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Teorema de Pitágoras
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El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los
cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:
Este teorema fue propuesto por Pitágoras de Samos (582 adC - 496 adC), un filósofo y
matemático griego.
Tabla de contenidos
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1 Demostración
2 Corolario del Teorema de Pitágoras
3 El teorema de pitágoras en el espacio
o 3.1 Demostración
Triángulo rectángulo
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Un triángulo rectángulo es un triángulo en el que uno de sus tres ángulos es recto, es
decir, mide 90º o π/2 radianes. Este tipo de triángulo cumple el Teorema de Pitágoras.
Como muestra la figura adjunta, la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Por el
contrario, el cateto es cualquiera de los dos lados que forman el ángulo recto del
triángulo.
Pitágoras
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Moneda con la figura de Pitágoras
Pitágoras de Samos (en griego Πυθαγόρας ο Σάμιος) (h. 582/569 - h. 510/ 480 adC])
fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras.
Pitágoras, nació en la isla de Samos. Siendo muy joven viajó a Mesopotamia y Egipto
(también, fue enviado por su tío, Zoilo, a Militene a estudiar con Ferécides de Syros y
tal vez con su padre, Babydos de Syros). Tras regresar a Samos, finalizó sus estudios,
según Diogenes Laercio con Hermodamas de Samos y luego fundó su primera escuela
durante la tirania de Polícrates. Problemas políticos le obligaron a mudarse a Crotona,
en el sur de Italia, donde fundó su segunda escuela. Las doctrinas de este centro cultural
eran regidas por reglas muy estrictas de conducta. Su escuela (aunque rigurosamente
esotérica) estaba abierta a hombres y mujeres indistintamente, y la conducta
discriminatoria estaba prohibida(excepto hacia impartir conocimiento a los no
iniciados). Sus estudiantes pertenecían a todas las razas, religiones, y estratos
económicos y sociales. Tras ser expulsados por los pobladores de Crotona, los
pitagóricos se exiliaron a Tarento donde se fundo su tercera escuela.
Su escuela de pensamiento afirmaba que la estructura del universo era aritmética y
geométrica, a partir de lo cual las matemáticas se convirtieron en una disciplina
fundamental para toda investigación científica.
Poco se sabe de la niñez de Pitágoras. Todas las pistas de su aspecto físico
probablemente sean ficticias excepto la descripción de un marca de nacimiento
llamativa que Pitágoras tenía en su muslo. Es probable que tuviera dos hermanos
aunque algunas fuentes dicen que él tenía tres. Era ciertamente instruído, aprendiendo a
tocar la lyra, poesía y a recitar Homero. Había tres filósofos, entre sus profesores, que
debieron de haber influenciado a Pitágoras en su juventud.
Pitágoras pasa por ser el introductor de pesos y medidas, descubridor de la teoría
musical; en hablar de "teoría" y de "filósofos", en postular el vacío, en canalizar el
fervor religioso en fervor intelectual, en usar la definición, en considerar que el universo
era una obra sólo descifrable por medios matemáticos fueron los pitagóricos los
primeros en sostener la forma esférica de la tierra.
Demostración
Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el
área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y
lado b.
Si añadimos tres iguales al original alrededor del cuadrado de lado c formando la figura
mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado. En efecto, si la figura central de lado c
primeramente dibujada es un cuadrado, sus lados formarán ángulos rectos, entonces, si
giramos el triángulo original 90º alrededor del centro del cuadrado, vendrá a ocupar una
posición perpendicular a la original, de modo tal que el lado a será colineal al lado b y
viceversa, formándose un cuadrado de lado a + b.
El área de este cuadrado puede expresarse de dos maneras:

El cuadrado del
lado:

Suma del cuadrado
original y los
triángulos
añadidos:
Igualando ambas expresiones:
y simplificando:
Corolario del Teorema de Pitágoras
Números impares
Sea un número x impar, entonces los números correspondientes al trio pitagórico
asociados a este número son:
a: x
b:
c:
La demostración de las expresiones anteriores corresponde al desarrollo de la siguiente
igualdad:
Números pares
Sea un número y par, entonces los número correspondientes al trio pitagórico asociados
a este número son:
a: y
b:
c:
La demostración de las expresiones anteriores corresponde al desarrollo de la siguiente
igualdad:
El teorema de Pitágoras en el espacio
El teorema de pitágoras se puede aplicar también en un espacio tridimensional.
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Demostración
Para hallar la longitud de la diagonal D hallamos primero la longitud de la diagonal d:
Ahora tenemos un triángulo rectángulo de catetos b y d, e hipotenusa D. Ahora
utilizamos el teorema de pitágoras de nuevo para hallar la longitud de la hipotenusa.
El exponente 2 elimina Demostración
Para hallar la longitud de la diagonal D hallamos primero la longitud de la diagonal d:
Ahora tenemos un triángulo rectángulo de catetos b y d, e hipotenusa D. Ahora
utilizamos el teorema de pitágoras de nuevo para hallar la longitud de la hipotenusa.
El exponente 2 elimina la raiz cuadrada, quedando:
la raiz cuadrada, quedando:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
El teorema de Pitágoras
En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:
o
o
Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo
recto, es decir de 90º.
En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre
de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
Teorema de Pitágoras.-En un triángulo
rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de los catetos.
Demostración:
Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado
del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo
que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como
en la figura de la derecha.
El área de este cuadrado será (b+c)2.
Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que
salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es
la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de
los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por
2):
más el área del cuadrado amarillo . Es decir, el área del cuadrado
grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del
triángulo:
Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande
y tenemos:
si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:
que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:
http://centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/Pitagoras/Teorema.htm
El Teorema de Pitágoras
Pitágoras de Samos fue un filósofo griego que vivió
alrededor del año 530 a.C., residiendo la mayor parte de
su vida en la colonia griega de Crotona, en el sur de
Italia. De acuerdo con la tradición fue el primero en
probar la afirmación (teorema) que hoy lleva su
nombre:
Si un triángulo tiene lados de longitud (a,b,c), con los
lados (a,b) formando un ángulo de 90 grados
("ángulo recto"), tenemos que
a2 + b2 = c2
Un ángulo recto se puede definir como el ángulo
formado cuando dos líneas rectas se cruzan de tal forma
que los cuatro ángulos que forman son
iguales. El teorema también se puede
definir de otra forma: si las longitudes
de los tres lados (a,b,c) de un triángulo
satisfacen la relación anterior, el ángulo
entre los lados a y b debe ser de 90
grados.
Por ejemplo, un triángulo con los lados a
= 3, b = 4, c = 5 (pulgadas, pies, metros,... lo que sea) es
rectángulo porque
a2 + b2 = 32 + 42
= 9 + 16 = 25 = c2
Los maestros de obras del antiguo Egipto pudieron
conocer el triángulo (3,4,5) y usarlo (mediante cañas o
cuerdas calibradas) para construir ángulos rectos; aún
hoy en día los albañiles usan tableros con clavos con
esas longitudes que les ayudan a alinear una esquina.
Existen muchas pruebas, y las más fáciles son
probablemente las que están basadas en el álgebra,
usando las igualdades elementales presentadas en la
sección precedente, a saber
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(recuerde que 2ab significa 2 veces a veces b). Por
ejemplo
152 = (10 + 5)2
= 102 + (2)(10)(5) + 52
= 100 + 100 + 25 = 225
y
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2
Por ejemplo:
52 = (10 - 5)2
= 102 - (2)(10)(5) + 52
= 100 - 100 + 25 = 25
También es necesario conocer algunas áreas simples: el
área de un rectángulo es (longitud) por (altura), de tal
forma que el área del presentado arriba es ab. Una
diagonal lo divide en dos triángulos rectángulos siendo
los lados cortos a y b, y el área de ese triángulo es, por
consiguiente, (1/2) ab.
Vea el cuadrado de la izquierda construido por cuatro
triángulos (a,b,c). la longitud de cada lado es (a+b) y,
por lo tanto, el cuadrado tiene un área de (a+b)2.
No obstante, el cuadrado se puede a su vez dividir en
cuatro triángulos (a,b,c) más un cuadrado de lado c en el
centro (en rigor, también debemos de probar que es un
cuadrado, pero nos saltaremos esto). El área de cada
triángulo, como se mostró anteriormente, es (1/2)ab, y el
área del cuadrado es c2. Como el cuadrado grande es
igual a la suma de todas sus partes
(a + b) 2 = (4)(1/2)(a)(b) + c2
Usando la igualdad para (a + b)2 y multiplicando
(4)(1/2) = 2
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
Reste 2ab de ambos lados y obtendrá
a2 + b2 = c2
Se puede mostrar el mismo resultado usando un
cuadrado diferente, de área c2. Como muestra el dibujo
de la derecha, esa área puede dividirse en cuatro
triángulos como los anteriores, más un pequeño
cuadrado de lado (a-b). Obtenemos
c2 = (4)(1/2)(a)(b) + (a-b) 2
= 2ab + (a2 - 2ab + b2)
= a2 + b2 Q.E.D.
Q.E.D. simboliza "quod erat demonstrandum," en latín
"lo que queda demostrado," que en los libros de
geometría, tradicionalmente, marcaban el final de una
demostración.
.
La importancia del trabajo de
Pitágoras y de los siguientes
maestros de geometría griegos,
especialmente Euclides, no fue solo
lo que probaron, sino el método que
desarrollaron:
comenzar
desde
algunas
afirmaciones
básicas
("axiomas") y deducir mediante la
lógica sus consecuencias más
complicadas
("teoremas").
Los
matemáticos aún siguen ese modelo
http://www.phy6.org/stargaze/Mpyth.htm
Identidad trigonométrica
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En matemática, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran
funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor de las variables que se
consideren (es decir para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que
se aplican las funciones).
Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen
funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales de
funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función
trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades
trigonométricas.
Notación: Definimos cos², sen², etc; tales que sen²α es (sen (α))².
Tabla de contenidos
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1 De las definiciones de las funciones
trigonométricas
2 Teoremas de la suma y diferencia de ángulos
3 Identidades del Ángulo Doble
4 Identidades del Ángulo Múltiple
5 Identidades para la Reducción de Exponentes
6 Identidades del Medio Ángulo
7 Pasaje de Producto a Suma
8 Pasaje de Suma a Producto
9 Eliminar seno y coseno
10 Funciones Trigonométricas Inversas
11 Fórmula de Euler
12 Teorema del seno
13 Teorema del coseno
De las definiciones de las funciones trigonométricas
Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica (tiene radio=1):
A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas
senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda
senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro
modo:
sin2(x) + cos2(x) = 1
Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones
permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para resolver problemas
introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las
restantes (sin tabla ni calculadora).
Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:
tan2(x) + 1 = sec2(x)
Calculando la recíproca de la expresión anterior:
cot2(x) + 1 = csc2(x)
Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:
y análogamente con las restantes.
Teoremas de la suma y diferencia de ángulos
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos
consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las
restantes de la recíproca correspondiente.
De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:
Para ángulos complementarios:
Para ángulos opuestos:
sin( − x) = − sin(x)
cos( − x) = cos(x)
tan( − x) = − tan(x)
csc( − x) = − csc(x)
sec( − x) = sec(x)
cot( − x) = − cot(x)
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Identidades del Ángulo Doble
Pueden obtenerse remplazandolo y por x (o sea sin(x + x) = sin(2x)) en las identidades
anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad
en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre
cuando n = 2.
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Identidades del Ángulo Múltiple
Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces
Fórmula de De Moivre:
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Identidades para la Reducción de Exponentes
Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).
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Identidades del Medio Ángulo
Reemplazando x/2 por x en las anteriores, es posible resolver cos(x/2) y sin(x/2).
Multiplicando tan(x/2) por 2cos(x/2) / ( 2cos(x/2)) y reemplazando sin(x/2) / cos(x/2)
por tan(x/2). El numerador es entonces sin(x) por la identidad del ángulo doble, y el
denominador es 2cos²(x/2) - 1 + 1 que es cos(x) + 1 por la identidad del ángulo doble.
La segunda identidad se obtiene multiplicando la primera por sin(x) / sin(x) y
simplificando mediante la identidad pitagórica.
Pasaje de Producto a Suma
Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.
Pasaje de Suma a Producto
Reemplazando x por (x + y) / 2 e y por (x – y) / 2 en las identidades de Producto a suma,
se tiene:
Eliminar seno y coseno
A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar
libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.
Funciones Trigonométricas Inversas
Fórmula de Euler
Teorema del seno
«Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»
Teorema del coseno
«El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos
el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido...»
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_trigonom%C3%A9trica"
sen(theta) = a / c
csc(theta) = 1 / sen(theta) = c / a
cos(theta) = b / c
sec(theta) = 1 / cos(theta) = c / b
tan(theta) = sen(theta) / cos(theta) = a / b cot(theta) = 1/ tan(theta) = b / a
Funciones trigonométricas elementales e Identidades trigonométricas.
Las funciones trigonométricas se construyen a partir del estudio de los triángulos
rectángulos, existiendo seis funciones elementales, tres de ellas consideradas como
primordiales básicas (funciones seno, coseno y tangente) y las otras como reciprocas de
las segundas (funciones cosecante, secante y cotangente).
Identifiquemos como distinguir los llamados catetos opuesto y adyacente, así
como la hipotenusa (propia de los triángulos rectángulos). La determinación de cuál es
el cateto opuesto y cuál el cateto adyacente, en ocasiones resulta un poco enredosa,
sobre todo para los estudiantes nuevos en el tema. Sin embargo, como veremos es
bastante sencillo. Se realiza la elección de un ángulo antes de pensar en catetos e
hipotenusa, por ejemplo elijamos en el triángulo rectángulo anterior el ángulo  ,
coloreado por rojo, para dicho triángulo el cateto opuesto será el lado que se encuentra
enfrente de la letra griega  , que en este caso es la letra A, la hipotenusa será siempre
el lado que se encuentra enfrente del ángulo recto, en este caso denotado por la letra C,
por último el lado que resta será el cateto adyacente, en este caso el lado denotado por la
letra B.
Si por el contrario hacemos la elección del ángulo  . El cateto opuesto será
precisamente el lado opuesto o enfrente de dicho ángulo en este caso el lado denotado
con la letra B; la hipotenusa, como ya mencionamos, será siempre el lado que se
encuentra enfrente del ángulo recto, en este caso denotado por la letra C; y el cateto
adyacente será el lado restante, denotado por la letra A.
El otro día me ocurrió una cosa curiosa. Tenía que calcular, en un programa, el ángulo de
una componente de un vector, y el lenguaje de programación que estaba usando no tiene
arcocoseno, sólo arcotangente. Traté de buscar en libros, apuntes, en Internet, de hablar
con otras personas, mas no encontré respuesta. Si lo pienso bien, en mi vida he visto una
identidad con funciones trigonométricas inversas. Como tenía poco tiempo y el problema es
interesante, me dispuse a encontrar una equivalencia.
Sea R el módulo del vector, y C una componente cualquiera. Entonces, el ángulo de esa
componente con el eje cartesiano correspondiente puede hallarse mediante la fórmula:
Por otro lado, si se introduce la identidad:
y se escribe el coseno de x en función de t, queda:
Obsérvese que el lado derecho de cos x en (1) es una cantidad conocida. Si se iguala el lado
derecho de (1) con la expresión del coseno en función de t (ya que ambas representan el
coseno), puede despejarse t:
y sustituyendo ese valor de t en el despeje de x hecho en (1), queda:
que fue la fórmula que usé para calcular el ángulo. La identidad (1) la aprendí en
Matemáticas III; el desarrollo completo está en el libro de Piskunov.
Observarán que esta página tiene muchos GIFs para poner las ecuaciones. Como este es un
dolor de cabeza común, el W3C está desarrollando una extensión para HTML que permita
incluir ecuaciones directamente en la página. Pude haber insertado estas etiquetas con
Amaya, pero los browsers todavía no las han adaptado del todo. Para más información al
respecto visite