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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
ARITMÉTICA
EL
CONJUNTO
DE
NÚMEROS NATURALES
LOS
Definición de números naturales
El conjunto de los números naturales se representa como el siguiente conjunto
N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13……………………………}
Interpretación de los números naturales como distancia
La recta numérica asocia cada número natural con cada punto.
La recta numérica es una representación ordenada de las cantidades de medición.
Ejemplo:
El numero 3 y el numero 4 se pueden representar en la recta numérica de la forma como se muestra
en la figura 1.
El numero 3 esta colocado primero en la recta numérica, ya que el numero 3 representa tres objetos
o una distancia de tres, mientras el numero 4 representan cuatro objetos o una distancia de cuatro,
como se puede observar en la figura 1. Estas dos cantidades están separadas por una unidad.
El principió del buen ordenamiento nos dice que las cantidades que representan menor cantidad de
objetos están situadas primero que aquellas que representan mayor cantidad de objetos.
Así tenemos que si se ha pesado, cantidades de maíz, tendríamos algo parecido a lo siguiente: 4kg,
9kg, 2kg, 10kg, 5kg, 8kg, 3kg, 16kg, etc. Y quedarían situados estos pesos en la recta numérica
como lo muestra la figura 2.
Propiedades de los números naturales
Los números naturales poseen cuatro propiedades, las cuales son la propiedad de cerradura,
conmutativa, asociativa y distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
Propiedad de Cerradura
Se dice que un conjunto es cerrado si al efectuarse alguna operación, el resultado de dicha operación
pertenece al mismo conjunto.
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Ejemplo donde la propiedad de cerradura no se cumple
Sea A = {l, 2, 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
Sea la operación de multiplicación (5)(7) = 35, pero el numero 35 no esta en el conjunto A.
Por lo que se dice que el conjunto no cumple con la propiedad de cerradura, con respecto a la
multiplicación.
Ejemplo donde la propiedad de cerradura si se cumple.
Sea el conjunto N ( el conjunto de los números naturales).
La operación de multiplicación se define como dados dos factores M, H se obtiene un resultado C,
es decir (M)(H) = C.
Asi que para todo numero M,H que pertenecen al conjunto de los números naturales (N), se tiene
que (M)(H) = C,
Esto se podría demostrar por alguna técnica (reducción al absurdo), pero no es el propósito de este
texto.
Pero C es otro número natural por lo que diremos que se cumple la propiedad de cerradura.
Propiedad Conmutativa
Esta propiedad nos indica que en la suma podemos cambiar de lugar (permutar) a los sumandos y el
resultado seguirá siendo el mismo.
Por ejemplo:
(2+3) = (3 +2) = 5
Pero también la propiedad conmutativa nos indica que en la multiplicación podemos cambiar de
lugar (permutar) los factores y el resultado seguirá siendo el mismo.
Por ejemplo
(5)(9) = (9)(5) = 45
Propiedad Asociativa
La propiedad asociativa es la forma en que se agrupan los sumandos o factores. Esta forma de
agrupación no afecta el resultado de las operaciones. Recordemos que la adición y multiplicación
son operaciones binarias.
Si tenemos (5+4) +3 = 5 +(4+3) suma
(5*4)(3) = (5)(4*3) multiplicación
Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma
El resultado de una adición por un factor es igual a sumar la multiplicación del factor por cada
sumando.
Ejemplo se tiene la siguiente operación (5)(4+8),
Entonces (5)(4+8)= (5)(4) +(5)(8) propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la
adición.
Operaciones de números naturales
Existen dos operaciones en los números naturales, las cuales son: la adición + y la multiplicación *,
( ), { }, [ ].
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Las dos operaciones significan agregarle nuevos objetos o elementos al grupo que se tiene.
La adición (como agregar elementos)
Si se tiene 4kg, 6kg y deseamos unirlos, tendremos un total de 10kg.
Es decir 4kg + 6kg = 10kg
A cada elemento de la suma se le conoce como sumando. Por lo que en nuestra operación tenemos
dos sumandos, los cuales son: el numero 4 y el numero 6.
La multiplicación (como agregar elementos)
Mientras que en la multiplicación si tenemos las mismas cantidades 4kg, 6kg y deseamos
multiplicarlas. Esto querrá decir que tendríamos (4kg)(6kg). Esto dice realmente que debemos tener
6kg + 6kg + 6kg + 6kg o 4kg + 4kg +4kg +4kg +4kg +4kg es decir:
(4)(6)= 6 + 6 + 6 + 6 o
(1)
(4)(6)= 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4
(2)
A cada elemento de la multiplicación se le llama factor.
En la ecuación (1) tenemos dos factores y cuatro sumandos, mientras en la ecuación (2) tenemos
dos factores y seis sumandos.
Ejercicio
Represente las siguientes multiplicaciones como sumandos en ambos sentidos y proporcione la
cantidad de sumandos y factores
(3)(4)=
(2)(1)=
(6)(5)=
(8)(4)=
(9)(3)=
(6)(5)=
(3)(3)=
(2)(5)=
(6)(2)=
(8)(4)=
(9)(3)=
(6)(6)=
(3)(3)(2)=
(2)(5)(3)=
(6)(2)(2)=
(8)(4)(4)=
(9)(3)(2)=
(6)(6)(2)=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
1
2
3
5
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
1
2
3
8
9
7
6
5
4
3
2
4 1
5 10
6 11
Potencia (como factores)
La potencia es una representación de la operación de multiplicación.
Así tenemos que 32 no es mas que (3)(3), donde al numero 2 se le conoce como exponente y al
numero 3 como base. El exponente nos indica cuantas veces hay que multiplicar a la base.
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Ejemplo.
Si tenemos la siguiente cantidad 24, se puede representar como factores, es decir:
24 = (2)(2)(2)(2) = 2+2+2+2+2+2+2+2 = 16
(3)
Lo que tenemos realmente es un numero exponencial 4 y un numero base 2. Esta operación da
cuatro factores y ocho sumandos.
Ejercicio
Represente las siguientes potencias como factores y los factores como sumandos.
2
23
9
22
3
32
8
7
3
2
2
1
2
11
3
9
2
4
38
7
41
5
56
4
65
4
74
3
83
2
2
9
1
6
5
4
4
3
10
2
2
1
2
31
3
2
4
4
53
5
61
6
72
7
83
8
91
9
12
10
1
2
4
7
5
1
21
2
2
3
3
43
4
54
5
61
6
72
7
83
8
91
9
2
1
8
6
2
1
9
7
3
5
6
7
8
9
1
2
3
4
8
4
3
2
21
4
5
6
7
8
9
1
2
3
5
4
2
13
9
6
5
4
7
6
5
2
8
7
6
22
3
4
5
6
7
8
9
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
1
8
9
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
1
3
43
4
2
5
5
61
6
71
7
82
8
91
9
12
1
23
2
2
3
4
52
5
1
6
6
72
7
81
8
92
9
11
10
22
1
35
2
4
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Ejercicios
Utilice la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
(8)(9+10)=
(9)(8+6)=
1 2 3 10 2 3
9 1 2
2 10 1 3 9 10
2 3 4 1 3 4
8 2 3
3 1 2 4 10 1
3 4 5 2 4 5
7 3 4
4 2 3 5 1 2
4 5 6 3 5 6
6 4 5
5 3 4 6 2 3
5 6 7 4 6 7
5 5 6
6 4 5 7 3 4
6 7 8 5 7 8
4 6 7
7 5 6 8 4 5
7 8 9 6 8 9
3 7 8
8 6 7 9 5 6
8 9 1 7 9 10 2 8 9
9 7 8 10 6 7
9 1 2 8 10 1 1 9 10 10 8 9 1 7 8
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Ejercicio
Encontrar el factor común
40 + 20
36 + 42 3
64 + 40
25 +45
135 + 70
22 + 33
30 + 45 9
80 + 48
40+60
144 + 36
6+8
3+4
16 + 24
3+6
40 + 4
12 + 15
8 + 10
21 + 28
8 + 12
5 + 10
20 + 24
15 + 18
24 + 30
35 + 40
24 + 28
15 + 20
12 + 18
80 + 90
7+8
30 + 35
24 + 28
25 + 30
24 + 30
21 + 28
42 + 48
2+3
20 + 30
9 + 18
20 + 2
27 + 10
80 + 8
35 + 42
32 + 40
56 + 63
48 + 54
21 + 24
48 + 54
45 + 56
16 + 18
63 + 72
60 + 70
9 + 18
9 + 10
72 + 8
63 + 70
16 + 10
24 + 36
Definición de número primo
Entre los números naturales hay algunos que se pueden escribir como el producto de dos números
más pequeños. Por ejemplo, el número 10 se puede escribir como el producto de 2 y de 5. Éstos son
los números compuestos. Aquellos números que no son compuestos se denominan números primos.
Es decir, los números primos son los números naturales formados por una sola pieza.
Ejemplo, el número 7 es primo ya que no podemos encontrar dos números naturales más pequeños
que él de modo que multiplicándolos se obtenga 7. A esto hay que añadir una excepción, la del
número 1. Al ser el primer número natural no hay ninguno más pequeño que él y por consiguiente
no es compuesto. Considerando lo dicho anteriormente, deberíamos decir que el número 1 es primo.
Sin embargo, el número 1 presenta un comportamiento muy diferente al resto de los números
primos debido a su condición de elemento neutro de la multiplicación (multiplicar por 1 es como no
hacer nada). Esto hace que no consideremos el número 1 ni como primo ni como compuesto.
La lista de los números primos empieza por tanto así: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
etc. Y aunque es posible escribir números primos muy grandes, la lista completa de todos los
primos es aún un misterio.
Teorema fundamental de la aritmética (descomponer en números primos un número)
La propiedad más importante de los números primos es que constituyen las piezas básicas en las
que se descompone cualquier número natural. Más exactamente, el Teorema Fundamental de la
Aritmética dice que todo número natural mayor o igual que 2 puede ser expresado, de manera única,
como producto de números primos. Por ejemplo, el número 90 podemos escribirlo como 2 × 3 × 3 ×
5. Es importante recalcar que el teorema no sólo nos dice que podemos escribir 90 como producto
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de números primos, sino que además nos dice que hay una única manera de hacerlo. Por supuesto,
se consideran iguales todas las maneras que se obtienen cambiando el orden de los números primos;
en el caso de 90, consideramos como iguales los productos 2 × 3 × 3 × 5 y 3 × 2 × 3 × 5.
Obsérvese que si considerásemos el número 1 como número primo, la descomposición de un
número natural como producto de números primos no sería única, ya que podríamos escribir, por
ejemplo, 6 = 2 × 3, 6 = 2 × 3 × 1, 6 = 2 × 3 × 1 × 1, etc.
Con el Teorema Fundamental de la Aritmética en mente podemos pensar en los números primos
como un análogo numérico de los átomos en Química, que son irreducibles y además generan,
mediante distintas combinaciones, todas las moléculas. Esto hace que los números primos tengan
estrechas relaciones con aspectos de las Matemáticas que aparentemente no están directamente
relacionados con ellos.
Ejercicios
Represente las siguientes cantidades como el producto de números primos.
10
50
54
65
9
22
58
30
36
18
33
11
15
90
39
29
19
20
16
48
92
67
60
38
28
62
300
309
500
799
560
445
122
146
167
990
355
757
903
688
949
858
950
378
838
345
860
535
100
505
154
265
127
186
565
284
134
118
312
110
152
289
235
126
192
294
162
484
894
672
564
372
282
562
32
304
504
794
566
444
128
148
168
998
34
74
94
64
44
854
944
374
834
346
850
538
232
37
46
66
674
80
89
914
14
236
344
47
68
673
82
895
912
12
234
342
45
56
675
78
Ejercicios
Represente las siguientes potencias como el producto de números primos
34=
21=
65=
84 =
93=
65=
33=
62=
25=
2
23
22
62=
3
32
82 =
2
22
92=
2
2
13
2
21
Máximo común divisor (M.C.D.)
En la solución de algunos problemas se necesita conocer el máximo común divisor de de dos
cantidades o mas. Para encontrar el M.C.D se busca descomponer las cantidades en factores de
números primos, para seleccionar el mayor coincidente en los factores.
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Ejemplo 1.
Se tiene las cantidades 30, 45 sus divisores son:
30 = 2, 3, 5, 6, 10, 15
45 = 3, 5, 9, 15,
Resultando el M.C.D. el numero 15.
Existe otro método para encontrar el M.C.D.
Se reúnen las dos o más cantidades y se trabajan en forma vertical. Primero se busca dividirlas entre
dos, luego entre tres, entre cuatro, entre cinco, así sucesivamente. Y posteriormente se seleccionan
los factores que coincidan.
Ejemplo Tenemos las siguientes cantidades 24, 36, 48 encontrar el M.C.D
Los Factores de 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = (23)(3) = (22)( 2)(3)
36= 2 x 2 x 3 x 3 = (22)(32) = (22)(3
)(3)
48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = (22)( 22)(3 )
Del 24 se pueden obtener (22)(3)
Del 36 se puede obtener (22)(3)
Del 48 se puede obtener (22)(3)
2
Por lo que resulta que el M.C.D es (2 )(3) = 12
Ejercicios
Encontrar el M.C.D de las siguientes cifras.
10
50
54
65
12
18
56
28
34
18
33
11
15
89
39
29
19
29
16
48
89
67
56
37
28
56
300
309
500
799
560
445
122
146
167
50
990
355
757
903
688
949
858
949
378
838
345
858
10
44
42
12
46
40
14
48
38
15
50
36
16
52
34
18
54
32
20
56
30
21
60
28
22
62
26
24
64
24
26
66
22
28
68
18
30
70
20
32
72
22
34
74
24
35
75
25
36
76
26
38
78
28
40
80
30
42
84
34
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Mínimo común múltiplo (m.c.m)
Considere las siguientes cantidades. 12, 30 encontrar su mínimo común múltiplo.
Debemos encontrar los múltiplos de cada número, para tal propósito se multiplica cada número por
todos los números naturales, hasta que lleguen a coincidir las dos o más cantidades.
Así que los múltiplos de:
20 son 20, 40, 60, 80,100, 120
30 son 30, 120 hasta aquí coinciden las dos cantidades, por lo que el m.c.m es 120.
Existe otro método para encontrar el m.c.m. el cual es el siguiente: se acomodan las cifras
horizontalmente y primero se busca dividirlas entre dos, luego entre tres, entre cuatro, entre cinco,
así sucesivamente. Y posteriormente se multiplican los factores.
Ejemplo se tienen las siguientes cifras: 24, 36, 48 encontrar el m.c.m.
Con lo que se tiene 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 144. El m.c.m de 24, 36, 48 es el numero 144.
Ejercicios
Encontrar el m.c.m. de las siguientes cifras.
10
50
12
18
19
38
15
45
29
19
16
48
67
37
28
56
30
50
11
22
14
28
22
18
9
62
30
16
26
56
21
20
10
60
28
17
54
32
16
52
11
34
15
18
50
36
14
48
38
12
46
40
10
19
44
42
24
64
24
26
66
22
28
20
68
18
30
70
20
32
72
22
34
21
74
24
35
75
25
36
76
26
38
78
22
28
40
80
30
42
84
34
30
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
El
conjunto
de
números enteros
los
Definición de número entero
El conjunto de los números enteros hereda todas las propiedades de los números naturales y se le
incluye el conjunto de los números negativos, junto con el numero cero.
Por lo que ahora tenemos el siguiente conjunto
{….. ,-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,….}
Interpretación de los números enteros
En los números enteros se elige un punto de referencia, el cual es el numero cero. Tomando esta
referencia los números que están a la izquierda son números positivos, y los que están situados a la
derecha son números negativos, como se puede observar en la figura 3.
Propiedades de los números enteros
Todas las propiedades del conjunto de números naturales son heredadas por el conjunto de los
números enteros.
Las propiedades de cerradura, conmutativa, asociativa, distributiva de la multiplicación con
respecto a la adición, se aplican al conjunto de números enteros.
Elemento neutro multiplicativo
El elemento neutro de la multiplicación se enuncia de la forma siguiente:
Existe un 1 que pertenece al conjunto de números enteros talque (1)(numero) = numero; es decir:
1 N / x N
(1)( x) x
(4)
Elemento neutro de la adición
El elemento neutro de la adición se enuncia de la forma siguiente:
Existe un 0 (cero) que pertenece al conjunto de números enteros talque (0)+(numero) = numero; es
decir
0 N / x N
(0) ( x) x
(5)
Inverso aditivo
El inverso aditivo se enuncia de la siguiente forma:
Para todo numero x que esta en el conjunto de los números enteros, existe un numero –x que esta en
los números enteros talque x + (-x) =0.
x N
( x ) N /
( x) ( x) 0
10
(6)
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Ley de signos.
La ley de signos con respecto a la multiplicación se presenta como a continuación.
a) (1)(1) = 1
(7)
b) (1)(-1) = -1
(8)
c) (-1)(1) = -1
(9)
d) (-1)(-1)= 1
(10)
Si se observa el resultado es positivo cuando los signo de los factores son iguales.
Demostremos que (-1)(-1)=1
(-1)(-1)=1 .
(-1)(-1) - 1=1-1 se suma el inverso aditivo de 1 en ambos extremos de la ecuación
(-1)(-1) – 1= 0 propiedad de cerradura
(-1)(-1) + (-1) propiedad asociativa
(-1)[(-1)+(1)] = 0 encontrando el factor común
(-1)[0]
= 0 aplicando el inverso aditivo
0
= 0 queda demostrado
Ejemplo: sea la siguiente cifra – (-9), encontrar a que es igual.
-(-9) = (-1)[(-1)(9)]
= (-1)(-1)(9) aplicando (10)
= (1)(9)
aplicando (4)
= 9
por tanto –(-9) = 9
Operaciones de números enteros
La adición
La adición de los números enteros se puede resumir en las siguientes cuatro combinaciones:
Numero positivo + numero positivo, Numero positivo + numero negativo, Numero negativo +
numero positivo, Numero negativo + numero negativo.
Observemos en la recta numérica la representación de cada operación.
A). Numero positivo + numero positivo. Sean las cantidades 3+ 2 = 5.
A partir del cero se nueve tres unidades a la derecha, estando en la posición 3 se desplaza
nuevamente dos unidades a la derecha, por que el signo mas indica desplazamiento a la derecha.
Figura 4 Representación de la suma de dos números positivos.
B). Numero positivo + numero negativo. Sean las cantidades 3 + (-2) = 1.
A partir del cero se nueve tres unidades a la derecha, estando en la posición 3 se desplaza
nuevamente dos unidades a la izquierda, por que el signo menos indica desplazamiento a la
izquierda.
11
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Figura 5 Representación de la suma de un número positivo y un número negativo.
C). Numero negativo + numero positivo. Sean las cantidades (-3) + 2 = -1.
A partir del cero se nueve tres unidades a la izquierda, estando en la posición -3 se desplaza
nuevamente dos unidades a la derecha, por que el signo mas indica desplazamiento a la derecha.
Figura 6 Representación de la suma de un número negativo y un número positivo.
D). Numero negativo + numero negativo. Sean las cantidades (-3) + (-2) = -5
A partir del cero se nueve tres unidades a la izquierda, estando en la posición -3 se desplaza
nuevamente dos unidades a la izquierda, por que el signo menos indica desplazamiento a la
izquierda. Es decir a la cantidad negativa se le va a añadir otra cantidad negativa.
Figura 7 Representación de la suma de dos números negativos.
Sustracción
La sustracción de los números enteros se puede resumir en las siguientes cuatro combinaciones:
Numero positivo - numero positivo, Numero positivo - numero negativo, Numero negativo numero positivo, Numero negativo - numero negativo.
Observemos en la recta numérica la representación de cada operación.
A). Número positivo - número positivo. Sean las cantidades 3-2 =1
A partir del cero se nueve tres unidades a la derecha, estando en la posición 3 se desplaza
nuevamente dos unidades a la izquierda, por que el signo menos indica desplazamiento a la
izquierda.
Figura 8 Representación de la resta de dos números positivos.
12
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
B). Número positivo - número negativo. Sean las cantidades 3- (-2) = 5
A partir del cero se nueve tres unidades a la derecha, estando en la posición 3 el siguiente signo
menos indica un giro a la izquierda, pero el siguiente signo menos indica otro giro de 180 o por lo
que se desplaza hacia la derecha.
Realmente el primer signo menos de –(-2) indica hacia la izquierda y el segundo signo menos indica
otro giro (a la derecha).
Figura 9 Representación de la resta de un número positivo y un número negativo.
C). Número negativo - numero positivo. Sean las cantidades -3-(2) = -5
A partir del cero se nueve tres unidades a la izquierda, estando en la posición -3 el siguiente signo
indica avanzar dos unidades a la izquierda.
Figura 10 Representación de la resta de un número negativo y un número positivo.
D). Numero negativo - numero negativo. Sean las cantidades -3 – (-2) = -1.
A partir del cero se nueve tres unidades a la izquierda, estando en la posición -3 el siguiente signo
indica avanzar a la izquierda, pero el signo del -2 indica un giro a la derecha y avanzar dos
posiciones.
Figura 11 Representación de la resta de dos números negativos.
Ejercicios.
Resuelva los siguientes ejercicios de sumas y diferencias.
(+3) - (+9) =
(+6) - (-7)=
(+6) -(-3)=
(-4) +(-7)=
8 - (- 6) =
(- 8) - 4 =
(- 8) - (-7) =
0–5=
4-7=
7-(-3)=
( - 5 ) – 4=
(-6)- (-4) =
(-2)+(-6)+3 =
(-9)+ (-8)+6 =
(-8) - (+3) =
(+7) - (-3)=
-(-8) =
-[-(-3)] =
-[-(+6)] =
-8-(+2) =
13
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
-8+(-3) =
-(+5)=
-(-7) =
5-2-3
-9+7-5 =
-2-9+6-2=
=
-(+10) =
-(-4) =
2-9+4=
-8+7-4 =
-4+6-3-2 =
La multiplicación
La multiplicación de los números enteros se puede resumir en las siguientes cuatro combinaciones:
Número positivo x número positivo, Numero positivo x número negativo, Numero negativo x
número positivo, Numero negativo x número negativo. Pero estas combinaciones ya fueron
formuladas como ley de signos.
Ejemplo
Sean las siguientes operaciones
(8)(9) = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 72
o
(8)(9) = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 72
(8)(-9) = (-9)+(-9)+(-9)+(-9)+(-9)+(-9)+(-9)+(-9) = -72
(8)(-9) = (-8)+(-8)+(-8)+(-8)+(-8)+(-8)+(-8)+(-8) + (-8) = -72
o
(-8)(9) = (-1)(8)(9) = (-1)[ 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9] = (-1)[72] = -72
(-8)(9) = (-1)(8)(9) = (-1)[ 8 + 8+ 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 ] = (-1)[72] = -72
o
(-8)(-9) = (-1)(8)(-1)(9) = (-1)(-1)(8)(9) =
(-1)(-1)[9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 ] =(-1)(-1)[ 72] Pero por (10)
= (1)[72] = 72 o
(-8)(-9) = (-1)(8)(-1)(9) =(-1)(-1)(8)(9)=
(-1)(-1)[ 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8+8] =(-1)(-1)[ 72] Pero por (10)
= (1)[72] = 72
Ejercicios
Resuelva los siguientes ejercicios de multiplicación
-(+3) (+9) =
(+6) (-7)=
(+6) (-3)=
(-4) (-7)=
-(8) (- 6) =
(- 8) ( 4) =
(- 8) (-7) =
( 0) (5) =
(4)(-7)=
(7)(-3)=
( - 5 ) (– 4)=
(-6)(- (-4)) =
(-2)(-6)+3 =
(-9)(-8)+6 =
(-8) (+3) =
(+7)( - (-3))=
-(-8) =
-[-(-3)] =
-[-(+6)] =
(-8)(-(+2)) =
-8+(-3) =
-(+5)=
-(+10) =
-(-4) =
-(-7) =
(5)(-2)(-3)=
(2)(-9)(+4)=
(-8)((+7)(-4))=
(-9)(+7-5) =
(-2)((-9+6)(-2))=
(-4)((+6-3)(-2)) =
14
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Propiedad de los exponentes
a) Cualquier número entero distinto de cero elevado al exponente cero, es igual a 1.
Ejemplo. 60 = 1
50 = 1
70 = 1
130 = 1
b) Si el exponente de un número entero negativo es impar, la potencia es negativa.
Ejemplo. (-2)3 = -8
(-1)3 = -1
(-3)3 = -27
c) Si el exponente de un número entero negativo es par, la potencia es positiva.
Ejemplo. (-2)2 = 4
(-3)4 = 81
d) Sea x, y, n, m números que pertenecen al conjunto de los números enteros tal que
x, y 0 , entonces:
m n
1. x x = x m+n
(11)
Ejemplo. (3)3(3)2 = (3)3+2 Bases iguale exponentes distintos o iguales.
2. [(x)(y)]n = . xnyn
(12)
Ejemplo. [(3)(2)]3 = 3323
3.(xn)m = xmn
(13)
Ejemplo
(42)3 = 4(2)(3)
Ejercicios
Resuelva los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de los exponentes.
(52)(53) =
(42)(43) =
(32)(33) =
(53)(52)(53) =
(33)(32)(34) =
(23)(22)(23) =
(53)(51)(53)(53)=
(43)(45)(44)(43)=
(23)(22)(21)(23)=
[(5)(3)]3 =
[(4)(6)]3 =
[(3)(5)]3 =
[(5)(2)(4)]3 =
[(4)(5)(3)]4 =
[(3)(5)(2)]3 =
(53)1 =
(53)3=
(43)5 =
(44)3=
(23)2 =
(21)3=
(12)(13) =
(22)(23) =
(42)(43) =
(63)(62)(63) =
(73)(72)(74) =
(83)(82)(83) =
(22)(23) =
(32)(33) =
(52)(53) =
(103)(101)(103)(103)=
(23)(25)(24)(23)=
(33)(32)(31)(33)=
(22)(33) =
(22)(43) =
(12)(33) =
[(2)(3)(1)]3 =
[(2)(3)(2)]3 =
[(3)(1)(2)]3 =
[(3)(2)(4)]2 =
[(2)(2)(1)]4 =
[(2)(1)(2)]3 =
(23)1 = (23)3=
(33)5 = (24)3=
(13)2 =
15
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
EL
CONJUNTO
DE
LOS
NÚMEROS RACIONALES
Definición de número racional
Decimos que un numero es racional (Q) si se puede escribir como la división de dos números
naturales (racional viene del latín ratio, proporción).
Por ejemplo, el número 3.75 es racional porque es igual a 15/4, y el número 0.1353535353535…
(Repitiéndose 35 indefinidamente) también es racional porque es igual a 134/990. Los números que
no se pueden escribir como un cociente de este tipo se llaman irracionales. La diferencia se
encuentra en las cifras decimales: Un número es racional si tiene una cantidad finita de decimales o
si, como en el ejemplo anterior, tiene una cantidad infinita de cifras decimales pero de manera que a
partir de un punto la lista de decimales repite indefinidamente las mismas cifras.
Nota: Todo número racional se escribe como
p
, donde a p se le conoce como numerador y a q
q
como denominador. Todo número entero se puede representar como un número racional, donde el
numerador es el número entero y el denominador es la unidad.
Ejemplo Representar los siguientes números enteros como racionales: 2, 3, 4, 5, 6.
2
2
,
1
3
3
,
1
4
4
,
1
5
5
,
1
6
6
1
Propiedades de números racionales
Todas las propiedades de los números naturales y enteros las heredan los números racionales.
Observaremos el inverso multiplicativo de un número racional y la ley de cancelación.
Inverso multiplicativo de los números racionales.
Se sabe que todo numero racional se escribe de la siguiente forma,
p
0 .
q
q
ya que debe cumplir con:
p
pq
p q
( )( ) = 1 entonces efectuemos la operación
=1
pq
q p
Entonces su inverso multiplicativo debe ser
Ejemplo.
Sea el número racional
5
proporcionar el inverso multiplicativo.
3
5
)(inverso multiplicativo)= 1 multipliquemos a ambos lados de la ecuación por 3.
3
3
5
(3)( )(inverso multiplicativo)= (1)(3), como 1 entonces
3
3
(5) (inverso multiplicativo)= 3, ahora se divide toda la ecuación entre 5 entonces.
Tenemos (
16
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
1 5
3
5
( )(inverso multiplicativo)=
entonces como 1 tenemos
5 1
5
5
3
1
1
(inverso multiplicativo)=
y como es el elemento neutro para la multiplicación, entonces
5
1
1
3
(inverso multiplicativo)=
5
Comprobación
5 3
15
1 Realizando operaciones 1 por lo que resulta verdadero que el inverso
15
3 5
5 3
multiplicativo de es .
3 5
Ley de cancelación.
En la reducción de fracciones es común cancelar el factor por el cual se divide numerador y
denominador.
( q )( r )
(r)
Sea
el factor por el cual el numerador y denominador se divide es
el cual se puede
( p )( r )
(r)
q
cancelar, quedando el numero racional como .
p
Ejercicios
Encuentre el inverso multiplicativo de cada número racional.
3
5
3
15
7
5
4
2
2
9
4
3
7
10
8
4
6
3
3
6
2
1
1
3
3
16
10
5
8
8
7
14
12
3
8
12
3
12
3
9
2
8
4
16
9
3
2
8
8
2
14
12
3
7
9
1
15
11
5
5
4
6
10
16
16
10
6
4
5
5
11
15
1
9
7
3
6
4
12
14
2
8
8
2
20
10
1
9
7
3
13
13
3
7
14
6
17
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Operaciones de números racionales
En los números racionales se pueden efectuar la operación de suma, diferencia, multiplicación,
división y potenciación.
Definiciones.
Si en una fracción el numerador es menor que el denominador, se dice que es impropia.
Ejemplo
8
es una fracción impropia.
3
Si en una fracción, el numerador es menor que el denominador, se dice que es propia.
Ejemplo
2
es una fracción propia.
3
En toda fracción, si el numerador y el denominador son iguales representan la unidad.
Ejemplo
3 6 2 9 5 12
, , , , ,
, cada una de las fracciones representan la unidad.
3 6 2 9 5 12
Toda fracción impropia se puede escribir como la suma de un número entero más una fracción
propia.
Ejemplo Sea la fracción
8
, se debe escribir como la suma de un numero entero y una fracción
3
propia. Entonces de divide el numerador entre el denominador (8/3), el resultado en la parte entera y
8
es la fracción propia.
3
8
2
Así que (8/3) = 2, con residuo 2, entones = 2
3
3
La adición de números racionales (como agregar elementos)
el residuo dividido por el denominador de
Si se tiene 4kg, 6kg y deseamos unirlos tendremos un total de 10kg.
Es decir 4kg + 6kg = 10kg
A cada elemento de la suma se le conoce como sumando. Por lo que en nuestra operación tenemos
dos sumandos, los cuales son: el numero 4 y el numero 6.
Ahora hagámoslo con los números racionales.
Es decir tenemos
2
4
kg, kg , deseamos unirlos y saber en total cuantos quilogramos se tiene.
3
3
Si observamos los denominadores son iguales. Esto nos da la ventaja de solo sumar los
numeradores y el denominador el número (3) va a pasar igual al denominador, así que tenemos la
siguiente operación:
2 4 6
+ =
Pero si los denominadores son distintos como en el caso siguiente.
3 3 3
2
4
Sea kg, kg , deseamos unirlos y saber en total cuantos quilogramos se tiene. Entonces se tiene
3
5
dos técnicas:
Técnica 1
Multipliquemos los denominadores y el resultado será el denominador de la operación.
El denominador será (3)(5) = 15.
El numero 15 se divide con el denominador de
2
y el resultado se multiplica con el numerador de
3
la misma fracción, de la forma siguiente: 15/3 = 5, a hora se multiplica por el numerador (5)(2) =
10.
De igual forma se procede con la otra fracción:
18
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
El numero 15 se divide con el denominador de
4
y el resultado se multiplica con el numerador de
5
la misma fracción, de la forma siguiente: 15/5 = 3, a hora se multiplica por el numerador (3)(4) =
12.
10 12
Con lo cual se obtiene la siguiente fracción
, ahora si se puede sumar los numeradores, con
15
22
lo que se obtiene la siguiente fracción
.
15
Técnica 2
2 4 4
+ + y para poderlas sumar se necesita que los
6 8 9
2 4 4
denominadores de las expresiones algebraicas + + sean iguales.
6 8 9
Para esto buscamos el m.c.m. de 6, 8, 9.
Se tienen las siguientes expresiones algebraicas
que es el m.c.m.
El m.c.m se divide entre 6 y el resultado se multiplica por su numerador que es 2 ósea (72/6)(2) =
24 y el resultado se coloca como numerador.
El m.c.m se divide entre 8 y el resultado se multiplica por su numerador que es 4 ósea (72/8)(2)= 18
y el resultado se coloca como numerador.
El m.c.m se divide entre 9 y el resultado se multiplica por su numerador que es 4 o sea (72/9)(4)=
32 y el resultado se coloca como numerador.
Recordando que ahora el denominador es el m.c.m.
24 18 32
Entonces obtenemos la siguiente fracción
ya se pueden sumar los numeradores,
72
74
resultando el siguiente numero racional
72
Ejercicios
Realice las siguientes adiciones de racionales
3 3
+ =
5 5
7 4
+ =
5 2
2 4
+ =
9 3
7 8
+ =
10 4
6 3
+ =
3 6
2 1
+ =
1 3
3 10
+ =
6 5
7 8
+ =
14 2
3 4
+ =
9 16
20 8
+ =
10 8
12 3
+ =
3 12
2 9
+ =
8 3
19
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
3 3 7
+ + =
5 5 5
2 4 4
+ + =
9 3 2
7 8 6
+ + =
10 4 3
2 3 1
+ + =
1 6 3
3 10 7
+ + =
6 5 14
3 8 4
+ + =
9 2 16
20 8 12
+ + =
10 8 3
2 9 3
+ =
+
8 3 12
3 3 7 4
+ + + =
5 5 5 2
2 4 7 8
+ + + =
9 3 10 4
6 3 2 1
+ + + =
3 6 1 3
3 10 7 8
+ + + =
6 5 14 2
1 2
+ =
5 5
3 4
+2 =
5
5 6
+ =
9 3
7 8
+ 4 =
9
9 1
+ =
3 6
2 3
+ =
1 3
4 15
+ =
6 5
6 7
+ =
14 2
8 9
+ =
9 16
10 9
+ =
10 8
8 7
+ =
3 12
6 5
+ =
8 3
4 3 2
+ +
5 5 5
1 2 4
+ + 2 =
9 3
3 8 4
+ 4 + =
10 3
7 10 7
+ 5 + 14 =
6
8 8 4
+ 2 + 16 =
9
9 10 12
+ + 3 =
10 8
1 2 3
+ =
+
8 3 12
4 3 5 4
+ 5 + + 2 =
5 5
2 6 7 9
+ + + =
9 3 10 4
1 3 4 1
+ 6 + + 3 =
3 1
5 10 6 8
+ 5 + + 2 =
6 14
5
+
1
=
3 6
+ =
6 3
1 3 4 9
+ + + 3 =
3 12 8
9 8 2 4
+ + + =
9 16 10 8
20
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
12 3 2 9
+ + + =
3 12 8 3
3 4 20 8
+ + + =
9 16 10 8
La diferencia de números racionales
La diferencia de números racionales se da con el mismo proceso de la suma de racionales.
Se tiene
4
2
kg y deseamos quitarle kg y saber en total cuantos quilogramos quedaran.
3
3
Si observamos los denominadores son iguales. Esto nos da la ventaja de solo restar los numeradores
y el denominador, el número (3) va a pasar igual al denominador, así que tenemos la siguiente
operación:
4 2 2
- =
3 3 3
Pero si los denominadores son distintos como en el caso siguiente.
Sea
2
4
2 4
kg, kg , deseamos restarlos es decir y saber en total cuantos quilogramos se tiene.
3
5
3 5
Entonces se tiene dos técnicas:
Técnica 1
Multipliquemos los denominadores y el resultado será el denominador de la operación.
El denominador será (3)(5) = 15.
El numero 15 se divide con el denominador de
2
y el resultado se multiplica con el numerador de
3
la misma fracción, de la forma siguiente: 15/3 = 5, a hora se multiplica por el numerador (5)(2) =
10.
De igual forma se procede con la otra fracción:
El numero 15 se divide con el denominador de
4
y el resultado se multiplica con el numerador de
5
la misma fracción, de la forma siguiente: 15/5 = 3, a hora se multiplica por el numerador (3)(4) =
12.
10 12
2
Con lo que obtenemos
ahora si se puede realizar la resta de numeradores, y se obtiene
15
15
Técnica 2
2 4 4
- - y para poderlas restar se necesita que los
6 8 9
2 4 4
denominadores de las dos expresiones algebraicas - - sean iguales.
6 8 9
Para esto buscamos el m.c.m. de 6, 8, 9.
Se tienen las siguientes expresiones algebraicas
Que es el m.c.m.
21
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
El m.c.m se divide entre 6 y el resultado se multiplica por su numerador que es 2 ósea (72/6)(2) =
24 y el resultado se coloca como numerador.
El m.c.m se divide entre 8 y el resultado se multiplica por su numerador que es 4 ósea (72/8)(2)= 18
y el resultado se coloca como numerador.
El m.c.m se divide entre 9 y el resultado se multiplica por su numerador que es 4 ósea (72/9)(4)= 32
y el resultado se coloca como numerador.
Recordando que ahora el denominador es el m.c.m.
24 18 32
Entonces obtenemos la siguiente fracción
ya se puede desarrollar las operaciones en
72
26
los numeradores, resultando el siguiente numero racional
72
Ejercicios
Efectué las siguientes diferencias de números racionales
3 3
- =
5 5
7 4
- =
5 2
6 3
- =
3 6
2 1
+
=
1 3
3 4
+
=
9 16
2 4
- =
9 3
20 8
- =
10 8
7 8
- =
10 4
3 10
- =
6 5
7 8
- =
14 2
12 3
- =
3 12
2 9
+
=
8 3
10 9
- =
5 5
8 7
- =
5 2
6 6
- =
9 3
7 8
- =
3 6
2 4
+
=
1 3
5 10
- =
6 5
12 4
- =
3 12
5 6
- =
10 4
6 8
- 2 =
14
7 8
+
=
9 6
9 10
- =
10 8
1 1 1
- + =
5 5 5
4
2
4 4 4
+
=
6 1 3
4 4 4
- + =
6 5 14
5 5 5
+
=
2 9 16
20 8 12
- + =
1 1 1
3 2 9
+
=
2
2
2
2 9 3
+ - =
3 3 3
4
- 4 =
9 3
22
1 1
+
=
8 3
5 5 5
- + =
10 4 3
Universidad Tecnológica de Puebla
ARITMÉTICA Y ALGEBRA
3 3 7
- + =
5 5 5
4 2 4
- =
2 9 3
7 8 6
- + =
10 4 3
3 2 1
=
+
6 1 3
3 10 7
- + =
6 5 14
8 3 4
+
=
2 9 16
20 8 12
- + =
10 8 3
3 2 9
+
=
12 8 3
2 9 3
+
- =
8 3 12
3 3 7 4
- + - =
5 5 5 2
2 4 7 8
- - - =
9 3 10 4
6 3 2 1
=
- +
3 6 1 3
7 8 3 4
- - +
=
14 2 9 16
20 8 12 3
- + - =
10 8 3 12
1 2 3 5
- + - =
2 1 5 3
1 1 2 2
- - - =
9 3 10 4
3 3 3 3
- 6 +
=
3 1 3
3 3 3 3
- +
=
14 2 9 16
-
20 8 12 3
- + - =
10 10 10 10
La multiplicación de números racionales
La multiplicación de racionales se efectúa numerador por numerador y denominador por
denominador, sin importar que los denominadores puedan ser diferentes.
Ejemplo
Efectuar la siguiente operación.
8
2 4
=
6 8 48
Y si estuvieran involucrados signos se aplicaría la ley de signos.
Ejemplo
8
2 4
=
48
6 8
Ejemplo
23
Universidad Tecnológica de Puebla
ARITMÉTICA Y ALGEBRA
2 4
2
4
2 4
= (-1) (-1) = (-1)(-1) recordando (-1)(-1) = 1 y que (1)(x)=x
6
8
6 8
6 8
8
2 4
entonces queda =
6 8 48
Ejercicios
Realice las siguientes multiplicaciones de números racionales
3 3
=
5 5
7 4
=
5 2
2 4
=
9 3
7 8
=
10 4
6 3
=
3 6
2 1
=
1 3
3 10
=
6 5
7 8
=
14 2
12
3
2 9
=
8 3
3
9
4
=
16
20
10
8
=
8
3
=
12
3 3 7
=
5 5 5
4 2 4
=
2 9 3
7 8
10 4
4 4
=
6 3
4 4
- =
6 5
5 5
=
2 9
20 8
=
1 1
3 2
2 2
3 2 1
=
6 1 3
3 10
6 5
20 8 12
=
10 8 3
3 2 9
=
12 8 3
2 9 3
=
8 3 12
3
3
7 =
9 5 6
4 10 4
=
16 5 2
20 2 7
=
10 9 14
4
=
5
2 6 1
=
8 3 5
3 1 5
=
5 3 4
12 3
3 9
8 8
8 2
=
7
=
14
5
=
2
6
=
3
2 9
+ =
3 3
8
2
3 4
=
+
9 16
3 8 4
=
12 4 16
9 3 4
=
3 6 2
3 2 4
=
5 1 3
5 3 4
2 =
3 9
4 4 7
=
3 16 5
24
Universidad Tecnológica de Puebla
ARITMÉTICA Y ALGEBRA
4 20 7
=
3 10 14
4 4 6
16 3 =
5
3
5
2 4
9 3
3 7
5 5
4
=
2
5 3 2
12 1
2
7 8 6
=
10 4 3
3 2 1
=
6 1 3
7 8 3 4
-
=
14 2 9 16
20 8 12 3
=
10 8 3 12
1 1 4 4
2 3 =
5 5
-
5 5 3 2
=
4 3 12 1
División de números racionales
Para la división de los números racionales se pueden aplicar dos métodos.
Metodo1
p
r
y
dos números racionales.
s
q
p
p
r
r
La división de
entre
es igual al producto de
por el inverso multiplicativo de .
s
s
q
q
r
p
Es decir la división se realiza de la siguiente forma
, entonces, se transforma en una
q
s
r
p s
multiplicación de la forma siguiente ( )( ), encontrando el inverso multiplicativo de , ahora
q r
s
Sean
ya se puede efectuar la operación.
Ejemplo
Realizar la siguiente operación.
5
2
2
12
= , primero encontramos el inverso multiplicativo de
, el cual es
, ahora
12
12
2
3
procedemos a efectuar la multiplicación para encontrar el resultado.
5 12
60
( )( ) =
=10
6
3 2
Método 2
R
R
P
P
Sean
y
dos números racionales la división de
entre , se expresa de la siguiente forma:
Q
Q
S
S
P
Se aplica la multiplicación de medios por medios y extremos por extremos, de la forma
Q
___
R
S
25
Universidad Tecnológica de Puebla
ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Los extremos forman el numerador del número racional y el
( P )( S )
denominador lo componen los medios, es decir.
(Q )( R )
Ejemplo
Realizar la siguiente operación. Primero se multiplican los extremos y se colocan como numerador,
posteriormente se multiplican los medios y se colocan como denominador, para formar el siguiente
número racional.
5
3
___
12
2 = (5)( 2) Posteriormente se realizan las operaciones (5)( 2) 10 y se encuentra el
(3)(12 )
(3)(12 ) 36
resultado final.
siguiente.
Ejercicios
Realice las siguientes operaciones
4
3
6
=
12
10
3
4
3
10
3
3
=
2
14
2
36
=
12
1
2
9
3
3
=
6
3
=
3
10
=
5
14
2
3
=
3
9
3
3
=
6
1
2
36
=
12
27
3
6
=
3
27
3
3
=
2
10
=
5
6
12
4
3
16
1
5
3
6
24
42
2
16
2
3
10
5
4
2
7
5
12
3
3
8
12
9
3
16
16
3
3
10
12
5
6
61
61
42
22
6
12
12
2
14
2
9
10
1
2
5
10
6
4
10
7
15
8
15
8
26
10
=
5
7
2
8
2
7
2
6
=
12
8
2
6
=
3
Universidad Tecnológica de Puebla
10
=
5
ARITMÉTICA Y ALGEBRA
5
10
3
6
6
12
3
6
3
=
6
20
5
4
2
4
16
10
=
5
7
5
/
2
9
7
=
14
8
8
3
9
/ 25
=
3
12
6
3
/ 15
=
9
3
/
2
1
4
=
3
3
5
1
=
3
/
/
3
9
/
20
10
/
/
3
12
/
/
4
2
4
5
4
=
16
2
=
1
2
1
5
3 =
9 5
/
/
3
=
6
7
=
14
20
=
10
4 12
3 =
5
4
16
/
/
/
8
=
4
4
3
4
=
2
6
2
10
2
4
2
8
=
2
/
/
15
5
9
3
/
/
2
=
8
3
=
5
5 5
=
4 3
/
4
=
16
7
5
/ 43
6
3
/ 25
=
9
=
3
5 4
=
4 5
3 4
3 =
2
2 1
3 5
/
=
/
/
/
27
Universidad Tecnológica de Puebla
ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Definición de igualdad
p r
Sean las fracciones
, . Se dicen que son iguales (equivalentes) si y solo si p*s = q*r
q s
Ejemplo
Sean las fracciones
5 20
,
son iguales si 5*12 = 3*20 entonces 60= 60, esto dice que las fracciones
3 12
son iguales.
Para obtener fracciones iguales (equivalentes se multiplica en numerador y el denominador por un
mismo número.
5
y se quiere encontrar una fracción equivalente.
3
5 2 10
Entonces multiplicamos al numerador y al denominador por 2. Es decir =
3 2 6
Ejemplo. Se tiene la fracción
Ejercicios
Encontrar al menos dos fracciones equivalentes por cada una de las siguientes fracciones
3
9
4
16
20
10
8
8
12
3
3
12
2
8
3
5
7
5
4
2
2
9
4
3
7
10
8
4
6
3
2
1
1
3
3
6
10
5
7
14
8
2
4
16
1
5
5
4
5
3
4
6
4
5
5
2
5
9
3
2
2
3
9
3
7
3
28
Universidad Tecnológica de Puebla
ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Potencia de números racionales
La potencia de un número racional se lleva acabo elevando el numerador y el denominador a la
potencia indicada.
Ejemplo
2
3
3
2 2 2
3 3 3
=
3
2 = (2)(2)(2)
3
3 (3)(3)(3)
=
=
8
, conservando la ley de los signos.
27
Ejercicio.
Realice las siguientes operaciones
3
2
2
2
5
8
4
3
4
=
=
2
4
=
8
2
6
12
2
9
4
2
2
1
4
3
4
=
4
2
5
=
2
6
5
4
3
9
3
4
=
2
=
5
4
21
3
2
2
=
=
=
5
3
=
2
5
=
7
2
=
6
5
=
2
=
9
2
4
=
3
4
6
6
=
3
2
=
1
3
10
=
5
5
=
2
8
=
4
3
=
6
7
4
1
2
=
2
=
5
=
4
=
2
7
=
5
3 2
=
5
7
8
7
=
14
29
2
7
=
10
2
1
=
3
3
3
=
9
Universidad Tecnológica de Puebla
ARITMÉTICA Y ALGEBRA
3
4
=
16
20
=
10
8
3
3
=
12
10
3
8
=
8
12
=
3
2
=
8
3
9
=
3
1
=
9
2
=
8
2
3
=
7
4
=
6
3
6
=
4
7
=
3
2
3
3
2
2
3
5
=
5
12
8
=
2
3
2
9
=
1
13
=
13
2
11
=
15
1
12
=
14
14
=
12
2
2
15
=
11
16
=
10
1
=
9
3
2
=
8
3
=
7
2
15
5
=
5
6
=
4
10
=
16
2
2
9
2
3
2
8
=
2
7
=
3
Propiedad de los exponentes
En el conjunto de los números enteros ya se han proporcionado algunas propiedades, las tocantes a
los números enteros. Ahora se listaran las demás propiedades.
pm
1.
pn
= pm n
p0
p n pn
2. =
q
qn
3. p 0 1
4. p n
(14)
q0
(15)
p0
1
pn
(16)
p0
(17)
30
Universidad Tecnológica de Puebla
ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Ejercicios
Resuelva los siguientes ejercicios
92
62
4 2
52
53
5
52
42
92
72
52
52
52
5 3
4 2
8 2
52
10 2
4 3
53
52
92
42
52
53
93
65
45
(52)/(53)=
(42)/(43) =
(32)/(33) =
(53)/(52)(53) =
(33)(32)/(34) =
(23)/(22)(23) =
(53)(51)/(53)(53)=
(43)(45)/(44)(43)=
(23)(22)/(21)(23)=
[(5)/(3)]3 =
[(4)/(6)]3 =
[(3)/(5)]3 =
[(5)/(2)(4)]3 =
[(4)(5)/(3)]4 =
[(3)/(5)(2)]3 =
(53)0 =
(40)5 =
(23)0 =
(50)3=
(40)3=
(20)3=
Reducción a la mínima expresión
La mínima expresión de una fracción es aquella en la cual el numerador y el denominador no tienen
factores comunes, normalmente se utiliza la ley de cancelación.
Ejemplo
20
Se tiene el siguiente número racional y hay que reducirlo a su mínima expresión.
12
20 (2)(2)(5)
Se buscan los factores de cada cifra
y se procede a cancelar los factores comunes
12 (2)(2)(3)
(5)
en el numerador y denominador quedando el numero racional como
.
( 3)
Ejercicios
Reduzca a la mininita expresión las siguientes cifras.
( 20 )
(35)
( 35)
(100 )
( 25)
(75)
(15)
(35)
( 25)
(50 )
(10 )
(30 )
(55)
( 22 )
( 48)
(56 )
(50 )
(75)
( 200 )
(35)
(350 )
(100 )
( 250 )
(75)
(150 )
(50 )
( 250 )
(50 )
(100 )
( 30 )
(50 )
( 20 )
( 40 )
(56 )
(55)
(75)
( 20 )
( 40 )
( 35)
(150 )
( 25)
(5)
(35)
(35)
(60 )
(50 )
(10 )
( 20 )
( 20 )
(10 )
( 40 )
(56 )
(75)
(50 )
31
Universidad Tecnológica de Puebla
ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Signos de agrupación
Se tienen varios signos de agrupación. Estos signos son ( ), [ ], { } etc. Se puede observar que un
signo abre y cierra la agrupación.
Los signos de agrupación sirven para indicar la forma precisa de efectuar las operaciones.
Prioridad de las operaciones
Por que si no hay signos de operación las operaciones se efectúan de izquierda a derecha en el
siguiente orden.
1.
2.
3.
4.
Signos de agrupación
Exponentes y Raíces
Multiplicaciones y Divisiones
Sumas y Diferencias
Supresión de los símbolos de agrupación
Para suprimir los signos de agrupación se comienza por el que esta mas profundo en la operación.
Ejemplo
Se tiene la siguiente operación 4 + 9 · 6 / 2.
4+9·6/2
4 + 54 / 2
4 + 27
se realiza 9 . 6
ahora el 54/2
por ultimo se efectúa 4 + 27 = 31
Ejemplo
Se tiene la siguiente operación 5 · (9 – 6) + 8.
5 · (9 – 6) + 8 primero se realiza (9 - 6)
5. 3 + 8
ahora se lleva acabo 5 .3
15 + 8
Por ultimo se efectúa 15 + 8 = 23
Ejemplo se tiene la siguiente operación (4) [ 3 – (15/ 3 ) + 4 ].
(4) [3 – (15/3 )+4 ] primero se efectúa la operación del signo de agrupación mas profundo (15/3)
(4)[3-5+4]
ahora se realiza la operación 3-5
(4)[-2+4]
se realiza la operación -2 + 4
(4)[2]
por ultimo se efectúa (4)[2] = 8
Ejercicios
Realice las operaciones eliminando los paréntesis de agrupación.
[(-3) - (-3) + (4)] - (-4+5) =
[-(-5+3)] + (-1-3+4) =
[- 42/21 - (-8)(4) ] =
2(9 - 2[(3 + 1) - (1 + 1)]) =
(-4)-2(5-3[2-2(3-6)]) =
2(9 - 2[(3 + 1) – {(1 + 1)-(-{5+3}+1)]) =
[({(-5) - (-3)} + (4))+3] - (-4+5) =
[-(-5+3)] + (-1-3+4) =
32
Universidad Tecnológica de Puebla
ARITMÉTICA Y ALGEBRA
[- 42/21 - (-8)(4) ] =
2(9 - 2[(3 + 1) - (1 + 1)]) =
(-4)-2(5-3[2-2(3-6)]) =
2(9 - 2[(3 + 1) – {(1 + 1)-(-{5+3}+1)]) =
[(-3) - (-3) + (4)] – {-4(-4+5)-2} =
{5[6-3]+(4-2)}{[-(-5+3)] + (-1-3+4)} =
[- {42/21} – [(-8)(4)+2]/2 ] =
2(9 - 2[(3 + 1) – 3{(1 + 1)}]) =
10-[-({(+3) - (+9) +7}+{(5-6)(3)}-4)]=
{(+6) - (-7)(4)+(5)[3-4]}=
{(5-5(2+1)(+6) -(-3)}+2=
{-4+(4-8)[(6-4)(2-3)]} (-7)(-1)=
[8 - (- 6)+(8-6)[{-2(4-2)}(5-4)](3-1)-1]-2 =
(- 8){ - 4[4-2(3-1)] }=
(- 8) – ([(-7) (4-5)]{(2+1)2}-3)=
10(3-9)[{(4-2)(2+(6-8))}] – 5 =
4-{7+5-[6-8(10-9)]}=
{7-(- 3+4 )}{2-(4-6(3-1)[4-(5-6)]}+3 =
- 5 – {4[-2(3-1)(4-2)][(4-5)(6-5)-1]}=
[-2-(-6)(-4){[-2(8-6)+{8-4}]-5} ]+1=
(-2)+{(-6)+3(-9)}(-8)+6 =
[-8 – {(3)(7) - (-3)}]-5=
-(-8)[ -[-(-3)]-{[-(+6)] -8}-(+2)] =
-8+{(-3) –[(5)-(+10-9)] -(-4)} =
-{(-7)2-(2-3{2(-9+8)})4-1=
-8+[{(7-4)-(9+7)}-5{(-2-9)+6}]2=
33
Universidad Tecnológica de Puebla
ARITMÉTICA Y ALGEBRA
ALGEBRA
Polinomios
Basándose en los conocimientos y el manejo de la aritmética, se desarrollara un lenguaje
matemático de símbolos llamado algebra.
Definición de polinomio
Los métodos algebraicos usan letras para representar números, a las cuales se les llama variables.
En el algebra se combinan constantes, letras, signos de agrupación, operaciones y a sus
combinaciones se le llama expresiones algebraicas.
Ejemplo de expresiones algebraicas
5x
2
4x
,
3
5,
6x 8
Una variable es un símbolo o letra que puede tomar diferentes valores.
Las variables se representan generalmente por letras como: a,b,c,d,e,f,…..,z u otros símbolos.
Las partes de una expresión algebraica separada por un signo de operación +, - se le llama términos.
En la expresión algebraica 6 x 8 se tiene dos términos 6 x y 8.
Los términos están formador por números y variables multiplicados entre si, llamados factores.
Ejemplo de factores
En la expresión algebraica 4 x 5 hay dos factores que son: -4 e x. Y el coeficiente de x es el
-4.
A los términos que difieren solo en sus coeficientes numéricos se llaman términos semejantes.
3
3
Ejemplo de términos semejantes.
En la expresión algebraica
2x
3
4x
3
5 un termino semejante de
4x
3
es
x
3
, pero también lo es
, ya que solo difieren en el coeficiente numérico.
Ejemplo de términos no semejantes.
5
3
3x y 5 , algunos de los términos que
5
3
3 5
2 5
3 4
3 5
2 3
3x y son: 3x y , 3x y , 3x y z , 3x y , 3x , 3 y .
Se tiene la expresión algebraica
no son semejantes a
Para realizar operaciones de suma, diferencia y división se hacen entre términos semejantes.
Todas las propiedades de la aritmética se utilizaran en algebra.
Ejercicios
Proporcione tres términos semejantes de las siguientes expresiones algebraicas.
2x
3
xy
2
5x
3
y 6y
2
3y
34
3
yx
2
x
3
y xy
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
2 xz
3
zy
5
2 x xy
3
2z
zy
4
3 5 xz
7
5x
7
9
3
z2 y
2
x
2
y 6y z
3 5 xy
3
5
y xy
3 xy
z xz2 y
2
x
5
3
6
2x
z zyx
yz xyz
2
x
6
9
3
y
xy
xy
2 xyz
3
2
9
xyz
2
Grado de los polinomios
El grado de un polinomio se da de la forma siguiente:
Si un polinomio tiene solo una variable como factor, el grado del polinomio es la potencia de dicha
variable. Si en un término existe más de una variable la suma de las potencias es el grado del
polinomio.
Ejemplo
El grado del polinomio
5x
El grado del polinomio
9
2
y 6 y z es 10.
2 xyz
3
2
xyz es 5.
Ejercicios
Encuentre el grado de cada polinomio.
2x
3
2
xy grado___
3
y xy grado___
x
5
x
5x
y xy
9
6
grado___
2
y 6 y z grado___
2z
3
2 xyz
3
zy
7
grado___
5x
3
2
y 6 y grado___
2 xz
3
zy
2x
3 xy
3 5 xy
3
4
3y
3 5 xz
grado___
3
xy
3
z zyx grado___
2
3
yx
5
2
z xz2 y grado___
2
grado___
2
z 2 y grado___
2 x xy
grado___
2
3
7
grado___
9
x
9
5
yz xyz
x
y
xy
6
grado___
grado___
2
xyz grado___
Adición y sustracción
La propiedad distributiva se utiliza constantemente para sumar y sustraer polinomios.
Se observo en el conjunto de los numero naturales que (5)(4+8)= (5)(4) +(5)(8).
Expresando la propiedad distributiva en forma general, sean a, b, c números reales talque
(a)(b+c) = (a)(b) + (a)(c).
35
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Si se tiene una expresión de la forma siguiente (3)(x + y) lo que expresa la propiedad es que se
puede distribuir de la siguiente forma 3x + 3y; es decir (3)(x + y) = 3x + 3y.
Ejercicios
Aplique la propiedad distributiva con respecto a la adición.
(2)(3x + 8y) =
(x)(2x + 6y) =
(z)(x + y) =
(5)(x + y) =
(y)(x + y) =
(y)(x + 6y) =
(z)(2x + y) =
(2x)(3x + y) =
(y)(3x + z) =
Ejercicios
Extraiga los factores comunes.
40x + 35y
30z + 42x
62x + 40z
25x +40y
135z + 75y
24z + 12x
11z + 33y
30y + 55x
80t + 44z
40x + 66y
144 x+ 38y
16x + 18y
2
100 x 25 y
2 3
5x z
2
3
55 x
10 x y 25 y
2
75 x 25 x
3
5
3 4
78x z
3
125 x y 25 xz
z
3
13 x
2
3
x z
x z
51x
39 x 195 x
3 2
2x z
5 3
3
21 x y 56 x
z
5 3
3
5
3
195 x
4
17 x
2 3
54x z
3
z
3 2
z
36 x
3 4
z
y
Reducción de términos semejantes
Como ya se ha dicho se llaman términos semejantes a aquellos términos que tiene exactamente las
mismas variables y estas tengan las mismas potencias.
Los términos semejantes se reducen mediante la adición de sus coeficientes.
Aplicamos la propiedad distributiva para reducir los términos semejantes.
Ejemplo
Se tiene 4x+7x = (4 + 7)(x) = 11x
Ejemplo
Sea el polinomio
2 3
5x z
55 x
3 4
z
+
2 3
x z
5x
3 4
z
Se localizan los términos semejantes, los cuales son
2 3
3 4
z (5 1) 55 x z
2
3
3
siguiente 6 x z 3 55 x z 4 5 x z 4 y
propiedad distributiva x
5x
36
3 4
z
reducirlo.
y
2 3
x z
, entonces se procede a utilizar la
y quedando el polinomio de la forma
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Ejercicios
Reducir los términos semejantes.
40x + 35y-30z + 42x
62x + 40z-25x +40y
135z + 75y - 24z + 12x
80t + 44z + 40x + 66y
144 x+ 38y - 16x + 18y
11z + 33y + 30y + 55x
3
2
2
100 x 25 y - 75 x 25 x
2 3
5x z
55 x
3 4
z - 78x z
3
3
3
5
3
39 x 195 x z -
13 x
2
2
10 x y 25 y + 125 x y 25 xz
3 4
5 3
2x z
z
3
5
5 3
x z
195 x
3
x z - 51x
3
21 x y 56 x - 54 x
2 3
z
3
4
z
17 x
36 x
5 3
z
3
Multiplicación de polinomios de la forma (ax + b)(cx + d)
Aplicando la propiedad distributiva realizaremos la multiplicación de polinomios de la forma (ax +
b)(cx + d).
Teniendo la forma general (ax + b)(cx + d) se aplica la propiedad distributiva de la siguiente
forma: ( ax )( cx + d ) + b( cx + d ), el signo + que esta fuera de los paréntesis corresponde a (ax
+ b).
Prosiguiendo con las operaciones ( ax )( cx + d ) = (ax)cx) + (ax)(d)
y (b)(cx + d) = (b)(cx) + (b)(d)
Entonces (ax + b)(cx + d) = (ax)cx) + (ax)(d) + (b)(cx) + (b)(d) =
acx
2
adx bcx bd
Ejercicios
Realice las siguientes multiplicaciones
(5y)(y + 8)
(x)(x + 1)
(3z)( z +1)
(6y)(y + 2)
(t)(t + 3)
(x)( x + y)
2
a
(5 a )
5
2
3a (5 a)
2
3
3a (5 a )
(a – b)( a + b)
(- a + b) ( a+ b)
a2 1
5 (
)
53
a2
a
23
2
(1
2
a2
( a – b )( a – b)
a2 52
5 (
)
53
a2
2
5
a
(5
)
2
5
a
a
3
5
2
(5
5
a
(a + b)( a + b)
2
(a + b)( -a –b)
a 2 52
5 ( )
53
1
2
1
)
3
3
(5
5
a
2
2
)
2
)
37
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Fracciones algebraicas
Sea visto ya expresiones racionales precisamente en el apartado de aritmética dedicado al conjunto
de números raciónales. Todas esas propiedades se aplicaran aquí.
Expresiones racionales
Las formas fraccionarias en donde el numerador y el denominador son polinomios reciben el
nombre de expresiones racionales
Ejemplo
1/x,
21 x 5 y 56 x 3
,
2
2 x yx
2 x5 y 5 x3
2x
2
son expresiones racionales.
Obviamente todos los denominadores son distintos de cero.
Reducción de términos menores y mayores
Para la reducción de términos se tendrá necesariamente que aplicar la ley de cancelación
( q )( r )
=
( p )( r )
( q)
.
( p)
Esto quiere decir que se puede cancelar factores o factor común del numerador y denominador.
Además garantiza que se puede multiplicar el numerador y denominador por una cantidad distinta
de cero y no se afecta la fracción.
Ejemplo
Reduzca la fracción
2 x5 y 5 x3
2x
2
entonces buscamos los términos comunes en el denominador y
numerador, es decir los términos que afectan a todo el numerador y a todo el denominador.
2 x5 y 5 x3
Entonces
2x
x 2 x
3
2
y 5x
2x
2
tiene
1 2 x
3
2
y 5x
2
2 x
= x
y 5x
3
2
2x
2
2
x 2 x 3 y 5 x
x2
2
=
= 2 x
3
y 5x
2
en este caso el termino común es 2, así que
x
como
x 2
1 entonces sustituyendo se
x2
38
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Ejercicios.
Reduzca a términos mayores o menores
2 x y 10 x 3 y
3
2x y
3
2 x y 10 x 3
2x
3
2 x y 10 x 3 y
3
2
2 x2 y x3 y
3
3
3 2
x y x y
2
y
2 y x3 y
2
3
2
3
3
2x y y
3
3
2x y y
2
4x 6x 2
2x 1
2
6x x 2
2x 1
2
x 2x 1
x 1
3
2
x 3x 3x 1
2
x 2x 1
3
2
x 3x 3x 1
2
x 2x 1
3
2
x x x 1
2
x 2x 1
2
3
3
2
x x y xy y
2
2
x 2 xy y
2
3
3
2
x x y 3xy y
2
2
x 2 xy y
3
3
2x y y
Adición y sustracción de racionales
Todas las propiedades de los números racionales se utilizan aquí.
No se le olvide que para sumar o restar dos o más racionales los denominadores deben ser los
mismos. Para tal efecto se busca el mínimo común múltiplo (m.c.m).
Recuerde que se esta trabajando con variables. Y por tal motivo también se obtiene el m.c.m. de las
variables.
Ejemplo
3
2
Encuentre el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 15x, 18x ,10 x .
Se escriben en forma de columna y se procede a dividir entre dos, tres, cuatro, etc, como se hizo en
los números racionales.
Entonces el m.c.m. es (5x)(x)(x)(2)(3) =
39
30 x
3
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Ejercicios
Encuentre el m.c.m. de las siguientes fracciones racionales.
2
3
5x , 20x , 25x
2
3
12x , 6x , 9 x
4
3
2
15x , 6x , 9 x
2
3
15x , 25x , 30x
2
3
36x , 6x ,18x
4
3
2
x , 6x , 27x
2
3
5
x , 20x , 5x
2
5
4 x , 6 x , 8x
4
6
5
x ,x ,x
2
3
4
3x ,18x , 3x
2
3
5
36x , 9 x , x
4
3
2
x , x , 21x
2
3
4
x ,x ,x
3
5
x ,x ,x
4
5
2
x , 5x ,10x
2
3
7
x , 2 x , 8x
2
3
6
3x , 6x , 9 x
3
2
x ,x
3
5
10x , 5x
2
5
4 x , 8x
4
6
x ,x
2
4
3x , 3x
2
3
36x , 9 x
3
2
7 x , 21x
Ahora que se dio un repaso de cómo encontrar el m.c.m.
Procedamos a sumar expresiones racionales.
Sea la siguiente expresión (la suma y diferencia se realizan con el mismo método)
x
3x
x2
6x
2
x 1
9x
3
Primeramente buscamos el m.c.m. de 3x, 6x2, 9x3
Entonces el m.c.m. es (3x)(x)(x)(x)(2)(3) = 18x3
Así que se divide el denominador de
x
3x
entre el m.c.m. y se multiplica por el numerador,
2
quedando
( x ) (6 x )
18 x 3
Ahora se divide el denominador de
x2
6x
quedando
2
entre el m.c.m. y se multiplica por el numerador,
( x 2) (3 x )
18 x 3
40
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x 1
Por ultimo se divide el denominador de
9x
quedando
3
entre el m.c.m. y se multiplica por el numerador
( x 1) (2 )
18 x 3
Realizando las operaciones
( x ) (6 x ) ( x 2) (3x ) ( x 1) (2 ) 6 x 3 3x 2 6 x 2 x 2
+
=
+
=
18 x 3 18 x 3
18 x 3
18 x 3
18 x 3
18 x3
2
Efectuando operaciones
3
2
3
2
6 x + 3 x 6 x + 2 x 2 = 6 x 3x 6 x 2 x 2
3
18 x 3
18 x 3
18 x3
18x
Reduciendo términos semejantes.
3
2
6 x 3x 8 x 2
3
18x
Entonces tenemos que
x
3x
x2
6x
2
x 1
9x
3
6x
3
3x 2 8 x 2
18x
3
Ejercicios
Realice las siguientes operaciones (sumas, restas) con expresiones racionales.
2 y 10 x 3 2 y 3 10 x3 y 2
+
=
3
2 y3
2x
x3 x 2 y xy 2 y 3 x 3 3x 2 3x 1
-
=
2
2
y
x
x
x2 y 3 x3 y 2 2
+
xy
2 x 10 x3 y
3
2x y
y 10 y
3
2x
3
2
4x2 6x 2
-
2x 1
=
=
41
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2 y x y 2 y x y
-
=
2x y
2x y
2 y x y x x y2
+
=
y
2x y
2 y 10 x 3 2 y x y
=
-
2 y3
2x y
2 y x y 2 y 3 10 x3 y 2
+
=
3
2x
2x y
x3 x 2 y xy 2 y 3 2 y x y
=
-
2
x
2x y
2 y x y x 3 3x 2 3x 1
-
=
2
y
y
x
2x
x2 y 3 x3 y 2 2 y x y
=
+
xy
2x y
2
y 10 y
3
2x
3
2
x x y2
-
=
y
x x y 2 2 x 10 x3 y
+
3
y
2x y
4x2 6x 2
2x 1
=
2
x x y
=
y
42
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
2 y 10 x 3 2 y 3 10 x3 y 2
+
=
3
2 y3
2x
x3 x 2 y xy 2 y 3 x 3 3x 2 3x 1
-
=
2
2
y
x
x
x2 y 3 x3 y 2 2
+
xy
2 x 10 x3 y
3
2x y
y 10 y
3
2x
3
2
4x2 6x 2
-
2x 1
=
=
2 y x y 2 y x y x x y2
-
+
=
y
2x y
2x y
2 y 10 x 3 2 y x y 2 y 3 10 x3 y 2
+
-
=
3
2 y3
2x
2x y
x3 x 2 y xy 2 y 3 2 y x y x 3 3x 2 3x 1
-
-
=
2
2
y
y
x
x
2
x
x2 y 3 x3 y 2 2 y x y 2
+
xy
y
2x
x x y 2 2 x 10 x3 y
+
3
y
2x y
y 10 y
3
2x
3
2
x x y2
-
=
y
x x y2
-
=
y
43
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Multiplicación y división de expresiones racionales
2
2
6ba 2
24a 9b 2
4a 12 ab 9b 8a 2b2 12ab3
La multiplicación de expresiones racionales se puede hacer más fácil si se advierten los factores que
se pueden cancelar antes de realizar la multiplicación o división.
Ejemplo
Realizar la multiplicación.
2
9b2
6ba 2
4
a
2
2
4a 12 ab 9b 8a 2b2 12ab3
Primero localicemos factores que se puedan
cancelar.
Factoricemos
4a 9b (2a 3b)(2a 3b) y
2
2
4a 12ab 9b (2a 3b)(2a 3b) y
2 2
3
2
8a b 12ab 2ab(4ab 6 b )
2
2
La ecuación queda como:
2
( 2a 3b)( 2a 3b)
6
ba
( 2a 3b)( 2a 3b) (2ab) ab6b2
Aplicando la ley de cancelación, se cancela
(2a+ 3b) del primer factor y del segundo factor se cancela parte del numerador, quedando la
expresión racional de la forma siguiente:
( 2a 3b) 3a
( 2a 3b) ab6b2
El racional hasta este momento ha quedado de la forma siguiente:
2
9b2
6ba 2
4
a
2
2
4a 12 ab 9b 8a 2b2 12ab3
( 2a 3b)
3a
( 2a 3b) ab 2
6b
Ahora se realiza la multiplicación.
( 2a 3b) 3a
(
2
a
3
b
)
ab6b2
2
6a 9ab
2a 2 b 3ab2 12ab2 18b3
Y si hubiera factores comunes se procedería a cancelarlos.
44
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Ejercicios
Realice las siguientes multiplicaciones
2 y 3 x3 y 2 x y 3 x3 y 2
3
3
y
2x y y
2 x y 10 x 3 2 x y 10 x 3 y
3
3
2x
2x y
3
2
x 3 x 2 y xy 2 y 3 x 3 3x 2 3x 1
2
2
2
1
x 2 xy y
x 2x
x y 3 x 3 y 2 2 x y 3 10 x 3 y 2
3
3
y
2x y y
2 x y 3 10 x 3 y 2 4 x 2 6 x 2
3
3
2x 1
2x y y
2 x2 y 3 x3 y 2 2 y 3 x3 y 2
3
3
3
3
2x y y 2x y y
4x2 6x 2
2x 1
6x2 x 2
2x 1
x 3 x 2 y xy 2 y 3 x 3 3x 2 3x 1
2
2
2
1
x 2 xy y
x 2x
2 x y 3 10 x 3 y 2 2 x y 3 10 x 3 y 2
3
3
3
y
2x
2x y y
x2 2x 1
x 1
x 3 3x 2 3x 1
2
1
x
2
x
45
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
2 x y 3 10 x 3 y 2 6 x 2 x 2
3
3
2 x 1
2x y y
x 3 x 2 y xy 2 y 3 x 3 x 2 x 1
2
2
2
1
x 2 xy y
x 2x
x 3 3x 2 3x 1 x 3 x 2 x 1
2
2
1
1
x
2
x
x
2
x
2 x y 3 10 x 3 y 2 x 2 2 x 1
3
x 1
y
2x
2 y 3 x 3 y 2 2 x y 10 x 3
3
3
3
y
2
x
y
2x
2 x y 3 10 x 3 y 2 2 x 2 y 3 x 3 y 2
3
3
3
3
y
y
y
y
2x
2x
x 3 x 2 y xy 2 y 3 x 3 x 2 y 3xy 2 y 3
2
2
2
2
x 2 xy y
x 2 xy y
46
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ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Ecuaciones de primer grado
Ahora se estudiaran algunos métodos para resolver ecuaciones de la forma
5x – (4x - 3) + 2 = - x – 3
La solución o raíz se da cuando se sustituye las variables por una constante haciendo posible que
la igualdad suceda.
Dividamos la anterior ecuación de dos partes, tomando como referencia el signo de igualdad (=).
Con respecto al signo de igualdad tenemos el lado derecho y el lado izquierdo de la ecuación. Así
por ejemplo la ecuación 5x – (4x - 3) + 2 = - x – 3, su lado izquierdo esta compuesto por 5x –
(4x – 3 ) + 2, mientras que el lado derecho esta compuesto por – x – 3.
Una estrategia para encontrar la solución de las ecuaciones es la siguiente: Lo mismo que se le
hace al lado derecho se le hace al lado izquierdo. Sin olvidarse de las propiedades de los números
reales.
Y para quedar completamente de acuerdo, todas las variables deberán estar del lado izquierdo y
toda constante del lado derecho.
Solución de ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros
Recuerde la reducción de términos semejantes y la forma de suprimir los signos de agrupación.
Así que si tenemos la siguiente ecuación 4x – 3(x – 2) = - x + 3 y se nos pide encontrar su solución,
procedemos de la forma siguiente:
1. Se busca primeramente la supresión de los signos de agrupación.
2. Se procede a la reducción de términos semejantes.
3. Pasamos todas las variable del lado izquierdo utilizando las propiedades de los números
reales
4. Reducimos términos semejantes.
5. Pasamos del lado derecho todas las constantes utilizando las propiedades de los números
reales.
6. Solo debe quedar del lado derecho una variable, para esto aplicamos las propiedades de los
números reales. En el intento de dejar del lado derecho solo una variable, realizamos varias
operaciones y las operaciones que se le hacen al lado derecho se le hacen al lado izquierdo.
Así que tenemos la ecuación 4x – 3(x – 2) = - x + 3
Procedamos a quitar los signos de agrupación (paréntesis), efectuando la multiplicación de
3(x – 2), la ecuación queda como:
4x – 3x + 6 = - x + 3
Ahora reduzcamos términos, entonces la ecuación queda como x + 6 = - x + 3.
Para pasar del lado izquierdo a –x, súmenos en el lado izquierdo y derecho de la ecuación x.
Esto es x + (x + 6 ) = (- x + 3) + x.
Reduzcamos términos semejantes. La ecuación ahora es la siguiente 2x + 6 = 3.
Procedamos a pasar del lado derecho al numero +6.
Sumemos en ambos lados de la ecuación -6
Nota: De se cuenta que estamos utilizando el
inverso aditivo.
(2x + 6) – 6 = 3 – 6 Realicemos las operaciones
2x = - 3
Ahora para dejar sola la variable x, multipliquemos a ambos lados de la ecuación el inverso
multiplicativo del numero 2. Esto es multipliquemos por
47
1
, de la forma siguiente.
2
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1
1
(2 x ) 3 y efectuemos las operaciones, para encontrar la solución de la ecuación
2
2
3
Que es la solución de la ecuación.
x
2
Ejercicios
Encontrar la solución a las siguientes ecuaciones de primer grado
5x – 2(x – 2) = - 2x + 1
4(x -1) + 5x – 3 = x – 3
2(x + 2) – 4 = x -1
(x – 2)( 4-2) + x + 3 = 2x + 2 5x- 3 = 4(x-2)-3
6x-6 = 5x- 5
5x – 2(x – 2) = 1
4(x -1) + 5x – 3 = 3
2(x + 2) – 4 = 1
(x – 2)( 4-2) + x + 3 = 2
5x- 3 = 4
6x-6 = 5
2(x – 2) = - x + 1
4(x -1) 3 = x – 3
2(5x + 2) – 9 = x
(x – 2)( 3) + 3 = 2x + 2
5x = 4(x-2)
x-6 = x- 5
5x – (x – 2) = 1
-4(x -1) - 5x – 3 = 3
-2(x + 2) = 1
(x – 2)( 4-2) + x + 3 = 2
5x- 3 = 4
x-6 = 2x-5
Ecuaciones con formas fraccionarias
Existen ecuaciones con constantes en los denominadores y ecuaciones con variables en los
denominadores. Por lo que necesitaremos conocer el mínimo común múltiplo (m.c.m.), ya que en
las sumas y diferencias los denominadores deben ser iguales para hacer las operaciones de adición o
sustracción.
Ecuaciones con constantes en los denominadores
Encuentre la solución de la ecuación.
x 5
2
x 2 x 1
1 , encontremos el m.c.m. de 2, 3, 4
3
4
Entonces el m.c.m es (2)(2)(3) = 12,
48
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Ahora dividamos el 12 que es denominador entre el 2 de
por el numerador, quedaría.
y se multiplica el resultado
x 2
3
y se multiplica el resultado
6( x 5)
12
Ahora dividamos el 12 que es denominador entre el 3 de
por el numerador, quedaría.
x 5
2
4( x 2)
12
Ahora dividamos el 12 que es denominador entre el 3 de
x 1
4
por el numerador, quedaría.
y se multiplica el resultado
3( x 1)
12
Ahora reunamos toda la ecuación.
4( x 2) 3( x 1)
6( x 5)
Realizando operaciones.
12
12
12
6 x 30 4 x 8 3x 3
6( x 5) 4( x 2) 3( x 1)
1
12
12
Sumando términos semejantes la ecuación queda.
x 35
12
1
Multiplicando toda la ecuación por el inverso multiplicativo de 1/12, ya que se debe anular el
denominador de la ecuación.
x 35
12
12
(1)(12 )
Realizando operaciones, la ecuación queda:
x 35 12
Ahora sumándole a la ecuación el inverso aditivo de 35, ya que se debe quedar sola la variable.
Entonces la ecuación es:
35 x 35 12 35
Realizando operaciones.
x 23
Ahora multiplicando toda la ecuación por -1
(1)( x) (1)( 23)
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Realizando operaciones
x 23
Ejercicios
Encontrar la solución de las ecuaciones con denominador constante
x 5
2
2x
2
x 2 x 1
12
3
4
x x x 1
3 4
2
2 x 1 3x 4 x 3 1
3
9
2
3x 4 x
1
3
9
x x 2 x 12
3
2
2
x 1
3
2 x 2
2
2x
2
3x 4 x 3
1
3
9
x 5
x 2 x 1
2
3
4
2x
1
x x
1
3 4
3x 1 4 x
1
3
9
x xx 1
3
2
2
2 x 1 3x 4 x 3 0
3
4
2
3x 4 x 1
3
2
3
x x2 x 2
1
2
5
x 1
3
2 x 2
2
x
3x 4 x 3
0
2
2
5
50
x x 2x
3 4
5
3x 1 4 x
1
3
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Ecuaciones con variables en los denominadores
Aquí el problema debe ser quitar o prevenir una división o multiplicación por cero. Es aconsejable
prevenir este problema.
Ejemplo.
2 3 4
1si nos damos cuenta x≠0
x 2x x
Multipliquemos toda la ecuación por x
2 3 4
( x )
(1)( x )
x 2x x
Realicemos operaciones
2 x 3x 4 x
x
x 2x x
Apliquemos la ley de cancelación.
3
2 4 x .
2
Efectuemos operaciones.
3
2 x
2
La ecuación se puede rescribir como:
3 2
x
2 1
3 4
x
2
Busquemos el m.c.m. de 2 y 1, en tonce la ecuación es
1
x
2
Y realicemos operaciones, la ecuación queda
Ejercicios
2 3 4
4 x x
3
x4
4
x2
x2
2 4 3
4 x x
3 4
3 2
x x
3x
x4
x 3 x 3
3x 3 x 4
x2 x2
2 5 1
4x x x
3 2x
x
x 3 x 3
51
3
x4
2
x
x
x4
x
3( x 2) 4
x
x
2
2x 1 x 4
x
x
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BIBLIOGRAFÍA
Matemáticas I
Instituto Politécnico Nacional
Algebra
Florence M. Lovaglia
Editorial Harla
Algebra
Raymond A. Barnett
Editorial McGraw Hill
Algebra
Paul K. Rees
Fred w. Sparks
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