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Unidad 6: Modelos probabilísticos discretos
1.
2.
3.
4.
Variable aleatoria discreta.
Distribución de probabilidad discreta.
Parámetros de una variable aleatoria discreta.
Distribución de Bernuilli, Binomial y algunas otras.
1. Variable aleatoria discreta
Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del
espacio muestral E un número real.
Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las
respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.
Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores
enteros.
Ejemplos: El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un
dado, el número de caras que se obtiene al lanzar una moneda tres veces.
Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores
posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.
Ejemplos: La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una
pila.
2. Distribución de probabilidad discreta.
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la
función que asocia a cada valor de x i de la variable su probabilidad p i .
0 ≤ pi ≤ 1
p1 + p2 + p3 + · · · + pn = Σ pi = 1
Ejemplo: Calcular
la distribución
de
probabilidad de
las
puntuaciones
obtenidas al lanzar un dado.
xi
1
2
3
4
5
6
pi
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1
1
La representación gráfica de una distribución discreta de probabilidad es un
diagrama de barras.
Función de distribución
Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a
mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la
función:
F(x) = p(X ≤ x)
La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la
probabilidad acumulada hasta ese valor.
Ejemplo:
Calcular la función de distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al
lanzar un dado.
xi
X<1
1≤x<2
2≤x<3
3≤x<4
4≤x<5
5≤x<6
x≥6
F(xi)
0
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
1
La representación de una función de distribución es una gráfica escalonada.
2
3. Parámetros de una distribución de probabilidad discreta.
3.1.
Esperanza matemática o media
3.2.
Varianza
3.3.
Desviación típica
Ejemplo: Calcular la esperanza matemática, la varianza, y la desviación típica, de la
distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.
xi
pi
X i ·p i
X i 2 ·p i
1
1/6
1/6
1/6
2
1/6
2/6
4/6
3
1/6
3/6
9/6
4
1/6
4/6
16/6
5
1/6
5/6
25/6
6
1/6
1
6
21/6
91/6
3
4. Algunas distribuciones discretas.
4.1.
Distribución de Bornouilli
Un experimento aleatorio sigue un modelo de Bernouilli si:

Solo se realiza una vez

Solo tiene dos posibles resultados, que llamaremos éxito y fracaso.
Sea E un experimento aleatorio de Bernouilli y X la variable aleatoria definida de
la siguiente forma:
X=1 si al realizar el experimente se ha obtenido éxito
X=0 si al realizar el experimento se ha obtenido fracaso
En estas circunstancias se dice que X sigue una distribución de Bernouilli ,
X→B(p), donde p es la probabilidad de éxito y q=1 – p es la probabilidad de
fracaso.
Ejemplos:
1. El experimento E= lanzar una moneda es un experimento de Bernouilli, ya
que solo admite dos resultados, cara y cruz.
La variable aleatoria X que asigna el valor 1 si se obtiene cara y el valor 0 si
se obtiene cruz sigue una distribución de Bernouilli, X→B(1/2)
2. El experimento E= sacar una bola de una urna con 3 bolas blancas y 5 bolas
negras es un experimento de Bernouill i, ya que solo admite las posibilidades
sacar bola blanca y sacar bola negra.
La variable aleatoria que asigna el valor 1 si se extrae una bola blanca y 0 si
se extrae una bola negra sigue una Bernouilli de parámetro 3/8, X→B(3/8)
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4.1.1. Parámetros de una Distribución de Bernouilli

Esperanza matemática o media
  1·p  0·q  p

Varianza
 2  (12 ·p  0 2 ·q)  p 2  p  p 2  p  (1  p)  p·q

Desviación típica
  p·q
En los ejemplos anteriores:
1.   1 / 2 ,  2  1 / 4 ,   1 / 2
2.   3 / 8 ,  2  15 / 64 ,   15 / 8
4.2.
Distribución Binomial.
Consideremos la variable aleatoria X que se define como el número de éxitos
que se obtiene al repetir un experimento de Bernouilli n veces. Los valores de
esta variable aleatoria pueden ser X  1,2,3,..., n
Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y
fracaso.
2. La probabilidad de éxito es constante, es decir, no varía de una prueba a
otra, se representa por p. La probabilidad de fracaso, también constante se
representa por q = 1 – p.
3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados
obtenidos anteriormente.
La distribución binomial se representa por B(n,p)
Cálculo de probabilidades de una distribución binomial :
Sea X una variable B(n,p).
n
PX  k    · p k ·q nk
k 
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Ejemplo
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el
80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a
la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leído la novela 2 personas?
n = 4, p = 0.8, q = 0.2 X= nº de personas que han leído la novela
X→B(4, 0.8)
2. ¿Y como máximo 2?
Parámetros de una distribución binomial

Media:

Varianza:

Desviación típica:
Ejemplo
La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un
cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos
defectuosos, la varianza y la desviación típica.
Para facilitar el cálculo, los valores de las probabilidades de una variable binomial B(n,p) se
encuentran tabulados. A continuación se explica el uso de la tabla:
6
7
8
4.3.
Distribución de Poisson.
Se define la variable aleatoria X como el número de sucesos que ocurren en
un
intervalo
continuo
de
tiempo,
longitud
o
espacio,
de
un
tamaño
determinado.
Sea λ el número medio de sucesos que ocurren en estos intervalos.
La variable aleatoria así definida sigue una distribución de Poisson de
parámetro λ. X→P(λ)
La función de probabilidad de una variable X que sigue una distribución de
Poisson es la siguiente:
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Se puede comprobar que


k 0
k o
k
 P  X  k    e   · k!  1
Donde:
λ = n * p (es decir, el número de veces " n " que se realiza el experimento
multiplicado por la probabilidad " p " de éxito en cada ensayo)
k es el número de éxito cuya probabilidad se está calculando .
Ejemplos:
1. Nº de leucocitos en una gota de sangre
2. Nº de veces que una planta de energía nuclear emite gases radiactivos en
un periodo de tres meses.
3. Número de bacterias nocivas por cada cm 3 de agua.
4.
Número de partículas radiactivas emitidas cada hora por una cierta
sustancia.
Aproximación
de
una
distribución
Binomial
a
una
distribución
de
Poisson:
Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un número "n"
muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es
reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson:
Se tiene que cumplir que: p<0,10 y que n·p<10.
Ejemplo 1:
La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se
viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cuá l es la probabilidad de tener 3
accidentes?
Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor
que 10, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.
Luego P (x = 3) = 0,0892
Ejemplo 2.
La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la
probabilidad de que entre 800 recien nacidos haya 5 pelirrojos?
Luego P (x = 5) = 4,602
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Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 pelirrojos entre 800 recien nacidos
es del 4,6%.
Ejemplo 3. (ejercicio propuesto)
La probabilidad de reacción negativa ante un fármaco de un individuo es 0.05.
Si hay 100 individuos, X: “nº individuos con reacción negativa”
Ejemplo 4. (ejercicio propuesto)
La probabilidad de que un individuo tenga un accidente es 0.01. Si hay 3500
individuos, X: “nº de accidentados”
Ejemplo 5. (ejercicio propuesto)
Se estima que sólo uno de cada 50 loro s capturados en la cuenca del
Amazonas, para su utilización como animales domésticos, sobrevive al
cambio. Se capturan 700 pájaros en un día, X: “nº de loros que sobreviven”
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