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Álgebra Lineal
Ma843
Diagonalización de una Matriz
Departamento de Matemáticas
ITESM
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 1/33
Introducción
En esta lectura veremos uno de los temas más
importantes del Álgebra Lineal que tiene
aplicaciones fundamentales en Ingeniería. Éste es
el tema de la diagonalización de una matriz
cuadrada. Se revisará la definición, algunos
resultados teóricos y algunas aplicaciones. Se
requieren los conceptos de valor y vector propio,
polinomio característico y bases de un espacio
lineal.
Diagonalización de una Matriz
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Álgebra Lineal - p. 2/33
Matriz diagonalizable
Una matriz cuadrada A n × n se dice matriz
diagonalizable si existe existe una matriz P n × n
invertible que cumple
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
P−1 AP = D
donde D es una matriz diagonal.
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 3/33
Teorema
Sea A una matriz cuadrada n × n, entonces
son equivalentes:
■ A es una matriz es diagonalizable,
■ Rn posee una base formada por vectores
propios de la matriz A.
Diagonalización de una Matriz
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Álgebra Lineal - p. 4/33
Demostración
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Supongamos que A es diagonalizable.
P−1 AP = D ó A = PDP−1
B = {p1 , p2 . . . , pn }
P
−1
P = In×n = [e1 e2 · · · en ] = P
Api
Diagonalización de una Matriz
=
−1
[p1 p2 · · · pn ] = P
−1
PDP
=
(PD) P
=
(PD) ei
=
P (Dei )
=
P (di ei )
=
di Pei
=
di pi
−1
p1 P
−1
p2 · · · P
−1
pn
pi
−1
pi
Álgebra Lineal - p. 5/33
Condiciones para la diagonalización
Reglas básicas para saber si una matriz es diagonalizable:
■ Si tiene algún valor propio complejo, no es diagonalizable.
■
Si tiene todos sus valores propios reales y son diferentes, sı́ es
diagonalizable.
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
■
Si tiene todos sus valores propios reales, y si para cada valor
propio que apareció repetido como raíz de la ecuación
característica el número de veces que apareció repetido
(multilicidad algebraica) es igual a la multiplicidad o dimensión
geométrica entonces sı́ es diagonalizable.
Un resultado importante es:
Teorema
Toda matriz cuadrada simétrica es diagonalizable. Más aún:
A es simétrica si y sólo si es ortogonalmente diagonalizable.
A = PDP′
Esto es, la matriz P se puede cambiar por otra ortogonal
(PP′ = I).
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 6/33
Ejemplo
Determine si la matriz es diagonalizable
"
#
1 2
A=
−1 2
Diagonalización de una Matriz
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Álgebra Lineal - p. 7/33
Ejemplo
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Determine si la matriz es diagonalizable
"
#
1 2
A=
−1 2
Solución
El polinomio característico de A es
pA (t) = 4 − 3 t + t2
√
y sus raíces√son: t1 = 3/2 + i 7/2 y
t1 = 3/2 + i 7/2. Por tanto, tiene raíces complejas
y por tanto no es diagonalizable Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 7/33
Ejemplo
Determine si la matriz es diagonalizable
"
#
1 1
A=
0 1
Diagonalización de una Matriz
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Álgebra Lineal - p. 8/33
Ejemplo
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Determine si la matriz es diagonalizable
"
#
1 1
A=
0 1
Solución:
El polinomio característico de A es
pbf A (t) = (t − 1)2 . Y por tanto, el único valor propio
es t = 1.
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 8/33
El espacio nulo de [A − (1)I] es precisamente el
espacio invariante de t = 1 de A y es:
kernel([A − (t = 1) I]) = Gen ((1, 0)′ )
Diagonalización de una Matriz
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Álgebra Lineal - p. 9/33
El espacio nulo de [A − (1)I] es precisamente el
espacio invariante de t = 1 de A y es:
kernel([A − (t = 1) I]) = Gen ((1, 0)′ )
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
El conjunto B = {(1, 0)′ } no alcanza para una
base para R2 . Por tanto, A no es diagonalizable.
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 9/33
Ejemplo
Determine si la matriz es diagonalizable y calcule
una factorización:
"
#
1 2
A=
2 1
Diagonalización de una Matriz
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Álgebra Lineal - p. 10/33
Ejemplo
Determine si la matriz es diagonalizable y calcule
una factorización:
"
#
1 2
A=
2 1
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Solución:
El polinomio característico de A es
pA (t) = −3 − 2 t + t2
y sus raíces son t1 = −1 y t2 = 3. Por tanto, sus
raíces son reales y diferentes. Por tanto, A es
diagonalizable.
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 10/33
Deteminemos bases para los espacios nulos.
Para t = −1
Directo de Maple:
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
ν(A − (−1)I) = Gen ((−1, 1)′ )
Para t
=3
Directo de Maple:
ν(A − (3)I) = Gen ((1, 1)′ )
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 11/33
Deteminemos bases para los espacios nulos.
Para t = −1
Directo de Maple:
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
ν(A − (−1)I) = Gen ((−1, 1)′ )
Para t
=3
Directo de Maple:
ν(A − (3)I) = Gen ((1, 1)′ )
Por tanto una base para R2 con vectores propios
es:
B = {(−1, 1)′ , (1, 1)}
Por consiguiente,
"
#
"
#
"
#
−1 1
−1/2 1/2
−1 0
−1
P=
,P =
,D=
1 1
1/2 1/2
0 3
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 11/33
Ejemplo
Determine si la matriz es diagonalizable y calcule
una factorización:


−1 −1 1


A =  −1
2 4 
1
4 2
Diagonalización de una Matriz
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Álgebra Lineal - p. 12/33
Ejemplo
Determine si la matriz es diagonalizable y calcule
una factorización:


−1 −1 1


A =  −1
2 4 
1
4 2
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Solución:
El polinomio característico de A es
pA (t) = 18 t + 3 t2 − t3
y sus raíces son t1 = 0, t2 = −3 y t3 = 6. Por tanto,
sus raíces son reales y diferentes. Por tanto, A es
diagonalizable.
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 12/33
Deteminemos bases para los espacios nulos.
Para t1 = 0
Directo de Maple:
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
ν(A − (0)I) = Gen ((−2, 1, −1)′ )
Para t2
= −3
Directo de Maple:
ν(A − (−3)I) = Gen ((−1, −1, 1)′ )
Para t3
=6
Directo de Maple:
ν(A − (6)I) = Gen ((0, 1, 1)′ )
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 13/33
Deteminemos bases para los espacios nulos.
Para t1 = 0
Directo de Maple:
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
ν(A − (0)I) = Gen ((−2, 1, −1)′ )
Para t2
= −3
Directo de Maple:
ν(A − (−3)I) = Gen ((−1, −1, 1)′ )
Para t3
=6
Directo de Maple:
ν(A − (6)I) = Gen ((0, 1, 1)′ )
Por tanto una base para R3 con vectores propios
es:
B = {(−2, 1, −1)′ , (−1, −1, 1), (0, 1, 1)′ }
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 13/33
Por consiguiente,


−2 −1 0


P =  1 −1 1 
−1
1 1


1/3 −1/6 1/6


P−1 =  −1/3 −1/3 1/3 
0
1/2 1/2


0
0 0


D =  0 −3 0 
0
0 6
Diagonalización de una Matriz
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Álgebra Lineal - p. 14/33
Ejemplo
Determine todos los valores del parámetro real c para los cuales no
es diagonalizable la matriz.

4

A=
 0
0
Diagonalización de una Matriz
0
−3
0
0

Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov

1 

c
Álgebra Lineal - p. 15/33
Ejemplo
Determine todos los valores del parámetro real c para los cuales no
es diagonalizable la matriz.

4

A=
 0
0
0
−3
0
0

Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov

1 

c
Solución
pA (t) = det (A − t I) = (4 − t) (−3 − t) (c − t)
Por consiguiente, los únicos valores propios son t1 = 4, t2 = −3 y
t3 = c. Como se tiene que: Si todos los valores propios son reales y
diferentes, entonces es diagonalizable. Por tanto, para cualquier
real c diferente de 4 y de −3 se garantiza tres valores propios reales
y diferentes. Por tanto, para cualquier real c diferente de 4 y de −3
será diagonalizable. Por tanto, los únicos valores donde puede no
ser diagonalizable son c = 4 y c = −3.
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 15/33
Para c
=4
Los valores propios son t1 = 4, t2 = −3 y t3 = 4. Por tanto, el único valor propio
que debemos revisar para la posible diagonalización es t = 4:

0

rref
[A − (4) I|0] −−→ 
 0
0
1
−1/7
0
0
0
0
0


0 

0
Por tanto, la dimensión geométrica de t = 4 es 2. Por tanto, la dimensión
geométrica de t = 4 coincide con la dimensión algebraica (2). Por tanto, para todos
los valores propios la dimensión dimensión algebraica coincide con la geométrica.
Por tanto, para c = 4 la matriz A sí es diagonalizable.
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 16/33
Para c
= −3
Los valores propios son t1 = 4, t2 = −3 y t3 = −3. Por tanto, el único valor propio
que debemos revisar para la posible diagonalización es t = −3:

1

rref
[A − (−3) I|0] −−→ 
 0
0
0

0
0
0
1
0
0

0 

0
Por tanto, la dimensión geométrica de t = −3 es 1 y no coincide con la dimensión
algebraica (2). Por tanto, la matriz A no esdiagonalizable para c = −3.
Por tanto, c = −3 es el único número real para el cual A no es diagonalizable Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 17/33
Uso de la Factorización PDP−1
Si A es diagonalizable entonces:
P−1 AP = D → A = PDP−1
Diagonalización de una Matriz
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Álgebra Lineal - p. 18/33
Uso de la Factorización PDP−1
Si A es diagonalizable entonces:
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
P−1 AP = D → A = PDP−1
Y por tanto:
A2 = AA = PDP−1 PDP−1 = PD2 P−1
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 18/33
Uso de la Factorización PDP−1
Si A es diagonalizable entonces:
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
P−1 AP = D → A = PDP−1
Y por tanto:
A2 = AA = PDP−1 PDP−1 = PD2 P−1
De igual manera se obtiene:
Ak = PDk P−1
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 18/33
La gran ventaja de esto es que debido a que D es diagonal:


k
λ1
0
···
0


 0
k
λ2
···
0 


k


D = .

.
..
 ..
0 


0
0
···
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
λn k
Se considera ventaja pues el número de FLOPs usados para
calcular Ak por la manera tradicional es (k − 1) n2 (2 n − 1), es
decir O(2 k n3 ) mientras que para calcular PDk P−1 es
n2 (2 n − 1) + n (k − 1) + k n2 . Es decir, es O(2 n3 + k n2 ). Dando
un ahorro sustancial de FLOPs en el cálculo de potencias de una
matriz cuando ya se posee una factorización diagonal.
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 19/33
Aplicación: Cadenas de Markov
Veamos algunas aplicaciones del uso de la
diagonalización de una matriz. En la siguiente
lectura se verá su aplicación a sistemas de
ecuaciones diferenciales lineales.
Diagonalización de una Matriz
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Álgebra Lineal - p. 20/33
Ejemplo
Supongamos que la probabilidad de que un fumador siga fumando
al año siguiente es %65, mientras que la probabilidad de que un no
fumador continue sin fumar es de %85. Determine los porcentajes
de fumadores y no fumadores a la larga.
Describiremos el estado de la situación en el año i por medio de un
vector columna:


Xi = 
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
xi
yi

donde xi representa el porcentaje de no fumadores en el año i y yi
representa el porcentaje de fumadores. Se supondrá que para
calcular el estado en el año i + 1 habrá que multiplicar el vector de
estado en el año i por la matriz de transición A:






x
xi
pasó un año  xi+1 
 i −


−−−−−−−−→
=A·
yi
yi+1
yi
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 21/33
Solución
La matriz de transición es
"
#
0.65 0.15
A=
0.35 0.85
Diagonalización de una Matriz
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Álgebra Lineal - p. 22/33
Solución
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
La matriz de transición es
"
#
0.65 0.15
A=
0.35 0.85
El elemento (2, 1) 0.35 indica que un fumador
tiene un 35 % de dejar de fumar un año después,
mientras que el elemento 0.15 quiere decir que un
no fumador tiene un 15 % de probabilidades de
volverse fumador.
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 22/33
Esta matriz puede ser utilizada para determinar el porcentaje
en el año siguiente dados los porcentajes de fomadores y no
fumadores en el presente año.
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 23/33
Esta matriz puede ser utilizada para determinar el porcentaje
en el año siguiente dados los porcentajes de fomadores y no
fumadores en el presente año. Por ejemplo, si en el año
actual la relación fumadores no fumadores es 50 % y 50 %
entonces en el año siguiente será:
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 23/33
Esta matriz puede ser utilizada para determinar el porcentaje
en el año siguiente dados los porcentajes de fomadores y no
fumadores en el presente año. Por ejemplo, si en el año
actual la relación fumadores no fumadores es 50 % y 50 %
entonces en el año siguiente será:
"
#
!
!
0.65 0.15
0.50
0.40
=
0.35 0.85
0.50
0.60
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 23/33
Esta matriz puede ser utilizada para determinar el porcentaje
en el año siguiente dados los porcentajes de fomadores y no
fumadores en el presente año. Por ejemplo, si en el año
actual la relación fumadores no fumadores es 50 % y 50 %
entonces en el año siguiente será:
"
#
!
!
0.65 0.15
0.50
0.40
=
0.35 0.85
0.50
0.60
En forma análoga, si por porcentajes actuales para los
fumadores y no fumadores son xo % y yo % respectivamente, al
año siguiente serán:
!
"
#
0.65 0.15
xo
yo
0.35 0.85
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 23/33
Y dentro de k años serán:
k
Xk = A Xo =
Diagonalización de una Matriz
"
0.65 0.15
0.35 0.85
#k
xo
yo
!
Álgebra Lineal - p. 24/33
Los valores propios para la matriz A son λ1 = 1 y λ2 = 1/2 y
vectores propios correspondientes son:
!
!
3
−1
v1 =
, v2 =
7
1
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 25/33
Los valores propios para la matriz A son λ1 = 1 y λ2 = 1/2 y
vectores propios correspondientes son:
!
!
3
−1
v1 =
, v2 =
7
1
Por tanto,
A=
k
A =
"
"
3 −1
7
1
3 −1
7
1
Diagonalización de una Matriz
#"
#"
1
0
0 1/2
#"
1k
0
k
0 (1/2)
3 −1
7
1
#"
#−1
3 −1
7
1
#−1
Álgebra Lineal - p. 25/33
Por tanto

lı́m Ak = 
k→∞
3
7
Diagonalización de una Matriz
−1
1


1
0
0
0


3
7
−1
1
−1


=
0.3
0.7
0.3
0.7


Álgebra Lineal - p. 26/33
Por tanto

lı́m Ak = 
k→∞
Así
X∞
k
3
−1
7
1

= lı́m A · Xo = 
k→∞
Diagonalización de una Matriz
0.3
0.7


0.3
0.7
1
0
0
0



3
7
1
xo



yo
−1
=
−1


=
0.3
0.7
0.3xo + 0.3yo
0.7xo + 0.7yo
0.3
0.7




=
0.3
0.7


Álgebra Lineal - p. 26/33
Por tanto

lı́m Ak = 
k→∞
Así
X∞
k
3
−1
7
1

= lı́m A · Xo = 
k→∞
0.3
0.7


0.3
0.7
1
0
0
0



3
7
1
xo



yo
−1
=
−1


=
0.3
0.7
0.3xo + 0.3yo
0.7xo + 0.7yo
0.3
0.7




=
0.3
0.7
Por consiguiente, a largo plazo, los fumadores serán el 30 % de la población en
comparación con el 70 % de no fumadores. Recuerde que xo + yo = 1.
Diagonalización de una Matriz


Álgebra Lineal - p. 26/33
Ejemplo
Suponga que sólo existen tres lecherías en el mercado Leche
Lola, Leche Los Puentes, y Leche ParmaLac. Suponga que de
un mes a otro
■ Lola retiene el 80 % de sus clientes, atrae 20 % de los clientes
de Los Puentes, y atrae 10 % de los clientes de ParmaLac,
■ Los puentes retiene 70 % de sus clientes, atrae 10 % de los
clientes de Lola, y atrae 30 % de los clientes de ParmaLac, y
■ ParmaLac retiene 60 % de sus clientes, atrae el 10 % de los
clientes de Lola, y atrae el 10 % de los clientes de Los
puentes.
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 27/33
Suponga el tamaño de la población no cambia y
se mantiene fijo en 1000000 de consumidores.
Determine si existe los porcentajes a largo plazo
de la distribución de clientes de Lola, Los puentes,
y ParmaLac.
Diagonalización de una Matriz
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Álgebra Lineal - p. 28/33
Solución
La matriz de transición queda:


.80 .20 .10


A =  .10 .70 .30 
.10 .10 .60
Diagonalización de una Matriz
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Álgebra Lineal - p. 29/33
Solución
La matriz de transición queda:


.80 .20 .10


A =  .10 .70 .30 
.10 .10 .60
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
El polinomio característico de A es:
pA (t) = −(t3 − 2.1 t2 + 1.40 t − .300)
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 29/33
Solución
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
La matriz de transición queda:


.80 .20 .10


A =  .10 .70 .30 
.10 .10 .60
El polinomio característico de A es:
pA (t) = −(t3 − 2.1 t2 + 1.40 t − .300)
Usando los cálculos reportados en las figuras 1 y
2, los valores propios son:
λ1 = 1.00, λ2 = 0.60, λ3 = 0.50
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 29/33
y los vectores propios correspondientes son:
v1 = (−.744845, −.579324, −.331042)′
v2 = (−.707107, +.707107, 0.)′
v3 = (+.408248, −.816497, +.408248)′
Diagonalización de una Matriz
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Álgebra Lineal - p. 30/33
y los vectores propios correspondientes son:
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
v1 = (−.744845, −.579324, −.331042)′
v2 = (−.707107, +.707107, 0.)′
v3 = (+.408248, −.816497, +.408248)′
Por tanto


−0.744845 −0.707107 +0.408248


P =  −0.579324 +0.707107 −0.816497 
−0.331042
0.
+0.408248


1.0 0
0


D =  0 .60 0 
0
0 .50
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 30/33
Por tanto,
A∞


1 0 0


= lı́m Ak = P  0 0 0  P−1
k→∞
0 0 0
Diagonalización de una Matriz
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Álgebra Lineal - p. 31/33
Por tanto,

1 0 0

A∞ = lı́m Ak = P  0 0 0
k→∞
0 0 0

.45 .45

∞
k
A = lı́m A =  .35 .35
k→∞
.20 .20
Diagonalización de una Matriz

 −1
P
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov

.45

.35 
.20
Álgebra Lineal - p. 31/33
Por tanto,

1 0 0

A∞ = lı́m Ak = P  0 0 0
k→∞
0 0 0

.45 .45

∞
k
A = lı́m A =  .35 .35
k→∞
.20 .20
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov

 −1
P

.45

.35 
.20
Por tanto la ditribución del mercado de leche a
largo plazo sin importar la distribución actual es:


45 %


35
%


20 %
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 31/33
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Figura 1: Ejemplo 3: cálculo de vectores propios de A.
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 32/33
Intro
Diagonalización
Reglas
Uso
Markov
Figura 2: Ejemplo 3: Matriz límite de A.
Diagonalización de una Matriz
Álgebra Lineal - p. 33/33