Download Introducción a la lógica matemática Una proposición lógica es una

Introducción a la lógica matemática
Una proposición lógica es una proposición que o bien es “verdadera” o “falsa”.
Contenido
1. CLASIFICACIÓN
2. NOTACIÓN DE PROPOSICIONES LÓGICAS
3. PROPIEDADES: “ALGEBRA DE PROPOSICIONES LÓGICAS”
a. PROPIEDAD CONMUTATIVA
b. PROPIEDAD ASOCIATIVA
c. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
d. PROPIEDAD DE IDENTIDAD
e. PROPIEDAD DE IDEMPOTENCIA
f. PROPIEDAD DE DOBLE NEGACIÓN
g. LEYES DE MORGAN
h. LEYES DE RIEGACIÓN
i. PROPIEDAD 9
4. REPRESENTACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN LÓGICA
5. LEYES DE INFERENCIA LÓGICA DE PROPOSIONES
a. MODUS PONENDO PONENS
b. MODUS TOLLENDO TOLLENS
c. MODUS TOLLENDO PONENS
d. DOBLE NEGACIÓN
e. SIMPLIFICACIÓN
f. ADJUNCIÓN
g. SILOGISMO HIPOTÉTICO
h. SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA
6. DEMOSTRACIÓN DE INFERENCIA LÓGICAS UTILIZANDO LAS LEYES DE INFERENCIA
LÓGICA DE PROPOSIONES
7. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
1. clasificación
Las proposiciones lógicas pueden ser de dos tipos, simples y compuestas
Proposiones simples:
Se considera que una proposición es “simple” cuando la proposición no tiene lógica.
Proposiciones compuestas:
Si la proposición contiene algún conector lógico de la forma “y” , “o” , si conoces  y
solo si .
2. NOTACIÓN DE PROPOSICIONES LÓGICAS
Las proposiciones lógicas se representan con letras minúsculas (p, q, r, s, t…). Sean “p” y “q”
dos proposiciones lógicas, se definen como la conjunción, disyunción, condicional e
incondicional; se definen y denotan como:
= y = o
P q
pq pq
V V
V
V
V F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
Fig. 1.1 tabla de valores
pq
V
F
v
V
pq
V
F
F
V
Sean “p” y “q” dos proposiciones lógicas compuestas, si la condicional formada por ellas es una
proposición siempre verdadera se dice que la “p” y “q” son proposiciones
TAUTOLÓGICAMENTE EQUIVALENTES p  q.
Si la tabla de valores de una proposición compuesta siempre es verdadera se dice que la
composición es una “TAUTOLOGÍA”.
Si la tabla de valores de una proposición compuesta es “falsa” se dice que es una
“CONTRADICCIÓN”.
Si la tabla de valores de una proposición compuesta NO es “tautología” o “contradictoria” se
dice que es una composición “CONTINGENTE”
si sea p una proposición lógica la negación de p, se define y denota como:
p
V
F
-p
F
V
-p
p
se les conoce como “no p”
p
3. Propiedades “algebra de proposiciones lógicas”
Sean “p”, “q” y “r” proposiciones lógicas; las siguientes proposiciones son
“TAUTOLÓGICAMENTE EQUIVALENTES”
a. PROPIEDAD CONMUTATIVA
pqqp
pqqp
b. PROPIEDAD ASOCIATIVA
(p  q)  r  p  (q  r)
(p  q)  r  p  (q  r)
c. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
d. PROPIEDAD DE IDENTIDAD
ppp
ppp
e. PROPIEDAD DE IDEMPOTENCIA
p1p
p1p
p00
p0p
f.
PROPIEDAD DE DOBLE NEGACIÓN
 (p)  p
g. LEYES DE MORGAN
 (p  q)  p  q
h. LEYES DE RIEGACIÓN
 (p  q)  p   q
 (p  q)  p  q
 (p  q)  p  q
i.
PROPIEDAD 9
p  q  p  q
p  q  (p  q)  (q  p)
4. representación de una proposición lógica
La manera de representar una proposición, lógica puede ser de dos formas:
Representación simbólica
Sea p(x) una proposición abierta de variable “x”:
Una proposición esta “CUANTIFICADA UNIVERSALMENTE” si es de la forma:
Para todo x en el conjunto U, la proposición p(x) se cumple:
⩝x ⋲ U: p(x)
La Negación de una proposición “CUANTIFICADA UNIVERSALMENTE” se define y denota
como:
⩝x ⋲ U: p(x)   ∃ x ⋲U: p(x)
Sea p(x) una proposición abierta de variable x:
Una proposición esta cuantificada “EXISTENCIALMENTE” si es de la forma:
∃ x ⋲U: p(x)
La Negación de una proposición “EXISTENCIALMENTE” se define y denota como:
 ∃ x ⋲U: p(x)  ⩝x ⋲ U: p(x)
5. LEYES DE INFERENCIA DE PROPOSICIONES
Un razonamiento es una conjunción finita de proposiciones las cuales implican otra
proposición.
Esto es; sean P1, P2… Pk; proposiciones lógicas y q otra proposición lógica, un razonamiento
es de la forma:
(P1  P2… Pk)  q
El razonamiento es válido si la implicación es una tautología y cada una de las proposiciones
P1, P2… Pk (llamadas premisas) es “verdadera”.
El razonamiento (P1  P2… Pk)  q se puede escribir como:
P1
PREMISAS
P2
…
Pk
 q
Los siguientes razonamientos son validos de acuerdo a las siguientes leyes:
a. MODUS PONENDO PONENS (M. P. P.)
p q
p
q
b. MODUS TOLLENDO TOLLENS (M. T. T.)
p q
q
 p
c. MODUS TOLLENDO PONENS (M. T. P.)
p  q
p  q
p
q
q
p
d. DOBLE NEGACIÓN (D. N.)
p
(p)
(p)
p
e. SIMPLIFICACIÓN (S.)
pq
pq
p
q
f.
ADJUNCIÓN (A.)
p
q
p  q
p
q
qp
g. SILOGISMO HIPOTÉTICO (S. H.)
q r
p  r
h. SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (S. D.)
pr
p
Ejemplo demostración de inferencias lógicas utilizando las leyes de inferencia lógica de
proposiones
Demostrar p sabiendo:
Premisas
inferencias lógicas
1 r
2  p  q
2  p  q
3 q  r
3 q  r
4  p  r con base en el S.H. (Silogismo Hipotético)
4 p  r S.H. (Silogismo Hipotético)
4 p  r
1 r
5  (p) con base en el M. T. T. (ModusTollendoTollens)
5  (p) con base en el M. T. T. (ModusTollendoTollens)
5  (p)
6 p con base en el D. N. (Doble Negación)
6 p con base en el D. N. (Doble Negación)
4 p  r
2 3 S.H.
5  (p)
4 1 M. T. T.
6
6 D. N
p
p