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GUÍAS DE TRABAJO
Matemáticas
Material de trabajo para los estudiantes
UNIDAD 7
Preparado por: Héctor Muñoz
Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl
TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS
al
senci
Matemáticas
Unidad 7
Guía de Trabajo N°1
(TRABAJO GRUPAL)
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.
1
Cuando 2 rectas se cortan, se forman 4 ángulos.
L
La figura 1 muestra un ejemplo. Las rectas L y M al
cortarse han formado los ángulos a los que se les ha
asignado las letras griegas α, β, γ y δ.
a. Algunos de estos ángulos tienen en común el vértice
y uno de sus lados. Menciona un par de ángulos en la
figura 1 que tengan en común el vértice y uno de sus
lados.
b. Otros ángulos tienen en común solo el vértice.
Menciona un par de ángulos en la figura 1 que solo
tengan en común el vértice.
c. Lee la definición del recuadro. De acuerdo con esa
definición, ¿cuántos pares de ángulos opuestos por el
vértice se formaron en la figura 1?
2
M
γ
δ
β
α
figura 1
1
En el caso de los ángulos
formados por dos rectas que se
cortan, llamamos ángulos
opuestos por el vértice a cada
uno de los pares de ángulos que
tienen en común solo el vértice.
a. Si en la figura 1 de la actividad anterior el ángulo α mide 35º, ¿cuánto deben medir los
ángulos β y γ? Justifica tu respuesta.
b. De acuerdo con los datos que acabas de encontrar, ¿cuánto debe medir el ángulo δ?
c. ¿Qué ángulos resultaron iguales en este caso?
3
Generalicemos los resultados obtenidos en la actividad 2.
a. Observa la figura 2. Demuestra que si se suma uno
cualquiera de los ángulos agudos más uno cualquiera de
los ángulos obtusos siempre se obtiene 180º.
b. Observa las dos igualdades que muestra el recuadro.
¿Estás de acuerdo con ellas?
c. De acuerdo con las igualdades del recuadro, ¿qué se
puede concluir acerca de los ángulos β y δ?
γ
δ
α
β
figura 2
β = 180º - α
δ = 180º - α
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1
TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS
al
senci
Matemáticas
Unidad 7
4
a. En la actividad 3 de la página anterior pudimos
demostrar que los ángulos β y δ son iguales entre sí.
Empleando un razonamiento similar, demuestra que los
ángulos α y γ también son iguales entre sí.
b. Arturo afirma que lo que se ha demostrado en estas
actividades es que si dos rectas se cortan, entonces los
ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí.
¿Tiene razón? Explica tu respuesta.
γ
δ
β
α
figura 3
c. ¿El teorema enunciado por Arturo es válido si las
rectas que se cortan son perpendiculares entre sí? Explica
tu respuesta.
5
El recuadro muestra el teorema que hemos
demostrado en las actividades anteriores.
Dibuja en tu cuaderno dos rectas que se cortan e
identifica los ángulos que son iguales entre sí de
acuerdo con este teorema.
6
TEOREMA
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Cuando dos rectas se cortan, los
ángulos opuestos por el vértice son
iguales entre sí.
En el cuadrilátero de la figura se han trazado sus dos
diagonales.
a. ¿Qué ángulos deberían ser iguales entre sí de acuerdo
con el teorema relativo a ángulos opuestos por el vértice?
γ
β
δ
α
b. Si se sabe que el ángulo α mide 125º, ¿se podría
encontrar la medida de los ángulos β, γ y δ?
7
La figura muestra 3 rectas que se cortan en el mismo punto.
a. ¿Qué angulos son iguales entre sí por ser opuestos
por el vértice?
b. Menciona 3 ángulos de la figura cuya suma sea 180º.
¿Hay más de una posibilidad?
4
3
2
5
6
1
c. Encuentra la medida de cada uno de los ángulos que
se han formado sabiendo que el ángulo 1 mide 36º y
el ángulo 2 mide 28º.
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2
TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS
al
senci
Matemáticas
Unidad 7
Guía de Trabajo N°2
(TRABAJO GRUPAL)
RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL (I)
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.
1
Estudiaremos ahora un nuevo teorema relativo a igualdad
de ángulos. Esta vez se trata de los ángulos que se
forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por
una tercera recta.
figura 1
L1
L2
Se acostumbra llamar transversal a esta tercera recta.
a. La figura 1 muestra esta situación. Las rectas L1 y L2
son paralelas. Y T es una recta que corta tanto a L1 como
a L2. ¿Cuántos ángulos se han formado en total?
b. ¿Cuántos de estos ángulos son agudos? ¿Cuántos
son obtusos?
2
En el cruce de la transversal con cada una de las
paralelas se forman ángulos opuestos por el vértice
que, de acuerdo con el teorema visto en la guía anterior,
deben ser iguales entre sí.
a. ¿Qué igualdades de ángulos puedes establecer en
la figura 2 basándote en el teorema relativo a ángulos
opuestos por el vértice?
T
figura 2
L1
8
7
5
L2
b. En la figura 2 también hay pares de ángulos que
suman 180º. ¿Podrías mencionar algunos de estos pares
de ángulos?
3
6
4
3
1
2
T
Ahora conoceremos nuevas igualdades de ángulos que se dan cuando dos paralelas son cortadas
por una transversal. Pero antes conviene introducir algunos nombres.
Llamaremos ángulos correspondientes a ángulos que están al mismo lado de la transversal y
al mismo lado de las paralelas. Por ejemplo, en la figura 2 los ángulos 3 y 7 son correspondientes
porque ambos están a la derecha de la transversal y sobre las paralelas.
a. ¿Cuál es el ángulo correspondiente al ángulo 4? Explica tu respuesta.
b. Haz una lista con los 4 pares de ángulos correspondientes que se formaron en la
figura 2.
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1
TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS
al
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Matemáticas
Unidad 7
4
Utilizaremos la figura 3 para demostrar algunas igualdades de ángulos.
Vamos a necesitar un poco de imaginación.
Supongamos que la recta L2 en la figura 3 se mueve
hacia arriba manteniéndose siempre paralela a sí
misma.
Dado que se mantiene paralela a sí misma, los ángulos
que forma con la recta T no se modifican. Llegará un
momento en que L2 va a coincidir totalmente con L1 y
entonces, el ángulo 4 coincidirá con el ángulo 8, el
ángulo 1 coincidirá con el ángulo 5, el ángulo 2
coincidirá con el ángulo 6 y el ángulo 3 coincidirá con
el
ángulo 7.
figura 3
8
L1
7
5
6
L2
4
3
1
2
T
a. Inés afirma que al trasladar la recta L2 hasta que coincide con la recta L1, cada uno de los
ángulos que se forman alrededor de la recta L2 coincide con su ángulo correspondiente. ¿Tiene
razón?
ángulo 4 = ángulo 8
ángulo 1 =
Para que los ángulos coincidan tienen que ser iguales.
ángulo 2 =
Por lo tanto, al trasladar la recta L2 hemos podido
ángulo 3 =
mostrar que los ángulos correspondientes son iguales
entre sí.
b. Completa el recuadro de la derecha con las igualdades que hemos podido establecer.
5
El recuadro muestra el teorema que acabamos de
demostrar.
Dibuja en tu cuaderno dos rectas paralelas. Dibuja una
recta que corte a las dos paralelas. Identifica los ángulos
que son iguales entre sí de acuerdo con este teorema.
6
TEOREMA
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES
ENTRE PARALELAS
Si dos rectas paralelas son cortadas
por una transversal, entonces los
ángulos correspondientes son
iguales entre sí.
En el triángulo ABC de la figura se ha trazado la recta DE
paralela al lado BC.
C
b. ¿A qué conclusión se llega en relación con los ángulos
δ y ε que se han formado?
7
γ
E
a. ¿Podemos aplicar aquí el teorema relativo a ángulos
correspondientes entre paralelas? Explica tu respuesta.
ε
A
α
β
δ
D
B
¿Qué condiciones debe cumplir una figura geométrica para que podamos aplicar en ella el
teorema relativo a ángulos correspondientes entre paralelas?
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TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS
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Matemáticas
Unidad 7
Guía de Trabajo N°3
(TRABAJO GRUPAL)
RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL (II)
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.
1
En la figura 1 vemos nuevamente la situación de dos
paralelas
cortadas
por
una
transversal.
a. Ya sabíamos que cuando dos rectas se cortan, los
ángulos opuestos por el vértice son iguales. De acuerdo
con esto, ¿qué ángulos son iguales entre sí en la figura
1
?
b. También sabemos que cuando dos paralelas son
cortadas por una transversal, los ángulos
correspondientes son iguales. De acuerdo con esto,
¿qué ángulos son iguales entre sí en la figura 1?
2
figura 1
6
7
T
2
3
1
L1
8
5
4
L2
Sin embargo no son estas todas las igualdades de ángulos que se pueden establecer en la
figura 1. Para seguir adelante conviene introducir nuevos nombres.
Llamaremos ángulos alternos a ángulos que están en lados opuestos en relación a la transversal
y en lados opuestos en relación a las paralelas.
Por ejemplo, los ángulos 3 y 5 son alternos porque uno está sobre la transversal y el otro por
debajo de ella. Y además uno está a la izquierda de una paralela y el otro está a la derecha
de la otra paralela.
a. En la figura hay 4 pares de ángulos alternos. ¿Cuáles son ellos?
b. Cuando los ángulos alternos están ubicados entre las paralelas, hablamos de ángulos alternos
internos. Indica los dos pares de ángulos alternos internos que hay en la figura 4.
c. Cuando los ángulos alternos están ubicados por fuera de las paralelas, hablamos de ángulos
alternos externos. Indica los dos pares de ángulos alternos externos que hay en la figura 4.
3
a. Observa nuevamente la figura 1. ¿Cuál es el ángulo correspondiente del ángulo 8?
b. ¿Cuál ángulo es alterno interno con relación al ángulo 4?
c. ¿Cuál ángulo es alterno externo con relación al ángulo 1?
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TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS
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Matemáticas
Unidad 7
4
La figura 2 es una reproducción de la figura 1 de la
página anterior.
figura 1
Inés razona de la siguiente forma:
6
7
ángulo 7 = ángulo 5
ángulo 4 = ángulo 5
T
Por lo tanto:
ángulo 7 = ángulo 4
L1
a. ¿Tiene razón Inés al afirmar que el ángulo 7 es igual
al ángulo 5? Justifica tu respuesta.
2
3
1
8
5
4
L2
b. ¿Tiene razón Inés al afirmar que el ángulo 4 también
es igual al ángulo 5? Justifica tu respuesta.
c. ¿Tiene razón Inés al sacar como conclusión que el ángulo 7 es igual al ángulo 4? Justifica tu
respuesta.
5
Armando ha estado observando el razonamiento de Inés. Y utilizando un razonamiento similar
al de Inés, él demostró que el ángulo 8 es igual al ángulo 2.
a. ¿Cuál crees tú que fue el razonamiento de Armando?
b. ¿Es correcta su conclusión de que el ángulo 8 es igual al ángulo 2?
c. Viendo el razonamiento de Armando, Inés afirma que lo que se ha demostrado es que los
ángulos alternos internos son iguales entre sí. ¿Tiene razón? Explica tu respuesta.
6
Analiza la situación y verifica si también se cumple que los ángulos alternos externos son iguales
entre sí.
Comenta tus conclusiones con tus compañeros y compañeras.
7
El recuadro muestra el teorema que acabamos
de demostrar.
Dibuja en tu cuaderno dos rectas paralelas.
Dibuja una recta que corte a las dos paralelas.
Identifica los ángulos que son iguales entre
sí de acuerdo con este teorema.
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TEOREMA
ÁNGULOS ALTERNOS ENTRE PARALELAS
Si dos rectas paralelas son cortadas por una
transversal, entonces los ángulos alternos
internos son iguales entre sí y los ángulos
alternos externos son iguales entre sí.
2
TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS
al
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Matemáticas
Unidad 7
Guía de Trabajo N°4
(TRABAJO GRUPAL)
APLICACIONES DE LOS TEOREMAS RELATIVOS A IGUALDAD DE ÁNGULOS
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.
1
Los recuadros reproducen los teoremas que hemos
demostrado en las guías anteriores. Con ayuda de estos
teoremas podemos determinar al valor de determinados
ángulos y también podremos demostrar nuevos teoremas.
a. La siguiente figura muestra dos pares de rectas paralelas
que se cortan. En la figura se indica la medida de uno de
los ángulos. Determina la medida de cada uno de los demás
ángulos formados.
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL
VÉRTICE
Cuando dos rectas se cortan,
los ángulos opuestos por el
vértice son iguales entre sí.
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Si dos rectas paralelas son
cortadas por una transversal,
entonces:
42º
2
· los ángulos correspondientes
son iguales entre sí,
b. ¿Cuántos grupos de ángulos iguales se formaron?
· los ángulos alternos internos
son iguales entre sí, y
c. ¿Qué valor se obtiene si se suma un ángulo de un grupo
con un ángulo del otro grupo?
· los ángulos alternos externos
son iguales entre sí.
La figura muestra dos ángulos. Los lados de uno de
ellos son paralelos a los lados del otro.
Encuentra un razonamiento que te permita afirmar que
los dos ángulos deben ser necesariamente iguales.
(Ayuda. Prolonga los lados hasta que un lado de un ángulo corte a un lado del otro ángulo.)
3
En el rectángulo ABCD de la figura se ha trazado la
diagonal AC. Como muestra la figura, la diagonal forma
un ángulo de 25º con el lado AB del rectángulo.
Determina la medida de los ángulos que la diagonal forma
con cada uno de los demás lados del rectángulo.
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D
C
25º
A
B
1
TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS
al
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Matemáticas
Unidad 7
4
El recuadro muestra la definición de paralelogramo y la figura muestra un ejemplo de
paralelogramo.
DEFINICIÓN DE PARALELOGRAMO
Un paralelogramo es una figura
plana que cumple con las siguientes
condiciones:
·es un cuadrilátero, y
a. De acuerdo con esta definición, ¿el cuadrado es un
paralelogramo? ¿Y el rectángulo? ¿Y el trapecio? ¿Y el
triángulo?
·sus dos pares de lados opuestos son
paralelos.
b. Demuestra que en todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales.
(Ayuda. Prolonga uno de los lados. Se formará un ángulo fuera del paralelogramo que puede
ser útil en la demostración.)
c. Demuestra que en todo paralelogramo los ángulos adyacentes suman 180º.
(Ayuda. También aquí puede ser útil prolongar un lado.)
d. Utiliza esta última relación para demostrar que la suma de los 4 ángulos de un paralelogramo
es 360º.
5
La figura muestra un trapecio. Los lados AB y CD son paralelos.
D
a. ¿Cuánto vale la suma
ángulo α + ángulo δ?
b. ¿Y la suma
ángulo β + ángulo γ?
C
δ
α
A
c. ¿Se cumple también aquí que la suma de los 4 ángulos del trapecio es 360º?
6
En la figura de la derecha, AD es paralelo a
BC.
γ
β
B
B
D
¿Hay ángulos que sean iguales en esta figura?
En cada caso, identifica el teorema que te
permite establecer esas igualdades.
C
A
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2
TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS
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Matemáticas
Unidad 7
Guía de Trabajo N°5
(TRABAJO INDIVIDUAL)
LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.
1
Uno de los teoremas más conocidos en geometría es el que se refiere a la suma de los ángulos
interiores de un triángulo.
Como se ha visto en años anteriores, todos los triángulos tienen una característica en común
en relación con sus ángulos: la suma de los ángulos interiores es 180º.
Con los teoremas estudiados en las guías anteriores estamos en condiciones de demostrar
este teorema en forma general.
Antes de analizar la demostración, conviene hacer una pequeña actividad práctica.
a. Recorta un triángulo de papel. Corta uno de sus
ángulos y colócalo junto a otro ángulo del triángulo
de modo que coincidan sus vértices, como muestra
la figura 1.
figura 1
b. Corta ahora el tercero de los ángulos y colócalo
junto a los otros dos ángulos, cuidando nuevamente
que sus vértices coincidan, como muestra la
figura 2.
c. ¿Suman 180º los 3 ángulos reunidos? Explica tu
respuesta.
d. Los lados libres de los ángulos que moviste forman
una línea recta. ¿Esta recta es paralela a alguno de
los lados del triángulo?
2
figura 2
C
La actividad anterior sugiere una forma de demostrar
nuestro teorema.
La figura 3 muestra un triángulo ABC. Se han
designado sus ángulos con las letras griegas α, β y γ.
Además se ha trazado la recta L que pasa por el vértice
A y es paralela al lado BC del triángulo. Se formaron
los ángulos δ y ε.
γ
β
ε
A
B
α
δ
L
figura 3
a. Propón un argumento que te permita asegurar que el ángulo δ es igual al ángulo β.
b. Propón un argumento que te permita asegurar que el ángulo ε es igual al ángulo γ.
c. Basándote en estas dos igualdades, propón un argumento que te permita asegurar que la
suma de los 3 ángulos del triángulo es necesariamente 180º.
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1
TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS
al
senci
Matemáticas
Unidad 7
3
En la figura 4 tenemos otro triángulo. Esta vez se ha trazado una recta que pasa por el vértice
B y es paralela al lado AC.
C
figura 3
a. Utilizando esta figura y siguiendo un razonamiento
γ
similar al seguido en la actividad anterior, demuestra
nuevamente que la suma de los 3 ángulos del
L
triángulo es necesariamente 180º.
b. ¿Será válido el argumento utilizado si el triángulo
es un triánglo rectángulo? ¿Y si es un triángulo
obtusángulo?
4
5
A
α
ε
β
δ
B
Si tienes acceso a un computador conectado a Internet, ingresa en el buscador las palabras
“suma”, “ángulos”, “triángulo” y encontrarás numerosas animaciones que muestran cómo
varían los ángulos en un triángulo cuando se varía la posición de sus vértices. Y podrás verificar
experimentalmente que aunque los tres ángulos varían, su suma se mantienen siempre igual
a 180º.
En el recuadro de la derecha se enuncia el teorema que
hemos demostrado.
a. Ángela dibujó un triángulo que tiene un ángulo de
55º y un ángulo de 40º. ¿Puede saber ella cuánto mide
el tercer ángulo sin hacer ninguna nueva medición?
TEOREMA
SUMA DE LOS ÁNGULOS
INTERIORES DE UN TRIÁNGULO
En todo triángulo, la suma de sus
3 ángulos interiores es 180º.
b. ¿Sería posible dibujar un triángulo que tenga un
ángulo de 25º, un ángulo de 50º y un ángulo de 70º? Explica tu respuesta.
c. De acuerdo con el teorema, ¿cuánto vale el tercer ángulo de un triángulo isósceles que tiene
dos ángulos iguales de 75º?
d. Los tres ángulos de todo triángulo equilátero son iguales entre sí. De acuerdo con esto,
¿cuánto mide cada uno de ellos?
6
a. Propón un argumento que muestre que si un triángulo tiene un ángulo obtuso, entonces
los otros dos ángulos deben ser necesariamente agudos.
b. Propón un argumento que muestre que si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces
los otros dos ángulos deben ser necesariamente agudos.
c. Propón un argumento que muestre que en todo triángulo rectángulo la suma de los dos
ángulos agudos debe ser necesariamente 90º.
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2
TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS
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Unidad 7
Guía de Trabajo N°6
(TRABAJO GRUPAL)
ÁNGULOS EXTERIORES EN TRIÁNGULOS
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.
1
Hasta ahora nos hemos referido a los ángulos interiores de triángulos. También existen
interesantes propiedades relacionadas con los ángulos exteriores.
Si en un triángulo prolongamos uno de sus lados, se
forma un ángulo que queda fuera del triángulo, como
muestra la figura 1. A este ángulo lo llamaremos un
ángulo exterior del triángulo.
ángulo
exterior
C
δ
figura 1
γ
a. ¿Cuántos ángulos exteriores se pueden formar en
cada vértice del triángulo?
b. Nicolás afirma que los ángulos exteriores que se
pueden formar en un vértice del triángulo son iguales
entre sí. ¿Tiene razón? ¿Qué argumento podrías dar
para respaldar tu respuesta?
2
A
α
β
B
a. ¿Qué relación ves tú entre el ángulo exterior δ y el ángulo interior γ adyacente a él?
b. ¿Existe una relación similar entre el ángulo α y el ángulo exterior adyacente a α? ¿Y entre
el ángulo β y el ángulo exterior adyacente a β?
3
a. ¿Podrías encontrar argumentos que permitan demostrar que el ángulo exterior δ es igual
a la suma de los ángulos interiores que no son adyacente a él, es decir, demostrar
que δ = α + β?
(Ayuda 1. Puedes basarte en el teorema relativo a la suma de los ángulos interiores de un
triángulo.
Otra posibilidad es trazar por C una paralela al lado AB. Esta paralela divide al ángulo ε en
dos partes que están muy relacionadas con los ángulos α y β.)
b. ¿Sucede algo similar con el ángulo exterior que
se forma en el vértice A? ¿Y con el ángulo exterior
que se forma en el vértice B?
c. El recuadro resume los teoremas que has
demostrado relativos a los ángulos exteriores de un
triángulo. ¿Estás de acuerdo con estos enunciados?
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TEOREMAS RELATIVOS A
ÁNGULOS EXTERIORES EN
TRIÁNGULOS
En
todo
triángulo:
· cada ángulo exterior y el ángulo
interior adyacente suman 180º.
· cada ángulo exterior es igual a
la suma de los ángulos interiores
no adyacentes a él.
1
TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS
al
senci
Matemáticas
Unidad 7
4
Claudia ha dibujado un triángulo cuyos ángulos miden 40º, 110º y 30º, como muestra la
figura 2.
C
a. Determina cuánto mide cada uno de los ángulos
exteriores de este triángulo.
figura 2
b. Suma los ángulos exteriores, considerando un
ángulo exterior por cada vértice. ¿Te parece especial
el resultado obtenido?
5
30º
40º
A
110º
B
Si en la actividad anterior no has cometido errores, entonces habrás encontrado un valor muy
especial para la suma de los ángulos exteriores del triángulo. Veremos si en otros triángulos
se obtiene el mismo valor.
Analicemos el caso del triángulo de la figura 3. Se han
prolongado sus lados de modo de formar un ángulo
exterior en cada vértice del triángulo.
El ángulo exterior adyacente al ángulo α se ha designado
con la letra α’, el ángulo exterior adyacente al ángulo
β se ha designado con la letra β’ y el ángulo exterior
adyacente al ángulo γ se ha designado con la letra γ’.
En el recuadro se ha empezado a aplicar a cada ángulo
exterior uno de los teoremas recién vistos acerca de
los ángulos exteriores de un triángulo.
a. Completa las igualdades del recuadro.
figura 3
A
C
γ’
γ
β
α
β’
B
α’
α’ = β + γ
β’ =
γ’ =
b. Completa asimismo la suma de estas igualdades
anotando la suma de sus lados derechos.
α’ + β’ + γ’ =
c. Utiliza este último resultado para mostrar que la suma de los ángulos exteriores del triángulo
debe ser necesariamente 360º.
6
Podemos llegar a la misma conclusión mediante otro argumento.
Supongamos que en el triángulo de la figura 3 hay una hormiga en el punto medio del lado AB
mirando hacia B. La hormiga camina hasta B y allí gira hacia su izquierda en un ángulo igual
a β’, de modo que queda mirando hacia C.
Ahora camina hasta C y allí gira hacia su izquierda en un ángulo igual a γ’, de modo que queda
mirando hacia A. Luego camina hasta A y allí gira hacia su izquierda en un ángulo igual a α’,
de modo que queda mirando hacia B.
a. ¿Qué ángulo describió en total la hormiga en su trayecto?
b. ¿Qué relación ves tú entre esta pequeña historia y la suma de los ángulos exteriores de un
triángulo?
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2
TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS
al
senci
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Unidad 7
Guía de Trabajo N°7
(TRABAJO INDIVIDUAL)
ÁNGULOS INTERIORES EN POLÍGONOS
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.
1
Basándonos en el teorema relativo a la suma de los ángulos interiores de un triángulo es
relativamente fácil determinar la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
Para comenzar, revisemos algunos ejemplos que ya
conocemos.
b. En la Guía de Trabajo nº 4 demostramos que los
ángulos adyacentes en todo paralelogramo suman 180º.
De acuerdo con esto, ¿cuánto debe ser la suma α + β
en la figura 1? ¿Y la suma δ + γ?
C
D
a. ¿Cuánto vale la suma de los 4 ángulos de un
cuadrado? ¿Y de los 4 ángulos de un rectángulo?
γ
δ
A
β
α
B
figura 1
c. Por lo tanto, ¿cuánto vale la suma α + β + γ + δ.en
el paralelogramo de la figura 1?
2
En la actividad anterior hemos verificado que en los cuadrados, en los rectángulos y en todo
paralelogramo la suma de los ángulos interiores es 360º. Veamos si esto es válido para cualquier
tipo de cuadrilátero?
a. En el cuadrilátero de la figura 2 se ha trazado la
diagonal AC. ¿Cuántos triángulos se han formado?
b. Isabel afirma que si se suman los ángulos interiores
del triángulo ABC más los ángulos interiores del triángulo
ACD se obtiene la suma de los ángulos interiores del
cuadrilátero ABCD. ¿Tiene razón? Comenta tu respuesta
con tus compañeros y compañeras.
c. ¿Cuánto vale la suma de los 3 ángulos del triángulo
ABC? ¿Y la suma de los 3 ángulos del triángulo ACD?
C
D
A
figura 2
B
d. De acuerdo con esto, ¿cuánto vale la suma de los 4
ángulos del cuadrilátero ABCD?
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1
TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS
al
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Matemáticas
Unidad 7
3
a. La figura 3 muestra otro tipo de cuadrilátero. ¿Crees que en este cuadrilátero se cumplirá
también que la suma de sus 4 ángulos interiores es 360º?
(Ayuda. Traza la diagonal BD)
D
b. ¿Podrías ahora enunciar un teorema general para
la suma de los ángulos interiores de todo cuadrilátero?
c. Utiliza este teorema para mostrar que si un
cuadrilátero tiene 3 ángulos rectos, entonces el cuarto
ángulo debe ser también necesariamente recto.
B
A
4
figura 3
a. La figura 4 muestra un pentágono. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice
cualquiera del pentágono?
D
C
b. Si se trazan todas las diagonales que parten desde
un mismo vértice, ¿cuántos triángulos se forman?
c. De acuerdo con esto, ¿cuánto debe medir la suma
de los 5 ángulos interiores del pentágono?
E
figura 2
A
5
C
B
En la figura se ha reproducido el pentágono de la figura 4. Esta vez, en lugar de trazar las 2
diagonales que parten de un vértice, solo se ha trazado una de ellas.
a. ¿Qué figuras se han formado?
b. ¿Cuánto debe valer la suma de los ángulos interiores
del cuadrilátero ABCE? ¿Y la suma de los ángulos
interiores del triángulo ECD?
c. De acuerdo con esto, ¿cuánto debe medir la suma
de los 5 ángulos interiores del pentágono ABCDE?
d. ¿Se obtiene así el mismo resultado que en la
actividad 4?
D
C
E
figura 4
A
B
6
Dibuja un hexágono y determina la suma de sus ángulos interiores.
7
Y terminaremos esta guía con un desafío a tu talento matemático. ¿Podrías encontrar argumentos
que muestren que la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados
es (n – 2) · 180º?
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TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS
al
senci
Matemáticas
Unidad 7
Guía de Trabajo N°8
(TRABAJO INDIVIDUAL)
POLÍGONOS REGULARES
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.
1
Entre los distintos tipos de polígonos conviene destacar los llamados polígonos regulares.
Llamamos polígonos regulares a aquellos polígonos que tienen todos sus lados iguales y
también todos sus ángulos iguales.
a. ¿El cuadrado es un polígono regular? ¿Y el rectángulo?
b. El rombo es un cuadrilátero que tiene sus 4 lados iguales. De acuerdo con esto, ¿es el
rombo un polígono regular?
c. ¿Hay algún tipo de triángulo que sea un polígono regular?
2
La figura 1 muestra un pentágono.
Realiza las mediciones que sean necesarias para
determinar si este pentágono es un polígono regular.
figura 1
3
La figura 2 muestra un hexágono regular.
a. En una guía anterior vimos cómo calcular la suma
de los ángulos interiores de cualquier polígono. Aplica
ese procedimiento y determina cuánto es la suma de
los ángulos interiores de este hexágono.
b. Utilizando ese valor, calcula ahora la medida de
cada uno de los ángulos interiores del hexágono
regular.
figura 2
c. ¿Crees tú que el valor encontrado es válido para cualquier tipo de hexágono? Explica tu
respuesta.
4
a. En la actividad anterior calculaste la medida de los ángulos interiores de un hexágono
regular. A partir de ese valor, calcula ahora la medida de los ángulos exteriores del hexágono
regular.
b. Calcula la suma de los 6 ángulos exteriores del hexágono regular.
c. Compara los ángulos interiores y exteriores del hexágono regular con los ángulos interiores
y exteriores del triángulo regular, es decir, del triánglo equilátero.
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