Download rectas, semirrectas y segmentos

COLEGIO UNIVERSITARIO SOCORRO
ÁREA DE MATEMÁTICAS
NOVENO GRADO
PROFESOR: ESP. MANUEL GÓMEZ CARREÑO
RECTAS, SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS
Podemos conceptualizar diciendo que una recta es un conjunto de puntos que están en una misma dirección y que
se extiende infinitamente en dos direcciones.
Recta que pasa por los puntos A y B
B
ℓ
La recta AB de la izquierda se puede nombrar de alguna de las
siguientes formas:
⃡𝐴𝐵
⃡
ℓ
A
Todo punto en la recta la divide en dos semirrectas. El punto es llamado origen de las semirrectas.
Semirrecta con origen O y que pasa por A
La semirrecta OA de la izquierda se puede nombrar de alguna de las
siguiente forma:
𝑂𝐴
La porción de recta comprendida entre dos de sus puntos se denomina segmento.
Segmento entre los puntos A y B
El segmento AB de la izquierda se puede nombrar de alguna de las
siguientes formas:
̅̅̅̅
𝐴𝐵
a
Segmento a
̅̅̅̅).
Los segmentos se pueden medir. La medida de un segmento ̅̅̅̅
𝐴𝐵 se denomina longitud de ̅̅̅̅
𝐴𝐵 y se nota 𝑚(𝐴𝐵
ÁNGULOS
Un ángulo es una porción de plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen
Ángulo cuyo vértice es A y sus lados son El ángulo de la izquierda se puede nombrar de alguna de las
siguientes formas:
las semirrectas 𝐴𝐶 y 𝐴𝐵
Ángulo BAC o ángulo CAB (nótese que la letra asignada al vértice
va entre los otros dos)
Ángulo 𝛼 (α)
∡𝐵𝐴𝐶 o ∡𝐶𝐴𝐵
∡𝛼
Los ángulos se pueden medir. La medida del ángulo es su amplitud y se nota 𝑚(∡𝛼)
MEDICIÓN DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL
Uno de los sistemas más usados para medir ángulos es el sistema sexagesimal en el cual la unidad fundamental es
el grado que corresponde a 1/360 de una vuelta. El símbolo de grados es °.
Cada grado se divide en 60 partes llamadas minutos. El símbolo
de minutos es ’. Ejemplo: 20 minutos se representa 20’.
Cada minuto se divide en 60 partes llamadas segundos. El
símbolo de segundos es”. Ejemplo: 35 segundos se representan
por 30”.
Para medir ángulos se utiliza el transportador de la forma como
se muestra en la figura.
Vértice
Un lado
EJERCICIO 1
1) Mida las longitudes de los segmentos y exprese su medida en cm, mm y m.
El perímetro P de una figura es la longitud del contorno de la misma. En el caso de un polígono, el perímetro es
la suma de las longitudes de los lados
2) Halle, en cm y en mm los perímetros de los siguientes polígonos:
3) Consulte sobre las dimensiones máximas reglamentarias de una cancha de fútbol para partidos internacionales
y halle su perímetro. Haga un dibujo en el que cada cm represente 15 m.
4) Consulte sobre las dimensiones mínimas reglamentarias de una cancha de basquetbol y halle su perímetro,
Haga un dibujo en el que cada cm represente 5 m.
5) Un helicóptero partió de una ciudad A y recorrió 30 km en dirección norte hasta una ciudad B. Desde B voló
40 km hacia el este hasta una ciudad C y, finalmente, regresó directamente hasta A recorriendo 50 km. Haga
un gráfico del recorrido de la nave de tal manera que cada cm del dibujo represente 10 km de recorrido. ¿Cuál
es la distancia total recorrida por el aparato?
6) Para cada polígono se da el perímetro y una relación algebraica entre las medidas de los lados. Halle las
medidas de cada lado. ¿Cómo se llama cada polígono?
7) Utilice el transportador para medir los siguientes ángulos:
8) Para cada triángulo halle las medidas de los ángulos y súmelas.
De acuerdo con los resultados obtenidos, se puede conjeturar que “la suma de los ángulos interiores de todo
triángulo es __________”
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
ÁNGULO RECTO: mide 90°
ÁNGULO AGUDO: Mide menos ÁNGULO OBTUSO: mide entre
de 90°
90° y 180°
ÁNGULO CÓNCAVO: Es mayor ÁNGULO CONVEXO: Es menor ÁNGULOS
ADYACENTES:
de 180°
de 180°
Tienen un lado común y su suma es
180°
ÁNGULOS
COMPLEMENTARIOS:
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS:
OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Dos ángulos son complementarios
Dos ángulos son complementarios cuando su suma es 180°
cuando su suma es 90°
Si α + θ = 180° entonces α es el
Si α + θ = 90° entonces α es el suplemento de θ y θ es el
complemento de θ y θ es el suplemento de α
complemento de α
α y β son opuestos por el vértice.
θ y ϕ son opuestos por el vértice.
Los ángulos opuestos por el vértice
son iguales
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO
RECTAS PARALELAS
RECTAS PERPENDICULARES
Dos o más rectas son paralelas si
tienen la misma dirección
Dos rectas son perpendiculares si se Dos rectas son oblicuas si se
intersectan
formando
ángulos intersectan pero no forman ángulos
rectos.
rectos.
⃡𝐴𝐵 ∥ ⃡𝐶𝐷
⃡𝐴𝐵 ⊥ ⃡𝐴𝐶
RECTAS OBLICUAS
PROPIEDADES DEL PARALELISMO DE RECTAS (ver figura de la derecha)
1) Propiedad reflexiva: toda recta es paralela a ella misma.
⃡𝐴𝐵 ∥ ⃡𝐴𝐵,
⃡𝐶𝐸 ∥ ⃡𝐶𝐸
2) Propiedad simétrica: si una recta es paralela a otra, entonces, la segunda es
paralela a la primera.
Si ⃡𝐴𝐵 ∥ ⃡𝐶𝐸 , entonces, ⃡𝐶𝐸 ∥ ⃡𝐴𝐵
3) Propiedad transitiva: si una recta es paralela a otra y esta a su vez a una tercera,
entonces la primera es paralela a la primera.
⃡ ∥ 𝐶𝐸
⃡ 𝑦 𝐶𝐸
⃡ ∥ 𝐷𝐹
⃡ ∥ 𝐷𝐹
⃡ , entonces, 𝐴𝐵
⃡
Si 𝐴𝐵
PROPIEDADES DEL
PARALELISMO
PROPIEDADES DE LA PERPENDICULARIDAD (ver figura de la derecha)
1) Propiedad antirreflexiva: ninguna recta es perpendicular a sí misma.
⃡ no es perpendicular a 𝐴𝐵
⃡
𝐴𝐵
2) Propiedad simétrica: si una recta es perpendicular a otra, la segunda es
perpendicular a la primera.
⃡ ⊥ 𝐴𝐹
⃡ , entonces, 𝐴𝐹
⃡ ⊥ 𝐴𝐵
⃡
Si 𝐴𝐵
3) Cualquier par de líneas que son perpendiculares a una tercera línea son paralelas
entre sí.
⃡ ⊥ 𝐴𝐹
⃡ 𝑦 𝐹𝐶
⃡ ⊥ 𝐴𝐹
⃡ , entonces, 𝐴𝐵
⃡ ∥ 𝐹𝐶
⃡
Si 𝐴𝐵
PROPIEDADES DE LA
PERPENDICULARIDAD
TRAZADO DE PARALELAS Y PERPENDICULARES CON ESCUADRA Y CARTABÓN
En el trabajo con geometría es indispensable el manejo de dos escuadras. La escuadra de 45° o escuadra
propiamente dicha y la escuadra de 30°, también llamada cartabón.
Para el trazado de rectas paralelas y perpendiculares con la escuadra y el cartabón recomiendo ver el vídeo que
está en la dirección https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=Sl9URgFUgrw, el cual
complementa la parte derecha de la figura siguiente.
EJERCICIO 2
1) Utilice el transportador para dibujar ángulos que midan 75°, 135°, 210° y clasifíquelos.
2) Halle el complemento de:
a) 30°
b) 25° 10’
c) 37° 45’ 16”
d) 65° 25’ 12”
b) 25° 10’
c) 37° 45’ 16”
d) 65° 25’ 12”
3) Halle el suplemento de:
a) 30°
e) 130°
f) 115°22’
g) 110°20’15”
h) 132°45’50”
4) El mapa de la derecha muestra una parte de una
ciudad. Sobre la línea indique si las calles
mencionadas son paralelas, perpendiculares u
oblicuas.
a) La transversal 1 es ______________a la
transversal 2
y
27
son
c) La carrera 13 es ___________________a la
calle 27
Carrera 12
Calle 27
26
Carrera 12 A
Calle 25
d) La transversal 1 es __________________a
la calle 26
e) La carrera 12 es __________________a la
calle 25
Calle 26
b) Las calles 25,
________________
Carrera 13
f) La calle 27 es ___________________a la
transversal 2
g) La carrera 12 es ___________________a la carrera 12A.
5) En cada figura halle los valores de los ángulos desconocidos.
a)
c)
128°25’
36°15’
65°35’
b)
6) Utilice la escuadra y el cartabón para dibujar en un formato A4 cuatro cuadrados de 6 cm de lado y decórelos
de forma similar a la muestra dada en las siguientes figuras.
7) Consultar:
a) ¿Qué es la mediatriz de un segmento y cómo se traza?
b) ¿Qué es la bisectriz de un ángulo y cómo se traza?