Download Momento para Aprender A B AB se llama segmento, B La figura

Momento para Aprender
A
B
AB se llama segmento,
La figura representa una semirrecta o rayo
B
Un ángulo es la abertura formada por dos rayos (o semirrectas) que tienen un
extremo común. Cada uno de los rayos (A y B) se denomina lado del ángulo y
el extremo común (O), se conoce como vértice del ángulo.
A
O
B
Se denota el ángulo por AOB ó BOA
Relaciones entre ángulos
- Ángulos Congruentes: Se dice que dos ángulos son congruentes si tienen la
misma medida.
- Ángulos Complementarios: se dice que dos ángulos son complementarios si
la suma de sus medidas es 90º.
- Ángulos Suplementarios: se dice que dos ángulos son suplementarios si la
suma de sus medidas es 180º
- Ángulos Adyacentes: dos ángulos son adyacentes si tienen un lado común y
los otros dos lados pertenecen a la misma recta.
Si dos rectas L1 y L2 no tienen ningún punto en común, se dice que son
paralelas (L1 ll L2)
Si dos rectas L3 y L4 se interceptan formando cuatro ángulos rectos, se dice
que son perpendiculares.
L2
L3
L1
L4
Cuando dos rectas son intersecadas por una línea transversal, que llamaremos
secante, se forman 8 ángulos así:
2
1
4
3
5
6
7
8
Los ángulos de la figura se denominan:
Ángulos alternos externos: 1 y 8 y 2 y 7.
Ángulos alternos internos: 3 y 6 y 4 y 5.
Ángulos correspondientes: 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7 y 4 y 8
Ángulos opuestos por el vértice: 1 y 4, 2 y 3, 5 y 8 y 6 y 7.
Si las rectas L y M son paralelas, los pares de ángulos relacionados son
iguales.
TRIÁNGULOS
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º
B
Ángulo A + Ángulo B + Ángulo C = 180º
A






C
En un triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las
medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.
La base de un triángulo es cualquiera de sus lados.
Se denomina altura de un triángulo a cada una de las rectas que pasa
por un vértice y es perpendicular al lado opuesto, o a su prolongación.
Se denomina mediana de un triángulo a cada una de las rectas que
pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto.
Se denomina mediatriz de un triángulo a cada una de las rectas
perpendiculares que pasa por el punto medio de cada lado.
Se denomina bisectriz de un triángulo a cada una de las rectas que
divide sus ángulos en dos ángulos congruentes.
Ejemplo: Determinar los valores de x y y
B
30
0
55º
y
x
A
40º
D
C
El ángulo ADB es un ángulo exterior del triángulo BDC. Luego su medida x es
igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él, es
decir, x = 30º + 40º = 70º. Como el ángulo y es externo al triángulo AB,
entonces y es igual a x + 55º = 70º + 55º = 125º
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Los triángulos ABC y DEF son semejantes
C
F
E
A
B
G
Sí el ángulo A es congruente con el ángulo E, el ángulo B es congruente
con el
ángulo F, el ángulo C es congruente con el ángulo G y
𝐴𝐵
𝐴𝐶
𝐵𝐶
=
=
𝐸𝐺
𝐸𝐹
𝐹𝐺
Es decir, dos triángulos son semejantes si sus ángulos interiores son
congruentes y los lados correspondientes son proporcionales. Llamamos lados
correspondientes en dos triángulos semejantes a aquellos que se oponen a
ángulos congruentes. Dos triángulos semejantes tienen la misma forma pero no
necesariamente el mismo tamaño.
TEOREMA DE TALES
Toda recta paralela a un lado de un triángulo y que intercepta los otros dos
lados, determina un segundo triángulo semejante al primero.
B
G
A
E
C
AB es paralela a EG, luego el triángulo ABC ~ al triángulo CEG
Criterios de Semejanza de Triángulos

Ángulo – Ángulo (A – A): Dos triángulos son semejantes si dos ángulos
de uno de los triángulos son congruentes con dos ángulos del otro
triángulo.


Lado – Ángulo – Lado (L-A-L): Dos lados en uno de los triángulos son
respectivamente proporcionales con dos lados del otro y los ángulos
comprendidos entre ellos, son congruentes.
Lado – Lado – Lado (L-L-L): Los tres lados de uno de los triángulos son,
respectivamente, proporcionales con los tres lados del otro triángulo
Dos triángulos congruentes, son semejantes.
Ejemplo
Los segmentos AB y DE son paralelos, Si las longitudes de AB, BC y CD son
18, 12 y 10 respectivamente, calcule el valor de x.
E
X
B
C
D
A
El ángulo BCA es congruente con el ángulo DCE por opuestos por el vértice y
el ángulo BAC e congruente con el ángulo CED, por ser alternos internos,
luego los otros dos pares de ángulos también son congruentes. Por lo tanto los
triángulos son semejantes y los lados correspondientes son proporcionales
𝐵𝐶
𝐶𝐷
=
𝐴𝐵
𝑋
Luego x =
𝐴𝐵 𝐶𝐷
𝐵𝐶
x=
18.10
12
= 15
Teorema de Desigualdad Triangular
En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre
mayor a la longitud del lado restante
c
b
a
a +b < c
a+c<b
b+c<a
Para tener en cuenta: si dos figuras A y B son semejantes, el cociente entre
sus áreas el cuadrado de la razón de semejanza y el cociente entre sus
perímetros es igual a la razón de semejanza entre ambas figuras.
Momento para Aplicar
1. Dibujar los siguientes ángulos cuyas medidas son:
36, 210, 300 y 100º
2. Se tienen los ángulos AOB, BOC con AOB, = 35º. Dibujar ambos
ángulos y hallar la medida del ángulo BOC, si ellos son:
a. Complementarios
b. Suplementarios
c. Congruentes
3. Si las rectas L1 y L2 son perpendiculares, hallar la medida del ángulo x
40º
º
x
4. Los siguientes pares de triángulos, son semejantes, determinar los
valores de x.
35
x-1
x
x-5
4
6
20
2
5. En un triángulo rectángulo, la relación entre los catetos es ¾. Hallar el
perímetro de otro triángulo semejante en el que el cateto menor mide
54cm.
3
x
54
4
Calcular el perímetro del triángulo cuya base coincide con la base mayor del
trapecio que se obtiene al prolongar los lados no paralelos hasta que se
corten.
5
5
8
10
6. Sabiendo que los triángulos ADE y BCE son rectángulos en E, que AE =
EB y CE = DE, encontrar los valores de x y y
C
E
A
B
D
Valores de los ángulos
A = 4y, D = 3y + 6, B = x
C=x–6
7. En cierto momento del día, una torre vertical produce una sombra que
mide 150m. En ese mismo instante y lugar, una vara vertical de 80cm
produce una sombra de 120cm. ¿cuál es la altura de la torre?
Bibliografía
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/t/tales.htm
Arbeláez P. Hugo Javier y otros. PRECÁLCULO Guías de clase para 90
lecciones. Escuela de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, sede
Medellín. 2013