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Unidad didáctica 3
Circuitos de corriente continua
¿Qué aprenderemos?
Cuáles son las leyes experimentales más importantes para analizar
un circuito en corriente continua.
Cómo resolver circuitos en corriente continua a partir de su simplificación mediante circuitos equivalentes.
Cómo resolver circuitos en corriente continua aplicando las leyes de
Ohm y de Kirchhoff.
Cuáles son los teoremas fundamentales para circuitos eléctricos.
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Unidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua
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3.1. Leyes experimentales más
importantes
Recuerda que la corriente
continua o cc es aquella corriente unidireccional que
mantiene constante su valor
en el tiempo y que identificamos con el tipo de corriente producida, por ejemplo, por una pila, una
batería o una dinamo.
En esta unidad vas a estudiar las distintas herramientas (leyes y teoremas) necesarias
para determinar (analizar) las diferentes magnitudes que definen un circuito. Todas
estas herramientas se van a explicar con circuitos de corriente continua por ser más
fácil su aplicación. Una vez estés familiarizado con ellas, pasaremos a aplicarlas a circuitos de corriente alterna, en las UNIDADES DIDÁCTICAS 4 y 5.
En este apartado estudiaremos las leyes experimentales más importantes: la ley de
Ohm y las leyes de Kirchhoff, para continuar después con la resolución de circuitos de
diferente complejidad.
3.1.1. Ley de Ohm. Aplicación
Como ya vimos en la UNIDAD DIDÁCTICA 1, la ley de Ohm establece la dependencia que
existe entre la intensidad, la tensión y la resistencia en corriente continua y se expresaba así:
, o alternativamente como:
Es muy importante que te
detengas a pensar en qué
estás aplicando la ley de
Ohm antes de hacerlo, para
que lo hagas correctamente.
o
La ley de Ohm es básica en el análisis de cualquier circuito eléctrico, puede aplicarse
a un circuito completo o a cualquiera de sus partes, y se cumple para todos los componentes.
Como las tres magnitudes están relacionadas entre sí, conocidos dos de estos valores,
el tercero se determinará aplicando dicha ley. Así pues:
Conociendo la tensión en los bornes y el valor de la resistencia, podremos determinar el valor de la corriente que circula.
Conociendo la corriente que circula y el valor de la resistencia, podremos determinar el valor de la tensión en los bornes.
Conociendo la tensión y la corriente, podremos determinar el valor de la resistencia.
Ejemplo 3.1
Tenemos el componente de la figura siguiente, donde hemos denominado R1 a la resistencia, UR1 a la tensión en los
bornes de la resistencia e IR1 a la corriente que circula por la misma.
a) Determina la corriente que circula por la resistencia R1 si es de 100 Ω cuando
aplicamos 10 V entre sus bornes.
Solución
UR1
IRI
R1
b) Determina la tensión en los bornes de la resistencia R1 de 100 Ω cuando circula
por ella una corriente de 0,1 A.
Fig. 3.1.
Solución
c) Determina el valor de la resistencia R1 si al aplicarle una tensión de 10 V circula por ella una corriente de 0,1 A.
Solución
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Unidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua
3.1.2. Potencia en corriente continua
En este punto vamos a ampliar la definición de potencia eléctrica realizada en la UNIDAD DIDÁCTICA 1.
Potencia instantánea y potencia activa
Para que entiendas mejor las siguientes definiciones recuerda que indicamos con letras minúsculas las magnitudes (u, i, p) que varían con el tiempo y que utilizamos las
mismas letras pero mayúsculas para indicar los valores medios de estas magnitudes.
Potencia instantánea, p(t). En cualquier instante de tiempo, la potencia entregada a
cualquier componente es el producto del valor de la tensión en los bornes del componente por la corriente que lo atraviesa en ese mismo instante de tiempo. Se expresa matemáticamente así: p(t) = u(t) · i(t)
Potencia activa (P). Es aquélla capaz de producir un trabajo, calculada como el valor
medio de la expresión de la potencia instantánea.
En el caso de corriente continua (figura 3.2), los valores
de tensión y corriente son constantes en el tiempo, es decir: u = U e i = I, donde U e I representan, respectivamente, el valor medio de la tensión y de la corriente. Por
tanto, la potencia vendrá expresada por:
u, i
p
t
u(t)
i(t)
Fig. 3.2.
Representación gráfica de la
evolución en el tiempo de
la tensión, la intensidad y la
potencia en corriente continua.
I
E
Recuerda que combinando la expresión de la potencia
con la ley de Ohm podemos hallar otras expresiones:
p(t)
;
Potencia en los elementos que conforman un circuito
En la unidad anterior has estudiado que los generadores aportan (suministran) energía al circuito, por ejemplo las pilas y las baterías, y también has visto que todo elemento resistivo (ya sea un resistor o la resistencia de un cable conductor) disipa o
transforma en calor la energía, según la ley de Joule. Recuerda que cuando esto sucede y esta transformación no es deseada la llamamos potencia perdida.
U
Supongamos un simple circuito formado por una fuente de alimentación (un generador de corriente continua) y una resistencia. En este circuito vamos a ver qué potencia hay en juego.
Potencia generada por una fuente de alimentación ideal, de f.e.m. E. El hecho de
que sea ideal significa que no tiene resistencia interna de pérdidas; entonces, la
tensión en los bornes U es igual a E. Si denominamos I a la corriente suministrada, la potencia suministrada o potencia generada tiene el siguiente valor:
Fig. 3.3.
U
I
R
Potencia consumida por la resistencia. Si U es la tensión en los bornes de la resistencia e I es la corriente que circula por ella, la potencia consumida o disipada en
la resistencia tiene el siguiente valor:
Fig. 3.4.
P = U · I y también: P = R · I 2 (ley de Joule)
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I
rR
U
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Potencia generada por una fuente de alimentación real, de f.e.m. E y de resistencia
interna r, que suministra una corriente I. En este caso U siempre será menor que E,
si I es diferente de cero, pues siempre existirá una caída de tensión en la resistencia r, que representa las pérdidas de la fuente o generador.
Potencia generada por la fuente ideal: P = E · I
E
Potencia disipada o perdida en la resistencia interna: P = r · I 2
Potencia suministrada por la fuente real: P = U · I
Fig. 3.5.
Aplicando el principio de conservación de la energía, en todo circuito se puede establecer un balance de potencias de forma tal que la suma de potencias generadas (o suministradas) es igual a la suma de potencias consumidas (o disipadas):
Σ potencias generadas = Σ potencias consumidas
Ejemplo 3.2
Ejemplo 3.3
¿Qué potencia proporciona una batería ideal de 12 V que
suministra 2 A?
¿Qué potencia consume una resistencia de 6 Ω recorrida
por una corriente de 2 A?
Solución
Solución
P = R · I 2 = 6 · 22 = 24 W
P = E · I = 12 · 2 = 24 W
Ejemplo 3.4
Ejemplo 3.5
¿Qué potencia proporciona una batería real de 12 V y resistencia interna de 0,2 Ω que suministra 2 A?
¿Cuál es la resistencia que presenta una lámpara de incandescencia de características nominales 24 V, 60 W?
Solución
Solución
Potencia generada:
PG = E · I 2 = 12 · 2 = 24W
Potencia disipada en la resistencia interna:
Las características nominales 24 V, 60 W nos indican que
si alimentamos esta lámpara a 24 V consume 60 W, por
lo que podemos determinar la resistencia a partir de la
expresión,
Pr = r · I 2 = 0,2 · 22 = 0,8W
de donde:
Potencia suministrada:
Ps = PG — Pr = 24 – 0,8 = 23,2 W
3.1.3. Leyes de Kirchhoff
Las leyes de Kirchhoff son de aplicación generalizada en el análisis de circuitos eléctricos. En este punto nos limitaremos a enunciarlas; más adelante abordaremos la
aplicación sistemática de las mismas para la resolución de circuitos.
En cualquier circuito eléctrico de cierta complejidad podemos diferenciar entre nudos y mallas.
Nudo: se denomina nudo a todo punto donde convergen dos o más de dos conductores.
Malla: constituye una malla todo circuito cerrado que puede ser recorrido volviendo al punto de partida sin pasar dos veces por un mismo elemento.
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Unidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua
Primera ley de Kirchhoff
I1
La primera ley de Kirchhoff (también denominada ley de los nudos o ley de las corrientes) dice que la suma aritmética de todas las corrientes que confluyen en un
nudo es cero. O, lo que es lo mismo, la suma de todas las corrientes que llegan a un
nudo es igual a la suma de todas las corrientes que salen de éste.
I2
Ii
In
Fig. 3.6.
Primera ley de Kirchhoff.
De forma genérica consideramos que todas las corrientes llegan al nudo. Las corrientes que verdaderamente lleguen al nudo tendrán signo positivo, mientras que las corrientes que salgan del nudo tendrán signo negativo.
Ejemplo 3.6
En el nudo A de la figura siguiente I1 = 10 A e I2 = 6 A, ¿qué valor tiene I3? ¿Qué significa su signo?
Solución
R2
R3
I1
I2
Según la primera ley de Kirchhoff, podemos establecer lo siguiente:
I1 + I2 + I3 = 0
I3
Sustituyendo los valores conocidos I1 e I2, tenemos que la corriente I3 tiene el siguiente valor:
R4
I3 = –I1 – I2 = –10 – 6 = –16 A
El signo negativo nos indica que esta corriente es de sentido opuesto al previamente considerado, por lo que esta corriente no llega al nudo, sino que sale del
nudo.
Fig. 3.7.
Físicamente, la primera ley de Kirchhoff nos dice que en ningún punto del circuito
existe acumulación de carga eléctrica.
Segunda ley de Kirchhoff
La segunda ley de Kirchhoff (también llamada ley de las mallas) dice que la suma
aritmética de los voltajes a lo largo de una malla (camino cerrado) es cero. También
puede expresarse afirmando que la suma de todas las fuerzas electromotrices en una
malla es igual a la suma de las caídas de tensión en la malla.
o, lo que es lo mismo,
U1
U2
U3
El signo de cada voltaje de la malla tiene signo positivo si se comporta como generador y negativo si
se comporta como carga. Las caídas de tensión
(tensión en los bornes de las resistencias) tienen
signo negativo.
U
Fig. 3.8.
Segunda ley de Kirchhoff.
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Actividades
1. Por una resistencia de 10 Ω pasa una corriente de
5. Calcula la corriente, la tensión y la potencia disipa-
250 mA. ¿Qué diferencia de potencial existirá entre
sus bornes?
da por un calefactor eléctrico cuyos valores nominales son 24 V, 500 W (aceptando que la resistencia
es constante), si lo alimentamos con una fuente de
24 V y una resistencia interna r = 0,05 Ω.
2. Una fuente con una resistencia interna de 200 mΩ
está entregando 1 A de corriente a una resistencia
de 9,8 Ω, a la que está conectada. ¿Qué potencia disipa la resistencia de 9,8 Ω? ¿Qué potencia se disipa
(se pierde, en este caso) en la resistencia interna
de la fuente? Si la f.e.m. de la fuente es de 10 V,
¿qué potencia genera ésta? Realiza el balance de potencias y comprueba que tus resultados sean
correctos.
6. Indica todos los nudos que existen en el circuito
que se muestra a continuación.
R2
R1
+
U1
R3
+
R4
U2
–
–
3. Busca en Internet o en el manual de un coche de algún familiar o amigo las características de tensión y
potencia de una bombilla de intermitencia. Calcula
la corriente que absorbe de la batería cuando está
encendida de forma permanente.
4. Determina la resistencia nominal de las cargas si-
Fig. 3.9.
7. En el nudo A, tenemos las corrientes I 1 = 1 A,
I2 = –3 A, I4 = 5 A e I5 = –2 A. ¿Qué valor posee la
corriente I3? ¿Qué indica el signo para cada corriente? ¿Qué corrientes entran y cuáles salen?
guientes:
I2
Una lámpara de incandescencia de 12 V y 24 W
I3
I1
Una lámpara de incandescencia de 12 V y 60 W
I4
Una lámpara de incandescencia de 24 V y 24 W
Un calefactor de 24 V y 240 W
I5
Fig. 3.10.
3.2. Circuitos equivalentes
I=1A
a
Circuito
A
U = 10 V
A
La utilización de circuitos equivalentes es uno de los métodos más usuales de análisis
y simplificación de circuitos.
Dos o más circuitos eléctricos de dos terminales son equivalentes entre terminales si,
al aplicar la misma tensión, por ellos circula la misma corriente, o bien la tensión entre sus terminales es la misma si hacemos pasar a través de ellos la misma corriente.
b
I=1A
a
Circuito
B
U = 10 V
b
Fig. 3.11.
Circuitos equivalentes.
En la figura 3.11, cuando al circuito A, accesible desde dos terminales a y b, se le aplica una tensión de 10 V, la corriente es de 1 A. Aplicamos la misma tensión de 10 V al
circuito B. Si resulta que la corriente que pasa también es de 1 A y, además, sucede que
esto se repite para otros valores de tensión que provocan la misma corriente en los
dos circuitos, podremos concluir que el circuito A y el circuito B son equivalentes entre los terminales a y b.
En los siguientes apartados vamos a ver cómo se resuelven los circuitos básicos constituidos por componentes asociados en serie, en paralelo o de forma mixta, mediante el cálculo de sus circuitos equivalentes.
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3.3. Asociación de resistencias
En un circuito eléctrico nos podemos encontrar con varias resistencias que pueden
aparecer conectadas (asociadas o agrupadas) en serie, en paralelo o de forma mixta.
En este apartado estudiaremos cómo debemos identificar estos tipos de asociaciones
y cómo hay que sustituirlas por un circuito equivalente de un solo valor de resistencia que permita calcular el circuito de forma más sencilla.
Antes, no obstante, veamos qué significa cada uno de estos circuitos.
3.3.1. Asociación de resistencias en serie
Recuerda que un circuito en
serie es aquél en el que todos los componentes se conectan uno a continuación
del otro.
Si se conectan varias resistencias en serie, la corriente que circula será la misma por
todas ellas y dependerá de la tensión aplicada al conjunto (tensión de la fuente) y de
la resistencia total.
La circulación de esta corriente provoca una diferencia de potencial en los bornes de
cada resistencia, proporcional a su valor y que denominamos tensión parcial o caída
de tensión en la resistencia.
Como ejemplo, vamos a analizar un circuito formado por tres resistencias en serie
(figura 3.12). Para ello, seguiremos el siguiente proceso:
Identificamos todos los componentes, corrientes y tensiones. En este ejemplo hemos denominado U a la tensión aportada por la fuente, I a la intensidad que circula por el circuito (común a todos los elementos), R1, R2 y R3 a las resistencias, y
U1, U2 y U3 a la caída de tensión en cada una de las resistencias.
U1
U2
U3
R1
R2
R3
I
U
Fig. 3.12.
Circuito con tres
resistencias en
serie.
Rt
I
U
Planteamos un circuito equivalente (figura 3.13) formado por una sola resistencia Rt y alimentado a la misma tensión U, por tanto, recorrido por la misma corriente I.
Para encontrar el valor de la resistencia equivalente debemos plantear las ecuaciones que rigen ambos circuitos:
Ecuaciones del circuito original (figura 3.12).
Fig. 3.13.
Circuito equivalente al de la
figura 3.12.
• Por la segunda ley de Kirchhoff sabemos que U = U1 + U2 + U3
• Si aplicamos la ley de Ohm a cada elemento podemos calcular las caídas de
tensión en los componentes:
U1 = I · R1 ; U2 = I · R2 ; U3 = I · R3
Ecuaciones del circuito equivalente.
• Si aplicamos la ley de Ohm (figura 3.13):
o bien,
Combinando las ecuaciones de ambos circuitos donde U e I son comunes podemos resolver cualquier problema que se plantee.
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Supongamos el caso más habitual: conocemos el valor de la tensión de la fuente U y
el valor de cada resistencia, y deseamos saber la corriente que circula y el valor de la
tensión en cada resistencia.
A partir de los pasos anteriores (en muchas ocasiones sólo los realizamos mentalmente):
Calcularemos la Rt:
Rt = R1 + R2 + R3
Sabemos que:
U = U1 + U2 + U3
Aplicamos la ley de Ohm y sustituimos cada tensión:
I · Rt = I · R1 + I · R2 + I · R3
Simplificando la corriente I, que lo multiplica todo, queda:
Rt = R1 + R2 + R3
Generalizando: La resistencia equivalente o total de varias resistencias en serie es la
suma de resistencias parciales.
Una vez sabemos la Rt podemos calcular la I, y una vez conocida dicha corriente podemos determinar la tensión en los bornes y la potencia de cada resistencia.
Ejemplo 3.7
En un circuito como el de la figura 3.12, los valores de los componentes son U = 120 V, R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω y R3 = 30 Ω.
Sigue el procedimiento indicado para la resolución de circuitos en serie de forma que puedas calcular: a) La resistencia total o equivalente del circuito; b) la corriente que pasa por él; c) las tensiones en los bornes de cada componente; d) la potencia que proporciona la fuente y las consumidas o disipadas por las resistencias.
a) Calculamos la resistencia total: Rt = R1 + R2 + R3 = 10 + 20 + 30 = 60 Ω
b) En el circuito equivalente, aplicamos la ley de Ohm para encontrar la intensidad por el circuito:
c) Aplicamos la ley de Ohm a cada resistencia para obtener la tensión en los bornes:
U1 = I · R1 = 2 · 10 = 20 V; Tensión en los bornes de R1
U2 = I · R2 = 2 · 20 = 40 V; Tensión en los bornes de R2
U3 = I · R3 = 2 · 30 = 60 V; Tensión en los bornes de R3
Puedes comprobar que se cumple la ley de tensiones de Kirchhoff:
U = U1 + U2 + U3 = 20 + 40 + 60 = 120V
d) Potencias de cada componente:
Fuente: PG = U · I = 120 · 2 = 240 W que es la potencia suministrada al circuito.
R1: PR1 = U1 · I = 20 · 2 = 40 W que es la potencia consumida o disipada por R1.
R2: PR2 = U2 · I = 40 · 2 = 80 W que es la potencia consumida o disipada por R2.
R3: PR3 = U3 · I = 60 · 2 = 120 W que es la potencia consumida o disipada por R3.
Como comprobación efectuamos un balance de potencias:
PG = PR1 + PR2 + PR3 = 40 + 80 + 120 = 240 W
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Ejemplo 3.8
Calcula la tensión y la corriente suministradas por una batería de 24 V con una resistencia interna de 1 Ω, cuando alimenta
una resistencia de 5 Ω.
Solución: En primer lugar dibujaremos el modelo de circuito que representa la situación planteada.
I
En este esquema: E = 24 V, r = 1 Ω, R = 5 Ω.
Se trata de un circuito en serie, directamente:
r
U
R
E
La tensión en los bornes de la batería será la tensión de la fuente ideal menos la caída de tensión en la resistencia interna:
Fig. 3.14.
O también, visto desde el lado de la resistencia, la tensión en los bornes de
la batería será igual a la tensión en los bornes de la resistencia:
3.3.2. Asociación de resistencias
en paralelo o derivación
Recuerda que varios elementos están conectados
en paralelo si cada uno de
los dos extremos de un elemento está conectado a los
mismos dos puntos comunes que el resto de los elementos.
Si se conectan resistencias en paralelo alimentadas por una fuente, todas tendrán la
misma tensión en sus bornes y la corriente total suministrada por la fuente será
la suma de la intensidad que circula por cada rama (derivación) del circuito.
Como ejemplo, vamos a analizar un circuito formado por tres resistencias en paralelo (figura 3.15). Para ello, seguiremos el siguiente proceso:
Identificamos todos los componentes, corrientes y tensiones. En el ejemplo hemos denominado U a la tensión aportada por la fuente (común a todos los elementos), I a la intensidad suministrada por la fuente, R1, R2 y R3 a las resistencias
e I1, I2 e I3 a la corriente que circula por cada una de las resistencias.
Fig. 3.15.
Circuito con tres
resistencias en paralelo.
R1
I1
R2
Rt
I
I2
R3
I
U
I3
U
Fig. 3.16.
Circuito equivalente al de la
figura 3.15.
Planteamos un circuito equivalente formado por una sola resistencia Rt y alimentado a la misma tensión U; por tanto, la fuente suministrará la misma corriente I.
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Planteamos las ecuaciones que rigen ambos circuitos:
Ecuaciones del circuito original.
• Por la primera ley de Kirchhoff sabemos que:
I = I1 + I2 + I3
• Si aplicamos la ley de Ohm a cada elemento:
Ecuaciones del circuito equivalente. Si aplicamos la ley de Ohm al circuito de
la figura 3.16 tenemos que:
; o también U = I · Rt
Combinando las ecuaciones de ambos circuitos donde U e I son comunes podemos resolver cualquier problema que se plantee.
Supongamos el caso más habitual; conocemos el valor de la tensión de la fuente U y
el valor de cada resistencia, y queremos saber la corriente que suministra la fuente
y la que circula por cada resistencia.
A partir de los pasos anteriores (en muchas ocasiones sólo los realizaremos mentalmente):
Calcularemos la Rt:
Sabemos que:
I = I1 + I2 + I3
Aplicando la ley de Ohm y sustituyendo la corriente:
Simplificando:
Generalizando: La inversa de la resistencia equivalente o total de una agrupación de
resistencias en paralelo es la suma de las inversas de las resistencias.
En el caso particular de dos resistencias en paralelo tendremos:
y en el caso de n resistencias iguales de valor R:
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Ejemplo 3.9
En un circuito como el de la figura 3.15, los valores de los componentes son U = 120 V, R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω y
R3 = 60 Ω . Sigue el procedimiento indicado para la resolución de circuitos en paralelo de forma que puedas calcular:
a) La resistencia total o equivalente del circuito.
b) La corriente total que pasa por él.
c) Las corrientes que pasan por cada componente.
d) La potencia que proporciona la fuente y las consumidas o disipadas por las resistencias.
a) Calculamos la resistencia total:
La resistencia total del circuito es:
b) En el circuito equivalente, aplicamos la ley de Ohm para hallar la intensidad por el circuito.
La intensidad total (suministrada por la fuente) es:
c) Sabiendo que al estar en paralelo todas las resistencias están conectadas a la tensión de la fuente, aplicamos la ley de
Ohm a cada resistencia para obtener la corriente que la atraviesa:
I1, I2 e I3 son las intensidades de corriente por las resistencias R1, R2 y R3, respectivamente.
Puedes comprobar que se cumple la ley de corrientes de Kirchhoff. En cualquiera de los dos nudos del circuito se verifica que:
I = I1 + I2 + I3 = 12 + 6 + 2 = 20 A
d) Potencias de cada componente:
Fuente: PG = U · I = 120 · 20 = 2400 W, que es la potencia suministrada al circuito.
R1: PR1 = U · I 1= 120 · 12 = 1440 W, que es la potencia consumida o disipada por R1.
R2: PR2 = U · I 2 = 120 · 6 = 720 W, que es la potencia consumida o disipada por R2.
R3: PR3 = U · I 3 = 120 · 2 = 240 W, que es la potencia consumida o disipada por R3.
Como comprobación efectuamos un balance de potencias:
PG = PR1 + PR2 + PR3 = 1440 + 720 + 240 = 2400 W
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3.3.3. Asociación de resistencias
de forma mixta
En un circuito mixto, para determinar la Rt se va reduciendo el circuito mediante la
asociación de grupos de resistencias. Posteriormente se pueden determinar las tensiones y corrientes por cada resistencia. Como ejemplos analizaremos los casos siguientes:
Circuito en paralelo-en serie
Circuito en serie-en paralelo
Circuito paralelo en serie
Comenzamos asignando un nombre a cada tensión y corriente que aparecen en
el circuito.
U1
Ua
R2
I2
R1
I
R3
U
I3
Fig. 3.17.
Circuito mixto en paraleloen serie.
Agrupamos R2 y R3 en paralelo y lo llamamos Ra; de esta manera, obtenemos el
siguiente circuito equivalente.
U1
Ua
R1
Ra
I
Fig. 3.18.
Circuito equivalente, con la
resistencia resultante de R2 y
R3 en paralelo, Ra.
Rt
I
U
U
Después agrupamos R1 en serie con Ra, y obtenemos Rt.
Las ecuaciones de los circuitos que nos permiten hallar las magnitudes de resistencias equivalentes, Ra y Rt, y los valores de tensión y corriente en el circuito son:
Agrupaciones de resistencias: ;
;
Fig. 3.19.
Circuito equivalente con la
resistencia total Rt.
Aplicación de las leyes de Ohm y Kirchhoff:
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Unidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua
Ejemplo 3.10
En un circuito como el de la figura 3.17, los valores de los componentes son U = 120 V, R1 = 8 Ω, R2 = 20 Ω y R3 = 30 Ω.
Sigue el procedimiento indicado para la resolución de circuitos mixtos en paralelo-en serie de forma que puedas calcular:
a) La resistencia total o equivalente del circuito.
b) La corriente que pasa por él.
c) Las tensiones en los bornes de cada componente.
d) Las corrientes que pasan por cada componente.
e) La potencia que proporciona la fuente y las consumidas o disipadas por las resistencias.
a) Primero identificamos las resistencias en paralelo (R2 y R3) y calculamos su resistencia equivalente Ra:
El circuito equivalente resultante de realizar el paso anterior corresponde al de la figura 3.18, donde R1 = 8 y Ra =12
están en serie. Así, la resistencia total del circuito es:
b) En el circuito equivalente (como en la figura 3.19) aplicamos la ley de Ohm para hallar la intensidad por el circuito.
La intensidad total (suministrada por la fuente) es:
c) Utilizando el primer circuito equivalente (figura 3.18) y sabiendo que la corriente será la misma para R1 y Ra, podemos
aplicar la ley de Ohm para calcular la tensión en los bornes de cada resistencia:
Tensión en los bornes de R1
Tensión en los bornes de R2 y R3
Comprobamos que se cumpla la ley de tensiones de Kirchhoff:
d) Si volvemos a considerar el circuito original (figura 3.17) y sabemos que la tensión en los bornes de Ra es la misma
que la de R2 y R3, podemos calcular las corrientes por R2 y R3 aplicando la ley de Ohm a cada resistencia.
Intensidad por R2
Intensidad por R3
Comprobamos que se cumpla la ley de las corrientes de Kirchhoff:
I = I2 + I3 = 3,6 + 2,4 = 6 A
e) Potencias de cada componente:
Fuente: PG = U · I = 120 · 6 = 720 W, que es la potencia suministrada al circuito.
R1: PR1 = U1 · I = 48 · 6 = 288 W, que es la potencia consumida o disipada por R1.
R2: PR2 = Ua · I2 = 72 · 3,6 = 259,2 W, que es la potencia consumida o disipada por R2.
R3: PR3 = Ua · I3 = 72 · 2,4 = 172,8 W, que es la potencia consumida o disipada por R3.
Como comprobación efectuamos un balance de potencias:
PG = PR1 + PR2 + PR3 = 288 + 259,2 + 172,8 = 720 W
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Circuito serie en paralelo
Comenzamos asignando un nombre a cada tensión y corriente que aparecen en
el circuito.
U1
U2
R1
R2
I1
I
R3
U
I2
Fig. 3.20.
Circuito mixto en paraleloen serie.
Agrupamos R1 y R2 en serie y lo denominamos Ra; así, obtenemos el siguiente
circuito equivalente:
Ra
Fig. 3.21.
Circuito equivalente, con la
resistencia resultante de R1 y
R2 en serie, Ra.
I1
I
U
R3
I2
Rt
I
Después agrupamos Ra en paralelo con R3, y obtenemos el circuito de la figura 3.22.
Las ecuaciones de los circuitos que nos permiten encontrar las magnitudes de resistencias equivalentes, Ra y Rt, y los valores de tensión y corriente en el circuito son:
U
Agrupaciones de resistencias:
Fig. 3.22.
Circuito equivalente con la
resistencia total Rt .
Aplicación de las leyes de Ohm y Kirchhoff:
Ejemplo 3.11
En un circuito como el de la figura 3.20, los valores de los componentes son U = 120 V, R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω y R3 = 60 Ω.
Sigue el procedimiento indicado para la resolución de circuitos mixtos en serie-en paralelo de forma que puedas calcular:
a) La resistencia total o equivalente del circuito.
b) La corriente total que pasa por él.
c) Las corrientes que pasan por cada componente.
d) La tensión en los bornes de cada componente.
e) La potencia que proporciona la fuente y las consumidas o disipadas por las resistencias.
a) Identificamos las resistencias en serie (R1 y R2) y calculamos su resistencia equivalente Ra.
El circuito equivalente resultante de realizar el paso anterior corresponde al de la figura 3.21, donde Ra = 30 Ω y
R3 = 60 Ω están en paralelo. Así, la resistencia total del circuito es:
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b) En el circuito equivalente (como en la figura 3.22) aplicamos la ley de Ohm para hallar la intensidad por el circuito.
La intensidad total (suministrada por la fuente) es:
c) Utilizando el primer circuito equivalente (figura 3.21) y sabiendo que la tensión es la misma para R3 y Ra, podemos
aplicar la ley de Ohm para calcular la intensidad de corriente que pasa por cada resistencia.
Intensidad por Ra (por R1 y por R2)
Intensidad por R3
Comprobamos que se cumpla la ley de las corrientes de Kirchhoff:
d) Si volvemos a considerar el circuito original (figura 3.20) y sabemos que la intensidad de la corriente es la misma por
Ra que por R1 y R2, podemos calcular las tensiones en R1 y R2 aplicando la ley de Ohm a cada resistencia.
Tensión en los bornes de R1
Tensión en los bornes de R2
Comprobamos que se cumpla la ley de las tensiones de Kirchhoff:
e) Potencias en los componentes:
Fuente:
R1:
R2:
R3:
Como comprobación efectuamos un balance de potencias:
Actividades
8. Calcula la resistencia equivalente de las agrupaciones de resistencias siguientes:
a)
b)
10 Ω
15 Ω
20 Ω
25 Ω
10 Ω
c)
d)
10 Ω
15 Ω
20 Ω
25 Ω
15 Ω
10 Ω
20 Ω
25 Ω
15 Ω
20 Ω
25 Ω
Fig. 3.23.
9. Disponemos de tres resistencias de 1 Ω. Determina los valores de resistencia que podemos obtener
mediante agrupaciones de una, dos o las tres resistencias.
10. Disponemos de 4 resistencias de 100 Ω, 220 Ω, 270 Ω
y 10 Ω. Si las conectamos en serie a una pila de 9 V,
calcula: a) la resistencia equivalente al conjunto; b) la
corriente que suministrará la pila al circuito, y c) la
caída de tensión en los bornes de cada componente.
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3.4. Asociación de condensadores
Al igual que las resistencias, en un circuito los condensadores también pueden aparecer asociados en serie o en paralelo. También en este caso veremos cómo hay que resolver estos circuitos aplicando las leyes y los principios que hemos estudiado.
3.4.1. Asociación de condensadores
en serie
Como en el caso de las resistencias, un circuito con varios condensadores asociados
en serie es aquél en el que todos ellos se conectan uno a continuación del otro.
Así, en la figura 3.24 podemos observar un circuito con tres condensadores conectados en serie.
U1
U2
U3
+
+
C1
C2
C3
U
Fig. 3.24.
Asociación de condensadores
en serie.
U
–
Ceq
–
En este circuito queremos hallar la capacidad del condensador equivalente (a partir
del estudio del circuito original).
En este tipo de asociación, la carga eléctrica adquirida por cada uno de los condensadores es la misma e igual a la carga adquirida por el condensador equivalente:
Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff:
Recordando el concepto de capacidad, que es la carga que acumula el condensador
entre la tensión en sus bornes
(
), podemos expresar la tensión en los bornes
nes de loscondensadores de la siguiente forma:
Simplificando:
Generalizando: La inversa de la capacidad equivalente o total de una agrupación de
condensadores en serie es la suma de las inversas de las capacidades de cada condensador.
i = 1, 2, 3,...
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3.4.2. Asociación de condensadores
en paralelo o derivación
Como podemos deducir, un circuito con varios condensadores asociados en paralelo
es aquél en el que todos los condensadores se conectan de forma que cada uno de los
dos extremos de un condensador está conectado a los mismos dos puntos comunes
que el resto de los elementos. Podemos observar una agrupación de tres condensadores en paralelo en la figura 3.25.
+
+
C1
U
Fig. 3.25.
Circuito con tres
condensadores en paralelo.
C2
C3
–
U
Ceq
–
En este tipo de asociación, la carga eléctrica adquirida por el condensador equivalente es la suma de la adquirida por cada uno de los condensadores en paralelo:
La tensión en cada condensador es la misma, U, y a partir del concepto de capacidad
(
), podemos expresar la carga como el producto de la capacidad por el vol-
taje en los bornes del componente:
Simplificando:
Generalizando: La capacidad equivalente o total de una agrupación de condensadores en paralelo es la suma de las capacidades de cada condensador.
i = 1, 2, 3,...
Ejemplo 3.12
Calcula la capacidad equivalente de las agrupaciones de condensadores siguientes:
Solución
a)
10 µF
b)
20 µF
30 µF
a) Al tratarse de una asociación de tres condensadores en serie tendremos:
10 µF
20 µF
b) Al tratarse de una asociación de tres condensadores en paralelo
tendremos:
30 µF
Fig. 3.26
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Actividades
11. Disponemos de 4 condensadores de 2,2 mF,
680 µF, 0,470 mF y 100 µF. Calcula el valor de la
capacidad equivalente si se conectan en paralelo.
Si los cuatro, en paralelo, se conectan a una batería
de 5 V, ¿qué carga acumulará el conjunto una vez
estén cargados? ¿Qué carga tendrá cada uno?
12. La pila que se conecta a los dos condensadores en
13. Disponemos de 2 condensadores de 680 µF y
100 µF. Si se conectan en serie, ¿cuál será la capacidad del conjunto?
Si se conectan a una pila de 1,5 V, cuando se hayan
cargado, ¿qué carga acumulará el conjunto? ¿Qué
carga acumulará cada uno de ellos? ¿Qué tensión
existirá en los bornes de cada condensador?
serie de la actividad anterior tiene una resistencia
interna de 0,4 Ω. ¿Cuál es la constante de tiempo
del sistema?
3.5. Asociación de generadores
Si queremos incrementar el valor de tensión o aumentar la intensidad de la corriente
que nos proporciona un único generador, podemos optar por asociar varios de ellos,
ya sea en serie o en paralelo.
r1
3.5.1. Asociación de generadores en serie
E1
r2
Cuando conectamos en serie (una a continuación de otra) varias pilas o baterías,
la fuerza electromotriz (f.e.m.) resultante es la suma de las fuerzas electromotrices
de cada una de las pilas o baterías. En cuanto a la resistencia interna resultante,
será la suma de las resistencias internas de cada pila o batería de la asociación en
serie.
U
E2
r3
La f.e.m. equivalente del conjunto es:
E3
r
E = E1 + E2 + E3 + ... + En
U
La resistencia equivalente o total es:
Fig. 3.27.
Asociación de generadores en
serie.
r = r1 + r2 + r3 +...+ rn
E
Fig. 3.28.
La asociación en serie de pilas o baterías persigue incrementar el valor de tensión
manteniendo el valor de corriente que es capaz de suministrar una sola pila o batería.
3.5.2. Asociación de generadores
en paralelo
r1
r2
La conexión de pilas o baterías en paralelo exige que todas sean idénticas. Así, la
f.e.m. del conjunto será la misma que la de cualquiera de las pilas o baterías, y la resistencia equivalente o total será la de cualquiera de las pilas dividida por el número
de pilas o baterías asociadas.
r3
U
E1
E2
E3
La f.e.m. equivalente del conjunto es:
r
E = E1 = E2 = E3 =...= En
U
E
La resistencia equivalente o total es:
Fig. 3.29.
Asociación de generadores en
paralelo.
Fig. 3.30.
La asociación en paralelo de pilas o baterías persigue aumentar la corriente que se
puede proporcionar, manteniendo la tensión.
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Ejemplo 3.13
Calcula el equivalente de las agrupaciones de pilas a y b. ¿Qué corriente pasará por la resistencia R? ¿Qué corriente circula
por cada pila?
Solución
a) Se trata de una asociación de baterías en serie. Por lo tanto, la fuente equivalente de tensión es la siguiente:
r = 0,1 Ω
E = 12 V
y
R=1Ω
La corriente que circula es común a todos los elementos (fuentes y
resistencia) y la calculamos aplicando la ley de Ohm:
r = 0,1 Ω
E = 12 V
r = 0,1 Ω
r = 0,1 Ω
R=1Ω
E = 12 V
b) Se trata de una asociación de baterías (iguales características) en
paralelo. En consecuencia, la fuente equivalente de tensión es:
E = 12 V
y
Fig. 3.31.
Calculamos la corriente que circula por la resistencia aplicando la ley de Ohm:
Y cada una de las baterías suministra la mitad de la corriente, que será:
Actividades
14. Determina la fuente de tensión equivalente de las siguientes agrupaciones de baterías, donde cada batería es de
E = 1,5 V y r = 0,12 Ω.
a)
b)
E
r
E
E
r
r
E
r
E
r
E
r
r
E
r
E
r
E
r
r
E
r
E
r
E
r
E
r
E
E
c)
Fig. 3.32.
15. En el montaje de la figura, calcula el generador equivalente.
Determina la potencia disipada en la resistencia y la potencia suministrada por cada fuente.
E = 24 V
r1 = 0,2 Ω
r2 = 0,2 Ω
R = 10 Ω
r1
r2
R
E
Fig. 3.33.
E
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3.6. Aplicación de las leyes
de Kirchhoff
La técnica de simplificar los circuitos de forma progresiva mediante la agrupación en
serie o en paralelo de fuentes de tensión (pilas y baterías) o bien de resistencias no
siempre es posible.
La aplicación sistemática de las ecuaciones de Kirchhoff combinada con la ley de
Ohm nos permitirá resolver este tipo de circuitos independientemente de su complejidad.
3.6.1. Nudos, ramas y mallas
Aunque hayamos visto el enunciado de las leyes de Kirchhoff y definido lo que es un
nudo y una malla, es necesario aclarar y ampliar estos conceptos.
Nudos
R1
R2
I1
I2
R4
I3
U1
Definimos los nudos como la conexión de dos o más conductores. Sin embargo, para aplicar las leyes de Kirchhoff
nos interesarán los nudos en los que coincidan tres o más
conductores. En adelante, cuando hablemos de nudos nos
referiremos a esta nueva definición.
R3
A
U3
Tomemos como ejemplo ilustrativo el circuito de la figura
3.34. En ella se indican todos los nudos, pero de éstos los
que nos interesaran son los indicados en color rojo (A y B).
U2
B
Fig.3.34.
Circuito de ejemplo para
aplicar las leyes de Kirchhoff.
Así pues, para aplicar Kirchhoff, podemos decir que existen dos nudos, A y B.
R2
R3
A
I3
I1
Fig. 35.
Nudos A y B del circuito de la
figura 3.34.
I3
R4
I2
U3
I1
I2
B
Ramas
Constituyen una rama todos los elementos (resistencias, fuentes, etc.) comprendidos
entre dos nudos adyacentes.
Evidentemente, la intensidad de la corriente que circula por una rama será la misma
en cada uno de los elementos que integran dicha rama. En nuestro ejemplo existen
tres ramas.
R1
R2
R3
I1
I3
U1
Fig. 3. 36.
Ramas del circuito de la
figura 3.34.
I2
R4
U3
U2
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Mallas
Como ya hemos visto, constituye una malla todo circuito cerrado que puede ser
recorrido volviendo al punto de partida, sin pasar dos veces por un mismo elemento.
Observa que en este caso cada elemento puede ser recorrido por una corriente diferente. En nuestro ejemplo existen tres mallas.
I1
R1
R2
I1
I1
R3
I2
R4
U1
R4
I3
I2
Fig. 3. 37.
Mallas del circuito de la figura
3.34.
I1
I3
I2
U1
U2
U2
Mediante la aplicación de la primera ley de Kirchhoff, podemos establecer una ecuación para cada nudo. Así, aplicadas al circuito de la figura 3.34, tenemos:
Para el nudo A:
I1 + I2 + I3 = 0
Para el nudo B:
–I1 + (–I2 ) + (–I3) = 0 ; o directamente: –I1 –I2 –I3 = 0
Ecuaciones de mallas
I3
U3
I1
Mediante la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff, podemos establecer una ecuación para cada malla.
I2
Para aplicar estas ecuaciones será preciso asignar un sentido convencional de circulación de corriente positiva para cada malla, y considerar positivas las intensidades y
f.e.m. que concuerdan con dicho sentido convencional y negativas las que no concuerdan.
B
Fig . 3.39.
Corrientes en el nudo B.
R1
R2
I1
I1
U1
I2
Ecuaciones de nudos
Fig . 3.38.
Corrientes en el nudo A.
I1
I1
Para los nudos y las mallas anteriores se pueden plantear ecuaciones de nudos y ecuaciones de mallas.
I2
R4
I1
3.6.2. Ecuaciones
R3
A
R3
I2
I2
R2
R2
I1
U3
U3
R1
R3
I2
a
R4
I3
U3
I2
Fig . 3.40.
Tensiones y corrientes en las
mallas.
U3
R4
I2
R1
R2
R3
I1
I1
I2
I1
b
U2
I2
U1
c
U2
I2
Aplicándolo al ejemplo, donde todas las mallas son recorridas en sentido horario,
tendremos:
Malla a. Es recorrida en sentido horario. Respecto a las fuerzas electromotrices:
U1 actúa como generador y, por tanto, le corresponde signo positivo, mientras
que U3 actúa como carga y, en consecuencia, tiene signo negativo.
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Respecto a las caídas de tensión: R1 y R2 son recorridas por una corriente que
coincide con el sentido de valoración de la malla y, por tanto, otorgamos signo positivo a las dos, mientras que R4 es recorrida por una corriente en sentido contrario al de valoración de la malla, por lo que hablamos de caída de tensión con signo negativo.
Malla b y malla c. Aplicamos el mismo criterio.
Como resultado obtenemos las ecuaciones siguientes:
Malla a: U1 –U3 = I1 · R1 + I1 · R2 –I3 · R4
Malla b: U3 –U2 = I3 · R4 –I2 · R3
Malla c:
U1 –U2 = I1 · R1 + I1 · R2 –I2 · R3
3.6.3. Resolución de circuitos
El planteamiento para resolver circuitos con las leyes de Kirchhoff es el siguiente:
Las incógnitas serán las corrientes por cada rama. Conocidas las corrientes se puede
determinar el potencial en cualquier nudo del circuito, así como las potencias generadas y consumidas.
El procedimiento que debemos aplicar es el siguiente:
Sobre el esquema del circuito por calcular, identificamos cada una de las corrientes de rama y les atribuimos arbitrariamente un sentido de circulación. Arbitrariamente significa que podemos decidir el sentido que nos plazca. Eso sí, a partir
de este momento, quedará fijado para el resto del procedimiento y condicionará
su aplicación.
Formulamos una ecuación por cada incógnita. Si el circuito tiene n nudos utilizamos n–1 ecuaciones de nudos; las demás ecuaciones necesarias serán ecuaciones
de mallas.
Resolvemos el sistema de ecuaciones. Conocidos los componentes del circuito y
conocidas las corrientes de malla, podemos calcular cualquier otra incógnita fácilmente.
Ejemplo 3.14
R1
R2
Queremos calcular el circuito de la figura 3.41 para los valores siguientes: U1 = 5 V, U2 = 10 V, U3 = 15 V, R1 = 10 Ω,
R2 = 15 Ω, R3 = 20 Ω y R4 = 5 Ω.
R3
A
I2
a
R4
I3
U1
Tenemos tres corrientes de rama y, por tanto, tres incógnitas.
b
U3
U2
Existen dos nudos, por lo que tendremos una ecuación de
nudo (2-1), y las dos restantes serán ecuaciones de mallas
(3-1).
B
Tomando el nudo A y las mallas a y b tendremos:
Fig. 3.41.
Nudo A
I1 + I2 + I3 = 0
Malla a
U1 –U3 = I1 · R1 + I1 · R2 –I3 · R4 5 –15 = 10 · I1 + 15 · I1 –5 · I3
Malla b
U3 –U2 = I3 · R4 – I2 · R3 15 –10 = 5 · I3 –20 · I2
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Deberemos resolver este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
I1 + I2 + I3 = 0
(1)
25 · I1 – 5 · I3 = –10
(2)
5 · I3 – 20 · I2 = 5
(3)
Se puede resolver por diversos métodos, obteniendo el valor de I1, I2 e I3. Por ejemplo:
Despejamos I1 de (1):
(4)
Sustituimos en (2):
Despejamos I2:
(5)
Sustituimos en (3):
Simplificamos:
;
Despejamos I3:
Sustituimos en (5):
Y finalmente en (4):
El signo negativo de I1 e I2 nos indica que estas corrientes circulan realmente en sentido contrario al inicialmente establecido.
Ejemplo 3.15
Disponemos de una resistencia de 1 Ω alimentada por dos baterías en paralelo; las dos baterías son de 12 V con resistencias internas de 0,1 Ω y de 0,2 Ω, respectivamente. Calcula:
a) La corriente suministrada por cada batería y la corriente disipada por la resistencia R.
b) La tensión en los bornes de la resistencia.
c) La potencia suministrada por cada batería y la potencia disipada por la resistencia.
En primer lugar dibujaremos el modelo de comportamiento eléctrico (modelo circuital), que representa la situación planteada, donde: E =12 V, r1 = 0,1 Ω, r2 = 0,2 Ω y R = 1 Ω.
a) Corriente suministrada por cada batería y corriente disipada por la
resistencia R.
A
I
r1
r2
I1
I2
a
E
b
E
R
Aplicaremos las leyes de Kirchhoff. Al tener tres incógnitas necesitamos tres ecuaciones; como tenemos dos nudos, una ecuación
será de nudo y las dos restantes serán de malla; las ecuaciones resultantes son éstas:
I = I1 + I2
I = I1 + I2
(1)
E –E = r1 · I1 – r2 · I2
0,1 · I1 – 0,2 · I2 = 0
(2)
E = r2 · I2 + R · I
1 · I + 0,2 · I2 = 12
(3)
B
Fig. 3. 42.
De (2):
(4)
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Sustituyendo en (1):
I = 2 · I2 + I2 = 3 · I2
Y sustituyendo en (3):
3 · I2 + 0,2 · I2 = 3,2 · I2 = 12
De donde:
87
Corriente suministrada por la batería 2
Valor que llevado a (4):
I1 = 2 · I2 = 3,75· 2 = 7,50 A
Corriente suministrada por la batería 1
Y finalmente en (1):
I = I1 + I2 = 3,75 = 11,25A
Corriente disipada en la resistencia R.
b) Tensión en los bornes de la resistencia:
V = R · I = 1 · 11,25 = 11,25 V
c) Potencia suministrada por cada batería y potencia disipada por la resistencia:
Batería 1
PG1 = V · I1 = 11,25 · 7,50 = 84,37 W
Batería 2
PG2 = V · I2 = 11,25 · 3,75 = 42,19 W
Resistencia
PR = V · I = 11,25 · 11,25 = 126,56 W
Actividades
16. En el circuito siguiente, aplica las leyes de Kirchhoff
para determinar la intensidad de la corriente por
cada elemento, las tensiones en cada resistencia y la
potencia que disipan.
¿Todas las fuentes de tensión están entregando
corriente?
Fig. 3.42.
R1
A
1k
R3
U1
1k
U2
10 V
U3
5V
20 V
R2
2k
R3
B
10 k
3.7. Teoremas fundamentales
para circuitos eléctricos
3.7.1. Teorema de Thévenin
El teorema de Thévenin establece que un circuito lineal (cualquiera de los vistos hasta ahora) con dos terminales de salida, A y B, puede sustituirse por un circuito equivalente formado por una fuente de tensión UTh (tensión de Thévenin) en serie con
una resistencia RTh (resistencia de Thévenin).
Donde:
UTh es la tensión entre los terminales A y B cuando éstos se encuentran en
circuito abierto.
RTh es la resistencia equivalente entre los terminales A y B cuando éstos se encuentran en circuito abierto, con lo que se anulan las fuentes independientes de
tensión.
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Para anular una fuente de tensión ésta se sustituye por un conductor (se cortocircuita la fuente).
a
a
RTh
UTh
b
Fig. 3.44.
Teorema de Thévenin.
b
Con el teorema de Thévenin se consigue sustituir un circuito más o menos complejo
por uno equivalente mucho más sencillo. La principal aplicación de este teorema la
encontramos cuando debe resolverse el circuito original para diferentes cargas, ya
que resulta mucho más simple la resolución del circuito equivalente.
Ejemplo 3.16
Disponemos de una fuente de alimentación formada por dos baterías de f.e.m. y resistencia interna E1, r1 y E2, r2, respectivamente, que alimentan una carga situada a una distancia importante, por lo que se considera que los cables de alimentación presentan una resistencia Rs.
a) Dibuja el esquema eléctrico de la situación propuesta.
b) Halla el equivalente de Thévenin en los bornes de la carga, si E1 = 13 V, r1 = 0,5 Ω, E2 =11 V, r2 = 0,5 Ω y Rs = 0,75 Ω.
c) Calcula la corriente y la tensión en los bornes de la carga para los casos siguientes: Rcarga = 1 Ω, 5 Ω, 10 Ω, 100 Ω,
∞(circuito abierto)
Solución
A
a) Esquema eléctrico de la situación propuesta (figura 3.45).
Rs
r1
b) Equivalente de Thévenin, si E1 = 13 V, r1= 0,5 Ω,
E2 =11 V, r2 =0,5 Ω y Rs = 0,75 Ω (figura 3.46).
r2
E1
E2
B
Fig. 3.45.
Fig. 3.46.
A
A
Rs
r1
RTh
r2
UTh
E1
E2
B
B
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89
Comenzamos calculando la tensión de Thévenin.
r2
Recordando que VTh es la tensión entre los terminales
A y B cuando éstos se encuentran en circuito abierto, la
tensión buscada VAB (bornes A-B) es la misma que VAÕB ’
(bornes A’-B’), pues con el circuito abierto no circula
corriente por Rs y, por tanto, no hay ninguna caída de
tensión en esta resistencia.
E2
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla formada por las dos fuentes del circuito y recorrida en sentido horario obtenemos:
A’
A
Rs
r1
E1
I
I
B’
E1 – E2 = I · (r1 + r2)
B
Fig. 3.47.
De donde:
A
Por tanto:
Uth = VA’–B’ = E1 – I · r1 = 13 – 0,5 · 2 = 12 V
O también:
Uth = VA’–B’ = E2 + I · r2 = 11 + 0,5 · 2 = 12 V
Rs
r1
Ahora calcularemos la resistencia de Thévenin recordando
que RTh es la resistencia equivalente entre los terminales A
y B cuando éstos se encuentran en circuito abierto, con lo
que se anulan las fuentes independientes de tensión o de
corriente.
r2
B
Fig. 3.48.
La resistencia buscada es la equivalente del circuito mostrado
en la figura 3.48, es decir, r1 y r2 en paralelo entre sí y en serie
con Rs, cuyo valor será:
A
c) Cálculo de la corriente y la tensión en los bornes de la carga
para los casos siguientes: Rcarga = 1 Ω, 5 Ω, 10 Ω, 100 Ω,
∞ (circuito abierto)
RTh
El circuito que hay que resolver es el equivalente de Thévenin
presentado en la figura 3.49, con UTh =12 V, RTh =1 Ω y donde la carga es el valor propuesto en el enunciado.
R
UTh
Al estudiar cinco casos deberemos resolver el circuito en cinco
ocasiones. Las ecuaciones que resuelven el circuito equivalente de Thévenin son:
; UAB = I · Rcarga
o bien:
B
Fig. 3.49.
UAB = UTh – I · RTh
Los resultados se exponen en la siguiente tabla:
1Ω
5Ω
10 Ω
100 Ω
∞
I (A)
6
2
1,091
0,1188
0
UAB (V)
6
10
10,91
11,88
12
Rcarga
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3.7.2. Principio de superposición
El principio de superposición establece que en cualquier circuito lineal (cualquiera
de los vistos hasta ahora) que contenga varias fuentes de tensión (pilas o baterías), el
voltaje en cada nudo y la corriente en cada rama es la suma de todos los voltajes o corrientes individuales causados por cada fuente, actuando individualmente, es decir,
con todas las demás fuentes de tensión sustituidas por cortocircuitos.
Ejemplo 3.17
En el circuito de la figura siguiente, vamos a determinar la tensión y la intensidad de corriente en la resistencia R3.
R1
U1 = 12 V, U2 = 24 V, R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 4 Ω
R2
A
I1
I2
U1
Vamos a realizarlo de dos maneras: aplicando las leyes
de Kirchhoff y mediante el principio de superposición.
a
I3
R3
U2
b
B
Fig. 3.50.
Solución 1. Aplicación de las leyes de Kirchhoff
Ley de corrientes nudo A
I1 + I2 – I3 = 0
Ley de tensiones malla a
R1 I1 + R3 I3 =U1
Ley de tensiones malla b
R2 I2 + R3 I3 =U2
sustituyendo los valores y resolviendo:
I1 = –1,714A 0; I2 = 5,142A ; I3 = 3,428A
y
UAB = R3 I3 = 4 · 3,428 = 13,71 V
Solución 2. Aplicación del principio de superposición
R1
a) Sólo con la fuente U1:
Calculamos R2 en paralelo con R3 (R2//R3):
R2
A
IT
U1
IR3
R3
Calculamos la resistencia total:
B
Con la ley de Ohm, calculamos IT:
Fig. 3.51.
Considerando la resistencia equivalente de R2//R3 (R2 en paralelo con R3) y conociendo IT, podemos calcular UABa:
Aplicando la ley de Ohm a R3, tenemos la IR3a:
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b) Sólo con la fuente U2:
Calculamos R1 en paralelo con R3 (R1//R3):
R1
R2
A
IT
IR3
R3
Calculamos la resistencia total:
Con la ley de Ohm, calculamos IT:
U2
B
Fig. 3.52.
Considerando la resistencia equivalente de R1//R3 y conociendo IT, podemos calcular UABb:
Aplicando la ley de Ohm a la R3, tenemos la IR3a:
c) Aplicamos el principio de superposición para calcular la respuesta global:
3.7.3. Teorema de la máxima
transferencia de potencia
En una fuente de alimentación la potencia transferida a la carga depende de la resistencia de salida de la fuente y de la resistencia de la propia carga.
El teorema de la máxima transferencia de potencia establece que en un circuito con
terminales A y B (fuente de alimentación) la máxima potencia transferida a una carga se produce cuando la resistencia de la carga es equivalente a la resistencia de salida
del circuito (resistencia de Thévenin).
Rc = RTh
El valor de la potencia máxima que se transfiere se puede determinar a partir de la siguiente expresión:
O también:
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Ejemplo 3.18
Queremos determinar la máxima potencia que puede extraerse de una fuente cuya tensión en vacío es de 100 V y cuya resistencia interna es de 1 Ω.
Solución
UTh = 100 V
RTh = 1 Ω
Actividades
17. Calcula el circuito equivalente de Thévenin en los
bornes a y b del montaje siguiente:
19. Calcula la corriente que circula por la resistencia de
4 Ω. Utiliza el principio de superposición.
U = 24 V
R1 =2 kΩ
R2 =1 kΩ
R3 =3 kΩ
1Ω
1Ω
1Ω
4Ω
12 V
15 V
24 V
R3
R2
U1
A
R1
Fig. 3.55.
B
20. Una batería de 12 V tiene una resistencia interna de
1 Ω.
Fig. 3.53.
18. Calcula el circuito equivalente de Thévenin en los
bornes A y B del montaje siguiente:
R1
A
1k
1k
U1
10 V
R3
U2
20 V
2k
R2
Fig. 3.54.
B
Realiza una tabla en la que figure la potencia entregada a la carga para los siguientes valores de resistencia de carga: 0 Ω, 0,5 Ω, 1 Ω, 10 Ω, 10 MΩ.
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Experiencias
Experiencia 1 Circuito en serie
1. Seleccionamos tres resistencias con los siguientes valores nominales: R1 = 100 Ω,
R2 = 150 Ω, R3 = 100 Ω.
2. Conectamos las tres resistencias en serie y medimos la resistencia total de la asociación utilizando un ohmímetro. Debe recordarse que esta medida se efectúa
sin conectar la fuente de alimentación, ni amperímetros ni voltímetros.
RTotal =
3. Completamos el montaje de la figura siguiente:
V1
V2
V3
R1
R2
R3
U=
V
I
4. Aplicamos una tensión de 10 V y tomamos nota de los valores obtenidos reflejándolos en la tabla siguiente:
RTotal
U
10 V
0
V1
I
0
0
V2
0
V3
0
20 V
5. Repetimos el paso anterior aplicando en esta ocasión una tensión de 20 V.
6. Completamos la tabla siguiente con los valores teóricos obtenidos previamente
al desarrollo de la experiencia.
RTotal
U
10 V
0
V1
I
0
0
V2
0
20 V
7. Comprobamos la validez de los datos “experimentales”.
V3
0
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Experiencia 2 Circuito mixto
1. Seleccionamos cinco resistencias con los siguientes valores nominales: R1 = 200 Ω,
R2 = 100 Ω, R3 = 1 kΩ, R4 = 2 kΩ, R5 = 3 kΩ.
2. Conectamos los grupos de resistencias en paralelo y medimos la resistencia total de cada asociación; posteriormente conectamos los dos grupos en serie y
medimos la resistencia total del montaje.
R1//R2 =
R3//R4//R5 =
RTotal =
3. Completamos el montaje de la figura siguiente:
Va
I1
R1
I2
R2
I3
I4
I5
R3
R4
R5
Vb
U
4. Aplicamos una tensión de 10 V y tomamos nota de los valores obtenidos reflejándolos en la tabla siguiente.
Va
U
10 V
0
Vb
0
0
I1
I
0
0
0
0
I2
0
I3
0
I4
0
I5
0
20 V
5. Repetimos el paso anterior aplicando en esta ocasión una tensión de 20 V.
6. Completamos la tabla siguiente con los valores teóricos obtenidos previamente
al desarrollo de la experiencia.
Va
U
10 V
0
Vb
0
I1
I
0
0
I2
0
20 V
7. Comprobamos la validez de los datos “experimentales”.
I3
I4
I5
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Experiencia 3 Leyes de Kirchhoff
1. Realizamos el montaje de la figura y medimos los valores de las intensidades en
cada rama del circuito, prestando atención a la polaridad de los aparatos de medida que conectamos según el sentido de la corriente previsto.
E
I3
10 V
D
R3
I1
R1
75 Ω
25 Ω
R2
I4
R4
A
B
50 Ω
75 Ω
I5
100 V
50 V
I2
C
2. Completamos la tabla siguiente:
I1
I2
I3
I4
I5
Experiencia
Teórico
3. Comprobamos que se cumpla la primera ley de Kirchhoff en cada uno de los
nudos.
Nudo A
Nudo B
Nudo C
4. Medimos la diferencia de potencial existente en los bornes de cada uno de los
elementos del circuito respetando la polaridad indicada y completamos la tabla.
VDA
VAB
VAC
VEA
VEB
VBC
VDC
5. Comprobamos que se cumpla la segunda ley de Kirchhoff en cada una de las
mallas; recordemos que VAB = –VAB. Ejemplo: en la malla DACD se ha de cumplir que VDA + VAC + VCD = 0, o bien que VCD = VDA + VAC.
Malla DACD
Malla AEBA
Malla ABCA
Malla DABCD
Malla AEBCA
Malla DAEBCD
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Experiencia 4 Teorema de Thévenin
1. Comenzaremos montando y simulando el circuito original con la finalidad de
comprobar, posteriormente, la equivalencia entre este montaje y el equivalente
de Thévenin que determinaremos a lo largo de la experiencia. Tomamos nota de
la intensidad y la tensión en las cargas.
V1
R1
R2
2Ω
2Ω
R3
24 V
A
Vcarga =
Carga
1Ω
2Ω
Icarga =
B
2. Para determinar experimentalmente la tensión de Thévenin, en el montaje original desconectamos la carga y en su lugar colocamos un voltímetro. La tensión
de Thévenin (tensión con el circuito abierto) se corresponde con la lectura del
voltímetro.
R2
R1
2Ω
V1
2Ω
R3
24 V
A
VTh=
1Ω
B
3. Podemos medir la resistencia de Thévenin en el montaje siguiente, donde se ha
suprimido la fuente de tensión. La medida la efectuamos con un ohmímetro.
R1
R2
2Ω
2Ω
R3
A
RTh =
1Ω
B
4. Hacemos el montaje del circuito equivalente de Thévenin, alimentando la misma carga, y comprobamos la igualdad de tensión y corriente en la carga respecto al circuito original.
A
Vcarga =
RTh
VTh
Icarga =
B
5. Realizamos de manera simultánea los dos circuitos: el original y su equivalente.
Comprobamos que para cualquier carga, la lectura de tensión y corriente es la
misma en los dos circuitos; completamos la tabla siguiente:
Rcarga(Ω)
0
Vcarga
Icarga
Observaciones
Cortocircuito
5
15
20
∞
Circuito abierto
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Unidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua
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Autoevaluación
1. Se denomina corriente continua a:
a) Toda corriente eléctrica
b) Una corriente eléctrica bidireccional
c) Una corriente eléctrica unidireccional de valor
constante
2. La ley de Ohm relaciona:
a) Tensión, corriente y potencia
b) Tensión, corriente y resistencia
c) Potencia, corriente y resistencia
3. La Ley de Joule relaciona:
a) Tensión, corriente y potencia
b) Tensión, corriente y resistencia
c) Potencia, corriente y resistencia
4. Si aumentamos la resistencia de un componente alimentado a una tensión constante:
a) Aumentará la corriente que circula.
b) Disminuirá la corriente que circula.
c) Se mantendrá constante la corriente que circula.
5. Si aumentamos la tensión de alimentación de una
resistencia de valor constante:
a) Aumentará la corriente que circula.
b) Disminuirá la corriente que circula.
c) Se mantendrá constante la corriente que circula.
6. Para una tensión dada, por ejemplo 12 V, la resistencia nominal de una lámpara de incandescencia:
a) Aumenta al aumentar la potencia nominal de la
lámpara.
b) Disminuye al aumentar la potencia nominal de
la lámpara.
c) Es independiente de la potencia nominal de la
lámpara.
7. Si asociamos resistencias en serie, podemos afirmar
que:
a) La resistencia total obtenida será superior a cualquiera de las resistencias conectadas.
b) La resistencia total obtenida será inferior a cualquiera de las resistencias conectadas.
c) La resistencia total obtenida será superior o inferior a cualquiera de las resistencias conectadas,
dependiendo del valor de éstas.
8. Si asociamos resistencias en paralelo, podemos afirmar que:
a) La resistencia total obtenida será superior a cualquiera de las resistencias conectadas.
b) La resistencia total obtenida será inferior a cualquiera de las resistencias conectadas.
c) La resistencia total obtenida será superior o inferior a cualquiera de las resistencias conectadas,
dependiendo del valor de éstas.
9. Si disponemos de tres resistencias de 10 Ω, ¿cómo
podemos obtener una resistencia total de 15 Ω?
a) Conectando una en paralelo con las otras dos en
serie.
b) Conectando una en serie con las otras dos en paralelo.
c) No podemos obtener este valor de resistencia.
10. Si asociamos condensadores en serie, podemos afirmar que:
a) La capacidad total obtenida será superior a cualquiera de las capacidades conectadas.
b) La capacidad total obtenida será inferior a cualquiera de las capacidades conectadas.
c) La capacidad total obtenida será superior o inferior a cualquiera de las capacidades conectadas,
dependiendo del valor de éstas.
11. Si asociamos condensadores en paralelo, podemos
afirmar que:
a) La capacidad total obtenida será superior a cualquiera de las capacidades conectadas.
b) La capacidad total obtenida será inferior a cualquiera de las capacidades conectadas.
c) La capacidad total obtenida será superior o inferior a cualquiera de las capacidades conectadas,
dependiendo del valor de éstas.
12. El teorema de Thévenin nos permite, respecto de dos
terminales, hallar:
a) La resistencia equivalente
b) La fuente de tensión equivalente
c) La resistencia y la fuente de tensión equivalentes
13. El principio de superposición se aplica para:
a) Calcular la resistencia equivalente, cuando no
puede aplicarse la simplificación por asociación
de resistencias.
b) Calcular la fuente de tensión equivalente, cuando existen varias fuentes de tensión.
c) Resolver de forma sencilla (desde el punto de
vista matemático) circuitos con varias fuentes de
tensión.
14. Las leyes de Kirchhoff se aplican:
a) Solamente a circuitos de corriente continua
b) Solamente a circuitos con varias fuentes de tensión
c) A cualquier circuito eléctrico
15. Una batería de 12 V suministra una corriente de 2 A
y la tensión en sus bornes es de 11 V. ¿Cuál es el valor
de su resistencia interna?
a) 2 Ω
b) 1 Ω
c) 0,5 Ω
16. Una batería de 12 V suministra una corriente de 2 A
y la tensión en sus bornes es de 11 V. ¿Cuál es el valor
de su resistencia de carga?
a) 11 Ω
b) 6 Ω
c) 5,5 Ω