Download F n + 1 = F n + F n − 1

CONJETURAS DE
NUMEROS FIBONACCI
F F F F F F F F F F F1 F1
0
1
2
3
4
5
6
0 1 1 2 3 5 8
7
8
9
0
1
F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20
1 2 3
14 23 37 61 98 159 258 418 676
55 89
3 1 4
4 3 7 0 7 7
4
1
5
Cada 3ro número de la secuencia está incluso y más generalmente, cada kel número del
th de la secuencia es un múltiplo de Fk.
La secuencia ampliada al índice
negativo n satisface Fn = Fn−1 + Fn−2 para todos números enteros n, y F- n = (−1)n+1Fn:
. , -8, 5, -3, 2, -1, 1, seguido por la secuencia arriba.
Identidades
La mayoría de las identidades que implican drenaje de los números de Fibonacci
de discusiones combinatorias. F(n) se puede interpretar como el número de maneras
sumar 1 y 2 a n − 1, con la convención eso F(0) = 0, no significando ninguna suma
agregará hasta −1, y ése F(1) = 1, significando la voluntad vacía de la suma “agrega para
arriba” a 0. Aquí la pedido de las materias de los summands. Por ejemplo, 1 + 2 y 2 + 1
se considera dos diversas sumas y se cuenta dos veces.
Primera identidad
Fn + 1 = Fn + Fn − 1
El nth número de Fibonacci es la suma de los dos números anteriores de Fibonacci.
Prueba
Debemos establecer que la secuencia de los números definidos por la interpretación
combinatoria arriba satisface la misma relación de repetición que el Fibonacci numera (y
así que sea de hecho idéntico a los números de Fibonacci).
El sistema de F(n+1) maneras de hacer las sumas pedidas de 1 y 2 a las cuales
sume n puede ser dividido en dos sistemas sin traslapo. El primer sistema contiene esas
sumas que primer summand sea 1; las sumas del resto a n−1, tan allí son F(n) sumas en
el primer sistema. El segundo sistema contiene esas sumas que primer summand sea 2;
las sumas del resto a n−2, tan allí son F(n) sumas −1 en el segundo sistema. El primer
summand puede solamente ser 1 o 2, así que estos dos sistemas agotan el sistema
original. Así F(n+1) = F(n) + F(n−1).
Segunda identidad
La suma de los primeros números de n Fibonacci es (n+2) el número del nd
Fibonacci menos 1.
Prueba
Contamos el número de las maneras que suman 1 y 2 a n + 1 tales que por lo menos uno
de los summands es 2.
Como antes, hay F(n + 2) maneras que suman 1 y 2 a n + 1 cuando n ≥ 0. Puesto que
hay solamente una suma de n + 1 que no utiliza ninguna 2, a saber 1 +… + 1 (n + los
términos 1), restamos 1 de F(n + 2).
Equivalente, podemos considerar la primera ocurrencia de 2 como summand. Si, en una
suma, el primer summand es 2, entonces hay F(n) maneras al completo la cuenta
para n − 1. Si el segundo summand es 2 pero el primer es 1, entonces hay F(n maneras
del − 1) de terminar la cuenta para n − 2. Proceda de este modo. Eventual consideramos
(n + 1) summand del th. Si es 2 pero todo el anterior n los summands son 1, entonces allí
están Fmaneras (de 0) de terminar la cuenta para 0. Si una suma contiene 2 como
summand, la primera ocurrencia de tal summand debe ocurrir entre la primera y (n + 1)
posición del th. Así F(n) + F(n − 1) +… + F(0) da la cuenta deseada.
Tercera identidad
Prueba
Esta identidad se puede establecer en dos etapas. Primero, contamos el número de las
maneras que suman 1s y 2s a −1, 0,…, o n + 1 tales que por lo menos uno de los
summands es 2.
Por nuestra segunda identidad, hay F(n + 2) maneras del − 1 que suman a n + 1; F(n +
1) maneras del − 1 que suman a n; …; y, eventual,Fmanera del − 1 (de 2) que suma a 1.
Como F(1) − 1 = F(0) = 0, podemos agregar para arriba todos n + 1 suma y aplica la
segunda identidad otra vez para obtener
[F(n + 2) − 1] + [F(n + 1) − 1] +… + [F(2) − 1]
= [F(n + 2) − 1] + [F(n + 1) − 1] +… + [F− 1 (de 2)] + [F(1) − 1] + F(0)
= F(n + 2) + [F(n + 1) +… + F(1) + F(0)] − (n + 2)
= F(n + 2) + [F(n + 3) − del − 1] (n + 2)
= F(n + 2) + F(n + 3) − (n + 3).
Por otra parte, observamos de la segunda identidad que hay

F(0) + F(1) +… + F(n − 1) + F(n) maneras que suman a n + 1;

F(0) + F(1) +… + F(n maneras del − 1) que suman a n;
……

F(0) maneras que suman a −1.
Adición encima de todos n + 1 suma, vemos que hay

(n + 1) F(0) + n F(1) +… + F(n) maneras que suman a −1, 0,…, o n + 1.
Puesto que los dos métodos de cuenta refieren al mismo número, tenemos
(n + 1) F(0) + n F(1) +… + F(n) = F(n + 2) + F(n + 3) − (n + 3)
Finalmente, terminamos la prueba restando la identidad antedicha de n + 1 mide el
tiempo de la segunda identidad.
Cuarta identidad
La suma de los primeros números de n Fibonacci ajustados es el producto del nth y
números de Fibonacci del th (n+1).
Identidad para doblar n
[11]
Otra identidad
Otra identidad útil para calcular Fn para los valores grandes de n es
[12]
Debajo de cuáles pueden ser derivadas otras identidades para los valores específicos de
k, de n, y de c, incluyendo
para todos los números enteros n y k. Dijkstra[8] precisa eso las identidades que doblan
de este tipo puede ser utilizado calcular Fn usar O (registro n) operaciones aritméticas.
Note eso, con la definición de los números de Fibonacci con la negativa n dado en la
introducción, este fórmula reduce a n doble fórmula cuando k = 0.
(De punto de vista práctico debe ser notado que el cálculo implica la manipulación de
números con la longitud (el número de dígitos) . Así el funcionamiento real depende
principalmente de la eficacia del puesta en ejecución multiplicación larga, y está
generalmente o .)
Otras identidades
Otras identidades incluyen relaciones a Números de Lucas, que tienen las mismas
características recurrentes pero comience con L0=2 y L1=1. Estas características
incluyen F2n=FnLn.
También está escalando el identidad, de las cuales tómele Fn y Fn+1 a una variedad de
cosas de la forma Fan+b; por ejemplo
por la identidad de Cassini.
Éstos se pueden encontrar experimental el usar reducción del enrejado, y sea útil en
setting-up tamiz especial del campo del número adescomponga en factores un número
de Fibonacci. Tales relaciones existen en un sentido muy general para los números
definidos por relaciones de repetición, consideran la sección en fórmulas de la
multiplicación debajo Números de Perrin para los detalles.
Notación y terminología
Una sucesión de números muy conocida y usada en matemáticas es justamente la sucesión
de Fibonacci, que se construye de la siguiente manera:
a) La sucesión empieza con dos unos.
b) Cualquier término de la sucesión se obtiene de sumar los dos anteriores. Por ejemplo, el
noveno término de la sucesión se construye sumando el séptimo y el octavo.
c) La sucesión es infinita
Así la sucesión de Fibonacci es:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,
17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229,...
Antecedentes
Se encuentra un ejercicio relacionado con la razón áurea publicado en
http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci.
Pregunta 22
Demuestre que la sucesión de Fibonacci (fi), cumple que :
f02 + f12+ …+ fn2 =fn*fn+1
Respuesta
-Demostración por Inducción
n=1
f02 + f12 = f1*f2
1 + 1 = 1*2
2 = 2
f02 + f12 + ….+ fn2 = fn * fn+1
f02 + f12 + ….+ fn2 + fn+12 = fn * fn+1 + fn+12
f02 + f12 + ….+ fn2 + fn+12 = fn+1 ( fn+ fn+1 )
f02 + f12 + ….+ fn2 + fn+12 = fn+1 * fn+2
-Otra demostración
Los rectángulos de Fibonacci y los rectángulos áureos.
Tómese un cuadrado cuyo lado sea un número de Fibonacci, sobre uno de sus lados, copie
el cuadrado anterior, de manera que obtenga un rectángulo, cuyos lados sean dos números
de Fibonacci consecutivos, e inscríbase en él sucesivamente los cuadrados más grandes que
sea posible, tal como muestra la figura. Entonces, todos los cuadrados, excepto los dos más
pequeños, serán de tamaños diferentes.
Ahora considérese un rectángulo cuyos lados sean miembros consecutivos de la doble serie
geométrica, a estos rectángulos los llamaremos rectángulos áureos.
Esto es
base/altura = f, o bien, base/altura=1/f
La Figura muestra cómo puede agotarse casi por completo un rectángulo áureo, la figura
restante después de que se inscribe cada cuadrado sucesivo es un rectángulo áureo.
Los rectángulos áureos se ven bien proporcionados, y producen un efecto estético, por lo
general, estos objetos también son funcionales, por lo que muchos de nuestros objetos
rectangulares, tales como libros, cajas de fósforos, tarjetas de crédito, tienen esta forma
particular.
Vemos ahora una curiosidad geométrica de los números de Fibonacci.
Examina el rectángulo del lado izquierdo de la figura, nota que tenemos 5 cuadrados, y 4
rectángulos de Fibonacci, compara sus áreas, y deduce que puede pasar en general.
Solución:
1. El más pequeño, tiene altura 2, y anchura 1, y esta formado por dos cuadrados de lado 1.
Así, por una parte, el área del rectángulo es: f1 f2 = (1)(2), y por otro,
= 1 + 1.
2. El siguiente, tiene altura 2, y base 3, y esta formado por tres cuadrados, dos de lado 1, y
uno de lado 2. Si nuevamente comparamos sus áreas tenemos:
3. Si continuamos con este proceso, tenemos un rectángulo de Fibonacci de altura 5, y base
3. El cual consta de 4 cuadrados, dos de lado 1, uno de lado 2, y otro de lado 3 así,
comparando nuevamente sus áreas:
4. Finalmente, podemos ver que nuestro último rectángulo tiene altura 5 y base 8, el cual
esta formado por 5 cuadrados; dos de lado 1, uno de lado 2, uno de lado 3, y otro de lado 5.
Y si comparamos sus áreas tenemos:
Podemos deducir de aquí que, la suma de los cuadrados de los primeros n números de
Fibonacci, es el producto de dos números de Fibonacci consecutivos, a saber:
Moraleja
Los números de fibonacci en programación se utilizan para el diseño de algoritmos
recursivos en el que el tiempo de ejecución de una rutina recursiva es el tiempo de la propia
rutina más el de las subsiguientes llamadas recursivas