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ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Regla de Signos en la Adición de Números Enteros 1. Para sumar números enteros del MISMO SIGNO, sumamos los valores absolutos, y el signo del resultado es el mismo de los sumandos. 2. Para sumar números enteros de DISTINTO SIGNO, restamos los valores absolutos (el mayor MENOS el menor), y el signo del resultado es el del MAYOR valor absoluto. Ejemplos: Ejemplos: a) (-12) + (-8) = (-20) a) (-15) + (-5) = (-10) b) (+40) + (+10) = (+50) b) (-15) + (+20) = (+5) c) (-300) + (-100) = (-400) c) (+8) + (-9) = (-1) SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para hallar la diferencia de dos números enteros transformamos la sustracción en una adición del minuendo con el opuesto del sustraendo. Ejemplo: Minuendo Sustraendo a) Efectuar: (-8) – (-3) El opuesto del sustraendo es (+3) La sustracción convertida en ADICIÓN: (-8) + (+3) = (-5) PRACTICA PARA LA CLASE I. Efectuar las siguientes sumas: 13. (-17) + (-15) + (+32) = 1. (+3) + (+8) = 14. (-7) + (+7) + (+1) = 2. (+8) + (-3) = 15. (-9) + (+9) + (+11) = 3. (-8) + (+5) = 16. (+17) + (-11) + (+17) + (-34) = 4. (-8) + (-7) = 17. (+21) + (+24) + (+26) + (+69) = 5. (-3) + (-3) = 18. (+49) + (+31) + (-24) + (+17) = 6. (-9) + (+9) = 19. (+11) + (-7) + (-3) + (-4) = 7. (+24) + (+32) = 20. (-3) + (-1) + (-1) + (-1) + (+6) = 8. (+13) + (-11) = II. Efectuar las siguientes sustracciones: 9. (-7) + (-3) + (-2 ) = 1. (+9) – (+3) = 2. (+8) – (+9) = 3. (+6) – (+12) = 10. (-1) + (-2) + (-3) + (-3) = 11. (+9) + (-3) + (-6) = 12. (+11) + (-9) + (-3) = III. 4. (+3) – (+2) = 5. (+7) – (+9) = 6. (+11) – (-3) = 7. (+18) – (-9) = 8. (+24) – (-2) = 9. (+31) – (-9)= 10. (-24) – (-3) = 11. (-32) – (+6) = 12. (-81) – (-40) = (-62) – (-60) = 14. (+62) – (-30) = 15. (+311) – (-311) = 16. (+24) – (+24) = 17. (+24) – (1) = 18. (+6) – (-6) = 19. (244) – (+244) = 20. (+22) – (-22) = 6. (-31 + 20) + (-8 -15) 7. [-15 – (14 –13) + 8] 8. [15 – (12 –15)] – (15 –12) Efectuar: 1. –3 + 8 – 2 – 5 2. 7 + 37 – 9 + 2 3. 25 – 50 – 100 + 125 4. IV. 13. – 8 – 9 – 10 + 11 + 12 5. (-3 + 8) – (4 – 15) Efectuar: 1. {-5 + 7 – [8 – 9 – 10] + 3} – {[–(-5 –8) + 10] –20} a) –13 2. e) 10 b) –1 c) 0 d) 11 e) 17 b) –9 c) –18 d) +18 e) 0 b) 36 d) 56 e) -56 d) –5 e) –6 c) –37 -5 –{-8 – [-7 -6 –(-5 -4)] –3 –2} –1 a) –3 7. d) –8 c) –7 {-[-9 + 8 -(-3 –7)] + [-8 –(7 + 9 +8) –15]} a) 38 6. b) 7 -{-[-9 - 9 – (9 –9 -9)] –9} a) 9 5. e) 13 [3 + 8 –12 + (15 -17) + 3] –8 +9 a) 1 4. d) –19 c) 19 {8 –15 – [(3 – 8 + 6) –13] + 5} a) 8 3. b) 21 b) +3 c) –4 45 –{-78 + 90 –[ -10 + 101]} – (150 -157) a) 41 8. VI. d) –41 e) 181 –{7 + [5 –(-7 -2)]} + 5 –{-[9 –(14– 5)+ 3] -5} –8 a) 21 V. c) –27 b) 27 c) –21 b) 42 d) –16 e) 16 Hallar los números enteros a colocar en los casilleros, empleando las propiedades estudiadas. a. + (-17) = (-17) f. – (+2) = (-5)–(-2) b. + (+2) +(-3) = (-24) g. (+2) +(+3) – = (-7) c. – (-3) = (+16) h. (-2) +(-7) +(– ) = (-1) d. (+3) – (+8) = i. (+5) + = (-7) e. – (+)+(-2) = (+1)–(-3) j. (-17) – =0 – (+3) Resolver: 1. Si Pablo nació en el sesquicentenario de la independencia del Perú, ¿en qué año cumplió 30 años de edad? a) 1991 d) 2002 b) 2001 e) 1999 c) 2000 a) 21 d) 6 2. Anita se pone a dieta. El primer bajó 400 g el segundo mes bajó más que el mes anterior y el tercer subió 600 g. ¿Cuántos gramos Anita en total al tercer mes? a) 200 g d) 900 b) 1 000 e) 400 mes 200 mes bajó c) 800 3. Aldo y Carlos tienen juntos S/. 442. ¿Cuánto dinero tiene Aldo si se sabe que tiene S/. 68 menos que Carlos? a) S/. 157 d) 255 b) 187 e) 265 4. Dentro de 9 años, mi edad será 6 años más que la de Ricardo. Si actualmente nuestras edades suman 36 años, ¿cuál es la edad de Ricardo? c) 127 b) 15 e) 8 c) 13 5. La suma de dos números es 32, si su diferencia es 10, ¿cuál es el menor de dichos números? a) 10 d) 14 b) 11 e) 16 c) 12 6. Al sumar dos números se obtiene 9. si el mayor excede al menor en 18, ¿cuál es el número mayor? a) 55 d) 90 b) 40 e) 35 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Regla de signos para la multiplicación de números enteros: 1. “Si dos números enteros tienen el mismo signo, su producto tendrá signo positivo” c) 65 Ejemplo: (-5) x (-3) = (+15) (+8) x (+2) = (+16) 2. “Si dos números enteros tienen distinto signo, su producto tendrá signo negativo” Ejemplo: (-5) x (+3) = (-15) (+8) x (-2) = (-16) En resumen: (+)(+)=(+) Observación: Una multiplicación como: (–)(–)=(+) (+)(–)=(–) (+5) x (-3) también puede ser expresada como: (–)(+)=(–) (+5) (-3) Observación: De la regla de signos para la multiplicación se desprende lo siguiente al multiplicar dos o más factores. 1) Si todos los factores tienen signo POSITIVO, el producto también es POSITIVO. Ejemplo: a. (+3) (+2)(+5) = +30 b. (+4) (+7) (+1) (+2) = (+56) 2) Si algunos de los factores son de signo negativo, tendremos en cuenta la cantidad de estos factores. 2.1 Si la cantidad de factores que tienen signo negativo es un número PAR, el producto total es de signo positivo. 2.2 Si la cantidad de factores que tiene signo negativo es un número IMPAR, el producto total es de signo NEGATIVO. Ejemplo: Ejemplos: a. (-2) (-3) (-1) (-4) = (+24) a. (-8) (-2) (-1) (+3) = (-48) N° de factores negativos: 4 ¡PAR! b. (+5) (-3) (+2) (+4) (-1) = (+120) N° de factores negativos: 2 ¡PAR! N° de factores negativos:3 ¡IMPAR! b. (+3) (+4) (-9) (+1) = (-108) N° de factores negativos: 1 ¡IMPAR! PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS 1. Propiedad de Clausura “El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número también entero” Si: a Z y b Z a x b Z Ejemplo: Si: (-3) Z y (+4) Z entonces: (-3) (+4) = (-12) Z 2. Propiedad Conmutativa “El orden de los factores no altera el producto” axb=bxa Ejemplo: (+13) (-3) = (-3) (+13) (-39) = 39 3. Propiedad Asociativa “La forma como se agrupen los factores, no altera el producto” (a x c) x c = a x (b x c) Ejemplo: [(-5)(+2)] (-3) = (-5) [(+2)(-3)] (-10)(-3) = (-5) (-6) +30 = -30 4. Elemento Neutro “El elemento neutro de la multiplicación de números enteros es el +1. Cualquier número entero multiplicado por el elemento neutro da como producto el mismo número entero”. a x (+1) = a Ejemplo: (+157) (+1) = 157 5. Elemento Absorbente “El elemento absorbente de la multiplicación de número enteros es el CERO”. En cualquier multiplicación de dos o más factores si al menos UNO DE ELLOS es CERO, entonces el producto es cero” ax0=0 Ejemplo: (-1532) (+742) (-3) (0) (-1) = 0 6. Propiedad de monotonía “Si multiplicamos ambos miembros de una igualdad por un mismo número entero, obtenemos otra igualdad” Si: a = b a x c = b x c Ejemplo: (-2) (-7) = (+14) multiplicamos ambos miembros por (+3) (-2) (-7) (+3) = (+14) (+3) + 42 = +42 7. Propiedad cancelativa “Si en ambos miembros de una igualdad, aparece como factor un mismo número entero DIFERENTE DE CERO, este puede cancelarse o suprimirse” Si: a x c = b x c y además c = 0 entonces a = b Ejemplo: Si: (-3) (+4) (-6) = (-3) (-8) (+3) entonces (+4) (-6) = (-8) (+3) -24 = -24 8. Propiedad distributiva “Si un número entero multiplica a una ADICIÓN, resulta la suma de los productos de dicho número entero por cada uno de los sumandos” a x (b + c) = a x b + a x c Ejemplo: (-6) [(+4) + (3)] = (-6) (+4) + (-6)(-3) (-6) [+1] = (-24) + (+18) (-6) = (-6) DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Regla de signos para la división de números enteros: Al dividir dos números enteros del MISMO SIGNO, el cociente obtenido es de SIGNO POSITIVO. 1. Ejemplos: 2. Al dividir dos números enteros de DISTINTO SIGNO, el cociente obtenido es de SIGNO NEGATIVO. Ejemplos: (+20) (+4) = (+5) (–40) (–5) = (+8) (+20) (–5) = (–4) (–40) (+8) = (–5) En resumen: ( + ) ( + ) = ( + ) Observación: Las reglas de signos de la multiplicación ( – ) ( – ) = ( + ) y división de números enteros son ( + ) ( – ) = ( – ) similares ( – ) ( + ) = ( – ) PROBLEMAS I. Completa el siguiente cuadro efectuando las multiplicaciones indicadas: X +6 -8 -4 +3 -10 +9 -2 6. (-4) (+10) (+3) +11 7. (+2) (-2) (+2) (-2) (-2) -3 +5 8. (-2) (+2) (-3) (+4) (-5) +4 +2 -7 9. (-1) (+2) (-3) (+4) (-5) -11 II. Resuelve las siguientes operaciones: 1. (-9) (-3) 2. (+9) (-2) 10. (-3) (-3) (-3) (+2) (+2) 11. (-2) (-2) (2) ... (-2) (-2) 8 veces 12. (-1) (-1) (-1) ... (-1) 30 veces 3. (-10) (+3) 13. (-1) (-1) (-1) ... (-1) 4. (+3) (-2) (+4) (+5) 5. (-1) (-2) (-3) (-4) 101 veces 14. (-1) (+1) (-1) (+1) ... (-1) (+1) 34 18. (-9) (-8) (-7) (-6) (+5 -3 -2) 15. (+5 -3) (+5 -2) (+5 -1) (+1 -5) 19. (-8) (+2) (-1) (+4) (-3 +3) 16. (-1) (+1) (-1) (+1) ... 13 factores 20. (+12 -20) (+12 -19) (+12 -18) (+12 -17) ... (+12 -2) (+12 -1) 17. (-1) (-3) (-1) (-3) ... 7 factores III. Completa el siguiente cuadro efectuando las divisiones indicadas. Coloca un aspa si la división es inexacta -1 +2 -2 +3 -4 -5 -11 -15 +110 +12 -15 -24 +100 -120 +440 -600 +1000 IV. Efectuar: 1. (-32) (16) 6. (512) (-8) 2. (+320) (-16) 7. (-1024) (-8) 3. (+480) (-120) 8. (+444) (+11) 4. (-1000) (-50) 9. (-3522) (-3) 5. (-132) (+12) 10. (780) (+15) V. Resolver: 1. Si en una multiplicación de tres números enteros se duplica uno de ellos, ¿qué sucede con el producto? a) queda multiplicado por 2 b) queda dividido por 2 c) queda multiplicado por 4 d) queda dividido por 4 e) no se altera 2. Si en una multiplicación de tres enteros se duplica cada uno de ellos, ¿qué sucede con el producto? a) queda multiplicado por 2 b) queda multiplicado por 4 c) queda multiplicado por 6 d) queda multiplicado por 8 e) no se altera 3. Luego de dividir el menor número entero de dos cifras entre +9 el cociente es: a) +11 b) –11 c) +10 d) +9 e) +1 a) b) c) d) e) 7. El producto de dos números no positivos es 18 y su cociente es 2. ¿Cuál es la suma de estos números? a) –12 b) –9 c) –6 d) –14 e) –8 8. Luego de multiplicar el triple de (-24) con la mitad de (-24), el producto es: a) +864 b) –864 c) +3456 d) –3456 e) N.A. 9. Tengo cierto número de pelotas para vender. Si las vendo a S/. 17 cada una, gano S/. 12, pero si las vendería a S/. 15 cada uno perdería S/. 6 en total. ¿Cuántas pelotas tengo para vender? 4. Al dividir el mayor número entero de tres cifras diferentes entre el opuesto de +3, el cociente es: a) –333 b) +333 c) –329 d) +329 e) +309 5. Tengo S/. 101 y quiero dar S/. 15 de propina a cada uno de mis 7 sobrinos, ¿cuánto dinero me falta? a) S/. 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 105 queda multiplicado por 12 queda multiplicado por 6 queda multiplicado por 5 queda dividido por 6 no se altera a) 6 d) 9 6. Se tiene una multiplicación de 2 factores. Si se duplica uno de ellos y se triplica el otro, ¿en cuánto varía el producto inicial? POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Podemos definir la potenciación como la multiplicación abreviada. Así: an = a x a x a x … x a a1 = a a0 = 1 00 = No está definido Donde: a: base n: exponente P: potencia c) 8 10. Si un comerciante vendiera a S/. 11 cada calculadora que tiene, ganaría S/. 60 en total, pero si decide venderlas a S/. 6 cada una, pierde S/. 20 en total. ¿Cuántas calculadoras tiene para vender? a) 24 d) 12 an = P b) 7 e) 10 b) 8 e) 20 c) 16 Observación: En este capítulo veremos la potenciación sólo con exponente natural. Ejemplos: 1. (+5)2 = (+5) (+5) = +25 3. (-5)2 = (-5) (-5) = +25 2. (+5)3 = (+5) (+5) (+5) = +125 4. (-5)3 = (-5) (-5) (-5) = -125 Signos de potenciación en Z Investiga con otros ejemplos adicionales los signos de la potenciación y completa el cuadro con esos datos. POTENCIA EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR Base positiva Base negativa En resumen: (+a)par o impar = +P (-a)par = +P (-a)impar = -P CASOS ESPECIALES a. Multiplicación de potencias de bases iguales a2 x a3 = (a x a) x (a x a x a) = a5 am x an = a(m+n) a x a5 = a x (a x a x a x a x a) = a6 b. División de potencias de bases iguales a5 a2 = a6 a = c. a5 a a a a a 3 = =a aa a2 am an = a(m-n) a6 a a a a a a 5 = =a a a Potencia de potencia a = (a x a) x (a x a) x (a x a) x (a x a) = a a = (a x a x a) x (a x a x a) = a 2 4 3 2 8 6 a n m a n m RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Ahora que conoces la operación de potenciación, recorre uno de los caminos inversos. Piensa qué número debes elevar a cada exponente para que dé el resultado que se indica y completa. a) (.........)3 = +8 d) (.........)2 = +25 b) (.........)3 = +27 e) (.........)4 = +16 c) (.........)2 = +64 f) (.........)3 = +64 El cálculo que has hecho, recibe el nombre de RADICACIÓN. En el caso del primer ejercicio, la escribimos así: 3 8 2 porque 23 = 8 En símbolos: índice n a b porque bn a radical radicando raíz Observación 1: El índice “n” debe ser un número natural mayor que UNO (n>1) Observación 2: PAR a no está definida en Z. negativo 25 ; no existe un número entero que elevado al cuadrado, dé como resultado –25. Por ejemplo: CASOS ESPECIALES 1. Raíz de una multiplicación indicada: n ab n a n b 3. Raíz de una potencia: n am n a l. (-11)2 = 2. Raíz de una división indicada: n a b n a n b PROBLEMAS 1. Completa el número que falta en el casillero correspondiente: a. (-9)2 = 2. Calcula: b. (-1)13456 = a. -31 = c. (-1)7 d. (-1)8 e. (-3)2 f. (-2)3 = g. (+7)2 h. (-4)3 i. (-1)0 j. (-7 + 7)0 = k. (+12)2 = = b. 32 = = c. (-3)2 = = d. (+3)2 = e. (-3)0 = = f. –32 = = g. –(-3)0 = = h. –(-3)3 = 3. Resuelve: m a. –34 + (-3)4 c. b. –35 + (-3)5 d. 02 + (20 x 20) 02 + 20 x 20 4. Completa los casilleros para que se verifiquen las siguientes igualdades: a) (-3)2 (-3)3 (-3)4 (-3)5 = (-3) b) (-19)153 (-19)118 = (-19) c) (13)10 (13) 8 (13) (13)16 d) (-5)2 (-6)(-5+5) = 5. Completa el número que falta (si existe) en el casillero correspondiente. a. 3 b. 27 g. 121 h. 3 64 49 c. 3 8 i. 3 1000 d. 5 32 j. 4 625 e. 4 81 k. 5 = -32 f. 3 64 l. 2 = +16 6. Calcula y completa el siguiente cuadro, en los casos posibles. Número Cuadrado 7. Expresa simbólicamente los enunciados y luego escribe los resultados. Cubo a) ¿Qué números naturales elevados al cuadrado dan un resultado que no supera al número 26? 27 b) ¿Qué números enteros elevados al cuadrado dan un resultado que no supera al número 26? -10 64 -2 -16 -64 c) Las raíces cúbicas de ciertos números enteros son mayores que 4. ¿Cuáles son esos números? 8. Ingéniatelas para completar los siguientes recuadros: a) 4 b) 27 3 c) 4 =4 d) 3 e) 3 (1000) (64) f) x 36 = 12 = (-2) (+5) 9. Resuelve: a) 4 x [(5-2) (1-3)]2 – (-10-2)2 c) b) 10 5 –(-3 +1)3 3 8 x (-4 +9) –(-8 +1) d) – 16 x (-3) +(-9 +15)2 x (-2) 10. Indicar el resultado de: [-9+6-3-2-9+1]2 14. Completar el siguiente casillero para que se verifique la siguiente igualdad: b) –256 e) +256 a) +128 d) +64 c) –128 (5) 21 (5) 2 (5) (5) 29 (5) 2 a) 8 d) 7 11. Indicar el resultado de: = b) 10 e) 6 (–5)2 c) 11 [+24-18-9+6]3 a) –9 d) +8 b) –27 e) –8 15. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. c) +27 I. 12. Indicar el resultado del opuesto del resultado (-2)5. a) +24 d) +32 b) –16 e) +16 c) –32 13. Completar el valor que falta en el casillero correspondiente: [[(-3)2]0]31 = -1 ......................... ( ) II. –34 = +81 ......................... ( ) (9) 2 III. 3 (3) 3 ......................... ( ) a) VVF b) VFF d) FFV e) VVV c) FFF (-3)4 = (-5)3 = 16. Indicar la suma de los valores de los recuadros en: (-2)5 = Dar como resultados. a) –328 d) –128 respuesta la b) +228 e) –238 suma de [(-2)4(-3)12(+153)4] = (+2) (-3) a) 76 d) 81 c) 77 (+15) los b) 82 e) 74 c) +238 17. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 18. Indicar el resultado de: I. II. III. IV. (-5)2 = + 25 (-3)3 = -27 (-7)3 = -243 (+2)3 = -8 a) VVFF d) FVFV b) VVVF e) VVVV 4 5 27 9 (3) 3 14 b) –1 e) No existe en Z a) +2 d) +1 c) 0 c) VFVF 19. Indicar el resultado de restar A de B si: A= 5 36 (2) 2 B= 3 28 (51) 0 a) –3 d) –1 b) +1 e) –2 22. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: c) –5 20. Indicar el valor que debe ir en los recuadros: I. 4 81 II. 3 64 = III. 2432 = 1= Dar como respuesta la suma de valores encontrados. a) +2 b) –2 c) –1 d) +1 e) 0 I. 3 1000 10 II. 4 81 No existe en Z (2) 4 9 5 III. a) VVV b) VFV c) FVV d) FFV e) FFF 23. Completar el casillero con un número entero para que la igualdad sea correcta: 27 8 3 2 a) 0 d) 3 b) 1 e) no existe valor 24. Operar: (-5)2 + 21. Indicar el valor que debe ir en cada recuadro: c) 2 a) 20 d) 24 9 (2) 9 (3 3) 2 b) 22 e) 25 2 0 c) 23 (5) 2 (12) 2 I. II. 3 27 III. 4 (2) 2 (7)(11) Dar como respuesta la suma de los dos mayores valores encontrados. a) +3 b) +13 c) –9 d) +16 e) –2 25. Completar los casilleros con números enteros para que la igualdad sea correcta: 225 49 Dar como respuesta la suma de valores encontrados: a) 20 d) 23 b) 21 e) 24 c) 22 26. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 3 I. = 81, entonces el valor que va en el recuadro es 4. II. x 9 = 3, entonces el valor que va en el recuadro es 1. 27 no existe en Z, entonces el III. Si: valor que toma el recuadro es un número par. a) FFF d) FVV b) FVF e) FFV c) VVV