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CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLOGICOS
Y DE SERVICIOS Nº 4
PROPIEDADES DE EXPONENTES, RADICALES
Y LOGARITMOS
PROFA. MARÍA DE LOURDES TRIANA
PRADO
Exponentes
Si n es un entero positivo, la notación exponencial a2 que se define en la
tabla,
representa el producto del número real a multiplicado n veces por si
mismo.
La expresión a2 se lee a a la enésima potencia o simplemente a a la n.
El entero positivo se llama exponente y el numero real a, base.
Notación exponencial
Caso general
(n es cualquier entero
positivo)
Casos especiales
Ejemplos:
es importante observar que si n es un entero positivo, entonces una expresión como
3an
significa 3(an) pero no (3a)n.
El número real 3 se llama coeficiente de an en la expresión 3an.
Ejemplo
Exponente cero y negativo
Ahora ampliamos la definición de an a exponentes no
positivos.
Definición (a
diferente de 0)
Ejemplo
Si m y n son enteros positivos, entonces
En vista de que el número total de factores de a a la derecha es m+n,
esta expresión es igual a am+n ; es decir,
De esta forma se puede llegar a las leyes de exponentes que
muestran a continuación:
Ley
Ejemplo
Simplificar una expresión donde hay potencias de números
reales, significa cambiarla a otra en que cada numero real aparece
solo una vez y todos los exponentes son positivos. Teniendo
presente que los denominadores representan números reales
diferentes de cero.
Simplificar:
Solución
a)
b)
a)
b)
Simplificación de expresiones con exponentes negativos.
Simplifica:
Solución:
RADICALES
A continuación definiremos la principal raíz enésima de un numero real.
Definición de
Sean n un numero entero positivo mayor de 1 y a ,
un numero real
1) Si
, entonces
2) Si
, entonces
es el número real positivo b tal que
.
3) a) Si
y n es non, entonces
es el numero real negativo b tal que
b) Si
y n es par, entonces
no es un número real.
.
Propiedades de
Propiedad
(n es un entero positivo).
Ejemplo
,
De esta ultima propiedad vemos que:
para todo numero real x. En particular, si
sin embargo si
entonces
entonces
que es positiva
Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros
positivos m y n, siempre que existan las raíces indicadas; es
decir, siempre que las raíces sean números reales.
Ley
Ejemplo
Advertencias respecto a errores comunes:
Simplificar un radical quiere decir eliminar factores del radical
hasta que el radicando contenga sólo exponente igual o mayor
que el índice del radical y el índice sea tan pequeño como sea
posible.
Eliminación de factores de radicales.
Simplifica el radical (todas las letras denotan números reales
positivos):
a)
b)
c)
Solución
a)
b)
c)
DEFINICIÓN
Logaritmo de un número es el exponente al que hay
que elevar la base para que nos de dicho número.
Logaritmo de un número (P) es el exponente (x) al
que hay que elevar la base (a) para que nos de dicho
número (P).
La base tiene que ser positiva y distinta de 1
se lee logaritmo en base a de P
EJEMPLOS:
(logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3) pues 3 es el exponente al
que hay que elevar 2 para que nos de 8 à
(logaritmo en base 2 de es igual a -3) pues -3 es el exponente al
que hay que elevar 2 para que nos de à
(logaritmo en base 10 de 10000 es igual a 4) pues 4 es el
exponente al que hay que elevar 10 para que nos de 10000 à
(logaritmo en base 10 de 0.0001 es igual a -4) pues -4 es el
exponente al que hay que elevar 10 para que nos de 0.0001
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Dos números distintos tienen logaritmos
distintos.
Si
El logaritmo de la base es 1
El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la
base.
El logaritmo de un producto es igual a la suma
de los logaritmos de los factores.
El logaritmo de un cociente es igual al
logaritmo del numerador menos el logaritmo
del denominador.
El logaritmo de una potencia es igual al
exponente por el logaritmo de la base de la
potencia.
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo
del radicando dividido por el índice.
Cambio de base: El logaritmo en base a de
un número se puede obtener a partir de
logaritmos en otra base.