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todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas
cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.
Fracciones algebraicas
Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un
signo menos (−), y nos queda
Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.
Son fracciones algebraicas:
Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.
El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad.
Esta cantidad debe ser distinta de cero.
Por ejemplo:
Si
se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:
Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos
y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.
Operaciones con fracciones algebraicas
Simplificar fracciones algebraicas
La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las
fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el
factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.
Por ejemplo, simplificar:
Otro ejemplo, simplificar la fracción
Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador
Veamos el siguiente ejemplo:
Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo
(m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador
común.
Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mínimo
común denominador (m.c.d.).
Para calcular el m.c.m. factorizamos
2
2
a
15b
5ab
a
5b
a
15b2
a
5b
1
15b
2
b
5
1
15b
b
5
1
15
5
1
1
3
3
1
1
1
2
2
2 2
Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a • b • 15 que es lo mismo que 15a b y es el mínimo común
denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.
Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:
2 2
Previamente, dividimos el denominador común (15a b ) por cada uno de los denominadores individuales, para
conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:
Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar
Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya
particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).
Suma y resta de fracciones algebraicas
Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros,
reduciendo primero a común denominador.
Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con
fracciones de igual denominador o de distinto denominador.
Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador
Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:
Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a
Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:
Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que
faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:
b)
Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.
Un ejemplo más:
c)
Sumar
Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de
productos notables.
El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)
Hacemos
Cociente o división de fracciones algebraicas
Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto
cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos, ahora qué significa esto:
Sea
¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:
una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra
, entonces:
Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas
Dividir
Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas
Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los
numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos qué significa esto:
Anotamos haciendo el producto cruzado:
Simplificamos y finalmente multiplicamos:
Sea
una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra
, entonces:
Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas
Multiplicar
Ejemplos desarrollados
a)
Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:
Simplificamos antes de efectuar el producto:
b)
Ahora, podemos multiplicar los factores finales:
c)
Ejemplos desarrollados
a)
Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el
ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).
denominador es mayor que el del numerador, lo cual no es un resultado que pueda obtenerse de manera inmediata.
En el caso contrario, basta con hacer la división entre polinomios que no necesariamente es fácil pero que conduce a
generar una función racional entera. La integración de este tipo de expresiones diferencial a menudo requiere obtener
fracciones racionales más simples para su integración. El teorema fundamental del álgebra es esencial en el
desarrollo de métodos que tiendan a solucionar este tipo de problemas.
Una expresión del teorema fundamental del álgebra es la siguiente:
d)
Fracciones algebraicas compuestas
En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones compuestas.
Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador.
La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la
componen.
Ejemplos:
Teorema fundamental del álgebra. Cualquier polinomio con coeficientes reales de grado n tiene n raíces, las cuales
son reales o complejas. En el caso de existir raíces reales siempre existen en pares, es decir, la raíz y su complejo
conjugado.
Sea construido un teorema que recoge los elementos del teorema fundamental del álgebra, este agrupa en las
aplicaciones a la solución de integrales:
Teorema:
La integral de toda función racional en la que el denominador se puede descomponer en factores reales de primero y
segundo grado puede solucionarse una vez que la función racional se expresa en sumas y restas de funciones
elementales.
Fracciones parciales
1er caso. Todos los factores del denominador son de primer grado.Si no se repiten los factores la descomposición en
fracciones parciales es de la forma:
1)
Ejemplos resueltos
en el caso que uno de los factores se repita n veces tendremos que desarrollar para ese caso una descomposición de
la siguiente forma:
Ejercicios resueltos
Segundo caso. El denominador tiene factores de segundo grado.
De acuerdo al teorema fundamental del álgebra, si los factores son de la forma
y además no se repiten, a todo factor corresponderá una fracción parcial
de la forma:
2)
3)
Es común, que en ocasiones encontremos la integración de una fracción de polinomios en el que el grado del
Ejercicios resueltos
Un caso particular es el análogo al caso lineal en el que llega a aparecer una raíz mas
de una vez, en este caso pensar que un polinomio de segundo grado puede repetirse n
veces, a lo cual corresponderá la suma de n fracciones parciales de la forma: