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Módulo III: Geometría
Elmentos del
triángulo
• Altura
• Bisectriz
• Simetral o mediatriz
• Transversal de
gravedad
Teorema de
Pitágoras
Ángulos en la
circunferencia
• Ángulo del centro
• Ángulo inscrito
• Ángulo interior
• Ángulo exterior
ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO
a) Altura: Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice del triángulo al lado opuesto o a su prolongación. En un triángulo se
pueden trazar tres alturas, las cuales se intersectan en un punto llamado ortocentro.
El ortocentro puede estar ubicado:
-
En el interior del triángulo en el caso de los triángulos acutángulos
En el exterior en el caso de los triángulos obtusángulos.
Coincidir con el vértice que une los catetos de un triángulo rectángulo.
b) Bisectriz: Es el lugar geométrico de todos los puntos que divide a un ángulo en dos ángulos de igual medida. El punto de intersección
de las bisectrices se llama incentro y es el centro de la circunferencia inscrita.
c) Simetral: Es la recta que intersecta de manera perpendicular en el punto medio de los lados de un triángulo. Las tres simetrales se
intersectan en un punto llamado circuncentro y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
d) Transversal de gravedad: Son los segmentos de rectas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto de un triángulo. Las
transversales de gravedad se intersectan en un punto llamado Baricentro o Centro de Gravedad. El baricentro divide a cada
transversal de gravedad, de modo que el segmento unido al vértice mide el doble que el segmento unido al lado.
TEOREMA DE PITAGORAS
En todo triángulo rectángulo la sume de los cuadrados de las medidas de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa.
Recuerde:
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
a) Ángulo del centro: Son los ángulos formados por semirectas que contienen radios de una circunferencia y cuyo vértice es el centro de la
circunferencia.
Propiedad: todo ángulo del centro tiene la misma medida que el arco de circunferencia que subtiende.
̂
𝑚∡𝐴𝑂𝐵 = 𝑚𝐴𝐵
b) Ángulos inscritos: Son aquellos cuyos vértices son un punto de la circunferencia y los lados son cuerdas de ella.
Propiedad: La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del ángulo del centro siempre que a ambos se oponga el mismo arco.
Por lo tanto es equivalente a la mitad del arco que subtiende.
𝑚∡𝐴𝑂𝐵 =
̂
𝑚𝐴𝐵
2
c) Ángulos semiinscritos: Son aquellos ángulos cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados corresponden a una cuerda y
una tangente.
Propiedad: La medida de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad de la medida del ángulo del centro, si ambos subtienden el mismo arco.
𝑚∡𝐴𝐵𝐶 =
̂
𝑚𝐴𝐵
2
d) Ángulo interior en una circunferencia: Son aquellos ángulos cuyo vértice está en el interior de la circunferencia y cuyos lados son
segmentos de cuerda de esta circunferencia.
Propiedad: La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos correspondientes.
𝑚∡𝛼 =
̂ + 𝑚𝐶𝐷
̂
𝑚𝐴𝐵
2
e) Ángulo exterior en una circunferencia: Es aquel cuyo vértice está en el exterior de la circunferencia y cuyos lados son segmentos de
rectas secantes a la circunferencia.
Propiedad: La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos correspondientes.
𝑚∡𝛼 =
̂ − 𝑚𝐶𝐷
̂
𝑚𝐴𝐵
2
CUESTIONARIO
1) M es el punto medio de la arista del cubo que se muestra en la figura. Si la medida de la arista es 2, el área del Δ ABM es:
Respuesta: d
2)
¿Qué elemento secundario del triángulo se muestra en la figura?
A) Transversal de gravedad
B) Bisectriz
C) Simetral
D) Altura
E) Mediana
Respuesta: C
3) ¿Cuál de los siguientes tríos de ángulos pueden ser las medidas de los ángulos interiores de un triángulo?
A) 27º, 35º y 119º
B) 65º, 85º y 30º
C) 28º, 59º y 92º
D) 75º, 75º y 40º
E) Ninguna de las anteriores
Respuesta: b
4) HI bisectriz del ≮FHG; ≮FHI=?
A) 45
B) 20
C) 25
D) 10
E) Ninguna de las anteriores
Respuesta: d
5) En el △ABC, CD es altura, ≮CBA=48º, entonces el valor del ≮BCD es:
A) 138°
B) 90
C) 48°
D) 42°
E) Ninguna de las anteriores.
Respuesta: d
̅̅̅̅ es bisectriz del ∡𝐴𝐶𝐵; 𝐴𝐸
̅̅̅̅ ⊥ 𝐵𝐶
̅̅̅̅ y CD=DB. Si ∡𝐶𝐴𝐸 = 10°, ∢𝑥 =?
6) 𝐶𝐷
A) 30°
B) 40°
C) 45°
D) 50°
E) 60°
Respuesta: d
7) En la figura, PA y PB son secantes al ángulo APB = 30 y el ángulo AOB = 70, los ángulos  y  miden respectivamente:
a) 35 y 35
b) 15 y 55
c) 50 y 20
d) 30 y 40
e) Falta información
Respuesta: a
A
D
P

O
C

B
8) En la figura, DO // CA, AB es diámetro y O es el centro. El ángulo DOC = , determine el ángulo BOD.
a) 180 - 2
b) 90 - 
c) 2
d) 
e)

2
B
O
D
C
A
Respuesta: d
9) En la figura siguiente, se tiene un semicírculo de centro O y <BAC = 20. El valor del < x es:
a) 20°
b) 35°
c) 40°
d) 55°
e) 70º
Respuesta: b
10) En la circunferencia de centro O, OC  AB. Si   = 50°, entonces   = ?
a) 170°
b) 165°
c) 160°
d) 130°
e) 120°
Respuesta:c
C

A
O

B