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www.goncaiwo.wordpress.com CENTRO PREUNIVERSITARIO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Ejemplo: o * 24 4, porque 24 4 (6) o r o * a x b a b , si a y bZ Observaciones: D= d xq + r q o o A B B( K ) B 1 División entera D d MATEMÁTICA I o Algoritmo de la Divisió entera 1) B B ; BZ o ; K Z 2) 0 K 4. Criterios de divisibilidad a) Por 2n 5n : Un número es divisible por 2n o 5n , si y sólo si el bloque formado por sus “n” últimas cifras es divisible por 2n o 5n respectivamente, en caso contrario el bloque nos dará el residuo. Nota : D, d, q,Z(d 0) r Z0 2 Clases de división entera División Exacta (r = 0) Ejemplo: o 56 7 N 10 e 56 = 7 x 8 0 8 o o o o Será N 2 e 2 En general: D d Será N 5 e 5 D= d xq o N abcde 0 q N 100 de o o Será N 4 de 4 División inexacta (r 0) Por defecto Por exceso 51 8 51 8 3 6 5 7 o o Será N 25 de 25 o N 1000 cde o 51 = 8(6) + 3 D d D d r r q+1 e q D = dq + r D = d(q + 1) - r o Será N 8 cde 8 51 = (7) - 5 o o Será N 125 cde 125 b) Por 3 ó 9: Un número es divisible por 3 ó 9, si y e o Nota : En toda división entera inexacta (r 0), se cumple : i. 0 residuo d ii. rmínimo 1 rmáximo d 1 iii. r re d o 3456 9 o (Suma de cifras es 18 = 9 ) 3 Divisibilidad: Un número entero A es divisible entre otro número positivo “B”, si al dividir “A” entre “B” la división es entera y exacta. En general: Sean: A Z , B Z , k Z Como: o sólo si la suma de sus cifras es un 3 ó 9 respectivamente. En caso contrario nos dará el residuo. Ejemplo: o 5557 = 9 +4 o (Suma de cifras es 22 = 9 + 4) En general: N abcde o o o o B * Será N 9 a b c d e 9 0 k * Será N 3 a b c d e 3 A Luego se afirma que: “A” es divisible entre “B” (“B” es divisor de “A”) Notación: Si “A” es múltiplo de “B” CICLO PREPARATORIO Pág. 1 c) Por 11: Un número es divisible por 11, si y sólo si la suma de sus cifras de lugares impares menos Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com CENTRO PREUNIVERSITARIO la suma de cifras de lugares pares contabilizando de derecha a izquierda nos da un múltiplo de 11, en caso contrario nos dará el residuo. Ejemplo: o 73513 11 (3 5 7) (1 3) Si: o AxB= n donde “A” y “n” no tienen divisores en común, aparte de la unidad, entonces: o Bn o 11 o 73513 11 d) Por 7: Un número es divisible por 7, si y sólo si al multiplicar sus cifras por las constantes 1, 3, 2, 1, - 3, - 2, 1, 3, 2, -1, - 3, - 2, ... a partir de la cifra de menor orden y sumar los resultados se obtiene una cantidad múltiplo de 7, en caso contrario nos dará el residuo Ejemplo: 6 4 418 2 Ejemplos: o o o A 21 6. Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton o o ( n r ) k n r k ; k Z Ejemplo: o o o o (13 2) 2 (13 2)(13 2) 13 2 2 En general: o a - r n ; n : impar o o 644182 7 e) Por 13: Un número es divisible por 13 si al multiplicar sus cifras por las constantes 1, - 3, - 4, - 1, 3, 4, 1, - 3, - 4, - 1... a partir de la cifra de menor orden y sumar los resultados se obtiene una cantidad múltiplo de 13, en caso contrario nos dará el residuo. Ejemplos: 3 6 418 2 0 1 4 3 1 4 31 o (13 - r) n o a+r n ; a ,r, n Z + ; n : par NÚMEROS PRIMOS 1. Divisor propio: Es todo aquel divisor de N, menor que dicho número. Ejemplo: 6 1, 2, 3, 6 o : 3 24 12 1 32 6 0 0 13 o 3641820 13 f) Por 33 ó 99: Un número es divisible por 33 ó 99, si al descomponer el número en bloques de dos cifras a partir del menor orden y sumarles el resultado sea múltiplo de 33 ó 99. Ejemplos: 303171 o 30 + 31 + 71 = 132 = 33 o 303171 33 Observación: Si un número es múltiplo entre varios módulos, entonces, será múltiplo del menor número que contenga a dichos módulos. En general: o A a o A b o A c 2. 8 x A 21 N 13 12 12 4 2 24 2 0 7 o 1. 5 x N 13 2 312 31 MATEMÁTICA I Divisores Divisores propios: 1; 2; 3 2. Número primo Es aquel número que tiene únicamente 2 divisores: el mismo y la unidad. 1 2 1 ;3 1 ;....; P 2 P 3 P: número primo (# primo absoluto) Observación: 1. No existe fórmula para hallar todos los números primos. 2. La serie de los números primos es ilimitada, ósea que por más grande que sea un número primo, siempre hay otro número primo mayor. 3. Si “P” es un número mayor que 2. o P= 4 1 4. Si “P” es un número primo mayor que 3. o P = 6 1 5. Número simple: o A n , donde " n" es el menor número que 1, 2, 3, 5, ....... contiene " a" , " b" y " c" Números primos. 6. Número compuesto: Es aquel número que tiene más de 2 divisores. Ejemplo: 5. Principio de Arquímedes CICLO PREPARATORIO Pág. 2 Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com CENTRO PREUNIVERSITARIO 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; . . . . 6 1; 2; 3; 6 Unidad MATEMÁTICA I Primos D(24) = 8 DP = 2 Compuestos DC = 5 Divisores (6 posee 4 divisores) 7. Todo número primo que divide a un producto de varios factores, divide por lo menos a uno de los factores. 3. Números primos relativos o primos entre sí (PESI) Son dos o más números que tienen como único divisor común a la unidad. Ejemplo: Número Divisores 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 21 1 ; 3 ; 7 ; 21 10 y 21 son PESI 4. Números primos entre sí dos a dos (PESI 2 a 2) Un conjunto de números resultará ser PESI 2 a 2 si precisamente al tomarlos en pareja resultan ser primos entre sí. Ejemplo: ¿Son 8; 9 y 25 PESI 2 a 2? Solución: 8 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 9 : 1 ; 3 ; 9 Observación: a) Dos números enteros consecutivos siempre son PESI. Ejemplo: 16 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 17 1 ; 17 Divisores Luego: 16 y 17 son PESI Regla para determinar los divisores de un número a) Se descompone el número en factores primos. b) Se escribe el 1 (que es divisor de todo número) y a continuación se pone las diversas potencias del primer factor primo. c) Se multiplica los divisores hallados por las diferentes potencias del segundo factor primo. d)Se multiplica todos los factores hallados anteriormente por las diferentes potencias del tercer factor y así sucesivamente. El último divisor hallado al formar éstos productos es el número dado. Tabla de divisores de 240 1 2 4 8 16 3 6 12 24 48 x3 5 10 20 40 80 x5 15 30 60 120 240 3x5 240 posee 20 divisores de los cuales 3 son divisores primos ( 2 ; 3 ; 5 ). Ejemplo: 24 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 La Divisores CICLO PREPARATORIO Número de Divisores divisores de 24 primos de 24 de 24 D24 DP DC 1 2 5 1 8 Sea “N” un número compuesto. Divisores compuestos D(N) DP DC 1 5. Descomposición canónica (Teorema fundamental de la aritmética o Teorema de Gauss) Sea “N” el número compuesto. N = A x B x C Donde: A, B, C Factores primos. , , Exponentes (números enteros positivos) Observación Número Divisores A B C 1; A ; A2 ; A3 ; . . . ; A 1; B ; B2 ; B3 ; . . . ; B 1; C ; C2 ; C3 ; . . . ; C Total de divisores (+1) (+1) (+1) Por el principio de combinaciones D(N) = ( + 1) ( + 1) ( + 1) 6. Suma de divisores [SD(N)] SD(N) A 1 1 B 1 1 C 1 1 x x A 1 B 1 C 1 Ejemplo: 240 = 24 x 3 x 5 Tenemos: Entonces: SD (240) 2 41 - 1 311 - 1 511 - 1 x x 744 2 -1 3 -1 5 -1 SD(240) = 744 AUTOEVALUACIÓN 1. A un Congreso de Informática asistieron personalidades europeas y americanas. De los europeos, 2/7 son médicos, 5/4 son ingenieros y los 8/15 son abogados. ¿Cuántos americanos se presentaron, si en total asistieron 348 personalidades? a) 138 b) 210 c) 238 d) 100 e) 48 2. Si: 4abc 21 8 ¿Cuál es el menor número que se le debe sumar al número abc4 para que sea 21 ? a) 6 b)2 c) 16 d) 10 e) 4 3. Hallar el residuo de dividir el número 373737 .... (200 cifras) entre 32 a) 3 b) 4 c) 9 d) 8 e) 2 4. Encontrar el número de 3 cifras tal que sea igual a 5 veces el producto de sus cifras. a) 125 b) 575 c) 525 d) 175 e) 315 Divisores Pág. 3 Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com CENTRO PREUNIVERSITARIO 21. Si M 36 . 36 ...... 36 . Hallar “n”, para que M o 5. Si: a) 9 1a 2aa5 11 . Hallar “a”. b) 3 c) 1 d) 2 "n" factores e) 5 6. Si el número de la forma: (a 1)( a 1)aa es divisible entre 13. Hallar “a”. a) 7 b) 3 c) 1 d) 2 e) 6 6. Sabiendo que: 4ab58a a) 12 b) 9 c) 6 d) 8 o 56 . Hallar: “a + b”. e) 5 7. Si N = mn(2m)( 2m) , ¿por qué número será siempre divisibles? b) 2n c) m3 d) a) nm 3n e) mn 8. Hallar el valor de “a”, si le número 13a 372 es divisible entre 7. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 9. Calcular el residuo de dividir N entre 7. o o o o o N = 7 +2 + ( 7 +5)( 7 +3) + ( 7 -2)( 7 +3) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. Hallar el residuo de dividir 436543 entre 8 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 o 11. Si: aa ... a 9 2 . Hallar “a” 40 cifras a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6 o 12. Hallar “a” si: 3aaa2a5 11 4 a) 7 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6 o 13. Hallar “n”, si: n32n1n 7 5 a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6 14. En una división inexacta se tiene que el o o dividendo = 15 5 , el cociente = 15 9 y el o divisor = 15 3 . Por tanto el resto será: a) 7 b) 8 c) 9 d) 2 d) 1 e) 6 15. Hallar x, si: 513 X (8) 13 X 5(8) a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6 o 8 o 16. Si N 7 3 , entonces el valor de N 3 será: o o o o o a) 7 3 b) 7 3 c) 7 6 d) 7 6 e) 7 5 17. La suma de los números de tres cifras diferentes que se puede formar con las cifras a, b, c; siempre será divisible entre: a) 7 b) 8 c) 9 d) 2 d) 1 e) 10 18. El número de alumnos de un aula es menor de 240 y mayor que 100. Si 2/7 del total usan anteojos y los 5/13 son asmáticos. ¿Cuántos alumnos son asmáticos? a) 182 b) 100 c) 90 d) 70 e) 50 19. ¿Cuántos ceros tiene el número N= 200..00, para que admita 56 divisores? a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6 20. ¿Cuántos divisores de dos cifras tiene el número 720? a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 16 CICLO PREPARATORIO MATEMÁTICA I Pág. 4 a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6 22. ¿Cuántos números naturales son menores y pesi con 720? a) 195 b) 194 c) 193 d) 192 e) 196 23. ¿Cuántos divisores múltiplos de cinco tiene el número 220 500? a) 85 b) 84 c) 83 d) 82 e) 81 24. Hallar la suma de todos los divisores del número 1020 son pesi con 187. a) 170 b) 164 c) 150 d) 160 e) 168 25. Hallar el valor de “n”, si el número 6n . 15 tiene 84 divisores. a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6 26. Hallar la suma de todos los divisores del número 660. a) 2016 b) 2015 c) 2550 d) 2050 e) 2030 27. Cuántos números menores y pesi con 300 existen? a) 50 b) 60 c) 90 d) 70 e) 80 28. Hallar “a”, si el número 21.15a tiene 20 divisores compuestos. a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6 29. Si 16n tiene “p” divisores. ¿Cuántos divisores tendrá 256n? a) 2p 1 b) p 1 c) 3p 1 d) p 1 e) 2p 1 30. Si 42n tiene 81 divisores. Hallar “n”. a) 20 b) 15 c)25 d) 30 e)35 31. ¿Cuántos divisores de 90 000 son números cuadrados perfectos? a) 10 b) 18 c) 20 d) 24 e) 30 32. Si: M = 30. 30. 30. …30 tiene 343 divisores. m factores Hallar “m” a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 33. Si: N = 13k+2 - 13k tiene 75 divisores compuestos. Hallar “k” a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 34. ¿Cuántos divisores tiene el número 72000 ? a) 72 b) 76 c) 80 d) 84 e) 96 35 .¿Cuántos divisores de 2 cifras tiene el número 360? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 7 36. ¿Cuántos ceros debe tener: N = 2000…00 para que el resultado tenga 56 divisores?. a) 4 b) 6 c) 5 d) 7 e) 8 37. Calcular la cantidad de divisores de 18n, si: 16n tiene 28 divisores menos que 20n. a) 27 b) 36 c) 45 d) 63 e) 54 38. Si 8n tiene "k" divisores, ¿Cuántos divisores tiene 32n? a) (5k-1)/3 b) (4k-2)/3 c) (5k-2)/3 d) (5k+2)/3 e) (4k-1)/2 39. ¿Cuántos ceros se deben poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 243 divisores compuestos? a) 6 b) 8 c) 9 d) 5 e) 4 Walter Orlando Gonzales Caicedo