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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
CIRCUITOS ELECTRICOS II.
METODO DE VOLTAJES DE NODO O ANALISIS NODAL.
El método de análisis nodal (voltajes de nodo), usa las tensiones de nodo como variables del circuito
en busca de reducir el número de ecuaciones que se deben resolver.
Se hace el cambio de variable:
Pasos:
a) Identifique los nodos del circuito, los voltajes nodales y tome uno como referencia asignándole un
potencial de referencia.
b) Identifique los elementos asignando polaridad y sentido a las corrientes. Exprese los voltajes de
los elementos en función de los voltajes de nodo.
c) Plantee la ley de ohm y dejando expresado los voltajes en función de los voltajes de nodo.
d) Aplique la LCK a cada uno de los nodos donde no lleguen o salgan fuentes de tensión, ni en el
nodo de referencia.
e) En caso de existir fuentes de tensión entre dos nodos de no referencia, se aplica el concepto de
supernodo. Convertir en un solo nodo la rama donde esta la fuente y plantear LCK en el supernodo.
f) Reemplace las ecuaciones en función de las tensiones de nodo.
g) Resuelva el sistema de ecuaciones y halle los voltajes de nodo.
h) Luego de obtener las tensiones de nodo, use las ecuaciones que planteo en el paso (d) y halle las
incognitas restantes del circuito.
Ejercicio: Hallar vx(t) e io(t) en el circuito de la figura usando el método de voltajes de nodo.
Desarrollo: Resuelto en clase.
Ejemplo: Halle la corriente i(t) en el circuito de la figura.
Solución:
Pasamos al dominio fasorial.
Se toma como referencia el cos(100t) por tanto se pasa la señal de ia a la forma de cos(100t).
𝑖𝑎 (𝑡) = √2 ∗ 10 cos(100𝑡 − 90) 𝐴 ⟶
𝑰𝒂 = 10∠ − 90° 𝐴 (𝑟𝑚𝑠)
𝑣𝑏 (𝑡) = √2 ∗ 10 cos(100𝑡) 𝑉
𝑽𝒃 = 10∠0° 𝑉 (𝑟𝑚𝑠)
⟶
Note que se paso la fuente de voltaje en serie con una impedancia, a su equivalente de una fuente de
corriente en paralelo con la impedancia. Esto permitió reducir el circuito en un nodo.
Ahora se soluciona por el método de voltajes de nodo normalmente.
Resolvemos y se obtiene:
𝑽𝑩 = 10∠ − 90° 𝑉 (𝑟𝑚𝑠)
Entonces:
𝑰=
𝑽𝑩
10∠ − 90
=
= 10∠0° 𝐴 (𝑟𝑚𝑠)
−𝑗1
−𝑗1
Regresando al dominio del tiempo:
𝑖(𝑡) = √2 ∗ 10 cos(100𝑡) 𝐴
Ejemplo: Halle 𝑖𝑥 (𝑡) usando el análisis nodal. 𝑣𝑠 (𝑡) = 20 cos(4𝑡)
𝑋𝐶 =
1
= 2.5
𝜔𝐶
𝑋𝐿 = 𝑗𝜔𝐿 = 4
𝑋𝐿 = 𝑗𝜔𝐿 = 2
a) Nombrar los nodos
b) Relaciones: 𝑰𝒙 = 𝑰𝑪
𝑽𝑳𝟏 = 𝑽𝒃 − 𝑽𝒄 = 𝑗4𝑰𝑳𝟏
𝑽𝑹 = 𝑽𝒂 − 𝑽𝒃 = 𝑅𝑰𝑹
𝑽𝑳𝟐 = 𝑽𝒄 = 𝑗2𝑰𝑳𝟐;
𝑽𝑪 = 𝑽𝒃 = −𝑗2.5𝑰𝑪
𝑽𝒂 = 𝟐𝟎∠0;
c) Ley de corrientes de Kirchhoff en los nodos.
LCKb: 𝑰𝑹 − 𝑰𝑪 − 𝑰𝑳𝟏 = 𝟎
LCKc: 𝑰𝑳𝟏 + 𝟐𝑰𝒙 − 𝑰𝑳𝟐 = 𝟎
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏
𝑉𝑏
𝑉𝑏 − 𝑉𝑐
−
−
=0
10
−𝑗2.5
4
𝑉𝑏 − 𝑉𝑐
𝑉𝑏
𝑉𝑐
+2
− =0
𝑗4
−𝑗2.5 𝑗2
En la forma Ax = b.
[
0
1 + 𝑗1.5 𝑗2.5 𝑽𝒃
𝑽
20∠0
][ ] = [
] ⇒ [ 𝒃 ] = [ 18.97∠18.43 0 ]
𝑽𝒄
𝑗0.55
𝑗0.75 𝑽𝒄
0
13.91∠ − 161.56
𝑽𝒃
18.97∠18.430
𝑰𝒙 = 𝑰𝑪 =
=
= 7.6∠108.43
−𝑗2.5
2.5∠ − 90
𝑖𝑥 (𝑡) = 7.6 cos(4𝑡 + 108.43) [𝐴]
Recordemos que los elementos pasivos cuando los representamos en el dominio fasorial pueden
quedar representados como Impedancias (Z) o como Admitancias (Y), entonces realicemos un
ejercicio donde representemos el circuito en sus valores de admitancias.
Ejemplo: Desarrolle el ejercicio anterior expresando los elementos en sus admitancias.
Desarrollo: En clase.
Desarrollo: Determine el voltaje V1, usando el método de voltajes de nodo.
Desarrollo: Desarrollado en clase.
Ejercicio propuesto 01: Halle la corriente i(t) expresando los elementos pasivos en el dominio
fasorial como admitancias y use le método de voltajes de nodo para analizar el circuito.
Solución:
𝑖(𝑡) = 19.76 cos(1000𝑡 − 18.76) 𝐴 Verificar.
Ejercicio propuesto 2: Determine la corriente instantánea de estado estable 𝒊𝒐 y el voltaje
instantáneo de estado estable 𝒗𝒐 , en el circuito de la figura, usando el método de voltajes de
nodo.
Tomado del libro”Fundamentos de Circuitos Electricos de Alexander y Sadiku 4 Edicion.
Respuesta: 𝒗𝒐 = 536.4𝑐𝑜𝑠(3000𝑡 − 154.6°)𝑚𝑉; 𝑖𝑜 = 1.088 cos(3000𝑡 − 55.12°) 𝑚𝐴
Ejercicio propuesto 3: Calcule la corriente 𝑰𝒐 en el circuito de la figura, usando el método de
voltajes de nodo.
Tomado del libro”Fundamentos de Circuitos Electricos de Alexander y Sadiku 4 Edicion.
Respuesta: 𝑰𝒐 = 2.538∠5.943° 𝐴
Ejercicio propuesto 4: Halle la corriente I usando el método de mallas y usando el método de nodos.
Pag 444 Sadiku.
Respuesta: 𝑰 = 15.812∠43.49° 𝐴
Ejercicio propuesto 5: Halle 𝑖𝑜 (𝑡) usando el método de mallas , usando el método de nodos y por
Thevenin.
Respuesta: Trabajo colaborativo.
Ejercicio propuesto 6:
CONCEPTO DIVISOR DE CORRIENTE Y DIVISOR DE VOLTAJE
DIVISOR DE VOLTAJE.
El concepto de divisor de voltaje se usa cuando se desea conocer el voltaje de un elemento
que se encuentra en una combinación de elementos en serie y se conoce el voltaje en los
terminales de dicha conexión. Este concepto evita calcular la corriente del circuito.
Por ejemplo en el circuito de la figura se conoce las impedancias (Z1 , Z2 , … , Zi , … , Zn ) y el
voltaje de entrada V, y se quiere conoce el voltaje del elemento i.
Z1
+
+ V1
El concepto de divisor de voltaje es:
Z2
-
+ V2
𝑽𝒊 =
-
𝒁𝒊 ∗ 𝑽
𝒁𝒆𝒒−𝑺
V
-
- Vn + - Vi +
Zn
Zi
Deducción:
Si aplicamos la ley de voltajes de Kirchhoff considerando que existe una única corriente por
la malla, tenemos que:
𝑽 = 𝑰𝒁𝟏 + 𝑰𝒁𝟐 + ⋯ 𝑰𝒁𝒊 + ⋯ 𝑰𝒁𝒏 = 𝑰𝒁𝒆𝒒−𝑺 𝑬𝒄 𝟏
Por ley de Ohm sabemos que :
𝑽𝒊 = 𝑰𝒁𝒊 𝑬𝒄 𝟐
Si dividimos la ecuación 2 sobre la ecuación 1, tenemos.
𝑽𝒊 =
𝒁𝒊 ∗ 𝑽
𝒁𝒆𝒒−𝑺
Esta ecuación, nos evita calcular la corriente si no se requiere:
Ejemplo: Halle 𝑽𝒐
Usando el concepto de divisor de tensión
𝑽𝟎 =
(1 + 0.5𝑗) ∗ 10∠20
(1 + 0.5𝑗) ∗ 10∠20
=
= 2.61∠67.12
(2 + 2𝑗) + (1 + 0.5𝑗) + (1 − 𝑗)
(4 − 1.5𝑗)
Ejercicio Propuesto: Halle 𝑽𝒐
Ejemplo: Determine vo (t) en el circuito de la figura.
XC =
1
= 25
ωC
XL = jωL = 20
Zeq = j100 Ω
Usando el concepto de divisor de tensión.
𝑽𝒐 =
(2∠ − 15) ∗ 𝒁𝒆𝒒
60 + 𝒁𝒆𝒒
= 17.15∠15.96; −→ 𝑣𝑜 (𝑡) = 17.15 cos(4𝑡 + 15.96) [𝑉]
Ejercicio Propuesto 5: Use el concepto de transformación de fuentes y luego use el concepto de
divisor de tensión para hallar 𝑽𝒙 .
DIVISOR DE CORRIENTE.
El concepto de divisor de corriente se usa cuando se desea conocer la corriente de un
elemento que se encuentra en una combinación de elementos en paralelo y se conoce la
corriente de entrada a dicha conexión. Este concepto evita calcular el voltaje del circuito.
En el circuito de la figura se conoce las admitancias y la corriente de entrada y se quiere
conocer la corriente en el elemento i.
El concepto de divisor de voltaje es:
I
I1
+
Y1
Ii
In
Yi
Yn
-
𝑰𝒊 =
𝑰𝒊 =
𝒀𝒊 ∗ 𝑰
𝒀𝒆𝒒−𝑷
𝒁𝒆𝒒−𝑷 ∗ 𝑰
𝒁𝒊
Deducción:
Si aplicamos la ley corrientes de Kirchhoff considerando que existe un único voltaje entre los
nodos, tenemos que:
𝑰 = 𝑽𝒀𝟏 + 𝑽𝒀𝟐 + ⋯ 𝑽𝒀𝒊 + ⋯ 𝑽𝒀𝒏 = 𝑽𝒀𝒆𝒒−𝑷 𝑬𝒄 𝟏
Por ley de Ohm sabemos que :
𝑰𝒊 = 𝑽𝒀𝒊 𝑬𝒄 𝟐
Si dividimos la ecuación 2 sobre la ecuación 1, tenemos.
𝑰𝒊 =
𝒁𝒆𝒒−𝑷 ∗ 𝑰
𝒀𝒊 ∗ 𝑰
=
𝒀𝒆𝒒−𝑷
𝒁𝒊
Ejemplo 01: Use el concepto de divisor de corriente para hallar la corriente 𝑰𝒐 .
𝑰𝟎 =
(1) ∗ 5∠35°
= 4.4238 + 0.6560𝑗 = 4.47∠8.435° 𝐴
(1 + 0.5𝑗)
Ejemplo 02: Use el concepto de divisor de corriente para hallar la corriente 𝑰𝒐 .
3 2j S
0.5 S
1  0.5 j S
I  535A
1j S
I
o
𝑰𝟎 =
−(1 − 0.5𝑗) ∗ 5∠35°
0.5𝑗
(1 − 0.5𝑗 + (
))
0.5 + 1𝑗
= −3.6564 − 1.3692𝑗 = 3.9∠ − 159.5° 𝐴
Nota: existe una ecuación particular del divisor de corriente cuando solo son dos
impedancias en paralelo. Veamos
1
(𝒁 ) ∗ 𝑰
𝒀𝟏 ∗ 𝑰
𝒁𝟐 ∗ 𝑰
𝟏
𝑰𝟏 =
=
=
1
1
𝒀𝟏 + 𝒀𝟐
(𝒁 ) + (𝒁 ) 𝒁𝟏 + 𝒁𝟐
𝟏
𝟐
𝑰𝟐 =
𝒁𝟏 ∗ 𝑰
𝒁𝟏 + 𝒁 𝟐
Ejemplo: Determine la corriente 𝑰𝒐 en el circuito.
0.5 
3 2j 
Io
I  535A
1  0.5 j 
1j 
Usando el concepto de divisor de corriente:
𝑰𝟎 =
(0.5 + 1j) ∗ 5∠35°
1.118∠63.435° ∗ 5∠35°
=
= 5.59∠67.12° 𝐴
(1 − 0.5𝑗 + 0.5 + 1𝑗)
(1.5 + 0.5𝑗)
Ejercicios propuesto 01: Use el concepto de divisor de corriente para hallar la corriente
𝑰𝟏 , 𝑰𝟐 𝒆 𝑰𝟑 .
3  j2 
230A
I1
I2
I3
1j 
 j3 
3
Use esta ecuación:
𝑰𝒊 =
𝒁𝒆𝒒−𝑷 ∗ 𝑰
𝒁𝒊
Ejercicios propuesto 02: Use el concepto de divisor de corriente para hallar la corriente 𝑰𝟐
5  j2 S
10 15V +
_
1.5  j S
I1
I2
1.5 j S
 j 0.5 S
Procedimiento: Primero reduzca el circuito hasta una sola admitancia y luego calcule la corriente
que sale de la fuente de tensión y luego aplica el concepto de divisor de corriente.