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La sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.
 El 2 se calcula sumando (1+1)
 Análogamente, el 3 es sólo (1+2),
 Y el 5 es (2+3),
 ¡y sigue!
Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55
¡Así de simple!
Aquí tienes una lista más larga:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,
10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, ...
¿Puedes encontrar los siguientes números?
La regla
La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" (lee sucesiones y series):
la regla es xn = xn-1 + xn-2
dónde:
 xn es el término en posición "n"
 xn-1 es el término anterior (n-1)
 xn-2 es el anterior a ese (n-2)
Por ejemplo el sexto término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
Razón de oro
Y hay una sorpresa. Si tomas dos números de Fibonacci
consecutivos (uno detrás del otro), su cociente está muy cerca de
la razón aúrea "φ" que tiene el valor aproximado 1.618034...
De hecho, cuanto más grandes los números de Fibonacci, más
cerca está la aproximación. Probemos con algunos:
A
B
B/A
2
3
1.5
3
5
1.666666666...
5
8
1.6
8
13
1.625
...
...
...
144
233
1.618055556...
233
377
1.618025751...
...
...
...
Usar la razón de oro para calcular números de Fibonacci
Y es más sorprendente todavía esta fórmula para calcular cualquier número de Fibonacci
usando la razón de oro:
Increíblemente el valor siempre es un número entero, exactamente igual a la suma de los dos
términos anteriores.
Ejemplo:
Cuando usé una calculadora para hacerlo (con sólo 6 decimales para la razón aúrea) obtuve la
respuesta 8.00000033. Un cáculo más exacto habría dado un valor más cercano a 8.
¡Prueba tú mismo!
Razón de oro
La razón de oro (el símbolo es la letra griega "phi" de la
izquierda) es un número especial que vale aproximadamente
1,618
Aparece muchas veces en geometría, arte, arquitectura y otras
áreas.
La idea
Si divides una línea en dos partes de manera
que:
la parte larga dividida entre la corta
es igual que
el total dividido entre la parte larga
entonces tienes la razón de oro.
Adivinándola
Sólo hay un valor que hace que a/b sea igual a (a+b)/a. Probemos un poco a ver si podemos
descubrirlo:
Probamos a=7 y b=3, entonces a+b=10:
7/3 = 2,333..., Pero 10/7 = 1,429..., así que no funciona
Probamos ahora a=6 y b=4, entonces a+b=10:
6/4 = 1,5, pero 10/6 = 1,666..., ¡más cerca pero todavía no!
Probemos a=6,18 y b=3,82, entonces a+b=10:
6,18/3,82 = 1,6178..., y 10/6,18 = 1,6181..., ¡estamos muy
cerca!
De hecho el valor exacto es:
1,61803398874989484820... (continúa sin repetirse)
Las cifras siguen sin repetirse. De hecho se sabe que la razón de oro es un número irracional,
y te hablaré sobre eso más adelante.
Calcularlo
Puedes calcularlo tú mismo empezando por cualquier número y siguiendo estos pasos:



A) divide 1 entre tu número (1/número)
B) suma 1
C) ese es tu nuevo número, empieza otra vez desde A
Con una calculadora, sólo pulsa "1/x", "+", "1", "=", una y otra vez. Yo empecé con 2 y saqué
esto:
Número
1/número
Suma 1
2
1/2=0,5
0,5+1=1,5
1,5
1/1,5 = 0,666...
0,666... + 1 = 1,666...
1,666...
1/1,666... = 0,6
0,6 + 1 = 1,6
1,6
1/1,6 = 0,625
0,625 + 1 = 1,625
1,625
1/1,625 = 0,6154...
0,6154... + 1 = 1,6154...
1,6154...
¡Se va acercando más y más!
Pero llevaría mucho tiempo acercarnos de verdad, hay mejores maneras y se pueden calcular
muy rápidamente miles de cifras.
Dibujarlo
Hay una manera de dibujar un rectángulo con la
razón de oro:




Dibuja un cuadrado (de lado "1")
Pon un punto en la mitad de un lado
Dibuja una línea desde ese punto a una
esquina contraria (medirá √5/2)
Gira esa línea hasta que vaya en la dirección
del lado del cuadrado
Entonces puedes extender el cuadrado a un
rectángulo con la razón de oro.
La fórmula
Mirando el rectángulo que acabamos de dibujar, puedes ver que tiene una fórmula sencilla. Si
un lado mide 1, el otro lado mide:
La raíz cuadrada de 5 es aproximadamente 2,236068, así que la razón de oro es
aproximadamente (1+2,236068)/2 = 3,236068/2 = 1,618034. Es una manera muy fácil de
calcularlo cuando lo necesites.
Sucesión de Fibonacci
Aquí tienes una sorpresa. Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos, su proporción está
muy cerca de la razón de oro. De hecho, cuanto más grande sean los números de Fibonacci,
más cerca del valor exacto.
Probemos algunos:
A
B
B/A
2
3
1,5
3
5
1,666666666...
5
8
1,6
8
13
1,625
...
...
...
144
233
1,618055556...
233
377
1,618025751...
...
...
...
El más irracional...
La razón de oro es el número más irracional. Este es por qué...
Una de las propiedades especiales de la razón de oro es que se puede
escribir en términos de sí mismo, así:
(con números: 1,61803... = 1 + 1/1,61803...)
Esto se puede expandir en una fracción que no se acaba nunca
(llamada"fracción continua"):
O sea, encaja perfectamente entre fracciones simples.
Otros números irracionales están bastante cerca de números racionales (por ejemplo Pi =
3,141592654... está cerca de 22/7 = 3,1428571...)
Otros nombres
La razón de oro también se llama sección aúrea, media de oro, número de
oro, proporción divina, sección divina, proporión aúrea...
Actividad 1
Comencemos a familiarizar a nuestros alumnos con la proporción áurea. Para ello vamos a proponerles la
siguiente actividad de carácter manipulativo. Deberán utiliza una regla para realizar las mediciones y una
calculadora para realizar los cálculos. Les advertiremos que el instrumento de medida que están utilizando
no tiene una precisión muy grande.
Observa los siguientes rectángulos. ¿Cuál de ellos te parece más armonioso?
A
B
C
E
D
Veamos que ocurre al medir sus dimensiones y calcular el cociente. Completa el siguiente
cuadro. ¿Encuentras alguna relación entre la armonía de los rectángulos y los cocientes calculados?
A
B
C
D
E
Largo (cm)
Ancho (cm)
Largo/Ancho
Actividad 2
Dibuja un rectángulo cualquiera ABCD. Obtén el cociente largo/ancho.
A este rectángulo le quitamos el cuadrado BCEF y nos quedamos con el rectángulo ADEF.
En este nuevo rectángulo, calculamos también el cociente largo/ancho.
Al rectángulo ADEF, le quitamos el cuadrado DEGH y nos quedamos con el rectángulo AGHF.
Volvemos a calcular el cociente largo/ancho con este último rectángulo.
Repite este proceso varias veces más.
¿Qué ocurre con los cocientes?
¿Podrías demostrar teóricamente que ocurriría de seguir este proceso indefinidamente?
( La última pregunta sólo puede plantearse a alumnos con conocimientos sobre límites)
D
E
C
G
H
A
F
B
¿Los cocientes obtenidos anteriormente se han aproximado al “número áureo”, cuyo valor es?

1 5
 1,61803
2