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Funciones trigonométrica
INDICE
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. ____________________________________________ II
1.
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA___________________________________________________________ II
1.1FUNCIÓN SENO: _______________________________________________________________________ II
1.2FUNCIÓN COSENO: _____________________________________________________________________ III
1.3FUNCIÓN TANGENTE: ____________________________________________________________________ III
1.4 FUNCIÓN COTANGENTE __________________________________________________________________ IV
1.5 FUNCION SECANTE ________________________________________________________________ V
1.6 FUNCION COSECANTE: _______________________________________________________________ VI
2. TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ________________________ VIII
2.1 AMPLITUD: _________________________________________________________________________ VIII
2.2 PERIODO: ___________________________________________________________________________ IX
2.3 DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL. ____________________________________________________________ IX
2.4 DESPLAZAMIENTO VERTICAL: ______________________________________________________________ X
3.
EJERCICIOS RESUELTOS: _______________________________________________________________ XI
4.
EJERCICIOS PROPUESTOS _____________________________________________________________ XIII
I
Funciones trigonométrica
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
1. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Las funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales para
analizar fenómenos periódicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente eléctrica
alterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento
periódico de los planetas, ciclos biológicos, etc. En aplicaciones de las funciones
trigonométricas relacionadas con fenómenos que se repiten periódicamente, se requiere
que sus dominios sean conjuntos de números reales. Para la obtención de valores de las
funciones trigonométricas de números reales con una calculadora por ejemplo, se debe
usar el modo radián.
1.1Función Seno:
La función seno es la función definida por: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥.
Características de la función seno:
1. Dominio: IR
Rango: [-1, 1]
2. El período de la función seno es 2 π.
3. La función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 es impar, ya que 𝑠𝑒𝑛(−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥, para todo x en IR.
4. La gráfica de y=sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: 𝑥 = 𝑛 𝜋. Para
todo número entero n.
5. El valor máximo de 𝑠𝑒𝑛𝑥 es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 es 1.
II
Funciones trigonométrica
1.2Función coseno:
La función coseno es la función definida por:𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥.
Características de la función coseno
1. Dominio: IR
Rango: [-1, 1]
2. Es una función periódica, y su período es 2 π.
3. La función 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 es par, ya que 𝑐𝑜𝑠(−𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 x, para todo x en IR.
La gráfica de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x = (π/2) + nπ,
para todo número entero n.
5. El valor máximo de 𝑐𝑜𝑠 𝑥 es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de la función
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 es 1.
1.3Función tangente:
La función tangente es la función definida por: 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥.
Características de la función tangente
1. La función tangente es una función periódica, y su período es π.
2. La función 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 es una función impar, ya que 𝑡𝑎𝑛(−𝑥) = −𝑡𝑎𝑛 𝑥.
3. La gráfica de 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π, para
todo número entero n.
III
Funciones trigonométrica
Las otras tres funciones trigonométricas: cotangente, secante y cosecante son también
funciones periódicas.
Las funciones trigonométricas fueron sistematizadas por Newton y Leibniz, quienes había
dado expansiones en forma de serie para las mismas. Pero fue Euler quien dio el
tratamiento completo y sistemático a las funciones trigonométricas. La periodicidad de
estas funciones y la introducción de la medida de los ángulos por radianes, fue realizada
por Euler en su Introducido in Analysis Infinitorum en 1748.
1.4 Función Cotangente
Función cotangente: asocia
a cada núm ero real, x, el valor de la cotangente del ángulo cuya medida
en radianes es x.
𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒕 𝒙
IV
Funciones trigonométrica
Propiedades de la función cotangente
Dominio :
Recorrido :
Continuidad : Continua en
Período :
Decreciente
en:
Máximos : No tiene.
Mínimos : No tiene.
Impar : 𝑐𝑜𝑡(−𝑥) = −𝑐𝑜𝑡𝑥
Cortes con el eje OX:
1.5 FUNCION SECANTE
La función secante as ocia a cada númer o real, x, el valor de la secante del ángulo cuya medida en
radianes es x.
𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄 𝒙
V
Funciones trigonométrica
Propiedades de la función secante
Dominio :
Recorrido : (- ∞, -1]
[1, ∞)
Período :
Continuidad : Continua en
Creciente en :
Decreciente en :
Máximos :
Mínimos :
Par : 𝑠𝑒𝑐(−𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥
Cortes con el eje OX:
No corta
1.6 FUNCION COSECANTE:
La función cosecante as ocia a cada númer o real, x, el valor de la cosecant e del ángulo cuya medida en
radianes es x.
𝒇(𝒙) = 𝒄𝒔𝒄 𝒙
VI
Funciones trigonométrica
Propiedades de la función cosecante
Dominio :
Recorrido : (- ∞, -1]
[1, ∞)
Período :
Continuidad : Continua en
Creciente en :
Decreciente en :
Máximos :
Mínimos :
Impar : csc(-x) = -csc x
Cortes con el eje OX:
No corta
VII
Transformaciones de graficas
2. Transformaciones de gráficas de funciones trigonométricas
Las reglas para desplazar, dilatar, contraer, reflejar la gráfica de una función se pueden
aplicar a las funciones trigonométricas, recordadas en el siguiente diagrama:
𝑓𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (α)
𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥 + 𝐶) + 𝐷
A = Amplitud
B = Periodo
C = Desplazamiento horizontal
D = Desplazamiento vertical
2.1 Amplitud:
La amplitud es la distancia vertical entre una cresta y el punto medio de la onda.
𝑓𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Amplitud
A>1
A<1
-A se invierte
VIII
Transformaciones de graficas
𝑓𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Amplitud
2.2 Periodo:
El tiempo que tarda en cumplir un ciclo.
𝑓𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 2𝜋) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
En la función seno el periodo es 2π
Formula:
B>1T
B<1T
Periodo
T=
2𝜋
𝐵
𝜋 = 180
-B Función se invierte
𝑓𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑓𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
T=
2𝜋
𝐵
=
2𝜋
2
= 𝜋 = 180
𝑓𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
2.3 Desplazamiento Horizontal.
Es el valor donde comienza el ciclo que comenzaba en 0 (también se conoce como
desfase)
𝑐
Desfase = − 𝑏
IX
Transformaciones de graficas
C
𝑓𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝜋/2)
𝑐
Desfase = − 𝑏 = -π/2 = -90O
D- = adelante
D+ = atrasado
𝑓𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝜋/2)
𝜋
𝑓𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 3 )
𝑐
𝜋
Desfase = − 𝑏 = − 13 = 60o
𝜋
𝑓𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 3 )
2.4 Desplazamiento vertical:
La gráfica de la ecuación de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑘 es la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) desplazada hacia
arriba si k es positiva y desplazada hacia abajo si k es negativa. De manera que, la gráfica 𝑑𝑒 𝑦 =
𝑓(𝑥) + 𝑘 se puede obtener de la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) al trasladar verticalmente la gráfica de
𝑦 = 𝑓(𝑥), k unidades hacia arriba si k es positiva y k unidades hacia abajo si k es negativa.
𝑓𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐷
𝑓𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 0.5
X
Transformaciones de graficas
𝑓𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 0.5
𝑓𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1
3. Ejercicios resueltos:
𝒇(𝒙) = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙 − 𝝅/𝟑) − 𝟏
2π 2𝜋
𝑇=
=
= 𝜋 = 180°
B
2
𝜋
−3 𝜋
−𝑐
𝐷=
=−
= = 30°
B
2
6
Valor supuesto del eje x
0°
45°
90°
135°
180°
Valor supuesto del
eje y
0
1
0
-1
0
Valor real del eje x
(sumamos mas
30°)
30°
75°
120°
165°
210°
Valor real del eje
y
-1
1
-1
-3
-1
XI
Transformaciones de graficas
Gráfica:
𝟏
𝛑
𝒇(𝒙) = − 𝟐 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙 + 𝟒) − 𝟏
𝑇=
2π 2𝜋
=
= 𝜋 = 180°
B
2
𝜋
−𝑐
𝜋
𝐷=
= − 4 = − = −22.5°
B
2
8
Valor supuesto del eje x
0°
45°
90°
135°
180°
Valor supuesto del
eje y
0
1
0
-1
0
Valor real del eje x
(restamos
−22.5°)
−22.5°
22.5°
67.5°
112.5°
157.5°
Valor real del eje
y
-1
-1.5
-1
-0.5
-1
XII
Transformaciones de graficas
𝒇𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙 + 𝛑) + 𝟏
𝑇=
2π 2𝜋
=
= 120°
B
3
𝐷=
−𝑐
𝜋
𝜋
= − = − = −60°
B
3
3
Valor supuesto del eje x
Valor supuesto del
eje y
0°
30°
60°
90°
120°
0
1
0
-1
0
Valor real del eje x
(restamos
−60°)
−60°
−30°
0°
30°
60°
Valor real del eje
y
1
2
1
0
1
Gráfica:
4. Ejercicios Propuestos
𝟏
a. 𝒇(𝒙) = 3𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙 + 𝟐 𝝅) − 2
XIII
Transformaciones de graficas
𝟏
𝟐
b. 𝒇(𝒙) = 2𝒔𝒆𝒏 ( 𝒙 + 𝝅) +
1
1
2
𝟐
c. 𝒇(𝒙) = 2 𝒔𝒆𝒏 (𝟒𝒙 + 𝟑 𝝅) + 2
𝟏
d. 𝒇(𝒙) = 3𝒔𝒆𝒏 (𝟓𝒙 + 𝟑 𝝅) − 1
XIV