MEDIDA DE ÁNGULOS
Diremos que un ángulo se encuentra en posición normal si su vértice se ubica en
el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el semieje positivo de las
abscisas.
Si la rotación del lado terminal es en sentido contrario al de las agujas del reloj,
la
medida del ángulo será positiva, en caso contrario la medida será negativa.
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SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS
SISTEMA SEXAGESIMAL.
Tiene como unidad fundamental el Grado sexagesimal (°), Si se divide la
circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada
una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
SISTEMA CICLICO
Considera a la circunferencia dividida en arcos de circunferencia, cuya
medida corresponde a un radian.
U
2
rad = 360°
rad = 180°
Un radián es la medida del ángulo con vértice en el centro de un círculo
de radio r, cuyos lados determinan sobre la circunferencia un arco AB
de longitud igual al radio
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CONVERSION DE UNIDADES
Un ángulo de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π
radianes (recordemos que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias
entre los cinco principales ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:
Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a
π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.
EJEMPLO 1: Convertir 38o a radianes.
EJEMPLO 2: Convertir 2.4 radianes a grados.
Primero planteamos la regla de tres. Nótese
que la x va arriba, en la posición de los
radianes.
Primero planteamos la regla de tres. Nótese
que la x va abajo, en la posición de los grados.
Despejamos x.
Despejamos x, también simplificamos.
Por último obtenemos el equivalente decimal
con calculadora:
Por último obtenemos el equivalente decimal
con calculadora:
x = 137.5099o
x = 0.6632 radianes
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EJEMPLO 3 : CONVERTIR
/3 rad
º
GUÍA – TALLER N° 1. CONVERSION DE UNIDADES
Tiempo previo: Semana número 1 ___fecha de entrega_______
de 2014__
 Encuentra la medida en radianes de los valores en grados siguientes:
1) 60º , 2) 135º , 3) -75º , 4) 540º , 5) 4º , 6)316°, 7)127°, 8)10° 9) 300°, 11)
1200°

Encuentra el valor en grados que corresponde en radianes:
12)
2
3
πrad , 13)
π
9
𝑟𝑎𝑑 , 14) -7πrad , 15) 123 rad , 16) 67 rad.
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Solucionar un triángulo rectángulo es hallar los valores de los 6 elementos del
triángulo, 3 ángulos y 3 lados utilizando las diferentes herramientas que la
trigonometría a dispuesto para ello.
TEOREMAS

La suma de las medidas de los tres ángulos internos de cualquier triangulo es 180º
<A +< B + <C = 180º

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos elevados al cuadrado.
𝑐 2 =Encontrar
𝑎2 + 𝑏 2 el valor faltante en el triángulo siguiente:
EjemploNo1.-
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No olvides aplicar la ruta de solución:
2º
herramienta
de solución.
1º
Mi problema
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
𝑐 2 = 42 + 32
𝑐 2 = 25 𝑐 = √25
𝑐 2 =Sustituyendo
16 + 9
c=5
?
4
3
Ejemplo No 2. Encontrar el valor faltante en el triángulo dado:
¿
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
(√74)2 = 52 + 𝑏 2
(√74)2 − 52 = 𝑏 2
74 − 25 = 𝑏 2
√49
=b
7=b
Ejemplo No3. Hallar el valor de x ,y
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Ejemplo N° 4
Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie
de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera
sobre la pared?
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R: la altura de la escalera es 8 metros.
GUÍA – TALLER N° 2. APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
Tiempo previo: Semana número __2 fecha de entrega ______________ de 2014
comprueba tus conocimientos aplicando el teorema de pitágoras y la suma de los
Ángulos interiores del triángulo en la solución de problemas.
1.
2.
Una cancha de fútbol olímpica es un rectángulo de 100 metros de
largo y 70 metros de ancho. ¿Qué longitud tiene la diagonal de la
cancha?
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 cm. y uno de los
catetos, 3.2 cm. Calcula la medida del otro cateto.
3. calcula la altura,de un edificio que proyecta una sombra de 131 metros.si la
distancia del punto mas alto.al pie de la sombra es de 245 metros
4. cuanto mide la diagonal de un rectangulo si su base mide 43 cm y la altura
59cm
5. juan camina cada mañana 500 metros hacia el sur y 100 metros hacia el
oeste para llegar a la escuela, rosario camina 300 metros hacia el norte y
300 metros hacia el oeste y tambien llega ala escuela. rosario dice que
aunque camina lo mismo,ella esta mas cerca de la escuela¿tendra razón?
¿Por qué?
6. Un escalera de 25 pies (7,6 m) se inclina contra un edificio de tal forma que
la base de la escalera es de 7 pies (2 m) alejado del edificio. ¿Qué tan lejos
del edificio puede alcanzar la parte alta de la escalera?
7. Tu cometa está al final de los 85 pies (26m) de la cuerda. En el cielo está
directamente sobre un árbol que sabes que está alejado a 84 pies (25,6 m).
¿Qué tan lejos en el cielo está tu cometa? Respuesta: 13 pies (4 m).
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8. Un cable de amarre de 13 pies (4 m) está conectado al poste telefónico a
12 pies (3,6 m) de su base. ¿Qué tan lejos de la base del poste telefónico
está el cable de amarre conectado al piso?
9. Calucula la diagonal de un cuadrado de 9cm de lado
10. Un hombre camina 200 km al norte y después 400 km hacia el este. Utilice
el teorema de pitágoras para determinar el desplazamiento resultante.
11. Una pieza triangular tiene lados perpendiculares de 40 y 68 mm. ¿Cuál es
la longitud del borde más largo?
12. Dos vehiculos parten de un mismo punto con diferentes velocidades,el
primer vehiculo parte hacia el norte con una velocidad de 50km\h y demora
en llegar a su destino 5 horas.el segundo vehiculo parte hacia el sur con
una velocidad de 70k\h y llega a su destino en 8 horas.¿cual es la distancia
que los separa?
TRIANGULO RECTÁNGULO.
Es el triángulo que tiene un ángulo recto o de 90º.En este triángulo usaras dos
herramientas para resolver:
El teorema de Pitágoras: 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
Las Funciones Trigonométricas: 𝑠𝑒𝑛 ø =
𝑇𝑎𝑛 ø =
cos ø =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐶𝑜𝑡 ø =
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑆𝑒𝑐 ø =
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𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐶𝑠𝑐 ø =
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Seno
El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo
y la hipotenusa Se denota por sen B.
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Coseno
El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al
ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.
Tangente
La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al
ángulo y el cateto contiguo al ángulo . Se denota por tg B.
Cosecante
La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B. Se
denota por cosec B.
Secante
La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.Se
denota por sec B.
Cotangente
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La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de
B. Se denota por cotg B.
ÁNGULOS NOTABLES
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º Y 60º
La altura divide al triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos
iguales cuyos ángulos miden 90º, 60º y 30º.
Si aplicamos el teorema de Pitágoras obetenemos la altura en función
del lado:
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º
La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales
cuyos ángulos miden 90º, 45º y 45º.
Si aplicamos el teorema de Pitágoras obetenemos la diagonal en
función del lado:
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EJEMPLOS
 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b =
280 m. Resolver el triángulo.
sen B = 280/415 = 0.6747
B = arc sen 0.6747 = 42°
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′
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c = a cos B
c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m
 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21
m. Resolver el triángulo.
tg B = 33/21 = 1.5714
B = 57°
C = 90° - 57° = 32°
a = b/sen B
a = 33/0.5437 = 39.12 m
 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°.
Resolver el triángulo
C = 90° - 22° = 68°
b = a sen 22°
b = 45 · 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22°
c = 45 · 0.9272 = 41.72 m
 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B =
37º. Resolver el triángulo
C = 90° - 37° = 53º
a = b/sen B
c = b · cotg B
a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m
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
Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un
ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se ha lla?

Un poste vertical al suelo y de altura h está sujeto por una cuerda de longitud L con un
ángulo de inclinación  ¿Cuál es la altura del poste?
Solución: En el triángulo rectángulo de la figura se conoce la hipotenusa y se requiere calcular el
cateto opuesto, por lo tanto ocupamos la razón trigonometrica
Esta expresión nos permite calcular la altura del poste, una vez conocidos  y L.
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3.Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene
como arco correspondiente uno de 70º
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5.Calcula r el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden
80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
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6. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se
observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, ba jo un ángulo
de 60°.
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Una escalera de 6 m de largo se apoya en un muro vertical con un ángulo de inclinación . ¿A qué
distancia se ubica la base de la escalera con respecto al muro?
Solución: En el triángulo rectángulo de la figura conocemos , la hipotenusa, y deseamos calcular
el cateto adyacente a . Utilizando la razón trigonométrica cos , tenemos:
Por lo tanto, la distancia que hay entre la base de la escalera y el muro es 6 . cos .
TEOREMA DE LA ALTURA
En cualquier triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es la proporcionalmente las
proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.
Demostración:
DEMOSTRACCIÓN
La altura del triángulo rectángulo ABC, lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes,
de forma que:
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Teorema de la altura.
Multiplicando los dos miembros de la igualdad por
se tiene:
por lo que
Otra forma del mismo teorema
La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo también puede
obtenerse reemplazando a los valores m y n de la ecuación del presente teorema por sus
respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.
;
Lo que al simplificar en el último término de la ecuación la raíz
con los cuadrados nos conduce a:
Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c los catetos y a la
hipotenusa.La ecuación nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema:
TEOREMA DE LA ALTURA ( forma 2)
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todo triángulo
rectángulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es igual al
producto
catetos b y c divididos por la hipotenusa a.
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Este teorema puede expresarse matemáticamente para cada uno de sus dos catetos como:
TEOREMA DEL CATETO
Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la
En todo triangulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la
proyeccion de ese cateto sobre la hipotenusa.
hipotenusa.
DEMOSTRACIÓN:
Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la
hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.
Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c.
La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de
los catetos b y a sobre la hipotenusa.
Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo
tanto son semejantes:
1. Todos tienen un ángulo recto.
2. Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y
tener sus lados perpendiculares.
3. Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.
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Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos
que:

Por la semejanza entre los triángulos ΔACH y ΔABC
de donde,

Por la semejanza entre los triángulos ΔBCH y ΔABC
y el teorema queda demostrado.
Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir, basta con despejar en
cada una de ellas, la respectiva variable de su proyección ortogonal, siendo éstas m y n:
en las que al despejar respectivamente m y n producen
las ecuaciones:
Donde m es la proyección ortogonal del cateto b sobre la
hipotenusa y n es la proyección ortogonal del cateto a también sobre la hipotenusa c.
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Cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos. La medida de un cateto es
la media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.
, también se cumple:
La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre
la hipotenusa.
, es decir:
Las tres alturas del triángulo rectángulo pueden calcularse como:
donde b y c son los catetos y a, la hipotenusa, en tanto que ha, hb y hc son las
alturas sobre los respectivos lados.
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ACTIVIDAD NUMERO 3.
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ponte a prueba: Resuelve algunos problemas aplicando las herramientas estudiadas.
Ejercicio No1
Un niño está elevando una cometa, su mano se encuentra a 1.5
metros del piso, el hilo forma con la horizontal un ángulo de 30º, ¿Cuál es la altura de la
cometa sobre el piso cuando se han soltado 64 metros de hilo?
Ejercicio No2
Un pájaro y un ratón se encuentran en la parte superior de un
acantilado vertical de 98 metros de altura. Desde ahí observan que a 310 metros de la base
del acantilado se encuentra un gusanito en una mazorca. El ratón baja del acantilado y se
dirige corriendo hacia la mazorca. El pajarito asciende verticalmente una altura H, y luego
se dirige en línea recta hacia el gusanito, ¿cuál debe ser la altura H para que ambos
animalitos recorran la misma distancia?
Ejercicio No3
Encuentra la altura H de un árbol si se sabe que la longitud de su
sombra es de 120 cm. Además, el ángulo que forman los rayos del sol con la horizontal es
de 45º.
Ejercicio No4
Amadeo mide 1.72 metros de estatura y su sombra 1.54 metros de
longitud, ¿Qué ángulo forman en ese instante los rayos del sol con la horizontal.
Ejercicio No5
Calcula la altura del poste:
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Ejercicio No 6
Resolver los triángulos:
a) a = 5 cm
,
 = 30º
,
 = 90º
b) b = 2 cm
,
c = 5 cm
,
 = 90º
c) b = 82 cm
,
 = 90º
,
 = 57º
Ejercicio No 7
:
Cuando el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte es de 30º, una torre proyecta una sombra
de 75 m. Calcular su altura.
Ejercicio No 8
¿Cuán larga es la sombra que arroja un mástil de 11 m de altura cuando el sol tiene una elevación
de 20º?.
Ejercicio No 9
El hilo que sujeta un barrilete mide 250 m y forma un ángulo de 32º con la vertical. Hallar la altura
a que se halla si se supone que el hilo está en línea recta.
Ejercicio No 10
Un automóvil asciende una cuesta que tiene una inclinación de 22º. Si viaja a una velocidad de 60
km/h, ¿cuántos metros varía su altura sobre el nivel del mar en 15 minutos?.
Ejercicio No 11
Se piensa construir una pista de aviación y debido a la orientación elegida se ve que al final de la
misma quedará una arboleda de 25 m de altura. ¿A qué distancia mínima de la arboleda debe
terminar la pista si el ángulo de despegue de los aviones es de 16º?.
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Ejercicio No 12
Cuando se apoya una escalera de 3 m de largo en una de las paredes de un pasillo, llega a una
altura de 2,50 m. Si la inclinación sobre la otra pared llega a 2 m de altura. Averiguar el ancho del
pasillo.
Ejercicio No 13
Un carpintero desea construir una escuadra de madera y necesita que uno de los ángulos sea de
30º. Desea saber las relaciones que deben guardar los lados entre sí.
Ejercicio No 14
Los lados paralelos de un trapecio miden 6 y 8 y los otros dos miden 3. Hallar las longitudes de sus
diagonales y su área.
Ejercicio No 15
El frente de un terreno da sobre una diagonal y tiene las dimensiones que se indican en el
esquema. Calcular los metros que tiene el frente y el área que ocupa.
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Ejercicio No16
Se quiere saber cuántos metros de alambrado son necesarios para cerrar el terreno sombreado de
la figura:
Ejercicio No 17
En un triángulo sabemos que la hipotenusa mide 4 cm y la tangente del ángulo que esta
determina con la base es igual a 0,2. Calcula el área de dicho triángulo.
Ejercicio No 18
Un sitio rectangular mide 102m x 296 m. Determinar la longitud de la diagonal y el ángulo que esta
forma con el lado mayor.
Ejercicio No 19
Calcular los lados de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8 cm y calcular las medidas de los
ángulos interiores.
Ejercicio No 20
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Un poste de teléfono está sujeto por medio de varios cables que parten del extremo superior. Uno
de estos cables está atado a una estaca situada a 5 m del pie del poste y forma con la horizontal un
ángulo de 60º. Calcular la altura del poste y la longitud del cable.
EVALUACIÓN FINAL DE PERIODO TIPO ICFES
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GRADO: 10 DECIMO
PERIODO: SEGUNDO
AREA: MATEMATICAS
I.H. SEM: 3 HORAS
PROGRAMA: MATEMATICAS
GESTION ACADEMICA DEL PEI.
NIVEL ESCOLAR: EDUCACION MEDIA
DISPOSICIONES DECRETO 1290
AÑO LECTIVO: 2014
ESTANDAR BASICO DE COMPETENCIA:
Aplico los teoremas del seno y del coseno en la solución de triángulos oblicuángulos.
GRUPO TEMATICO: PENSAMIENTO ESPACIAL,
METRICO









SISTEMAS GEOMETRICOS Y PENSAMIENTO
Solución de triángulos oblicuángulos
Teorema del seno y coseno
Problemas de aplicación
Circunferencia unitaria
Graficas de las funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas inversas
Identidades trigonométricas
Mundo tecnológico
LOGRO ESPERADO:
Aplicar los teoremas del seno y del coseno en la solución de triángulos oblicuángulos.
CRITERIOS DE EVALUACION:
Al estudiante se le evaluará continuamente en los comportamientos que muestre, su trabajo cotidiano como su
actitud, dedicación, interés, participación, capacidad de diferenciación en los conceptos de la asignatura, su
habilidad para asimilar y comprender informaciones y procedimientos, su refinamiento progresivo en los
métodos para el conocer, analizar, crear y resolver problemas, así como su inventiva para redactar y buscar
nuevas posibilidades de resolver problemas.
ACTIVIDADES PEDAGOGICAS:
Conceptos previos
Trazado de gráficas
Análisis de gráficas
Trazado de gráficas de funciones periódicas.
MATERIAL DIDACTICO:
Conceptos previos
Trazado de gráficas
Análisis de gráficas
Trazado de gráficas de funciones periódicas.
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Triangulo Obtusángulo.
Son aquellos que tienen un ángulo obtuso, o mayor de 90º y menor de 180º, se trata
de todos los triángulos que no son rectángulos.
Las herramientas que se usan para resolver un triángulo obtusángulo, (llamado
también triángulo oblicuángulo) son:
La ley del Seno:
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑏
𝑐
= 𝑠𝑒𝑛 𝐵 = 𝑠𝑒𝑛 𝐶
Ley del Coseno: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐. 𝑐𝑜𝑠 𝐵
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠 𝐶
Resolver un triángulo Obtusángulo u oblicuángulo, consiste en encontrar los valores de
todas las partes de él, dicho de otra manera, se deben conocer los tres lados y sus tres
ángulos.
1
Por ejemplo, Encuentra las demás partes del triángulo siguiente:
Sigue estos pasos:
I)
15
13
67.38º
L.C: EMILIO BRAND ORTIZ
Identifica los lados y los
ángulos conocidos y
desconocidos.
Lado a = 15
Lado b = 13
Lado c = ¿?
Angulo A = 67.38º
Angulo B = ¿?
Angulo C = ¿?
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c
Paso II. Selecciona las
herramientas:
Sustituye según los datos:
Ley del Seno:
15
13
𝑐
=
=
𝑠𝑒𝑛 67.38º 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶
15
13
=
𝑠𝑒𝑛 67.38º 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝐵 15 = 𝑠𝑒𝑛 67.38º13
Ley del coseno:
𝑠𝑒𝑛 𝐵 =
𝑎2 =
𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴
(𝑠𝑒𝑛 67.38º)(13)
15
Sen B = 0.79999
𝐵 = 𝑠𝑒𝑛−1 0.79999 ,
B = 53.13º
Hemos encontrado al ángulo “B”, ya contábamos con el ángulo “A”, ya puedes encontrar “C”.
A + B + C = 180º , 67.38º + 53.13º + C =180º ,120.51 + C = 180º ,entonces: C = 180º - 120.5º, C= 59.49º
Ahora utiliza el teorema del coseno y encuentra el lado faltante:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴 , sustituyendo: 𝑐 2 = 152 + 132 − 2(15)(13)(𝑐𝑜𝑠 59.49º)
Resolviendo: 𝑐 2 = 394 − 390(𝑐𝑜𝑠 59.49º)
𝑐 2 = 394 − 390(0.508)
𝑐 2 = 394 − 198
𝑐 2 = 244𝑐 = √244 , Entonces c = 14
El Triángulo Obtusángulo está resuelto:
L.C: EMILIO BRAND ORTIZ
Lado a = 15
Lado b = 13
Lado c = 14
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RESUELVE AHORA TÚ LOS SIGUIENTES CASOS:
Ejercicio No 1
Una palmera creció recta, pero inclinada 13º de la vertical, si
cuando el ángulo de elevación del sol es de 39º, la palmera proyecta una sombra que
mide 17.4 metros.
¿Qué altura tiene la palmera?
Ejercicio No 2
De la intersección de dos calles rectas, que forman un ángulo de
96º; parten al mismo tiempo dos corredores, uno por cada una de las calles, el más rápido
a una velocidad de 12 km/h, y el otro a 10 km/h, después de correr por una hora y media,
ambos corredores se detendrán, ¿qué distancia les separa en ese instante?
Ejercicio No 3
Dos lados de un triángulo son: 110 y 138; mientras que el ángulo
comprendido entre ellos es de 41º. Resolver dicho triangulo.
Ejercicio No 4
Resolver el triángulo cuyos lados son: A =15, B = 21 y C = 32
Ejercicio No 5
Desde un punto P, un ciclista se dirige al Este, ha recorrido 7 kms,
cambia de dirección a 38º NO y después para retornar al punto P vira de nuevo 64º SO.
¿Cuál es la distancia recorrida por el ciclista
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