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ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
1.
DEFINICIÓN
Dos triángulos se llaman semejantes cuando tienen sus ángulos
respectivamente congruentes y los lados homólogos proporcionales.
Los lados homólogos son los opuestos a ángulos congruentes y la razón de
semejanza es la relación entre dos lados homólogos.
Dos triángulos semejantes ABC y A1 B1 C1 satisfacen condiciones siguientes:
B1
B
C1
A1
C
A
∠A ≅ ∠A1,
∠B ≅ ∠B1,
∠C ≅ ∠C1
AB
BC
CA
=
=
A1B1 B1C1 C1A1
y los designaremos ΔABC − ΔA1B1C1 y en esta forma están incluidas las cinco
condiciones expresadas.
Teorema 1 (AA)
Primer criterio.- Si dos triángulos tienen dos ángulos ordenadamente
congruentes, entonces son semejantes.
B1
B
A1
A
C1
C
∠A ≅ ∠A1, ∠C ≅ ∠C1
⇒
ΔABC ~ ΔA1B1C1
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GEOMETRÍA
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ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
Demostración:
Se traza MN // AC de manera tal que BM = A1B1.
B
B1
N
M
A1
A
C1
C
En el ΔMBN y ΔA1B1C1
∠BMN ≅ ∠BAC y ∠BAC ≅ ∠B1A1C1
⇒
∠BMN ≅ ∠B1A1C1
⇒
⇒
ΔMNB ≅ ΔB1A1C1 (Postulado de ALA )
ΔABC ~ ΔMBN (Por ser MN // AC )
ΔABC ~ ΔA1B1C 1
Corolario
Dos ángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo congruente
∠ACB ≅ ∠DFE
A
D
B
C
⇒
E
F
ΔABC ~ ΔDEF
Teorema 2 (LAL)
Segundo criterio.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados
proporcionales y congruentes el ángulo comprendido entre ellas.
B
B1
θ
θ
A1
A
CEPRE-UNI
C
AB
BC
=
A1B1 B1C1
C1
∠B ≅ ∠B1
⇒ ΔABC ~ ΔA1B1C1
GEOMETRÍA
-2-
ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
Corolario.- Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales
sus catetos respectivamente.
A
D
B
C
AB BC
=
DE EF
E
⇒
F
ΔABC ~ ΔDEF
Teorema 3 (LLL)
Tercer criterio.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen proporcionales sus
tres lados.
B
B1
C1
A1
A
C
AB
BC
AC
=
=
A1B1 B1C1 A1C1
⇒
ΔABC ~ ΔA1B1C1
Teorema 4
Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen proporcionales las bases y otro
lado.
B
B1
C1
A1
A
C
ΔABC ∧ ΔA1B1C1 son isósceles
( AB ≅ BC,
A1B1 ≅ B1C1 )
AB
AC
=
A1B1 A1C1
ΔABC ~ ΔA1B1C1
Si
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GEOMETRÍA
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ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
Teorema 5
Todos los triángulos cuyos lados sean ordenadamente proporcionales a tres
números dados son semejantes entre sí.
B
B1
n
nk
A1
A
t
C1
C
tk
⇒
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m
mk
k ∈ \+
ΔABC ~ ΔA1B1C1
GEOMETRÍA
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ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
Relaciones Metricas en los Triángulos
PROYECCIÓN ORTOGONAL
La proyección ortogonal de un punto sobre una recta, es el pie de la
perpendicular (P’) trazada por dicho punto a la recta. Esta perpendicular se denomina
proyectante y la recta eje de proyección.
Punto exterior a la recta
P
P´
La proyección ortogonal de un segmento AB sobre una recta o eje de
proyección es la parte del eje de proyección comprendida entre las proyecciones de los
extremos de dicho segmento.
Si el segmento es perpendicular a la recta, su proyección es un punto.
L
B
F
C
A
D
M
E’
A’
B’
C’
F’
D’
M’
E
Relaciones Metricas en el Triángulo Rectángulo
B
β
c
α
a
h
α
A
β
m
H
n
C
b
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GEOMETRÍA
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ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
Teorema 1
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de
las longitudes de la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
(La longitud de cada cateto es media proporcional entre la longitud de la hipotenusa y la
proyección del cateto sobre ella).
Demostrar: c 2 = bm
m c
c 2 = bm
Δ AHB ∼ Δ ABC
entonces
=
c b
Δ BHC ∼ Δ ABC
n a
=
a b
Además
c2 m
=
a2 n
entonces
a 2 = bn
Teorema 2
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es
igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa.
(La longitud de la altura es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa).
Demostrar: h 2 = mn
Δ ABH ∼ Δ BHC
h n
=
m h
entonces
h 2 = mn
Teorema 3
En todo triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de sus catetos es igual al producto
de las longitudes de la hipotenusa la altura relativa a dicha hipotenusa.
Demostrar: ac = bh
Por Teorema 1:
Δ AHB ∼ Δ ABC
h c
= entonces
a b
ac = bh
Corolario (Teorema de Pitágoras)
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de las longitudes de sus catetos.
Demostrar: a 2 + c 2 = b 2
Por Teorema 1:
c 2 = bm
a = bn
2
entonces
a 2 + c 2 = bn + bm
a 2 + c2 = b2
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GEOMETRÍA
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ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
Corolario
En todo triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la longitud de la altura relativa a la
hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de las longitudes de sus
catetos.
Por Teorema 2 y 4:
a 2 + c2 = b2
a c =b h
2 2
2 2
entonces
1
1
1
+ 2 = 2
2
a
c
h
Relaciones Métricas en los Triángulos Oblicuángulos
TEOREMA DE LAS PROYECCIONES
Primer Caso (Lado Opuesto a un ángulo agudo)
En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado que es opone a un ángulo agudo, es
igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble
producto de las longitudes de uno de ellos y la proyección del otro sobre aquel.
B
c
A
a
α
m
H
Demostrar:
(b-m)
C
b
a 2 = b 2 + c 2 − 2bm
Δ AHB: h2 = c2 – m2 ............. (1)
Δ BHC: h² = a² – (b – m)² ...... (2)
(1)
Luego:
= (2): c² – m² = a² – b² + 2bm – m²
a 2 = b 2 + c 2 − 2bm
Segundo Caso (Lado opuesto a un ángulo obtuso)
En todo triángulo el cuadrado de la longitud del lado que se opone al ángulo obtuso es igual a
la suma de los cuadrados del las longitudes del los otros dos lados más el doble producto de
las longitudes de uno de ellos y la proyección del otro sobre aquel.
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GEOMETRÍA
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ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
B
a
c
α
H
m
b
A
C
a 2 = b 2 + c 2 + 2 bm
Demostrar:
Δ AHB: h2 = c2 – m2 .......... (1)
Δ BHC: h2 = a² – (b + m)² ...... (2)
(1) = (2): c² – m² = a² – b² – 2bm – m²
a 2 = b 2 + c 2 + 2 bm
Luego:
Ley de Cosenos
En todo triángulo el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de
las longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de las longitudes de dichos
lados por el coseno de la medida del ángulo determinado por ellos.
Se sabe: a 2 = b 2 + c 2 − 2 bm
B
c
a
h
θ
A
2
2
m
C
H
b
2
Se sabe: a = b + c – 2bm
Si: cos θ =
m
→ m = c cos θ
c
Entonces:
a 2 = b 2 + c 2 − 2b c cos θ
Teorema de Stewart (Teorema de la Ceviana)
En todo triángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados adyacentes a una
ceviana interior multiplicados con las longitudes de los segmentos opuestos a dichos lados
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GEOMETRÍA
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ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
determinados por la ceviana en el lado al cual es relativa es igual al producto del cuadrado de
la longitud de dicha ceviana con la longitud del lado al cual es relativa más el producto de las
longitudes dicho lado con los segmentos determinados por la ceviana en este.
B
c
a
x
θ
p
A
H
m
D
C
n
b
Demostrar
Δ
c 2 n + a 2 m = x 2 b + bmn
Δ ABD:
c2 = x2 + m2 – 2 pm ...(1)
Δ Obtusángulo: Δ BDC:
a2 = x2 + n2 + 2 pn ....(2)
Acutángulo:
(1)
x n: c2n = x2n + m2n – 2 pmn
(2)
x m: a2m = x2m + n2m + 2 pmn
Sumando las dos ecuaciones: a2m + c2n = x2(m+n) + mn(m+n)
c 2 n + a 2 m = x 2 b + bmn
Luego :
Teorema de la Mediana
En todo triángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de dos lados es igual al doble
del cuadrado de la longitud de la mediana relativa al tercer lado más la mitad del cuadrado de
la longitud de dicho tercer lado.
B
c
a
x
A
b
2
M
b
2
C
b
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GEOMETRÍA
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ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
Demostrar:
b2
2
2
2
c + a = 2x +
2
Se sabe por teorema de Stewart.
a
⎛ b ⎞⎛ b ⎞
2⎛ b ⎞
2⎛ b ⎞
2
⎜ ⎟ + c ⎜ ⎟ = x b + b ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝2⎠
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
2
⎛b⎞ 2 2 ⎛b⎞ 2 b
⎜ ⎟ ( a + c ) = ⎜ ⎟ (2x + )
2
⎝2⎠
⎝2⎠
b2
2x2 +
2
c2 + a 2 =
Luego:
Teorema de la longitud de la Bisectriz Interior
En todo triángulo el cuadrado de la longitud de una bisectriz interior es igual a la diferencia de
productos de las longitudes de los lados adyacentes y los segmentos determinados por dicha
bisectriz en el lado al cual es relativo.
B
β
β
c
a
x
C
A
m
Demostrar:
D
n
x 2 = ac − mn
Se sabe por teorema de Stewart:
a2m + c2n = x2b + bmn
a(am) + c(cn) = x2b + bmn …(1)
Prop. Bisect. Interiores
(2) en (1)
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cn = am ………. (2)
a(cn) + c (am) = b (x2 + mn)
GEOMETRÍA
- 10 -
ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
a (m + n) = b (x2 + mn)
ac (b) = b (x2 + mn)
Luego:
x 2 = ac − mn
Teorema de la longitud de la Bisectriz Exterior
En todo triángulo el cuadrado de la longitud de una bisectriz exterior (cuyos lados adyacentes
a la bisectriz sean diferentes en longitud) es igual a la diferencia de productos de las
longitudes de los segmentos determinados por la bisectriz en el lado al cual es relativa y los
lados adyacentes a dicha bisectriz.
B
ω
ω
c
x
a
A
C
n
E
m
Demostrar
x 2 = mn − ac
Se sabe por teorema de Stewart
c2n + x2 (m-n) = a2m + mn (m-n) ... (1)
Prop. Bisec. exteriores. cn = am ……………..... (2)
(2) en (1) (x2 - mn)(m – n) = a2m – c2n
(x2 - mn)(m – n) = a(cn) – c(am)
(x2 - mn)(m – n) = -ac (m– n)
Luego:
x 2 = mn − ac
Teorema de Herón
En todo triángulo, la longitud de una altura es igual al doble de la inversa de la longitud del
lado al cual es relativa multiplicado con la raíz cuadrada del producto del semiperímetro de la
región limitada por dicho triángulo con la diferencia de dicho semiperímetro y la longitud de
cada uno de sus lados.
CEPRE-UNI
GEOMETRÍA
- 11 -
ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
B
c
m
A
h=
Demostrar:
a
h
H
2
b
C
b
p ( p − a )( p − b )( p − c )
Donde:
P = semiperímetro de la región triangular ABC
p=
a+b+c
2
Δ AHB: h² = c² – m² ........... (1)
Teorema de la proyección en el Δ ABC:
Reemplazando (2) en (1)
a2 = b2 + c2 – 2mb
b2 + c2 − a 2
m=
..........(2)
2b
b2 + c2 − a 2
h² = c² − (
)²
2b
4b2 h2 = (2bc)2 – (b2 + c2 – a2) 2
4b2 h2 = (2bc + b2 + c2 – a2) (2bc – b2 – c2 + a2)
4b2 h2 = [(b + c)2 – a2] [a2 – (b – c)2]
4b2 h2 = (b + c + a) (b + c – a) (a + b – c) (a – b + c)
4b2 h2 = (2p) (2p – 2a) (2p – 2c) (2p – 2b)
Luego:
h=
2
b
p ( p − a )( p − b )( p − c )
Teorema de Euler
CEPRE-UNI
GEOMETRÍA
- 12 -
ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
En todo cuadrilátero se cumple que la suma de los cuadrados de los cuatro lados es igual a la
suma de los cuadrados de las diagonales más el cuádruplo del cuadrado del segmento que
une los puntos medios de las diagonales.
B
a
A
b
Q
x
d
P
D
c
Demostrar:
C
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = BD 2 + AC 2 + 4x 2
Aplicando el teorema de la mediana en:
ΔABC :
AC2
a + b = 2BP +
.... (1)
2
2
2
2
ΔADC :
AC2
c + d = 2DP +
.... (2)
2
ΔBPD :
BP 2 + DP 2 = 2x 2 +
2
2
2
BD 2
.... (3)
2
Sumando las ecuaciones (1) y (2)
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 2(BP 2 + DP 2 ) + AC2
⎛ 2 BD 2 ⎞
⎟⎟ + AC2
a + b + c + d = 2⎜⎜ 2x +
2 ⎠
⎝
2
Luego:
2
2
2
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = BD 2 + AC 2 + 4x 2
Ejercicios para clase:
CEPRE-UNI
GEOMETRÍA
- 13 -
ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
Teorema de Booth
En todo triángulo se cumple que la suma de los cuadrados de las tres medianas es igual a tres
cuartos de la suma de los cuadrados de los tres lados.
B
c R
P
A
a
C
Q
b
AP2 + BQ2 + CR 2 =
3 2
(a + b 2 + c2 )
4
Teorema
En todo rectángulo se cumple que la suma de los cuadrados de las distancias de un punto
cualquiera, hacia dos vértices opuestos, son iguales.
Si “P” es un punto cualquiera que puede encontrarse en el interior, exterior o en el mismo
rectángulo, entonces:
B
C
b
c
P
a
d
A
D
a2 + c2 = b2 + d 2
CEPRE-UNI
GEOMETRÍA
- 14 -
ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
Teorema de las Cuerdas
Si por un punto del interior de una circunferencia pasa una cuerda, entonces el producto de
las longitudes de los dos segmentos determinados es una constante.
Si P es un punto del interior de la circunferencia se cumplirá:
A
β
α
P
C
β
D
α
B
Δ APD ∼ Δ CPB:
PA × PB = PC × PD
Teorema de las Secantes
Si por un punto exterior de una circunferencia pasa una secante, entonces el producto entre
las longitudes del segmento secante y su parte externa a la circunferencia es constante.
Si P es un punto del exterior de la circunferencia se cumplirá:
B
α
A
θ
α
D
Δ PAC ∼ Δ PBD
CEPRE-UNI
P
C
θ
PA × PB = PC × PD
GEOMETRÍA
- 15 -
ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
Teorema de la Tangente
Si desde un punto del exterior de una circunferencia se trazan una tangente y una secante,
entonces el cuadrado de la longitud de la tangente es igual al producto entre las longitudes
del segmento secante y su parte externa a la circunferencia.
Si P es un punto del exterior de la circunferencia se cumplirá
A
θ
θ
C
Δ APB ∼ Δ APC
α
B
PA
2
P
= PBxPC
RAYOS ISOGONALES
Dos rayos son isógonales con respecto a los lados de un ángulo con origen en el vértice del
ángulo, cuando estando ambos en el interior o en el exterior, forman ángulos congruentes con
los lados del ángulo.
O
θ
θ
B
A
M
N
Teorema de las Isogonales
En todo triángulo se cumple que el producto de dos lados es igual al producto de sus
isogonales, donde una de ellas está limitada por el tercer lado y la otra por la circunferencia
circunscrita al triángulo.
CEPRE-UNI
GEOMETRÍA
- 16 -
ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
B
C
α
θ
θ
θ
A
α
A
N
C
B
α
M
α
θ
M
N
BA × BC = BM × BN
Δ AMB ∼ Δ BCN:
COROLARIO:
En todo triángulo se cumple que el producto de dos lados es igual al producto entre la altura
relativa al tercer lado y el diámetro de la circunferencia circunscrita.
Se verifica que la altura BN y el diámetro BM son conjugadas isogonales; luego:
B
c
θ
θ
h
A
a
O
R
α
C
N
α
M
Δ ANB ∼ Δ MCB:
CEPRE-UNI
a × c = 2 Rh
GEOMETRÍA
- 17 -
ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
Teorema de Ptolomeo:
En todo cuadrilátero inscrito a una circunferencia, el producto de las diagonales de sus
diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.
B
b
C
a
c
A
d
D
ACxBD = ac + bd
Demostrar:
B
Sea:
AC = y
,
BD = x
c
a
Trazamos BE, tal que:
a
m∠ ABE = m∠ DBC = θ
Si:
a
AE = t ⇒ EC = y – t
a
a
Δ ABE ∼ Δ BCD:
t a
= ⇒ ac = xt ...... (1)
c x
C
a
a
a
a
a
a
A
Δ EBC ∼ Δ ABD:
a
a
b y−t
=
⇒ bd = x(y − t) .... (2)
x
d
(1) + (2) : ac + bd = xt + x(y - t)
Luego:
CEPRE-UNI
c
a
D
ACxBD = ac + bd
GEOMETRÍA
- 18 -
ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
Teorema de Viette:
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, la razón de sus diagonales es igual a la
razón de las sumas de los productos de los lados que concurren en los extremos de cada
diagonal.
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
AC
BD
Demostrar:
a
d
=
a
d
ad + bc
ab + cd
(1) Trazar la cuerda AE ≅ CD
a
a
a
La medida de los arcos
∩
∩
∩
∩
∩
∩
∩
∩
m AB + m BC + m CD = m AD
a
y m EA+ m AB + m BC = m EC
a
∩
∩
Si: m AD = m EC
a
Entonces las cuerdas: AD = EC = d a
a
En el cuadrilátero ABCE
a
a
Por el teorema de Ptolomeo:
ad + bc = ( AC )( BE )
CEPRE-UNI
a
GEOMETRÍA
- 19 -
ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
(2) Trazar la cuerda DF ≅ AB
a
La medida de los arcos
∩
∩
∩
a
a
∩
m AB + m BC + m CD = m AD
∩
∩
∩
∩
y m BC + m CD + m DF = m BF
∩
a
a
∩
a
Si: m AD = m BF
Entonces las cuerdas: AD = BF = d
a
a
En el cuadrilátero BCDF
Por el teorema de Ptolomeo:
a
a
ab + cd = ( BD)(CF )
a
ad + bc = ( AC )( BE ) …….(1)
Luego:
ab + cd = ( BD)(CF ) ……..(2)
ad + bc ( AC )( BE )
=
ab + cd ( BD)(CF )
Dividiendo (1) con (2)
∩
Si:
Luego:
CEPRE-UNI
∩
m BE = m CF ,
AC
BD
entonces BE=CF
=
ad
ab
+ bc
+ cd
GEOMETRÍA
- 20 -
ADMISIÓN 2010-I
GEOMETRÍA
BIBLIOGRAFÍA
Edwin E. Moise
Elementary Geometry
Michel Helfgott
Geometría Plana
William Benton
Enciclopedía Británica The thiteen books of Euclid´s elementns
Reunión de Profesores
Cours de Geometrie
Flavio Vega Villanueva
Geometría 4° secundaría
Howard Eves
Geometría
CEPRE-UNI
GEOMETRÍA
- 21 -