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Última modificación: 16-05-2017
220001 - Álgebra
Unidad responsable:
205 - ESEIAAT - Escuela Superior de Ingenierías Industrial, Aeroespacial y Audiovisual de
Terrassa
Unidad que imparte:
749 - MAT - Departamento de Matemáticas
Curso:
2017
Titulación:
GRADO EN INGENIERÍA EN VEHÍCULOS AEROESPACIALES (Plan 2010). (Unidad docente
Obligatoria)
GRADO EN INGENIERÍA EN TECNOLOGÍAS AEROESPACIALES (Plan 2010). (Unidad docente
Obligatoria)
Créditos ECTS:
6
Idiomas docencia:
Catalán
Profesorado
Responsable:
FRANCISCO CARRERAS ESCOBAR
Competencias de la titulación a las cuales contribuye la asignatura
Específicas:
2. Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para
aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral;
ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y
optimización.
Transversales:
1. APRENDIZAJE AUTÓNOMO - Nivel 1: Llevar a cabo tareas encomendadas en el tiempo previsto, trabajando con las
fuentes de información indicadas, de acuerdo con las pautas marcadas por el profesorado.
Metodologías docentes
Las sesiones teóricas se dedicarán a introducir los conceptos y resultados fundamentales de cada tema, así como
ejemplos y casos prácticos que permitan a cada estudiante comprender los temas tratados. Será referencia básica un
libro de texto ajustado al temario y escrito por profesores de la Sección Departamental que se podrá obtener
gratuitamente en la plataforma
digital ATENEA.
En las sesiones prácticas se resolverán ejercicios y problemas anunciados con antelación. Serán los de un fascículo
ajustado también al temario que incluye al final los resultados numéricos y estará igualmente al alcance de forma gratuita
a ATENEA. Estas prácticas ayudarán a cada estudiante a familiarizarse ¿con los conceptos expuestos y adquirir la
habilidad de expresarse correctamente haciendo uso de las herramientas del curso.
Como complemento orientativo para el seguimiento de la teoría y la resolución de ejercicios y problemas, el estudiante
tendrá su disposición en Atenea, también gratuitamente, un bloque de transparencias donde se resume el libro de texto y
un libro de problemas resueltos con detalle.
El profesor designará unas horas de atención individualizada en las que se podrán consultar las dudas referentes a las
clases de teoría y de prácticas.
Junto con los exámenes parcial y final, durante el curso se llevarán a cabo dos controles de evaluación. Todo ello
permitirá obtener una evaluación continuada cuidadosa del trabajo individual.
Objetivos de aprendizaje de la asignatura
Comprensión y capacidad de aplicación del concepto de linealidad y su traducción operativa: el cálculo matricial.
Parte operativa básica para todo el curso: estudio, resolución y discusión de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo
matricial propiamente dicho, uso indistinto del método de Gauss y los determinantes, y resolución de ciertas ecuaciones
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polinómicas.
Aplicación a todos los problemas surgidos en el tratamiento en la práctica de la parte conceptual.
Parte conceptual: adquisición y asimilación de las nociones esenciales de los espacios vectoriales (dependencia lineal,
subespacio, base, dimensión, componentes y cambios de base), las derivadas del producto escalar (norma, ángulo,
ortogonalidad, proyección ortogonal, orientación, producto vectorial y método de los mínimos cuadrados), el lenguaje de
las transformaciones lineales con especial hincapié en los endomorfismos (núcleo, imagen, rango, cambio de base y
clasificación de isometrías en el plano y en el espacio
(Giros, rotaciones, simetrías y composiciones), las técnicas de diagonalización de matrices y, en particular, la
diagonalización ortogonal en el caso simétrico, su aplicación al estudio de las formas cuadráticas y los tensores y,
finalmente, las ideas básicas de la geometría analítica plana y tridimensional: tanto de la geometría lineal o de primer
grado (coordenadas, cambios de coordenadas, rectas, planos, posiciones relativas, paralelismo y perpendicularidad,
ángulos, distancias, áreas y volúmenes) como de la cuadrática o de segundo grado (curvas del plano-cónicas-y superficies
del espacio-cuádricas).
Horas totales de dedicación del estudiantado
Dedicación total: 150h
Horas grupo grande:
32h
21.33%
Horas grupo mediano:
28h
18.67%
Horas aprendizaje autónomo:
90h
60.00%
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Contenidos
Módulo 1: Sistemas de ecuaciones lineales,
cálculo matricial y determinantes
Dedicación: 28h
Grupo grande/Teoría: 3h
Grupo mediano/Prácticas: 8h
Aprendizaje autónomo: 17h
Descripción:
Tema 1. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.
Resolución por el método de Gauss. Regla del pivote. Método de Gauss Jordan. Teorema de Rouché Frobenius.
Discusión de sistemas. Matrices. Rango: noción provisional. Operaciones lineales. Producto. Defectos. Matrices
cuadradas. Matrices simétricas y ortogonales. Matrices regulares. Cálculo de la inversa por Gauss Jordan.
Ecuaciones matriciales.
Tema 2. Determinantes.
Definición y propiedades operativas. Regla de Sarrus. Adjuntos. Regla de Laplace. Aplicaciones: Matrices
regulares. Inversa de una matriz. Sistemas de Cramer. Interpolación polinómica. Determinante de Vandermonde.
Menores. Definición y cálculo del rango. Sistemas arbitrarios. Discusión de sistemas.
Actividades vinculadas:
Sesiones de explicación teórica y sesiones prácticas de ejercicios y problemas relacionados. Trabajo de estudio
individual.
Módulo 2: Espacios vectoriales y Euclidianos
Dedicación: 37h
Grupo grande/Teoría: 9h
Grupo mediano/Prácticas: 5h
Aprendizaje autónomo: 23h
Descripción:
Tema 3. Espacios vectoriales.
Definición. El espacio vectorial numérico. Combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal.
Subespacios vectoriales. Ecuaciones implícitas de un subespacio. Sistemas de generadores. Bases. Teorema de
las bases. Dimensión. Componentes de un vector. Cambios de base.
Tema 4. La estructura euclidiana del espacio vectorial numérico.
Producto escalar. Ortogonalidad. Suplementario ortogonal. Método de Gram Schmidt. Norma. Bases
ortonormales. Ángulo no orientado. Proyección ortogonal y simetría. Sistemas sobredeterminados: método de los
mínimos cuadrados. Orientación. Ángulo orientado. Productos vectorial y mixto
Actividades vinculadas:
Sesiones de explicación teórica y sesiones prácticas de ejercicios y problemas relacionados. Trabajo de estudio
individual.
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Módulo 3: Transformaciones lineales,
diagonalización y tensores
Dedicación: 49h
Grupo grande/Teoría: 11h
Grupo mediano/Prácticas: 8h
Aprendizaje autónomo: 30h
Descripción:
Tema 5. Transformaciones lineales.
Definición. Caracterización matricial. Endomorfismos. Cambios de base. Núcleo, imagen y rango. Carácter
(inyectiva, exhaustiva, biyectiva). Operaciones y matrices asociadas. La identidad. Isometrías. Caracterización
matricial. Catálogo en el plano y en el espacio.
Tema 6. Diagonalización de matrices.
Endomorfia / matriz diagonalizable. Vectores y valores propios. Polinomio característico. Fórmula de las trazas.
Condiciones de diagonalización. Aplicación: potencias de una matriz diagonalizable. Diagonalización ortogonal de
matrices simétricas: teorema espectral. Clasificación de isometrías en el plano y en el espacio. Matriz reducida y
elementos
geométricos.
Tema 7. Tensores y formas cuadráticas.
Definición de tensor. Caracterización matricial. Cambios de base. Forma cuadrática asociada. Diagonalización de
tensores y formas. Expresiones canónicas afín y euclídea. Índices de inercia. Ley de inercia de Sylvester. Teorema
de Descartes. Clasificación de formas cuadráticas. Criterio de Sylvester.
Actividades vinculadas:
Sesiones de explicación teórica y sesiones prácticas de ejercicios y problemas relacionados. Trabajo de estudio
individual.
Módulo 4: Geometría lineal y cuadrática
Dedicación: 36h
Grupo grande/Teoría: 9h
Grupo mediano/Prácticas: 7h
Aprendizaje autónomo: 20h
Descripción:
Tema 8. Geometría lineal.
El espacio puntual. Referencias cartesianas. Coordenadas. Cambio de coordenadas. Variedades lineales: rectas y
planos. Posición relativa. Intersección. Paralelismo. Perpendicularidad. Proyección ortogonal y simetría. Ángulos.
Distancias. Formulario del producto vectorial: distancias, áreas y volúmenes.
Tema 9. Curvas y superficies de segundo grado.
El elipse, hipérbola y parábola. Circunferencia. Ecuaciones reducidas. Cónicas. Clasificación, ecuación reducida y
elementos geométricos. Cuádricas. Clasificación, ecuación reducida y elementos geométricos.
Actividades vinculadas:
Sesiones de explicación teórica y sesiones prácticas de ejercicios y problemas relacionados. Trabajo de estudio
individual.
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Planificación de actividades
ACTIVIDAD 1: SESIONES DE TEORÍA
Dedicación: 76h
Grupo grande/Teoría: 26h
Grupo mediano/Prácticas: 10h
Aprendizaje autónomo: 40h
ACTIVIDAD 2: SESIONES DE PRÁCTICAS
Dedicación: 38h
Grupo mediano/Prácticas: 18h
Aprendizaje autónomo: 20h
ACTIVIDAD 3: 1R CONTROL DE EVALUACIÓN Dedicación: 3h
Grupo grande/Teoría: 1h
Aprendizaje autónomo: 2h
ACTIVIDAD 4: 2N CONTROL DE
EVALUACIÓN
Dedicación: 5h
Grupo grande/Teoría: 1h
Aprendizaje autónomo: 4h
ACTIVIDAD 5: EXAMEN PARCIAL
Dedicación: 12h
Grupo grande/Teoría: 2h
Aprendizaje autónomo: 10h
ACTIVIDAD 6: EXAMEN FINAL
Dedicación: 16h
Grupo grande/Teoría: 2h
Aprendizaje autónomo: 14h
Sistema de calificación
NF = 0.3 NP + 0.5 NEF + 0.1 NC1 + 0.1 NC2
NF: Nota final
NP: Nota del examen parcial
NEF: Nota del examen final
NC1 y NC2: Notas de los controles de evaluación
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Normas de realización de las actividades
Durante cada una de las cuatro pruebas de evaluación (exámenes y controles) cada estudiante deberá disponer de algún
documento de identificación (DNI, pasaporte, carnet UPC ...), que presentará a requerimiento del profesorado.
La inasistencia injustificada a cualquiera de estas pruebas se traducirá en un 0 como nota correspondiente. En el caso de
el examen final, implicará un "no presentado" como nota final. Un documento de justificación de la ausencia dará derecho
a la prueba en días posteriores.
Bibliografía
Básica:
Amer Ramon, R. Curs d'àlgebra lineal [en línea]. 2a ed. Terrassa: Universitat Politècnica de Catalunya, 1998 [Consulta:
22/02/2011]. Disponible a: <http://ruth.upc.es/algebra/curs_algebra_lineal.pdf>. ISBN 8484987841.
Amer Ramon, R. [et al.]. Enginyeria aeronàutica: àlgebra lineal: exercicis i problemes. [Terrassa]: UPC, 2010.
Complementaria:
Amer Ramon, R. Àlgebra lineal: problemes resolts [en línea]. Terrassa: UPC. Escola Tècnica Superior d'Enginyers Industrials
de Terrassa, 2000 [Consulta: 04/05/2011]. Disponible a: <http://ruth.upc.es/algebra/algebra-lineal-problemes-resolts.pdf>.
Amer Ramon, R. [et al.]. Transparències d'àlgebra lineal. [Terrassa]: UPC, 2004.
Otros recursos:
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