Download Óptica geométrica - Roberto Pedro Duarte Zamorano

Magnetismo y
Óptica
Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano
E-mail: [email protected]
Webpage: http://rpduarte.fisica.uson.mx
© 2016 Departamento de Física Universidad de Sonora
Temario
A. Magnetismo
1.
2.
3.
Campo magnético. [Ene11-Ene29] (7.5 horas)
Leyes del Magnetismo [Feb01-Feb19] (7.5 horas)
Propiedades magnéticas de la materia. [Feb22-Feb26]
(3horas)
B. Óptica
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Naturaleza y propagación de la luz. [Feb29-Mar04] (3horas)
Leyes de la reflexión y refracción. [Mar07-Mar15] (4.5horas)
Óptica geométrica. [Mar26-Abr15] (9horas)
Difracción. [Abr18-Abr22] (3horas)
Polarización óptica. [Abr25-Abr29] (3horas)
Propiedades ópticas de la materia. [May02-May06] (3horas)
Magnetismo y óptica
Parte II: Óptica (Tiempo aproximado: 27 horas)
3. Óptica geométrica. [Mar16-Abr15] (9 horas).
a.
b.
c.
d.
e.
Reflexión en superficies planas y esféricas.
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes delgadas.
Imágenes formadas por lentes esféricas: Convergentes y divergentes.
Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el
microscopio, etc.
Reflexión en superficies planas y esféricas.
Óptica geométrica
Formación de imágenes mediante el empleo de rayos
Reflexión en superficies planas y esféricas.
Óptica geométrica y óptica física
 La Óptica Física toma en cuenta el carácter ondulatorio de la luz y
es necesaria para explicar fenómenos como son la interferencia y
la difracción de la luz, entre otros.
 La Óptica Geométrica, por otro lado, no toma en cuenta la
naturaleza ondulatoria de la luz y la representa o considera como
un haz de rayos, siendo muy útil en el trazo de diagramas para la
formación de imágenes en los instrumentos ópticos
Esta aproximación usada por la óptica geométrica es válida
siempre que la longitud de onda de la luz es mucho menor que las
dimensiones de los obstáculos o discontinuidades a través de los
cuales se propaga, lo cual se cumple para los instrumentos ópticos
más comunes.
Introducción.
Óptica Geométrica.
Formación de imágenes mediante el empleo de rayos.

Principios de la Óptica Geométrica
Trayectorias rectilíneas en medios homogéneos e isótropos.

Se cumple la ley de la reflexión

Se cumple la ley de la refracción

Rayo incidente, refractado y reflejado están en un mismo plano.

Las trayectorias de la luz son reversibles.
Para observar las cosas, los
rayos de luz se reflejan en los
objetos y son detectados por
los ojos, cámaras, etc.
Reflexión en superficies planas y esféricas.
Elementos básicos
Espejo. Cuando la superficie límite de un medio es totalmente reflejante
constituye un espejo.
n
n
Medio
opaco
Solamente se
presenta el fenómeno
de reflexión.
Medio
opaco
Espejo plano
Espejo esférico
Dioptrio. Formado por dos medios de distinto índice de refracción con una
superficie de separación perfectamente definida. Las lentes son un ejemplo
de dioptrio.
n
n’
n’
n
Se presenta el
fenómeno de reflexión
y refracción
Dioptrio esférico
Dioptrio plano
Reflexión en superficies planas y esféricas.
Formación de imágenes por reflexión
Reflexión en superficies planas y esféricas.
Espejos planos
Un espejo plano es una superficie plana muy pulida que puede
reflejar la luz con una capacidad reflectora de la intensidad de la luz
incidente de alrededor del 95%.
Los espejos planos se utilizan con
mucha frecuencia. Son los que usamos
cada mañana para mirarnos.
En ellos vemos nuestro reflejo, una
imagen que no está distorsionada.
Reflexión en superficies planas y esféricas.
Espejos planos
¿Cómo se hacen?
Los espejos comunes y corrientes son placas de vidrio plateadas. Para
construir un espejo se limpia muy bien un vidrio y sobre él se deposita plata
metálica por reducción del ion plata contenido en una disolución amoniacal
de nitrato de plata. Después se cubre esta capa de plata con una capa de
pintura protectora.
¿Qué tipo de imágenes forman?
Una imagen en un espejo se ve como si el objeto estuviera detrás y no
frente a éste ni en la superficie. La imagen obtenida en un espejo plano no
se puede proyectar sobre una pantalla, colocando una pantalla donde parece
estar la imagen no recogería nada.
Es, por lo tanto virtual, una copia del objeto "que parece estar" detrás del
espejo. El espejo sí puede reflejar la luz de un objeto y recogerse sobre una
pantalla, pero esto no es lo que queremos decir cuando decimos que la
imagen virtual no se recoge sobre una pantalla.
Reflexión en superficies planas y esféricas.
Características de la imagen formada en un espejo plano
• Simétrica, porque aparentemente está a la misma distancia del
espejo
• Virtual, porque se ve como si estuviera dentro del espejo, no se
puede formar sobre una pantalla pero puede ser vista cuando la
enfocamos con los ojos.
• Del mismo tamaño
que el objeto, es decir,
la magnificación en
un espejo plano es 1.
• Derecha, porque se
mantiene la misma
orientación que el
objeto.
Reflexión en superficies planas y esféricas.
Reflexión de rayos de luz un espejo plano
Reflexión en superficies planas y esféricas.
Formación de imágenes en un espejo plano
La formación de imágenes en los espejos son una consecuencia de la
reflexión de los rayos luminosos en la superficie del espejo.
La óptica geométrica explica este familiar fenómeno suponiendo que los
rayos luminosos cambian de dirección al llegar al espejo siguiendo las leyes
de la reflexión.
Suponiendo un punto P, que emite o
refleja la luz, y que está situado frente a un
espejo. En el contexto de la óptica
geométrica, se dice que de este punto
emergen rayos que se reflejan en el espejo
(cumplen las leyes de la reflexión) y
divergen. El punto simétrico respecto al
espejo es el punto imagen P'.
El ojo capta los rayos, y con la ayuda de la córnea y del cristalino
(lentes), los hace converger en la retina. Al cerebro, al interpretarlos, parece
que le llegan todos los rayos desde un punto P' situado detrás del espejo.
Reflexión en superficies planas y esféricas.
Formación de imágenes en un espejo plano
Reflexión en superficies planas y esféricas.
Trazo de rayos en un espejo plano
Para construir la trayectoria de los rayos procedemos de la
siguiente manera:
• Para cada punto del objeto hallamos su
simétrico (imagen) respecto al espejo: del
punto P obtenemos el punto P'.
• Trazamos rayos desde P hasta el espejo. Los
rayos reflejados se obtienen prolongando
la recta de unión de P' con el punto de
impacto del rayo que va de P al espejo.
• El rayo incidente y el rayo reflejado
forman el mismo ángulo con la normal
Los rayos siguen, desde el objeto hasta el ojo el camino más corto,
por lo que emplean un tiempo mínimo (Principio de Fermat). De la
misma manera construimos imágenes de los demás puntos de un
objeto material.
Reflexión en superficies planas y esféricas.
Relación entre puntos conjugados
s  s
n
O’
S
O
s
s’
O’
S
O
s
La imagen ofrecida por un espejo plano es virtual.
s’
Reflexión en superficies planas y esféricas.
Formación de una imagen completa
Reflexión en superficies planas y esféricas.
Ejemplo.
Dos espejos plano forman un ángulo de 90o. ¿Cuantas imágenes existen para
un objeto colocado ente los espejos?
SOLUCIÓN:
espejo
ojo
objeto
2
espejo
1
3
Reflexión en superficies planas y esféricas.
Ejemplo.
Imágenes en espejos planos angulares
Se conoce como espejos angulares a aquellos espejos planos que se
encuentran formando cierto ángulo entre ellos. Si se ponen dos
espejos planos juntos, formando un ángulo entre sí, y entre ambos se
coloca un objeto, este se va a reflejar varias veces, dependiendo de lo
que mida el ángulo formado por los espejos. Mientras más pequeño
sea el ángulo, más veces se va a reflejar el objeto.
El número de reflexiones del objeto se puede determinar
mediante la siguiente fórmula:
360°
𝑛+1=
𝜃
donde 𝑛 es el número de veces que se refleja el objeto; y 𝜃 es el
ángulo formado por los espejos.
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Espejos curvos
Según la forma de la superficie pulimentada de los espejos curvos,
estos pueden ser esféricos, parabólicos, etc.
Espejos cóncavo curvo
Espejo convexo curvo
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Espejo Esférico
Los espejos esféricos tienen forma de casquete, como una parte de
una esfera hueca pueden ser cóncavos o convexos.
El espejo es cóncavo si la superficie reflejante es la interior del
casquete y es convexo si la superficie reflejante es la exterior al
casquete.
Espejos cóncavo
Espejo convexo
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Espejo Esférico
En un espejo esférico podemos definir las siguientes partes:
Centro de curvatura del
espejo. Es el centro de la
esfera a la que pertenece el
casquete espejo. En la figura
es el punto C.
Centro de figura del espejo. Es
el polo o centro geométrico
del casquete. El punto A de la
figura
Eje principal. Es la recta que pasa por el centro de curvatura del
espejo y por el centro de figura. Queda definido por la recta CA
mostrada en la figura.
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Espejo Esférico
En un espejo esférico podemos definir las siguientes partes:
Eje secundario. Es cualquier
recta que pasa por el centro
de curvatura. Existen infinitos
ejes secundarios. En la figura
se ve el marcado por la recta
CB.
Foco principal del espejo. Es
un punto del eje principal en
el que se cortan, una vez
reflejados, los rayos que llegan al espejo paralelos al eje principal. En
la figura es el punto F.
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Espejo Esférico
Para espejos esféricos de
radio de curvatura pequeño
(es decir, muy cerrados), el
foco principal se encuentra a
la mitad de la distancia entre
el centro de curvatura y el
centro de figura, es decir,
𝑓 = 𝑅/2.
El espejo cóncavo es un dispositivo óptico que puede formar
imágenes sobre una pantalla debido a la reflexión de la luz que
procede de la superficie de un objeto.
En cambio, el espejo convexo solamente forma imágenes
virtuales, es decir, que no pueden recogerse en una pantalla.
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Trayectorias de rayos en espejos curvos cóncavos
Los rayos rojo, azul y verde reflejados
en un espejo curvo, note el color
blanco en el foco
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Imagen formada en un espejo convexo
En los espejos convexos el foco es virtual (está situado a la derecha
del centro del espejo, distancia focal negativa). Los rayos reflejados
divergen y sólo sus prolongaciones se cortan en un punto sobre el eje
principal.
Los espejos ofrecen frente a las lentes una serie de ventajas que
permiten usarlos en determinados instrumentos ópticos: no muestran
aberración cromática y solo es preciso pulir una superficie curva
(mientras que en las lentes deben pulirse dos).
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Imagen formada en un espejo convexo
Los rayos reflejados no convergen en
ningún punto, rebotan en el espejo y
divergen, y por lo tanto no pueden
formar una imagen sobre una pantalla.
La imagen es virtual ya que está
detrás del espejo
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Formación de imágenes en un espejo cóncavo esférico
Para abordar la formación de imágenes en los espejos esféricos es
necesario ver primero las reglas del trazo de rayos reflejándose en espejos
cóncavos.
Las de imágenes formadas en estos espejos pueden ser reales o virtuales,
invertidas o derechas, dependiendo de la ubicación del objeto frente al
espejo.
Imagen invertida
Imagen derecha
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Reglas para el trazado de rayos en los espejos esféricos
Desde cualquier punto de un objeto iluminado salen
infinitos rayos en todas las direcciones.
No solo salen de la punta del dedo, sino también de todos
los puntos del cuerpo, en todas las direcciones del espacio.
Salen radialmente, no solamente en un plano, como si el
objeto fuera el centro de una esfera que emite luz.
Para saber dónde se forma la imagen de los rayos que recoge el espejo y
construir con ellos el esquema, escogemos solamente algunos rayos situados
en un plano.
Seleccionamos solamente algunos
de la infinidad de rayos que salen
del objeto (varilla amarilla).
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Reglas para el trazado de rayos en los espejos esféricos
Recordando que la trayectoria de los rayos al incidir en el espejo
cumple las leyes de la reflexión, escogemos tres rayos:
• uno que sale paralelo al eje principal,
• otro que va hacia el foco y
• otro que va hacia el centro de curvatura
Todo rayo paralelo al eje
principal se refleja pasando por el
foco.
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Reglas para el trazado de rayos en los espejos esféricos
Todo rayo que pasa por el centro de
curvatura C, se refleja en la misma
dirección, pero en sentido
contrario.
¡Su dirección coincide con la
normal en el punto de impacto!
Todo rayo que pasa por el
foco se refleja paralelo al eje
principal.
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Reglas para el trazado de rayos en los espejos esféricos
El rayo que incide en el espejo
forma con la normal en ese
punto un ángulo igual al que
forma el que se refleja.
La normal de cada punto del
espejo coincide con el radio de
curvatura
Siguiendo las reglas anteriores desde el punto P solo se pueden trazar
tres rayos:
• Rayo que pasa por C (que se refleja
sobre si mismo).
• Rayo que pasa por F (va paralelo al
eje principal y se refleja pasando
por F); y
• Rayo que pasa por F (que sale
paralelo al eje principal).
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Convenio de signos
Como origen de coordenadas
se toma el vértice V del espejo,
cuyo centro de curvatura es el
punto C.
Todos los puntos situados
frente al espejo tienen abscisa
positiva, y los situados detrás del
espejo tienen abscisa negativa.
Todos los puntos situados por encima del eje principal poseen ordenada
positiva, y los situados por debajo tienen ordenada negativa.
El radio de curvatura 𝑅 será positivo si el centro se encuentra frente al
espejo (lo que ocurre con los espejos cóncavos) y será negativo si está detrás
del espejo (lo que ocurre con los espejos convexos).
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Convenio de signos
Considerando que
• 𝑝 es la distancia del objeto al
vértice;
• 𝑞 es la distancia de la imagen al
vértice; y
• 𝑅 es el radio de curvatura (igual
al doble de la distancia focal 𝑓).
Podemos resumir la
convención de signos en la
figura anexa
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Magnificación
Se define la magnificación 𝑀 de un espejo como
la relación entre los tamaños de la imagen (ℎ′) y del
objeto (ℎ), es decir
ℎ′
𝑞
𝑀= =−
ℎ
𝑝
Una magnificación mayor que 1 significa una amplificación,
mientras que si 𝑀 es menor que 1 tenemos una reducción en el
tamaño.
El signo de 𝑀 también es importante, si 𝑀 es positiva entonces la
imagen está derecha, mientras que una 𝑀 negativa significa que la
imagen está invertida.
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Ley de los espejos
Si nos ayudamos de los
ángulos 𝛼 de la figura, es
posible deducir la llamada
ecuación de los espejos, que
nos da una relación entre 𝑝,
𝑞 y 𝑅 (o 𝑓), a saber
1 1 2
+ =
𝑝 𝑞 𝑅
o
1 1 1
+ =
𝑝 𝑞 𝑓
Al emplear la ecuación anterior es sumamente importante tomar
en cuenta la convención de signos establecida previamente para las
cantidades involucradas (𝑝, 𝑞 y 𝑓).
Imágenes formadas por espejos esféricos.
Trazo de rayos para la formación de imágenes
Un objeto iluminado o que
emite luz (como la punta de
una vela) se considera un
Objeto en óptica geométrica.
Colocando
un
objeto
delante de un espejo cóncavo
este formará una Imagen real
de ese objeto
Debido a que la imagen se puede formar sobre una pantalla, se le
denomina imagen real.
Sugerencia: Ver video en https://www.youtube.com/watch?v=xiIuPZq1QUs
Imágenes
Ejemplos
formadas
por
espejos
esféricos.
Objeto colocado entre el centro de un espejo y el infinito
Para un objeto colocado entre
el centro de un espejo y el
infinito, la imagen es real
invertida, localizada entre el
foco y el centro
Imágenes
Ejemplos
formadas
por
espejos
esféricos.
Objeto colocado en el centro de un espejo y entre el centro y el foco
Para un objeto colocado en el
centro de un espejo, la imagen
es real invertida, localizada en
el centro
Para un objeto colocado entre
el centro de un espejo y el foco,
la imagen es real invertida,
localizada entre el centro y el
infinito.
Imágenes
Ejemplos
formadas
por
espejos
esféricos.
Objeto colocado entre el foco y el espejo
Para un objeto colocado
entre el foco y el espejo, la
imagen es virtual y derecha,
localizada atrás del espejo
Imágenes
Ejemplos
formadas
por
espejos
esféricos.
Un objeto se coloca a 50.0cm de un espejo esférico cóncavo con una
longitud focal de 20.0cm. (a) Encuentre la ubicación de la imagen;
(b) ¿cuál es la magnificación del espejo?; (c) ¿La imagen es real o
virtual?, ¿está derecha o invertida? Resuélvalo mediante un diagrama
de rayos y verifique su resultado mediante la ecuación de los espejos.
𝑝 = 50.0𝑐𝑚
𝑓 = +20.0𝑐𝑚
(a) 𝑞 =?
(b) 𝑀 =?
(c) Descripción
Imágenes
Ejemplos
formadas
por
espejos
esféricos.
Un espejo esférico convexo tiene un radio de curvatura de 40.0cm.
Usando un diagrama de rayos, determine la posición y características
de la imagen (real o virtual, derecha o invertida, amplificada o
disminuida) para un objeto colocado (a) a 30.0cm; y (b) a 60.0cm de
distancia al vértice del espejo. En ambos casos, verifique sus
resultados usando la ecuación de los espejos.
𝑝 = 30.0𝑐𝑚
𝑓 = −20.0𝑐𝑚
(a) 𝑞 =?
(b) 𝑀 =?
(c) Descripción
Imágenes
Ejercicio.
formadas
por
espejos
esféricos.
Un objeto de 2.50cm de altura se coloca a 30.0cm de un espejo
esférico convexo cuya distancia focal es de 10.0cm. (a) Usando un
diagrama de rayos, determine la posición y características de la
imagen (real o virtual, derecha o invertida), así como el tamaño de la
imagen.
𝑝 = 30.0𝑐𝑚
𝑓 = −10.0𝑐𝑚
(a) 𝑞 =?
(b) 𝑀 =?
(c) Descripción
Imágenes
Ejercicio.
formadas
por
espejos
esféricos.
Un objeto de 2.50cm de altura se coloca a 30.0cm de un espejo
esférico convexo cuya distancia focal es de 10.0cm. (a) Usando un
diagrama de rayos, determine la posición y características de la
imagen (real o virtual, derecha o invertida), así como el tamaño de la
imagen; y (b) Repita el problema, pero ahora considere que el espejo
es cóncavo. En ambos casos, verifique sus resultados usando la
ecuación de los espejos.
𝑝 = 30.0𝑐𝑚
𝑓 = +10.0𝑐𝑚
(a) 𝑞 =?
(b) 𝑀 =?
(c) Descripción
Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes
delgadas.
Refracción en una superficie esférica
Una vez estudiada la formación de imágenes mediante la reflexión en
superficies planas y curvas, pasemos a analizar cómo se forma la imagen
cuando la luz es refractada al pasar de un medio a otro.
Para ello consideremos una frontera esférica de radio 𝑅, entre dos
medios con índices de refracción 𝑛1 y 𝑛2 , tal como se muestra en la figura.
El objeto se coloca en el medio de
menor índice de refracción, a una distancia
𝑝 de la superficie, y la imagen se forma a
una distancia 𝑞 de la superficie.
Las distancias 𝑝 y 𝑞 se relacionan por la
siguiente ecuación
𝑛1 𝑛2 𝑛2 − 𝑛1
+
=
𝑝
𝑞
𝑅
Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes
delgadas.
Refracción en una superficie esférica
La ecuación
𝑛1 𝑛2 𝑛2 − 𝑛1
+
=
𝑝
𝑞
𝑅
es la llamada Ecuación fundamental de la refracción en una superficie
esférica.
Esta ecuación permite conocer la
posición de la imagen si previamente
conocemos la posición del objeto y las
características de la superficie esférica.
Solamente es válida para los rayos
paraxiales (aquellos rayos que se separan
poco del eje principal) y que convergen en
el punto 𝐼.
Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes
delgadas.
Convenio de signos
Convención de signos para la ecuación
𝑛1 𝑛2 𝑛2 − 𝑛1
+
=
𝑝
𝑞
𝑅
Es importante recordar que el objeto se sitúa en el medio de menor índice
de refracción (𝑛1 ) de tal forma que 𝑛2 es mayor a 𝑛1 .
• 𝑝 es positivo si el objeto está frente a la
superficie (objeto real), y negativo si está
detrás de la superficie (objeto virtual)
• 𝑞 es positivo si la imagen está detrás de la
superficie (imagen real), y negativo si está
frente a la superficie (imagen virtual).
• 𝑅 es positivo si el centro de curvatura está
detrás (superficie convexa), y negativo si
está enfrente (superficie cóncava).
Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes
delgadas.
Ejemplo. Refracción en una superficie esférica
Una moneda está incrustada en una bola de plástico (𝑛1 = 1.50) tal
como se muestra en la figura. Si la moneda se encuentra a 2.0cm desde el
borde de la esfera, ¿a que profundidad se ubica la imagen de la moneda?
SOLUCIÓN.
Usando
𝑛1
𝑝
+
𝑛2
𝑞
=
𝑛2 −𝑛1
𝑅
tenemos
𝑛2 𝑛2 − 𝑛1 𝑛1
=
−
𝑞
𝑅
𝑝
es decir
1.00 1.00 − 1.50
1.50
=
−
𝑞
−3.0𝑐𝑚
2.0𝑐𝑚
de donde
𝑞 = −1.7143𝑐𝑚
La imagen es virtual, es decir está del lado del objeto.
Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes
delgadas.
Ejemplo. Refracción en una superficie plana
Cuando la superficie refractante es plana se tiene que R es infinito y
entonces la ecuación
𝑛1 𝑛2 𝑛2 − 𝑛1
+
=
𝑝
𝑞
𝑅
Se reduce a
𝑛1
𝑛2
=−
𝑝
𝑞
de donde
𝑛2
𝑞=− 𝑝
𝑛1
El signo menos significa que, acorde a la
convención de signos, la imagen es virtual
y se ubica del mismo lado que el objeto, tal
como se muestra en la figura.
Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes
delgadas.
Ejemplo. Profundidad aparente
¿Cuál es la profundidad aparente de un pez en una pecera cuando se le mira
directamente desde arriba? Considere que 𝑑 = 10.0𝑐𝑚.
SOLUCIÓN:
Partiendo de la relación
𝑛2
𝑞=− 𝑝
𝑛1
podemos escribir
1.00
𝑞=−
10𝑐𝑚
1.33
de donde 𝑞 = −7.5188𝑐𝑚.
La profundidad aparente del pez es de 7.52cm
¡¡ El signo “-” significa que la imagen y el objeto están del mismo lado !!
Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes
delgadas.
Pero… ¿qué son las lentes delgadas?
Una lente es un sistema óptico centrado y formado por dos superficies,
(por lo menos una suele ser esférica) y los medios externos que limitan la
lente y tienen el mismo índice de refracción.
Su utilidad es la formación de imágenes usando la propiedad de la
refracción de la luz.
Las lentes se emplean
para muy diversos fines.
Podemos encontrarlas en
las gafas (o anteojos), en las
lupas, en los prismáticos, en
los microscopios, en los
objetivos de las cámaras
fotográficas, en proyectores
de diapositivas, etc.
Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes
delgadas.
Pero… ¿qué son las lentes delgadas?
Se considera una lente delgada cuando las dimensiones y espesor 𝑡 de
una lente, son pequeñas comparadas con los radios de curvatura 𝑅1 y 𝑅2 .
Así que considerando lo anterior, para
el caso de una lente delgada podemos
encontrar una relación entre las distancias
objeto 𝑝 e imagen 𝑞 con los radios 𝑅1 y 𝑅2 .
Con lo que tenemos
Para lograrlo, y tomando en cuenta la
convención de signos para la formación de
imágenes en superficies refractantes,
vamos a considerar que la lente tiene un
índice de refracción 𝑛 y que está rodeada
de aire (𝑛 = 1).
1 1
1
1
+ = (𝑛 − 1)
−
𝑝 𝑞
𝑅1 𝑅2
Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes
delgadas.
Pero… ¿qué son las lentes delgadas?
La distancia focal corresponde a la distancia imagen 𝑞 cuando el objeto
frente a la lente se ubica en infinito (𝑝 = ∞), por lo que usando esto en la
ecuación anterior, obtenemos que
1
= 𝑛−1
𝑓
1
1
−
𝑅1 𝑅2
Esta ecuación se conoce como la
Ecuación del fabricante de lentes, porque
da una relación entre los radios que
permiten obtener la distancia focal
requerida en una lente.
En esta ecuación se considera que 𝑛 es
el
el índice de refracción del material
con el que se fabricará la lente,
considerando que estará rodeado de aire. En caso de que tenga que ser
sumergida en algún material, entonces 𝑛 será la razón del índice del
material de la lente entre el índice del material que rodeará a la lente.
Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes
delgadas.
Pero… ¿qué son las lentes delgadas?
Igualando la ecuación que nos relaciona las distancias objeto (𝑝) e
imagen (𝑞) con las dimensiones de la lente
1 1
1
1
+ = (𝑛 − 1)
−
𝑝 𝑞
𝑅1 𝑅2
con la ecuación del fabricante de lentes
1
= 𝑛−1
𝑓
1
1
−
𝑅1 𝑅2
encontramos la ecuación de las lentes y
que será la que usaremos para la formación
de imágenes
1 1 1
+ =
𝑝 𝑞 𝑓
Ecuación de las lentes delgadas
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Tipos de lentes
Hay, básicamente, dos tipos de lentes delgadas: las convergentes y las
divergentes, o combinaciones de ambas.
Los rayos paralelos que llegan a
una lente convergente se refractan
y se cruzan en el foco posterior; de
allí el nombre, ya que los rayos
convergen.
Mientras que en una lente
divergente los rayos al refractarse
aparentan salir del foco ubicado
antes de la lente; de allí el nombre,
los rayos divergen o se separan.
Lente convergente
Lente divergente
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Tipos de lentes: Lente convergente
Una lente convergente enfoca los rayos paralelos en un punto (posterior
a la lente) llamado Punto Focal o Foco de la lente.
Punto
Focal F
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Tipos de lentes: Lente convergente
Las lentes del tipo convergente son más gruesas en la parte central que
en los extremos y, según el valor de los radios de las caras, pueden ser:
biconvexas, menisco convergentes, plano convexas, etc.
Biconvexa
Menisco convergente
Plano convexa
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Tipos de lentes: Lente divergente
Una lente divergente hace que los rayos paralelos diverjan y aparenten
emerger desde el punto focal 𝐹 (anterior a la lente).
Punto
focal F
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Tipos de lentes: Lente divergente
Las lentes del tipo convergente son más delgadas en la parte central que
en los extremos y, según el valor de los radios de las caras, pueden ser:
bicóncavas, menisco divergentes, plano cóncavas, etc.
Bicóncava
Menisco divergente
Plano cóncava
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Elementos de las lentes
Como se mencionó anteriormente, una lente está compuesta por dos
superficies esféricas, cada una con su centro de curvatura, así que la línea
que une ambos centros de curvatura se llama eje principal.
Eje principal para una
lente convergente
C
Centro óptico
de la lente
El centro geométrico de la lente es el centro óptico 𝐶 y se tomará como
el origen de coordenadas para medir las distancias objeto e imagen, 𝑝 y 𝑞.
Todas las rectas que pasan por el centro óptico son ejes secundarios.
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
Elementos de las lentes
Se llama foco principal imagen al punto 𝐹’
en que convergen los rayos paralelos que
cruzan una lente convergente, y el cual se
ubica posterior al centro óptico de la lente.
Mientras que para el caso de una lente
divergente el foco principal imagen es el
punto 𝐹 del cual aparentan emerger los rayos
paralelos que atraviesan a la lente, y el cual se
ubica antes del centro óptico.
En ambos casos, el foco principal imagen
se ubica sobre el eje principal de la lente.
esféricas:
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Elementos de las lentes
La distancia focal 𝑓 es la distancia entre el foco principal y el centro
óptico.
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Convención de signos
Para la formación de imágenes en lentes (convergentes o divergentes) se
toma como centro de coordenadas al centro geométrico de la lente, y a
través de él se traza el eje principal, el cual pasa por los centros de curvatura
de la lente.
Todos los puntos situados frente a la
lente tienen abscisa positiva, y los
situados detrás tienen abscisa negativa.
Todos los puntos situados por
encima del eje principal tienen
ordenada positiva, y los situados debajo
tienen ordenada negativa.
La distancia focal 𝑓 será positiva para las lentes convergentes y será
negativa para las lentes divergentes.
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Convención de signos
Considerando que
• 𝑝 es la distancia del objeto al centro
óptico de la lente;
• 𝑞 es la distancia de la imagen al
centro óptico de la lente; y
• 𝑓 es la distancia focal de la lente.
Podemos resumir la
convención de signos en la
figura anexa
Lado anterior
o virtual
Lado posterior
o real
𝑝 positiva
𝑞 negativa
𝑝 negativa
𝑞 positiva
Luz incidente
Luz refractada
Lente convergente o divergente
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Magnificación
De manera análoga a como se
hizo para los espejos, se define la
magnificación 𝑀 de una lente
como la relación entre los tamaños
de la imagen (ℎ′) y del objeto (ℎ),
es decir
ℎ′
𝑞
𝑀= =−
ℎ
𝑝
Una magnificación mayor que 1 significa una amplificación,
mientras que si 𝑀 es menor que 1 tenemos una reducción en el
tamaño. De nuevo, el signo de 𝑀 también es importante, si 𝑀 es
positiva entonces la imagen está derecha, mientras que una 𝑀
negativa significa que la imagen está invertida.
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Potencia de una lente
La potencia 𝑃 de una lente es la
inversa de su distancia focal, es decir
1
𝑃=
𝑓
La unidad de la potencia 𝑃 es 𝑚−1 y
se llama dioptría.
Una dioptría es la potencia de una lente que tiene una distancia
focal imagen de 1𝑚.
El signo de la potencia es el mismo que el de la distancia focal
imagen por lo que, siguiendo las convención de signos, la potencia de
una lente convergente es positiva, mientras que para una lente
divergente es negativa.
f  0.20 m  P  5.0 dioptrías
f  0.40 m  P  2.5 dioptrías
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Reglas de construcción de imágenes en las lentes
Las trayectorias de los infinitos rayos que salen de un objeto están
definidas por estas reglas:
Regla 1. Todo rayo que viaja
paralelo al eje principal antes
de entrar en la lente, pasa, al
salir de ella, por el foco
imagen, 𝐹′ .
Regla 2. Todo rayo que pasa
por el foco objeto, 𝐹, llega a la
lente y se refracta en ella,
emergiendo paralelo al eje
principal.
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Reglas de construcción de imágenes en las lentes
Las trayectorias de los infinitos rayos que salen de un objeto están
definidas por estas reglas:
Regla 3. Todo rayo que pasa
por el centro óptico (que es el
centro geométrico de la lente)
no sufre desviación.
Para localizar el punto imagen
de un objeto frente a una lente,
se debe construir al menos la
trayectoria de dos de los rayos
mencionados anteriormente.
En el punto de cruce se forma el
punto imagen
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Formación de la imagen según la posición del objeto
Las imágenes de objetos
extendidos
se
encuentra
mediante el trazo de rayos que
emergen desde la parte alta y
baja del objeto.
Existen diferentes situaciones que veremos
a continuación
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Formación de la imagen según la posición del objeto
Si el objeto está situado entre 2𝐹 y el infinito, la imagen estará entre 𝐹′ y
2𝐹′ y será invertida, real y más pequeña.
Llamemos 𝑝 a la distancia del objeto a la lente
y 𝑞 a la de la imagen a la lente.
objeto
imagen
2F
2F
𝑝
Si 𝑝 > 2𝐹, entonces 𝐹´ < 𝑞 < 2𝐹´
𝑞
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Formación de la imagen según la posición del objeto
Si el objeto está situado en 2𝐹, la imagen estará en 2𝐹′, y será de igual
tamaño, invertida y real.
Llamemos 𝑝 a la distancia del objeto a la lente
y 𝑞 a la de la imagen a la lente.
objeto
imagen
2𝐹
2𝐹
𝑝
Si 𝑝 = 2𝐹, entonces 𝑞 = 2𝐹´
𝑞
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Formación de la imagen según la posición del objeto
Si el objeto está situado entre 2𝐹 y 𝐹, la imagen estará situada más allá
de 2𝐹′ y será de mayor tamaño, invertida y real.
Llamemos 𝑝 a la distancia del objeto a la lente
y 𝑞 a la de la imagen a la lente.
objeto
imagen
2F
2F
𝑝
Si 2𝐹 > 𝑝 > 𝐹, entonces 𝑞 > 2𝐹´
𝑞
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Formación de la imagen según la posición del objeto
Si el objeto está situado en 𝐹 la imagen no se forma ya que las líneas no
se cruzan (las líneas paralelas no se cruzan, excepto en el infinito).
Llamemos 𝑝 a la distancia del objeto a la lente
y 𝑞 a la de la imagen a la lente.
objeto
F
F
𝑝
Si 𝑝 = 𝐹, entonces 𝑞 es infinito
𝑞
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Formación de la imagen según la posición del objeto
Si el objeto está situado entre 𝐹 y la lente, la imagen estará entre 𝐹 y el
infinito y será virtual (la forman las prolongaciones de los rayos), de mayor
tamaño y derecha.
Llamemos 𝑝 a la distancia del objeto a la lente
y 𝑞 a la de la imagen a la lente.
F
Imagen
F
𝑞
objeto
𝑝
Si 𝑝 < 𝐹, entonces 𝑞 > 𝐹 y del mismo lado que 𝑝
Imágenes formadas por lentes
Convergentes y divergentes. Ejemplos
esféricas:
Una lente convergente tiene una distancia focal de 20.0 cm. Localice
la imagen para una distancia objeto de a) 40.0 cm, b) 20.0 cm y c)
10.0 cm. En cada caso diga si la imagen es real o virtual y si está hacia
arriba o invertida. Determine también las amplificaciones.
Resuélvalo mediante un diagrama de rayos y verifique su resultado
mediante la ecuación de las lentes.
𝑓 = +20.0𝑐𝑚.
𝑝 = 40.0𝑐𝑚, 20.0𝑐𝑚, 10.0𝑐𝑚.
(a) 𝑞 =?
(b) 𝑀 =?
(c) Descripción
Imágenes formadas por lentes
Convergentes y divergentes. Ejemplos
esféricas:
Un objeto se encuentra a 50.0 cm a la izquierda de una lente
divergente de 30.0 cm de distancia focal. Determine a) la localización
y b) la amplificación de la imagen. c) Describa si la imagen es real o
virtual y si está hacia arriba o invertida. Para ello, elabore un
diagrama de rayos para esta disposición y verifique su resultado
mediante la ecuación de las lentes.
𝑓 = −30.0𝑐𝑚.
𝑝 = 50.0𝑐𝑚.
(a) 𝑞 =?
(b) 𝑀 =?
(c) Descripción
Imágenes formadas por lentes
Convergentes y divergentes. Ejemplos
esféricas:
Frente a una lente divergente, cuya distancia focal es de 20.0 cm, se
coloca un objeto a 12.0 cm de la misma. Mediante un diagrama de
rayos, determine a) la localización y b) la amplificación de la imagen.
c) Describa si la imagen es real o virtual y si está hacia arriba o
invertida. Verifique su resultado mediante la ecuación de las lentes.
𝑓 = −20.0𝑐𝑚.
𝑝 = 12.0𝑐𝑚.
(a) 𝑞 =?
(b) 𝑀 =?
(c) Descripción
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Combinación de lentes
Antes de finalizar con la formación de imágenes mediante lentes,
veamos el caso en que se tiene una combinación de dos o más lentes.
En este caso, se procede de la siguiente
manera:
1. Considerando la primera lente, se hace
el trazo de rayos a partir del objeto para
ubicar la imagen producida por esta
lente.
2. La imagen producida por la primera
Arreglo de dos lentes convergentes
lente pasa a ser el objeto de la segunda
lente.
3. Considerando lo anterior, se hace el trazo de rayos para la segunda lente,
la posición de la imagen producida por esta segunda lente corresponde a
la imagen producida por ambas lentes.
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Combinación de lentes
Si este misma situación la queremos resolver analíticamente,
procedemos de igual manera, solo que ahora será importante considerar la
convención
convención de signos para la distancia
objeto 𝑝 y para la distancia imagen 𝑞,
sobretodo para la segunda lente.
Arreglo de dos lentes convergentes
En particular, cuando se considere a la
segunda lente, si la imagen de la primera
lente (objeto para la segunda lente) se
forma más allá de esta segunda lente, la
distancia objeto debe tomarse como
negativa.
También es importante considerar que las distancias objeto 𝑝 e imagen 𝑞
se miden respecto al centro de la lente correspondiente, por lo que se
deberá considerar esto al momento de darle valores numéricos a dichas
cantidades.
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Combinación de lentes
Un caso particular de combinación de lentes se tiene cuando estas se
ubican una junto a la otra.
En este caso, cuando las lentes no
están separadas, se encuentra que la
distancia focal combinada está dada
por
1 1 1
= +
𝑓 𝑓1 𝑓2
mientras que la magnificación está dada por
𝑀 = 𝑀1 𝑀2
Pudiendo aplicarse la ecuación de las lentes modificada para esta
situación:
1 1 1 1 1
+ = + =
𝑝 𝑞 𝑓1 𝑓2 𝑓
Imágenes formadas por
Convergentes y divergentes.
lentes
esféricas:
Aberración de lentes
La aberración en una lente se presenta cuando no se tiene bien definido
el foco, pudiendo ser aberración esférica o aberración cromática.
 Aberración esférica.
Rayos de los extremos se refractan mas
que los del centro.
 Aberración cromática
El punto focal depende del índice de
refracción 𝑛
𝑛 depende de 𝜆
𝑛𝑣𝑖𝑜𝑙𝑒𝑡𝑎 > 𝑛𝑟𝑜𝑗𝑜 .
Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara
fotográfica, el microscopio, etc.
Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara
fotográfica, el microscopio, etc.
Introducción. Instrumentos ópticos
El sistema o instrumento óptico más importante es el ojo por su
importancia para la vida cotidiana.
El resto de los instrumentos ópticos se pueden clasificar en instrumentos
subjetivos también llamados oculares o de visión directa y en instrumentos
objetivos o de proyección.
 Los instrumentos subjetivos forman imágenes virtuales que son
observadas directamente por el ojo. Dentro de estos se encuentran:
 La lupa.
 El microscopio.
 Anteojo o telescopio.
 Los instrumentos objetivos forman imágenes reales las cuales se recogen
sobre una pantalla. Dentro de estos se encuentran:
 La cámara fotográfica.
 El sistema de proyección.
Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara
fotográfica, el microscopio, etc.
El ojo humano
El ojo humano es un sistema óptico positivo o convergente que
forma una imagen invertida del mundo externo sobre la capa sensible
de la retina, situada al fondo del globo ocular.
La estructura del ojo humano
Músculos
ciliares
Esclerótica
Córnea
Humor
acuoso
Retina
Cristalino
Pupila
Iris
Humor
vítreo
Nervio
óptico
Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara
fotográfica, el microscopio, etc.
El ojo humano
En el ojo los principios de formación de la imagen son los mismos que
los de un sistema óptico convencional.
La luz entra en el ojo a través de la córnea, para ser enfocada en la retina
después de la refracción en la córnea, el elemento refractivo de mayor
potencia, y la lente del cristalino.
Índices de refracción en el ojo humano
•
•
•
•
Córnea (𝑛 = 1.376)
Humor acuoso (𝑛 = 1.336)
Humor vítreo (𝑛 = 1.336)
Cristalino (𝑛 no uniforme y
variable con la edad)
• Centro (𝑛 = 1.406)
• Borde (𝑛 = 1.386)
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Retina
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Funcionamiento del ojo humano. La visión
Visión sin
acomodación
Músculo relajado
Visión con
acomodación
Músculo contraído
Conceptos de punto lejano y punto cercano
Puntos cercanos
10 años
7 cm
25 años
12 cm
45 años
28 cm
50 años
40 cm
60 años
100 cm
70 años
400 cm
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Sensibilidad de ojo humano
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Colores complementarios y suma de colores
La absorción y la percepción de las bandas espectrales son
diametralmente opuestas en el circulo del color.
Colores complementarios
Suma de colores
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Defectos de la visión. Miopía
El ojo tiene una excesiva convergencia y cuando se encuentra relajado
las imágenes de objetos alejados caen delante de la retina.
El punto lejano y el punto cercano se encuentran más próximos que en
el ojo normal.
Los síntomas de la miopía se corrigen
al colocar una lente divergente o
negativa frente al ojo.
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Defectos de la visión. Hipermetropía
El ojo tiene menos convergencia que el ojo normal y cuando se
encuentra relajado las imágenes de objetos alejados caen detrás de la retina.
El punto lejano se encontrará en el infinito como en el ojo normal, pero
el punto cercano se encuentran más alejado que en el ojo normal.
Los síntomas de la hipermetropía se
corrigen al colocar una lente
convergente o positiva frente al ojo.
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fotográfica, el microscopio, etc.
Defectos de la visión
Presbicia. Al perder flexibilidad el cristalino con la edad se produce un
alejamiento del punto cercano.
Se corrige mediante una lente convergente.
Astimagtismo. Se origina cuando la córnea no es perfectamente esférica y
se encuentra más curvada en un plano que en el otro.
Se corrige con lentes cilíndricas.
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La lupa
La lupa es una lente convergente o positiva.
La función de la lupa es proporcionar una imagen de un objeto cercano
que sea mayor que la que ve el objeto por si mismo.
Objeto
Imagen
retiniana
𝑝
Punto cercano
Lente convergente
Imagen
virtual
Imagen
retiniana
Objeto
𝑝
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La cámara fotográfica
La cámara fotográfica es un dispositivo empleado para producir
imágenes reales sobre una película fotosensible (en las cámaras
tradicionales) o sobre un dispositivo fotosensible (en las cámaras digitales),
para lo cual emplea una lente convergente o positiva.
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El microscopio
El microscopio es un dispositivo óptico compuesto de dos lentes
convergentes:
• el objetivo (𝑜) cuya función es producir una imagen real y aumentada del
objeto, con una distancia focal 𝑓𝑜 < 1𝑐𝑚.
• el ocular (𝑒) que funciona como una lupa, con una distancia focal del
orden de los centímetros 𝑓𝑒 ~𝑐𝑚.
Ambas lentes se colocan en los extremos de un tubo, tal como se muestra
en la figura, donde la longitud 𝐿 es tal que 𝐿 ≫ 𝑓𝑜 𝑦 𝑓𝑒 .
Objetivo
Ocular
El poder amplificador del
microscopio está dado por el
producto de las amplificaciones
de las lentes, es decir
𝑀 = 𝑀𝑜 𝑀𝑒
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El telescopio refractor
El telescopio refractor es un dispositivo óptico compuesto de dos lentes
convergentes:
• el objetivo (𝑜) cuya función es producir una imagen real y menor del
objeto, con una distancia focal 𝑓𝑜 .
• el ocular (𝑒) que funciona como una lupa y con una distancia focal 𝑓𝑒 .
Objetivo
El poder amplificador del microscopio está dado por
𝑓𝑜
𝑀=−
𝑓𝑒
Ocular
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El telescopio reflector
El telescopio reflector es un dispositivo
óptico compuesto de, al menos, un espejo;
de allí su nombre.
Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara
fotográfica, el microscopio, etc.
Proyector de diapositivas
Retroproyector
Magnetismo y
Óptica
Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano
E-mail: [email protected]
Webpage: http://rpduarte.fisica.uson.mx
© 2016 Departamento de Física Universidad de Sonora
𝐶
𝐹
𝐹
𝐶
𝐹′
𝐶
𝐹
𝐹
𝐶
𝐹′