Download PROBABILIDAD INTRODUCCION 1

FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES.
AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL
PERIODO ACADEMICO: I-2011
PRUEBA DE HIPOTESIS
NOMBRE:
GRADO
COD:
FECHA
1. INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD.
Es el estudio de experimentos o fenómenos aleatorios o de libre
determinación o de libre ocurrencia.
Históricamente, la Teoría de la probabilidad comenzó con el estudio
de los juegos de azar, tales como dados, cartas, ruletas y otros, para
un determinación de cómo serian sus resultados para ganar o perder.
La probabilidad de un evento A se define:
#𝐴
P(A) =
#𝑆
1. ESPACIO MUESTRAL: Regularmente se representa con una letra
mayúscula S, pero de igual manera usted puede utilizar otra
diferente.
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento o un fenómeno.
Ej. Se lanza un dado y se analiza su resultado: Observamos que el
dado puede caer en 1, 2, 3, 4, 5, o 6., por lo tanto el espacio
muestral será:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. EVENTO: Un evento es un conjunto de resultados posibles del
fenómeno a analizar. Es un subconjunto del espacio muestral.
Dado el evento de que el dado pueda caer en una cifra par,
entonces los posibles resultados en que puede caer el dado
serán: dos, cuatro y seis, por lo tanto el evento será:
A = { 2, 4, 6 }
La combinación de los eventos se puede dar para formar nuevos
eventos:
1. A U B si y solo si A o B suceden o ambos.
2. A ∩ B si y solo si A Y B suceden simultáneamente.
3. Ac Complemento de A, si y solo si A no sucede.
3. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: Se llaman mutuamente
exclusivos, si son disyuntos, ósea que la intersección de los
conjuntos sea vacía. A ∩ B = φ ( No pueden suceder
simultáneamente )
Ejemplo No 1: Se S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } un espacio muestral, de las
posibilidades de salir un numero al ser lanzado un dado y los eventos
A = {2, 4, 6} de salir un numero par. B = {1, 3, 5} de salir un número
impar. C = {2, 3, 5}
A ∩ B = φ, Observamos que no hay elementos comunes, por lo tanto
los eventos son mutuamente exclusivos.
Determinando la probabilidad de cada uno de los eventos.
#𝐴
3
P(A) =
= = 0.5 o equivalente a un 50%
#𝑆
P(B) =
P(A) =
P(S) =
#𝐵
#𝑆
#𝐶
#𝑆
#𝑆
#𝑆
6
=
=
#𝐶
= 0.5 o equivalente a un 50%
6
3
= 0.5 o equivalente a un 50%
6
6
= 1 o equivalente a un 100%
3
P(C) =
= = 0.5 o equivalente a un 50%
#𝑆
6
Formando nuevos eventos con la combinación de los eventos
anteriores A, B y C:
A U B = { 2, 4, 6, 1, 3, 5}
A U C = { 2, 4, 6, 3, 5 }
B ∩ C = { 3, 5 }
CC = { 1, 4, 6 }
Las probabilidades de los nuevos eventos serán:
#(𝐴𝑈𝐵)
6
P(AUB) =
= = 1 o equivalente a un 100%
P(AUC) =
P(Cc) =
#𝑆
6
#(𝐴𝑈𝐶)
5
=
#𝑆
P(B∩C) =
#𝐶
#𝑆
#Cc
#𝑆
2
=
=
Calculado:
A U B = { 0, 1, 2, 4, 6, 8, 3, 5 }
A ∩ B = { 1, 2, 4 }
Ac = { 3, 5, 7, 9 }
Bc = { 0, 6, 7, 8, 9 }
A – B = { 0, 6, 8 }
B – A = { 3, 5 }
Los cardinales de cada uno de los conjuntos:
#A = 6, #B = 5, #(AUB) = 8, #(A∩B) = 3, #(Ac) = 4,
#(A-B) = 3 #(B-A) = 2.
Calculando las probabilidades.
#𝐴
6
3
P(A) =
=
= = 0.6 equivalente en porcentaje 60%
#𝑆
P(B) =
#𝐵
#𝑆
P(AUB) =
6
3
6
6
= 0.83 o equivalente a un 83%
= 0.33 o equivalente a un 33%
= 0.5 o equivalente a un 50%
2. AXIOMAS DE PROBABILIDAD.
Si consideramos el espacio muestral S y los eventos A y B, cuyas
funciones de probabilidad son P(S) probabilidad de S. P(A) probabilidad
del evento A. P(Cc) probabilidad del evento Cc. Se cumplen los
siguientes axiomas:
P1 Para todo evento A, se cumple que 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(B-A) =
P(AC) =
10
=
5
10
#(𝐴𝑈𝐵)
#𝑆
P(A∩B) =
P(A-B) =
3
6
=
P2 P(S) = 1
P3 Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces se cumple
que
P(AUB) = P(A) + P(B) .
Para el ejemplo No 1, observamos que:
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1. Observamos que el valor de cada una de las
probabilidades es menor que 1 y mayor que 0.
2. P(S) = 1. Se ve fácilmente que la probabilidad del espacio
muestral S es 1.
3. P (AUB) = P(A) + P (B). La probabilidad de cada evento es P(A) = 0.5
P(B) = 0.5 y la probabilidad de P(AUB) = 1.0
3. TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD.
Estos teoremas se deducen de los axiomas:
T1. La probabilidad del conjunto vacio es 0. P(𝜙) = 0
T2. Si Ac es el complemento del evento A, entonces P(Ac) = 1 - P(A)
T3. Si A c B, entonces P(A) ≤ P(B)
T4. Si a y b son dos eventos, entonces P(A-B) = P(A) - P(A∩B)
T5. Si A y B son dos eventos, entonces P (AUB) = P(A) + P (B) + P(A∩B)
EJEMPLO No2: Sea S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, el espacio muestral
de los resultados del fenómeno dado y los eventos A = {0, 1, 2, 4, 6, 8}
y B = {1, 2, 3, 4, 5}.
La grafica del conjunto será:
U
A
B
0
1
3
6
2
4
5
8
9
7
#(𝐴∩𝐵)
#𝑆
#(𝐴−𝐵)
#𝑆
#(𝐵−𝐴)
#𝑆
#(𝐴𝑐 )
#𝑆
#(𝐵𝑐 )
=
#(Bc) = 5
5
1
=
= 0.5 equivalente en porcentaje 50%
2
8
=
=
10
3
=
10
3
=
10
2
=
10
4
10
5
4
5
= 0.8 equivalente en porcentaje 80%
= 0.30 equivalente en porcentaje 30%
= 0.30 equivalente en porcentaje 30%
= 0.20 equivalente en porcentaje 20%
= 0.40 equivalente en porcentaje 40%
P(𝐵𝑐 ) =
=
= 0.50 equivalente en porcentaje 50%
#𝑆
10
Si aplicamos los teoremas obtenemos:
T2. P(AC) = 1 - P(A) = 1 - 0.60 = 0.40
T2. P(BC) = 1 - P(B) = 1 - 0.50 = 0.50
T4. P(A-B) = P(A) - P(A∩B) = 0.60 - 0.30 = 0.30
T5. P(B-A) = P(B) - P(B∩A) = 0.50 - 0.30 = 0.20
T6. P (AUB) = P(A) + P (B) + P(A∩B) = 0.60 + 0.50 - 0.30 = 0.80
T6. P (AUB) = P(A-B) + P (B-A) + P(A∩B) = 0.30 + 0.20 + 0.30 = 0.80
4. ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD.
Sea un espacio muestral finito tal que S = { a1, a2, a3, ……. an }la
probabilidad del espacio muestral será la suma de las probabilidades
parciales e igual a 1.
P(S) = P(a1) + P(a2) + P(a3) + ……………… + P(an) = 1
EJEMPLO No 3. Lanzamos cuatro monedas una a una y observamos
los números de sellos que pueden salir en cada lanzamiento.
El espacio muestral seria así:
1. Que no salga ningún sello. 0S
CCCC
2. Que salga un sello y tres caras. 1S
SCCC, CSCC, CCSC, CCCS.
3. Que salgan dos sellos y dos caras. 2S.
SSCC, CSSC, CCSS, SCSC, CSCS, SCCS.
4. Que salgan tres sellos y 1 cara. 3S
SSSC, CSSS, SCSS, SSCS.
5.
Que salgan cuatro sellos y o caras. 4S
SSSS.
El conjunto S = { 0, 1, 2, 3, 4 } de los posibles resultados de caer las
monedas.
Observamos que existen 16 posibilidades de salir los resultados.
Si calculamos las siguientes probabilidades.
1. La probabilidad de que salgan 4 caras o no salga un sello.
1
P(0) = = 0.0625
16
2. La probabilidad de que salga un sello.
4
P(1) = = 0.25
16
3. La probabilidad de que salgan dos sellos.
6
3
P(2) = = = 0.375
16 8
4. Probabilidad de que salgan 3 sellos.
4
1
P(3) = = = 0.25
16 4
5. Probabilidad de que salgan 4 sellos.
1
P(4) = = 0.0625
16
P(S) = P(0) + P(0) + P(0) + P(0) + P(0)
=
1
16
+
1
4
+
3
8
1
+
+
4
1
16
=1
6.
P(C)
La probabilidad de que por lo menos salga un sello.
Los resultados son C = { 1S, 2S, 3S, 4S }
= P(1S) + P(2S) + P(3S) + P(4S)
=
1
4
+
3
8
1
+
4
1
+
16
=
15
16
7.
P(D)
Sea D el evento de que salgan todos sellos o todas caras.
Los resultados de D = { 4S, 4C }
= P(4C) + P(4S)
1
1
1
=
+
=
16
16
16
EJEMPLO No 4. Cuatro caballos A, P, S, Q, intervienen en una carrera.
Si A tiene el doble de probabilidades de ganar que P, y P el doble de
probabilidades de ganar que S, S el doble de probabilidades de ganar
que Q. Cuáles son las respectivas probabilidades de ganar cada uno
de los caballos.
Sea p la probabilidad de ganar el menos factible.
Q =p
S = 2Q = 2p
P = 2S = 2(2Q) = 4Q = 4p
A = 2P = 2(2S) = 2(2(2Q))) = 8Q = 8p
Como el valor total de una probabilidad de un espacio muestral debe
ser uno, entonces.
P(A) + P(P) + P(S) + P(Q) = 1
8p + 4p + 2p + p = 1
15p = 1
1
P =
15
Los valores de la probabilidad de ganar cada caballo es de:
1
8
P(A) = 8p = 8 x
=
15
1
P(P) = 4p = 4 x
15
1
P(S) = 2p = 2 x
15
P(Q) = 1p = 1 x
15
4
=
15
2
=
1
15
15
=
1
15
Cuál es la probabilidad de que A o P ganen la carrera.
El evento es F = { A, P }
P(F) = P(A) + P(P)
=
8
15
+
4
15
=
12
15
=
4
5
3
𝑠
EJEMPLO No 6. Selecciónese una carta al azar de una baraja Española
corriente de 52 cartas. Determínese la probabilidad de:
1. Que al sacar una carta sea una espada. Evento A
2. Que sea una figura, J, Q, K. Evento B
3. Hallar la P(A) - P(B) - P(AUB) - P(A∩B)
El evento A = {As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K }. Tenemos que son
13 cartas diferentes de espadas, de un total de 52 cartas de la baraja.
13
1
P(A) =
= = 0.25 = 25%
52
4
El evento B = {Que sea una figura}. Las figuras que se encuentran en
la baraja son:
ESPADAS: J Q K
COPAS: J Q K
OROS: J Q K
BASTOS: J Q K
El total de cartas son 12 posibles, de un total de 52 cartas.
12
3
P(B) =
=
= 0.2307 = 23.07%
52
13
A∩B = {Que la carta sea una Espada y Figura}. Son un total de 3 cartas
de 52 posibles.
3
P(A∩B) =
= 0.0576 = 5.76%
52
AUB = {Sea Espada o Figura}.
ESPADA: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K
OROS: J, Q, K
ESPADAS: J, Q, K
BASTOS: J, Q, K
Hay un total de 22 posibilidades de un total de 52 cartas.
22
11
P(AUB) =
=
= 0.4230 = 42.30%
52
= 0.80
4
La probabilidad de que A o P ganen es de o de 0.80, o también
5
equivale a decir que tienen el 80% de probabilidades de ganar, que es
equivalente a decir que tienen el 20% de probabilidades de perder.
EJEMPLO No 5. Se lanzan 2 dados al mismo instante, pero sin
identificarlos y se observan cada uno de los resultados.
El espacio muestral de los posibles resultados seria:
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 5) (5, 6)
(6, 6)
El total de posibilidades de caer los dados son S = 21
1. Cuál es la probabilidad de que la suma sea 6.
A = {La suma sea 6 } = { (1, 5), (2, 4), (3, 3) }
1
P(A) =
=
21
7
2. La probabilidad de B = { La suma sea 5 } = { (1, 4), (2, 3) }
2
P(B) =
21
3. La probabilidad C = {Salgan pares} Los números sea iguales.
C = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) }
6
2
P(C) =
=
21
7
4. La probabilidad D = { La suma sea impar }
D ={(1, 2),(1, 4),(1, 6),(2, 3),(2, 3), (3, 4), (3, 6), (4, 5), (5, 6)}
9
3
P(D) =
=
21
7
5. La probabilidad de E = { La suma sea 7 } = { (1, 6), (2, 5), (3, 4) }
3
1
P(E) =
=
21
7
6. La probabilidad de F = { La suma sea par }
7. La probabilidad de G = { Los dos dados sean números impares }
8. La probabilidad de H = {Uno de los dados sea un número impar }
EJERCICIO No 1.
Qué pasaría si los dados están identificados posiblemente con un
color, en el cual uno es verde y el otro es rojo.
1. Cuál sería el espacio muestral.
2. Probabilidad de que la suma sea 6.
3. Probabilidad de que la suma de los dados sea 5.
4. Probabilidad de que ambos sean iguales (pares o cenas).
5. Probabilidad de que la suma sea 7.
6. La probabilidad de que la suma de los dados sea par.
7. La probabilidad de que los dos dados sean números
impares.
8. La probabilidad de que uno de los dados sea un número
impar.
9. Compare los resultados y que concluye.
5. ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES.
Es un espacio muestral S finito de probabilidad, donde cada
punto muestral tiene la misma probabilidad.
𝑎
P(A) =
26
EJERCICIOS:
1. Sean 2 Boliches escogidos al azar de un grupo de 12, de los
cuales 4 de estos son o están en mal estado y sea:
A={Dos boliches en mal estado}
B={Dos boliches en buen estado}
1. El espacio muestral serán los posibles grupos de 2 boliches
que se pueden formar de los 12 posibles.
2. De los 4 boliches en mal estado se pueden formar grupos
de 2 boliches.
3. La probabilidad de A será: P(A) =
4. De los 8 boliches en buen estado se pueden formar grupos
de 2 boliches.
5. La probabilidad de B será: P(B) =
6. Probabilidad de que por lo menos un boliche este en mal
estado.
7. Probabilidad de que al menos 1 boliche este en mal estado.
EJERCICIOS:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Una moneda está cargada (aumentada de peso ) de modo que la
posibilidad de salir cara (C), sea el doble que la de salir el sello
(S). Hallar la probabilidad P(C) y P(S)
Sea un dado cargado tal que la probabilidad de salir un numero
cuando es lanzado el dado es proporcional a dicho numero (Por
ejemplo la probabilidad de salir 3 es la mitad de salir 6). Sea
A={Un numero par}
B={Numero primo}
C={Número impar}
D={Numero par y primo}
E={Número impar y primo}
Determínese la probabilidad p de cada uno de los siguientes
eventos finitos equiprobables.
1. Que salga un número par al lanzar un dado normal.
2. Que resulte un Rey al sacar una carta de una baraja
Española.
3. Que aparezca por lo menos un sello al lanzar tres monedas
normales.
4. Sacar un 4 en una baraja de póker.
5. Que resulte una figura al sacar una carta de una baraja de
Póker.
6. Que aparezca una bola blanca al sacar una sola bola de una
urna que contiene 4 blancas, 3 rojas y 5 bolas azules.
7. Sacar un As de una baraja Española, en un solo intento en
una carta.
Se sacan dos cartas al azar de una barja Española. Hallar la
probabilidad p de que:
1. Las dos cartas escogidas sean Espadas.
2. Las dos cartas escogidas al azar sean el mismo número.
3. Las dos cartas sean figuras.
4. La una sea Espada y la otra Bastos.
5. Las dos sean Ases.
6. Las dos sean Oros y Figuras.
De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de
ellas. Calcular la probabilidad de que:
1. Las dos Sean copas.
2. Al menos una sea copas.
3. Una sea copa y la otra espada.
Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las
chicas y la mitad de los chicos Han elegido francés como
asignatura optativa.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar
sea chico o estudio francés?
2. ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?
En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el
25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños.
Se escoge una persona al azar:
1. Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de
que tenga también ojos castaños?
2. Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no
tenga cabellos castaños?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos
castaños?
Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas,
salgan:
1. Dos caras.
2. Dos sellos.
3. Dos caras y un sello.
Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó
se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea
múltiplo de 4.
Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de
obtener las distintas caras son proporcionales a los números de
estas. Hallar:
1. La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
2. La probabilidad de conseguir un número impar en un
lanzamiento.
Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos
obtenidos. Se pide:
1. La probabilidad de que salga el 7.
2. La probabilidad de que el número obtenido sea par.
3. La probabilidad de que el número sea múltiplo de tres.
Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:
1. Salga 6 en todos.
2. Los puntos obtenidos sumen 7.
Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:
1. Un número par.
2. Un múltiplo de tres.
3. Mayor que cuatro.
4. Menor que 4.
5. Múltiplo de tres, en pares.
Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola
blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio
muestral cuando:
1. La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la
segunda.
2. La primera bola no se devuelve.
15. Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se
extrae una al azar de que:
1. Sea roja.
2. Sea verde.
3. Sea amarilla.
4. No sea roja.
5. No sea amarilla.
16. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen
dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la
probabilidad de:
1. Extraer las dos bolas Rojas con reemplazamiento.
2. Extraer las dos bolas Blancas con reemplazamiento.
3. Extraer una bola Roja y otra Blanca con reemplazamiento.
4. Extraer una bola Blanca y otra Roja con reemplazamiento.
17. Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la
probabilidad de extraer:
1. 4 ases.
2. 4 ases y un rey.
3. 3 cincos y 2 sotas.
4. Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.
5. 3 de un palo cualquiera y 2 de otro.
6. Al menos un as.
Simeón Cedano Rojas
Profesor de la materia
PROBABILIDAD INTRODUCCION