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CÓMO SE USA ESTE LIBRO
IMPORTANTE: Todas las actividades propuestas en este libro deben
realizarse en un cuaderno de trabajo, nunca en el propio libro.
El libro de Dibujo Técnico I consta de dieciséis unidades
didácticas.
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u10
Sistema diédrico II:
paralelismo, perpendicularidad,
distancias y ángulos
unidad 10
contenidos
1.1. Paralelismo entre rectas
2. Perpendicularidad
3. Distancias
4. Ángulos
Asimismo, existe una relación de distancia entre estos elementos, distancias entre puntos, rectas, planos, puntos y rectas; puntos y planos y rectas
con planos. Estas cuestiones son primordiales para los diseños y proyectos
industriales.
D
C
Si dos rectas son paralelas, sus proyecciones ortogonales sobre un plano son siempre paralelas (Fig. 1), pero esta condición, que es imprescindible, no es suficiente, ya que dos
rectas que no sean paralelas pueden tener paralelas sus proyecciones ortogonales sobre un plano (Fig. 2). Si las proyecciones ortogonales de las rectas sobre dos planos, cuya
intersección es oblicua a ellas, son paralelas, dichas rectas
son paralelas entre sí. En el sistema diédrico, las rectas paralelas se caracterizan por tener sus proyecciones homónimas paralelas. En rectas oblicuas es suficiente tener
paralelas las plantas y los alzados (Figs. 3 y 4).
En la geometría descriptiva se estudian
las posiciones relativas de los distintos
elementos geométricos en cuanto a su
posición: paralelismo, perpendicularidad y oblicuidad bajo ciertos ángulos.
Xxxxxx
1. Paralelismo
Cada unidad didáctica se inicia con el índice de contenidos en la parte izquierda de la página, desglosando los
epígrafes principales que presenta la unidad. En la parte
derecha nos encontramos un breve texto introductorio
acompañado de una imagen motivadora.
183
1. Paralelismo
C
A
A
D
C'
C'
B
A'
B
D'
D'
A'
B'
B'
Fig. 1
Fig. 2
s"
r"
B"
D"
A'1
s"
r"
s'1
A"
C"
D'1
D
s
C
s'
C'
r'
A'
B'1
B
r
A
d'1=V.M.
r'1= C'
r'
D'
s'
B'
s"
C"
A"
d"
Fig. 3
D"
Fig. 4
B"
r"
Cuando se trata de paralelismo entre rectas de perfil, nos
auxiliamos con las proyecciones sobre el plano de perfil estableciéndose el paralelismo en dicha proyección (Figs. 5 y 6).
C'
r'
d'
r"=r'
V"r
B'
A"
s"=s'
D'
s'
H'''
s
H"r = V'r H"s = V's
Segmento perpendicular común a dos rectas.
B'''
H'''
r
D'
s'
C'
B'
H's
D'''
D"
B"
A'''
s''' r'''
s"
r"
r'''
s'''
C'''
C"
V'''
r
V'''
s
V"s
A'
r'
A'
H'r
Fig. 5
Fig. 6
→
6.3. Resolución práctica del problema de
transformación de figuras
En este curso se estudia la homología plana, esto es, cuando las dos figuras homólogas se encuentran en un mismo
plano. Esto supone una transformación que se puede conseguir de dos maneras.
En los dos procedimientos de transformación se mantienen
las propiedades de la homología. Un ejemplo de aplicación
de la homología al sistema diédrico es la relación que existe entre las secciones planas de superficies.
β
α1
β1
V
RL
α
RL
d'
d
e
RL
α
V
d'
RL'
e
e
d'
RL'
RL o RL'
RL'o RL
Fig. 24
A'
A
7. Homología plana
RL o RL'
V
Es una transformación geométrica entre figuras coplanarias, con una relación biunívoca entre sus elementos. Dos
figuras homólogas ABC y A’B’C’ deben cumplir las siguientes condiciones:
Fig. 18
V
d
RL
• Si las dos rectas límite coinciden, la homología se llama involutiva (Fig. 26).
e
e
d
V
• El centro y el eje entre las dos rectas límite (Fig. 25).
RL'
Fig. 20
d'
d
• Las dos rectas límite entre eje y centro de homología
(Fig. 24).
Como se ha visto antes, las rectas límite son paralelas al eje.
Para hallarlas (Fig. 23) se puede dibujar por A una recta r
cualquiera que corta al eje en M = M’, la recta homóloga
de r es r’ que pasa por M’ y A’. El punto del infinito de r’
(B’∞) tiene por homólogo un punto B de r que se halla
uniendo V con B’∞. Ese punto pertenece a RL. De forma
análoga, se obtiene C’ homólogo del punto del infinito de
la recta r, se une V con C∞ y sobre r’ tenemos C’. Este punto pertenece a RL’.
RL'
d
Para apoyar y reforzar los contenidos se presentan imágenes, dibujos, tablas y esquemas, que refuerzan y facilitan la comprensión.
RL’ = Recta límite de la segunda figura. Es el lugar geométrico de los puntos homólogos de puntos del infinito de la
primera figura.
7.2. Posiciones relativas del eje, centro
y rectas límite
d
α1
e
β1
V
49
RL = Recta límite de la primera figura. Es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el infinito.
En la figura 22 se presenta una homología dada por el centro, el eje y dos puntos homólogos A y A’.
a) Abatiendo o girando el paralelepípedo
articulado
β
Transformaciones geométricas
7.1. Rectas límite
b) Proyectando sobre uno de los planos
d
Unidad 5 →
48
V
Fig. 22
1.º Los puntos correspondientes u homólogos están alineados con un punto fijo V, llamado centro de homología.
B'
RL
A'
V
A
d
d
C
B
V
C'
V
RL y RL'
C'
B'
RL
C
d
RL'
M=M'
L=L'
V
e
r'
A
K=K'
V
d'
A'
r
B
RL'
Fig. 25
d
e
RL' o RL
B'
RL'
e
e
α
d
e
2.º Se cumple el teorema de Desargues. Rectas homólogas
se cortan en puntos de una recta fija, e, llamada eje de
homología. El eje es, por tanto, el lugar geométrico de
los puntos dobles (Fig. 21).
β1
RL
8
β
α1
8
A lo largo de estas páginas de teoría, el bloque principal
de la unidad, también nos encontramos cuadros sombreados que resaltan las ideas principales.
8
A continuación comienza el desarrollo de los contenidos, de forma ordenada, clara y concisa, de acuerdo con
la normativa vigente y dando siempre el enfoque adecuado al perfil académico y profesional.
d'
e
C
Fig. 21
Fig. 26
8
Fig. 19
M=M'
Fig. 23
→
Tras el desarrollo de contenidos se proponen una serie
de actividades complementarias para practicar y afianzar los conocimientos adquiridos.
Estas actividades permiten, por un lado, poner en práctica lo estudiado a lo largo de la unidad, y, por otro,
potenciar la iniciativa y autonomía del alumno.
Unidad 15 →
318
Elaboración de dibujos acotados y croquis de conjunto
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
319
Resuelve en tu cuaderno
o bloc de dibujo
■ 1. Dibuja el boceto de la mesa de trabajo del aula.
Fig. 14
En la figura anterior podemos observar un croquis de conjunto de una reductora de velocidad.
3.1. Reglas de acotación
Por último, cabe destacar que este tipo de croquis están obsoletos por su complejidad, y se suele recurrir a la toma de
fotos en taller y posterior representación de las piezas con
un programa de CAD.
Las reglas y pautas seguidas para acotar un dibujo ya han
sido estudiadas, sin embargo, recordaremos algunos principios generales.
3. Elaboración de dibujos
acotados
Definimos dibujo acotado como la representación gráfica
en la que se utiliza la acotación con la finalidad de mostrar
las dimensiones de una pieza, elemento o proyecto.
Tipos de dibujos acotados
• Bocetos: normalmente no van acotados, pero si se da el
caso de acotar un boceto, las cotas serán de dimensión
y servirán para dar una idea de las dimensiones principales de la pieza.
• Croquis: son dibujos realizados a mano alzada y acotados, teniendo el número de cotas necesarias que los definan completamente.
• Planos: son dibujos delineados que se realizan con la ayuda de un amplio espectro de herramientas informáticas,
pero aún se siguen utilizando las herramientas tradicionales de dibujo (compás, regla, escuadra, cartabón…).
Los planos siempre son dibujos sujetos a normativa.
• Se mostrarán las cotas necesarias para la total definición de la pieza, no se dibujarán cotas sobrantes.
Fig. 15
■ 2. Dibuja el boceto de una botella de leche.
■ 3. Dibuja el croquis de conjunto de un portaminas.
■ 4. Dibuja el croquis de conjunto de un compás.
■ 5. Dibuja el croquis del aula.
• Las cotas se situarán en la vista en la que más claramente se represente la dimensión a la que hacen referencia.
• Cada cota figurará únicamente en una vista.
• Las cotas se distribuirán entre las diferentes vistas intentando conseguir que el dibujo sea lo más claro posible.
• Se intentarán situar las cotas en el exterior de la pieza, admitiéndose su colocación en el interior de esta
siempre que no disminuya la claridad en el dibujo.
• Por regla general, no se acotará sobre aristas ocultas
a no ser que no exista otra opción.
• Se debe evitar que las líneas de cota se corten con aristas del dibujo o entre sí.
• Todas las cotas se expresarán en la misma unidad.
• Se evitará en la medida de lo posible las cotas que se
extraigan por suma o diferencia de otras para evitar
errores.
Fig. 16
■ 6. Dibuja el croquis del corte de un ratón de informática.
→
→
2B Dibujo Tecnico.indb 7
28/02/16 20:08
u1
unidad 1
contenidos
1.1.Xxxxxx
Lugares geométricos en el
plano
2. Construcción del arco capaz
de un segmento AB bajo un
ángulo dado a
3. Lugar geométrico de los
puntos del plano desde los
que se ve una circunferencia
dada bajo un ángulo a
Trazados fundamentales
Los puntos medios de las aristas de un
cubo se encuentran en la superficie de
una esfera cuyo centro es el mismo
que el del cubo y con diámetro igual a
su diagonal de cara. El cubo secciona a
la esfera en seis circunferencias inscritas a sus caras y tangentes entre sí.
4. Lugar geométrico de los
puntos medios de las cuerdas
que parten de un punto P de
una circunferencia dada
5. Lugar geométrico de los
puntos medios de las cuerdas
que pasan por un punto P
interior a una circunferencia
dada
6. Lugar geométrico de
los puntos medios de
un segmento dado, de
longitud d, al deslizar sus
extremos sobre dos rectas
perpendiculares
7. Lugar geométrico de los
puntos medios del segmento
PA, siendo A un punto
cualquiera de una recta r y P
un punto fijo exterior a r
8. Lugar geométrico de los
puntos medios de las cuerdas
de igual longitud de una
circunferencia dada
9. Lugar geométrico de los
puntos del plano cuya razón
de distancias a dos puntos
dados A y B sea constante e
igual a p/q
10. Lugares geométricos en el
espacio
11. Cuadrilátero inscriptible
12. Rectas antiparalelas
13. Circunferencias que pasan
por los extremos del
segmento AB y cortan a los
lados a y b del triángulo AVB
según cuerdas paralelas
14. Cuadrilátero circunscriptible
15. Ángulo de dos circunferencias
2B Dibujo Tecnico.indb 8
28/02/16 20:08
9
1. Lugares geométricos en el
plano
Lugar geométrico es el conjunto de puntos del plano que
cumplen una determinada propiedad.
En el libro de 1.º de Bachillerato se trataron una serie de lugares geométricos básicos que conviene recordar:
Lugar geométrico de los puntos del plano que
se encuentran a la misma distancia d de otro
dado A
Los puntos que cumplen esta propiedad se encuentran en
la circunferencia de centro el punto dado A y radio la distancia indicada d. Estos puntos son centro de las circunferencias de radio d que pasan por el punto dado A.
Lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de otros dos dados A y B
Los puntos que cumplen esta propiedad se encuentran en
la mediatriz del segmento definido por los puntos A y B. Estos puntos son centro de las circunferencias que pasan por
los puntos dados A y B.
Lugar geométrico de los puntos del plano que
se encuentran a una distancia dada d de una
recta dada r
Los puntos que cumplen esta propiedad se encuentran en
las paralelas a la recta dada r a la distancia indicada d.
Estos puntos son centro de las circunferencias tangentes a
la recta r, de radio la distancia d.
Lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de dos rectas dadas
Los puntos que cumplen esta propiedad se encuentran en
las bisectrices de los ángulos formados por ambas rectas. Si
las rectas dadas son paralelas, la bisectriz es la paralela media (mediatriz del segmento de perpendicular comprendido entre ambas rectas).
Lugar geométrico de los centros de las
circunferencias tangentes a una recta r, en un
punto T
Los puntos que cumplen esta propiedad se encuentran en
una perpendicular a la recta por el punto T de tangencia.
Lugar geométrico de los centros de las
circunferencias tangentes a otra dada, en un
punto T
Los puntos que cumplen esta propiedad se encuentran en
la recta definida por el centro de la circunferencia y el punto T de tangencia.
Lugar geométrico de los puntos del plano
desde los que se ve un segmento AB bajo un
ángulo dado a
Se dice que desde un punto P se ve un segmento AB, bajo
un ángulo a, cuando al trazar desde P las visuales que pasan por los extremos A y B del segmento forman en P el ángulo a. Los puntos del plano que cumplen esta propiedad
se encuentran en el arco capaz del segmento AB bajo el ángulo a y en su simétrico respecto al segmento.
2. Construcción del arco
capaz de un segmento AB
bajo un ángulo dado a
Su centro se encuentra en el corte de la mediatriz del segmento con la semirrecta, que, pasando por uno de los extremos del segmento, forma con este un ángulo igual a
90º-a. De los dos arcos posibles, en el caso de que 90-a
sea positivo, el que se encuentra en el mismo lado que
el centro (respecto al segmento) es el correspondiente al
ángulo a (arco APB), y el del lado contrario (arco AQB) el
correspondiente a su suplementario (Fig. 1). Si 90º-a es
negativo, el arco correspondiente al ángulo a es el que
se encuentra en el lado contrario al centro, respecto del
segmento.
Estos puntos son centro de las circunferencias tangentes a
ambas rectas.
P
O
α
90-
Estos puntos son centro de las circunferencias de radio d
tangentes exteriores o interiores a la dada.
Arco capaz de 90º
(semicircunferencia)
α
Lugar geométrico de los puntos del plano que
se encuentran a una distancia dada d de una
circunferencia
Los puntos que cumplen esta propiedad se encuentran en
la circunferencia concéntrica con la dada y de radio R + d;
y si d es menor que R, también en la circunferencia de radio R – d. Si d = R, entonces R – d = 0, y esta segunda circunferencia se reduce a un punto, el centro de la
circunferencia dada.
Arco capaz de αº
P
A
180-α
Q
B
A
O
B
Arco capaz de 180-αº
Fig. 1
→
2B Dibujo Tecnico.indb 9
28/02/16 20:08
Unidad 1 →
10
El arco capaz y su simétrico respecto al segmento forman
el lugar geométrico completo de los puntos del plano desde los que se ve AB bajo el ángulo a (Fig. 2).
P
2.º Dibujar un paralelogramo del que se conoce el lado
A B = 50 mm, el ángulo de las diagonales, correspondiente a ese lado, de 130º, y el punto P, proyección del
centro O sobre AB, siendo AP = 35 mm (Fig. 4).
O
O
B
A
B
º
P
- 40
A
O'
Fig. 4. Se dibuja, mediante el arco capaz, el triángulo AOB.
Fig. 2
Aplicaciones del arco capaz
El arco capaz se aplica en la construcción de triángulos en
los que se conoce un lado y el ángulo opuesto, y en base a
esto situar puntos en el plano, dibujar cuadriláteros partiendo de triángulos en los que se descomponen, etc.
Ejemplos:
1.º Dibujar un triángulo del que se conoce el lado a = 35
mm, ángulo B = 50º y ángulo A = 35º (Fig. 3).
3. Lugar geométrico de
los puntos del plano
desde los que se ve una
circunferencia dada bajo
un ángulo a
El ángulo en un punto P del lugar geométrico buscado,
según se aprecia en la figura de análisis, es circunscrito a
la circunferencia y mide aº. El lugar geométrico buscado
es la circunferencia concéntrica con la dada que pasa por
P.
A
P
A
α/2
50º
90º-35º
α
O
a
B
C
Figura de análisis.
Fig. 3
2B Dibujo Tecnico.indb 10
28/02/16 20:08
Trazados fundamentales
11
Pasos:
1.º Por un punto arbitrario A (de la circunferencia) se traza una recta tangente (Fig. 5).
P
2.º Con vértice un punto arbitrario de la tangente, se dibuja el ángulo a y su bisectriz.
α
A
α/2
3.º Por O se dibuja una paralela a la bisectriz determinando sobre la tangente el punto P por el que pasa la circunferencia pedida.
O
L.g.
Fig. 5
4. Lugar geométrico de
los puntos medios de
las cuerdas que parten
de un punto P de una
circunferencia dada
Teniendo en cuenta que la mediatriz de una cuerda pasa
por el centro de la circunferencia, las cuerdas y las perpendiculares a ellas por O forman triángulos rectángulos de hipotenusa OP y ángulo recto en M1, M2, M3, etc., por lo que
el lugar geométrico pedido es la circunferencia de diámetro OP, arco capaz del segmento OP bajo ángulo de 90º,
(Fig. 6).
Por otra parte, se observa que las dos circunferencias se relacionan mediante una homotecia de centro P y razón 1/2.
Si realizamos una homotecia de la circunferencia dada, de
centro P y razón 1/3, se obtendría la circunferencia lugar
geométrico de los puntos de las cuerdas que distan 1/3 de
su longitud del punto P.
M1
O
P
M2
M3
Fig. 6
→
2B Dibujo Tecnico.indb 11
28/02/16 20:08
Unidad 1 →
12
5. Lugar geométrico de los
puntos medios de las
cuerdas que pasan por
un punto P interior a una
circunferencia dada
M
O
Igual que en el epígrafe anterior, el lugar geométrico pedido es la circunferencia de diámetro OP, arco capaz del segmento OP bajo ángulo de 90º (Fig. 7).
P
6. Lugar geométrico de
los puntos medios de
un segmento dado, de
longitud d, al deslizar sus
extremos sobre dos rectas
perpendiculares
Fig. 7
A1
A2
El triángulo formado por las dos rectas y el segmento A B
(Fig. 8) siempre es rectángulo en P, lo que implica que
PM1 = PM2 = PM3 = ... = d/2. Es decir, la distancia del punto medio M, del segmento AB, al punto P de corte de las
rectas es constante e igual a d/2, por lo que el lugar geométrico pedido es la circunferencia de centro P y radio d/2.
M1
M2
A3
M3
M4
B2
P=B1=A4
B3 B4
Fig. 8
Por el teorema de Tales, los segmentos determinados por
un haz de rectas paralelas equidistantes sobre rectas oblicuas son iguales. Es decir, el lugar geométrico pedido es una
recta paralela a r y equidistante de P y r (Fig. 9).
P
M3
M2
M1
r
A3
A2
Fig. 9
2B Dibujo Tecnico.indb 12
7. Lugar geométrico de
los puntos medios del
segmento PA, siendo A un
punto cualquiera de una
recta r, y P un punto fijo
exterior a r
A1
Por otra parte, se observa que los puntos medios M y extremos A se relacionan mediante una homotecia de centro P
y razón 1/2.
Modificando la razón de la homotecia se obtendrán puntos con otras relaciones de distancias a los extremos de los
segmentos PA.
28/02/16 20:08
Trazados fundamentales
13
8. Lugar geométrico de los
puntos medios de las
cuerdas de igual longitud
de una circunferencia dada
M2
M1
O
Se ha de tener en cuenta que la distancia de O, centro de
la circunferencia dada, a las infinitas cuerdas de igual longitud es siempre la misma, distancia OM (M es el punto medio de la cuerda), luego el lugar geométrico pedido es otra
circunferencia concéntrica con la dada y de radio el segmento OM (Fig. 10).
M
Fig. 10
9. Lugar geométrico de los
puntos del plano cuya
razón de distancias a dos
puntos dados A y B sea
constante e igual a p/q
p
C
q
Pasos:
1.º Se dibuja el triángulo ABC de lados: AB, p y q.
A
D
B
x
3.º Por el teorema del seno:
– En el triángulo ADC: ADC = p
sen 2
sen δ
E
O
y
2.º Las bisectrices interior y exterior en C (perpendiculares
por tratarse de ángulos adyacentes) cortan el segmento AB y su prolongación en D y E (Fig. 11).
δ
C1
Fig. 11
q
– En el triángulo DBC: BDC =
sen 2
sen (180°- δ)
y como sen δ = sen (180º – δ): AD = p
q
BD
– Por la misma razón, se cumple: AE = p
q
BE
4.º El lugar geométrico de los puntos C es una circunferencia de diámetro DE, ya que las bisectrices en C de los
triángulos ABC (siendo C un punto de la circunferencia) forman un triángulo rectángulo en C de hipotenusa
DE.
AD = AE = p = x
q
y
BD
BE
→
2B Dibujo Tecnico.indb 13
28/02/16 20:08
Unidad 1 →
14
10. Lugares geométricos en
el espacio
B
Lugar geométrico es el conjunto de puntos del espacio que
cumplen una determinada propiedad.
10.1. Lugar geométrico de los puntos
del espacio que se encuentran
a una misma distancia d de un
punto dado A
M
A
El lugar geométrico pedido es una esfera de centro A y radio d.
10.2. Lugar geométrico de los puntos
del espacio que equidistan de
otros dos dados A y B
Fig. 12
El lugar geométrico pedido (Fig. 12) es el plano perpendicular al segmento AB por su punto medio (plano mediatriz).
10.3. Lugar geométrico de los puntos
del espacio que se encuentran
a una misma distancia d de una
recta dada r
r
El lugar geométrico pedido (Fig. 13) es una superficie cilíndrica de revolución de radio d.
Fig. 13
10.4. Lugar geométrico de los puntos
del espacio que equidistan de tres
puntos dados no alineados
A
r
El lugar geométrico pedido (Fig. 14) es una recta r perpendicular al plano definido por los puntos dados y que pasa por
el circuncentro (intersección de las mediatrices) del triángulo que definen.
B
C
10.5. Lugar geométrico de los puntos
del espacio que equidistan de una
circunferencia
El lugar geométrico pedido es una recta r perpendicular al
plano que contiene a la circunferencia y que pasa por su
centro.
Fig. 14
2B Dibujo Tecnico.indb 14
28/02/16 20:08
Trazados fundamentales
15
11. Cuadrilátero inscriptible
Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia cuando
sus cuatro vértices son puntos de la misma.
Por ser a y b ángulos inscritos, se cumple que valen la mitad del central que abarca el mismo arco.
α
2β
Como 2a + 2b = 360º, se cumple que a + b = 180º, es decir, que los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en
una circunferencia son suplementarios (Fig. 15).
2α
β
Para que un cuadrilátero sea inscriptible a una circunferencia ha de ocurrir que dos ángulos opuestos sean suplementarios.
Fig. 15
12. Rectas antiparalelas
s
r
α
Dos rectas r y s son antiparalelas respecto a otras dos u y v
cuando los ángulos a son iguales.
El ángulo b es suplementario del a, y, por tanto, el cuadrilátero formado por rectas antiparalelas es inscriptible en una
circunferencia.
β
u
α
Es decir, cuando el ángulo de r respecto de una de ellas (por
ejemplo, la v) es igual al que forma la s con la otra recta, la
u (Fig. 16).
v
Fig. 16
13. Circunferencias que
pasan por los extremos
del segmento AB y
cortan a los lados a y b
del triángulo AVB según
cuerdas paralelas
Los cuadriláteros ABC1D1 y ABC2D2 están inscritos, cada
uno, en una circunferencia, por lo que los ángulos C1 y C2
han de ser suplementarios de A, y por la misma razón D1
y D2 suplementarios de B.
V
C2
D2
C1
D1
Es decir, C1= C2 y D1= D2, por lo que los segmentos C1D1
y C2D2 son paralelos (Fig. 17).
B
A
Fig. 17
→
2B Dibujo Tecnico.indb 15
28/02/16 20:08
Unidad 1 →
16
d
14. Cuadrilátero
circunscriptible
c
d
D
C
a
c
Para que un cuadrilátero sea circunscriptible a una circunferencia ha de ocurrir que las sumas de las longitudes de lados opuestos coincidan.
T2
A
b
a
Un cuadrilátero está circunscrito a una circunferencia cuando sus cuatro lados son tangentes a la misma (Fig. 18).
T1
AB + CD = BC + DA = a + b + c + d
b
B
Fig. 18
α
15. Ángulo de dos
circunferencias
Ángulo de dos circunferencias es el que forman las tangentes a ambas en un punto común (Fig. 19).
Si las tangentes en un punto común a dos circunferencias
forman 90º, se dice que las circunferencias se cortan ortogonalmente (Fig. 20). Como la perpendicular a una tangente en el punto de tangencia pasa por el centro de la
circunferencia, en el caso de circunferencias ortogonales
cada tangente pasa por el centro de la otra circunferencia.
Fig. 19
Si las tangentes en un punto común a dos circunferencias
forman 0º, las tangentes coinciden y las circunferencias son
tangentes, interiores o exteriores, entre sí (Fig. 21).
Si el ángulo de las tangentes es ≠0, las circunferencias serán secantes.
90º
Fig. 20
2B Dibujo Tecnico.indb 16
Fig. 21
28/02/16 20:08
Trazados fundamentales
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
17
Resuelve en tu cuaderno
o bloc de dibujo
■ 1. Indica y define otros lugares geométricos no estudiados.
■ 2. Indica cuál es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a otros dos puntos fijos es constante.
■ 3. Indica cuál es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos puntos fijos es constante.
■ 4. Indica los cuadriláteros que son siempre inscriptibles.
■ 5. Indica los cuadriláteros que son siempre circunscriptibles.
■ 6. Determina y justifica el lugar geométrico de los puntos del plano que son centro de las circunferencias que se cortan ortogonalmente con otra dada en un punto de esta.
→
2B Dibujo Tecnico.indb 17
28/02/16 20:08