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TEORÍA
2007-2º Semestre
CEIE - UCSE
Cátedra de Electrotecnia
Ingeniería Electrónica
Ing. Raúl Vera
T5. RESOLUCIÓN SISTEMÁTICA DE CIRCUITOS
Se persigue establecer una palpable diferencia entre los métodos intuitivos elementales de resolución de circuitos ya
vistos, en favor de los métodos científicos, racionales y sistemáticos, presentados en esta unidad; con el fin de establecer una clara preeminencia de éstos últimos para su formulación y aplicación por parte de los ingenieros.
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Material de estudio: TEORÍA – T5. Resolución sistemática de circuitos
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Material de estudio: TEORÍA – T5. Resolución sistemática de circuitos
Versión 09.08.2017
RESOLUCIÓN SISTEMÁTICA DE CIRCUITOS
Ingeniería Electrónica - UCSE - Año académico 2007 - 2do. Semestre
Se persigue establecer una palpable diferencia entre los métodos intuitivos elementales de resolución de circuitos ya vistos, a favor de los métodos científicos, racionales y sistemáticos, presentados en esta unidad; con el
fin de establecer una clara preeminencia de éstos últimos para su formulación y aplicación automatizada por parte
de los futuros ingenieros.
Introducción
El conocimiento de los circuitos equivalentes en general, nos ha dado la posibilidad de acercarnos paulatinamente a la resolución
de circuitos eléctricos en sus planteos más comunes. Más tarde o más temprano, el profesional electrotécnico sentirá la necesidad
de establecer métodos de resolución más eficientes y sistemáticos, para el tratamiento de sus modelos matemáticos de resolución.
Una corta mirada hacia atrás, de los contenidos de las unidades teóricas de este curso, nos da la pauta de lo “mucho” que venimos
aprendiendo. Tales conocimientos sentarán las bases de lo que presentamos aquí en esta unidad, pero aplicados —esta vez— de
manera sistemática.
El objetivo de esta unidad, obviamente es la de establecer metodologías para simplificar el análisis de circuitos más complicados. Aprenderemos a formular criterios de selección de los métodos más adecuados según la topología circuital ideal que se presente a resolver. Con mucha frecuencia solo es necesario conocer en detalle el comportamiento matemático modelizado de solo
una parte de un grande y complicado circuito. Para estos casos disponemos de teoremas que nos permitirán concretar simplificaciones importantes de estos circuitos (Thévenin – Norton).
Lamentablemente existe una gran limitación para la generalización de estas metodologías. La topología circuital es la que impone
un tratamiento específico para determinadas formas circuitales que limita en gran medida la generalización de conclusiones. Sin
embargo, estudios más detallados de la geometría topológica, aplicada al tratamiento de las formas circuitales, nos permiten obtener generalizaciones muy útiles en los campos de aplicación de la ingeniería eléctrica. Este estudio no será atendido en nuestra
asignatura. Quizá sea de aplicación más específica para estudios de ingeniería eléctrica y no tanto para ingeniería electrónica,
aunque podría llegar a ser un tema controversial, en este sentido. Queda abierta la discusión.
Presentaremos los métodos aplicados a topologías circuitales típicas para conocer su tratamiento específico y luego extenderlas
a otras combinaciones posibles; para finalmente enunciar el método de aplicación paso a paso.
Los métodos que presentaremos en esta unidad son de gran poder de abstracción matemática y resolutivo, en particular el método
de las tensiones de nodos es quizá sea el más importante de ellos. Por eso es que lo presentamos en primer lugar. El que le sigue en importancia es el método de las corrientes de malla. Nótese por otro lado que ambos métodos son mutuamente duales.
¿Cuál aplicar entonces?, es lo que queremos averiguar a través de los análisis que vienen a continuación. Estas respuestas las
tendremos al final de esta unidad a la manera de conclusiones sobre ambos métodos.
Recordemos el tratamiento de dos circuitos vistos en unidades anteriores donde abordábamos la resolución intuitiva de éstos. Ellos
son el monomalla y en particular el monoparnodal. En aquélla oportunidad dijimos que los conocimientos que aprenderíamos nos
servirían para extenderlos en un estudio posterior. ¡Ahora es el momento de hacerlo!
Método de los Voltajes de Nodos (MVN)
Estamos aquí para concretar precisamente esa extensión, a un número n de nodos o a un número m de
mallas. El caso que ahora nos ocupa es el de nodos. Recordemos que en el circuito monoparnodal la única incógnita que se tenía era la única tensión que se desarrollaba en el único par de nodos existente en el
circuito.
Teníamos: una incógnita, una ecuación, en un solo par de nodos. Extendiéndolo para n nodos, tendremos
n-1 incógnitas y e ecuaciones, para resolverlo.
𝒆=𝒏−𝟏
Habrá por lo tanto n-1 voltajes (de nodos) desconocidos (incógnitas) y el mismo número n-1 de ecuaciones para resolverlos.
Por eficientes y sistemáticos que puedan llegar a ser los métodos de resolución, nunca podremos escapara
a la necesidad de un análisis particularizado a una determinada topología circuital. Es por ello que necesitamos estudiar circuitos –que por su topología– presentan características típicas básicas; es lo que veremos
en los siguientes ejemplos. Los vamos a desarrollar, cada uno, en 3 partes: A, B y C.
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Ejemplo 1: Circuito trinodal, solo con fuentes de corriente1
Parte A: Planteo de esquemas
El esquema del Circuito 1 de partida se ha dibujado mostrando solo
los datos de entrega. Debemos clarificarlo cuidando de escribir, indicar o dibujar lo mínimo necesario para su comprensión acabada.
A partir de aquí y comenzando en el Circuito 1 tendremos en cuenta los elementos que nos servirán para el análisis:











1
2
Se preferirá la aplicación de la notación simplificada para las magnitudes eléctricas. Esta notación busca: 1) el uso de valores sin escribir
la unidad (símbolo) que se asume por defecto, 2) la aplicación de la
notación científica para las cantidades (números) y 3) el símbolo de la
unidad se ubica en el lugar de la coma decimal.
Por ejemplo para las resistencias:
150 Ω = 150
1.800 Ω = 1,8 kΩ = 1k8
3.900.000 Ω = 3.900 k = 3M7
0,22 Ω = R22
Para las corrientes, tensiones o potencias:
50 A = 50
2,8 A = 2A8
-47 V = -47
220 mW = 0,22 W = ,22 = 220 x 10-3
Deben inspeccionarse las conexiones () en el Circuito 1 para identificar las que constituyen nodos (). Uno nodo puede estar constituido
por varias conexiones.
Se cuentan los n nodos y se los numera de cero a ene así: 0, 1, 2,
3… n siguiendo el SAR2. Tenemos aquí n=3 nodos identificados
como ,  y  incluyendo el dono de referencia, Circuito 2.
Se elije el nodo de referencia y se le asigna el número 0 (cero). Se
toma la precaución de seleccionar a aquél al que se conectan la mayor
cantidad de ramas. Esto permitirá reducir la complejidad de las ecuaciones. Al nodo de referencia se le asigna tensión 0 (cero) y no es incógnita, por lo que el número de ecuaciones y de incógnitas se reduce
a n-1.
El nodo de referencia se conoce en la práctica como la conexión de
retorno del circuito. También se suele llamar conexión ómnibus o
simplemente bus. Esta es la conexión donde se conecta la punta de
prueba común o polo negativo de los voltímetros. El polo positivo va
recorriendo los nodos para medir sus tensiones.
Se indican las tensiones incógnitas de los n–1 nodos llamados: v1,
v2, v3, … , vn-1. En este caso especial, en donde todas estas tensiones están medidas respecto del nodo de referencia no es necesario
indicar sus polaridades ya que se asumen todas positivas respecto
de éste. Pero ¡cuidado!, solo en este caso se puede prescindir de la
indicación de las polaridades.
Entonces vj – vi es la tensión común de las ramas que se encuentra
conectadas entre los nodos j e i, con el polo positivo sobre el nodo j.
Por ejemplo la tensión v2 – v1 es la tensión del nodo  respecto del
 con el polo positivo sobre el nodo ; y, si este valor resultara negativo, es porque su polaridad real es contraria a la convenida.
En un circuito con ramas en paralelo es mucho más cómodo trabajar
con conductancias G que con resistencias R y aplicar en ellas la Ley
de Ohm de conductancias: i = v.G. Así llegamos al esquema del Circuito 3. En este caso deben indicarse los valores y la unidad de conductancia que, en el SI de unidades es el Siemens [S].
Para evitar tener que dibujar conductores curvos para mostrar la existencia de un único nodo donde se conectan varias ramas, es preferible
ampliar las extensiones de la representación del único nodo. Llegamos
así al esquema del Circuito 4.
5Ω
2Ω
Ω
3,1 A
-1,4 A
A
1Ω
Circuito 1
v1
 +
v2
5
+ 
-1A4
2
1
3A1
 v0=0
Circuito 2
v1
v2
0,2 S
-1A4
0,5 S
1S
3A1
Circuito 3
v1
v2
0,2 S
-1A4
0,5 S
3A1
1S
Circuito 4
Ver discusión completa y solución en Hayt-Kemmerly, página 56.
El Sentido de las Agujas de Reloj.
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Parte B: Planteo de ecuaciones
Con el Circuito 4 a nuestra disposición estamos en condiciones de aplicar la LCK en los nodos  y . Recordemos corrientes entrantes positivas y salientes negativas. Tendremos en cuenta la Ley de Ohm para
conductancias: i = v.G.
Para el Nodo 1:
3,1 − 𝑣1 (0,5) − (𝑣1 − 𝑣2 )(0,2) = 0
𝑣1 (0,5) + 𝑣1 (0,2) − 𝑣2 (0,2) = 3,1
𝑣1 (0,7) − 𝑣2 (0,2) = 3,1
𝒗𝟏 =
3,1 + 𝑣2 (0,2)
0,7
[𝒂]
Para el Nodo 2:
−(−1,4) − 𝑣2 (1) − (𝑣2 − 𝑣1 )(0.2) = 0
𝑣2 (1) + 𝑣2 (0,2) − 𝑣1 (0,2) = 1,4
−𝒗𝟏 (0,2) + 𝒗𝟐 (1,2) = 1,4
[𝒃]
Reemplazando [a] en [b]:
𝟑, 𝟏 + 𝒗𝟐 (𝟎, 𝟐)
(0,2) + 𝑣2 (1,2) = 1,4
𝟎, 𝟕
0,2
(3,1 + 𝑣2 (0,2)) ( ) − 𝑣2 (1,2) = −1,4
0,7
3,1 ∗ 0,2
0,2 ∗ 0,2
(
+ 𝑣2
) − 𝑣2 (1,2) = −1,4
0,7
0,7
𝑣2 (0,057) − 𝑣2 (1,2) = −1,4 − 0,885
−
𝒗𝟐 =
−1,4 − 0,885 −2,285
=
~𝟐 [𝑽]
0,057 − 1,2
−1,143
Reemplazando este valor en [a]:
𝒗𝟏 =
3,1 + 2(0,2) 3,5
=
= 𝟓 [𝑽]
0,7
0,7
Y el voltaje diferencia de la rama superior:
𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 = 2 − 5 = −3 [𝑽]
Lo que nos dice que el nodo  tiene mayor tensión que el , y por la misma razón:
𝒗𝟏 − 𝒗𝟐 = −(𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 ) = 𝟑 [𝑽]
Todo el resto de parámetros, corrientes y potencias quedan definidos a partir de la Ley de Ohm y de la Ley
de Watt.
Parte C: Resolución de ecuaciones
Para resolver la ecuación de n = 3 nodos y e = n - 1 = 3 - 1 = 2 ecuaciones, se aplicó el método de sustitución3 algebraica; pero cualquier otro método algebraico de resolución manual de sistemas de ecuaciones
habría sido igualmente válido.
La resolución pudo haber sido encarada también y preferentemente por otros métodos sistemáticos de resolución de ecuaciones lineales como: Regla de Cramer, Matriz inversa, Gauss Jordan, etc. Para esto
véanse nuestros apéndices A5 y A6. Lo veremos en el siguiente ejemplo.
Por otra parte, está disponible el software de Derive y MatLab, para el mismo propósito; lo estudiaremos en
otros ejemplos más adelante.
Se despeja una variable de una ecuación y se la reemplaza en la otra ecuación. Se encuentra el valor de esa variable y luego se la reemplaza
el valor encontrado en la otra ecuación para obtener la otra variable.
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Ejemplo 2: Circuito con fuentes de corriente únicamente4
En este caso tendremos 4 nodos.
Parte A: Planteo de esquemas
4S
El esquema circuital de partida es el Circuito 1. Vemos que solo tenemos 3 fuentes de corriente. Tomemos en cuenta que la Parte A
(planteo de esquemas) constituye la mitad del trabajo de resolución
de un circuito. Es por eso que debemos poner mucho cuidado en ella.
A partir de aquí y comenzando en el Circuito 1 tendremos en cuenta
los elementos que nos servirán para el análisis:
 Aplicamos notación simplificada para los elementos circuitales
tomando en consideración los valores de las conductancias (datos) debido a la comodidad de su manejo cuando aplicamos la
Ley de Ohm para conductancias.
 Inspeccionamos las conexiones () en el Circuito 1 para identificar las que son nodos ().
 Se cuentan y numeran los n nodos comenzando desde cero siguiendo el SAR5. Tenemos aquí n=4 nodos identificados como
, ,  y . No sería necesario marcarlos en el esquema, ya
que quedarían identificados por los subíndices de las tensiones de
cada nodo.
 Se elije el nodo de referencia indicado como  con la tensión
vo y se le asigna el valor 0 (cero).
 Se indican las tensiones incógnitas de los n – 1 = 4 – 1 = 3
tensiones. Necesitamos plantear y resolver 3 ecuaciones, una para cada nodo (distinto del nodo de referencia).
 Nuestras incógnitas son: v1, v2 y v3.
 Se han ampliado las extensiones de los nodos ,  y  para
abarcar las dos conexiones que los conforman cada uno.
 Para evitar confusiones con los signos al momento del planteo de
las ecuaciones, es posible cambiar el sentido y el signo (simultáneamente) de las fuentes de corriente.
Llegamos así al esquema del Circuito 2. Listos para el inicio de la
Parte B.
3S
2S
-25A
-3A
1S
5S
-8A
Circuito 1
4S
3S
v1
2S
v2


v3

-25A
-3A
1S
5S
-8A
vo=0

Circuito 2
Parte B: Planteo de ecuaciones
Con el Circuito 2 a nuestra disposición estamos en condiciones de aplicar la LCK en los nodos ,  y . Se
obtiene así el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, a resolver.
Para el Nodo 1:
Aportan 4 corrientes, dos de ellas son fuentes de corriente:
(𝑣1 − 𝑣2 )3 + (𝑣1 − 𝑣3 )4 = (−3) + (−8)
3𝑣1 − 3𝑣2 + 4𝑣1 − 4𝑣3 = −11
𝟕𝒗𝟏 − 𝟑𝒗𝟐 − 𝟒𝒗𝟑 = −𝟏𝟏
[𝒂]
Para el Nodo 2:
Aportan 4 corrientes, una de ellas es una fuente de corriente:
(𝑣2 − 𝑣1 )3 + 1𝑣2 + (𝑣2 − 𝑣3 )2 = −(−3)
3𝑣2 − 3𝑣1 + 1𝑣2 + 2𝑣2 − 2𝑣3 = 3
−𝟑𝒗𝟏 + 𝟔𝒗𝟐 − 𝟐𝒗𝟑 = 𝟑
4
5
[𝒃]
Ver discusión completa y solución en Hayt-Kemmerly, página 57.
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Para el Nodo 3:
Aportan 4 corrientes, una de ellas es una fuente de corriente:
(𝑣3 − 𝑣2 )2 + (𝑣3 − 𝑣1 )4 + 5𝑣3 = −(−25)
2𝑣3 − 2𝑣2 + 4𝑣3 − 4𝑣1 + 5𝑣3 = 25
[𝒄]
−𝟒𝒗𝟏 − 𝟐𝒗𝟐 + 𝟏𝟏𝒗𝟑 = 𝟐𝟓
Hasta aquí llegamos con el planteo de las ecuaciones de nodo. Hagamos ahora una digresión para ver la
teoría que nos permitirá obtener los valores numéricos de las soluciones.
Se trata de un tema deberíamos conocer anticipadamente a partir de nuestra correlativa fuerte: la asignatura
Álgebra Lineal.
El presente análisis del ejemplo continúa más adelante, identificando esta
Referencia *
Resolución de sistemas de ecuaciones matriciales
La aplicación de LCK (Ley de Corrientes de Kirchhoff) para todos los nodos de un circuito genérico nos permite disponer de tantas
ecuaciones como n-1 voltajes de nodos desconocidos (incógnitas). Es decir, tendremos n-1 ecuaciones del tipo:
𝑛−1
∑ 𝑖𝑘 = 0
𝑘=1
Separando las corrientes entrantes iFk (positivas) como las corrientes aportadas al nodo por las fuentes de corriente y las corrientes salientes iGk (negativas) como las corrientes por las conductancias; por la ecuación anterior (la sumatoria total es nula),
por lo tanto debe verificarse la igualdad:
𝑛−1
𝑛−1
∑ 𝑖𝐺𝑘 = ∑ 𝑖𝐹𝑘
𝑘=1
𝑘=1
Explicitando más estas ecuaciones y expresando las corrientes que concurren al nodo mediante su expresión equivalente por la
Ley de Ohm para conductancias, i=v.G:
𝑘=(𝑛−1)
𝑙=(𝑛−1)
𝑘=(𝑛−1)
∑ 𝑣𝑘 ∗ ∑ 𝐺𝑙𝑘 =
∑ 𝑖𝐹𝑘
𝑘=1
𝑘=1
𝑙=1
Cuyo desarrollo y según la teoría de los Sistemas de Ecuaciones del Álgebra Lineal6, nos entrega un sistema de ecuaciones lineales7, cuadrado8, de orden9 (n-1)x(n-1). No perdamos de vista que n es el número de nodos y n-1 el número de ecuaciones o de
incógnitas, que tendremos que relevar de nuestro circuito-problema.
𝑣1 𝐺11 + 𝑣2 𝐺12 + 𝑣3 𝐺13 + ⋯ + 𝑣(𝑛−1) 𝐺1(𝑛−1) = 𝑖𝐹1
𝑣1 𝐺21 + 𝑣2 𝐺22 + 𝑣3 𝐺23 + ⋯ + 𝑣(𝑛−1) 𝐺2(𝑛−1) = 𝑖𝐹2
n-1 ecuaciones
𝑣1 𝐺31 + 𝑣2 𝐺32 + 𝑣3 𝐺33 + ⋯ + 𝑣(𝑛−1) 𝐺3(𝑛−1) = 𝑖𝐹3
⋯⋯ + ⋯⋯ + ⋯⋯ + ⋯+ ⋯⋯⋯ ⋯⋯ = ⋯
𝑣1 𝐺(𝑛−1)1 + 𝑣2 𝐺(𝑛−1)2 + 𝑣3 𝐺(𝑛−1)3 + ⋯ + 𝑣(𝑛−1) 𝐺(𝑛−1)(𝑛−1) = 𝑖𝐹(𝑛−1)
Los primeros miembros de cada una de estas ecuaciones son las corrientes en las conductancias Gkl. Según la teoría matricial,
estos primeros miembros del sistema de ecuaciones resultan de la multiplicación de dos matrices:
Consúltense nuestros Apéndices A5 y A6.
Exponente unidad de las incógnitas.
8
Número de incógnitas (n-1), igual al número de ecuaciones (n-1).
9
Número de filas por el número de columnas de la matriz del sistema.
6
7
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𝐺11
𝐺21
𝐺31
[𝐺(𝑛−1)1
𝐺12
𝐺22
𝐺32
⋮
𝐺13
𝐺23
𝐺33
𝐺(𝑛−1)2
⋯
𝐺(𝑛−1)3
⋱
⋯
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𝑖𝐹1
𝑣1
𝑣2
𝑖𝐹2
∗ 𝑣3 =
𝑖𝐹3
⋮
⋮
𝐺(𝑛−1)(𝑛−1) ] [𝑣𝑛−1 ] [𝑖𝐹(𝑛−1) ]
𝐺1(𝑛−1)
𝐺2(𝑛−1)
𝐺3(𝑛−1)
⋮
Con notación matricial simplificada:
𝑮(𝑛−1)×(𝑛−1) ∗ 𝑽(𝑛−1)×1 = 𝑰(𝑛−1)×1
Más sintética:
𝑮∗𝑽=𝑰
G = Matriz de coeficientes del sistema o matriz de conductancias.
V = Matriz de incógnitas del sistema o matriz de tensiones.
I = Matriz de términos independientes o matriz de fuentes de corriente.
Por lo tanto resulta un sistema de ecuaciones DETERMINADO y COMPATIBLE. Esto significa que tiene solución y que ésta solución es única.
Teorema de Cramer 10
Un sistema cuadrado (orden nxn) de ecuaciones lineales, tiene solución y es única si y solo si, el determinante de la matriz de coeficientes, es no nulo.
Simbólicamente:
G * V = I es COMPATIBLE DETERMINADO o crameriano  |A|  0
Solución del sistema de ecuaciones por Regla de Cramer
Si la matriz de coeficientes es una matriz cuadrada no singular, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO y cada incógnita resulta igual al cociente de 2 (dos) determinantes:
en el denominador el determinante de la matriz de coeficientes, y en el numerador, el determinante de la matriz de coeficientes con la columna de coeficientes de la incógnita considerada, reemplazada por la columna de términos independientes.
Acotando a un circuito de n = 4 nodos:
𝑮𝟏𝟏
(𝑮𝟐𝟏
𝑮𝟑𝟏
𝑮𝟏𝟐
𝑮𝟐𝟐
𝑮𝟑𝟐
𝒗𝟏
𝑮𝟏𝟑
𝒊𝟏
𝑮𝟐𝟑 ) ∗ (𝒗𝟐 ) = (𝒊𝟐 )
𝒗𝟑
𝑮𝟑𝟑
𝒊𝟑
𝑮3×3 ∗ 𝑽3×1 = 𝑰3×1
Este sistema de ecuaciones, expresado en formato matricial, posee las siguientes soluciones:
𝒗𝟏 =
𝑵𝟏
=
|𝑮|
𝒊𝟏
|𝒊𝟐
𝒊𝟑
𝐺12 𝐺13
𝐺22 𝐺23 |
𝐺32 𝐺33
|𝑮|
𝒗𝟐 =
𝑵𝟐
=
|𝑮|
𝐺11
|𝐺21
𝐺31
𝒊𝟏 𝐺13
𝒊𝟐 𝐺23 |
𝒊𝟑 𝐺33
|𝑮|
𝒗𝟑 =
𝑵𝟑
=
|𝑮|
𝐺11
|𝐺21
𝐺31
𝐺12
𝐺22
𝐺32
|𝑮|
𝒊𝟏
𝒊𝟐 |
𝒊𝟑
Donde:
CRAMER, Gabriel (1704-1752). Matemático suizo, publicó la regla en 1750 en su Introduction to de Analysys of Lines of Algebraic Curves. Se
cree que Mc. Laurin ya la había descubierto antes, en 1729. La regla fue de una extraordinaria importancia en la enseñanza del álgebra y la teoría
de ecuaciones.
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|G| = Determinante de la matriz de conductancias (ya calculado en [d])
Nk = Numerador del cociente de cada incógnita.
El determinante de una matriz
El determinante de una matriz es una función que a cada matriz cuadrada (nxn) le hace corresponder un
número característico perteneciente a un campo escalar.
Dada la matriz A definida en el campo referencial de matrices cuadradas Knxn (dominio) y el campo escalar K (codominio generalmente R o C ), se define la función determinante de orden n como:
D : Knxn  K
1.
2.
3.
A  |A|  K
La teoría de determinantes, de gran aplicación en la actualidad, tuvo su origen en la necesidad de resolver sistemas de n
ecuaciones lineales con n incógnitas.
El determinante así como el rango son números característicos de una matriz.
Existen variados métodos y reglas11 que dependen del orden de la matriz, para la determinación del número determinante de una matriz.
La notación matricial, puede asumir los siguientes formatos referidos a una matriz cuadrada genérica Anxn, es decir, de orden
nxn:, para n=3:
𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑
𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑 ⌋
|𝑨
𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑
Desarrollo para el cálculo de determinantes aplicaremos la notación |𝑨𝒏𝑥𝒏 |:
Para n = 1:
𝟑𝒙𝟑
𝒂𝟏𝟏
| = ⌊𝒂𝟐𝟏
𝒂𝟑𝟏
|𝑨𝟏𝒙𝟏 | = |𝒂𝟏𝟏 |
Para n = 2:
𝑎11
|𝑨𝟐𝒙𝟐 | = |𝑎
12
𝑎21
𝑎22 | = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟐 − 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏
Para n = 3:
𝟑𝒙𝟑
|𝑨
𝑎11
| = ⌊𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝒂
𝑎23 ⌋ = 𝒂𝟏𝟏 | 𝟐𝟐
𝒂𝟑𝟐
𝑎33
𝒂𝟐𝟑
𝒂𝟏𝟐
|
−
𝒂
|
𝟐𝟏
𝒂𝟑𝟑
𝒂𝟑𝟐
𝒂𝟏𝟑
𝒂𝟏𝟐
|
+
𝒂
|
𝟑𝟏
𝒂𝟑𝟑
𝒂𝟐𝟐
𝒂𝟏𝟑
𝒂𝟐𝟑 |
Calculemos –por ejemplo– el determinante de nuestra matriz de conductancias G para nuestro Ejemplo 1.
7 −3 −4
|𝑮3𝑥3 | = ⌊−3 6 −2⌋ = 7 | 6 −2| + 3 |−3 −4| − 4 |−3 −4|
6 −2
−2 11
−2 11
−4 −2 11
|𝑮| = 7(66 − 4) + 3(−33 − 8) − 4(6 + 24) = 7 ∗ 62 − 3 ∗ 41 − 24 ∗ 30 = 434 − 123 − 120 = 𝟏𝟗𝟏
|𝑮| = 𝟏𝟗𝟏
[𝒅]
Para n >= 3:
se aplica el Teorema de desarrollo de Laplace basado en el concepto de cofactor de un elemento.
Un recurso innegable es el software matemático que se impone por lo práctico para n > 3. No vale la pena descargar tanto esfuerzo en las resoluciones matemáticas para sistemas de ecuaciones de orden mayor a 3 porque no aportan nada nuevo al conocimiento electrotécnico. Por otro lado, la matemática es tan solo una herramienta más para el ingeniero.
Referencia *
11
Se destacan las reglas de Laplace y de Sarrus.
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Luego de ampliar la parte teórica sobre matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales, continuamos con el análisis de nuestro problema ejemplo. Ahora estamos en condiciones de agrupar las ecuaciones [a], [b] y [c] obtenidas directamente por aplicación de la LCK a nuestro circuito.
𝟕𝒗𝟏 − 𝟑𝒗𝟐 − 𝟒𝒗𝟑 = −𝟏𝟏
−𝟑𝒗𝟏 + 𝟔𝒗𝟐 − 𝟐𝒗𝟑 = 𝟑
−𝟒𝒗𝟏 − 𝟐𝒗𝟐 + 𝟏𝟏𝒗𝟑 = 𝟐𝟓
Sistema de ecuaciones lineales de orden
3x3
Este sistema de ecuaciones puede ser expresado, como ya vimos, mediante una multiplicación de matrices:
𝒗𝟏
−𝟒
−𝟏𝟏
−𝟐) ∗ (𝒗𝟐 ) = ( 𝟑 )
𝒗𝟑
𝟏𝟏
𝟐𝟓
𝟕 −𝟑
(−𝟑 𝟔
−𝟒 −𝟐
Cuyas soluciones son para n-1 = 3:
𝒗𝟏 =
𝑵𝟏
|𝑮|
𝒗𝟐 =
𝑵𝟐
|𝑮|
𝒗𝟑 =
𝑵𝟑
|𝑮|
Donde:
−𝟏𝟏 −3 −4
6 −2| = 𝟏𝟗𝟏
𝟐𝟓 −2 11
𝑵𝟏 = | 𝟑
7
−𝟏𝟏 −4
𝟑
−2| = 𝟑𝟖𝟐
−4 𝟐𝟓 11
𝑵𝟐 = |−3
7
−3 −𝟏𝟏
6
𝟑 | = 𝟓𝟕𝟑
−4 −2 𝟐𝟓
𝑵𝟑 = |−3
7
−3 −4
6 −2| = 𝟏𝟗𝟏
−4 −2 11
|𝑮| = |−3
Finalmente:
𝒗𝟏 =
𝑵𝟏 191
=
= 𝟏 [𝑉]
|𝑮| 191
𝒗𝟐 =
𝑵𝟐 382
=
= 𝟐 [𝑉]
|𝑮| 191
𝒗𝟑 =
𝑵𝟑 573
=
= 𝟑 [𝑉]
|𝑮| 191
Observaciones sobre el MVN aplicado en este Ejemplo 2
Los comentarios y observaciones que presentamos aquí nos deben servir para tener algún control sobre el progreso en la resolución de problemas circuitales.
1. La matriz de conductancias G es simétrica respecto de su diagonal principal. Es decir: todos los elementos de esta matriz
que están fuera de la diagonal principal son negativos y todos los elementos que forman la diagonal principal son positivos.
2. Lo anterior es consecuencia de la aplicación sistemática de conceptos matemáticos analizados desde el modelo circuital; lo que nos permite llevar un control sistemático de los progresos de nuestros cálculos.
3. La simetría de la matriz de conductancias G, necesariamente debe obedecer a una simetría esquemática del circuito de
donde proviene. Por el momento solo puede reconocerse tal simetría en aquéllos circuitos que poseen solo fuentes de
corriente independientes.
4. No existe ni simetría, ni matriz de conductancias en aquéllos circuitos que poseen al menos una fuente de tensión.
Comprobaremos esta asimetría en circuitos que tienen por lo menos una fuente de tensión, en el último ejemplo de resolución sobre el MVN.
Resolución aplicando el software Derive
Por otro lado habría resultado extremadamente más fácil aplicar el software matemático Derive
desde su opción de menú:
Resolver | Sistema…
1) En el cuadro de diálogo que se presenta a continuación se especifica el número de ecuaciones a
resolver. Escribimos 3 para responder.
2) Aparece otro cuadro de diálogo donde escribiremos una ecuación por cada fila, tratando de especificar las variables con una sola letra. Asumimos en nuestro ejemplo que x = v1, y = v2 y z = v3
3) Pulsamos [Enter], para finalizar y el programa nos entrega (con la velocidad de un rayo):
SOLVE([7x-3y-4z=-11, -3x+6y-2z=3, -4x-2y+11z=25], [x, y, z])
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Esta expresión también podría haber sido escrita directamente en el campo de edición del programa. Las soluciones aparecen como el conjunto solución:
[x = 1 ∧ y = 2 ∧ z = 3]
Finalmente obtenemos:
v1 = 1 [V]
v2 = 2 [V]
v3 = 3 [V]
No conocemos otro método que sea más fácil, hasta ahora. Comparado con la Regla de Cramer, existe un
inclinación absoluta a favor de Derive y otros, como veremos después… Solo queda la duda si sería bueno
para nuestros alumnos y futuros ingenieros aplicar este software (directamente “así como así”) de la misma
forma que usamos la calculadora para resolver una “complicada” multiplicación de —por ejemplo— 4x4 cifras. Pensemos –por otro lado– que estos métodos “mecanizados” serán insustituibles cuando el número de
variables supere a 3 o 4.
Sería como preguntarnos ¿cuál es el resultado del producto 2540 * 1062? Responderíamos sin dudar:
“dame una calculadora y te daré la respuesta”. Pero, ¿cómo era esto mucho tiempo atrás, cuando todavía
no existían las calculadoras? ¿Cómo hacían sus cálculos George Ohm o Gustav Kirchhoff?
De manera similar si nos preguntamos ¿cuáles son las soluciones de un sistema de ecuaciones, tal o
cual? La respuesta –en principio– sospechamos que debería ser hoy: “dame Derive y te daré la respuesta”.
Esto es así, porque hoy existe una gran variedad de software matemático, capaz de hacer mejor y más
rápido estos trabajos “de hormiga”. Una alternativa, a tomar seriamente en cuenta, es el software Matlab;
que aplicaremos en próximos problemas.
Una reflexión final, me pregunto: ¿a quién se le ocurriría —hoy por hoy— ejecutar estas operaciones
solo con lápiz y papel?
Ejemplo 3: Circuito con una o más fuentes de tensión12
En este circuito, por ejemplo, se pide encontrar el voltaje
v1. El esquema circuital de partida es el mismo circuito del
Ejemplo 2, con la variante de que se ha reemplazado la
conductancia que se encuentra entre los nodos  y 
con una fuente de tensión de 22 V.
Vemos que ahora tenemos 2 fuentes de corriente y 1 sola
fuente de tensión.
4S
v1
3S
v2


Nosotros partimos aquí del esquema último del Ejemplo
2 y solo tomaremos en consideración las diferencias de
éste con aquél.
v3

22V
-25A
-3A
Parte A: Planteo de esquema
- +
1S
5S
-8A
vo=0 
 Aparece en este esquema nuevo la extensión gráfica
Circuito 2
del supernodo que se forma en la rama de la única
fuente de tensión. Se muestra relleno en negro () para diferenciarlos de los otros nodos extendidos ().
 Se mantienen las especificaciones de las tensiones incógnitas vk, siempre respecto del mismo nodo de
referencia .
 Al intentar la aplicación de la LCK vemos que se presentan problemas en los nodos  y  con la fuente
conectada en sus extremos. Se desconoce la corriente que circula por esta rama, ya que no hay forma
de expresarla.
 Sin embargo no es necesario conocer la corriente que circula por esta rama, simplemente porque por
definición de fuente de tensión ideal es que, su voltaje es independiente de la corriente que la atraviesa.
 Para resolver este inconveniente, se trata a estos nodos como si fuesen un único nodo que llamaremos
supernodo y se aplica la LCK a ambos simultáneamente. Esto puede hacerse simplemente porque por
el principio de conservación de la carga eléctrica, no puede salir (ni entrar) corriente de ninguno de
estos nodos. Entonces no queda otra condición a respetar que v3-v2= 22 [V].
12
Ver discusión completa y solución en Hayt-Kemmerly, página 60.
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 Se indican las tensiones incógnitas de los n – 1 = 4 – 1 = 3 nodos. Necesitamos entonces, como siempre plantear y resolver 3 ecuaciones, una para cada nodo, incluyendo al supernodo pero excluyendo al
de referencia.
 Nuestras incógnitas son aquí también: v1, v2 y v3.
Parte B: Planteo de ecuaciones
Con nuestro circuito “clarificado”, buscamos escribir las fórmulas del sistema de: 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
Para el Nodo 1:
Es exactamente el mismo razonamiento y resultado del Ejemplo 2. Aportan 4 corrientes, dos de ellas son
fuentes de corriente:
(𝑣1 − 𝑣2 )3 + (𝑣1 − 𝑣3 )4 = (−3) + (−8)
3𝑣1 − 3𝑣2 + 4𝑣1 − 4𝑣3 = −11
𝟕𝒗𝟏 − 𝟑𝒗𝟐 − 𝟒𝒗𝟑 = −𝟏𝟏
[𝟏]
Corrientes para el Supernodo 2 y 3:
Aplicando la LCK a estos nodos, igualamos a cero las 6 corrientes, que concurren al mismo. Con corrientes de fuentes (entrantes y positivas) y corrientes de conductancias (salientes y negativas):
(𝑣2 − 𝑣1 )3 + (𝑣3 − 𝑣1 )4 + 5𝑣3 + 1𝑣2 − 3 − 25 = 0
3𝑣2 − 3𝑣1 + 4𝑣3 − 4𝑣1 + 1𝑣2 − 5𝑣3 = 28
−𝟕𝒗𝟏 + 𝟒𝒗𝟐 + 𝟗𝒗𝟑 = 𝟐𝟖
[𝟐]
Tensiones para el Supernodo 2 y 3:
Solo la fuente de tensión:
𝒗𝟑 − 𝒗𝟐 = 𝟐𝟐 [𝑽]
[𝟑]
Hasta aquí llegamos con el planteo de las ecuaciones de nodo. Vamos ahora a la obtención de los valores
numéricos de las soluciones.
Parte C: Resolución de ecuaciones
Ahora estamos en condiciones de agrupar las ecuaciones [1], [2] y [3].
𝟕𝒗𝟏 − 𝟑𝒗𝟐 − 𝟒𝒗𝟑 = −𝟏𝟏
−𝟕𝒗𝟏 + 𝟒𝒗𝟐 + 𝟗𝒗𝟑 = 𝟐𝟖
𝟎𝒗𝟏 − 𝟏𝒗𝟐 + 𝟏𝒗𝟑 = 𝟐𝟐
Sistema de ecuaciones lineales de orden
3x3
Este sistema de ecuaciones puede ser expresado, como ya vimos, mediante una multiplicación de matrices:
𝟕 −𝟑
(−𝟕 𝟒
𝟎 −𝟏
𝒗𝟏
−𝟒
−𝟏𝟏
𝒗
)
∗
(
)
=
(
𝟗
𝟐𝟖 )
𝟐
𝒗𝟑
𝟏
𝟐𝟐
Cuyas soluciones son para n-1 = 3:
SOLVE([7x-3y-4z=-11, -7x+4y+9z=28, 0x-1y+1z=22], [x, y, z])
Finalmente:
𝒗𝟏 = 𝑥 = −
𝟗
= −𝟒, 𝟓 [𝑉]
𝟐
𝒗𝟐 = 𝑦 = −
31
= −𝟏𝟓, 𝟓 [𝑉]
2
𝒗𝟑 = 𝑧 =
13
= 𝟔, 𝟓 [𝑉]
2
Hemos escrito en color la tensión que expresamente se solicitaba en este problema.
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Observaciones sobre el MVN aplicado en el Ejemplo 3
Los comentarios y observaciones que presentamos aquí nos deben servir para tener algún control sobre el progreso en la resolución de problemas circuitales.
1. La matriz de conductancias G no existe y la matriz G no es simétrica respecto de su diagonal principal.
2. No tiene sentido hablar de matriz de conductancias G porque en el caso especial de los nodos  y  no hay (en esta
rama) ni resistencias ni conductancias.
3. No todos son elementos negativos de la matriz G fuera de su diagonal principal.
4. Lo anterior es consecuencia de la presencia de —por lo menos— una fuente de tensión en el modelo circuital analizado.
5. Finalmente, el número total de nodos por analizar se reduce en 1, por cada fuente de tensión existente. Por ejemplo los
nodos  y  son considerados, para este tratamiento (suma total de corrientes igualada a cero), como un único nodo.
6. Las ecuaciones que corresponden a los nodos faltantes se obtiene tácitamente y directamente del valor de la tensión
dada entre polos de cada fuente que coincide con cada supernodo.
Resumen general de conclusiones sobre el MVN
Detalles metodológicos y técnicos se han dado ya en cada uno de los ejemplos de resolución desarrollados. Aquí damos conclusiones más generales:
1. En cada circuito a resolver por el MVN (Método de Voltaje de Nodos), que posea n nodos, tendremos siempre
una ecuación por cada nodo, menos el de referencia; esto es n-1 ecuaciones que permiten resolver la
misma cantidad de incógnitas.
2. Como dato inicial recibimos el esquema de un circuito que debemos clarificar mediante múltiples recursos puramente electrotécnicos.
a. Los nodos deben diferenciarse claramente de las conexiones y también los supernodos de los nodos.
b. Numerar todos los nodos en la ubicación que le corresponde según el SAR.
c. Seleccionar el nodo de referencia como aquél al que concurren la mayor cantidad de ramas.
d. Cada fuente debe quedar acompañada de sus correspondientes valores, polaridades o sentidos
supuestos.
e. Lo mismo para las incógnitas, que tratándose de tensiones, quedan todas automáticamente marcadas
(por defecto) con su polaridad positiva respecto del nodo de referencia, que posee convencionalmente tensión nula.
f. Transformar todas las resistencias R a conductancias G y aplicar la Ley de Ohm para conductancias,
i=v.G.
3. Para los circuitos que solo contienen fuentes de corriente independientes.
a. Establecer las ecuaciones, una para cada nodo distinto del de referencia.
b. Aplicar la LCK para cada nodo, menos el de referencia; estableciendo la igualdad entre las corrientes
por las conductancias y las corrientes de las fuentes; cada una con su signo y en ambos casos
entrantes positivas y salientes negativas.
c. Ordenar en sentido creciente los términos de cada ecuación.
d. Plantear la matriz de conductancias [G].
e. Verificar la simetría de esta matriz antes de continuar con el cálculo; caso contrario, retroceder y verificar.
f. Aplicar software de resolución de sistemas de ecuaciones, Derive o Matlab.
4. Para los circuitos que pueden contener al menos una fuentes de tensión.
a. Crear un supernodo que abarque a los terminales de cada fuente de tensión presente. Especificarlo
claramente mediante recursos gráficos en el esquema circuital.
b. Numerar a todos los nodos incluyendo a los supernodos, ubicando cada nodo en el lugar que se corresponde según el SAR.
c. Aplicar la LCK para cada nodo, incluyendo al supernodo, pero excluyendo al de referencia.
d. El número total de nodos independientes se reduce en 1 por cada fuente de tensión encontrada. La
última(s) n-1’ ecuación(es) se obtiene(n) directamente y tácitamente a partir del valor del voltaje y de
la polaridad de cada supernodo.
5. El MVN (Método de Voltajes de Nodos) es un método universal aplicable a cualquier circuito. Veremos que
no podremos decir lo mismo del MCM (Método de las Corrientes de Mallas). Quizá pueda ser más explicable el
uso más generalizado del segundo, ¿será porque es más intuitivo?
Con estas sugerencias vamos a resolver el circuito más universal, que tiene todos los tipos de elementos y que se presenta en el problema P5-P1 (problema P1 del práctico P5).
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Método de las Corrientes de Mallas (MCM)
Ahora toca el turno para extender el número de mallas al embrión circuital que tuvimos la oportunidad de
conocer a través del circuito monomalla. Ahora analizaremos la resolución de circuitos que tengan, no 1
sino m mallas. En una malla circuital lo que es común es la corriente y es lo que tenemos que buscar (son
incógnitas) para resolver un circuito por el MCM.
Si el circuito tiene m mallas, entonces tendremos que encontrar m corrientes de malla y formular m ecuaciones de malla linealmente independientes13.
El método que veremos aquí, el MCM, es más intuitivo que el MVN, ya que se aplica la formulación original
de la Ley de Ohm, sin embargo es de aplicación menos general, ya que solamente puede aplicarse en circuitos con mallas planas.
Definiciones
Rama: un elemento circuital simple o complejo, delimitado por un par de terminales.
Árbol: un conjunto de ramas unidas secuencialmente que no se cierran.
Lazo: cualquier trayectoria cerrada que puede definirse en un circuito. Un lazo puede ser una malla, pero
no siempre es así14. El caso más general de un lazo es lo que habíamos dado en llamar –al inicio de
nuestros análisis intuitivos– como malla virtual.
Circuito plano: es un circuito que puede dibujarse sin cruces de conexión de conductores de ramas. Esto es, que, alguna de sus ramas no tiene otra forma de mostrarse que por debajo o por encima de otras. No debemos confundir con aquéllos circuitos planos que se dibujan con los característicos cruces; donde, si bien existen estos
cruces dibujados, siempre será posible dibujarlos de una manera más clara y explícita, sin cruces al final15. Un
circuito plano puede imaginarse (hay otras formas de imaginarlos) con sus ramas ubicadas en los lados y diagonales de las figuras geométricas planas (cuadrado, triángulo, rectángulo, rombo, etc.), tanto sean éstas regulares o no.
Circuito estéreo: para imaginarnos un circuito no plano (estéreo), es suficiente con imaginar las ramas
del mismo, coincidentes con las aristas y diagonales de una figura geométrica espacial (cubo, pirámide, prisma, tetraedro, icosaedro, etc.), sean éstas regulares o no.
Malla: una malla es una propiedad topológica de un circuito que solo es posible definir en un circuito
plano. Puede definirse como un lazo que no contiene otro lazo dentro de él16. Esta definición de malla más precisa, es tal que permitirá asegurar la independencia lineal de las ecuaciones que puedan plantearse, sin necesidad de aplicar otros métodos topológicos o algebraicos.
Una manera de identificar claramente un conjunto de mallas es compararlos a los cristales unidos
para formar un vitral, donde cada cristal que se une a los demás sería una malla. Esto puede lograrse si somos capaces de dibujar el complejo circuito buscando esta apariencia, evitando cruces.
Otro ejemplo que tendría topología similar a la de los circuitos planos sería el de un mapa político,
donde las mallas quedarían representadas por las provincias.
Malla perimetral: es una malla que “linda”17 al menos por una de sus ramas a una zona externa, libre de
otras partes circuitales. En el mismo primer ejemplo anterior, los cristales unidos al marco serían
cristales o mallas periféricas.
Malla central: es una malla que tiene sus “linderos” formando parte de otras mallas. En el mismo (segundo)
ejemplo anterior, las provincias que no tiene límites fronterizos internacionales, constituirían provincias o mallas centrales.
Corriente de malla: es una corriente que solo puede circular por el perímetro de una malla.
El número de ecuaciones e que necesitamos para m mallas es entonces: 𝒆 = 𝒎 Habrá entonces m corrientes (de mallas) desconocidas (incógnitas) y el mismo número de m ecuaciones para resolverlas. Nuevamente, los ejemplos de aplicación del MCM los vamos a desarrollar, cada uno, en tres partes: A, B y C.
Según la metodología sistemática con que se aplicará el MCM es posible demostrar que las ecuaciones de mallas que puedan obtenerse de
las mallas de un circuito, siempre van a ser linealmente independientes. Esto es así, tan solo con pensar en la nueva definición de malla, que
veremos a continuación.
14
Véase figura 2-8c en Hayt-Kemmerly, página 65.
15
Véase figura 2-7b y c en Hayt-Kemmerly, página 64.
16
Véase figura 2-8e y f en Hayt-Kemmerly, página 65.
17
Del verbo lindar que viene de linde que significa límite, término o fin de algo. (Diccionario WordReference http://www.wordreference.com/)
13
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Ejemplo 1: Circuito bimalla, solo con fuentes de tensión18
El normal discurrir del desarrollo de estos ejemplos siempre se corresponde con el orden presentados por
los autores Hayt-Kemmerly a partir de la página 64. Nuestro trabajo entonces solo está modificado en su
presentación o detalle, solo desde un punto de vista pedagógico, aquél que necesita el alumno para su
inmediata o más sencilla comprensión. Por otro lado se incluyen comentarios y conceptos de otros autores,
de aquéllos que conforman nuestra bibliografía curricular. En cada caso se dan las referencias obligadas.
Parte A: Planteo de esquema







Se aplicará notación simplificada para las magnitudes eléctricas.
Deben inspeccionarse las ramas en el Circuito 1 para identificar las
partes circuitales que constituyen mallas (caminos cerrados que no
contienen a otros caminos). Una malla no debe contener lazos internos.
Se cuentan los m mallas y se las numera de uno a eme así: 1, 2,
3… m y siempre las elegiremos en el SAR20. Tenemos en este ejemplo m=2 mallas identificados como  (a la izquierda) y  (a la derecha).
Se indican, según el SAR las corrientes de malla incógnitas de las m
mallas llamadas: i1, i2, i3, … , im. Ahora ya no necesitamos las corrientes de ramas, para el cálculo, como lo hacíamos en los métodos intuitivos; éstas son fácilmente deducibles a partir de las primeras.
No siempre una corriente de malla puede coincidir con una corriente de
rama. Esto puede ocurrir en las mallas periféricas pero nunca ocurre
en las mallas centrales.
En general ik – ij es la corriente común en las ramas comunes entre
las mallas k y j, con el sentido igual al de ik. Por ejemplo la corriente
i2 – i1 es la corriente (común entre mallas) por la rama central del circuito, cuyo sentido –en este caso– coincide con el de i2.
En un circuito con ramas en serie (lazos o mallas) es mucho más cómodo trabajar con resistencias R que con conductancias G y aplicar
en ellas la Ley de Ohm tal como fue formulada originalmente por Georg
Ohm: v= i.R. Así llegamos al esquema del Circuito 2.
4Ω
6Ω
El esquema del Circuito 1, de partida, se ha dibujado mostrando los
datos tal como se los ha recabado desde su origen19. Debemos clarificarlo cuidando de dibujarlo sin cruces y con la mínima cantidad
de detalle que permita su comprensión acabada.
A partir de aquí y –comenzando en el Circuito 1– tendremos en
cuenta los elementos que nos servirán para el análisis:
3Ω
Ω
+
-
10V
+
42 V
Circuito 1
+
42 V
6
4


i1
3
i2
10V
+
i2 –i1
Circuito 2
Parte B: Planteo de ecuaciones
Una de las ventajas del MCM en el uso del concepto de corrientes de malla es que la LVK se satisface automáticamente. En el Circuito 2 podemos aplicar la LVK en cada una de las mallas  y .
Para la Malla 1:
−42 + 6𝑖1 + 3𝑖1 − 3𝑖2 = 0 ⇒ −𝟒𝟐 + 𝟗𝒊𝟏 − 𝟑𝒊𝟐 = 𝟎
𝒊𝟏 =
𝟑𝒊𝟐 + 𝟒𝟐
𝟗
[𝟏]
Para la Malla 2:
3(𝑖2 − 𝑖1 ) + 4𝑖2 − 10 = 0 ⇒ 3𝑖2 − 3𝑖1 + 4𝑖2 − 10 = 0 ⇒ −𝟑𝒊𝟏 + 𝟕𝒊𝟐 − 𝟏𝟎 = 𝟎
Ver discusión completa y solución en Hayt-Kemmerly, página 56.
Figura 2-10, Hayt-Kemmerly, página 66.
20
El Sentido de las Agujas de Reloj.
18
19
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𝒊𝟏 =
𝟕𝒊𝟐 − 𝟏𝟎
𝟑
Versión 09.08.2017
[𝟐]
Parte C: Resolución de ecuaciones
Para resolver el sistema de ecuaciones par m = 2 mallas,
aplica –por ejemplo–el método de igualación21 algebraica.
e = 2 ecuaciones, y m = 2 incógnitas, se
Igualando [1] y [2]:
𝟑𝒊𝟐 + 𝟒𝟐
𝟕𝒊𝟐 − 𝟏𝟎
=
𝟗
𝟑
3𝑖2 + 42 = 3(7𝑖2 − 10) ⇒ 3𝑖2 + 42 = 21𝑖2 − 30 ⇒ −18𝑖2 = −72
𝒊𝟐 = 𝟒 [𝑨]
[𝟑]
Reemplazando[3] en [2]:
𝒊𝟏 =
7 ∗ 4 − 10
= 𝟔 [𝑨]
3
Aplicando la opción Solve en DERIVE, haciendo i1
vias (marcadas en rojo oscuro) a las [1] y [2]:
[4]
= x e i2 = y en las ecuaciones inmediatamente pre-
SOLVE([-42+9x-3y=0, -3x+7y-10=0], [x, y])
[x = 6 ∧ y = 4]
Reponiendo las variables originales:
Soluciones
𝒊𝟏 = 𝟔 [𝑨]
𝒊𝟐 = 𝟒 [𝑨]
Y la corriente por la rama central:
𝒊𝟐 − 𝒊𝟏 = 𝟒 − 𝟔 = −𝟐 [𝑨]
El valor negativo obedece a que realmente circula en sentido contrario al marcado en el esquema.
El presente análisis del Ejemplo 1 se detiene aquí para efectuar una regresión y continúa más adelante,
identificando esta
Referencia **
Resolución de sistemas de ecuaciones matriciales
La aplicación de LVK (Ley de Voltajes de Kirchhoff) para todos las mallas de un circuito genérico nos permite disponer de tantas
ecuaciones como m corrientes de malla desconocidas tengamos (incógnitas). Es decir, tendremos m ecuaciones como:
m ecuaciones
𝑖1 𝑅11 + 𝑖2 𝑅12 + 𝑖3 𝑅13 + ⋯ + 𝑖𝑚 𝑅1𝑚 = 𝑣𝐹1
𝑖1 𝑅21 + 𝑖2 𝑅22 + 𝑖3 𝑅23 + ⋯ + 𝑖𝑚 𝑅2𝑚 = 𝑣𝐹2
𝑖1 𝑅31 + 𝑖2 𝑅32 + 𝑖3 𝑅33 + ⋯ + 𝑖𝑚 𝑅3𝑚 = 𝑣𝐹3
⋯⋯ + ⋯⋯ + ⋯⋯ + ⋯+ ⋯⋯ = ⋯
𝑖1 𝑅𝑚1 + 𝑖2 𝐺𝑚2 + 𝑖3 𝑅𝑚3 + ⋯ + 𝑖𝑚 𝑅𝑚𝑚 = 𝑣𝐹𝑚
Los primeros miembros de cada una de estas ecuaciones son las caídas de tensión en las resistencias Rkl. Según la teoría matricial, estos primeros miembros resultan de la multiplicación de dos matrices:
21
Se despeja la misma incógnita de las ecuaciones. Se igualan las resultados en función de las otras y se resuelve.
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𝑅11
𝑅21
𝑅31
[𝑅𝑚1
𝑅12 𝑅13
𝑅22 𝑅23
𝑅32 𝑅33
⋮
𝑅𝑚2 𝑅𝑚3
⋯
⋱
⋯
Versión 09.08.2017
𝑣𝐹1
𝑅1𝑚
𝑖1
𝑣𝐹2
𝑖2
𝑅2𝑚
𝑅3𝑚 ∗ 𝑖3 = 𝑣𝐹3
⋮
⋮
⋮
𝑅𝑚𝑚 ] [𝑖𝑚 ] [𝑣𝐹𝑚 ]
Con notación matricial simplificada:
𝑹𝑚×𝑚 ∗ 𝑰𝑚×1 = 𝑽𝑚×1
Más sintética:
𝑹∗𝑰=𝑽
R = Matriz de coeficientes del sistema o matriz de resistencias.
I = Matriz de incógnitas del sistema o matriz de corrientes.
V = Matriz de términos independientes o matriz de fuentes de tensión.
Por lo tanto resulta un sistema de ecuaciones DETERMINADO y COMPATIBLE. Esto significa que tiene solución y además que
ésta solución es única.
Respecto a lo que ya sabemos sobre el Teorema de Cramer y acotando nuestro desarrollo a un circuito de m =
mos 3 corrientes de malla incógnitas:
𝑹𝟏𝟏
(𝑹𝟐𝟏
𝑹𝟑𝟏
𝑹𝟏𝟐
𝑹𝟐𝟐
𝑹𝟑𝟐
3 mallas tene-
𝒗𝟏
𝑹𝟏𝟑
𝒊𝟏
𝑹𝟐𝟑 ) ∗ (𝒊𝟐 ) = (𝒗𝟐 )
𝒗𝟑
𝑹𝟑𝟑
𝒊𝟑
𝑹3×3 ∗ 𝑰3×1 = 𝑽3×1
Este sistema de ecuaciones, expresado en formato matricial, posee las siguientes soluciones por Cramer:
𝒊𝟏 =
𝑵𝟏
=
|𝑹|
𝒗𝟏
|𝒗𝟐
𝒗𝟑
𝑅12 𝑅13
𝑅22 𝑅23 |
𝑅32 𝑅33
|𝑹|
𝒊𝟐 =
𝑵𝟐
=
|𝑹|
𝑅11
|𝑅21
𝑅31
𝒗𝟏 𝑅13
𝒗𝟐 𝑅23 |
𝒗𝟑 𝑅33
|𝑹|
𝒊𝟑 =
𝑵𝟑
=
|𝑹|
𝑅11
|𝑅21
𝑅31
𝑅12
𝑅22
𝑅32
|𝑹|
𝒗𝟏
𝒗𝟐 |
𝒗𝟑
Donde:
|R| = Determinante de la matriz de resistencias
Nk = Numerador del cociente de cada incógnita.
Referencia **
Continuamos desde aquí con la presentación de nuestros ejemplos dedicados al MCM.
Para el Ejemplo 1 tenemos el siguiente sistema:
𝟗𝒊𝟏 − 𝟑𝒊𝟐 = −𝟒𝟐
2 ecuaciones
−𝟑𝒊𝟏 + 𝟕𝒊𝟐 = 𝟏𝟎
Para m= 2:
𝑹2×2 ∗ 𝑰2×1 = 𝑽2×1
[
|𝑹| = |
9
−3
𝑖
9 −3
−42
] ∗ [ 1] = [
]
𝑖
−3 7
10
2
−3
| = 63 − [(−3) ∗ (−3)] = 𝟓𝟒
7
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Nuevamente aquí llegamos a conclusiones similares a las del MVN.
Observaciones sobre el MCN aplicado en este Ejemplo 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
La matriz de resistencias R es simétrica respecto de su diagonal principal. Todos los elementos de esta matriz que están fuera de la diagonal principal son negativos y todos los elementos que forman la diagonal principal son positivos.
Lo anterior solo ocurre en circuitos que solo contienen fuentes de tensión independientes.
Lo anterior es consecuencia de la aplicación sistemática de conceptos matemáticos analizados desde el modelo circuital; lo que nos permite llevar un control sistemático de los progresos de nuestros cálculos.
Habrá una ecuación por cada malla definida en el circuito dado.
La simetría de la matriz de resistencias R, necesariamente debe obedecer a una simetría esquemática del circuito de
donde proviene. Por el momento solo puede reconocerse tal simetría en aquéllos circuitos que poseen solo fuentes de
tensión independientes.
No existe ni simetría, ni matriz de conductancias en aquéllos circuitos que poseen al menos una fuente de corriente.
Comprobaremos esta asimetría en circuitos que tienen por lo menos una fuente de corriente, en el siguiente ejemplo de
resolución sobre el MCM.
Ejemplo 2: Circuito con una o más fuentes de corriente22 independientes
En este circuito, se pide encontrar las 3 corrientes de malla. En este circuito se ha incluido una fuente de
corriente de 7 Amperes en la rama central vertical.
Parte A: Planteo de esquema
 Trabajando en la clarificación del circuito dado, obtenemos el Circuito 2.
 Al intentar la aplicación de la LVK vemos que se presentan problemas en las malla  y  con la fuente de corriente presente. Se desconoce la tensión que se establece por esta rama, ya que no hay forma de expresarla.
 Sin embargo no es necesario conocer la tensión presente en esta rama, simplemente porque por definición de
fuente de corriente ideal es que, su voltaje es independiente de la tensión a sus bornes.
 Para resolver este inconveniente, se trata a estas dos mallas problemáticas como si fuesen una sola malla que
llamaremos supermalla y se aplica la LVK a ambas simultáneamente.
1Ω
2Ω
3Ω
+
-
7A
7V
1Ω
2Ω
Circuito 1
Parte B: Planteo de ecuaciones
Con nuestro circuito “clarificado” buscamos las fórmulas del
sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
1

Para la Supermalla:
−7 + 1(𝑖1 − 𝑖2 ) + 3(𝑖3 − 𝑖2 ) + 1𝑖3 = 0
−7 + 𝑖1 − 𝑖2 + 3𝑖3 − 3𝑖2 + 1𝑖3 = 0
𝒊𝟏 − 𝟒𝒊𝟐 + 𝟒𝒊𝟑 = 𝟕
[]
Para la Malla 2:
+
-
7V
i1

i2
2
3
7A
2

1
i3
1(𝑖2 −𝑖1 ) + 2𝑖2 + 3(𝑖2 −𝑖3 ) = 0
𝑖2 −𝑖1 + 2𝑖2 + 3𝑖2 −3𝑖3 = 0
−𝒊𝟏 + 𝟔𝒊𝟐 −𝟑𝒊𝟑 = 𝟎
22
[]
Circuito 2
Ver discusión completa y solución en Hayt-Kemmerly, página 69.
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Para la Rama central:
𝒊𝟏 − 𝒊𝟑 = 𝟕
[]
Y ya tenemos las 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Ahora estamos en condiciones de agrupar las ecuaciones
[], [] y [].
𝒊𝟏 − 𝟒𝒊𝟐 + 𝟒𝒊𝟑 = 𝟕
−𝒊𝟏 + 𝟔𝒊𝟐 − 𝟑𝒊𝟑 = 𝟎
𝒊𝟏 + 𝟎𝒊𝟐 − 𝒊𝟑 = 𝟕
Sistema de ecuaciones lineales de orden
3x3
Parte C: Resolución de ecuaciones
Este sistema de ecuaciones puede ser expresado, como ya vimos, mediante una multiplicación de matrices:
𝟏
(−𝟏
𝟏
𝒊𝟏
𝟕
−𝟒 𝟒
𝟔 −𝟑) ∗ (𝒊𝟐 ) = (𝟎)
𝒊𝟑
𝟎 −𝟏
𝟕
El sistema matricial tiene soluciones son para m = 3 y aplicando el software Derive:
SOLVE([1x-4y+4z=7, -x+6y-3z=0, x+0y-z=7], [x, y, z])
Finalmente:
𝒊𝟏 = 𝑥 = 𝟗 [𝐴]
𝒊𝟐 = 𝑦 =
𝟓
[𝐴]
𝟐
𝒊𝟑 = 𝑧 = 𝟐 [𝐴]
Observaciones sobre el MCM aplicado en el Ejemplo 2
1.
2.
3.
La matriz de resistencias R no existe y la matriz R no es simétrica respecto de su diagonal principal.
No todos son elementos negativos de la matriz R, fuera de su diagonal principal.
Lo anterior es consecuencia de la presencia de —por lo menos— una fuente de corriente en el modelo circuital analizado.
4. Finalmente, el número total de mallas se reduce en 1, por cada fuente de corriente existente. Por ejemplo las mallas 
y  son consideradas, para este tratamiento (suma algebraica de tensiones igualada a cero), como una única malla.
5. Las ecuaciones que corresponden a mallas que se reducen se obtienen directamente del valor de la(s) corriente(s)
existente(s) en cada supermalla.
Ejemplo 3: Circuito con una o más fuentes de corriente23 dependientes
En este circuito, también se pide encontrar las 3 corrientes de malla. Como variante del ejemplo anterior tenemos una fuente de corriente dependiente de la tensión vx que se desarrolla en la resistencia de 3
ohms de la rama central horizontal.
Parte A: Planteo de esquema
 Hacemos la clarificación del mismo circuito anterior para obtener el Circuito A que presentamos aquí.
 Tenemos 2 fuentes de corriente: una fuente independiente y la otra es una fuente dependiente.
 Se define la supermalla involucrando a estas 2 fuentes
de corriente.
 Las fuentes de corriente están ubicadas en las mallas
 y .
 Como la fuente de corriente independiente está localizada en una malla perimetral , es posible eliminarla
de los cálculos.
23
Ver discusión completa y solución en Hayt-Kemmerly, página 69.

i2
1

i1
2
3
+
15A
𝟏
𝒗
𝟗 𝒙
vx 
1
2
i3
Circuito A
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 Entonces la fuente de corriente dependiente de vx queda incluida en la trayectoria de la supermalla.
Por eso resulta innecesario escribir otra ecuación para la malla ; pues ya figura asumida en la supermalla.
 Por lo dicho, la presencia de 2 (dos) fuentes de corriente, hace innecesaria la aplicación de la LVK más
de una vez y solo en la malla ; cuya ecuación es capaz de relacionar a todas las corrientes involucradas.
 Los valores de las fuentes de corriente son las que proporcionan las otras dos ecuaciones necesarias
para el planteo del sistema.
Parte B: Planteo de ecuaciones
Aplicamos el MCM para encontrar las fórmulas del sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
Para la Malla :
1(𝑖2 −𝑖1 ) + 2𝑖2 + 3(𝑖2 −𝑖3 ) = 0
⇒
𝑖2 −𝑖1 + 2𝑖2 + 3𝑖2 −3𝑖3 = 0
−𝒊𝟏 + 𝟔𝒊𝟐 −𝟑𝒊𝟑 = 𝟎
[ ]
Para las fuentes de corriente:
𝒊𝟏 = 𝟏𝟓 [𝑨]
[]
Para la rama central vertical:
1
𝑣 = 𝑖3 − 𝑖1
9 𝑥
𝑐𝑜𝑛
𝑣𝑥 = 𝟑(𝒊𝟑 − 𝒊𝟐 )
⇒
1
1
𝒊𝟑 − 𝑖2 − 𝒊𝟑 + 𝑖1 = 0
3
3
Resulta:
1
𝟑(𝒊𝟑 − 𝒊𝟐 ) = 𝑖3 − 𝑖1
9
𝟏
𝟐
𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 − 𝒊𝟑 = 𝟎
𝟑
𝟑
[]
Completando y agrupando las ecuaciones [], [] y [], ya tenemos las 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
−𝒊𝟏 + 𝟔𝒊𝟐 − 𝟑𝒊𝟑 = 𝟎
𝒊𝟏 + 𝟎𝒊𝟐 + 𝟎𝒊𝟑 = 𝟏𝟓
𝟏
𝟐
𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 − 𝒊𝟑 = 𝟎
𝟑
𝟑
Sistema de ecuaciones lineales de orden
3x3
Parte C: Resolución de ecuaciones
Este sistema de ecuaciones puede ser expresado como una multiplicación de matrices:
(
−𝟏
𝟏
𝟏
𝟔
−𝟑
𝒊𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
𝒊
)
∗
(
)
=
(
𝟏𝟓)
𝟐
𝟏
𝟐
𝒊𝟑
−
−
𝟎
𝟑
𝟑
Cuyas soluciones son para m = 3 y aplicando el software Derive:
SOLVE([-x+6y-3z=0, x+0+0z=15, x-(1/3)y-(2/3)z=0], [x, y, z])
Finalmente:
[x = 15 ∧ y = 11 ∧ z = 17]
𝒊𝟏 = 𝑥 = 𝟏𝟓 [𝐴]
𝒊𝟐 = 𝑦 = 𝟏𝟏 [𝐴]
𝒊𝟑 = 𝑧 = 𝟏𝟕 [𝐴]
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Resumen general de conclusiones sobre el MCM
Detalles metodológicos y técnicos se han dado ya en cada uno de los ejemplos de resolución desarrollados.
Aquí damos conclusiones más generales:
1. El MCM (Método de Corrientes Mallas) no es un método universal ya que solo es aplicable a los
circuitos planos. Tiene como contrapartida el hecho de ser más intuitivo, ya que la Ley de Ohm
es aplicable en su versión original v=i.R.
2. En cada circuito a resolver por el MCM (Método de Corrientes de Mallas), que posea m mallas, tendremos una ecuación por cada malla; esto es m ecuaciones que permiten resolver la misma cantidad de incógnitas, que son las m corrientes de malla.
3. Según la nueva definición de malla, es posible asegurar que las ecuaciones que se deducen a partir
de ellas resultan linealmente independientes; por lo cual el LVK se satisface automáticamente.
4. Como dato inicial recibimos el esquema de un circuito que debemos clarificar mediante múltiples
recursos aprendidos (convenciones y simplificaciones puramente electrotécnicas).
a. Los mallas deben diferenciarse claramente de las ramas y también las supermallas de las
mallas.
b. Numerar todos las mallas en la ubicación que le corresponde topológicamente según el
SAR.
c. Cada fuente (de corriente o de tensión, independiente o dependiente) debe quedar acompañada de su correspondiente valor, expresión, polaridad o sentido acordados según el
CPS y el SAR.
d. Transformar todas las conductancias G a resistencias R y aplicar la Ley de Ohm original,
v=i.R, a través de la LVK.
e. Aplicar la LVK, una para cada malla, estableciendo las caídas de tensión iguales a las
subidas de tensión en cada malla.
5. Para los circuitos que solo contienen fuentes de tensión independientes.
a. Ordenar y completar en sentido creciente los términos de cada ecuación.
b. Plantear la matriz de resistencias [G].
c. Verificar la simetría de esta matriz antes de continuar con el cálculo; caso contrario, retroceder y corregir.
d. Aplicar software de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, Derive o Matlab.
6. Para los circuitos que pueden contener al menos una fuente de corriente.
a. Crear una supermalla cuya corriente involucre a los terminales de cada fuente de corriente presente, sea ésta independiente (constante) o dependiente (controlada); y especificarla (dibujarla) claramente mediante recursos gráficos en el esquema circuital.
b. Numerar a todas las mallas y a las supermallas, según el SAR y aplicar la LVK a todas
ellas, una por vez.
c. El número total de mallas se reduce en 1 por cada fuente de corriente (constante o controlada) encontrada en el recorrido de una supermalla. El resto de la(s) m’s ecuación(es)
se obtiene(n) directamente a partir de(los) valor(es) de la(s) corriente(s) de la(s) fuente(s)
y de sus respectivos sentidos.
Con estas sugerencias vamos a resolver el circuito más universal, que tiene todos los tipos de elementos
posibles y que se presenta en el problema P5-P3 (problema P3 del práctico P5)
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