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ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Regla de Signos en la Adición de Números Enteros
1. Para sumar números enteros del MISMO
SIGNO, sumamos los valores absolutos, y el
signo del resultado es el mismo de los
sumandos.
2. Para sumar números enteros de DISTINTO
SIGNO, restamos los valores absolutos (el
mayor MENOS el menor), y el signo del
resultado es el del MAYOR valor absoluto.
Ejemplos:
Ejemplos:
a) (-12) + (-8) = (-20)
a) (-15) + (-5) = (-10)
b) (+40) + (+10) = (+50)
b) (-15) + (+20) = (+5)
c) (-300) + (-100) = (-400)
c) (+8) + (-9) = (-1)
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Para hallar la diferencia de dos números enteros transformamos la sustracción en una adición del minuendo
con el opuesto del sustraendo.
Ejemplo:
Minuendo
Sustraendo
a) Efectuar:
(-8) – (-3)
El opuesto del sustraendo es (+3)
La sustracción convertida en ADICIÓN:
(-8) + (+3) = (-5)
PRACTICA PARA LA CLASE
I.
Efectuar las siguientes sumas:
13. (-17) + (-15) + (+32) =
1. (+3) + (+8) =
14. (-7) + (+7) + (+1) =
2. (+8) + (-3) =
15. (-9) + (+9) + (+11) =
3. (-8) + (+5) =
16. (+17) + (-11) + (+17) + (-34) =
4. (-8) + (-7) =
17. (+21) + (+24) + (+26) + (+69) =
5. (-3) + (-3) =
18. (+49) + (+31) + (-24) + (+17) =
6. (-9) + (+9) =
19. (+11) + (-7) + (-3) + (-4) =
7. (+24) + (+32) =
20. (-3) + (-1) + (-1) + (-1) + (+6) =
8. (+13) + (-11) =
II.
Efectuar las siguientes sustracciones:
9. (-7) + (-3) + (-2 ) =
1.
(+9) – (+3) =
2.
(+8) – (+9) =
3.
(+6) – (+12) =
10. (-1) + (-2) + (-3) + (-3) =
11. (+9) + (-3) + (-6) =
12. (+11) + (-9) + (-3) =
III.
4.
(+3) – (+2) =
5.
(+7) – (+9) =
6.
(+11) – (-3) =
7.
(+18) – (-9) =
8.
(+24) – (-2) =
9.
(+31) – (-9)=
10.
(-24) – (-3) =
11.
(-32) – (+6) =
12.
(-81) – (-40) =
(-62) – (-60) =
14.
(+62) – (-30) =
15.
(+311) – (-311) =
16.
(+24) – (+24) =
17.
(+24) – (1) =
18.
(+6) – (-6) =
19.
(244) – (+244) =
20.
(+22) – (-22) =
6.
(-31 + 20) + (-8 -15)
7.
[-15 – (14 –13) + 8]
8.
[15 – (12 –15)] – (15 –12)
Efectuar:
1.
–3 + 8 – 2 – 5
2.
7 + 37 – 9 + 2
3.
25 – 50 – 100 + 125
4.
IV.
13.
– 8 – 9 – 10 + 11 + 12
5.
(-3 + 8) – (4 – 15)
Efectuar:
1.
{-5 + 7 – [8 – 9 – 10] + 3} – {[–(-5 –8) + 10] –20}
a) –13
2.
e) 10
b) –1
c) 0
d) 11
e) 17
b) –9
c) –18
d) +18
e) 0
b) 36
d) 56
e) -56
d) –5
e) –6
c) –37
-5 –{-8 – [-7 -6 –(-5 -4)] –3 –2} –1
a) –3
7.
d) –8
c) –7
{-[-9 + 8 -(-3 –7)] + [-8 –(7 + 9 +8) –15]}
a) 38
6.
b) 7
-{-[-9 - 9 – (9 –9 -9)] –9}
a) 9
5.
e) 13
[3 + 8 –12 + (15 -17) + 3] –8 +9
a) 1
4.
d) –19
c) 19
{8 –15 – [(3 – 8 + 6) –13] + 5}
a) 8
3.
b) 21
b) +3
c) –4
45 –{-78 + 90 –[ -10 + 101]} – (150 -157)
a) 41
8.
VI.
d) –41
e) 181
–{7 + [5 –(-7 -2)]} + 5 –{-[9 –(14– 5)+ 3] -5} –8
a) 21
V.
c) –27
b) 27
c) –21
b) 42
d) –16
e) 16
Hallar los números enteros a colocar en los casilleros, empleando las propiedades estudiadas.
a.
+ (-17) = (-17)
f.
– (+2) = (-5)–(-2)
b.
+ (+2) +(-3) = (-24)
g.
(+2) +(+3) –
= (-7)
c.
– (-3) = (+16)
h.
(-2) +(-7) +(–
) = (-1)
d.
(+3) – (+8) =
i.
(+5) +
= (-7)
e.
– (+)+(-2) = (+1)–(-3)
j.
(-17) –
=0
– (+3)
Resolver:
1. Si Pablo nació en el sesquicentenario de
la independencia del Perú, ¿en qué año
cumplió 30 años de edad?
a) 1991
d) 2002
b) 2001
e) 1999
c) 2000
a) 21
d) 6
2. Anita se pone a dieta. El primer
bajó 400 g el segundo mes bajó
más que el mes anterior y el tercer
subió 600 g. ¿Cuántos gramos
Anita en total al tercer mes?
a) 200 g
d) 900
b) 1 000
e) 400
mes
200
mes
bajó
c) 800
3. Aldo y Carlos tienen juntos S/. 442.
¿Cuánto dinero tiene Aldo si se sabe
que tiene S/. 68 menos que Carlos?
a) S/. 157
d) 255
b) 187
e) 265
4. Dentro de 9 años, mi edad será 6 años
más que la de Ricardo. Si actualmente
nuestras edades suman 36 años, ¿cuál
es la edad de Ricardo?
c) 127
b) 15
e) 8
c) 13
5. La suma de dos números es 32, si su
diferencia es 10, ¿cuál es el menor de
dichos números?
a) 10
d) 14
b) 11
e) 16
c) 12
6. Al sumar dos números se obtiene 9. si el
mayor excede al menor en 18, ¿cuál es
el número mayor?
a) 55
d) 90
b) 40
e) 35
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Regla de signos para la multiplicación de números enteros:
1. “Si dos números enteros tienen el mismo signo, su producto tendrá signo positivo”
c) 65
Ejemplo:
(-5) x (-3) = (+15)
(+8) x (+2) = (+16)
2. “Si dos números enteros tienen distinto signo, su producto tendrá signo negativo”
Ejemplo:
(-5) x (+3) = (-15)
(+8) x (-2) = (-16)
En resumen:
(+)(+)=(+)
Observación: Una multiplicación como:
(–)(–)=(+)
(+)(–)=(–)
(+5) x (-3)
también puede ser expresada como:
(–)(+)=(–)
(+5) (-3)
Observación: De la regla de signos para la multiplicación se desprende lo siguiente al multiplicar dos o más
factores.
1) Si todos los factores tienen signo POSITIVO, el producto también es POSITIVO.
Ejemplo:
a. (+3) (+2)(+5) = +30
b. (+4) (+7) (+1) (+2) = (+56)
2) Si algunos de los factores son de signo negativo, tendremos en cuenta la cantidad de estos factores.
2.1 Si la cantidad de factores que tienen
signo negativo es un número PAR, el
producto total es de signo positivo.
2.2 Si la cantidad de factores que tiene signo
negativo es un número IMPAR, el
producto total es de signo NEGATIVO.
Ejemplo:
Ejemplos:
a. (-2) (-3) (-1) (-4) = (+24)
a. (-8) (-2) (-1) (+3) = (-48)
N° de factores negativos: 4 ¡PAR!
b. (+5) (-3) (+2) (+4) (-1) = (+120)
N° de factores negativos: 2 ¡PAR!
N° de factores negativos:3 ¡IMPAR!
b. (+3) (+4) (-9) (+1) = (-108)
N° de factores negativos: 1 ¡IMPAR!
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
1. Propiedad de Clausura
“El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número también entero”
Si: a  Z y b  Z  a x b  Z
Ejemplo:
Si: (-3)  Z y (+4)  Z
entonces: (-3) (+4) = (-12)  Z
2. Propiedad Conmutativa
“El orden de los factores no altera el producto”
axb=bxa
Ejemplo:
(+13) (-3) = (-3) (+13)
(-39) =
39
3. Propiedad Asociativa
“La forma como se agrupen los factores, no altera el producto”
(a x c) x c = a x (b x c)
Ejemplo:
[(-5)(+2)] (-3) = (-5) [(+2)(-3)]
(-10)(-3) = (-5) (-6)
+30 = -30
4. Elemento Neutro
“El elemento neutro de la multiplicación de números enteros es el +1. Cualquier número entero
multiplicado por el elemento neutro da como producto el mismo número entero”.
a x (+1) = a
Ejemplo:
(+157) (+1) = 157
5. Elemento Absorbente
“El elemento absorbente de la multiplicación de número enteros es el CERO”. En cualquier
multiplicación de dos o más factores si al menos UNO DE ELLOS es CERO, entonces el producto es
cero”
ax0=0
Ejemplo:
(-1532) (+742) (-3) (0) (-1) = 0
6. Propiedad de monotonía
“Si multiplicamos ambos miembros de una igualdad por un mismo número entero, obtenemos otra
igualdad”
Si: a = b  a x c = b x c
Ejemplo:
(-2) (-7) = (+14)
multiplicamos ambos miembros por (+3)
(-2) (-7) (+3) = (+14) (+3)
+ 42 = +42
7. Propiedad cancelativa
“Si en ambos miembros de una igualdad, aparece como factor un mismo número entero DIFERENTE
DE CERO, este puede cancelarse o suprimirse”
Si: a x c = b x c y además c = 0
entonces a = b
Ejemplo:
Si: (-3) (+4) (-6) = (-3) (-8) (+3)
entonces (+4) (-6) = (-8) (+3)
-24 = -24
8. Propiedad distributiva
“Si un número entero multiplica a una ADICIÓN, resulta la suma de los productos de dicho número
entero por cada uno de los sumandos”
a x (b + c) = a x b + a x c
Ejemplo:
(-6) [(+4) + (3)] = (-6) (+4) + (-6)(-3)
(-6) [+1] = (-24) + (+18)
(-6) = (-6)
DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Regla de signos para la división de números enteros:
Al dividir dos números enteros del MISMO
SIGNO, el cociente obtenido es de SIGNO
POSITIVO.
1.
Ejemplos:
2.
Al dividir dos números enteros de DISTINTO
SIGNO, el cociente obtenido es de SIGNO
NEGATIVO.
Ejemplos:
(+20)  (+4) = (+5)
(–40)  (–5) = (+8)
(+20)  (–5) = (–4)
(–40)  (+8) = (–5)
En resumen:
( + ) ( + ) = ( + )
Observación:
Las reglas de signos de la multiplicación
( – ) ( – ) = ( + )
y división de números enteros son
( + ) ( – ) = ( – )
similares
( – ) ( + ) = ( – )
PROBLEMAS
I.
Completa el siguiente cuadro efectuando las
multiplicaciones indicadas:
X
+6
-8
-4
+3
-10
+9
-2
6. (-4) (+10) (+3)
+11
7. (+2) (-2) (+2) (-2) (-2)
-3
+5
8. (-2) (+2) (-3) (+4) (-5)
+4
+2
-7
9. (-1) (+2) (-3) (+4) (-5)
-11
II.
Resuelve las siguientes operaciones:
1. (-9) (-3)
2. (+9) (-2)
10. (-3) (-3) (-3) (+2) (+2)
11. (-2) (-2) (2) ... (-2) (-2)
8 veces
12. (-1) (-1) (-1) ... (-1)
30 veces
3. (-10) (+3)
13. (-1) (-1) (-1) ... (-1)
4. (+3) (-2) (+4) (+5)
5. (-1) (-2) (-3) (-4)
101 veces
14. (-1) (+1) (-1) (+1) ... (-1) (+1)
34
18. (-9) (-8) (-7) (-6) (+5 -3 -2)
15. (+5 -3) (+5 -2) (+5 -1) (+1 -5)
19. (-8) (+2) (-1) (+4) (-3 +3)
16. (-1) (+1) (-1) (+1) ...
13 factores
20. (+12 -20) (+12 -19) (+12 -18) (+12 -17)
... (+12 -2) (+12 -1)
17. (-1) (-3) (-1) (-3) ...
7 factores
III.
Completa el siguiente cuadro efectuando las divisiones indicadas. Coloca un aspa si la división es
inexacta
-1
+2
-2
+3
-4
-5
-11
-15

+110
+12
-15
-24
+100
-120
+440
-600
+1000
IV.
Efectuar:
1. (-32)  (16)
6. (512)  (-8)
2. (+320)  (-16)
7. (-1024)  (-8)
3. (+480)  (-120)
8. (+444)  (+11)
4. (-1000)  (-50)
9. (-3522)  (-3)
5. (-132)  (+12)
10. (780)  (+15)
V.
Resolver:
1. Si en una multiplicación de tres números
enteros se duplica uno de ellos, ¿qué
sucede con el producto?
a) queda multiplicado por 2
b) queda dividido por 2
c) queda multiplicado por 4
d) queda dividido por 4
e) no se altera
2. Si en una multiplicación de tres enteros
se duplica cada uno de ellos, ¿qué
sucede con el producto?
a) queda multiplicado por 2
b) queda multiplicado por 4
c) queda multiplicado por 6
d) queda multiplicado por 8
e) no se altera
3. Luego de dividir el menor número entero
de dos cifras entre +9 el cociente es:
a) +11
b) –11
c) +10
d) +9
e) +1
a)
b)
c)
d)
e)
7. El producto de dos números no positivos
es 18 y su cociente es 2. ¿Cuál es la
suma de estos números?
a) –12
b) –9
c) –6
d) –14
e) –8
8. Luego de multiplicar el triple de (-24)
con la mitad de (-24), el producto es:
a) +864
b) –864
c) +3456
d) –3456
e) N.A.
9. Tengo cierto número de pelotas para
vender. Si las vendo a S/. 17 cada una,
gano S/. 12, pero si las vendería a S/.
15 cada uno perdería S/. 6 en total.
¿Cuántas pelotas tengo para vender?
4. Al dividir el mayor número entero de tres
cifras diferentes entre el opuesto de +3,
el cociente es:
a) –333
b) +333
c) –329
d) +329
e) +309
5. Tengo S/. 101 y quiero dar S/. 15 de
propina a cada uno de mis 7 sobrinos,
¿cuánto dinero me falta?
a) S/. 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 105
queda multiplicado por 12
queda multiplicado por 6
queda multiplicado por 5
queda dividido por 6
no se altera
a) 6
d) 9
6. Se tiene una multiplicación de 2
factores. Si se duplica uno de ellos y se
triplica el otro, ¿en cuánto varía el
producto inicial?
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Podemos definir la potenciación como la multiplicación abreviada.
Así:
an = a x a x a x … x a
a1 = a
a0 = 1
00 = No está definido
Donde:
a: base
n: exponente
P: potencia
c) 8
10. Si un comerciante vendiera a S/. 11
cada calculadora que tiene, ganaría S/.
60 en total, pero si decide venderlas a
S/. 6 cada una, pierde S/. 20 en total.
¿Cuántas calculadoras tiene para
vender?
a) 24
d) 12
an = P
b) 7
e) 10
b) 8
e) 20
c) 16
Observación: En este capítulo veremos la potenciación sólo con exponente natural.
Ejemplos:
1.
(+5)2 = (+5) (+5) = +25
3.
(-5)2 = (-5) (-5) = +25
2.
(+5)3 = (+5) (+5) (+5) = +125
4.
(-5)3 = (-5) (-5) (-5) = -125
Signos de potenciación en Z
Investiga con otros ejemplos adicionales los signos de la potenciación y completa el cuadro con esos datos.
POTENCIA
EXPONENTE PAR
EXPONENTE IMPAR
Base positiva
Base negativa
En resumen:
(+a)par o impar = +P
(-a)par = +P
(-a)impar = -P
CASOS ESPECIALES
a. Multiplicación de potencias de bases iguales
a2 x a3 = (a x a) x (a x a x a) = a5
am x an = a(m+n)
a x a5 = a x (a x a x a x a x a) = a6
b. División de potencias de bases iguales
a5  a2 =
a6  a =
c.
a5 a  a  a  a  a 3
=
=a
aa
a2
am  an = a(m-n)
a6 a  a  a  a  a  a 5
=
=a
a
a
Potencia de potencia
a  = (a x a) x (a x a) x (a x a) x (a x a) = a
a  = (a x a x a) x (a x a x a) = a
2 4
3 2
8
6
a 
n m
 a n m
RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Ahora que conoces la operación de potenciación, recorre uno de los caminos inversos.
Piensa qué número debes elevar a cada exponente para que dé el resultado que se indica y completa.
a) (.........)3 = +8
d) (.........)2 = +25
b) (.........)3 = +27
e) (.........)4 = +16
c) (.........)2 = +64
f) (.........)3 = +64
El cálculo que has hecho, recibe el nombre de RADICACIÓN.
En el caso del primer ejercicio, la escribimos así:
3
 8  2 porque 23 = 8
En símbolos:
índice
n
a b
porque
bn  a
radical
radicando
raíz
Observación 1: El índice “n” debe ser un número natural mayor que UNO (n>1)
Observación 2:
PAR
a
no está definida en Z.
negativo
 25 ; no existe un número entero que elevado al cuadrado, dé como resultado –25.
Por ejemplo:
CASOS ESPECIALES
1. Raíz de una multiplicación indicada:
n
ab  n a n b
3. Raíz de una potencia:
n
am  n a
l.
(-11)2 =
2. Raíz de una división indicada:
n
a b  n a n b
PROBLEMAS
1. Completa el número que falta en el casillero
correspondiente:
a. (-9)2 =
2. Calcula:
b. (-1)13456 =
a. -31 =
c.
(-1)7
d.
(-1)8
e.
(-3)2
f.
(-2)3 =
g.
(+7)2
h.
(-4)3
i.
(-1)0
j.
(-7 + 7)0 =
k.
(+12)2 =
=
b. 32 =
=
c.
(-3)2 =
=
d. (+3)2 =
e. (-3)0 =
=
f.
–32 =
=
g. –(-3)0 =
=
h. –(-3)3 =
3. Resuelve:
m
a. –34 + (-3)4
c.
b. –35 + (-3)5
d. 02 + (20 x 20)
02 + 20 x 20
4. Completa los casilleros para que se verifiquen las siguientes igualdades:
a) (-3)2 (-3)3 (-3)4 (-3)5 = (-3)
b) (-19)153 (-19)118 = (-19)
c)
(13)10 (13) 8
 (13)
(13)16
d) (-5)2 (-6)(-5+5) =
5. Completa el número que falta (si existe) en el casillero correspondiente.
a.
3
b.
 27 
g.
 121 
h.
3
 64 
 49 
c.
3
8 
i.
3
 1000 
d.
5
 32 
j.
4
 625 
e.
4
 81 
k.
5
= -32
f.
3
 64 
l.
2
= +16
6. Calcula y completa el siguiente cuadro, en los
casos posibles.
Número
Cuadrado
7. Expresa simbólicamente los enunciados y
luego escribe los resultados.
Cubo
a) ¿Qué números naturales elevados al
cuadrado dan un resultado que no supera
al número 26?
27
b) ¿Qué números enteros elevados al
cuadrado dan un resultado que no supera
al número 26?
-10
64
-2
-16
-64
c) Las raíces cúbicas de ciertos números
enteros son mayores que 4. ¿Cuáles son
esos números?
8. Ingéniatelas para completar los siguientes recuadros:
a)
4
b)
27  3
c)
4
=4
d)
3
e)
3
(1000)  (64) 

f)

x 36
= 12
= (-2)  (+5)
9. Resuelve:
a) 4 x [(5-2) (1-3)]2 – (-10-2)2
c)
b) 10  5 –(-3 +1)3
3
8 x (-4 +9) –(-8 +1)
d) –
16 x (-3) +(-9 +15)2 x (-2)
10. Indicar el resultado de:
[-9+6-3-2-9+1]2
14. Completar el siguiente casillero para que se
verifique la siguiente igualdad:
b) –256
e) +256
a) +128
d) +64
c) –128
(5) 21 (5) 2 (5)
(5) 29 (5) 2
a) 8
d) 7
11. Indicar el resultado de:
=
b) 10
e) 6
(–5)2
c) 11
[+24-18-9+6]3
a) –9
d) +8
b) –27
e) –8
15. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
c) +27
I.
12. Indicar el resultado del opuesto del resultado
(-2)5.
a) +24
d) +32
b) –16
e) +16
c) –32
13. Completar el valor que falta en el casillero
correspondiente:
[[(-3)2]0]31 = -1 ......................... (
)
II. –34 = +81
......................... (
)
(9) 2
III.
 3
(3) 3
......................... (
)
a) VVF
b) VFF
d) FFV
e) VVV
c) FFF
(-3)4 =
(-5)3 =
16. Indicar la suma de los valores de los
recuadros en:
(-2)5 =
Dar como
resultados.
a) –328
d) –128
respuesta
la
b) +228
e) –238
suma
de
[(-2)4(-3)12(+153)4] = (+2)
(-3)
a) 76
d) 81
c) 77
(+15)
los
b) 82
e) 74
c) +238
17. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
18. Indicar el resultado de:
I.
II.
III.
IV.
(-5)2 = + 25
(-3)3 = -27
(-7)3 = -243
(+2)3 = -8
a) VVFF
d) FVFV
b) VVVF
e) VVVV
4
 5  27  9  (3) 3  14
b) –1
e) No existe en Z
a) +2
d) +1
c) 0
c) VFVF
19. Indicar el resultado de restar A de B si:
A=
5
 36  (2) 2
B=
3
 28  (51) 0
a) –3
d) –1
b) +1
e) –2
22. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
c) –5
20. Indicar el valor que debe ir en los recuadros:
I.
4
81
II.
3
 64 =
III.
2432
=
1=
Dar como respuesta la suma de valores
encontrados.
a) +2
b) –2
c) –1
d) +1
e) 0
I.
3
 1000  10
II.
4
 81 No existe en Z
(2) 4  9  5
III.
a) VVV
b) VFV
c) FVV
d) FFV
e) FFF
23. Completar el casillero con un número entero
para que la igualdad sea correcta:
 27  8  3  2
a) 0
d) 3
b) 1
e) no existe valor
24. Operar:
(-5)2 +
21. Indicar el valor que debe ir en cada recuadro:
c) 2
a) 20
d) 24
9

(2) 9  (3  3)   2
b) 22
e) 25

2 0
c) 23
(5) 2  (12) 2 
I.
II.
3
 27 
III.
4
(2) 2  (7)(11) 
Dar como respuesta la suma de los dos
mayores valores encontrados.
a) +3
b) +13
c) –9
d) +16
e) –2
25. Completar los casilleros con números enteros
para que la igualdad sea correcta:
225  49 

Dar como respuesta la suma de valores
encontrados:
a) 20
d) 23
b) 21
e) 24
c) 22
26. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
3
I.
= 81, entonces el valor que va en
el recuadro es 4.
II.
x 9 = 3, entonces el valor que va
en el recuadro es 1.
 27 no existe en Z, entonces el
III. Si:
valor que toma el recuadro es un número
par.
a) FFF
d) FVV
b) FVF
e) FFV
c) VVV