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INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN CLEMENTE
PREPARADOR DE CLASES
Docente
IVÁN DARIO DORIA FERNÁNDEZ
Áreas
MATEMÁTICAS, FÍSICA
Tierralta-Córdoba
2.011
FECHA:
UNIDAD Nº: 2 FUNCIONES LINEALES
TEMA: Continuación función lineal y afín. La recta
PROBLEMA AMBIENTAL: Perdida de la identidad cultural
ESTÁNDAR: Desarrollará el concepto fundamental de las relaciones y funciones
utilizando adecuadamente su notación y graficación en la solución de ejercicios y
problemas cotidianos.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Identifica funciones lineales a través de su
estructura gráfica y algebraica. Identifica las características de las rectas paralelas
y perpendiculares.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: HERRERA, A., SALGADO, D., NIVIA, L., ACOSTA, M.,
ORJUELA, J. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA I. Editorial Santillana S. A. Bogotá,
Colombia.
ISBN: 958-24-0825-1
ACTIVIDADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión.
Frase del día.
“Cuando quieres algo, todo el universo conspira para que realices tu
deseo.” (Paulo Coelho)
ACTIVIDADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a tratar, dictado de los contenidos sobre el tema, con
posterior explicación y ejemplos.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los
estudiantes para ser revisados en la clase.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar el tema visto en clase.
CONTENIDOS TEORICOS: La recta. Representación gráfica.
En la expresión 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, el valor 𝑚 es una constante distinta de cero,
denominada pendiente.
La pendiente está directamente relacionada con la inclinación de la recta cuya
ecuación es 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏.
Si 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 ) son dos puntos distintos de dicha recta, la pendiente 𝑚
se calcula mediante la igualdad:
𝑚=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
la cual se interpreta como la razón del incremento vertical con respecto al
incremento horizontal en la recta.
Ejemplos: Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
a) 𝐴(3,5) y 𝐵(2,3)
b) 𝐴(8, −5) y 𝐵(−15,9)
Actividad.
1. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
a) 𝑃(6,7) y 𝑄(3, −5)
b) 𝑃(9, −4) y 𝑄(6,8)
c) 𝑃(−3, −2) y 𝑄(−3,5)
d) 𝑃(4,5) y 𝑄(2,5)
Signo de la pendiente de una recta. El signo de la pendiente de una recta
depende del ángulo de inclinación de dicha recta respecto al eje 𝑥.
Se pueden distinguir 4 casos:
Caso 1. Si la recta forma un ángulo agudo con el eje 𝑥, la pendiente es positiva.
Caso 2. Si la recta forma un ángulo obtuso con el eje 𝑥, la pendiente es negativa.
Caso 3. Si la recta es vertical (paralela al eje 𝑦), se dice que la pendiente no está
definida.
Caso 4. Si la recta es horizontal (paralela al eje 𝑥), la pendiente es cero.
FECHA:
UNIDAD Nº: 2 FUNCIONES LINEALES
TEMA: Continuación función lineal y afín. Ecuación punto- pendiente de la recta.
PROBLEMA AMBIENTAL: Perdida de la identidad cultural
ESTÁNDAR: Desarrollará el concepto fundamental de las relaciones y funciones
utilizando adecuadamente su notación y graficación en la solución de ejercicios y
problemas cotidianos.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Identifica funciones lineales a través de su
estructura gráfica y algebraica. Identifica las características de las rectas paralelas
y perpendiculares.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: HERRERA, A., SALGADO, D., NIVIA, L., ACOSTA, M.,
ORJUELA, J. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA I. Editorial Santillana S. A. Bogotá,
Colombia.
ISBN: 958-24-0825-1
ACTIVIDADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión.
ACTIVIDADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a tratar, dictado de los contenidos sobre el tema, con
posterior explicación y ejemplos.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los
estudiantes para ser revisados en la clase siguiente.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar el tema visto en clase.
CONTENIDOS TEORICOS: Si la pendiente 𝑚 de una recta y el punto (𝑥0 , 𝑦0 ) de
la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada
usando:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 ).
Ejemplos: Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 𝑚 = 5 y pasa por el
punto (3,5).
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
La ecuación general de la recta está dada de la forma:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ
4
5
7
2
Ejemplo: expresar la ecuación 𝑦 = − 𝑥 +
en forma general.
Actividad
1. Hallar la ecuación de la recta, dados los siguientes datos:
a) 𝑚 = 3, (5,9)
b) 𝑚 = −5, (−8,3)
c) 𝑚 = 8, (3,6)
d) 𝑚 = −4, (7, −10)
e) 𝑚 = 2, (−2, −5)
2. Escribir cada ecuación en su forma general:
a) 9 − 𝑥 = 𝑦
b) 12𝑥 = 3𝑦 + 8
c) 3𝑥 + 4 = 𝑦
d) −2𝑦 = 5𝑥 − 1
e) 3𝑥 + 2𝑦 =
4
3
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL PLANO
Dadas dos rectas diferentes en el plano, se pueden presentar tres casos: las
rectas son paralelas, las rectas son perpendiculares o las rectas son secantes.
Caso 1. Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.
Ejemplo: Las rectas 𝑙1 : 𝑦 = 5𝑥 + 3, 𝑙2 : 𝑦 = 5𝑥 − 7 son paralelas, pues se observa
que sus pendientes son iguales.
𝑚1 = 5 𝑦 𝑚2 = 5
𝑚1 = 𝑚2
Caso 2. Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes
es igual a
-1.
Ejemplo: La pendiente de la recta 𝑦 = 4𝑥 + 2 es 𝑚1 = 4 y la pendiente de la recta
1
1
1
𝑦 = − 𝑥 − 5 es 𝑚2 = − 4 , es decir,𝑚1 ∗ 𝑚2 = 4 ∗ − 4 = −1 luego las rectas
4
son perpendiculares.
Actividad
1. Determinar la posición relativa de cada par de rectas.
a) {
5𝑥 + 3𝑦 = 0
3𝑥 + 2𝑦 = 0
b) {
−2𝑥 + 𝑦 = 3
−2𝑥 + 𝑦 = 6
c) {
9𝑥 − 6𝑦 = 18
−5𝑥 + 3𝑦 = 6
d) {
4𝑥 − 2𝑦 = 5
2𝑥 − 𝑦 = −3
e) {
6𝑥 + 𝑦 = 4
−12𝑥 − 2𝑦 = 5
FECHA:
UNIDAD Nº: 2 MOVIMIENTO EN UNA DIRECCIÓN,
MOVIMIENTO EN EL PLANO Y OSCILACIONES
TEMA: Movimiento parabólico y semiparabólico
PROBLEMA AMBIENTAL: Perdida de la identidad cultural
LOGRO: Identifica en el entorno, fenómenos relacionados con el lanzamiento
vertical hacia arriba y hacia abajo, el movimiento parabólico y circular
INDICADORES DE LOGRO: Explica los movimientos de proyectiles a partir de las
ecuaciones del movimiento rectilíneo
COMPETENCIA: Solucionar problemas de la cotidianidad, identificando y
clasificando, cantidades físicas que forman parte del espacio vectorial; explicando
y argumentando fenómenos relacionados con el movimiento uniforme, uniforme
acelerado, de caída libre, parabólico y circular, persistiendo siempre en la
búsqueda de respuesta a interrogantes planteados, utilizando diversas estrategias
y la experimentación entre otras.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_parab%C3%B3lico
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a tratar, dictado de los contenidos sobre el tema, con
posterior explicación y ejemplos.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejó algunos ejercicios a los estudiantes
para ser realizados en clase y se resolverán en el tablero con ayuda de los
alumnos.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Realizar los ejercicios propuestos.
CONTENIDOS TEÓRICOS:
Movimiento semiparabólico
El movimiento de parábola o semiparabólico (lanzamiento horizontal) se puede
considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y
la caída libre de un cuerpo en reposo.
Movimiento parabólico
El movimiento parabólico completo se puede considerar como la composición de
un avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que
es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la
acción de la gravedad.
En condiciones ideales de resistencia al avance nulo y campo gravitatorio
uniforme, lo anterior implica que:
1. Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado
horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.
2. La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es
igual de válida en los movimientos parabólicos.
3. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro parabólicamente
completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.
Ecuaciones del movimiento parabólico.
Claramente, la componente horizontal de la velocidad permanece invariable, pero
la componente vertical y el ángulo 𝜃 cambian en el transcurso del movimiento.
En la figura se observa que el vector velocidad inicial 𝑉0 forma un ángulo
inicial 𝜃0 respecto al eje 𝑥; y como se dijo, para el análisis se descompone en los
dos tipos de movimiento mencionados; bajo este análisis, las componentes
según 𝑥 e 𝑦 de la velocidad inicial serán:
𝑉0𝑥 = 𝑉0 cos 𝜃0
𝑉0𝑦 = 𝑉0 sen 𝜃0
𝑉0 = 𝑉0 cos 𝜃 + 𝑉0 sen 𝜃
El desplazamiento horizontal está dado por la ley del movimiento uniforme, por
tanto sus ecuaciones serán (si se considera 𝑥0 = 0 ):
𝑎𝑥 = 0
𝑉𝑥 = 𝑉0𝑥
𝑋 = 𝑉0𝑥 𝑡
En tanto que el movimiento según el eje y será rectilíneo uniformemente
acelerado, siendo sus ecuaciones:
𝑎𝑦 = −𝑔
𝑉𝑦 = 𝑉0𝑦 − 𝑔𝑡
𝑔𝑡 2
𝑌 = 𝑌0 + 𝑉0𝑦 𝑡 −
2
Alcance máximo
El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para 𝑦 = 0.
𝑋𝑚𝑎𝑥
𝑉0 2 sen(2𝜃)
=
𝑔
Su valor máximo se obtiene para un ángulo θ =45º
Altura máxima
La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con 𝑉𝑦 = 0.
𝑌𝑚𝑎𝑥
𝑉0 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
=
2𝑔
Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º.
Tiempo de vuelo
Es el tiempo total que el móvil permanece en movimiento.
𝑡=
2𝑉0 sen 𝜃
𝑔
FECHA:
UNIDAD Nº: 2 MOVIMIENTO EN UNA DIRECCIÓN,
MOVIMIENTO EN EL PLANO Y OSCILACIONES
TEMA: Lanzamiento vertical hacia arriba y hacia abajo.
PROBLEMA AMBIENTAL: Perdida de la identidad cultural
LOGRO: Identifica en el entorno, fenómenos relacionados con el lanzamiento
vertical hacia arriba y hacia abajo, el movimiento parabólico y circular
INDICADORES DE LOGRO: Resuelve problemas relativos a la cinemática
COMPETENCIA: Solucionar problemas de la cotidianidad, identificando y
clasificando, cantidades físicas que forman parte del espacio vectorial; explicando
y argumentando fenómenos relacionados con el movimiento uniforme, uniforme
acelerado, de caída libre, parabólico y circular, persistiendo siempre en la
búsqueda de respuesta a interrogantes planteados, utilizando diversas estrategias
y la experimentación entre otras.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA:
http://www.kalipedia.com/fisica-quimica/tema/lanzamiento-
vertical.html?x=20070924klpcnafyq_182.Kes&ap=1
http://shibiz.tripod.com/id11.html
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a tratar, dictado de los contenidos sobre el tema, con
posterior explicación y ejemplos.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO: Una vez terminada la
explicación se les dejó algunos ejercicios a los estudiantes para ser realizados en
clase y se resolvieron en el tablero con ayuda de los alumnos.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar el tema visto en clase.
CONTENIDOS TEORICOS: Lanzamiento vertical hacia arriba y hacia abajo.
Lanzamiento vertical
Cuando lanzamos un objeto verticalmente hacia arriba, la fuerza gravitatoria actúa,
al igual que en la caída libre, atrayéndolo hacia el centro de la Tierra. De este
modo, la velocidad del cuerpo irá disminuyendo gradualmente y con el mismo
ritmo con el que aumentaba al caer (9,8 m/s2). En este caso, y puesto que el
cuerpo se frena, la aceleración tendrá ese valor, pero con signo negativo. Las
ecuaciones que rigen este movimiento se deducen, al igual que pasa con la caída
libre, de las ecuaciones del MRUA (movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado), sustituyendo el valor de la aceleración, a = -g = -9,8 m/s2, y
considerando que v0 no puede ser nula, pero sí lo es la velocidad al final de la
subida.
Al igual que la caída libre es un movimiento uniformemente acelerado.
Diferencia: Forma ascendente y descendente.
𝑉0 Diferente a 0
cuando
Sube:+
Baja: -
Al igual que la caída libre es un movimiento sujeto a la aceleración de la gravedad,
sólo que ahora la aceleración se opone al movimiento inicial del objeto. El tiro
vertical comprende subida o bajada de los cuerpos u objetos considerando lo
siguiente:
a) Nunca la velocidad inicial es igual a 0.
b) Cuando el objeto alcanza su altura máxima, su velocidad en este punto es 0.
Mientras que el objeto se encuentra de subida el signo de la V es positivo; la V es
0 a su altura máxima cuando comienza a descender su velocidad será negativa
c) Si el objeto tarda por ejemplo 2s en alcanzar su altura máxima tardará 2s en
regresar a la posición original, por lo tanto el tiempo que permaneció en el aire el
objeto es de 4s.
d) Para la misma posición del lanzamiento la velocidad de subida es igual a la
velocidad de bajada.
Fórmulas.
𝑉𝑓 2 = 𝑉𝑖 2 + 2𝑔𝑌
𝑉𝑓 = 𝑉𝑖 + 𝑔𝑡
𝑔𝑡 2
𝑌 = 𝑉𝑖 𝑡 +
2
𝑉𝑓− 𝑉𝑖
𝑡=
𝑔
𝑡=
2𝑉𝑖
𝑔
𝑉𝑓 2 − 𝑉𝑖 2
𝑌=
2𝑔
Ejemplos: 1. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad
inicial de 30 m⁄s. A los 6 s ¿donde se encuentra la piedra?
2. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por un objeto que es lanzado
verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 65 m⁄s ?
Actividad
1. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de
52 𝑚⁄𝑠. A los 3,5 𝑠 ¿donde se encuentra la piedra?
2. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por un objeto que es lanzado
verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 125 𝑚⁄𝑠 ?
FECHA:
UNIDAD Nº: 1 FUNCIONES
TEMA: Razones Trigonométricas
PROBLEMA AMBIENTAL: Deficiencias en el proceso de visión organización y
autogestión comunitaria
LOGRO: Detectará y aplicará distintas formas de razonamiento y métodos de
argumentación para solucionar problemas referentes las razones trigonométricas.
INDICADORES DE LOGRO: Comprende que son las razones trigonométricas.
COMPETENCIA: Identifica, representa y aplica los elementos, propiedades, relaciones y
operaciones básicas de las funciones trigonométricas para plantear alternativas de solución
a problemas que involucren su uso, dentro del sistema de los números reales.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior
explicación por medio de ejemplos.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser
revisados en la clase siguiente.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto sobre trinomio
cuadrado perfecto.
CONTENIDOS TEORICOS: Razones trigonométricas.
El cociente entre la medida de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, es
una razón trigonométrica. De acuerdo con los lados que estén en relación, se define la razón
trigonométrica. Para el caso del ángulo 𝛼, en la figura, se tiene:
𝑎
𝑎
1. La razón , cateto opuesto sobre hipotenusa recibe el nombre de seno de 𝛼, 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝑐 .
𝑐
𝑏
2. La razón
𝑐
, cateto adyacente sobre hipotenusa recibe el nombre de coseno de 𝛼,
𝑏
𝑐𝑜𝑠(𝛼) = 𝑐 .
𝑎
3. La razón , cateto opuesto sobre cateto adyacente recibe el nombre de tangente de 𝛼,
𝑡𝑎𝑛(𝛼) =
𝑏
𝑎
.
𝑏
𝑏
4. La razón , cateto adyacente sobre cateto opuesto recibe el nombre de cotangente de 𝛼,
𝑐𝑜𝑡(𝛼) =
𝑎
𝑏
.
𝑎
5. La razón
𝑐
𝑠𝑒𝑐(𝛼) = 𝑏.
6. La razón
𝑐
𝑐
𝑏
𝑐
𝑎
, hipotenusa sobre cateto adyacente recibe el nombre de secante de 𝛼,
, hipotenusa sobre cateto opuesto recibe el nombre de cosecante de 𝛼,
𝑐𝑠𝑐(𝛼) = 𝑎.
Forma nemotécnica.
𝒔𝒆𝒏(𝜶) =
𝒄.𝒐
𝒄𝒐𝒕(𝜶) =
𝒄.𝒂
𝒉
𝒄.𝒐
𝒄𝒐𝒔(𝜶) =
𝒄.𝒂
𝒔𝒆𝒄(𝜶) =
𝒉
𝒉
𝒄.𝒂
𝒕𝒂𝒏(𝜶) =
𝒄𝒔𝒄(𝜶) =
𝒄.𝒐
𝒄.𝒂
𝒉
𝒄.𝒐
Ejemplo: determinar las razones trigonométricas de los ángulos 𝛼 y 𝛽, del siguiente
triángulo:
Donde 𝑎 = 3, 𝑏 = 4 𝑦 𝑐 = 5.
FECHA:
UNIDAD Nº: 1 FUNCIONES
TEMA: Teoremas del seno y del coseno
PROBLEMA AMBIENTAL: Perdida de la identidad cultural
LOGRO: Identifica y enuncia los teoremas del seno y coseno
INDICADORES DE LOGRO: Aplica los teoremas del seno y coseno en la solución de
problemas de aplicación.
COMPETENCIA: Identifica, representa y aplica los elementos, propiedades, relaciones y
operaciones básicas de las funciones trigonométricas para plantear alternativas de solución
a problemas que involucren su uso, dentro del sistema de los números reales.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a tratar, dictado de los contenidos sobre el tema, con posterior
explicación y ejemplos.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se le dejaron unos ejercicios al estudiante para ser
revisados en la clase siguiente.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar el tema visto en clase.
CONTENIDOS TEORICOS: Teoremas del seno y del coseno.
Teorema del seno.
Para cualquier triángulo se cumple que la medida de los lados es directamente proporcional
al valor del seno de los ángulos opuestos, así:
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
Ejemplo: Dado el triángulo ABC, calcula los elementos faltantes sabiendo
60°, ∢𝐵 = 45°, 𝑎 = 4, ∢𝐵 = 120°, 𝑎 = 8, 𝑏 = 10
que ∢𝐴 =
Actividad (Teorema del seno)
1. Dado el triángulo ABC, calcula los elementos faltantes sabiendo que:
a) ∢𝐴 = 65°, ∢𝐵 = 35°, 𝑏 = 6
b) ∢𝐵 = 83°, ∢𝐶 = 32°, 𝑐 = 7
c) ∢𝐴 = 30°, ∢𝐶 = 120°, 𝑎 = 3
d) ∢𝐴 = 76°, 𝑎 = 10, 𝑐 = 8
e) ∢𝐵 = 135°, 𝑎 = 12, 𝑏 = 15
Teorema del coseno.
El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triángulo, es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos dos veces el producto de estas
por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.
Simbólicamente:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
Ejemplo: Dado el triángulo ABC, calcula los elementos faltantes sabiendo
100°, 𝑎 = 50, 𝑏 = 40, ∢𝐴 = 95°, 𝑏 = 20, 𝑐 = 17
Actividad (Teorema del coseno)
1. Dado el triángulo ABC, calcula los elementos faltantes sabiendo que:
a) ∢𝐶 = 130°, 𝑎 = 12, 𝑏 = 15
b) ∢𝐴 = 60°, 𝑏 = 8, 𝑐 = 9
c) ∢𝐵 = 150°, 𝑎 = 14, 𝑐 = 6
d) ∢𝐶 = 75°, 𝑎 = 11, 𝑏 = 16
e) ∢𝐴 = 80°, 𝑏 = 18, 𝑐 = 23
que ∢𝐶 =