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LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO
Prof. Hugo Omar Pajello
[email protected]
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Río Cuarto
_____________________ INTRODUCCIÓN – DEFINICIONES ____________________
• Proporción
Es la igualdad entre dos razones.
Proporción de cuatro términos ó proporción discontinua:
Es de la forma:
a c

b d
Los términos a y d se llaman extremos y los términos b y c medios de la proporción.
Proporción de tres términos o proporción continua:
Es de la forma
a b

b c
el término b se llama medio proporcional entre a y c.
• Media y extrema razón de un segmento
Se dice que un punto C divide a un segmento AB
en “media y extrema razón” cuando la parte
mayor de esta división x es medio proporcional entre el segmento total a y la parte menor y
a
A
C
x
a x

x y
B
y
Esto también se llama “división áurea” del segmento o “divina proporción”.
La parte mayor, x, se llama “segmento áureo de a”.
• Relación entre el segmento áureo “x” y su resto “y” (primera sorpresa!!)
Si x es el segmento áureo de a, resultará que:
a x

x y
LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO _________________________________________________________________ 1
restando 1 en ambos miembros
a
x
1  1
x
y
pero como a = x + y resulta:
y=a–x
reemplazando en la expresión anterior:
y xy

x
y
invirtiendo estas razones obtenemos que
x
y

y xy

ax x y

x
y
(1)
entonces ¡¡“y”es segmento áureo de “x”… y este proceso será continuo !!
____________________DOS CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS ___________________
1)
Dado un segmento áureo ¿cómo encontrar el segmento total?
me
seg
nt o
D
al
tot
O
C
A
Con diámetro igual al segmento áureo AB se traza una
circunferencia tangente al segmento áureo en un extremo
del mismo.
La
B
segmento áureo
semirrecta
segmento
trazada
áureo
y que
desde
el
otro
pasa por el
extremo
centro de
del
la
circunferencia, determina con ésta, el segmento total
Demostración:
Recordando que se llama “potencia de un punto con respecto a una circunferencia” al producto de
los segmentos que se obtienen al trazar por ese punto una secante a la circunferencia.
Por ejemplo:
N
M
A
Pot. A  AM  AN
La potencia de A respecto a la circunferencia del ejemplo anterior, será:
2
Pot.A  AC  AD  AB
LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO _________________________________________________________________ 2
La parte mayor entre AC y CD es CD que es igual a la medida del segmento áureo:
CD = AB .
2
Entonces:
AC  AD = CD
AD
de donde obtenemos
CD

CD
AC
Luego AD es el segmento total.
2)
Dado el segmento AB ¿cómo encontrar su segmento áureo?
En la construcción anterior, el segmento AD quedó dividido en dos, la parte menor AC y la parte
mayor CD que es su segmento áureo.
Por la propiedad (1) la parte menor
AC es el segmento áureo de la parte mayor CD
igual a AB . En consecuencia, llevando la medida de AC
que es
sobre el segmento AB , obtenemos su
segmento áureo.
O
C
A
1
AB
2
C
B
segmento áureo
segmento dado
___________________ EL NÚMERO DE ORO Ó NÚMERO ÁUREO ____________________
Si x es el segmento áureo de a, entonces, como a = x + y ,
a
resulta y = a – x .
y
x
Luego como:
a x

x y

x
a
x

x ax

a (a – x) = x2

x2 + ax -a2 = 0
a  a 5
1  5
a  a2  4a2
a  5a2
=
=
= a
2
2
2
2
LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO _________________________________________________________________ 3
como x > 0
xa
1  5
2
de donde resulta que la razón entre la longitud de un segmento y la de su segmento áureo,
llamada razón áurea es:
a
2
809

   1,6180339... 
x 1  5
500
Esta constante

es un número irracional cuadrático conocido como número áureo ó número de
oro.

Entonces:
=
a
2

x 1  5
racionalizando el denominador


2 5 1
5 1
a
2
.
=
=

5 1
x 1  5
5 1
5 1
=
2



=
5 1 a
=
x
2
(2)
Esta expresión es más conocida que la anterior, entonces:
a x

x y
si en la proporción anterior
la razón áurea será

=
1
x
consideramos a = 1

x
y la citada proporción será:
1 x

x y
además, como
x+y=1
resulta que
x + x2 = 1
y utilizando (3) nos queda:

1

(3)
x2  y
1 1

1
 2
(4)
_________________ OTRA FORMA DE GENERAR LA SECCIÓN ÁUREA _______________
Sea a la longitud de un segmento y x la de su segmento áureo, entonces resulta:
a=x+y
y
a x

x y
LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO _________________________________________________________________ 4
En la expresión
a=x+y
si dividimos por x resulta:
a xy
y

1
x
x
x
luego reemplazando
1
x
y
=
x
nos queda:
y
a
1
1
a
x
x
(5)
Por este mecanismo recursivo resulta:
a
1
1
1
1
 .............
1
1
x
1
1
a
1
1
a
x
x
la razón áurea es una fracción continua.
Este desarrollo de la fracción continua converge, por lo indicado en (2), al número
a
1
x
1
1
1
1
1
Por otro lado, como por (2):
a

x
la expresión (5) queda:
 1
luego:
a
1
1
x


1
.
5 1

2
1
1  ........
1

y el desarrollo de esta fracción continua convergente a
a
1
x
1

será:
1

1
1
1
1
1
1  .....
LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO _________________________________________________________________ 5
___________________ OTRA DIVISIÓN ÁUREA DE LA UNIDAD ____________________
Considerando el cuadrado ABCD de lado unitario, AB = 1
A
B
1
5
2
O
x
E
Como
2
2
2

AO  AD  DO
1
2
D
2
AO
1
2
C

1
5

4
4
1
F
AO 
5
2
Con este radio trazamos una semicircunferencia y calculamos la longitud del segmento ED que
llamaremos x
ED =
5 1
=x

2
2
racionalizando el numerador:
x=




5 1
5 1


2
5 1
2
x=
5 1
=
2
5 1

1
5 1
2

1

Este segmento x representa la razón áurea encontrada en (3).
Siguiendo la construcción anterior y uniendo los puntos A con E y A con F:
A
1
B
2
2
E
O
x
D

1
1
C
x
F

Podemos considerar los triángulos: ADE y ADF .
Ellos son semejantes por ser rectángulos y tener ángulos agudos iguales, en consecuencia sus
lados homólogos son proporcionales, de donde:
LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO _________________________________________________________________ 6
x
1

1 x 1


x(x+1)=1
considerando la relación (3) reemplazamos x por
1
2


x2 + x – 1 = 0
1
y la ecuación anterior resulta

1
1

nuevamente la relación (4).
____________________ OTRA CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA _____________________
En la figura anterior, con centro en D y radio ED =
1

trazamos el arco EG y construimos los
rectángulos DCHG ; BKFC y el cuadrado CFJH
A
B
1
K
Área=
x
E
1

D
1
2
O
1
2
1

1
C

F
1
Área= 2

G
H
J

Por ser
Área
DCHG = 1 .
Área
CFJH =
y por (4)
Pero:
1
1
=


1
1
1
.
= 2




Área DFJG = 1 = Área ABCD
1
1
+ 2 =1


Área DFJG = DF  DG
LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO _________________________________________________________________ 7
Area DFJG
de donde:
DF 
Entonces:
DF = 
pero:
DF = 1 +
luego:
 1
DG
=
1

1

1

1

(6)
que es equivalente a (5)
1

Por otro lado, como
AG = 1 +
resulta por (6)
AG = 
el
Área ABHG = 1 .  = 
Por eso este rectángulo se llama rectángulo áureo
1
1
=


Área AKJG =  .  = 2
Como:
Área BKFC = 1 .
y
Área AKJG = Área ABCD + Área BKFC + Área CFJH + Área DCHG
;
Reemplazando estas áreas por los valores obtenidos anteriormente tenemos
2 = 1 +
1
1
+ 2


+
luego:
1
= [por (6) y por (4) resulta] = 1 + 

2    1
(7)
que también se obtiene de (4).
multiplicando ambos miembros por  obtenemos:
3  2  
(8)
LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO _________________________________________________________________ 8
_____ ALGUNAS RELACIONES DONDE APARECE EL NÚMERO

Ó LA RAZÓN ÁUREA ____
 El lado de un pentágono regular inscripto en una circunferencia de radio unitario es: AB  1  2
A
B
 La diagonal de un pentágono regular inscripto en una circunferencia es medio proporcional entre
el diámetro de la circunferencia y la altura del pentágono
diámetro de la circunferencia
diagonal del pentágono

diagonal del pentágono
altura del pentágono
 Rostro femenino matemáticamente hermoso
Llamando:
“a” a la distancia desde el comienzo de la frente hasta la punta del mentón;
“b” a la distancia entre el mentón y la línea de unión de los párpados;
“c” a la distancia desde el comienzo de la frente hasta la línea de unión de los párpados;
el rostro femenino matemáticamente hermoso es el que guarda la siguiente proporción:
a b

b c
LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO _________________________________________________________________ 9
______ ARBORESCENCIA – FRACTAL – NÚMERO ÁUREO Y SUCESIÓN DE FIBONACCI ____
Estos tres primeros temas se relacionan por medio de la sucesión de Fibonacci (Leonardo de Pisa
(Fibonacci) fue hijo de un rico comerciante de Pisa. Nació en 1175 y murió en 1240. Fue
contemporáneo de San francisco de Asís)
DEFINICIONES:
 Sucesión de Fibonacci:
La sucesión de Fibonacci es: {un} = 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , ....., un , ...
donde a partir de los dos primeros términos, los restantes se forman sumando los dos anteriores,
es decir:
un = un-1 + un-2
Cualquier sucesión formada de esta manera a partir de dos número dados, se dice que es una
sucesión de Fibonacci.
Se dice que esta sucesión surgió como respuesta al problema de calcular el número de hijos que
podría tener una pareja de conejos jóvenes al cabo de determinado número de meses
considerando que:
a) Los conejos demoran un mes en llegar a la adultez y procrearse.
b) Todos los meses pueden procrearse.
c) suponiendo que en cada procreación nacen una pareja y no muere ninguno.
En estas condiciones tendríamos:
Mes 1
1 pareja de conejos jóvenes
Mes 2
1 pareja de conejos adultos
Mes 3
2 parejas de conejos. 1 los padres y 1 sus hijos.
Mes 4
3 parejas de conejos. 1 los padres, 1 de hijos adultos y 1 de hijos jóvenes.
Mes 5
5 parejas de conejos. 1 los padres, 2 de hijos adultos y 2 hijos y nietos jóvenes.
y así siguiendo se obtiene la sucesión de Fibonacci, la cual responde a un sistema de arborescencia
pero además se construye recursivamente sumando los dos términos precedentes.
Por eso, toda sucesión que se construye con este mecanismo recursivo a partir de dos números
cualesquiera se dice que es una sucesión de Fibonacci.
 Sistema L: (Proviene de Arístides Lindenmayer)
Un Sistema L es un conjunto o sucesión de símbolos (pueden ser letras) operados por alguna regla
de sustitución o de inferencia similar a los algoritmos utilizados para generar fractales.
LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO _________________________________________________________________ 10
 A B
Por ejemplo, con el conjunto { A , B } y la regla de sustitución 
B  AB
Se obtiene la siguiente sucesión de términos:
Iteración
Resultado
1
A
2
B
3
AB
4
BAB
5
ABBAB
6
BABABBAB
7
ABBABBABABBAB
8
BABABBABABBABBABABBAB
.....
...........
.....
...........
Si se observa el número de símbolos que van apareciendo en cada iteración, se podrá constatar
que estas cantidades coinciden con los números de la sucesión de Fibonacci, tal como se muestra
en la siguiente tabla.
Iteración
Resultado
Nro símbolos
Nro Fibonacci
1
A
1
1
2
B
1
1
3
AB
2
2
4
BAB
3
3
5
ABBAB
5
5
6
BABABBAB
8
8
7
ABBABBABABBAB
13
13
8
BABABBABABBABBABABBAB
21
21
.....
...........
......
.....
.....
...........
.......
......
LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO _________________________________________________________________ 11
Los números de la sucesión de Fibonacci son iguales a la cantidad de caracteres de la
arborescencia.
La sucesión de Fibonacci, tiene la particularidad de que, al tender n a infinito, la razón entre un
término un y su antecesor un-1 tiende a 
lim
un

n   un 1
(9)
Demostración:
Si escribimos la sucesión de Fibonacci como: {un} = u1 , u2 , u3 , ......., un , .....
La sucesión de recurrencia de los cocientes será: {bn} = b1 , b2 , b3 , ...... , bn , ......
donde
bn 
un 1
un
Supongamos que existe este límite,
lim un 1
L
n   un
Entonces:
lim un 1
lim un  un 1
lim 
un 1 

=
1 

un
n   un
n
un 
n 
1
lim un 1
 1
n   un
de donde
luego
1
1
 1 L
lim
un
L
n   un 1
L 1
L
L
L2 - L - 1 = 0
de donde obtenemos la tesis:
L 
1 5

2
También puede observarse que la razón de los números de Fibonacci tiende a  realizando algunas
iteraciones en el desarrollo de la fracción continua (5):
Iteración 0
a
1
x
Iteración 1
a
1
=1+
=2
x
1
Iteración 2
a
=1+
x
Iteración 3
a
=1+
x
1
1
1
1
=
1
1
1
3
= 1,5
2
=
1
1
1
a
1
1
a
x
x
5
= 1,666...
3
LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO _________________________________________________________________ 12
Iteración 4
a
=1+
x
1
=
1
1
1
1
1
Iteración 5
8
= 1,6
5
1
1
a
13
= ............................ =
= 1,625
x
8
Según esto, para valores de n suficientemente grandes, la sucesión de Fibonacci pasa a
comportarse como una progresión geométrica de razón
Supongamos la progresión geométrica de razón r:
.
{ arn-1} = a1 , a2 , a3 , ......
Si a esta sucesión le imponemos la regla de formación de la sucesión de Fibonacci, es decir:
an = an-1 + an-2
el valor r deberá ser tal que:
ar2 – ar – a = 0
o bien, dividiendo por a:
r2 – r – 1 = 0
de donde resulta que
r
1 5

2
(10)
Entonces
ar2 = a  2
Luego
{arn-1} = {a  n-1} = a , a  , a  2 , a  3 , a  4 , ... , a  n-1 , ...
Considerando a = 1 tendremos la sucesión de las potencias naturales de
{  n-1} = 1 ,

,

 2 ,  3 ,  4 , ... ,  n-1 , ...
Esta sucesión también puede escribirse así:
invocando (7)
1+

=
2
multiplicando ambos miembros por
 , tenemos
usando nuevamente (7)
 + 2 = 3
 + 1 +  = 3
3  2  1
(11)
Multiplicando (11) por  obtenemos:
 4 = 2  2 +  =(por (7)) = 2(1 +  ) +  = 3  + 2
entonces:
4  3  2
reiterando el proceso, tendremos
5  5  3
;
6  8  5
LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO _________________________________________________________________ 13
Entonces
{  n-1} = 1 ,

es igual a
{  n-1} = 1 ,

,
 2 ,  3 ,  4 , ... ,  n-1 , ...
, 1+  , 1+ 2  , 2+ 3  , 3 + 5  , 5 + 8  , ...
Observando esta última expresión de la sucesión, vemos que tanto los términos como los
coeficientes de las potencias de

son los números de Fibonacci
 0 = 1 + 0
 1 = 0 + 1
 2 = 1 + 1
 3 = 1 + 2
 4 = 2 + 3
 5 = 3 + 5
 6 = 5 + 8
...................
__________________ RELACIÓN DE
Las potencias naturales de
{1 ,
}


CON LA ARBORESCENCIA __________________
resultan codificadas en un sistema L con el conjunto de símbolos
 1
y los axiomas 
  1  
n
n
0
1
1 + 0
1

0 + 1
2
1+
3

+1+
4

+ 2( 1 +
5
2  + 3( 1 +
 ) = 3 + 5
3 + 5
6
3  + 5( 1 +
 ) = 5 + 8
5 + 8
....
............................................

1 + 1

= 1 + 2
1 + 2
 ) = 2 + 3
2 + 3
...........
LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO _________________________________________________________________ 14
______________________ PROPIEDADES Y CURIOSIDADES ______________________
1.-

= 1,61803398874989484882...... 
2.-

=
3.-
 2 = (por (7)) = 
4.-
1  5
1
=
 (por (6)) =
2

5.-
6.-
1
2


809
500
1 5
2
+ 1 = 2,61803398874989484882......
= (por (4)) = 1 1
n
n 1 
=

- 1 = 0,61803398874989484882.....
1
= (por (6)) = 1 – (  - 1) = 2 


Demostración:
Recordando que una serie geométrica:

 arn 1 =
n 1
resulta


1
n
n 1 
=

n
1
 
n 1  
= (por (6)) =
=

n 1
1
 
n 1  
-1=
1
1
1

a
1r
-1=
si r < 1

-1=
1

- 1 = 2 - 1 = (por (7)) = 
1

7.- En toda sucesión de Fibonacci, la suma de los 10 primeros términos es igual a 11 veces el
séptimo término.
8.- Los números consecutivos de una sucesión de Fibonacci son primos entre sí.
_____________ LA CUADRATURA DEL CÍRCULO Y EL NÚMERO DE ORO ______________
El problema de la cuadratura del circulo, consiste en encontrar la medida del lado de un cuadrado
cuya área sea igual al área de un circulo de radio unitario.
En el estudio de la cuadratura del circulo se encuentran las siguientes relaciones entre

y

LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO _________________________________________________________________ 15
3
5
7


3 1 3
1 3
1 3
 = 5
 
 
 
 ...



 2

3  2 
5  2 
5  2 


ó también


2
4
6
8
 = 2 1 



 ....
2
4
6
8
5 2! 5 4! 5 6! 5 8!


________ LA RELACIÓN ENTRE LA SERIE DE FIBONACCI Y EL NÚMERO PI (  ) ________
Profundizando estos temas y mediante razonamientos y relaciones parecidas se han encontrado
relaciones entre la serie de Fibonacci y el número pi lo cual es para mi gusto, agradablemente
sorprendente.
LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO _________________________________________________________________ 16