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Colegio “La Inmaculada”
Misioneras Seculares de Jesús Obrero
Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid.
Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96
e-mail: [email protected]
Área de Matemáticas
Académicas
3º de ESO
Apuntes de Área
TEMA 6 – PROPORCIONALIDAD
. Objetivos / Criterios de evaluación
O.3.1 Diferenciar situaciones de proporcionalidad directa e inversa.
O.3.2 Saber realizar repartos proporcionales directos e inversos.
O.3.3 Conocer y saber utilizar los tantos por ciento y tantos por uno.
O.3.4 Comprender y resolver ejercicios de proporcionalidad directa e inversa
O.3.5 Solucionar problemas de proporcionalidad compuesta.
1 Proporcionalidad directa (Página 128)
Def.: magnitudes directamente proporcionales. Dos magnitudes son directamente
proporcionales cuando el cociente entre ambas es siempre el mismo número. Ese número
se llama Constante de proporcionalidad. Es decir, cuando una magnitud sube la otra
también y cuando baja, también la otra
a b
c
= = =constante
a´ b´ c´
Repartos proporcionales directos
Repartir una cantidad de forma directamente proporcional a unos números prefijados es
dividirla en cantidades que sean directamente proporcionales a los números dados.
Para repartir la cantidad Q de forma directamente proporcional a a, b y c se resuelve la
ecuación:
a ·x+b · x+c · x=Q
Calculada la x, se procede al reparto que es
a ·x , b· x y c · x
2. Porcentajes y proporcionalidad (Página 130)
Para calcular un tanto por ciento de un número se multiplica por el tanto por ciento y se
divide entre 100.
Para calcular el tanto por uno se divide el tanto por cien entre 100.
Para incrementar un tanto por ciento a una cantidad se multiplica ésta por uno más es
tanto por uno correspondiente.
Para descontar un tanto por ciento a una cantidad se multiplica ésta por uno menos el
tanto por uno correspondiente.
Tema 6 – Proporcionalidad.
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Académicas
3º de ESO
Apuntes de Área
Para quitar a una cantidad un tanto por ciento previamente incorporado se divide la
cantidad entre uno más el tanto por uno correspondiente.
Para aplicar sobre una misma cantidad dos o más porcentajes encadenados, se pasan a
tantos por 1 y se aplican sucesivamente.
3. Interés simple y compuesto (Página 132)
Un capital se coloca a interés simple cuando los intereses que genera son separados del
capital y no sirven para generar nuevos intereses. El capital que genera intereses
permanece invariante a lo largo del tiempo.
Para el cálculo se utiliza la siguiente fórmula, llamada la fórmula del carrete
Cf= Ci + Ci · r · t
Donde
Cf es el capital final
r (rédito) es el interés expresado en tanto por uno
Ci es el capital inicial
t es el tiempo .
Un capital se coloca a interés compuesto cuando los intereses que genera no son
separados del capital y sirven para generar nuevos intereses. El capital que genera
intereses va aumentando a lo largo del tiempo.
Para el cálculo se utiliza la siguiente fórmula,
Cf= Ci ·(1+ r) t
4. Proporcionalidad inversa (Página 134)
Def.: magnitudes inversamente proporcionales. Dos magnitudes son inversamente
proporcionales cuando el producto entre ambas es siempre el mismo número. Ese
número se llama Constante de proporcionalidad. Es decir, cuando una magnitud sube la
otra baja y cuando baja, la otra sube.
a '·b'  a ' '·b' '  a ' ' '·b' ' '  K
Repartos proporcionales inversos
Repartir una cantidad de forma inversamente proporcional a unos números prefijados es
dividirla en cantidades que sean inversamente proporcionales a los números dados.
Para repartir la cantidad Q de forma inversamente proporcional a a, b y c se resuelve la
x x
x
ecuación: x x x
calculada la x, se procede al reparto que es
a

b

c
Q
,
y
a b
c
5. Proporcionalidad compuesta (Página 136)
La proporcionalidad compuesta es la relación que existe entre tres o más magnitudes
relacionadas entre ellas de forma directamente o inversamente proporcional si se toman
dos a dos.
Tema 6 – Proporcionalidad.
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Académicas
3º de ESO
Apuntes de Área
Uno de los métodos para resolver problemas de proporcionalidad inversa consiste en
calcular el valor que corresponde a la unidad de una de las magnitudes, para calcular
después el valor que corresponde a cualquier otra cantidad.
Regla de tres compuesta. Se analiza el tipo de proporcionalidad que existe entre cada
pareja de variables que aparecen en la regla de tres. Se determina si su producto es
constante multiplicando en cruz (P. directa) o en línea (P. inversa). Se multiplica las dos
líneas siguiendo el esquema trazado y se igualan.
6. Porcentajes y geometría (Página 138)
Def. Semejanza entre dos figuras es la relación que existe entre ellas si tienen la misma
forma.
Def. homólogos son los puntos, ángulos o lados correspondientes entre dos figuras
semejantes.
Def. Razón de semejanza es el cociente entre las longitudes de los lados homólogos de
figuras semejantes
Dos polígonos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados
correspondientes proporcionales. También son semejantes si después de triangularlos
desde el vértice homólogo, los triángulos resultantes son semejantes.
En figuras semejantes, la relación entre sus áreas es el cuadrado de su razón de
semejanza.
En figuras semejantes, la relación entre sus volúmenes es el cubo de su razón de
semejanza.
Teorema de Tales. Si en un triángulo trazamos una recta paralela a uno de los lados que
corte a los otros dos, los triángulos que se obtienen son proporcionales.
Se dice que los triángulos están en posición de Tales
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados
proporcionales.
Criterios de semejanza de triángulos:
a) los tres lados proporcionales.
b) dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.
c) los tres ángulos iguales
Def. Escala es la razón de semejanza que se utiliza para la representación en planos,
dibujos o maquetas de imágenes de la vida real.
Para calcular la escala de un dibujo se divide la medida de un lado en el dibujo entre la de
su homólogo en la realidad. Se expresa mediante una fracción que suele tener o el
numerador 1 (para escalas de reducción) o el denominador 1 (para escalas de
ampliación). No tienen unidades
Tema 6 – Proporcionalidad.