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Álgebra II - ii - Indice Capítulo 1 Grupo 1 Definición de operación binaria, neutro, asociativa................................... Semigrupo, monoide.................................................................................. Submonoide, elemento invertible............................................................... Grupo, grupo abeliano................................................................................ Ejemplos............................................................................... Orden del grupo.......................................................................................... Ejemplos de grupos abelianos.............................................. Propiedades de grupo................................................................................. Subgrupo..................................................................................................... Subgrupos triviales, propios........................................................ Subgrupo cíclico generado por “a”............................................................. Conjunto generador, grupo finitamente generado....................... Orden de un elemento................................................................................. Morfismos de grupos.................................................................................. Monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo............. Producto directo de grupos......................................................................... Grupo cíclico.............................................................................................. Teorema de clasificación............................................................................ Coclases...................................................................................................... Conjunto cociente....................................................................................... Conjunto de representantes......................................................................... Teorema de Lagrange................................................................................. Normalidad................................................................................................. Subgrupo normal........................................................................................ Propiedad universal del cociente................................................................ Primer teorema de isomorfimo................................................................... Segundo teorema de isomorfismo.............................................................. - iii - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 18 20 21 25 27 28 30 34 35 39 40 42 Tercer teorema de isomorfismo.................................................................. 43 Capítulo 2 Grupos simétricos Grupo simétrico, permutaciones................................................................. Teorema de Cayley..................................................................................... r-ciclo.......................................................................................................... Trasposición............................................................................................... Permutaciones disjuntas............................................................................. Permutación par, impar.............................................................................. Grupo alternado.......................................................................................... Grupo simple.............................................................................................. Elementos conjugados................................................................................ Clase de conjugación de un elemento........................................................ Grupos Libres........................................................................................... Grupo libre de base X................................................................................. Palabra reducida......................................................................................... Grupo libre................................................................................................. Generadores y relaciones........................................................................ Subgrupo normal generado por S............................................................... Grupo definido por los generadores........................................................... Representación de un grupo....................................................................... Finitamente generado................................................................................. Grupo abeliano libre................................................................................... Subgrupo de torsión.................................................................................... Grupo de torsión......................................................................................... Factores invariantes y divisores elementales..................................... 47 48 49 49 50 56 56 57 57 58 60 60 61 63 66 66 66 66 70 70 70 70 71 Capítulo 3 Acciones Acción de un grupo en un conjunto............................................................ G actúa en X...................................................................................... G-conjunto......................................................................................... Acción trivial.............................................................................................. - iv - 73 73 73 75 Acción fiel.................................................................................................. G-estable............................................................................................. G-función............................................................................................ Acción transitiva......................................................................................... Orbitas........................................................................................................ Estabilizador............................................................................................... Punto fijo............................................................................................ Acción por conjugación............................................................................ Normalizador.............................................................................................. Ecuación de las clases......................................................................... Acción por traslación............................................................................... Criterio par obtener subgrupos normales............................................ Ejemplo............................................................................................... Producto semidirecto............................................................................... Neutro, inverso.................................................................................... Subgrupos de Sylow................................................................................. p-grupo................................................................................................ p-subgrupo........................................................................................... p-subgrupo de Sylow.................................................................................. Primer teorema de Sylow........................................................................... Teorema de Cauchy.................................................................................... Segundo teorema de Sylow........................................................................ Aplicaciones............................................................................................... 76 76 76 76 78 78 80 80 82 82 83 85 85 86 87 90 91 91 91 93 95 95 98 Capítulo 4 Cuerpos Cuerpo........................................................................................................ Subcuerpo................................................................................................... Morfismo de cuerpos.................................................................................. Extensión de cuerpos.................................................................................. Extensión finita........................................................................................... Grado de la extensión................................................................................. Cuerpo compuesto...................................................................................... Cuerpo intermedio...................................................................................... Subcuerpo generado................................................................................... -v- 103 103 104 104 104 104 105 105 105 Cuerpo primo.............................................................................................. Característica de un cuerpo........................................................................ Extensión finitamente generada................................................................. Extensión simple........................................................................................ Elemento trascendente................................................................................ Elemento algebraico................................................................................... Polinomio irreducible................................................................................ Extensión algebraica................................................................................... Extensión trascendente............................................................................... Buena clase................................................................................................. Un polinomio se escinde............................................................................ Cuerpo de descomposición......................................................................... Cuerpo algebraicamente cerrado................................................................ Clausura algebraica.................................................................................... 105 106 106 107 107 108 108 108 108 115 119 119 120 122 Capítulo 5 Galois Grupos de Galois........................................................................................ 127 Ejemplos............................................................................................. 129 Extensión de Galois.................................................................................... 132 Cuerpo cerrado........................................................................................... 132 Subgrupo cerrado........................................................................................ 132 Cuerpo estable............................................................................................ 138 Cuerpo extendible....................................................................................... 139 Teorema de Galois...................................................................................... 140 Ejemplo.............................................................................................. 141 Teorema de Artin........................................................................................ 143 Polinomio separable................................................................................... 144 Elemento separable..................................................................................... 144 Extensión separable.................................................................................... 144 Extensión normal........................................................................................ 148 Ejemplo.............................................................................................. 149 - vi - Capítulo 6 Grupo de Galois de polinomios Clausura normal ......................................................................................... 152 Teorema fundamental del álgebra.............................................................. 153 Subgrupo transitivo.................................................................................... 154 Discriminante de f ..................................................................................... 155 Grupo de Klein........................................................................................... 157 Resolverte cúbica de f................................................................................. 158 Polinomio de 4to grado.............................................................................. 159 Funciones racionales simétricas sobre K ................................................. 164 Funciones simétricas elementales.............................................................. 165 Apéndice A Operaciones elementales............................................................................ Punto constructible..................................................................................... Rectas constructibles.................................................................................. Número constructible................................................................................. Coordenadas............................................................................................... Teorema de Gauss...................................................................................... Índice alfabético......................................................................................... - vii - 169 169 170 170 173 176 177 - viii - Capítulo 1 Grupos Definición 1.1 Sea G un conjunto no vacío llamamos operación binaria o ley de composición interna a una función: ⋅:G ×G → G ( a, b ) → a ⋅ b Anotamos a ⋅ b o ab Definición 1.2 Dado el conjunto G, a un elemento e ∈ G llamamos neutro para ⋅ en G si: ae = ea = a ∀a ∈ G Proposición 1.1 Si un conjunto G tiene neutro este es único. Demostración Supongamos que existe otro e% ∈ G tal que: % = a ∀a ∈ G ae% = ea entonces en particular ee% = e por ser e% neutro ee% = e% por ser e neutro luego e = e% Definición 1.3 Dado un conjunto G y en él una operación binaria decimos que es asociativa si verifica: a ( bc ) = ( ab ) c ∀a, b, c ∈ G -1- Notas de Álgebra II Capítulo 1 -2- si definimos abc := ( ab ) c = a ( bc ) generalizamos: a1a2 ...an = a1 ( a2 (...( an −1an ) ...) Definición 1.4 Sea G un conjunto no vacío y ⋅ una operación binaria definida en él que sea asociativa. Al par ( G , ⋅) le llamamos semigrupo A veces se sobreentenderá la operación definida sobre el conjunto G y anotaremos a ( G , ⋅) simplemente por G. Definición 1.5 Al semigrupo ( G , ⋅) en que la operación además de ser asociativa tiene neutro le llamamos monoide. Ejemplo 1.1 Si G = {e} , es un monoide con la única operación posible ⋅ definida tal que: e⋅e = e Ejemplo 1.2 Los movimientos del plano con la composición como operación binaria es un monoide Ejemplo 1.3 Los pares ( ¡, + ) , ( ¡, ⋅) , ( ¤, + ) son monoides. En general si A es un anillo con unidad entonces ( A, + ) , ( A, ⋅) son monoides. Más aún ( 2¥,⋅) es un semigrupo pero no es un monoide (ya que en el conjunto de los pares no tenemos neutro del producto). Definición 1.6 Dado el monoide ( G , ⋅) dos elementos en G decimos que conmutan si: ab = ba y decimos que ( G , ⋅) es un monoide conmutativo si: ab = ba ∀a, b ∈ G Ejemplo 1.4 Los naturales con la suma ( ¥, + ) es un monoide, así como. Ejemplo 1.5 Dado un conjunto X, sea P ( X ) el conjunto de partes de X, siguientes parejas son monoides; (P ( X ) , U ) , (P ( X ) , I ) . las Ejemplo 1.6 Sea S un conjunto no vacío, Fun ( S ) = { f : S → S / f función} = S S (notación: X Y es el conjunto de las funciones de Y → X , X Y = { f : Y → X }). -2- Notas de Álgebra II Grupos -3- Fun ( S ) con la composición tiene una estructura de monoide no conmutativa. f ⋅g = f og composición Ejemplo 1.7 Sea K un cuerpo, V un K-espacio vectorial End K (V ) = L (V ) = {ϕ : V → V / ϕ es lineal} con la composición también da un monoide. Ejemplo 1.8 Las matrices Mn×n ( K ) n por n definidas en el cuerpo K se tiene que: (Mn×m ( K ) , + ) es un monoide conmutativo; (Mn×n ( K ) , ⋅) es un monoide no conmutativo si n ≥ 2 Ejemplo 1.9 Consideremos M S = { f : S → M } con ( M , ⊕ ) monoide S ≠ φ y la operación suma definida punto a punto ( f + g )( s ) = f ( s ) ⊕ g ( s ) donde ⊕ es la operación definida en el monoide M. Entonces ( M S , + ) es un monoide, y será conmutativo si ( M , ⊕ ) lo es. Definición 1.7 Dado el monoide ( G , ⋅) y un subconjunto H ⊂ G entonces decimos que es un submonoide si verifica: i) eG ∈ H entendiendo por eG el neutro del monoide ( G , ⋅) ii) Si x, y ∈ H entonces x ⋅ y ∈ H es decir que la operación ⋅ es cerrada en H. Ejemplo 1.10 Sea S un espacio vectorial sobre K entonces: End K ( S ) = L ( S ) = { f : S → S lineal } ⊂ Fun ( S ) entonces ( End K ( S ) , o ) es un submomoide del ( Fun ( S ) , o ) , también lo es con la suma definidos punto a punto. Ejemplo 1.11 Sea H 2 = {λ Id / λ ∈ K } el espacio de las matrices escalares y sea H1 = matrices diagonales. Entonces: H 2 ⊂ H1 ⊂ G, es decir, H 2 es un submonoide de H1 y H1 es un submonoide de G, siempre con la operación de producto. Definición 1.8 Sea ( G , ⋅) un monoide, un elemento a ∈ G se dice que es invertible si: -3- Notas de Álgebra II Capítulo 1 -4- ∃a′ ∈ G tal que aa′ = a′a = e. Además al elemento a′ le llamamos inverso de a y anotamos a′ = a −1. Proposición 1.2 Dado un monoide ( G , ⋅) y dado a ∈ G invertible entonces el inverso es único. Demostración Supongamos que existe otro a′′ ∈ G tal que: aa′′ = a′′a = e entonces ′a a′′ = ea′′ = a′′. a′ = a′e = a′ ( aa′′ ) = a{ =e Observación 1.1 Dado un monoide G tenemos que se cumple: i) e es invertible y además el inverso es e : e −1 = e ; ii) Si a ∈ G es invertible entonces su inverso es invertible y además: (a ) −1 −1 = a; iii) Si a, b ∈ G son invertibles entonces ab es invertible y además: ( ab )−1 = b −1a −1 ; iv) Sea U ( G ) = {a ∈ G / a es invertible} ⊂ G tenemos que U ( G ) es un submonoide de G , ya que: a) e ∈U ( G ) por observación anterior (i); b) Si a, b ∈ U ( G ) ⇒ ab ∈ U ( G ) también por la observación (iii). La razón de llamar a este conjunto U ( G ) es que a los elementos invertibles se le suelen llamar también unidades de G. Definición 1.9 Un monoide en el cual todos sus elementos son invertible es llamado grupo. Es decir que se cumple U ( G ) = G . Además si es conmutativo se dice que es un grupo abeliano. Tener en cuenta que: ab Î a + b Cuando la operación es la suma anotamos e Î 0 a −1 Î − a En resumen tenemos un conjunto G en que hemos definido una operación binaria. Las estructuras hasta ahora, en forma esquemática, son: -4- Notas de Álgebra II Grupos -5 todo elemento = grupo invertible ( ( G + asociativa = semigrupo ) + neutro = monoide ) + Ejemplo 1.12 ( ¡, + ) es un grupo abeliano Ejemplo 1.13 ( £,⋅) es un monoide pero no es un grupo porque el cero no es invertible. Si definimos £∗ como los complejos sin el cero entonces ahora sí ( £∗ , ⋅) es grupo. Es decir U ( £ ) = £∗ . Ejemplo 1.14 Sea ( G , ⋅) un monoide entonces ( U ( G ) , ⋅) es un submonoide como ya vimos y por lo tanto ( U ( G ) , ⋅) es un ejemplo de grupo. Ejemplo 1.15 Sea S ≠ φ consideremos ( Fun ( S ) , o ) es monoide y en el: U ( Fun ( S ) ) = { f : S → S / f es biyectiva} Observar que f es biyectiva ⇔ ∃g : S → S tal que f o g = g o f = Id S ⇔ f es invertible. (Recordar que f : A → B es inyectiva ⇔ ∃g : B → A tal que g o f = Id A y que f : A → B es sobreyectiva ⇔ ∃g : B → A tal que f o g = Id B ) Si escribimos: U ( Fun ( S ) ) = { f : S → S / f es biyectiva} = Biy ( S ) se llega a que ( Biy ( S ) , o ) es un grupo. Ejemplo 1.16 Sea S un conjunto finito con # S = n llamaremos S n = Biy ( S ) tenemos que con la composición es un grupo y a sus elementos σ ∈ S n son las permutaciones de los elementos de S. Si S = {1,..., n} , y S n = {σ : {1,..., n} → {1,..., n} / σ es biyectiva} , adoptaremos en general la siguiente notación para referirnos a un elemento de S n 2 L n 1 σ 1 σ 2 L σ n ( ) ( ) ( ) El producto es la composición: así por ejemplo: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 1 3 = 1 3 2 y 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2 = 3 2 1 de forma que no es conmutativo. -5- Notas de Álgebra II Capítulo 1 -6- Definición 1.10 Dado un grupo G definimos orden de G como la cantidad de elementos del grupo. Anotamos: G = #G ; si G es finito G < ∞ ; si G es infinito G = ∞ . Ejemplo 1.17 En el ejemplo anterior S n = n !. Ejemplo 1.18 Sean Mn×n ( K ) matrices cuadradas n × n donde K es un cuerpo. Consideremos U (Mn×n ( K ) ) = { A ∈ Mn×n ( K ) / A es invertible} A es invertible si K es un cuerpo y det ( A ) ≠ 0 . Llamaremos Grupo general lineal a GLn ( K ) = { A ∈ Mn×n ( K ) / det ( A ) ≠ 0} . Se tiene que el par ( GLn ( K ) , ⋅) es un grupo. Ejemplo 1.19 Los movimientos del plano con la composición forman grupo G. En particular nos interesa un subconjunto del anterior que denominamos D4 . Sea C el cuadrado de la figura. Entonces: S D1 S D2 D4 = { f ∈ G / f ( C ) = C} Dado el cuadrado en la siguiente ubicación: C S ox B A S oy O C D Los movimientos que conservan al cuadrado invariante son: las simetrías axiales S D1 , S oy , S D2 , S ox las rotaciones: Ñ Ñ Ñ R o,π 2 , R o,π = Co , R o,3π 2 , Ro ,2π = Id -6- x Notas de Álgebra II Grupos -7- Clasificados en directos: Ñ R o,π 2 Ñ Co R o,3π 2 Id Los inversos S oy S D2 S ox S D1 Entonces: D4 = 8 Ejemplos de Grupos abelianos Ejemplo 1.20 ( ¢, + ) es un grupo abeliano y es de orden infinito. Ejemplo 1.21 ¢ m = ¢ con m ∈ ¢ + con la adición es un grupo abeliano finito de m¢ orden m. a ≡ b ( mod m ) ⇔ a − b ∈ m¢ = {mh : h ∈ ¢} ⇔ a − b = m& ⇔ m | a − b . ≡ ( mod m ) es una relación de equivalencia y a las clases que anotamos: [ a ] = a = {b ∈ ¢ : b = a ( mod m )} , entonces: a = a + m¢ = {a + n : n ∈ m¢} ¢ m = ¢ ≡ mod m o sea ¢ m = {0,1,..., m − 1} ⇒ ¢ m = m . ( ¢ m , + ) es un grupo abeliano. Queremos ver cuando ( ¢∗m , ⋅) es un grupo Primero que nada al considerar ¢∗m sacamos el cero porque no es invertible, analicemos el caso m = 6 -7- Notas de Álgebra II Capítulo 1 -8- ¢ 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} tenemos que 3 ∈ ¢ 6 y 2 ⋅ 3 = 0 Supongamos que el 3 tiene inverso: −1 3{ ⋅3⋅2 =0 ⇒ 2 = 0 , =1 lo cual es absurdo. En general si: a ⋅ b = 0 ⇒ a y b no tienen inverso . Es decir los divisores de cero no tienen inverso. 1 ⇒ ∃a, b ∈ ¢ tal que: ax + bm { = 1 ⇒ ax = 1 ⇒ x tiene inverso x ∈ ¢ m con mcd ( x, m ) = =0 t > 1 ⇒ m t ⋅ x = m ⋅ x t = m = 0 ⇒ x no tiene inverso Entonces tenemos que: U ( ¢ m ) = {a ∈ ¢ m : mcd ( a , m ) = 1} . Luego con respecto a la pregunta que nos hacíamos ( ¢∗m , ⋅) es un grupo si y solo sí m es primo. Propiedades de Grupo Proposición 1.3 Dado un grupo G entonces se cumple: i) Propiedad cancelativa: si ab = ac ⇒ b = c ba = ca ⇒ b = c ∀a, b, c ∈ G ; ii) Si a ∈ G tal que a 2 = a ⇒ a = e ; iii) La ecuación ax = b tiene una única solución x = a −1b ; la ecuación xa = b tiene una única solución x = ba −1 . Demostración −1 −1 a −1a ) b = ( a −1a ) c ⇒ eb = ec ⇒ b = c ; i) Si ab = ac ⇒ { a ( ab ) = a ( ac ) ⇒ { ({ { def.{ def. oper. asociativa neutro =e ii) Si a 2 = a ⇒ a ⋅ a = a = a ⋅ e ⇒ {a = e. (i) Dado un monoide G y a ∈ G podemos considerar: -8- =e Notas de Álgebra II Grupos -9- e si n = 0, a n = n−1 a a para n = 1, 2...; de esta forma a0 = e a1 = a 0 a = ea = a a 2 = a1a = aa M M a n = aa .... 12 3a . n veces Definición 1.11 Dado un grupo G y un elemento a del mismo definimos la potencia de exponente negativo como sigue: ∀a ∈ G , ∀n ∈ ¢ + , a − n = ( a −1 ) . n De esta forma tenemos definida la potencia de exponente entero: a z con z ∈ ¢ . Proposición 1.4 Dado un grupo G entonces se cumple: i) a n a m = a n+ m , ∀m, n ∈ ¢ y ∀a ∈ G; ii) ( a n ) = a nm , ∀n, m ∈ ¢ y ∀a ∈ G; m iii) Si G es abeliano ( ab ) = a nb n . n Un procedimiento natural en el estudio de estructuras algebraicas es investigar las estructuras “más pequeñas” de la misma o, más propiamente dicho, las llamadas subestructuras. En este sentido introducimos la siguiente definición. Definición 1.12 Dado un grupo G, H ⊂ G decimos que es un subgrupo si verifica: i) eG ∈ H entendiendo por eG el neutro del grupo G, ii) Si a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H , iii) Si a ∈ H ⇒ a −1 ∈ H . Anotaremos H < G para indicar que H es subgrupo del grupo G. Observación 1.2 Las propiedades i) y ii) que indican que el producto es cerrado en H y que el neutro pertenece a H son las condiciones que debe cumplirse para que ( H , ⋅) sea submonoide. Si definimos ⋅H como la restricción de la operación definida en G entonces ( H , ⋅H ) es un grupo. -9- Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 10 - Proposición 1.5 Si H ⊂ G , H ≠ φ , entonces H es un subgrupo de G si y solo sí: ∀a, b ∈ H ⇒ ab −1 ∈ H −1 −1 Demostración ( ⇒ ) Como a, b ∈ H ⇒ {b ∈H ⇒ { ab ∈ H . ( iii ) ( ii ) −1 ( ⇐ ) como H ≠ φ ⇒ ∃a ∈ H ; aplicando la hipótesis aa { ∈ H ⇒ e ∈ H es decir que =e se cumple i) −1 −1 Por otro lado si a ∈ H como e ∈ H ⇒ ea { ∈ H ⇒ a ∈ H es decir que se cumple = a −1 iii). Sean a, b ∈ H ⇒ b−1 ∈ H ⇒ ab = a ( b −1 ) ∈ H por lo que se cumple ii). a∈H −1 Ejemplo 1.22 Los subgrupos de ¢ son de la forma m¢ con m ∈ ¥ . Ejemplo 1.23 Consideremos las permutaciones que dejan fijo un punto. H = {σ ∈ S n : σ ( n ) = n} < S n : la identidad pertenece a H porque esta última deja fijos todos los puntos. Si σ ,τ ∈ H entonces στ ( n ) = σ o τ ( n ) = σ (τ ( n ) ) = σ ( n ) = n . Luego στ ∈ H . Por otro lado σ ( n ) = n ⇒ n = σ −1 ( n ) ⇒ σ −1 ∈ H . Luego H es un subgrupo. Ejemplo 1.24 Dado el grupo ¢ 6 = {0,1, 2,3, 4,5} , entonces: {0, 2, 4} es un subgrupo así como: {0} , {¢ 6 } , también son subgrupos que llamamos triviales. Definición 1.13 Dado un grupo G a los subgrupos {e} ,{G} son llamados subgrupos triviales. Los otros subgrupos no triviales son llamados subgrupos propios. Ejemplo 1.25 Sea £∗ los complejos sin el cero. Entonces: H = { z ∈ ¢∗ : z n = 1 para algún n ∈ ¢ + } < K = { z ∈ ¢ : z = 1} < £∗ . - 10 - Notas de Álgebra II Grupos - 11 - Ya que : z1 ∈ H z1n = 1 m n mn mn mn z1n ) ( z2m ) = 1 ⇒ z1 z2 ∈ H ; ⇒ m ⇒ ( z1 z2 ) = z1 z2 = ({ { z2 ∈ H z2 = 1 =1 =1 por otro lado: z n = 1 ⇒ ( z −1 ) = ( z n ) = 1 ⇒ z −1 ∈ H ; { −1 n =1 además: n zn = 1 ⇒ zn = z = 1 ⇒ z = 1 ⇒ z ∈ K es decir H < K . Observación 1.2 Dado un grupo G y a ∈ G entonces el conjunto: H = {a n : n ∈ ¢} con la operación del grupo es un subgrupo. Demostración e ∈ H ya que e = a 0 ∈ H Además a n ( a m ) = a n ( a −1 ) = a n a − m = a n − m ∈ H −1 m lo que significa que H es un subgrupo de G. Definición 1.14 Dado un grupo G, a ∈ G al subgrupo H de la observación anterior lo llamamos subgrupo cíclico generado por a. Y anotamos: H = {a n : n ∈ ¢} = a . Observación 1.3 El subgrupo cíclico generado por a es abeliano. Demostración a n a m = a n + m = a m+ n = a m a n . Luego a es conmutativo. Observación 1.4 Dado un grupo G, consideremos H i con i ∈ I , una familia de subgrupos de G entonces: I Hi < G . i∈I Demostración Como los H i < G , ∀i ∈ I entonces e ∈ H i , ∀i ∈ I ⇒ e ∈ I H i . i∈I - 11 - Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 12 - (Vale observar que la intersección de subgrupos siempre es no vacía.) Dados a, b ∈ I H i ⇒ a, b ∈ H i ∀i ∈ I y como los H i son subgrupos de G i∈I aplicando la proposición 1.5: ab −1 ∈ H i ∀i ∈ I ⇒ ab −1 ∈ I H i . i∈I Y entonces por la misma proposición IH i∈I i <G. Definición 1.15 Dado un grupo G, sea S ⊂ G definimos el subgrupo generado por S como: S = I H S ⊂ H <G De acuerdo a la observación anterior efectivamente es un subgrupo , y por definición S ⊂ S ya que está en todos los subgrupos que determinan la intersección. Observación 1.5 S es el menor subgrupo de G que contiene a S. Ya que: S ⊂ K ⇒ S = I H < K. K < G S ⊂ H <G Explícitamente podemos escribir al subgrupo generado por S como: S = {s1n1 s2n2 ...s knk : si ∈ S , ni ∈ ¢ i = 1,..., k , k ∈ ¢ + } nótese que si0 = e En el caso que S sea finito: S = {a1 ,..., an } anotaremos a {a1 ,..., an } simplemente por a1 ,..., an (subgrupo generado por S). En particular {a} = a = {a n : n ∈ ¢} . Definición 1.16 Dado un grupo G si existe un conjunto S tal que: S =G, entonces decimos que S es un conjunto generador. Definición 1.17 Dado un grupo G decimos que es finitamente generado si existen a1 ,..., an ∈ G tal que: G = a1 ,..., an . - 12 - Notas de Álgebra II Grupos - 13 - Observación 1.6 Si el grupo G es finito entonces es finitamente generado ya que puede ser considerado generado por él mismo. El recíproco de lo anterior no es cierto ya que ¢ = 1 y no es finito . Además los únicos generadores de ¢ son el 1 y el –1 y por la definición dada más arriba es cíclico. Definición 1.18 Dado un grupo G, a ∈ G llamaremos orden de a, que anotamos por a , al orden del subgrupo cíclico generado por a: a = a . Ejemplo 1.26 ¢ n es un grupo cíclico ya que ¢n = 1 Pero si ( m, n ) = 1 , también se cumple que ¢n = m es decir que ¢ n = {m, 2m,..., nm} ya que: im = jm ( mod n ) ( i − j ) m = n& ⇒i = j ( m, n ) = 1 todos sus elementos son distintos y tenemos n elementos, luego son todos por ser ¢n = n . Tenemos que ¢ n es cíclico, vale aclarar que la operación acá es la suma Observación 1.7 Dado un grupo G, sean H,K subgrupos de G entonces: H I K < H < G; G H I K < K < G. Sin embargo H U K no tiene porque ser un subgrupo: H∨K por ejemplo si: H = 3¢ H U K no es un subgrupo ⇒ K = 4¢ ya que 3 + 4 ∉ H U K . H Lo que haremos es considerar al subgrupo generado por la unión que anotaremos por H ∨ K H ∨K = H UK , H IK que es el menor subgrupo de G que contiene a H y a K - 13 - K Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 14 - En general si tenemos una familia { H i }i∈I de subgrupos de G ∀i ∈ I entonces: -H i∈I i = UH i , i∈I (unión en la categoría de grupos), es el menor subgrupo de G que contiene a los H i ∀i ∈ I Morfismos En general, cuando se estudian estructuras algebraicas, son de gran importancia las funciones que preservan dichas estructura. Con lo anterior en mente nos interesa estudiar funciones de un grupo en otro, que preservan las operaciones. Definición 1.19 Dados los grupos ( G1 , ⋅1 ) y ( G2 , ⋅2 ) llamaremos morfismo de grupos a la aplicación ϕ : ( G1 , ⋅1 ) → ( G2 , ⋅2 ) tal que: ϕ ( a ⋅1 b ) = ϕ (a ) ⋅2 ϕ ( b ) ∀a, b ∈ G1 Proposición 1.6 Dados dos grupos G1 y G2 sea ϕ : G1 → G2 morfismo de grupos, con e1 neutro de G1 y e2 neutro de G2. Entonces se cumplen: i) ϕ ( e1 ) = e2 ; ii) ϕ ( a −1 ) = ϕ ( a ) , ∀a ∈ G1; −1 iii) Si H < G1 ⇒ ϕ ( H ) < G2 , en particular Imϕ < G2 ; iv) Si K < G2 ⇒ ϕ −1 ( K ) < G1 , en particular: N (ϕ ) = {a ∈ G1 : ϕ ( a ) = e2 } = ϕ −1 ( e2 ) < G1. Demostración i) ϕ ( e1 ) = ϕ ( e1e1 ) = ϕ ( e1 ) ϕ ( e1 ) = ϕ 2 ( e1 ) , entonces por la proposición 1.3 (ii) se tiene que e2 = ϕ ( e1 ) . ii) Dado a ∈ G1 se tiene que e1 = aa −1 = a −1a entonces: ϕ ( aa −1 ) = ϕ ( a ) ϕ ( a −1 ) ϕ ( e1 ) = { ϕ ( a −1a ) = ϕ ( a −1 )ϕ ( a ) = e2 luego: −1 e2 = ϕ ( a ) ϕ ( a −1 ) = ϕ ( a −1 ) ϕ ( a ) ⇒ { ϕ (a ) = ϕ (a) . −1 por def. iii) Como H < G1 ⇒ ∀a, b ∈ H se cumple que ab −1 ∈ H entonces: Dados ϕ ( a ) ,ϕ ( b ) ∈ ϕ ( H ) queremos probar que ϕ ( a ) ϕ ( b ) ∈ ϕ ( H ) : −1 - 14 - Notas de Álgebra II Grupos - 15 - ϕ ( ab −1 ) = ϕ ( a )ϕ ( b−1 ) = ϕ ( a ) ϕ ( b ) ∈ ϕ ( H ) ⇒ ϕ ( H ) < G2 . −1 Como Imϕ = ϕ ( G1 ) y G1 < G1 ⇒ Imϕ es un caso particular de lo anterior, luego Imϕ < G2 . iv) Si K < G2 tenemos que: ϕ −1 ( K ) = {a ∈ G1 : ϕ ( a ) ∈ K } . entonces si a, b ∈ ϕ −1 ( K ) ⇒ ϕ ( a ) ,ϕ ( b ) ∈ K < G2 luego: ϕ ( a )ϕ ( b ) ∈ K −1 pero por otro lado ϕ ( a ) ϕ ( b ) = ϕ ( a )ϕ ( b −1 ) = ϕ ( ab −1 ) , −1 luego: ϕ ( ab −1 ) ∈ K ⇒ ab −1 ∈ ϕ −1 ( K ) ⇒ ϕ −1 ( K ) < G1 . Como el N (ϕ ) = ϕ −1 ({e2 }) y {e2 } < G2 ⇒ N (ϕ ) es un caso particular de lo anterior. Corolario 1.7 Sean G1 y G2 grupos, y el morfismo ϕ : G1 → G2 . Entonces para todo a ∈ G1 y para todo n entero se tiene: ϕ ( an ) = ϕ ( a ) . n Demostración Primero consideremos n ∈ ¢ + , a n = a123 .a....a , entonces: n veces n .a....a = ...... = ϕ ( a ) ϕ ( a ) ....ϕ ( a ) = ϕ ( a ) ϕ ( a n ) = ϕ a123 144 42444 3 n veces n veces Si n ∈ ¢ y n < 0 como todos los elementos de G1 son invertibles (grupo) para todo a ∈ G1 ⇒ ∃b ∈ G1 tal que a = b −1 . Consideremos m = −n, entonces, como m ∈ ¢ + , aplicando lo anterior a b ∈ G1 : ϕ (b m ) = ϕ ( b ) , m remplazando ϕ ( b− n ) = ϕ ( b ) 123 123 −n P P n −1 ϕ ( b −1 ) = ϕ ( b ) { =a ( - 15 - ) n n −1 = ϕ b{ , =a Notas de Álgebra II O sea: Capítulo 1 - 16 - ϕ ( an ) = ϕ ( a ) . n Vamos a introducir algunas definiciones para clasificar los morfismos Definición 1.20 Dados dos grupos G1 y G2 sea ϕ : G1 → G2 un morfismo decimos : i) que ϕ es un monomorfismo si la aplicación ϕ es inyectiva. Anotamos: G1 ° G2 o G1 y G2 ; ii) que ϕ es un epimorfismo si es sobreyectiva y anotamos: ϕ G1 → > G2 ; iii) que ϕ es isomorfismo si ϕ es biyectiva y anotamos: ϕ G1 > → > G2 ; (En este caso decimos que los grupos son isomorfos y anotamos: G1 ≅ G2 ) iv) que ϕ es un endomorfismo cuando G1 = G2 ; v) si G1 = G2 , y ϕ es un isomorfismo entonces decimos que es un automorfismo. Observación 1.8 i) Tenemos que la identidad es un morfismo más precisamente es un automorfismo. ϕ : G1 → G2 ii) Sean morfismos ⇒ ψ o ϕ : G1 → G3 es también un morfismo. ψ : G2 → G3 iii) Si ϕ : G1 → G2 es un isomorfismo ⇒ ϕ −1 : G2 → G1 es también un isomorfismo iv) La relación de ser isomorfo es una relación de equivalencia. Demostración a modo de ejemplo probaremos la iii) Sean g , h ∈ G2 entonces si: ϕ −1 ( g ) = a ⇒ ϕ ( a ) = g ϕ −1 ( h ) = b ⇒ ϕ ( b ) = h multiplicando ϕ ( ab ) = ϕ ( a )ϕ ( b ) = gh ⇒ ϕ −1 ( gh ) = ab = ϕ −1 ( g )ϕ −1 ( h ) luego ϕ −1 es un morfismo biyectivo o sea, es un isomorfismo. - 16 - Notas de Álgebra II Grupos - 17 - Observación 1.9 Si G es un grupo entonces: EndG = {ϕ : G → G : ϕ endomorfismo} , AutG = {ϕ : G → G : ϕ es automorfismo} , son tales que ( EndG , o ) es un monoide y ( AutG , o ) es un grupo ya que AutG = U ( EndG ) . Ejemplo 1.27 Sean los grupos ( ¡, + ) y ( ¡ + , ⋅) y definimos ϕ : ¡ → ¡ + como: ϕ ( x ) = e x , ∀x ∈ ¡. Entonces como: ϕ ( a + b ) = e a + b = e a eb = ϕ ( a ) ϕ ( b ) , se cumple que ϕ es un morfismo. Además es monótona creciente y continua con: lim ϕ ( x ) = 0+ x →−∞ ⇒ ϕ es un isomorfismo lim ϕ ( x ) = +∞ x →+∞ Ejemplo 1.28 Sea m ∈ ¢ + , definimos π : ¢ → ¢ m como π ( x ) = x (clase de x módulo m). Entonces: x = { x + mb : b ∈ ¢} = x + m¢ La proyección canónica, π : ¢ → ¢ m π (x + y) = x + y = x + y = π (x) +π ( y) es un epimorfismo Ejemplo 1.29 Sea G un grupo abeliano, nos definimos: τ :G → G a Î a −1. Entonces −1 −1 τ ( ab ) = ( ab ) = b −1a −1 = { a b = τ ( a )τ ( b ) . −1 abeliano Luego es un morfismo, pero como todo elemento es invertible por ser G grupo tenemos que es sobreyectiva y por ser el inverso único, es inyectiva. Luego τ es un isomorfismo, (un automorfismo). Ejemplo 1.30 Generalizando el ejemplo anterior podemos considerar G grupo abeliano y n ∈ ¢ a: ϕn : G → G g Î gn - 17 - Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 18 - ϕ n ∈ End ( G ) ya que: ϕ n ( gh ) = ( gh ) n = { g n h n = ϕ n ( g )ϕ n ( h ) . G abeliano Ejemplo 1.31 Sea G un grupo y H < G entonces la inclusión: i:H →G es un monomorfismo. hÎh Producto directo Uno de los problemas fundamentales en álgebra, al estudiar estructuras, es poder “descomponer” los objetos bajo estudio en términos de elementos más simples de entender. Por ejemplo al estudiar a los números enteros, se tiene que estos se representan como producto de primos. Cuando se estudian matrices no singulares, se tiene que estas se representan como producto de matrices elementales. Si el objeto bajo estudio es un espacio vectorial de dimensión finita junto con un operador T, éste se puede representar como suma directa de subespacios T-invariantes con propiedades adicionales (Teorema de descomposición primaria). En el estudio de grupos, un problema de gran importancia es la “descomposición” de un grupo como “producto” de subgrupos. Este resultado es un problema de gran dificultad, sin embargo, bajo buenas hipótesis (abeliano y finito) la respuesta es satisfactoria. Definición 1.21 Dados dos grupos ( G1 , ⋅1 ) y ( G2 , ⋅2 ) consideramos sobre el producto cartesiano G1 × G2 la operación : ⋅ : G1 × G2 → G1 × G2 ( g , h )( g ′, h′) Î ( g ⋅1 g ′, h ⋅2 h′) Esta operación definida así hace que ( G1 × G2 , ⋅) sea un grupo que llamaremos producto directo de grupos. Es claro que el neutro de este nuevo grupo es ( e1 , e2 ) . El opuesto: −1 ( a, b ) Î ( a −1 , b −1 ) Observación 1.10 Si tomamos el grupo ( G1 , ⋅1op ) entendiendo a ⋅1op de la siguiente manera: - 18 - Notas de Álgebra II Grupos - 19 - a ⋅1op b = b ⋅1 a y al grupo ( G2 , ⋅op 2 ) obtenemos estructuras equivalentes. Podemos generalizar el producto para una familia de grupos de la siguiente forma: Definición 1.22 Dada una familia de grupos {Gi }i∈I definimos en el producto cartesiano ∏ Gi = {( gi )i∈I : gi ∈ Gi ∀i ∈ I } la operación ⋅ como: i∈I ( gi )i∈I ⋅ ( hi )i∈I = ( gi hi )i∈I entonces ∏ Gi , ⋅ es un grupo que llamamos producto directo de grupos. i∈I Observación 1.11 Gi es abeliano ⇔ ∏ Gi es abeliano i∈I Además en el caso que los grupos sean ( G1 , + ) y ( G2 , + ) abelianos entonces G1 × G2 = G1 ⊕ G2 Definición 1.23 Dada la familia de grupos {Gi }i∈I definimos los morfismos inclusión y proyección de la siguiente forma: π j0 i j1 G j1 y ∏ G j ² G j0 j∈I (y ) j j∈I Îy y j0 g Î ( xi )i∈I tal que xi = ei ∀i ≠ j1, x j1 = g. Notamos: ij : Gj y ∏G j j∈I a la inclusión que es un monomorfismo, además: i j0 ( G j0 ) = Im ( i j0 ) = ∏ ei × G j0 :{ = G% j0 < ∏ G j , i≠ j entonces : definimos G j0 ≅ G% j0 < ∏ G j . j∈I Por otro lado si - 19 - j∈I Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 20 - x ∈ G% j con i ≠ j ⇒ xy = yx y ∈ G% i además π j o i j = Id G j . la proyección π j es sobre por eso es un epimorfismo y la inclusión es inyectiva. Definición 1.24 Decimos que un grupo G es cíclico si existe a ∈ G tal que G = a = {a n : n ∈ ¢} Notar que a diferencia de la definición 1.14 acá estamos diciendo que el subgrupo cíclico generado por a es el propio grupo G. Proposición 1.8 Sea G un grupo cíclico, G = a entonces: i) Si ϕ : G → G% es un morfismo ⇒ Im (ϕ ) es un subgrupo cíclico de G% . ii) Si H < G ⇒ H es cíclico además si H ≠ {e} y n = min {m ∈ ¢ + : a m ∈ H } entonces H = an Demostración i) Sea b ∈ G ⇒ ∃n ∈ ¢ + / b = a n entonces: n ϕ (b ) = ϕ ( a n ) = ϕ ( a ) esto se cumple para cualquier elemento, entonces Im (ϕ ) = ϕ ( a ) ii) Si H < G , en el caso que H = {e} ⇒ H = e pero como H ≠ {e} entonces se tiene que ∃n ∈ ¢ \ {0} tal que a n ∈ H ⇒ a − n = ( a n ) ∈ H entonces: −1 {m ∈ ¢ + : am ∈ H } ≠ φ y por lo tanto tiene mínimo, sea n = min {m ∈ ¢ + : a m ∈ H } tenemos que a n < H (observación 1.2) lo que implica a n ⊂ H . Probaremos ahora la otra inclusión Sea b ∈ H < G ⇒ ∃x ∈ ¢ tal que a x = b supongamos primero que: a) x ≥ 0 entonces si dividimos x por n tenemos: x = nq + r con q ∈ ¢ y 0 ≤ r < n como nq r b = a x ∈ H ⇒ a nq + r = a{ a ∈ H ya que a n ∈ H ⇒ a nq ∈ H ⇒ a r ∈ H ∈H - 20 - Notas de Álgebra II Grupos - 21 - pero n es el menor entero positivo tal que a n ∈ H ⇒ r = 0 entonces: b = ( an ) ∈ an q luego H ⊂ a n como se dan las dos inclusiones concluimos H = a n b) Si x < 0 tomamos a − x = ( a n ) ∈ H aplicamos lo anterior y concluimos que: −1 a− x ∈ an pero como an es un subgrupo ⇒ ( a − x ) ∈ a n ⇒ b = a x ∈ a n 123 −1 y también =a x tenemos la otra inclusión, luego H = a n Proposición 1.9 (Teorema de clasificación ) Sea G un grupo cíclico entonces si: i) G = ∞ ⇒ G ≅ ¢ ii) G = m < ∞ ⇒ G ≅ ¢ m Demostración Como el grupo es cíclico G = a = {a n : n ∈ ¢} definimos: ϕ :¢ →G n Î an Dicha aplicación es morfismo ya que: ϕ ( m + n ) = a m+ n = a m a n = ϕ ( m )ϕ ( n ) ∀m, n ∈ ¢ tenemos que ϕ es epimorfismo. Sea H = Ker (ϕ ) = {n ∈ ¢ : a n = e} < ¢ Puede suceder que: i) H = {0} ⇒ ϕ es inyectiva ϕ es isomorfismo es decir que G = ∞ y G ≅ ¢ ii) H ≠ {0} < ¢ ⇒ como los enteros son un grupo cíclico y H ≠ {0} por la ϕ proposición 1.8 H es cíclico ⇒ H = n = n¢ . ¢ G Considerando la proyección canónica π ≅ π :¢ → ¢ n¢ ϕˆ n În n ¢ Se tiene que ¢ y definimos n¢ = ¢ n n¢ - 21 - Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 22 - ϕˆ : ¢ n → G n Îa an De esta forma ϕ = ϕˆ o π y π y ϕ son sobreyectiva ⇒ ϕ̂ es sobreyectiva , además : n1 = n2 ⇔ n1 = n2 ( mod n ) ⇔ ∃h ∈ ¢ : n1 = n2 + nh y entonces: h a =a = a a = a a{n = a n2 =e lo que prueba que ϕ̂ es inyectiva luego es un isomorfismo. n1 n2 + nh n2 nh n2 Proposición 1.10 Dado un grupo G y un elemento a ∈ G ya definimos el orden de a como: a = a entonces: a k = e ⇔ k = 0 i) Si a = ∞ ⇒ k l a = a ⇔ k = l ii) m = min {k ∈ ¢ + : a k = e} Si a = m < ∞ ⇒ a k = e ⇔ k = m& k l a = a ⇔ k = l ( mod m ) Además si n | m entonces a n = m n Demostración Consideremos el siguiente morfismo: ϕ :¢ → a n Î an Al igual que la proposición anterior es morfismo y es sobreyectiva por definición. Si a = ∞ ⇔ a = ∞ ⇒ por la proposición anterior que a ≅ ¢ es decir que ϕ es un isomorfismo ⇒ Ker (ϕ ) = {0} o sea que: ak = e ⇔ k = 0 a k = a l ⇔ a k a − l = e ⇔ a k −l = e ⇔ k − l = 0 ⇔ k = l Si a = m ∈ ¢ + sea H = Ker (ϕ ) = {n ∈ ¢ : a n = e} Pueden darse los casos: i) H = {0} ⇒ ϕ es un isomorfismo ii) H ≠ {0} , como H < ¢ ⇒ H = m¢ y entonces por la proposición anterior: a ≅ ¢ m¢ = ¢ m - 22 - Notas de Álgebra II Grupos - 23 - H = m¢ ⇒ m = min {n ∈ ¢ + : n ∈ H } = min {n ∈ ¢ + : a n = e} esto último por se definición de H De acuerdo a la proposición anterior: ϕˆ : ¢ m → a n Î an es un isomorfismo, y como ¢ m = {0, 1,..., m − 1} entonces: { } a = ϕˆ ( 0 ) ,ϕˆ ( 1 ) ,...,ϕˆ ( m − 1) = {e, a, a 2 ,..., a m−1} a = e es consecuencia de m = min {n ∈ ¢ : a = e} y si: + m a{k = P n a{l P ϕˆ ( k ) = ϕˆ ( l ) con ϕˆ inyectiva ⇒ k = l en ¢ m ∴ k = l ( mod m ) a k = e ⇔ a k = a 0 ⇔ k = 0 ( mod m ) ⇔ m | k o k = m& Consideremos ahora el caso que n | m : sea a n = t ⇒ por lo anterior se tiene que ( a n ) = e es decir a nt = e ⇒ m | nt t por otro lado sabemos que e = a m { = ( a n ) n ⇒ t | mn m n|m es decir que tenemos : n|m } m | nt ⇒ m | t ⇒ t = n m t| n m n Proposición 1.11 Dado un grupo cíclico G = a entonces: i) Si G = ∞ ⇒ a, a −1 son los únicos generadores de G. ii) Si G = m < k ⇒ a k genera a G si y solo sí mcd ( k , m ) = 1 Demostración i) En este caso como ya vimos en la proposición 1.9 G ≅ ¢ ⇒ alcanza con probar que 1, y − 1 son los únicos generadores de ( ¢, + ) y esto se cumple ya que: Si m ∈ ¢ y m ≠ ±1 m = m¢ ≠ ¢ ya que 1∉ m¢ ii) En este caso por proposición 1.9 G ≅ ¢ m entonces alcanza con probar que k genera a ¢ m ⇔ mcd ( k , m ) = 1 - 23 - Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 24 - Entonces: k genera a ¢ m ⇔ 1 ∈ k = k ¢ m ⇔ ∃b ∈ ¢ m : 1 = k ⋅ b ⇔ 1 = kb ( mod m ) ⇔ ∃b, h ∈ ¢ : 1 = kb + hm ⇔ mcd ( k , m ) = 1 Ejemplo 1.32 ¢ 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} se tiene que ¢ 6 = 6 y: ¢6 = 1 = 5 así como: y ¢8 = 1 = 3 = 5 = 7 ¢7 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 Ejemplo 1.33 Sea G = { z ∈ £ : z m = 1} < £∗ Entonces como z m = 1 ⇔ z = e 2 kπ i m con k = 0,1,..., m − 1 G esta generado por ξ = e 2π i ξ2 m Luego G = ξ = {1, ξ , ξ 2 ,..., ξ m−1} es cíclico de orden n luego ξ por la proposición 1.9 G ≅ ¢ n Así por ejemplo para el caso m = 4 z 4 = 1 ⇔ z = ±1, ±i los generadores en este caso son ±i En general los generadores de G son de la forma: 2 kπ i ξ k = e m mcd ( k , m ) = 1 y se llaman raíces primitivas de orden m de 1. Definición 1.25 Sea G un grupo , H < G y a, b ∈ G definimos: a ≡d b ( mod H ) ⇔ ab −1 ∈ H a ≡i b ( mod H ) ⇔ b −1a ∈ H Proposición 1.12 Estas relaciones ≡d y ≡i son relaciones de equivalencia y veremos además que son distintas. −1 Demostración i) Reflexiva a ≡d a ( mod H ) ⇒ aa {∈H =e - 24 - Notas de Álgebra II Grupos ii) Simetría a ≡d b ( mod H ) ⇒ ab −1 ∈ H y como ( ab ) −1 −1 = (b ) −1 −1 ⇒ { ( subgrupo ) - 25 - ( ab ) −1 −1 ∈H a −1 = ba −1 ∈ H Luego b ≡ d a ( mod H ) iii) Transitiva a ≡d b ( mod H ) ⇒ ab −1 ∈ H −1 −1 −1 ⇒ { a b{b c ∈ H ⇒ ac ∈ H ⇒ a ≡ d c ( mod H ) −1 b ≡ d c ( mod H ) ⇒ bc ∈ H H es subgrupo = e idéntica demostración con la relación ≡i o si se prefiere usando el grupo ( G, ⋅ ) como en la observación 1.10 es decir: op ⋅op : G × G → G a ⋅op b Î b ⋅ a tal que la operación ⋅ es la del grupo original. Llamaremos para abreviar a (G, ⋅op ) = G op entonces: a ≡i b ( mod H ) ⇔ b −1 ⋅ a ∈ H ⇔ a ⋅op b −1 ∈ H ⇔ a ≡d b ( mod H ) en G op esta última ya probamos que es una relación de equivalencia, luego ≡i también. Definición 1.26 Dado un grupo G , H < G y sea a ∈ G definimos el conjunto Ha que llamamos coclase a derecha de H como: Ha = {ha : h ∈ H } de igual manera definimos la coclase a izquierda de H como: aH = {ah : h ∈ H } Proposición 1.13 Dado el grupo G, H < G y a ∈ G las coclases a derecha e izquierda las podemos escribir como: Ha = { g ∈ G : g ≡ d a ( mod H )} aH = {b ∈ G : g ≡i a ( mod H )} Demostración Sea g ≡d a ( mod H ) ⇒ ga −1 ∈ H ⇒ ∃h ∈ H tal que: −1 ga −1 = h ⇒ g a{ a = ha ⇒ g = ha =e ⇒ g ∈ Ha Recíprocamente: - 25 - Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 26 - g ∈ Ha ⇒ ∃h ∈ H tal que: Si −1 −1 g = ha ⇒ ga −1 = h aa { = h ⇒ ga ∈ H =e ∴ g ≡ d a ( mod H ) Análogamente para la coclase izquierda. Observación 1.12 Toda relación de equivalencia en un conjunto G establece un partición del mismo en clases de equivalencias, la proposición anterior nos dice que esas clases de equivalencias son las coclases. Como las clases de equivalencia son disjuntas o coinciden con las coclases pasa lo mismo. Proposición 1.14 Dado un grupo G, H < G entonces: Ha = Hb ⇔ ab −1 ∈ H aH = bH ⇔ b −1a ∈ H Demostración ⇒ por la observación anterior Ha = Hb ⇒ que la clase de equivalencia de a es la misma que la clase de b luego si a y b pertenecen a la misma clase significa que están relacionados, es decir: −1 a ≡d b ( mod H ) ⇒ { ab ∈ H def. ⇐ si ab ∈ H ⇒ { a ≡d b ( mod H ) ⇒ que la clase de equivalencia de a es la misma −1 def. que la clase de equivalencia de b o sea Ha = Hb Análogamente se prueba que: aH = bH ⇔ b −1a ∈ H Proposición 1.15 Dado el grupo G, H < G y a ∈ G entonces: H = Ha = aH ∀a ∈ G Demostración Consideremos la siguiente aplicación entre conjuntos: ϕ a : H → Ha h Î ha ϕ a es inyectiva ya que por la proposición 1.3 (i) (Propiedad cancelativa) se tiene: ah = ah′ ⇒ h = h′ y es sobreyectiva ya que si x ∈ Ha ⇒ { ∃h ∈ H tal que x = ha = ϕ a ( h ) luego: def . H = Ha análogamente se prueba que - 26 - Notas de Álgebra II Grupos - 27 - H = aH Observación 1.13 Dado un grupo G y H < G , entonces G es unión disjunta de coclases derecha, al igual que es unión disjunta de coclases izquierda. En general Ha y aH no tienen porque coincidir. Si a ∈ H es claro que Ha y aH coinciden con H. Hay una que es la misma en ambas como e ∈ H se tiene: He = eH = H Definición 1.27 Dado un grupo G y H < G definimos el conjunto cociente a derecha como: D=G ≡ d ( mod H ) y definimos conjunto cociente a izquierda a: I =G ≡i ( mod H ) en forma explicita tenemos que: D = {Ha : a ∈ G} I = {aH : a ∈ G} Proposición 1.16 Dado el grupo G y H < G , y sean D e I los conjuntos cocientes derecha e izquierda respectivamente entonces: D = I Demostración Consideremos la siguiente aplicación ϕ:D→I tenemos que es inyectiva ya que: Ha Î a −1H a −1H = b −1 H ⇔ ( b −1 ) ( a −1 ) ∈ H ⇔ ab −1 = ( ba −1 ) ∈ H ⇔ Ha = Hb 14243 −1 −1 = ba −1 y es sobre por definición luego es biyectiva y por lo tanto: D = I Definición 1.28 Dado un grupo G , H < G definimos el indice de H en G por: [G : H ] = D = I Por la proposición anterior está bien definido. - 27 - Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 28 - Ejemplo 1.34 Sea G = ¢ , H < G ⇒ H = m¢ a ≡d b ( mod H ) ⇒ a − b ∈ H = m¢ en este caso D = L = ¢ m ⇒ [ ¢ : m¢ ] = ¢ m = m Ejemplo 1.35 Si H = {e} a ≡d b ( mod H ) ⇔ ab −1 = e ⇔ ab −1b = eb ⇔ a = b entonces Ha = {a} y lo mismo para la relación ≡i luego: Ha = aH = {a} ∀a ∈ G ⇒ D = I además existe una aplicación biyectiva ϕ:D→G por lo que D = I ≅ G entonces: {a} Î a [G : {e}] = G Ejemplo 1.36 Veremos que: Si H < G ⇔ H =G [G : H ] = 1 ⇒ que el índice sea 1 implica que hay solo una clase D = { Ha : a ∈ G} ∀a ∈ G ⇒ Ha = He = H y como: G = U Ha = H a∈G ⇐ Si H = G dado un a ∈ G se tiene que: ∀b ∈ G = H ⇒ ab −1 ∈ H ⇒ a ≡d b ( mod H ) ⇒ Ha = G { def. subgrupo luego D = G ≡ d ( mod H ) =G = e ⇒ D = 1 o sea: G {} [G : G ] = 1 Definición 1.29 Dado un grupo G , H < G sea un conjunto S HG ⊂ G , decimos que es un conjunto de representantes de las clases a derecha de H si S HG exactamente un elemento de cada clase de equivalencia. Observar que por la definición: # S HG = [G : H ] y que: - 28 - tiene Notas de Álgebra II Grupos - 29 - # ( S HG I H ) = 1 Teorema 1.17 Dado un grupo G, sean K < H < G entonces: [G : K ] = [G : H ][ H : K ] además si [G : K ] < ∞ ⇒ [G : H ] y [ H : K ] es < ∞ en general si dos son finitos implica que el tercero también Demostración Sea S HG el conjunto de representantes de las coclases a derecha de H en G y sea S KH el conjunto de representantes de K en H entonces: # S HG = [G : H ] # S KH = [ H : K ] Por definición del conjunto de representantes y de coclase se tiene: G = â Ha a∈SHG H= â Kb b∈S KH tenemos que probar que: G= â Kba ( a ,b )∈S HG ×S KG Primero probaremos que se trata de una unión luego justificaremos que es disjunta. Sea g ∈ G ⇒ ∃a ∈ S HG , h ∈ H tal que: g = ha por otro lado si h ∈ H ⇒ ∃b ∈ S KH , k ∈ K tal que: h = kb sustituyendo: g = kba luego g ∈ Kba esto prueba la unión. Para probar que son disjuntos consideremos que ∃g ∈ Kba I Kb′a′ esto implica: ∃k , k ′ ∈ K tal que g = kba = k ′b ′a ′ −1 −1 ′ k{ ′ k b = a′a −1 ⇒ a′a −1 ∈ H ⇒ Ha′ = Ha y como tomamos un solo entonces b{ ∈H ∈K 1 23 ∈H representante por clase a = a′ y sustituyendo kba = k ′b′a ⇒ kb = k ′b′ ′−1k = b′b−1 ⇒ b′b −1 ∈ K ⇒ Kb′ = Kb ∴ k{ ∈K y como tomamos un solo representante se tiene b = b′ y luego: - 29 - Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 30 - Kba = Kb′a′ Entonces de tener intersección son la misma y se trata de una unión disjunta. Sea S KG = {ba : b ∈ SKH , a ∈ S HG } = S KH × S HG entonces: #{ S KG = #{ S KH ⋅ #{ S HG P P P [G : K ] = [ H : K ][G : H ] Corolario 1.18 (Teorema de Lagrange ) Dado un grupo G , H < G entonces G = [G : H ] ⋅ H sean finitos o infinitos. Demostración Apliquemos el teorema anterior al caso {e} < H < G entonces: G : {e}] = [G : H ][ H : {e}] [1 424 3 123 1 424 3 P G P = [G : H ] ⋅ P H además en particular si: H |G G < ∞ G ⇒ ⇒ [G : H ] = H H < G y [G : H ] | G y si H <∞ ⇒ G <∞ [G : H ] < ∞ Corolario 1.19 Dado un grupo G cuyo orden es finito, entonces el orden de un elemento cualquiera del grupo divide al orden del mismo Es decir si a ∈ G ,y G es finito entonces a|G Demostración Aplicamos el corolario anterior para H = a tenemos que : G = [G : a ] ⋅ a ⇒ { a|G G <∞ - 30 - como a = a Notas de Álgebra II Grupos - 31 - Corolario 1.20 Todo grupo finito de orden primo, es cíclico y en consecuencia abeliano. Demostración Sea G un grupo tal que G = p > 1 ⇒ ∃g ∈ G , con g ≠ e entonces g es un subgrupo de G que como contiene a {e, g} es de g > 1 . Pero como por el teorema de Lagrange , g divide a G que es primo y g ≠ 1 ⇒ g = p , o sea que G = g es cíclico y por lo tanto abeliano. Ejemplo 1.37 Probar que si G es un grupo tal que G ≤ 5 entonces G es abeliano. Primero si G = 1 ⇒ G = {e} Ahora si G = 2,3 o 5 ⇒ G = p primo y por el corolario anterior es cíclico y por lo tanto abeliano. Sea ahora G = 4 en este caso si existe g ∈ G tal que G = g igual que antes G es cíclico y por tanto abeliano entonces supongamos que ∀g ∈ G se tiene que g ≠ e y G ≠ g Pero por otro lado como g < G ∀g ∈ G entonces aplicando Lagrange : g |G ⇒ g =2 ⇒ g2 = e ∴ g = g −1 Luego dados x, y ∈ G se cumple: xy = ( xy ) = y −1 x −1 = yx −1 por lo tanto es abeliano Definición 1.30 Dado un grupo G y los subconjuntos H , K ⊂ G definimos : HK = {hk : h ∈ H , k ∈ K } en general si H < G , K < G entonces no tiene por que ser HK un subgrupo de G Ahora si ( G , + ) es abeliano entonces HK = H ∨ K < G { P H +K Proposición 1.21 Dado el grupo G, sean H < G , y K < G con H < ∞, K < ∞ entonces: H ⋅K HK = H IK - 31 - Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 32 - Demostración Tenemos que por ser H I K < K entonces: K = n ∈ ¢+ [ K : H I K ] ={ K <∞ H I K entonces ∃k1 , k2 ,..., kn ∈ K tal que: K = â ( H I K ) ki n i =1 tenemos que demostrar que: = Hki { â ↓ i =1 H IK⊂H veamos primero que es una unión simple. n HK n Como H ki ⊂ HK ⇒ U Hki ⊂ HK para la otra inclusión: { i =1 ∈K Sea h ∈ H , k ∈ K entonces como K = â ( H I K ) ki se tiene que n i =1 ∃i / k = aki con a ∈ H I K hk = h{ n {a ∈H ∈H I K ⊂ H ki ∈ Hki ⇒ HK ⊂ U Hki i =1 n luego HK = U Hki i =1 veamos ahora que son disjuntos, supongamos que Hki I Hk j ≠ φ entonces por la observación 1.12 ⇒ Hki = { Hk j ⇓ h1ki = h2 k j ⇒ ki = h1−1h2 k j −1 h ⇒ ki k −j 1 ∈ H I K ⇒ ki k −j 1 = h{ { 1 2 ∈H ∈K entonces: ki ≡ d k j ( mod ( H I K ) ) y como tomamos un solo representante por clase ki = k j luego la unión es disjunta y n HK = ∑ Hki = n H { i =1 =H ∴ HK = n H sustituyendo el n tenemos la tesis - 32 - Notas de Álgebra II Grupos HK = - 33 - H ⋅K H IK Proposición 1.22 Dado el grupo G , H < G , K < G entonces se cumple: i) [ K : H I K ] ≤ [G : H ] ii) Si [G : H ] < ∞ [ K : H I K ] = [G : H ] ⇔ G = KH Demostración Consideremos los siguientes conjuntos cocientes G G = {Hg : g ∈ G} = { H ≡ d ( mod H ) not. = {( H I K ) k : k ∈ K } = { K H IK ≡ d ( mod ( H I K ) ) not. i y sea el diagrama adjunto Tenemos definida una aplicación K ϕ:K →G H IK H π1 ( H I K ) k Î Hk ϕ es decir que ϕ ( ( H I K ) k ) = Hk K H IK tomemos dos elementos iguales en la imagen o sea que k1 ≡ k2 ( mod H ) K G π2 G H ⇒ Hk1 = Hk 2 ⇒ k1k 2−1 ∈ H −1 ⇒ k1k 2 ∈ H I K ⇒ ( H I K ) k1 = ( H I K ) k 2 −1 como k1 , k2 ∈ K ⇒ k1k2 ∈ K luego k1 ≡d k2 ( mod ( H I K ) ) ⇒ ϕ es inyectiva , entonces la cantidad de coclases de H I K son menor o igual a las coclases de H. K ≤G H I K H 1424 3 { P P [ K : H I K ] ≤ [G : H ] ii) Siendo [G : H ] < ∞ tenemos que probar que [ K : H I K ] = [G : H ] ⇔ G = HK y esto se cumple ⇔ ϕ es sobreyectiva. ⇒ Sea ϕ es sobreyectiva; tomemos g ∈ G ⇒ { Hg ∈ G H =π 2 ( g ) como ϕ es sobreyectiva ⇒ ∃k ∈ K tal que Hk = Hg y esto último a su ves implica - 33 - Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 34 - } ∃h1 , h2 ∈ H tal que h1k = h2 g ⇒ h h k = g ⇒ g ∈ HK { ∈K −1 2 1 ∈H ⇐ Sea g ∈ G queremos ver si ∃k ∈ K tal que { Hk = Hg P ϕ (( H I K ) k ) y como G = HK ⇒ ∃h ∈ H y k ∈ K tal que g = hk despejando: gk −1 = h ∈ H ⇒ gk −1 ∈ H ⇒ g ≡ d k ( mod H ) ⇒ Hk = Hg ⇒ ϕ es sobreyectiva. Corolario 1.23 Dado el grupo G y los subgrupos H,K si [G : H ] < ∞ y [G : K ] < ∞ entonces: i) [G : H I K ] < ∞ y [G : H I K ] ≤ [G : H ] ⋅ [G : K ] ii) y se da la igualdad [G : H I K ] = [G : H ] ⋅ [G : K ] ⇔ G = KH = HK Demostración Aplicando la proposición 1.17 tenemos: ≤[ G: H ] 64748 [G : K ] ⋅ [ K : H I K ] [G : H I K ] = ≤ [G : K ] ⋅ [G : H ] G : H ⋅ H : H I K [ ] [ ] 14243 ≤[ G:K ] ii) además [ K : H I K ] = [G : H ] ⇔ G = HK [G : H I K ] = [G : H ] ⋅ [G : K ] ⇔ [ H : H I K ] = [G : K ] ⇔ G = KH Normalidad Dado un grupo G , un subgrupo N donde las relaciones de equivalencia derecha e izquierda módulo N coinciden juegan un papel importante para determinar la estructura del grupo G así como para la naturaleza de los morfismo de dominio G. Proposición 1.24 Dado un grupo G, sea N < G las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) Las relaciones izquierda derecha módulo N son iguales es decir: ≡d ( mod N ) = ≡i ( mod N ) - 34 - Notas de Álgebra II Grupos - 35 - ii) Toda coclase izquierda de N, es una coclase derecha de N. iii) Para todo a ∈ G se cumple: aN = Na iv) Para todo a ∈ G se cumple: aNa −1 ⊂ N v) Para todo a ∈ G se cumple: aNa −1 = N Demostración Haremos la demostración como está i) esquematizada en el diagrama adjunto. i) ⇔ iii) es inmediato iii) ⇒ ii) es trivial iii) ii) ⇒ iii) Sea a ∈ G entonces por hipótesis existe b ∈ G tal que v) aN = Nb lo que quiere decir que a ∈ Nb , por ser Na I Nb ≠ φ implica que Na = Nb y por lo tanto sustituyendo aN = Na iii) ⇒ iv) Sea n ∈ N , entonces an ∈ aN = Na lo que implica: % ∃n% ∈ N tal que an = na luego ana −1 = n% ∈ N ⇒ aNa −1 ⊂ N iv) ⇒ v) Por hipótesis aNa −1 ⊂ N ∀a ∈ G luego como a −1 ∈ G también se cumple: a −1 Na ⊂ N ⇒ N ⊂ aNa −1 y por lo tanto aNa −1 = N −1 v) ⇒ iii) Como ∀a ∈ G se cumple que aNa −1 = N ⇒ aN a{ a = Na ii) iv) =e luego aN = Na Definición 1.31 Dado un grupo G, sea N < G decimos que es subgrupo normal si verifica alguna de las condiciones de la proposición anterior. Escribimos N <G Ejemplo 1.38 Dado un grupo cualquiera G los subgrupos triviales son normales es decir los subgrupos {e} y G ya que: - 35 - Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 36 - geg −1 = e ∀g ∈ G y aGa −1 ⊂ G ∀a ∈ G Ejemplo 1.39 Si G es abeliano todo subgrupo de G es trivialmente normal. El recíproco es falso, recordar los cuaterniones. Ejemplo 1.40 Dado un grupo G probar que: N < H < G ⇒ N < H N <G Si N < G ⇒ aNa −1 ⊂ N ∀a ∈ G en particular ∀h ∈ H ⇒ h ∈ G ⇒ hNh −1 ⊂ N ⇒ N < H Ejemplo 1.41 Sean dos grupos G1 , G2 y ϕ : G1 → G2 un morfismo entre los mismos probar que: ker ϕ < G1 Ya que ker ϕ = { g ∈ G1 : ϕ ( g ) = e} entonces ∀g ∈ ker ϕ y a ∈ G1 se tiene: ϕ ( aga −1 ) = ϕ ( a ) ϕ ( g )ϕ ( a ) = ϕ ( a ) ϕ ( a ) = e { −1 −1 =e −1 luego ∀a ∈ G1 a ker ϕ a ⊂ ker ϕ ∴ ker ϕ < G1 Una forma de buscar subgrupos normales es con los núcleos de morfismos. Observación 1.14 De la definición N < G ⇔≡ d ( mod N ) = ≡i ( mod N ) y podemos hablar de una sola relación ≡ ( mod N ) Entonces G = { gN : g ∈ G} N se tiene que si: g1 ≡ g 2 ( mod N ) ⇒ g1h1 ≡ g 2 h2 ( mod N ) h1 ≡ h2 ( mod N ) Demostración g1 ≡ g 2 ( mod N ) ⇒ g1 g 2−1 ∈ N h1 ≡ h2 ( mod N ) ⇒ h1h2−1 ∈ N entonces sea: g1 h1h2−1 g 2−1 = g1 Ng 2−1 y como N < G ⇒ g1 N = Ng1 luego existe ñ ∈ N { ∈N −1 1 1 2 tal que g h h = ñg1 sustituyendo: - 36 - Notas de Álgebra II Grupos - 37 - g1h1h2−1 g 2−1 = ñ g1 g 2−1 ∈ N ⇒ g1h1 ≡ g 2 h2 ( mod N ) { ∈N Luego podemos definir el producto en G N como sigue Definición Dado un grupo G , y N < G vamos a definir una operación binaria en G llamada producto como sigue: N g G × G →G N N N ( g1 , g 2 ) Î g1 g 2 es decir que g1 g g 2 = g1 g 2 ∀g1 , g 2 ∈ G Proposición 1.25 Dado el grupo G y el subgrupo normal N sea G = { gN : g ∈ G} N ( ) entonces G ,g admite una estructura de grupo y si consideramos la proyección N canónica π : G → G definida como π ( g ) = g = gN entonces esta aplicación es N un epimorfismo de grupos y si G < ∞ entonces: G = G N N Demostración Asociativa g1 g( g 2 g g3 ) = g1 g( g 2 g3 ) = g1 ( g 2 g3 ) = { asoc. grupo ( g1 g 2 ) g3 = ( g1 g 2 )g g 3 = ( g1 g g 2 )g g3 Neutro El neutro de G es e N Inverso El inverso de la clase de g es la clase del inverso: ( g )−1 = ( g )−1 ya que: ( Luego G ) ( g )g( g −1 ) = gg −1 = e ,g es un grupo N Consideremos ahora π : G → G como: N π ( g1g 2 ) = g1 g 2 = g1 g g 2 = π ( g1 )gπ ( g 2 ) se trata de un morfismo de grupos sobreyectivo ⇒ es un epimorfismo. - 37 - Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 38 - Además: ker π = { g ∈ G : π ( g ) = e } = { g ∈ G : g = e } = { g ∈ G : g ≡ e ( mod N )} = N ∴ ker π = N Por otro lado Lagrange G G = G : N] = { N por{def. [ G <∞ N Observación 1.15 En los subgrupos normales N < G la condición que más usamos para probar que es normal es: aNa −1 ⊂ N ∀a ∈ G y esto en cierto sentido nos permite conmutar, es decir: ∃ñ ∈ N tal que ana −1 = ñ ∀a ∈ G, ∀n ∈ N o sea dados a ∈ G , n ∈ N ⇒ ∃ñ ∈ N tal que an = ña Proposición 1.26 Sea G un grupo ,K y N subgrupos de G entonces se cumple: i) Si N < G ⇒ NK = KN = N ∨ K < G ii) Si N < G , K < G ⇒ NK < G iii) Si N < G , K < G y N I K = {e} entonces: nk = kn ∀n ∈ N , k ∈ K Demostración i) Como N < G ⇒ kN = Nk ∀k ∈ K ⇒ KN = NK entonces Dados: ∈KN = NK 6 474 8 k1 , k2 ∈ K n1k1 ∈ NK −1 −1 −1 ⇒ ⇒ ( n1k1 )( n2 k2 ) = n1 k{ 1k 2 n2 n1 , n2 ∈ N n2 k2 ∈ NK ∈K obser.} anterior N < G ⇒ ∃ñ ∈ N tal que k1k 2−1n2−1 = ñk1k2−1 sustituyendo −1 n1 k1k2−1n2−1 = n{ 1ñ k 1 k2 ∈ NK ⇒ NK < G { ∈N ∈K Además como N U K ⊂ NK < G ⇒ NK = N ∨ K ii) sea n ∈ N , k ∈ K , g ∈ G entonces: ∈K por ser K <G } −1 −1 gnkg = { gng gkg −1 ∈ NK ∈N por ser N <G es decir que: gNKg −1 ⊂ NK ⇒ NK < G iii) Sea n ∈ N y k ∈ K entonces: - 38 - Notas de Álgebra II Grupos - 39 - ∈K } −1 ∈ nkn k K { ∈K por ser K <G −1 −1 ⇒ nkn k ∈ N I K = {e} ∈}N −1 −1 n kn k ∈N 123 ∈N por ser N <G −1 −1 ∴ nkn k = e ⇒ nk = kn −1 Como aplicación de la proposición anterior veremos el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.42 Dado un grupo G sean H, K dos subgrupos tales que: H < G , K < G y H I K = {e} entonces: Φ : H × K → HK ( h, k ) Î hk es un isomorfismo de grupos. Demostración Por la proposición anterior: Si H < G , K < G , ⇒ HK < G (parte (i)). Como además K < G y H I K = {e} ⇒ hk = kh ∀h ∈ H y ∀k ∈ K (parte (iii)). Entonces: ↔ Φ ( ( h1 , k1 ) ⋅ ( h2 , k2 ) ) = Φ ( h1h2 , k1k 2 ) = h1 h2 k1 k2 = h1k1h2 k 2 = Φ ( h1 , k1 ) Φ ( h2 , k2 ) además Φ ( e, e ) = ee = e ⇒ Φ es un morfismo de grupos ker Φ = {( h, k ) ∈ H × K : hk = e} , pero que hk = e ⇒ h = k −1 ∈ H I K = {e} ⇒ h = e = k −1 ⇒ ker Φ = {( e, e )} y por lo ∈H ∈K tanto Φ es inyectiva. ∀p ∈ HK ⇒ ∃h ∈ H , ∃k ∈ K tal que p = hk ⇒ Φ ( h, k ) = p ⇒ Φ es sobre. Luego Φ es un isomorfismo y: H × K ≅ HK Propiedad universal del cociente Proposición 1.27 Dado los grupos G1 y G2 sea ϕ : G1 → G2 un morfismo de grupos en que N ⊂ ker ϕ , N < G1 entonces existe y es único el morfismo ϕˆ : G1 → G2 tal N que conmuta el diagrama. Y además: - 39 - Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 40 - Im ϕˆ = Im ϕ ker ϕˆ = ker ϕ ϕ G1 N π Demostración Para que conmute el diagrama se tiene que cumplir ϕ̂ o π = ϕ es decir: ϕˆ (π ( a ) ) = ϕ ( a ) ∀a ∈ G G2 # ϕ̂ G1 ϕˆ ( a ) = ϕ ( a ) N ϕ̂ está bien definida es decir que no depende del representante. Si a ≡ b ( mod N ) ⇒ ϕˆ ( a ) = ϕˆ ( b ) ⇒ ϕ ( a ) = ϕ ( b ) y esto se cumple porque: Si a ≡ b ( mod N ) ⇒ ab −1 ∈ N ⊂ ker ϕ ∴ϕ ( ab −1 ) = e 1 424 3 P ϕ ( a )ϕ ( b −1 ) = ϕ ( a )ϕ ( b ) = e −1 ⇒ ϕ ( a ) = ϕ (b ) veremos ahora que ϕ̂ es un morfismo. ϕˆ ( ab ) = ϕˆ ( ab ) = ϕ ( ab ) = ϕ ( a )ϕ ( b ) = ϕˆ ( a )ϕˆ ( b ) luego es un morfismo que además es único Como el diagrama conmuta y π es sobreyectiva implica que las imagines son iguales. a = aN ∈ ker ϕˆ ⇔ ϕˆ ( a ) = e ⇔ ϕ ( a ) = e { =ϕ ( a ) es decir que: ker ϕˆ = {aN : a ∈ ker ϕ } = ker ϕ Proposición 1.28 (Primer Teorema de Isomorfismo ) Sea ϕ : G1 → G2 un morfismo entonces: Im ϕ ≅ G1 ker ϕ en particular si ϕ es epimorfismo (sobre) entonces: G2 ≅ G1 ker ϕ - 40 - N Notas de Álgebra II Grupos - 41 - Demostración Sea N = ker ϕ sabemos que es ϕ normal a G1 (ejemplo 1.41) y entonces por G1 proposición anterior existe y es único el morfismo G ϕˆ : 1 → G2 donde Im ϕˆ = Im ϕ . π ≅ ker ϕ G1 ϕˆ → > Im ϕˆ = Im ϕ ker ϕ G1 ker ϕ de acuerdo a la proposición anterior ker ϕˆ = ker ϕ = e N = ker ϕ { } por lo que ϕ̂ es inyectiva. Luego G1 ≅ Im ϕ = Im ϕˆ ker ϕ Im ϕ ⊂ G2 ϕ̂ a Î ϕ (a a) Proposición 1.29 Sean dos grupos G1 y G2 , ϕ : G1 → G2 morfismo entre ellos con N1 < G1 , N 2 < G2 tal que ϕ ( N1 ) ⊂ N 2 entonces: G G Existe un único morfismo ϕˆ : 1 → 2 N1 N2 ϕ tal que el diagrama conmuta y además ϕ̂ es G1 G2 −1 inyectiva si y solo sí N1 = ϕ ( N 2 ) y ϕ̂ es Ð sobre si y solo sí G2 = N 2 Im ϕ = Im ϕ N 2 π1 π 2 oϕ π2 Ñ Demostración Para la demostración vamos a aplicar la propiedad universal del cociente a G1 G2 la aplicación π 2 o ϕ para ello primero N1 N2 ϕ̂ necesitamos ver si N1 ⊂ ker (π 2 o ϕ ) Como por hipótesis ϕ ( N1 ) ⊂ N 2 entonces ∀a ∈ N1 ⇒ ϕ ( a ) ∈ N 2 ⇔ ϕ ( a ) = e ⇔ π 2 (ϕ ( a ) ) = e ∴ N1 ⊂ ker (π 2 o ϕ ) luego existe ϕ̂ definida por ϕˆ ( aN1 ) = ϕ ( a ) N 2 clase de ϕ ( a ) en N2 clase de a en N1 tal que ker ϕˆ = ker (π 2 o ϕ ) - 41 - N1 Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 42 - (π 2 o ϕ )( a ) = ϕ ( a ) = e ⇔ ϕ ( a ) ∈ N 2 ∴ a ∈ ker (π 2 o ϕ ) ⇔ ϕ ( a ) ∈ N 2 ⇔ a ∈ ϕ −1 ( N 2 ) entonces resulta ker ϕˆ = ϕ −1 ( N 2 ) y por lo tanto será inyectiva si y solo sí ϕ −1 ( N 2 ) = N1 ⇔ ker ϕˆ = N1 ϕ −1 ( N 2 ) = e N1 { } además ϕ̂ es sobre ∀b ∈ G2 ∃a ∈ G1 tal que ϕˆ ( a ) = b es decir: { =ϕ ( a ) b = ϕ ( a ) en G2 ⇔ ∃n ∈ N 2 tal que bϕ −1 ( a ) = n ⇔ b = nϕ ( a ) ∈ N 2 Im ϕ N2 luego si G2 = N 2 Im ϕ = Im ϕ N 2 Corolario 1.30 (Segundo Teorema de Isomorfismo ) Dado el grupo G si se cumple que N < G , K < G entonces: N < NK K NK y ≅ NIK<K N IK N Demostración Si N < G como N < NK < G entonces por el ejemplo 1.40: N < NK Por otro lado sea a ∈ K , b ∈ N I K entonces: ∈}K −1 b% ∈ K ⇒ aba ∈ K −1 a { b a = ⇒ aba −1 ∈ N I K − 1 ∈N <G b% ∈ N ⇒ aba ∈ N luego ∀a ∈ K , a ( N I K ) a −1 ⊂ N I K ⇒ { NIK<K < N G NK <? NIK por def. Definimos ahora la aplicación inclusión i : K → NK y aplicamos la proposición anterior ya que i(N I K ) = N I K ⊂ N → NK y como: Entonces existe iˆ : K N IK N −1 i ( N ) = {k ∈ K : k ∈ N } = N I K luego iˆ es inyectiva - 42 - K <? i K NK iˆ K NIK NK N Notas de Álgebra II Grupos - 43 - por otro lado como N Im {i = NK ⇒ iˆ es sobreyectiva entonces es un isomorfismos y =K K NK ≅ N IK N como queríamos probar. Además se tiene: [ K : N I K ] = [ NK : N ] Observación 1.16 Si tenemos ( G , + ) abeliano entonces el segundo teorema de isomorfismo nos queda K N+K ≅ N IK N Proposición 1.31 (Tercer Teorema de Isomorfismo ) Dado un grupo G , K < H < G tales que K < G , H < G entonces: G K ≅G H <G y K K H H K < < G H Demostración Aplicamos al morfismo identidad la proposición K 1.29 Por ser Id ( K ) = K ⊂ H entonces existe ϕ = Idˆ y es única Además al ser: H} ⊂G Id H ImId = HG = G G G luego ϕ es sobre y como Id −1 ( H ) H π π ˆ ϕ ker = K= K esto implica dos cosas una que: G G H <G K H K H ϕ = Idˆ la otra que podemos aplicar el primer teorema de π ϕ̂ isomorfismo al morfismo ϕ para obtener un G G G K K morfismo ϕˆ : definido: → H H H K K H ϕˆ g = ϕ { g = gH K = gK - 43 - Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 44 - G H G ≅ Entonces g → gH ⇒ K ≅ g∈G H K H K Lema 1.32 Sea dos grupo G1 y G2 , ϕ : G1 → G2 morfismo entonces se cumple que: i) Si N1 < G1 ⇒ ϕ ( N1 ) < Im ϕ ii) Si N 2 < G2 ⇒ ϕ −1 ( N 2 ) < G1 iii) Si H < G2 ⇒ ker ϕ < ϕ −1 ( H ) Demostración i) Sean a ∈ G1 , b ∈ N1 entonces: luego ϕ ( N1 ) < Im ϕ −1 −1 ϕ ( a )ϕ ( b )ϕ ( a ) = ϕ aba ∈ ϕ ( N1 ) { { ∈N1<G1 ∈ϕ ( N1 ) ii) Sean a ∈ G1 , b ∈ ϕ −1 ( N 2 ) es decir tal que ϕ ( b ) ∈ N 2 entonces: ∈N 2 } Como N 2 < G2 ⇒ ϕ ( a )ϕ ( b )ϕ −1 ( a ) ∈ N 2 { 123 ∈G2 ∈G2 144 42444 3 P ϕ ( a )ϕ ( b )ϕ −1 ( a ) = ϕ ( aba −1 ) ∈ N 2 ⇔ aba −1 ∈ ϕ −1 ( N 2 ) Luego ϕ −1 ( N 2 ) < G1 iii) ahora como {e} < H entonces aplicando la proposición 1.6 ϕ −1 ({e} ) < ϕ −1 ( H ) 1 424 3 P ker ϕ < ϕ −1 ( H ) Proposición 1.32 Dado un grupo G , N < G y sean S N = {H < G : N < H } y Sˆ = K : K < G N Sea π : G → G N (proy. Canónica) y consideremos la aplicación: Sˆ → S N S N → Sˆ { } H Î π (H ) K Î π −1 ( K ) siendo π ( H ) = H entonces esta aplicación es una biyección monótona creciente N que respeta la normalidad. Demostración Primero probaremos que conserva la normalidad - 44 - Notas de Álgebra II Grupos - 45 - π :G → G si H < G ⇒ π ( H ) < G N N −1 G − 1 π : N → G si K < G N ⇒ π ( K ) < G De acuerdo con la proposición anterior como π es sobre: G Si H < G ⇒ π ( H ) = H < G N N − 1 Si K < G ⇒ π ( K ) < G H N además ker π < π −1 ( K ) < G π −1 ( K ) { P N < π −1 ( K ) < G La monotonía es clara K1 < K 2 < G N ⇒ π −1 ( K1 ) < π −1 ( K 2 ) < G N π G N π (H ) = H N K {e} Por otro lado la siguiente inclusión siempre se da H ⊂ π −1 (π ( H ) ) Para probar la otra inclusión consideremos g ∈ π −1 (π ( H ) ) esto implica que: ∃h ∈ H tal que g = h en G N ⇒ g ≡ h ( mod N ) ⇒ gh −1 ∈ N Es decir que ∃n ∈ N tal que gh −1 = n ⇒ g = n{ h ∈ H y entonces: ∈N ⊂ H π −1 (π ( H ) ) ⊂ H Y se da la igualdad H = π −1 (π ( H ) ) Por otro lado siempre se cumple la siguiente inclusión : π (π −1 ( K ) ) ⊂ K Para probar la otra inclusión sea α ∈ K lo que significa que: ∃g ∈ G tal que α = g = π ( g ) entonces π ( g ) = α ⇒ g ∈ π −1 ( K ) sustituyendo α ∈ π (π −1 ( K ) ) y se da la inclusión K ⊂ π (π −1 ( K ) ) y por lo tanto se cumple: K = π (π −1 ( K ) ) Así una es la inversa de la otra y existe entonces una biyección como afirmamos. - 45 - Notas de Álgebra II Capítulo 1 Ejemplo 1.43 Sea ϕ : G1 → G2 un epimorfismo y sean S1 = {H < G : ker ϕ < H } S 2 = {K : K < G2 } Entonces la aplicación en que f : S1 → S 2 verifican lo mismo H < G1 → ϕ ( H ) < G2 que la proposción anterior ϕ −1 ( K ) ← K < G2 - 46 - - 46 - Capítulo 2 Grupos Simétricos En este capítulo estudiaremos con más detalle a los grupos simétricos ya mencionados en los ejemplos 1.15 y 1.16 S n así como los subgrupos de los mismos. Recordar que; si S es un conjunto no vació llamábamos: Biy ( S ) = { f : S → S / f es biyectiva} y ( Biy ( S ) , o ) es un grupo con la composición como operación. Si llamamos I n = {1,..., n} , entonces S n = Biy ( I n ) y llamamos al grupo ( S n , o ) grupo simétrico , en particular si σ ∈ S n lo llamamos permutación y escribimos: 2 L n 1 σ = σ (1) σ ( 2 ) L σ ( n ) Cuando los grupo aparecieron al principio en las matemáticas, generalmente procedían de una fuente específica y se presentaban en forma muy concreta. Muy a menudo era en la forma de un conjunto de transformaciones de algún objeto matemático particular. En realidad, la mayor parte de los grupos aparecieron como grupo de permutaciones, es decir , como subgrupos de S n (cuando S es un conjunto finito de n elementos ) De ahí la importancia de estos grupos en particular. El matemático inglés Cayley fue el primero en notar que todo grupo podía realizarse como un subgrupo de S n Con ese propósito daremos el teorema de Cayley como alguno de sus otros resultados. El teorema de Cayley afirma que todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de Biy ( G ) , acá lo veremos como corolario del siguiente teorema: Proposición 2.1 Si G es un grupo entonces existe un monomorfismo ϕ tal que - 47 - Notas de Álgebra II Capítulo 2 - 48 - ϕ : G → Biy ( G ) a Î ϕa : G → G x Î ax Demostración Demostraremos primero que es un morfismo Observar que ∀a ∈ G ϕ ( a ) = ϕ a ⇒ ϕ ( a )( x ) = ϕ a ( x ) = ax ∀x ∈ G ϕ a ( x ) = ax entonces: ϕ ( ab )( x ) = ϕ ab ( x ) = abx = ϕ a ( bx ) = ϕ a (ϕ b ( x ) ) = (ϕ a o ϕ b ) ( x ) = (ϕ ( a ) o ϕ ( b ) ) ( x ) Luego ϕ ( ab ) = ϕ ( a ) o ϕ ( b ) Así ϕ es un morfismo de grupos y por lo tanto lleva elemento neutro en elemento neutro ϕ ( e )( x ) = ϕ e ( x ) = ex = x ⇒ ϕ ( e ) = Id y lleva elementos invertibles en invertibles −1 ϕ ( a −1 ) = ϕ ( a ) 123 123 P P ϕ a − 1 = (ϕ a ) −1 Es decir que ∀a ∈ G ⇒ ϕ a ∈ Biy ( G ) ⇒ Im ϕ ⊂ Biy ( G ) Además si ϕ ( a ) = Id ⇒ ϕ ( a )( x ) = ϕ a ( x ) = x ∀x ∈ G { P ax = x ⇒ a = e ⇒ ker ϕ = {e} Luego ϕ es inyectiva y se trata de un monomorfismo. Corolario 2.2 Si G es un grupo tal que monomorfismo ϕ : G → S n G = n < ∞ entonces existe un Demostración Aplicamos el teorema para el caso particular en que Biy ( G ) = S n por ser G de finitos elementos. Corolario 2.3 (Teorema de Cayley) Si G es un grupo entonces es isomorfo a un subgrupo de Biy ( G ) - 48 - Notas de Álgebra II Grupos de Permutaciones - 49 - Demostración Ya esta hecha la demostración solo hay que tener en cuenta que por ser ϕ un monomorfismo (inyectiva) de acuerdo a lo visto en la proposición 1.6 (ii) Im ϕ < Biy ( G ) entonces ϕ es un isomorfismo sobre Imϕ que es a su ves un subgrupo de Biy ( G ) . El teorema de Cayley nos permite exhibir cualquier grupo abstracto como un objeto más concreto, a saber, como un grupo de transformaciones. ( Biy ( G ) ) Pero tiene sus limitaciones; pues si G es un grupo finito de orden n , entonces como S n = n ! . Nuestro grupo G de n elementos es algo perdido en un grupo que, con sus n! elementos es gigantesco en comparación con G . Una pregunta natural es: ¿podemos mejorar el resultado en el sentido de encontrar otro grupo con menos elementos, de manera que la conclusión del teorema siga siendo válida? En esta dirección veremos más adelante el teorema de generalización de Cayley. Definición 2.1 Sea σ ∈ S n decimos que es un r-ciclo o ciclo de longitud r si existen elementos i1 ,..., ir ∈ I n distintos tales que: i) σ ( x ) = x ∀x ∉ {i1 ,..., in } ii) σ ( ik ) = ik +1 si k = 1,..., r − 1 iii) σ ( ir ) = i1 Anotamos σ = ( i1 , i2 ,..., ir ) En el caso particular que sea σ un 2-ciclo lo llamamos trasposición y anotamos σ = ( i, j ) Un 1-ciclo por definición es la identidad 1 2 Ejemplo 2.1 Sea I 2 = {1, 2} τ = 2 1 En el caso de S3 tenemos : 1 2 3 1 2 3 Id = ; = ( 2,3) ; 1 2 3 1 3 2 claramente S 2 = {Id,τ } ≅ ¢ 2 1 2 3 1 2 3 2 1 3 = (1, 2 ) ; 2 3 1 = (1, 2,3) 1 2 3 1 2 3 3 1 2 = (1,3, 2 ) ; 3 2 1 = (1,3) luego S3 = {Id, (1, 2 ) ; (1,3) ; ( 2,3) ; (1, 2,3) ; (1,3, 2 )} Observar que ( i1 , i2 ,..., ir ) = ( i2 ,..., ir , i1 ) = ..... = ( ir , i1 ,..., ir −1 ) Si σ = ( a1 , a2 ,..., ar ) entonces σ = r ya que σ r = Id entendiendo a - 49 - Notas de Álgebra II Capítulo 2 - 50 - σr =σ o σ o ... o σ 14243 r veces Notar que σ −1 = ( ar , ar −1 ,..., a1 ) = σ r −1 ya que σ r −1 o σ = σ o σ r −1 = σ r = Id Definición 2.2 Dadas dos permutaciones σ y τ ∈ S n decimos que son disjuntas si: σ ( x) ≠ x ⇒ τ ( x) = x τ ( x) ≠ x ⇒ σ ( x) = x En particular si σ y τ son ciclos entonces : σ = ( a1 ,..., ar ) como ⇒ σ Iτ = φ τ = ( b1 ,..., bs ) conjuntos Notar además que si σ es un r − ciclo y x ∈ I n σ ( x ) ≠ x entonces: σ = ( x,σ ( x ) ,σ 2 ( x ) ,..., σ r −1 ( x ) ) Proposición 2.2 Toda permutación σ ∈ S n ,σ ≠ Id se puede escribir en forma única (a menos del orden) como producto de ciclos disjuntos de longitudes mayores o iguales que dos. Demostración Primero vamos a definir una relación de equivalencia, como sigue: x, y ∈ I n x : y ⇔ ∃m ∈ ¢ tal que y = σ m ( x ) dicha relación es efectivamente de equivalencia. 1) x : x ya que x = Id ( x ) = σ 0 ( x ) 2) x : y ⇒ ∃m ∈ ¢ tal que y = σ m ( x ) ⇒ x = σ − m ( y ) ⇒ y : x x : y ⇒ ∃m ∈ ¢ tal que y = σ m ( x ) n m n+ m 3) ⇒ z = σ (σ ( x ) ) = σ ( x ) ⇒ x : z n y : z ⇒ ∃n ∈ ¢ tal que z = σ ( y ) Esta relación de equivalencia establece una partición en I n en clases de equivalencia y a estas anotaremos por σ x = {σ m ( x ) : m ∈ ¢} Así por ejemplo si la permutación dada: 1 2 3 4 5 6 σ = 2 4 3 1 6 5 se tiene σ 2 = {2, 4,1} , σ 3 = {3} , σ 5 = {5,6} entonces existe un conjunto de representantes x1 , x2 ,..., xt ∈ I n tal que: - 50 - Notas de Álgebra II Grupos de Permutaciones - 51 - t I n = 5 σ xi i =1 teniendo en cuenta que puede haber clases con un solo elemento es decir que σ x = { x} y reordenando σ xi = 1 si i = s + 1,..., t ∃s ≤ t tal que σ xi > 1 si i = 1, 2,..., s consideremos i = 1, 2,..., s vamos a probar que ∃mi ∈ ¢ tal que σ xi = mi y σ xi = { xi ,σ ( xi ) , σ 2 ( xi ) ,..., σ mi −1} cumpliéndose σ mi ( xi ) = xi Definimos H xi = {m ∈ ¢ : σ m ( xi ) = xi } se tiene que: 1) 0 ∈ H xi ya que σ 0 ( xi ) = Id ( xi ) = xi : σ m ( xi ) = xi 2) Si m, n ∈ H xi ⇒ n −n σ ( xi ) = xi ⇒ xi = σ ( xi ) sustituyendo: = xi 6 474 8 ⇒ σ m σ − n ( xi ) = σ m ( xi ) = xi 14 4244 3 P σ m −n ( xi ) = xi ⇒ m − n ∈ H x i luego H xi < ¢ , H xi ≠ ¢ y H xi ≠ Id para esto último elegimos los i = 1,..., s lo que significa que H xi es un subgrupo propio de los enteros ¢ y como ya sabemos de álgebra 1 existe mi ∈ ¢ + tal que H xi = mi ¢ con mi ≥ 2 . Consideremos la aplicación ϕ : ¢ → σ xi ¢ m Î σ m ( xi ) ϕ ( m ) = ϕ ( n ) ⇔ σ m ( xi ) = σ n ( xi ) ⇔σ m−n ( xi ) = xi ⇔ m − n ∈ H x = mi ¢ i ⇔ m ≡ n ( mod H xi ) ⇔ m = n en ¢ mi entonces sabemos que existe una única ϕ̂ ϕˆ : ¢ → σ xi tal que ϕˆ ( m ) = ϕ ( m ) entonces: mi ¢ - 51 - π ϕ σ xi ≅ ¢ mi ¢ ϕˆ Notas de Álgebra II Capítulo 2 - 52 - ϕˆ ( m ) = ϕˆ ( n ) ⇔ ϕ ( m ) = ϕ ( n ) ⇔ m = n luego ϕ̂ es inyectiva y como ϕ es sobre entonces ϕ̂ es sobre y por lo tanto es biyectiva. ¢ mi = { 0, 1 ,..., mi − 1} ↓, ↓ ,..., ↓ xi , σ ( xi ) ,.., σ mi −1 ( xi ) Como ¢ mi = mi ⇒ σ xi = mi y además dichos elementos son: σ xi = { xi ,σ ( xi ) ,σ 2 ( xi ) ,..., σ mi −1 ( xi )} Llamemos ηi = σ xi para i = 1,..., s vamos a probar que σ = η1η2 ....ηs Sea x ∈ I n ⇒ puede suceder dos cosas: s 1) x ∉ σ xi ⇒ σ ( x ) = x ⇒ ηi ( x ) = x ∀i = 1,..., s ⇒ η1η2 ...ηs ( x ) = x 5 1 i = 2) ∃i ∈ {1,..., s} tal que x ∈ σ x ⇒ η ( x ) = x ∀j ≠ i i j ⇒ η1η2 ...ηs ( x ) = ηi (η1...ηi −1ηi +1...ηs )( x ) = ηi ( x ) = σ ( x ) Esto prueba la existencia Unicidad Supongamos que tenemos otra descomposición de σ la siguiente forma: σ = τ1τ 2 ...τ r con τ i ciclos disjuntos con τ i ≥ 2 y τ i = ( yi ,τ i ( yi ) ,...,τ imi −1 ( yi ) ) con τ imi ( yi ) = yi Sea Ai = { yi ,τ i ( yi ) ,...,τ imi −1 ( yi )} i = 1,..., r como los ciclos son disjuntos Ai I Aj = φ si i ≠ j Si y ∈ Ai ⇒ σ ( y ) = τ 1τ 2 ...τ r ( y ) = τ i (τ 1...τ i −1τ i +1...τ r )( y ) = τ i ( y ) ∈ Ai σ 2 ( y ) = σ τ i ( y ) = τ i (τ i ( y ) ) = τ i2 ( y ) ∈ Ai { ∈Ai LLLLLLLLLLLLL σ m ( y ) = τ im ( y ) ∀y ∈ Ai ∀m ∈ ¢ Luego σ yi = {σ m ( yi ) : m ∈ ¢} = {τ im ( yi ) : m ∈ ¢} = Ai Los Ai son clases de equivalencia según la relación definida más arriba con Ai ≥ 2 desde i = 1,..., r . Si x ∉ A1 U A2 U ... U Ar ⇒ τ i ( x ) = x ∀i ∈ {1,..., r} ⇒ σ ( x ) = τ 1τ 2 ...τ r ( x ) = x - 52 - Notas de Álgebra II Grupos de Permutaciones - 53 - r Entonces si llamamos z1 ,..., zk = I n \ U Ai se tiene que i =1 I n = A1 â A2 â ... â Ar â { z1} â ... â { zk } I n = σ y1 â ... â σ yr â { z1} â ... â { zk } tenemos una partición de I n en clases de equivalencia y como esta es única se tiene probado la unicidad. Ejemplo 2.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 = 1,3 2, 4,5 ; ( )( ) 3 4 1 5 2 3 5 1 4 2 = (1,3)( 2,5 ) Observación 2.1 Dada una permutación σ ∈ S n y sea su descomposición en ciclos disjuntos σ = τ 1.τ 2 ...τ r entonces: σ = m.c.m { τ1 ,..., τ r } Así como en el ejemplo: 1 2 3 4 5 3 4 1 5 2 = m.c.m { (1,3) , ( 2, 4,5 ) } = 2.3 = 6 Corolario 2.3 Toda permutación σ ∈ S n , σ ≠ Id se puede escribir como producto de trasposiciones ( no necesariamente disjuntas) Salvo que esta descomposición no es única. Demostración Basta con demostrar que todo ciclo lo verifica y que la identidad también § Id = ( i, j )( j , i ) § ( x1 , x2 , x3 ,..., xr − 2 , xr −1 , xr ) = ( x1 , xr )( x1 , xr −1 ) ...( x1 , x3 )( x1 , x2 ) r ≥ 2 Ejemplos 2.3 1. ( a, b, c ) = ( a, c )( a, b ) 2. ( x, y , a )( x, y, b ) = ( x, a )( x, y )( b, y )( b, x ) 1 424 3 ( b , x, y ) Por otro lado ( x, y , a ) = ( x, a )( x, y ) x, y )( y, x )( y , b ) = ( x, a )( y , b ) ⇒ ( x, a )(14243 ( x, y, b ) = ( b, x, y ) = ( y, b, x ) = ( y, x )( y, b ) = Id Luego tenemos dos descomposiciones - 53 - Notas de Álgebra II Capítulo 2 - 54 - ( x, a )( x, y )( b, y )( b, x ) ( x, a )( y , b ) en las que no hay unicidad en la cantidad de factores. ( x, y , a )( x, y, b ) = Definición 2.3 Dada una función f : ¢ n → ¢ y una permutación σ ∈ S n definimos la siguiente función σ f : ¢ n → ¢ como: σ f ( x1 ,..., xn ) = f ( xσ (1) ,..., xσ ( n) ) ∀x1 ,..., xn ∈ ¢ Observación 2.2 Dadas dos permutaciones σ ,τ ∈ S n y una función f : ¢ n → ¢ entonces se cumple: 1) Idf = f en forma obvia. 2) (τσ ) f = τ (σ f ) Ya que: [τ (σ f )] ( x1 ,..., xn ) = (σ f ) ( xτ (1) ,..., xτ ( n ) ) llamemos yi = xτ (i ) para i = 1,..., n entonces (σ f )( y1 ,..., yn ) = f ( yσ (1) ,..., yσ ( n ) ) y como yσ ( i ) = xτ (σ ( i ) ) ∀i = 1,...n sustituyendo nos queda: [τ (σ f )] ( x1 ,..., xn ) = f ( xτσ (1) ,..., xτσ ( n ) ) = [(τσ ) f ] ( x1 ,..., xn ) lo que queríamos probar. Observación 2.3 Si f , g : ¢ n → ¢ , c ∈ ¢ y σ ∈ Sn entonces: σ ( f + g ) = σ f + σ g ; σ ( fg ) = (σ f )(σ g ) ; σ ( cf ) = c (σ f ) Demostración Ejercicio. Proposición 2.4 Existe un único morfismo ε : S n → {−1,1} = ¢× tal que ε (τ ) = −1 para toda trasposición τ . Demostración Para ello definimos una función ∆ : ¢ n → ¢ tal que: ∆ ( x1 ,..., xn ) = ∏ ( x j − xi ) 1≤ i < j ≤ n Primero que nada ∆ ≠ 0 por ser cada factor distinto de cero. Consideremos una trasposición cualquiera σ = ( r , s ) entonces de acuerdo a la definición 2.3 está definida σ∆ : ¢ n → ¢ y además si suponemos r < s tenemos: - 54 - Notas de Álgebra II Grupos de Permutaciones - 55 - σ∆ ( x1 , x2 ,..xr ,..., xs ,..., xn ) = ∆ x1 ,..., xr −1 , xs ,..., xs −1 , xr ,..., xn E5555555F cambiamos r con s entonces podemos escribir: ∆3 ∆2 ∆1 64447444 8 6 474 8 6447448 ∆ ( x1 ,..., xn ) = ( xs − xr ) ∏ ( x j − xi ) ⋅ ∏ ( x j − xs )( xj − xr ) ⋅ 1≤ i < j ≤ n {i , j}I{r , s} =φ j >s ⋅ ∏ ( xs − x j )( xr − x j ) ⋅ ∏ ( xs − x j )( x j − xr ) j<r < j<s 14442444 3 1144424443 ∆4 De esta forma ∆5 ∆ = ∆1∆ 2 ∆ 3 ∆4 ∆5 ahora σ∆1 ( x1 ,..., xn ) = ( xσ ( s ) − xσ ( r ) ) = ( xr − xs ) = −∆1 ∆2 = ∏ (x 1≤ i < j ≤ n {i , j}I{r , s}=φ j σ − xi ) → ∆ 2 ya que r y s no aparecen σ ∆ 3 = ∏ ( x j − xs )( x j − xr ) → ∏ ( x j − xr )( xj − xs ) = ∆ 3 1 r s σ ∆ 4 = ∏ ( xs − x j )( xr − x j ) → ∏ ( xr − x j )( xs − x j ) = ∆ 4 1 j r s n s n j >s j<r ∆5 = ∏ (x r < j <s j n j >s j <r − x j )( x j − xr ) → ∏ ( xr − x j ) ( x j − xs ) = ∆ 5 1 424 31 424 3 r < j <s 1 σ s =− ( x j − xr ) r j =− ( xs − x j ) Luego σ∆ = −∆ , con σ = ( r , s ) Para el caso general σ ∈ S n cualquiera, tenemos por el corolario anterior que existen trasposiciones τ 1 ,...,τ k tal que: τ = τ 1τ 2 ...τ k entonces k σ∆ = (τ 1τ 2 ...τ k ) ∆ = τ 1 (τ 2 ( ...(τ k ∆ ) ...) ) = ( −1) ∆ Definimos ε : S n → {−1,1} por σ∆ = ε (σ ) ∆ ∀σ ∈ Sn ; por lo visto hasta ahora tiene sentido dicha definición y además: Sean σ ,τ ∈ S n entonces ε (στ ) ∆ = (στ ) ∆ = σ (τ∆ ) = σ ε (τ ) ∆ = ε (τ ) σ∆ = ε (τ ) ε (σ ) ∆ { ∈¢ Luego ε (στ ) = ε (σ )ε (τ ) es decir que ε : S n → ¢× = {−1,1} es un morfismo de grupos y ε (τ ) = −1 si τ es una transposición. - 55 - Notas de Álgebra II Capítulo 2 - 56 - La unicidad de ε se deduce de que las trasposiciones generan a S n como grupo, porque ya vimos que cualquier permutación se puede escribir como producto de trasposiciones. Observación 2.4 Ya vimos que una permutación se puede escribir como producto de trasposiciones lo que además se cumple que esta descomposición no es única ni siquiera en el número de factores, pero estos son iguales módulo dos. Es decir si: σ ∈ S n y σ = τ 1τ 2 ...τ r r s ⇒ ( −1) = ( −1) ⇒ r ≡ s ( mod 2 ) σ = η1η2 ....ηs Definición 2.4 Dada una permutación σ ∈ S n decimos que es par si ε (σ ) = 1 Notar que si una permutación es par entonces se descompone en un número par de trasposiciones. r σ = τ 1τ 2 ...τ r con r par ⇔ ε (σ ) = ( −1) = 1 En caso contrario decimos que σ es impar. Definición 2.5 Llamaremos grupo alternado al grupo: An = {σ ∈ Sn : σ es par} Como Id ∈ An y si σ ,τ ∈ An ⇒ στ −1 ∈ An luego An < S n otra forma de ver lo mismo es observando que An = ker (ε ) ⇒ An < Sn y además como ε : S n → {−1,1} es sobreyectiva entonces S {−1,1} ≅ S n A ⇒ 2 = [ S n : An ] = n n A n luego Sn n! = 2 2 Observación 2.5 Si σ ∈ S n es un r-ciclo de la forma σ = ( a1 , a2 ,..., ar ) como: a1 , ar )( a1 , ar −1 ) ...( a1 , a2 ) ( a1 , a2 ,..., ar ) = (1444 424444 3 An = r −1 factor entonces σ es par ⇔ r es impar Ejemplo 2.4 S 2 = {Id, (1, 2 )} ⇒ A2 = {Id} S3 = {Id, (1, 2 ) ; (1,3) ; ( 2,3) ; (1, 2,3) ; (1,3, 2 )} entonces A3 = {Id, (1, 2,3) ; (1,3, 2 )} ≅ ¢ 3 - 56 - Notas de Álgebra II Grupos de Permutaciones - 57 - Definición 2.6 Dado un grupo G ≠ {Id} decimos que es un grupo simple si no contiene subgrupos normales propios (no triviales). Es decir si H < G ⇒ H = {Id} o H = G Ejemplo 2.5 Si G es abeliano, G es simple si y solo sí G ≅ ¢ p con p primo. Ya que si es abeliano todo subgrupo es normal y si es isomorfo a ¢ p con p primo implica que no tiene subgrupos propios, los únicos subgrupos son los triviales ⇒ los únicos subgrupos normales de G son los triviales. Ejemplo 2.6 En base al ejemplo anterior y al ejemplo 2.4 ⇒ A3 es simple Ejemplo 2.7 Sea en S 4 N = {Id, (12 )( 34 ) ; (13)( 24 ) ; (14 )( 23)} < A4 (ejercicio del practico) luego A4 no es simple. Probaremos que An es simple si n ≥ 5 para lo cual veremos los siguientes lemas. Lema 2.5 An es el subgrupo de S n generado por los 3-ciclos para todo n ≥ 3 Demostración Sea L= subgrupo de S n generado por los 3-ciclos. Como ( abc ) = ( ab )( bc ) ∈ An ⇒ L ⊂ An Para n = 3 A3 = {Id, (123) ; (132 )} y se cumple A3 = L Para n ≥ 3 si σ ∈ An ⇒ σ = τ 1τ 2 ...τ 2k con τ i trasposición ∀i = 1,..., 2k es decir se descompone en un número par de trasposiciones. Entonces según sean estas disjuntas o no se tiene: = Id 6 474 8 ( xa )( yb ) = ( xa )( xy )( xy )( yb ) = ( xya )( xyb ) τ i τ i +1 = ⇒ An ⊂ L ( ab )( bc ) = ( ba )( bc ) = ( bca ) = ( abc ) y por lo tanto L = An Definición 2.7 Dado un grupo G, sean a, b ∈ G decimos que son conjugados si existe c ∈ G tal que a = cbc−1 . Observación 2.6 Ser conjugados es una relación de equivalencia en G Ya que i) a = eae−1 ⇒ a es conjugado consigo mismo. ii) Si a es conjugado con b ⇒ ∃c ∈ G tal que a = cbc −1 ⇒ c −1ac = b - 57 - Notas de Álgebra II Capítulo 2 - 58 - ∴ ∃c −1 ∈ G tal que b = c −1a ( c −1 ) ⇒ b es conjugado con a −1 iii) Sean a conjugado con b y b conjugado con c entonces: ∃h ∈ G tal que a = hbh −1 −1 −1 −1 con hk ∈ G a = hkck h ⇒ a = hk c hk ( ) ( ) ∃k ∈ G tal que b = kck −1 luego a es conjugado con c . Definición 2.8 Dado un grupo G y a ∈ G llamamos clase de conjugación de a y anotamos CG ( a ) a la clase de equivalencia que pertenece a: CG ( a ) = {cac −1 : c ∈ G} Lema 2.6 Dada una permutación σ ∈ S n entonces: σ ( a1 , a2 ,..., ar ) σ −1 = (σ ( a1 ) , σ ( a2 ) ,..., σ ( ar ) ) Demostración Primero consideremos que : x ∉ {σ ( a1 ) ,..., σ ( ar )} ⇒ σ −1 ( x ) ∉ {a1 ,..., a r } luego se tiene: σ ( a1 ,..., ar )σ −1 ( x ) = σ (σ −1 ( x ) ) = x = (σ ( a1 ) ,..., σ ( ar ) ) ( x ) Ahora si x ∈ {σ ( a1 ) ,..., σ ( ar )} ⇒ x = σ ( ak ) para algún k ≤ r entonces: σ ( ak +1 ) si k ≠ r σ ( a1 ,..., ar )σ −1 ( x ) = σ ( a1 ,..., ar )σ −1 (σ ( ak ) ) = σ ( a1 ,..., ar )( ak ) = σ ( a1 ) si k = r Luego σ ( a1 ,..., ar )σ −1 = (σ ( a1 ) ,..., σ ( ar ) ) Lema 2.7 Si n ≥ 5 , entonces todos los 3- ciclos son conjugados entre sí en An . Demostración Sea ( abc ) e ( ijk ) dos 3-ciclos : ∃σ ∈ S n tal que σ ( a ) = i ; σ ( b ) = j ; σ ( c ) = k entonces σ ( abc )σ −1 = ( ijk ) por lema anterior Si σ ∈ An ya está Si σ ∉ An se tiene que si de ∉ {abc} ⇒ σ . ( de ) ∈ An y entonces: conmutan Id 64748 6 474 8 −1 −1 −1 σ σ = σ σ = σ . de abc . de de abc de de de ( )( )( ) ( )( )( abc ) σ −1 = ( ( )) ( ) ( ( ) ) = σ ( abc ) σ −1 = ( ijk ) Es decir que todos los 3-ciclos son conjugados entre sí en An - 58 - Notas de Álgebra II Grupos de Permutaciones - 59 - Corolario 2.8 Si n ≥ 5 , N < An y N contiene un 3-ciclo, entonces N = An Demostración Por ser N normal se tiene que: στσ −1 ∈ N ∀τ ∈ N y σ ∈ An por hip. ∃τ ( 3-ciclo ) ∈ N ⊂ An N contiene a todos los 3-ciclos ⇒δ ∈N ⇒ N = An −1 ∀δ ( 3-ciclo ) ∈ An ⇒ ∃σ ∈ An / στσ =δ y An = 3-ciclo { prop. ant. ∈N Proposición 2.9 El subgrupo An para n ≥ 5 es simple Demostración Consideramos que tenemos N < An con N ≠ {Id} entonces probaremos que N = An . Para ello usaremos el corolario anterior, es decir demostraremos que N contiene un 3-ciclo. Como N ≠ {Id} ⇒ ∃σ ∈ N , σ ≠ Id es decir que: σ = τ 1τ 2 ...τ r , τ i ciclos disjuntos τ i ≥ 2 , i = 1,..., r Tenemos 4 casos posibles: 1) Existe un i tal que τ i ≥ 4 2) ∀i , τ i ≤ 3 pero existen i ≠ j tales que τ i = τ j = 3 3) Existe un i tal que τ i = 3 y τ k < 3 ∀k ≠ i 4) ∀i , τ i = 2 Caso 1 Como existe un ciclo de orden mayor que cuatro sea este ( a1a2 ...ar ) y consideremos σ = ( a1a2 ...ar )τ con ( a1a2 ...ar ) y τ disjuntos −1 −1 Sea δ = ( a1a 2a3 ) ∈ An entonces como σ ∈ N ⇒ δσδ −1 ) ∈ N { δσδ ∈ N ⇒ σ{ (1 3 N < An ∈ N 424 σ −1 (δσδ ) = τ ( a ...a ) ( a a a )( a ...a )τ ( a a a ) −1 −1 −1 1 r 1 2 3 1 r 1 2 3 ∈N −1 = τ −1 ( ar ... a1 )( a1 a2 a3 )( a1...ar )τ ( a1a2 a3 ) = τ −1τ ( ar ...a1 )( a1a2 a3 )( a1...ar )( a1a2 a3 ) 14444244443 −1 −1 Aplicamos el lema 2.6 = ( ar ... a1 )( a2 a3 a1a4 ...ar ) = ( a1a3ar ) ∈ N con r ≥ 4; luego encontramos un 3-ciclo perteneciente a N, por corolario anterior N = An Caso 2 σ = ( a1a2a3 )( a4a5a6 )τ , con ( a1 a2 a3 ) , ( a4 a5 a6 ) , τ ∈ S n disjuntos Sea δ = ( a1a 2a 4 ) ∈ An ⇒ σ −1 (δσδ −1 ) ∈ N σ −1δσδ −1 = τ −1 ( a6 a5 a4 )( a3 a2 a1 )( a1a2a4 )( a1a2 a3 )( a4 a5 a6 ) τ ( a4a2 a1 ) = = ( a4 a2 a6 a3 a1 ) ∈ N y estamos en el caso 1 - 59 - Notas de Álgebra II Capítulo 2 - 60 - Caso 3 σ = ( a1a2a3 )τ1...τ s , con τ 1 ,...,τ s trasposiciones ; ( a1a2 a3 ) ,τ 1 ,...,τ s disjuntos Como σ ∈ N ⇒ σ 2 ∈ N , σ 2 = ( a1a2a3 )τ1...τ s ( a1a2a3 )τ 1...τ s = = ( a1a2 a3 )( a1a2 a3 ) τ12 ...τ s2 = ( a1 a3a2 ) ∈ N 123 = Id ( por trasp.) luego N = An σ = ( a1a2 )( a3a4 )τ con ( a1a2 ) , ( a3a4 ) ,τ disjuntos ; con τ producto de Caso 4 trasposiciones. Sea δ = ( a1a 2a3 ) ∈ An ⇒ σ −1δσδ −1 ∈ N σ −1δσδ −1 = τ −1 ( a4 a3 )( a2 a1 )( a1a2 a3 )( a1a2 )( a3a4 ) τ ( a1a 2a3 ) 144444 42444444 3 −1 aplicamos lema 2.6 = ( a4 a3 )( a2 a1 )( a2 a3 )( a1a4 ) = ( a1a3 )( a2 a4 ) Llamemos σ 2 = ( a1a3 )( a2 a4 ) ∈ N sea b ≠ a1 , a2 , a3 , a4 esto es posible por ser n ≥ 5 Sea δ 2 = ( a1a3b ) ∈ An ⇒ σ 2−1δ 2σ 2δ 2−1 ∈ N y entonces: σ 2−1δ 2σ 2δ 2−1 = ( a2 a4 )( a1a3 )( a1 a3b )( a1a3 )( a2 a4 )( a1 a2 b ) = 144444244444 3 −1 Aplicamos Lema 2.6 = ( a2 a4 )( a1a3 )( a3b )( a2 a4 ) = ( ba1a3 ) ∈ N Luego también en este caso N = An Grupos Libres Proposición 2.10 Dado un conjunto X ≠ φ entonces existe un grupo F ( X ) y una función inyectiva i : X → F ( X ) tal que para todo grupo G y función ϕ : X → G existe un único morfismo ϕˆ : F ( X ) → G tal que el diagrama conmuta, es decir que ϕˆ o i = ϕ ϕ Demostración Para la demostración primero vamos a construir al grupo F ( X ) que definiremos de la siguiente manera. Definición 2.9 Decimos que F ( X ) es un grupo libre de base X, o generado por X, o de alfabeto X. Sea X −1 un conjunto disjunto con X y con la misma cantidad de elementos: - 60 - X G # ϕ̂ i F(X) Notas de Álgebra II Grupos de Permutaciones - 61 - X = X −1 y X I X −1 = φ entonces existe una biyección entre dichos conjuntos , y convenimos en llamar al correspondiente de un elemento x en dicha biyección, x −1 , o sea X → X −1 x Î x −1 no indica el inverso de x debido a que no tenemos definido un Notar que acá x −1 producto, aún. Tomamos un elemento que llamamos 1 ∉ X U X −1 . Una palabra en X (o de alfabeto X ) es una función g : ¥ → Y Y = X U X −1 U {1} una palabra entonces es una sucesión de elementos de Y. α = ( a1 , a2 ,....) tal que ai ∈ Y ∀i = 1, 2... donde y tal que existe n0 ∈ ¢ + tal que ai = 1 ∀i ≥ n0 es decir: α = ( a1 , a2 ,...., ano −1 ,1,1,1,.....) A los elementos ai , ai+1 se les llaman adyacentes. La palabra constante (1,1,1,......) es la palabra vacía y le llamamos 1 es decir escribimos: 1 = (1,1,1,.....) Definición 2.10 Una palabra α se llama reducida si se verifica: 1) ∀x ∈ X x, x −1 no son adyacentes en α . 2) Si existe k ∈ ¢ + tal que ak = 1 ⇒ ai = 1 ∀i ≥ k Como caso particular la palabra 1 = (1,1,1,.....) es reducida. F ( X ) como conjunto es el conjunto de las palabra reducidas es decir: F ( X ) = {palabras reducidad de alfabeto X } Observar que toda palabra reducida es de la forma: ( x1λ1 , x2λ2 ,..., xnλn ,1,1...) con xi ∈ X , λi = ±1, i = 1,..., n xi+1 ={ xi def. Escribimos ( x1λ1 , x2λ2 ,..., xnλn ,1,1,...) = x1λ1 x2λ2 ....xnλn Con la anotación acordada entonces: x1λ1 x2λ2 ....xnλn = y1µ1 y2µ 2 .... ymλm - 61 - n = m ⇔ xi = yi λ = µ ∀i = 1,.., n i i Notas de Álgebra II Capítulo 2 - 62 - Definiremos un producto en F ( X ) de tal manera de obtener una estructura de grupo. ⋅ Sea F ( X ) × F ( X ) → F ( X ) mediante las siguientes consideraciones: 1) La palabra vacía 1 es el neutro : p ⋅1 = 1 ⋅ p = p ∀p ∈ F ( X ) 2) Si p = x1λ1 x2λ2 ... xnλn con xnλn ≠ y1− µ1 ⇒ p ⋅ q = x1λ1 x2λ2 ...xnλn y1µ1 y2µ 2 ... ymµ m µm µ1 µ 2 q = y1 y2 ... ym 3) Si p = x1λ1 x2λ2 ...xnλn z1δ1 z 2δ 2 ...z rδ r con xnλn ≠ y1− µ1 ⇒ p ⋅ q = x1λ1 x2λ2 ...xnλn y1µ1 y2µ 2 ... ymµ m µm − δ r − δ r −1 − δ1 µ 1 µ 2 q = zr zr −1 ...z1 y1 y2 ... ym 4) Si p = x1λ1 ...xnλn ym− µm ... y1− µ1 λ λ ⇒ p ⋅ q = x1 1 ... xn n µm µ1 q = y1 ... ym 5) Si p = x1λ1 ...xnλn ⇒ p ⋅ q = y1µ1 ... ymµm − λn µm − λ1 µ1 q = xn ...x1 y1 ... ym 6) Si p = x1λ1 ...xnλn ⇒ p⋅q =1 q = xn− λn ... x1− λ1 Esta última nos dice que todo elemento es invertible , lo que falta probar es que este producto es asociativo (ejercicio). Luego ( F ( X ) , ⋅) es un grupo. Definimos i : X → F ( X ) función x Îx x1 = ( x,1,1,...) Como i ( x ) = i ( y ) ⇒ ( x,1,1,...) = ( y,1,1,...) ⇒ x = y luego i es inyectiva. Sea G un grupo y ϕ : X → G una función. Probaremos que existe un único morfismo ϕˆ : F ( X ) → G tal que : ϕˆ o i = ϕ . Entonces de existir tal morfismo ϕˆ : F ( X ) → G con ϕˆ o i = ϕ se tiene: - 62 - Notas de Álgebra II Grupos de Permutaciones ϕˆ ( x1 ) = ϕ ( x ) ∀x ∈ X entonces - 63 - − − −1 ⇒ { ϕˆ ( x ) = ϕˆ ( x ) = ϕ ( x ) ∀x ∈ X 1 1 ϕˆ morfismo ϕˆ ( x λ ) = ϕ ( x ) ,λ = ±1 λ x = 1 ϕˆ ( x ) = e Si x ∈ F ( X ) ⇒ λ1 λ2 λn x ≠ 1 ∃! x1 ,..., xn ∈ X , λi = ±1 tal que: x = x1 x2 ...xn Y se tiene: λ λ λ ϕˆ ( x ) = ϕˆ ( x1λ1 x2λ2 ...xnλn ) = ϕˆ ( x1 ) 1 ϕˆ ( x2 ) 2 ...ϕˆ ( xn ) n = ϕ ( x1 ) 1 ϕ ( x2 ) 2 ...ϕ ( xn ) n ∈ G Esto implica que si el morfismo ϕ̂ existe, entonces queda determinado por la fórmula anterior (Unicidad). Es un ejercicio verificar que dicha fórmula determina un morfismo (Existencia). λ Observación 2.7 λ λ Como la función i : X → F ( X ) es inyectiva , podemos identificar X con i ( X ) via x ↔ x1 mediante esta X ⊂ F ( X ) y el mapa i : X y F ( X ) es la inclusión x = i ( x1 ) 1 i ( x2 ) 2 ...i ( xn ) es decir X genera F ( X ) como grupo. λ λ λn identificación tenemos , λi = ±1 Observación 2.8 Si X ≥ 2 ⇒ F ( X ) no es abeliano Demostración Como X ≥ 2 ⇒ ∃x, y ∈ X con x ≠ y entonces xyx −1 y −1 es una palabra reducida ⇒ xyx −1 y −1 ∈ F ( X ) : xyx −1 y −1 = ( x, y , x −1 , y −1 ,1,1...) ≠ (1,1,....) = 1 ∴ xyx −1 y −1 ≠ 1 ⇒ xy ≠ yx luego F ( X ) no es conmutativo. Definición 2.11 Dado un grupo F decimos que es un grupo libre si existe un ϕ conjunto X y una función i : X → F inyectiva tal que verifica la propiedad universal de la proposición 2.10 es X G decir que para todo grupo G y toda función ϕ : X → G # existe un único morfismo de grupos ϕˆ : F → G tal que: ϕ̂ i ϕˆ o i = ϕ F - 63 - Notas de Álgebra II Capítulo 2 - 64 - Proposición 2.11 Todo grupo es isomorfo a un cociente de un grupo libre. Demostración Sea G un grupo y X un generador de G (por ejemplo X = G ) y consideremos la función inclusión ϕ : X y G entonces por la proposición 2.10 existe un único morfismo ϕˆ : F ( X ) → G tal que: ϕˆ ( i ( x ) ) = ϕ{ ( x ) = x ∀x ∈ X ⇒ X ⊂ Im ϕˆ ϕ X G # ϕ̂ i = inc. Pero X genera a G ⇒ X es el menor subgrupo de G que contiene a X. Pero X ⊂ Im ϕˆ < G ⇒ X ⊂ Im ϕˆ { P ⇒ G = Im ϕˆ G F X Luego ϕ̂ es sobre ⇒ G ≅ ( ) ker ϕˆ Observar que el morfismo ϕ̂ es simplemente: F(X) ϕˆ x1λ1 x2λ2 ...xnλn = x1λ1 x2λ2 ...xnλn 14243 14243 ∈G ∈F ( X ) ↓ ↓ no hay relaciones puede haber relaciones entre x1 x2 ...xn Proposición 2.12 Dado un grupo F, éste es libre si y solo sí existe un conjunto X tal que F ≅ F ( X ) Demostración Veamos primero el recíproco Sabemos por la proposición 2.10 que dada una función inyectiva iX : X → F ( X ) entonces para toda función ϕ : X → G existe un único morfismo ϕ1 tal que: ϕ1 o i X = ϕ Como por hipótesis existe un isomorfismo α : F ( X ) → F podemos definir el morfismo ϕ̂ = ϕ 1 o α y una función inyectiva i = α o iX (es inyectiva por ser composición de funciones inyectivas), luego existe un morfismo ϕ̂ que conmuta el diagrama ya que: ϕˆ o i = ϕ1 o α −1 o α o iX = ϕ1 o iX = ϕ −1 - 64 - ϕ X iX F(X ) α ≅ F G ϕ1 ϕ̂ Notas de Álgebra II Grupos de Permutaciones - 65 - falta ver que esta ϕ̂ es única. Supongamos que existe otro morfismo ψ : F → G tal que: ψ oi =ϕ ϕ X G entonces consideremos el morfismo ψ = ψ o α donde ψ α : F ( X ) → G y tal que α ψ α o iX = ψ o α o iX = ψ o i = ϕ { =i iX F(X ) ψα ψ ∴ψ α o iX = ϕ pero el morfismo que cumple con eso era único luego: α ≅ ψ α = ϕ1 ⇒ ψ = ψ α o α −1 = ϕ1 o α −1 = ϕˆ F lo que prueba la unicidad. Ahora demostraremos el directo. Por ser F grupo libre ⇒ ∃ X ≠ φ y una función i : X → F ; a esta función y a este X aplicamos la proposición 2.10 ⇒ ∃ un grupo F ( X ) y una F(X ) función iX : X → F ( X ) inyectiva tal que para todo grupo (y en particular para F) y para toda función (y en particular iX Ñ ∃! ϕ 2 para la función i) existe un único morfismo ϕ1 : F ( X ) → F tal que: i ϕ1 o iX = i (parte de abajo del diagrama) X F Por otro lado como F es libre implica que para todo grupo Ñ (y en particular F ( X ) ) y toda función iX : X → F ( X ) entonces existe un único morfismo ϕ 2 : F → F ( X ) tal que: iX ∃! ϕ1 ϕ 2 o i = ix (parte de arriba del diagrama) F(X ) Tenemos entonces que ϕ 2 o ϕ1 : F ( X ) → F ( X ) pero si aplicamos la propiedad universal a iX , implica que existe un único morfismo de F ( X ) en sí mismo que conmuta el iX diagrama, pero como la identidad ya es un morfismo que X F(X ) cumple lo anterior. Ñ Es decir que: iX ϕ 2 o ϕ1 = Id F ( X ) ϕ 2 o ϕ1 ≡ Id Análogamente. ϕ1 o ϕ 2 = Id F F(X) por lo tanto ϕ1 : F ( X ) → F es un isomorfismo. - 65 - Notas de Álgebra II Capítulo 2 - 66 - Generadores y Relaciones Definición 2.12 Sea G un grupo y S ⊂ G un subconjunto, llamamos subgrupo normal generado por S y anotamos N S a la intersección de todo subgrupo normal que contiene a S. Es decir : NS = I N S ⊂ N <G en particular S ⊂ N S ya que S ⊂ N ∀N < G además por ser intersecciones de subgrupos normales, entonces es normal. Observación 2.9 El subgrupo normal generado por S es el subgrupo generado por: GSG −1 = {asa −1 : a ∈ G, s ∈ S } Demostración Sea H < G subgrupo de G generado por GSG −1 , o sea H = GSG −1 S ⊂ N S < G ⇒ ∀a ∈ G aN S a −1 ⊂ N S 123 −1 U ⇒ H = GSG ⊂ N S aSa −1 Por otro lado si x ∈ H entonces: x = a1s1λ1 a1−1a2 s2λ2 a2−1...an snλn an−1 luego ∀g ∈ G se tiene gxg −1 = ga1s1λ1 a1−1a2 s2λ2 a2−1...an snλn an−1 g −1 = = ga1s1λ1 a1−1 g −1 ga2 s2λ2 a2−1 g −1...gan snλn an−1 g −1 = = ( ga1 ) s1λ1 ( ga1 ) ( ga2 ) s2λ2 ( ga2 ) ...( gan ) snλn ( gan ) ∈ H −1 es decir entonces H = N S −1 −1 H < G ⇒ NS = I N ⊂ H S ⊂ H S ⊂ N <G Definición 2.13 Sea X un conjunto y P ⊂ F ( X ) un subconjunto del grupo libre determinado por X , decimos que un grupo G es el grupo definido por los generadores x ∈ X y relaciones p = e ( con p ∈ P ) si: F X G≅ ( ) NP siendo N P el subgrupo normal generado por P en F ( X ) y anotamos ( X | P ) y decimos que es un representación de G . - 66 - Notas de Álgebra II Grupos de Permutaciones Ejemplo 2.8 Si P = φ , N = {1} ⇒ F(X ) Nφ - 67 - ≅ F ( X ) entonces F ( X ) = (X |φ) es decir que una representación de F ( X ) es la dada por el conjunto X y ninguna relación. Ejemplo 2.9 Sea X = {a, b, c} P = {a 2b, bab −1 , ac} N = F(X ) N I H entonces: P⊂H <F ( X ) = {a, b, c : a 2b = bab −1 = ac = 1} = {1} ya que ac = 1 ⇒ c = 1 bab −1 = 1 ⇒ ba = b ⇒ a = 1 ⇒ 2 a b = 1 ⇒ b = 1 Notación De ahora en adelante adoptaremos la siguiente anotación : x1 x1 y −1 y −1 y −1 = x 2 y −3 Proposición 2.13 Dado un grupo G , Y ⊂ G , Y = { yi }i∈I un generador de G y supongamos que los elementos de Y verifican relaciones: α α yi1 i1 .... yil il = e , α i1 ,...,α il ∈ ¢ , i1 ,..., il ∈ I 1424 3 ↓ palabras reducidas Sea X un conjunto tal que X = Y , X = { xi }i∈I y sea : { } P = xi1 i1 ...xil il : i1 ,..., il ∈ I ,α i1 ,...,α il ∈ ¢ ⊂ F ( X ) α α N P el subgrupo normal generado por P en F ( X ) , entonces existe un epimorfismo: F(X ) ²G NP xi Î yi Demostración Consideremos ϕ : X → G definida por ϕ ( xi ) = yi aplicando la propiedad universal de F ( X ) implica que existe un único morfismo ϕˆ : F ( X ) → G tal que conmuta el diagrama, o sea: ϕˆ o i = ϕ Además Y ⊂ Im ϕ ⊂ Im ϕˆ < G ⇒ Im ϕˆ = G G= Y - 67 - ϕ X # i F(X ) G ϕ̂ Notas de Álgebra II Capítulo 2 - 68 - Luego ϕ̂ es sobreyectiva y es un epimorfismo. Entonces si p ∈ P ⇒ ∃i1 ,..., il ∈ I ;α i1 ,...,α il ∈ ¢ tales que: i1 p = xi1 i1 ...xil il y ϕˆ ( p ) = { ϕˆ ( xi1 ) ...ϕˆ ( xil ) α α α α il α α = yi1 i1 ... y i il = e l morfismo ⇒ ∀p ∈ P p ∈ ker ϕˆ Luego P ⊂ ker ϕˆ < F ( X ) N P = I H ⇒ N P ⊂ ker ϕˆ , N P < F ( X ) P⊂H <F ( X ) Aplicando la propiedad universal a ϕ̂ (proposición 1.27) tenemos que existe un único morfismo ψ que conmuta el diagrama, es decir: ψ o π = ϕˆ además Imψ = Im ϕˆ ⇒ ψ es sobre. Ejemplo 2.10 Sea X = {a, b} P = {a n , b 2 , abab} G = F(X ) F(X ) π F(X ) ϕ̂ G Ñ ψ NP NP Sean α = a , β = b con α , β ∈ G tenemos que : αn = e 2 β 2 = b 2 = b2 = 1 = e ⇒ β = e αβαβ = abab = abab = 1 αβαβ = e luego F ( X ) = a, b ⇒ G = α , β y como: # β 2 = e ⇒ β = β −1 ⇒ {β n : n ∈ ¢} = {e, β } → 2 ⇒ G ≥ 2n # α n = e ⇒ {α m : m ∈ ¢} = {e,α ,α 2 ,...,α n−1} → n además αβαβ = 1 ⇒ αβ = β −1α −1 = βα −1 m 2 n −1 M ⇒ {α β : m ∈ ¢} = {β ,αβ , α β ,..., α β } α m β = βα − m Entonces al ser: G = α , β = {α m β n : m, n ∈ ¢} = {e,α ,α 2 ,...,α n −1, β ,αβ , α 2 β ,...,α n−1 β } ⇒ G ≤ 2 n α n = a n = an = 1 = e luego G = 2n - 68 - Notas de Álgebra II Grupos de Permutaciones - 69 - El ejemplo anterior es un modelo de Dn = R, S con R n = S 2 = RSRS = Id donde R representa rotación y S simetría axial , ya sabemos que G = 2n ϕ : G → Dn Por el teorema anterior existe un epimorfismo α Î R ⇒ G ≥ Dn = 2n β Î S Y como G = 2n ⇒ ϕ es un isomorfismo. Ejemplo 2.11 Sea X = {a, b} , P = {aba −1b −1} Probaremos que ( X | P ) es una presentación de ¢⊕¢ F(X ) , α = a , β = b ⇒ G = α , β y αβ =βα NP Tenemos en ¢ ⊕ ¢ a los generadores (1, 0 ) y ( 0,1) , son tales que: (1, 0 ) + ( 0,1) = ( 0,1) + (1, 0 ) conmutan. Por el teorema anterior existe un epimorfismo ϕ : G → ¢ ⊕ ¢ tal que: ϕ (α ) = (1, 0 ) Sea G = ϕ ( β ) = ( 0,1) G es abeliano por ser generado por dos elementos que conmutan. Consideremos los morfismos ψ 1 ,ψ 2 : ¢ → G definidos por: ψ1 ( n ) = α n como αβ = βα ⇒ ψ 1 ( n )ψ 2 ( m ) = α n β m = β mα n = ψ 2 ( m )ψ 1 ( n ) m ψ 2 (m) = β ∀n, m ∈ ¢ i ( n ) = ( n, 0 ) Sean i1 , i2 : ¢ → ¢ ⊕ ¢ definidas 1 i2 ( m ) = ( 0, m ) Entonces existe un único morfismo: ψ :¢⊕¢ →G tal que ψ (1, 0 ) = α , ψ ( 0,1) = β y es claro que: (ψ o ϕ )(α ) = α , (ψ o ϕ )( β ) = β como α y β generan a G entonces ψ o ϕ = Id G . Análogamente (ϕ oψ )(1, 0 ) = (1, 0 ) y (ϕ oψ )( 0,1) = ( 0,1) entonces ϕ oψ = Id ¢⊕¢ luego ϕ = ψ entonces de un isomorfismo. −1 y se trata - 69 - ¢ ψ1 i1 ¢⊕¢ ψ G ϕ ψ2 i2 ¢ Notas de Álgebra II Capítulo 2 - 70 - Definición 2.13 Dado un grupo abeliano ( A, + ) decimos que A es finitamente generado si lo es como grupo es decir: ∃a1 , a2 ,..., ar ∈ A tal que ∀a ∈ A existen n1 , n2 ,..., nr ∈ ¢ y a = n1a1 + ... + nr ar . Si además los ni i = 1,..., r son únicos decimos que A es un grupo abeliano libre , que {a1 ,..., ar } son una base de A y que r = rango de A. Entonces si A es un grupo abeliano libre existe A ⊂ A tal que ∀a ∈ A existen únicos ni ∈ ¢, ai ∈A tal que a = ∑ ni ai en que ni = 0 ∀ ai ∈A salvo una ai ∈A cantidad finita. Observación 2.10 En el caso que A es un grupo abeliano libre la función r r ϕ : A → ¢ definida por ϕ ∑ ni ai = ( n1 ,...nr ) es un isomorfismo. i =1 Observase que un grupo abeliano libre nunca es un grupo libre ya que este último no es abeliano (observación 2.8). Observación 2.11 Si A es un grupo abeliano libre y tenemos A,A% ⊂ A bases de A entonces A = A% Observación 2.12 Si A es abeliano libre y G < A (subgrupo de A ) entonces G también es un grupo abeliano libre. Ejemplo 2.12 ¢ n y ¢ son grupos finitamente generados ( abelianos libres ) generado por el 1 generado por la clase del 1 entonces lo son también los de la forma: ... ⊕3 ¢ n1 ⊕ ... ⊕ ¢ nt ⊕ ¢ ⊕24 ¢ 14 s veces observar además que todo grupo finito es finitamente generado. Definición 2.14 Sea ( A, + ) un grupo abeliano definimos el grupo que llamaremos subgrupo de torsión de A y anotamos T ( A ) como: T ( A ) = {a ∈ A : ∃n ∈ ¢ + , na = 0} es fácil verificar que es un subgrupo de A. Si además se cumple que T ( A ) = A entonces decimos que A es de torsión Por la observación anterior si A es abeliano libre entonces T ( A ) < A también es un grupo abeliano libre. - 70 - Notas de Álgebra II Grupos de Permutaciones - 71 - Observación 2.13 ¢ m ⊕ ¢ n ≅ ¢ mn si mcd ( m, n ) = 1 Por el teorema chino de los restos ¢ m ⊕ ¢ n ≅ ¢ mn En caso general ¢ m con m = p1n1 ... plnl donde los pi i = 1,..., l son primos distintos entonces ¢ m ≅ ¢ pn1 ⊕ ... ⊕ ¢ pnl l 1 Proposición 2.14 Si A es un grupo abeliano finitamente generado entonces: 1) Existe F subgrupo de A , F abeliano libre , tal que A = T ( A) ⊕ F Donde el rango de F depende solo de A. 2) Existen únicos 1 < m1 ≤ m2 ≤ ... ≤ mt tales que m1 | m2 | ... | mt y: T ( A ) ≅ ¢ m1 ⊕ ... ⊕ ¢ mt 3) Existen únicos p1 ,..., pr primos y n1 ,..., nr ∈ ¢ + tal que: T ( A ) ≅ ¢ pn1 ⊕ ... ⊕ ¢ p nr 1 r y llamamos a los m1 ,..., mt factores invariantes y a los p1n1 ,..., prnr divisores elementales En el caso en que A es un grupo abeliano finito ⇒ T ( A ) = A entonces: A ≅ ¢ m1 ⊕ ... ⊕ ¢ mt A = m1m2 ...mt Ejemplo 2.13 Hallar los grupos abelianos de orden 1500. Descomponemos 1500 en producto de factores primos: 1500 = 22.3.53 ( 2, 2,3,5,5,5) → ¢ 2 ⊕ ¢ 2 ⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 5 ⊕ ¢ 5 ⊕ ¢ 5 ( 2, 2,3,5 ,5) → ¢ ( 2, 2,3,5 ) → ¢ ( 2 ,3,5,5,5) → ¢ ( 2 ,3,5 ,5) → ¢ ( 2 ,3,5 ) → ¢ 2 ⊕ ¢ 2 ⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 25 ⊕ ¢ 5 2 ⊕ ¢ 2 ⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 125 4 ⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 5 ⊕ ¢5 ⊕ ¢5 4 ⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 25 ⊕ ¢ 5 4 ⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 125 2 3 2 2 2 2 3 6 = p ( 2 ) p (1) p ( 3) siendo p número de particiones El algoritmo para hallar los factores invariantes es el siguiente: Tomamos todos los primos repitiéndolos tatas veces como el factor que más se repite, elevándolos a la cero si no está en la descomposición de factores primos. - 71 - Notas de Álgebra II Capítulo 2 - 72 - En el ejemplo para el caso ( 2, 2,3,5,5,5) el factor que más se repite es el 5 que se repite 3 veces luego escribimos tres veces a cada factor primo y elevando a la cero cuando no integraba la descomposición es decir: 20.30.5 20 , 2,2 ; 30 ,30 ,3 ; 5,5,5 2.3.5 0 2.3 .5 0 0 tomando los primeros ( 2 .3 .5 = 5 ) luego los segundos ( 2.30.5 = 10 ) y por los últimos ( 2.3.5 = 30 ) los factores invariantes son: 5{ |10 { | 30 { ⇒ A ≅ ¢ 5 ⊕ ¢10 ⊕ ¢ 30 m1 m2 m3 Para ( 2, 2,3,5 ,5 ) → 2,2 ; 3 ,3 ; 5,52 luego los factores invariantes para este caso 2 0 son m1 = 2.30.5 = 10 ; m2 = 2.3.52 = 150 ⇒ A ≅ ¢10 ⊕ ¢150 Para ( 2, 2,3,53 ) → 2, 2 ; 30 ,3 ; 50 ,53 en este caso los factores invariantes son: m1 = 2.30.50 = 2 , m2 = 2.3.53 = 750 ⇒ A ≅ ¢ 2 ⊕ ¢ 750 Para el caso ( 2 ,3,5,5,5) → 2 , 2 , 2 2 0 0 2 ; 30 ,30 ,3 ; 5,5,5 luego los factores invariantes son: m1 = 20.30.5 = 5 , m2 = 20.30.5 = 5 , m3 = 22.3.5 = 60 ⇒ A ≅ ¢ 5 ⊕ ¢ 5 ⊕ ¢ 60 Para el caso ( 2 2 ,3,5 2 ,5 ) → 2 0 , 2 2 ; 30 ,3 ; 5,52 los factores invariantes son: m1 = 20.30.5 = 5 , m2 = 2 2.3.52 = 300 ⇒ A ≅ ¢ 5 ⊕ ¢ 300 Para el caso ( 2 2 ,3,53 ) → m = 2 2.3.53 = 1500 ⇒ A ≅ ¢ 1500 Ejemplo 2.14 Hallar los divisores elementales y factores invariantes de: A ≅ ¢ 5 ⊕ ¢15 ⊕ ¢ 25 ⊕ ¢ 36 ⊕ ¢ 45 tenemos que A ≅ ¢ 5 ⊕ ¢ 3.5 ⊕ ¢ 52 ⊕ ¢ 22.32 ⊕ ¢ 32.5 entonces: A ≅ ¢ 22 ⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 3 ⊕ ¢ 32 ⊕ ¢ 5 ⊕ ¢ 5 ⊕ ¢ 5 ⊕ ¢ 52 es decir que los divisores elementales son ( 2 2 ,3,32 ,32 ,5,5,5,52 ) Si escribimos 20 , 20 , 20 ,2 ; 30 ,3,32 ,32 ; 5,5,5,52 y los factores invariantes son ( 5,3.5,32.5, 2 2.3 2.5 2 ) → A ≅ ¢ 5 ⊕ ¢15 ⊕ ¢ 45 ⊕ ¢ 500 Corolario 2.15 Sea G un grupo abeliano finito y m | G entonces existe H < G tal que H = m . Demostración Alcanza con tomar en la proposición anterior H = ¢ m - 72 - Capítulo 3 Acción de un grupo en un conjunto El teorema de Cayley demuestra que los elementos de G pueden ser considerados como permutaciones de los elementos de un conjunto, es decir G y Biy ( X ) para algún X. Este es un caso especial de una situación más general de gran utilidad para el estudio de un grupo, lo cual se precisa con la siguiente definición. Definición 3.1 Sea G un grupo y X un conjunto. Una acción de G en X es una función g →X G × X ( g, x ) Î g gx tales que verifica: i) g1 g( g 2 g x ) = ( g1 ⋅ g 2 )g x, ∀g1 , g 2 ∈ G y ∀x ∈ X ; ii) eg x = x ∀x ∈ X . En esta situación se dice que G actúa en X y que X es un G-conjunto. Observación 3.1 Si G actúa en X y H < G entonces H actúa en X Consideramos la función inclusión g i : H × X → G× X X G× X tenemos así definido una función ˆg: H × G → X ĝ Donde por ser el neutro de un subgrupo igual al neutro del H×X grupo se tiene que cumple con las propiedades de la definición anterior. Observación 3.2 En la definición de la acción hablamos de una función que llamamos g probaremos que para cada g ∈ G se trata de una biyección de X en sí mismo. Dado g ∈ G , y ∈ X , como G es un grupo ⇒ ∃g −1 ∈ G ⇒ ∃x = g −1 g y ∈ X tal que: - 73 - Notas de Álgebra II Capítulo 3 (i) - 74 - ( ii ) g g x = g g( g −1 g y ) = ( g ⋅ g −1 )g y = eg y = y ⇒ que es sobreyectiva; ahora para ver que es inyectiva consideremos para un determinado g 0 ∈ G g 0 g x1 = g 0 g x2 entonces como existe g 0 −1 ∈ G por ser G un grupo podemos escribir: g 0−1 g( g 0 g x1 ) = g 0−1 g( g 0 g x2 ) y por definición de acción aplicando la condición (i) : −1 −1 (1g424 0 ⋅ g 0 )g x1 = ( g 0 ⋅ g 0 )g x2 3 1 424 3 =e =e eg x1 = eg x2 Aplicando la condición (ii) x1 = x2 . Lo mismo se cumple para cualquier otro g ∈ G. Proposición 3.1 Sea G un grupo y X un conjunto. Existe una biyección entre el conjunto de las acciones de G en X y el conjunto de los morfismos de grupos de G en Biy ( X ) , definida mediante: ψ → Hom ( G , Biy ( X ) ) acciones de G en X } ← {144424443 144 42444 3 P g G × X →X ( g, x) Î g gx Demostración Definimos: P ϕ : G → Biy ( X ) g Î ϕg : X → X g g x = ϕ ( g )( x ) ∀g ∈ G , x ∈ X esta fórmula nos da una biyección Consideremos morfismos ϕ : G → Biy ( X ) g1 , g 2 ∈ G entonces por ser morfismo: ϕ ( g1 ⋅ g 2 ) = ϕ ( g1 ) o ϕ ( g 2 ) y tenemos que: ϕ ( g1 ⋅ g 2 )( x ) = ϕ ( g1 ) (ϕ ( g 2 )( x ) ) 14 4244 3 144 42444 3 P aplicamos la fórmula P ( g1 ⋅ g 2 )g x = g1 g( g 2 g x ) esto último es la condición (i) de acción, luego se cumple por ser ϕ morfismo Por otro lado si ϕ : G → Biy ( X ) es un morfismo ⇒ ϕ ( e ) = Id eg x = ϕ ( e )( x ) = Id ( x ) = x ⇒ ( ii ) De esta forma dado un morfismo en las condiciones de arriba implica tener una acción G en X. g Y recíprocamente sea G × X → X una acción de G en X. - 74 - Notas de Álgebra II Acciones Definimos - 75 - ϕ : G → fun ( X ) g Îϕ (g) de manera que ϕ ( g ) : X → X está definida por ϕ ( g )( x ) = g g x entonces: i) ⇒ ( g1 ⋅ g 2 )g x = g1 g( g 2 g x ) ∀g1 , g 2 ∈ G, x ∈ X 1424 3 1424 3 P P ϕ ( g1 ⋅ g 2 )( x ) = ϕ ( g1 ) (ϕ ( g 2 )( x ) ) = (ϕ ( g1 ) o ϕ ( g 2 ) ) ( x ) luego ϕ es un morfismo. Por otro lado ii) ⇒ e{ gx = x P ⇒ ϕ ( e ) = Id . ϕ ( e )( x ) = x ϕ ( g ) o ϕ ( g −1 ) = ϕ ( g ⋅ g −1 ) = ϕ ( e ) = Id luego ϕ ( g ) es invertible y ϕ −1 ( g ) = ϕ ( g −1 ) ⇒ ϕ ( g ) es biyectiva y entonces ϕ : G → Biy ( X ) . Entonces dar una acción de G en X es lo mismo que dar un morfismo ϕ : G → Biy ( X ) y viceversa. Y esta podía haber sido nuestra definición de acción de un grupo en un conjunto, en consecuencia todo grupo por el teorema de Cayley es un G-conjunto ya que existe siempre un morfismo ϕ : G → Biy ( G ) . g Corolario 3.2 Si G × X → X acción ⇒ { g ∈ G : g g x = x , ∀x ∈ X } < G Demostración Por el teorema anterior y el comentario final de dicho teorema, tener una acción es lo mismo que tener definido un morfismo ϕ : G → Biy ( X ) , tal que ϕ ( g )( x ) = g g x el núcleo de ϕ es ker ϕ = { g ∈ G : ϕ ( g ) = Id} y como: ϕ ( g )( x ) = Id ( x ) = x 1 424 3 P ⇒ g g x = x ∀x ∈ X g gx entonces ker ϕ = { g ∈ G : g g x = x , ∀x ∈ X } y como ker ϕ < G ⇒ la tesis g Definición 3.2 Sea una acción G × X → X tal que g g x = x ∀g ∈ G , x ∈ X entonces decimos que dicha acción es la acción trivial. - 75 - Notas de Álgebra II Capítulo 3 - 76 - g Definición 3.3 Una acción G × X → X se dice fiel si ker ϕ = {e} es decir que g g x = x , ∀x ∈ X ⇒ g = e , en este caso ϕ : G → Biy ( X ) es inyectiva y anotamos: ϕ : G ° Biy ( X ) Definición 3.4 Un subconjunto Y de un G-conjunto X se dice G-estable si: g g y ∈ Y ∀g ∈ G , y ∈ Y En esta situación G actúa en Y por restricción g G × X →{ X { U U G × Y − − −> Y y por lo tanto Y es un G-conjunto. Es decir que un conjunto Y es G-estable haciendo abuso de notación podemos escribir GY ⊂ Y y entonces: ∀y ∈ Y ⇒ { g −1 y ∈ Y ⇒ y = g ( g −1 y ) ∈ GY ⇒ Y ⊂ GY 123 ∈G ∈Y ∴ Y = GY Luego Y es G- estable ⇔ Y = GY Observación 3.1 Si G actúa en X entonces G actúa en P ( X ) = {Y : Y ⊂ X } (conjunto de partes de X ) mediante una acción inducida de la siguiente manera: g Dada la acción G × X → X induce una acción en la partes de X: g G ×P ( X ) →P ( X ) ( g , Y ) Î g gY = { g g y : y ∈ Y } Sea Yn = {Y ∈P ( X ) : Y = n} siendo n un cardinal fijo, como gY = Y ∀g ∈ G , entonces Yn es G-estable y G actúa en Yn por restricción de la acción de G en P (X ). g G ×P ( X ) →P ( X ) 14243 123 U U G × Yn − − − > Yn Definición 3.5 Sean X,Y dos G-conjuntos, entonces a una función f : X → Y se le llama G-función si verifica: f ( g g x ) = g g f ( x ) ∀g ∈ G , x ∈ X g Definición 3.6 Dada una acción G × X → X decimos que es transitiva si ∀x, y ∈ X existe algún g ∈ G tal que g g x = y - 76 - Notas de Álgebra II Acciones - 77 - Ejemplo 3.1 Sea X un conjunto una acción de las Biy ( X ) en X es la siguiente: g Biy ( X ) × X →X (ϕ , x ) Î ϕ g x := ϕ ( x ) definido Caso particular del anterior ejemplo es el siguiente: g S n × I n → In (σ , i ) Î σ gi := σ ( i ) Ejemplo 3.2 Consideremos el conjunto de las matrices lineales GLn ( K ) actuando en K n dado por: g GLn ( K ) × K n →Kn ( A, v ) Î Agv := A ⋅ v Observar que en los dos ejemplos anteriores las acciones son transitivas y fieles. g Proposición 3.3 Dada una acción G × X → X entonces i) La relación : en X definida por: x : y ⇔ ∃g ∈ G tal que g g x = y es una relación de equivalencia. ii) Para cada x ∈ X , Gx = { g ∈ G : g g x = x} es un subgrupo de G. Demostración i) a) x : x ya que eg x = x b) Sea x : y ⇒ ∃g ∈ G tal que g g x = y pero como G es un grupo implica que: ∃g −1 ∈ G tal que g −1 g( g g x ) = g −1 g y 1424 3 −1 P ⇒ x = g gy ⇒ y : x ( g −1 ⋅ g )g x = x c) Transitiva x : y ⇒ ∃g ∈ G tal que g g x = y g ′g( g g x ) = z ⇒ { 424 3 y : z ⇒ ∃g ′ ∈ G tal que g ′g y = z sustituyendo 1 P ⇒ ( g ′g )g x = z ⇒ x : z g ′g )g x ({ ∈G ii) Primero que nada e ∈ Gx de forma obvia. Sean g1 , g 2 ∈ Gx ⇒ g1 g x = x y g 2 g x = x como G es un grupo tenemos que existe g 2−1 ∈ G y podemos escribir g 2−1 g( g 2 g x ) = g 2−1 g x pero por otro lado: 123 =x - 77 - Notas de Álgebra II Capítulo 3 - 78 - g 2−1 g( g 2 g x ) = ( g 2−1 ⋅ g 2 )g x = x luego sustituyendo en g1 g x = x tenemos: g 2−1 gx = x g1 g x = g1 g( g2−1 g x ) = ( g1 ⋅ g 2−1 )g x = x ∴ g1 ⋅ g 2−1 ∈ Gx y Gx < G Definición 3.7 La relación de equivalencia anterior establece una partición de X en clases de equivalencia que llamamos orbitas y anotamos por σ ( x ) a la clase de equivalencia de x. σ ( x ) = { g g x : g ∈ G} , con x ∈ X Definición 3.8 Al subgrupo Gx definido en la proposición anterior le llamamos estabilizador o grupo de isotropía de x; Gx = { g ∈ G : g g x = x} Observación 3.2 1) Si x, y ∈ X ⇒ σ ( x ) = σ ( y ) o σ ( x ) I σ ( y ) = φ esto es claro porque las orbitar son las clases de equivalencia. 2) Una acción es transitiva si y solo sí tiene solo una orbita. 3) Para cada x ∈ X , σ ( x ) ⊂ X es G-estable y además la acción restringida a σ ( x ) g es decir de G × σ ( x ) → σ ( x ) es transitiva. Para ver lo de G-estable basta con ver que σ ( x ) = G σ ( x ) ya que: ∀x% ∈ σ ( x ) , g ∈ G ⇒ { g g x% ∈ σ ( x ) por def. y la acción de G sobre σ ( x ) es transitiva ya que ∀x1 , x2 ∈ σ ( x ) tenemos por definición que ∃g1 ∈ G tal que g1 g x = x1 g1−1 g( g1 g x ) = g1−1 g x1 ⇒ 1 4243 −1 ∃g 2 ∈ G tal que g 2 g x = x2 ⇒ x = g1 g x1 P ( g1−1 ⋅ g1 )g x = x entonces sustituyendo −1 g 2 g( g1 g x1 ) = x2 14243 −1 P ⇒ ( g 2 ⋅ g1 )g x1 = x2 1 424 3 ∈G ( g2 ⋅ g1−1 )g x1 Por definición es transitiva. - 78 - Notas de Álgebra II 4) IG x∈X x Acciones = { g ∈ G : g g x = x , ∀x ∈ X } = ker ϕ ⇒ - 79 - IG x∈X x < G. Ya habíamos visto que dar una acción es lo mismo que tener un morfismo ϕ : G → Biy ( X ) entonces ker ϕ = { g ∈ G : ϕ ( g ) = Id} como ϕ ( g )( x ) = g g x ∀x ∈ X luego ker ϕ = { g ∈ G : Id ( x ) = g g x , ∀x ∈ X } = {g ∈ G : x = g g x, ∀x ∈ X } = Además por el ejemplo1.41 se cumple que ker ϕ < G ⇒ Observar además que si la acción es fiel entonces IG x∈X x IG x∈ X x <G. IG x∈X x = {e} Proposición 3.4 Sea X un G-conjunto e Y ⊂ X un subconjunto. Entonces Y es un subconjunto G-estable si y solo sí es unión de orbitas. Demostración ⇐ como cada orbita es G-estable implica que la unión también lo es. ⇒ Si y ∈ Y ⇒ σ ( y ) ⊂ Y luego U σ ( y ) ⊂ Y pero como la otra inclusión es obvia y∈Y se tiene que Y = U σ ( y ) y∈Y Proposición 3.5 Sea X un G-conjunto y x ∈ X entonces σ ( x ) = [G : Gx ] Demostración Dado un x ∈ X consideremos una función ϕ : G ² σ ( x) g Î g gx por definición es sobreyectiva, y además se tiene ϕ ( g ) = ϕ ( h ) ⇔ g g x = h g x ⇔ h −1 g( g g x ) = h −1 g( h g x ) 1424 3 1424 3 (h P −1 P ⋅ g )g x = ( h −1 ⋅ h )g x ⇔ ( h −1 ⋅ g )g x = x ⇔ h −1 ⋅ g ∈ Gx 1 424 3 =e ⇔ gGx = hGx entonces ϕ induce una biyección ϕˆ : G → σ ( x ) Gx ϕ G gGx Î g g x ϕ̂ entonces σ ( x) = G Gx σ ( x) = [ G : Gx ] como se quería demostrar. - 79 - G Gx Notas de Álgebra II Capítulo 3 - 80 - g Definición 3.9 Dada una acción G × X → X decimos que x es punto fijo si: g g x = x ∀g ∈ G Al conjunto de puntos fijos lo anotamos por X 0 es decir: X 0 = { x ∈ X : g g x = x ,∀g ∈ G} ⊂ X Observar que claramente X 0 es G-estable y además la acción de G sobre X 0 es la trivial. Si x ∈ X 0 ⇔ Gx = G ⇔ [G : Gx ] = 1 ⇔ σ ( x ) = 1∴σ ( x ) = { x} Observación 3.3 Sea X un G-conjunto con X < ∞ y sea { x1 ,..., xn } ⊂ X un conjunto de representantes de las orbitas entonces: {σ ( x ) : x ∈ X } = {σ ( x1 ) ,...,σ ( xn )} y σ ( xi ) I σ ( x j ) = φ si i ≠ j Podemos escribir: luego X = âσ ( xi ) ⇒ X = ∑ σ ( xi ) n n i =1 i =1 n X = ∑ G : Gxi i =1 observar además que necesariamente X 0 ⊂ { x1 ,..., xn } entonces si escribimos: { x1 ,..., xn } = X 0 U { x1 ,..., xm } con m ≤ n nos queda m X = X 0 + ∑ G : Gxi con G : Gxi ≥ 2 , ∀i = 1,..., m i =1 Aplicaciones 1) Acción por conjugación Como conjunto X tomamos el propio G y definimos la función siguiente: g G × G →G gxg −1 ( g , x ) Îg o sea que a g g x = gxg −1 (o también g g x = int g ( x ) siendo int g la función definida en la observación 3.4) 1) eg x = exe−1 = x ; −1 2) hg( g g x ) = hg( gxg −1 ) = h ( gxg −1 ) h −1 = ( hg ) x ( hg ) = hg g x . - 80 - Notas de Álgebra II Acciones - 81 - luego se trata de una acción. Las orbitas σ ( x ) = { gxg −1 : g ∈ G} = C ( x ) Clase de conjugación de x El estabilizador, que para este caso recibe el nombre de centralizador de x y anotamos CG ( x ) es: CG ( x ) = { g ∈ G : gxg −1 = x} = { g ∈ G : gx = xg} < G El centro de G que anotamos como Z ( G ) es: Z ( G ) = {g ∈ G : gx = xg , ∀x ∈ G} luego: Z ( G ) = I CG ( x ) < G x∈G 14 4244 3 observación 3.2 (4) Es decir que el centro es un subgrupo normal a G Observación 3.4 Si H < G ⇒ gHg −1 < G , ∀g ∈ G y decimos que gHg −1 es el conjugado de H y : ψ : H → gHg −1 definida por ψ ( h ) = ghg −1 es un isomorfismo. Consideremos la función int g definida: int g : G → G x Î gxg −1 Claramente dicha función es un morfismo ya que: int g ( xy ) = g ( xy ) g −1 = gxg −1 gyg −1 = int g ( x ) int g ( y ) Entonces de acuerdo a la proposición 1.6 (iii) si H < G ⇒ int g ( H ) < G y como int g ( H ) = gHg −1 se tiene la primera parte de la afirmación. Ahora ψ es sobre ya que dado y ∈ gHg −1 ⇒ ∃h ∈ H tal que y = ghg −1 ⇒ h = g −1 yg es tal que ψ ( h ) = g ( g −1 yg ) g −1 = y; por otro lado: Si gh1 g −1 = gh2 g −1 ⇔ h1 = { g −1 g h2 { g −1 g = h2 =e =e Es por lo tanto inyectiva, también podíamos haberlo justificado por el hecho de que ψ = int g |H y esta última (ejercicio del practico) ya sabemos que es inyectiva luego se trata de un isomorfismo. Como conclusión tenemos que la conjugación pasa de un subgrupo a otro con el mismo cardinal. Observación 3.5 La acción de G en G por conjugación , induce una acción de G en P ( G ) dada por g g X = gXg −1 = { gxg −1 : x ∈ X } la observación anterior implica que Subg ( G ) = {H : H < G} , y Subg n ( G ) = { H : H < G, H = n} n ∈ ¢ + (conjunto de - 81 - Notas de Álgebra II Capítulo 3 - 82 - subgrupos de G, y conjunto de subgrupos de G de orden n respectivamente) son subconjuntos G-estables de P ( G ) . Luego G actúa por conjugación en Subg ( G ) y Subg n ( G ) , además si G = m > n ⇒ Subg ( G ) = âSubg n ( G ) m n =1 Definición 3.10 Si H ∈ Subg ( G ) al estabilizador de H se le llama normalizador de H, y anotamos como N G ( H ) entonces: N G ( H ) = { g ∈ G : gHg −1 = H } < G Observar que en forma obvia H < N G ( H ) Además : si ∃K : H < K < G ⇒ K < NG (H ) y H<K Es decir que N G ( H ) es el mayor subgrupo de G que contiene a H y en el cual H es normal , dicho de otra forma: H < G ⇔ NG ( H ) = G Proposición 3.6 Sea G un grupo finito entonces: i) C ( x ) = [G : CG ( x )] ⇒ C ( x ) | G ∀x ∈ G ii) ∃x1 ,..., xm ∈ G tales que m G = Z ( G ) + ∑ [G : CG ( xi )] con [G : CG ( xi )] ≥ 2, ∀i = 1,..., m i =1 iii) Si K < G y n = {H < G : H conjugado de K } ⇒ n = [G : N G ( K )] y luego n | G Demostración i) En este caso la orbita es igual a la clase de conjugación, entonces: σ ( x ) = C ( x ) = [G : CG ( x )] ∀x ∈ G ii) Si x ∈ X 0 ⇔ gxg −1 = x ∀g ∈ G ⇔ gx = xg ∀g ∈ G ⇔ x ∈ Z ( G ) ⇒ X 0 = Z ( G ) Aplicando lo obtenido en la observación 3.3 para este caso particular se obtiene lo que se da en llamar ecuación de las clases. iii) Sea H < G , g ∈ G ⇒ gHg −1 < G entonces si consideramos la acción definida por: g G × Subg ( G ) → Subg ( G ) g g H := gHg −1 ( g , H ) Îg definido tenemos que: - 82 - Notas de Álgebra II Acciones - 83 - σ ( K ) = { g g K : g ∈ G} = { gKg −1 : g ∈ G} en forma general, el orden de la orbita es el índice del estabilizador en el grupo G, pero en este caso el estabilizador es el normalizador; luego: σ ( K ) = [G : N G ( K )] = {H < G : H conjugado de K } = n luego n | G . 2) Si G actúa en X, esto equivale a tener un morfismo ϕ :G → Biy ( X ) llamemos N (ϕ ) = ker ϕ . Tenemos que se induce un G monomorfismo ϕˆ : G ° Biy ( X ) N (ϕ ) π ker ϕ = N (ϕ ) = I Gx < G , G ≅ ϕ ( G ) < Biy ( X ) N ϕ ( ) x∈ X G | X! N (ϕ ) Podemos entonces considerar esto para la siguiente situación: N (ϕ ) < G Si G Œ X ! ⇒ { N (ϕ ) ≠ {e} no divide Entonces si G < ∞, X < ∞ ⇒ [G : N (ϕ )] = G ϕ Biy ( X ) ϕ̂ N (ϕ ) Es decir que tenemos un subgrupo normal distinto del trivial, por lo que G no es simple. 3) Acciones por traslación (izquierda) Definición 3.11 Sea X = G un grupo y definimos la acción que llamamos acción por traslación por medio de la siguiente función g →G G × G g⋅x ( g , x ) Îg Producto en G O sea g g x = g ⋅ x . A diferencia de la acción por conjugación, la función que define la acción en este caso no es un morfismo (en el caso de acción por conjugación vimos que era un isomorfismo observación 3.4) Claramente se cumplen las condiciones para que sea acción : i) eg x = e ⋅ x = x ∀x ∈ X = G - 83 - Notas de Álgebra II Capítulo 3 - 84 - ii) g1 g( g 2 g x ) = g1 g( g 2 ⋅ x ) = g1 ⋅ ( g 2 ⋅ x ) = ( g1 ⋅ g 2 ) ⋅ x = ( g1 ⋅ g 2 )g x ∀g1 , g 2 , x ∈ G . Observar que es una acción transitiva ya que ∀x, y ∈ G, tenemos que ver si existe g ∈ G que cumpla g g x = y . ggx = y { −1 P ⇒ g = yx ∈ G gx Además es una acción fiel ya que g g x = x ⇒ gx = x ⇒ g = e . Observación 3.6 La acción por traslación induce una acción por traslación de G sobre las partes de G. g G ×P ( G ) →P ( G ) ( g , Y ) Î gY = { gy : y ∈ Y } % ∈G ⇒ G Sea H < G , G ⊂ P ( G ) y ∀g ∈ G , fH ∈ G se tiene gfH = gH H H H H es G-estable, entonces por restricción, G actúa por traslación en G , y se tiene: H g G G G× → H H ( g , fH ) Î gfH que por ser la primera transitiva esta última también, luego tenemos solo una orbita: % : g% ∈ G} = G σ ( fH ) = { gfH : g ∈ G} = {gH H El estabilizador de fH es por definición: G fH = { g ∈ G : gfH = fH } Pero por otro lado: gfH = fH ⇔ f −1 gf ∈ H ⇔ ∃h ∈ H tal que f −1 gf = h ⇔ g = fhf −1 ⇔ g ∈ fHf −1 luego: G fH = { g ∈ G : gfH = fH } = fHf −1 Consideremos ϕ : G → Biy G H G ϕ Biy G H g Î ϕ (g):G → G H H π ϕ̂ fH Î gfH monomorfismo Sea K = ker ϕ entonces como: G K = I G fH ⇒ K = I gHg −1 < G K ( f ∈G y fHf −1 ) ( g∈G = H si f ∈ H entonces K ⊂ H luego: - 84 - ) Notas de Álgebra II Acciones - 85 - K ⊂ H ⇒ K es el mayor subgrupo normal a G contenido en H K <G ya que si existe algún T que cumple: T <G −1 −1 ⇒ T⊂K ⇒ ∀f ∈ G, T = fTf ⊂ fHf { T ⊂ H −1 por ser K = I fHf f ∈G Aplicando 2) a esta situación obtenemos: K < G Si G < ∞ , H < G y G Œ [G : H ]! ⇒ ∃K ≠ {e} tal que K ⊂ H De esta forma obtenemos un subgrupo normal a G que está contenido en el subgrupo dado H. Ejemplo 3.3 Si G = 99 y H < G con H = 11 ⇒ H < G Ya que G 99 K <G = = 9 y G Œ 9! ⇒ ∃K ≠ {e} t.q. [G : H ] = { H 11 K ⊂ H = 99 Pero H = 11 primo ⇒ K = H Proposición 3.7 Sea G un grupo G < ∞ , H < G tal que [G : H ] = p siendo p el menor número primo que divide a G entonces H < G Demostración Sea la acción sobre el cociente considerada en la proposición anterior G ϕ Biy G H g G G G G × H → H y el morfismo ϕ : G → Biy H Tenemos que se induce un monomorfismo (inyectivo) π ϕ̂ G G ker ϕ ⊂ H ⊂ G entonces: ϕˆ : ° Biy H { N (ϕ ) G = N (ϕ ) N (ϕ ) G : H ]! [G : N (ϕ )] | [123 ( ( ( ) ) =p y como [G : N (ϕ )] = [G : H ][ H : N (ϕ )] | p ! ⇒ [ H : N (ϕ )] | ( p − 1)! 123 14243 P =p H N (ϕ ) Supongamos que N (ϕ ) Ö H ⇒ [ H : N (ϕ )] > 1 . Sea q primo tal que: q | [ H : N (ϕ )] | ( p − 1)! entonces q | ( p − 1)! - 85 - ) Notas de Álgebra II Capítulo 3 - 86 - además como q | [ H : N (ϕ ) ] = H ⇒ q| H | G ⇒ q| G N (ϕ ) entonces: q | ( p − 1)! ⇒ q ≤ p − 1 ⇒ absurdo q| G ⇒ q > p { por hip. Luego N (ϕ ) = H ⇒ H < G Producto semidirecto Dado un grupo G tal que existe N < G y K < G tales que N I K = {e} y NK = G . Si además K < G entonces N×K →G ( n, k ) Î nk es un isomorfismo. Analicemos el caso en que K no es necesariamente normal. Observar que N I K = {e} ⇒ ∀g ∈ G existe un único n ∈ N , k ∈ K tal que g = nk ya que de no ser así : n1 , n2 ∈ N , k1k2 ∈ K n = n2 −1 k1−1 ∈ N I K = {e} ⇒ 1 ⇒ n{ 2 n1 = k 2 { n1k1 = n2k 2 k1 = k 2 ∈N ∈K Consideremos la acción por conjugación g G × G →G ( g , x ) Î gxg −1 g Como N es normal es G-estable y por lo tanto induce una acción G × N →N y como K < G tenemos una acción por restricción: g K × N →N ( k , x ) Î kxk −1 lo que equivale a tener un morfismo: τ : K → Biy ( N ) k Î τk : N → N n Î knk −1 es decir τ ( n ) = knk −1 Observar además que G = NK entonces el producto nos queda: - 86 - Notas de Álgebra II Acciones - 87 - n1k1 ⋅ n2 k2 = n1 k1 n2 k1−1 k1k2 = n1τ k1 ( n2 ) ⋅ k1k2 123 1 424 3 { ∈N Observar que τ k = int k | N : N → kNk −1 ∈N ∈K de acuerdo a lo visto en la observación 3.4 es un isomorfismo, pero como N es normal kNk −1 = N se trata de un automorfismo para todo k ∈ K . Luego τ : K → Aut ( N ) < Biy ( N ) . Con esta idea modelamos el producto semidirecto que definimos a continuación. Definición 3.12 Sean N y K dos grupos y el morfismo: τ : K → Aut ( N ) k Î τk definimos el producto semidirecto (o producto torcido) que anotamos N ãτ K como el grupo que como conjunto es N × K con producto, neutro e inverso definido por: Producto ( n1 , k1 ) ⋅ ( n2 , k 2 ) = ( n1τ k1 ( n2 ) , k1k 2 ) Neutro eNãK = ( eN , eK ) Inverso ( n, k ) −1 = (τ k ( n −1 ) , k −1 ) −1 Es un ejercicio verificar que N ãτ K con estas definiciones es efectivamente un grupo. Veremos acá que el inverso está bien definido. ( n, k ) ⋅ ( n, k )−1 = ( n, k ) ⋅ (τ k −1 ( n −1 ) , k −1 ) = por definición del producto = ( nτ k (τ k −1 ( n −1 ) ) , k −1k ) = n τ k o τ k −1 ( n −1 ) , eK = ( nn −1 , eK ) = ( eN , eK ) 123 Id por ser τ un morfismo y ( n, k ) −1 ⋅ ( n, k ) = (τ k ( n −1 ) , k −1 ) ⋅ ( n, k ) = −1 −1 = (τ k −1 ( n )τ k −1 ( n ) , k k ) = τ k −1 ( n n ) , eK = τ k −1 ( eN ) , eK ( eN , eK ) { 424 3 1 = eN = eN por ser τ k −1 morfismo automorfismo −1 −1 Observación 3.7 Es equivalente tener un morfismo τ : K → Aut ( N ) a tener una función - 87 - Notas de Álgebra II Capítulo 3 - 88 - τ : K → Fun ( N ) k Î τk : N → N que verifique: τ k ( n1n2 ) = τ k ( n1 )τ k ( n2 ) ∀n , n ∈ N τ k1 (τ k2 ( n ) ) = τ k1k2 ( n ) 1 2 ∀k1 , k 2 ∈ K τ e (n) = n −1 −1 En particular tenemos (τ k ) = τ k −1 , τ k ( e ) = e, τ k ( n −1 ) = τ k ( n ) ∀k ∈ K , n ∈ N . Proposición 3.8 Sean N y K grupos y τ : K → Aut ( N ) morfismo definimos: N% , K% ⊂ N ã K por N% = {( n, e ) : n ∈ N } , K% = {( e, k ) : k ∈ K } τ entonces: % % = Nã K i) N% < N ãτ K , K% < N ãτ K , N% I K% = {( e, e )} y NK τ ii) N → N% y K → K% son isomorfismos n Î ( n, e ) k → ( e, k ) iii) ( e, k ) ⋅ ( n, e ) ⋅ ( e, k ) = (τ k ( n ) , e ) ∀k ∈ K , n ∈ N Recíprocamente, si G es un grupo y existen N < G , K < G tales que N I K = {e} y NK = G , entonces definiendo τ : K → Aut ( N ) por τ k ( n ) = knk −1 , resulta que N ãτ K → G −1 es un isomorfismo. ( n, k ) Î nk Demostración Definimos ϕ : N → N ãτ K y ψ : K → N ãτ K n Î ( n, e ) k Î ( e, k ) ϕ ( n ) ⋅ ϕ ( n′ ) = ( n, e ) ⋅ ( n′, e ) = ( n ⋅ τ e ( n′ ) , e ⋅ e ) = ( n ⋅ n′, e ) = ϕ ( n ⋅ n′ ) ψ ( k ) ⋅ψ ( k ′ ) = ( e, k ) ⋅ ( e, k ′ ) = ( e ⋅ τ k ( e ) , k ⋅ k ′ ) = ( e, k ⋅ k ′) = ψ ( k ⋅ k ′) lo que implica que ϕ y ψ son morfismos, como N% = Im ϕ , K% = Imψ y claramente ϕ ,ψ son inyectivos, se deduce N% < N ã K , K% < N ã K y N ≅ N% , K ≅ K% . • • N% I K% = {( e, e )} es obvio. τ τ %%. ( n, e ) ⋅ ( e, k ) = ( nτ e ( e ) , k ) = ( n, k ) ⇒ N ãτ K = NK - 88 - Notas de Álgebra II • Acciones - 89 - ( n1 , k1 ) ⋅ ( n2 , e ) ⋅ ( n1 , k1 )−1 = ( n1τ k ( n2 ) , k1 ) ⋅ (τ k ( n1−1 ) , k1−1 ) = −1 1 1 ∈N 678 −1 % −1 −1 = n1 ⋅τ k1 ( n2 ) ⋅τ k1 τ k −1 ( n1 ) , k1k1 = n1 ⋅τ k1 ( n2 ) ⋅ n1 , e ∈ N 1 3 14 4244 3 144244 ∈N −1 Id ( n1 ) luego N% < N ãτ K . ( ) • Tomando n1 = e ⇒ ( e, k1 ) ⋅ ( n2 , e ) ⋅ ( e, k1 ) = ( e ⋅τ k1 ( n2 ) ⋅ e, e ) = (τ k1 ( n2 ) , e ) −1 Recíprocamente sea la función: µ N ãτ K →G ( n, k ) Î nk Claramente es sobreyectiva (G = NK ) y es inyectiva porque N I K = {e} , luego µ es biyectiva. µ ( ( n1 , k1 ) ⋅ ( n2 , k 2 ) ) = µ ( n1 ⋅ τ k1 ( n2 ) , k1k 2 ) = µ ( n1k1n2 k1−1 , k1k2 ) = = n1k1n2 k1−1k1 k2 = n1k1n2 k2 = µ ( n1 , k1 ) ⋅ µ ( n2 , k 2 ) { =e luego µ es un morfismo. Proposición 3.9 Sea G un grupo tal que existen N < G , K < G que verifiquen G = NK = KN y N I K = {e} Entonces K < G si y solo sí nk = kn, ∀n ∈ N , k ∈ K Demostración ⇒ ya lo demostramos en la proposición 1.26 (iii) ⇐ Sea k ∈ K y g = k1n1 ∈ G , con k1 ∈ K , n1 ∈ N consideremos: gkg −1 = k1 n1k n1−1k1−1 = k1k n1n1−1 k1−1 = k1kk1−1 ∈ K { { = kn1 luego K < G =e Observación 3.8 Si K y N son grupos y τ : K → Aut ( N ) es el morfismo trivial es decir τ k = Id, ∀k ∈ K si y solo sí : N ãτ K = N × K Demostración ( n1 , k1 ) ⋅ ( n2 , k 2 ) ={ ( n1τ k1 ( n2 ) , k1k 2 ) = ( n1n2 , k1k2 ) ∀n1 , n2 ∈ N , k1k 2 ∈ K def se cumple si y solo sí τ k = Id ∀k ∈ K - 89 - Notas de Álgebra II Capítulo 3 - 90 - Proposición 3.10 Si K, N son grupos y τ : K → Aut ( N ) es un morfismo no trivial, entonces N ãτ K no es abeliano. Demostración Como τ no es trivial ∃k ∈ K tal que τ k ≠ Id ⇒ ∃no ∈ N tal que τ k ( n0 ) ≠ n0 para este k y este n0 sea: • ⇒ ( n0 , e ) ⋅ ( e, k ) ≠ ( e, k ) ⋅ ( n0 , e ) ( e, k ) ⋅ ( n0 , e ) = ( eτ k ( n0 ) , ke ) = (τ k ( n0 ) , k ) ( n0 , e ) ⋅ ( e, k ) = ( n0τ e ( e ) , ek ) = n0 , k Proposición 3.11 Si K es un cuerpo y G < K × con G < ∞ entonces G es cíclico. En particular si K es un cuerpo finito, entonces K × es cíclico. Demostración Si G = {1} es trivial. Supongamos ahora que G ≠ {1} G abeliano finito ⇒ ∃ 1 < m1 | m2 | ... | mk tal que G ≅ ¢ m1 ⊕ ¢ m2 ⊕ ... ⊕ ¢ mk Tenemos que: notación multiplicativa k mi ⋅ ¢ mi = 0 ∀i ⇒ mk ⋅ ¢ mi = 0 ∀i ⇒ mk ⋅ ⊕ ¢ mi = 0 ⇒ g mk = 1 ∀g ∈ G . i =1 mk Luego todos los elementos de G son raíces de x − 1 ∈ K [ X ] , pero este polinomio tiene a lo sumo mk raíces, entonces G ≤ mk . Pero G = m1.m2 ....mk con 1 < m1 | m2 | ... | mk , si fuese k > 1 sería G > mk lo cual es absurdo, entonces k = 1 y G ≅ ¢ m1 . Observación 3.9 Si p es primo ⇒ ¢ p es un cuerpo finito ⇒ ¢×p es cíclico ⇒ Aut ( ¢ p ) es cíclico ∃a ∈ {1, 2,..., p − 1} tal que a p −1 ≡ 1( mod p ) . ¢×p = {1, a ,..., a p− 2 } con Como ¢×p = p − 1 ⇒ ( ¢×p , ⋅) ≅ ( ¢ p −1 , + ) . an Ï n Subgrupos de Sylow Ya hemos visto que si G es un grupo de orden n, el orden de cada subgrupo H de G divide a n. También sabemos con ejemplos del practico que el recíproco no es cierto en general. A4 no posee subgrupos de orden 6. - 90 - Notas de Álgebra II Acciones - 91 - A continuación probaremos que si m | n y m es potencia de un primo ( m = p r ) entonces todo grupo de orden n posee subgrupos de orden m. Además fijaremos las condiciones respecto al número de tales subgrupos. En particular verificaremos la existencia de p-subgrupos de orden máximo y demostraremos que todos ellos son conjugados. Estos resultados se conocen como Teoremas de Sylow y se encuentran entre los más importantes de la teoría de grupos. Definición 3.13 Sea p un número primo decimos que un grupo G es un p-grupo si el orden de todo elemento de G es p n para algún n = 0,1, 2,..... . Ejemplo 3.4 Si G = {e} , es un p-grupo para todo primo p, es el p-grupo trivial. Observación 3.10 Si G es un p-grupo finito entonces G = p n para algún n Demostración Supongamos que existe un primo q ≠ p tal que q | G entonces por el teorema de Cauchy existe un elemento cuyo orden es q y G no sería un p-grupo. Observar que nosotros probamos el teorema de Cauchy más adelante usando Sylow, pero se puede demostrar sin usar Sylow (ver al final del capítulo). Definición 3.14 Si G es un grupo y H < G es un p-grupo entonces decimos que H es un p-subgrupo de G. Definición 3.15 Dado un grupo G , decimos que H < G es un p-subgrupo de Sylow de G si H es un p-subgrupo maximal de G (en el sentido de que si K es un psubgrupo de G entonces K < H ). Por otra parte si G es finito entonces H < G es un p-subgrupo de Sylow si y solo sí H = p n siendo n el mayor natural tal que p n | G. Si p Œ G entonces {e} el único p-subgrupo de Sylow. Proposición 3.12 Sea G un p-grupo que actúa en un conjunto X finito. Entonces: X ≡ X 0 ( mod p ) Siendo X 0 = { x ∈ X : g g x = x , ∀g ∈ G} (el conjunto de los puntos fijos de la acción) Demostración Si la acción es la trivial todos los puntos son fijos y se cumple por ser G un p-grupo. Si la acción no es la trivial ⇒ ∃x1 ,..., xm ∈ X tales que: m X = X 0 + ∑ G : Gxi con G : Gxi > 1 ∀i = 1,..., m i =1 Ahora G = p y 1 < G : Gxi | G ⇒ G : Gxi = p l i ∀i = 1,..., m luego n - 91 - Notas de Álgebra II Capítulo 3 - 92 - ⇒ p | G : Gxi , ∀i = 1,..., m ⇒ X ≡ X 0 ( mod p ) Corolario 3.13 Si G es un p-grupo finito no trivial. Entonces: Z ( G ) ≠ {e} Demostración Consideremos la acción por conjugación, en la misma X = G y la ecuación de clases nos queda: m G = Z ( G ) + ∑ [G : CG ( xi )] con [G : CG ( xi )] > 1 ∀i = 1,..., m i =1 y 1 < [G : CG ( xi )] | G = p n ⇒ [G : CG ( xi )] = p l i ⇒ p | [G : CG ( xi )] ∀i = 1,...m luego p | Z (G ) ⇒ Z (G ) ≠ 1 Observación 3.11 1) Si G ≠ {e} ⇒ CG ( x ) ≠ {e} , ∀x ∈ G 2) Si H < Z ( G ) ⇒ H < G Demostración 1) CG ( x ) = {a ∈ G : xa = ax} en particular x ∈ CG ( x ) , ∀x ∈ G entonces si ∃x ∈ G tal que CG ( x ) = {e} ⇒ x = e ⇒ {e} = CG ( x ) = CG ( e ) = G por lo tanto se tiene: G = {e} 2) Si g ∈ G , h ∈ H ⇒ ghg −1 = { h⇒ H <G H < Z (G ) Proposición 3.14 Si G es un p-grupo no trivial, entonces existe una torre (cadena) G de subgrupos {e} = G0 < G1 < ... < Gn = G tales que Gi < G y i +1 es cíclico de Gi orden p ∀i = 0,1,..., n luego Gi = p i , i = 0,1,..., n Demostración Razonaremos por inducción completa en n con G = p n . Para n = 1 es {e} = G0 < G1 = G con G = p luego se cumple trivialmente. Sea G = p n y supongamos que la proposición vale para todo grupo de orden p n −1 . Como G es un grupo no trivial ⇒ Z ( G ) ≠ {e} ⇒ Z ( G ) = p l con 1 ≤ l ≤ n pero Z ( G ) es abeliano finito, considerando corolario 2.15 ⇒ existe H tal que: H < Z (G ) < G ⇒ { H <G H = p obsev.3.11(2) - 92 - Notas de Álgebra II consideramos G H Acciones , como G tenemos: H - 93 - = p n −1 podemos aplicar la hipótesis de inducción y G% 0 = {e} < G%1 < ... < G% n−1 = G H con G% i < G H G% i +1 cíclico y G% i G% i +1 = p ∀i = 0,1,..., n − 2 G% i Por la proposición 1.32 tenemos una biyección entre los subgrupos de G y los monótona creciente que respeta la normalidad. Es decir que subgrupos de G H aplicando dicha biyección que en su momento establecimos por medio de π : G% 0 = {e} < G%1 < ... < G% n−1 = G H π↑ b ↓ π −1 e} < { H < Gˆ1 < .... < Gˆ n −1 = G {{ ˆ = G0 = G0 ˆ entonces: Es decir que para cada i existe Gˆ i < G con H < Gˆ i y tal que G% i = Gi H Gˆ i +1 ˆ Gi +1 H = G% i +1 = =p G% i Gˆ i Gˆ i H Definimos Gi = Gˆ i −1 ∀i = 1,..., n G0 = {e} luego tenemos {e} = G0 < G1 < ... < Gn = G en las condiciones de la tesis. P Gˆ 0 P Gˆ n−1 Además Gi = p i ∀i = 0,1,..., n Proposición 3.15 (Primer Teorema de Sylow) Dado un grupo G, si p | G con p primo, entonces existe un p-subgrupo de Sylow. Además si G = p n k , con ( p , k ) = 1 , entonces S p = p n siendo S p un p-subgrupo de Sylow. Demostración Si G = p el propio G es un p-subgrupo se Sylow de G Supongamos que el teorema es valido para todo grupo H con H < G y sea: - 93 - Notas de Álgebra II Capítulo 3 - 94 - G = p n k con ( p , k ) = 1 Si G no tiene subgrupos propios ⇒ G es primo ⇒ G = p ⇒ la tesis. Supongamos entonces que existe H < G con {e} ≠ H ≠ G , consideremos las siguientes situaciones: a) p Œ [G : H ] , entonces como: G = [G : H ] ⋅ H ⇒ p n k = [G : H ] ⋅ H n ⇒ p | H n ( p , [G : H ]) = 1 Luego H = p n ⋅ r , pero como H | G = p n ⋅ k ⇒ r | k y por lo tanto ( p, r ) = 1 es decir que H = p n ⋅ r con ( p, r ) = 1 y H < G ⇒ que podemos aplicar la hipótesis de inducción, y tenemos que ∃K < H tal que K = p n ⇒ que K es un p-subgrupo de Sylow de G. b) p | [G : H ] , ∀H < G con {e} ≠ H ≠ G entonces considerando la ecuación de clases: m G = Z ( G ) + ∑ [G : CG ( xi )] , [G : CC ( xi )] > 1, ∀i = 1,..., m i =1 [G : CG ( xi )] > 1 ⇒ CG ( xi ) ≠ G ⇒ { por obser.3.11 (1) {e} ≠ CG ( xi ) ≠ G y CG ( xi ) < G , luego por hipótesis: p | [G : CG ( xi )] , ∀i = 1,..., m p | Z (G ) ⇒ ⇒ ∃H < Z ( G ) tal que H = p p | G Z ( G ) abeliano Pero que H < Z ( G ) ⇒ H < Z ( G ) y podemos considerar el cociente G que H cumple: n G = p ⋅ k = p n −1 ⋅ k ⇒ ∃K% < G tal que K% = p n −1 { H H p por hipótesis de inducción considerando la biyección de la proposición 1.32 se tiene que: ∃K < G con H < K tal que K% = K ⇒ K = K ⋅ H = p n−1 ⋅ p = p n H H Este K es el p-subgrupo de Sylow que estábamos buscando. Corolario 3.16 Sea G un grupo tal que G = p n ⋅ k con ( p, k ) = 1 , entonces existen subgrupos de G de orden p l , ∀l = 0,1,..., n Demostración Por la proposición anterior existe H < G tal que H = p n y por la proposición 3.14 aplicada al H implica que existen H i < H ( ⇒ H i < G ) tales que: {e} = H 0 < H1 < ... < H n = H con H i = p i para i = 0,1,..., n - 94 - Notas de Álgebra II Acciones - 95 - Otro corolario muy importante es el que se conoce como Teorema de Cauchy Corolario 3.17 (Teorema de Cauchy) Dado un grupo G y un número primo p tal que p | G , entonces existe un elemento a ∈ G tal que a = p . Demostración Por el Teorema de Sylow existe H < G tal que H = p. Si e ≠ a ∈ H de acuerdo al corolario 1.19 a | H = p ⇒ a = p . { >1 Lema 3.18 Sea G un grupo, p un número primo tal que p | G , H un p-subgrupo de G y S un p-subgrupo de Sylow de G. Si H < N G ( S ) , entonces H < S . G Demostración Usando la proposición 1.26 (i) tenemos: S < NG (S ) ⇒ HS < N G ( S ) < G NG ( S ) H < N G ( S ) Luego HS < G HS Sea S = pn , H = pm por definición de p-subgrupo de = Sylow m ≤ n .Además podemos considerar que m ≥ 1 ya H S que si m = 0, H sería el p-subgrupo trivial ⇒ H < S como queremos probar. = Como consecuencia del segundo teorema de H IS isomorfismo teníamos que: [ HS : S ] = [ H : H I S ] pero este último divide a H = p m luego [ HS : S ] | p m supongamos que HS ≠ S ⇒ [ HS : S ] > 1 ⇒ [ HS : S ] = p l con l ≥ 1 por otro lado: HS = [ HS : S ] ⋅ S = p l+ n con l + n > n Luego encontramos un p-subgrupo de G de mayor orden que S lo cual es absurdo por definición, entonces HS = S ⇒ H < S . Proposición 3.19 (Segundo Teorema de Sylow) Sea G un grupo finito y p primo tal que p | G entonces se cumplen: i) Todo p subgrupo de G está contenido en algún p-subgrupo de Sylow. ii) Todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados iii) Si n p = { p − subgrupos de Sylow de G} entonces: n p ≡ 1( mod p ) - 95 - Notas de Álgebra II Capítulo 3 - 96 - Demostración i) Sea S un p-subgrupo de Sylow de G. Es S = p n siendo G = p n ⋅ k , ( p, k ) = 1 Consideremos la acción: g G × Subg ( G ) → Subg ( G ) gKg −1 ( g , K ) Îg Sea S = { gSg −1 : g ∈ G} la orbita de S (σ ( S ) = S ) De acuerdo a la proposición 3.5 S = [G : N G ( S )] por otro lado: S < N G ( S ) < G considerando los ordenes ⇒ p n | N G ( S ) | p n ⋅ k ⇒ N G ( S ) = p n ⋅ h con ( p, h ) = 1 , entonces: S = [G : N G ( S )] = G NG ( S ) = pn ⋅ k k = con pn ⋅ h h ( kh , p ) = 1 luego S ≡ 0 ( mod p ) . Sea H un p-subgrupo de G . Como S es G-estable, podemos restringir la acción a S (ver observación 3.2) y tenemos g G × S →S gSg −1 ( g , S ) Îg y restringiendo a H g H × S →S hSh −1 ( h, S ) Îh Como H es un p-subgrupo por la proposición 3.12 S0 H ≡ S ( mod p ) siendo S 0 H el conjunto de puntos fijos de la acción restringida a H, es decir: S 0 H = {Q ∈ S : hQh −1 = Q , ∀h ∈ H } y como S ≡ 0 ( mod p ) ⇒ S 0 H ≡ 0 ( mod p ) ⇒ S 0 H ≠ 0 ⇒ S 0 H ≠ φ luego existe Q ∈ S 0 H ⇒ hQh −1 = Q , ∀h ∈ H ⇒ H < N G (Q ) 123 ∈ ⇒ { H < Q ⇒ i) Lema 3.18 S ⇒ Q = S ⇒ Q es un p -subgrupo de Sylow Si además H es un p-subgrupo de Sylow de G y Q ∈S0 H es H < Q , con H = Q luego H = Q ∈ S ⇒ ∃g ∈ G tal que H = gSg −1 y esto prueba ii) Esto prueba además que todo p-subgrupo de Sylow está en S , y S 0 H = {H } luego S0 H = 1, como S ≡ S0 H ( mod p ) ⇒ S ≡ 1( mod p ) pero: S = { p-subgrupos de Sylow de G} entonces n p = S ≡ 1( mod p ) . - 96 - Notas de Álgebra II Acciones - 97 - Observación 3.12 Si S p es un p-subgrupo de Sylow de G y : n p = { p − subgrupos de Sylow de G} entonces valen n p ≡ 1( mod p ) np = G NG ( S p ) y np | G Sp G Demostración n p = S = G : N G ( S p ) = NG ( S p ) G S p < N G ( S p ) < G ⇒ G : N G ( S p ) ⋅ N G ( S p ) : S p = G : S p ⇒ n p | G : S p = 14 4244 3 Sp =np Corolario 3.20 Sea p primo tal que p | G y S p es un p-subgrupo de Sylow de G. Entonces S p < G ⇔ n p = 1 Demostración np = 1 ⇔ G = 1 ⇔ NG ( S p ) = G ⇔ S p < G NG ( S p ) Corolario 3.21 Sea p primo tal que p | G y S p un p-subgrupo de Sylow de G. Entonces N G ( N G ( S p ) ) = N G ( S p ) Demostración Si H < G es N G ( H ) = { g ∈ G : gHg −1 = H } y N G ( H ) es el mayor subgrupo de G del cual H es un subgrupo normal Luego es N G ( S p ) < N G ( N G ( S p ) ) S p < N G ( S p ) y es un p-subgrupo de Sylow de N G ( S p ) , luego por el corolario anterior implica que S p es el único p-subgrupo de Sylow contenido en N G ( S p ) . Si x ∈ NG ( N G ( S p ) ) ⇒ xNG ( S p ) x −1 = N G ( S p ) ⇒ { S p < NG ( S p ) xS p x −1 < NG ( S p ) , pero xS p x es un p-subgrupo de Sylow de N G ( S p ) ⇒ xS p x −1 = S p ⇒ x ∈ NG ( S p ) luego: −1 NG ( N G ( S p ) ) ⊂ NG ( S p ) como la otro inclusión es obvia son iguales. Veamos ahora algunas aplicaciones. - 97 - Notas de Álgebra II Capítulo 3 - 98 - Aplicaciones Ejemplo 3.5 Sea un grupo G tal que G = 72 probar que G no es simple. Descomponemos el 72 = 23 ⋅ 32 . Entonces si S3 es un 3-subgrupo de Sylow, implica que S3 = 9 (Primer Teorema de Sylow). Por el segundo Teorema de Sylow G 72 1 ⇒ S3 < G ⇒ af. = = 8 ⇒ n3 | 8 y n3 ≡ 1( mod 3) ⇒ n3 = n3 | 9 Sp 4 Si n3 = 4 ⇒ [G : N G ( S3 )] = 4 ⇒ G Œ G : N G ( S p ) ! = 4! { entonces de acuerdo a lo { 24 72 visto en la aplicación 2) de acciones (pag.83) (ver conclusión de la observación 3.6) ∃ K { < G tal que {e} ≠ K < N G ( S3 ) ⇒ K < S3 Lema 3.18 = ker ϕ Ejemplo 3.6 Sea G un grupo tal que G = p 2 con p primo, entonces G es abeliano luego es G ≅ ¢ p 2 o G ≅ ¢ p ⊕ ¢ p . G es un p-grupo, luego tenemos: p 2 ⇒ Z ( G ) = G ⇒ af. ⇒ Z ( G ) ≠ {e} como G ≡ Z ( G ) ( mod p ) ⇒ Z ( G ) = cor.3.13 p Si Z ( G ) = p, como Z ( G ) < G ⇒ G es un grupo con: Z (G ) G Z (G ) G =p ⇒ es cíclico { Z (G ) cor. 1.20 a ≡ α n ( mod Z ( G ) ) ⇒ α − n a ∈ Z ( G ) ⇒ ∃h ∈ Z ( G ) tal que a = α n h ∀a, b ∈ G ⇒ m −m m b ≡ α ( mod Z ( G ) ) ⇒ α b ∈ Z ( G ) ⇒ ∃k ∈ Z ( G ) tal que b = α k ↔ } m n n m n+ m n m n entonces ab = α hEα hk kh = α m α { αα E { α { α {k α {h = ba F k = F = E5Fk h = ↔ h∈Z (G ) ↔ h∈Z ( G ) ↔ k∈Z (G ) =b =a por lo que G es abeliano ⇒ Z ( G ) = G pero Z ( G ) = p ≠ G luego es absurdo. Ejemplo 3.7 Sea G un grupo tal que G = 112132 demostrar que es abeliano. 1 ⇒ n11 = 1 ⇒ S11 < G n11 = 1 + 11k |132 ⇒ n11 = 1 + 11k = 13 132 - 98 - Notas de Álgebra II Acciones - 99 - 1 ⇒ n13 = 1 ⇒ S13 < G n13 = 1 + 13k |112 ⇒ n13 = 1 + 13k = 11 112 S11 = 112 , S13 = 132 ⇒ S11 I S13 = 1 ⇒ S11 I S13 = {e} ⇒ S11S13 = 112132 ⇒ G = S11S13 , S11 < G , S13 < G y S11 I S12 = {e} ⇒ G ≅ S11 × S13 ej. 1.42 Y como S11 = 11 y S13 = 13 por el ejemplo anterior S11, S13 son abelianos y por lo tanto S11 × S13 también. 2 2 Ejemplo 3.8 Si G = 6 y G no es abeliano entonces es G ≅ S3 entendiendo por S3 a las permutaciones de 3 elementos. Como [G : S3 ] = 2 ⇒ S3 < G S3 <G y S 2 I S 3 =1 } 1 ⇒ S < G ⇒ G ≅ S 2 × S3 ≅ ¢ 2 × ¢ 3 ⇒ abeliano n2 = 1 + 2k | 3 ⇒ n2 = 2 3 Luego n2 = 3 ⇒ S2 <G Consideremos la siguiente acción sobre el conjunto G S2 dada por: G×G S2 g →G S2 ( g , hS 2 ) Î ghS 2 Lo que equivale a tener un morfismo: ( S) ϕ : G → Biy G 2 3 g Î ϕ (g):G S2 →G S2 ϕ ( g )( hS2 ) Î ghS2 {e} < S 2 (ver observación 3.6) pero como S 2 = 2 ⇒ ker ϕ = g∈G S2 −1 entonces si ker ϕ = S 2 como ker ϕ = I gS 2 g < G ⇒ S2 < G ker ϕ = I gS g −1 2 g∈G ( S )≅S luego ker ϕ = {e} ⇒ ϕ : G ° Biy G 2 implica que ϕ es un isomorfismo ∴ G ≅ S3 - 99 - 3 ya que G S2 = 3 y como G = S3 Notas de Álgebra II Capítulo 3 - 100 - Observación 3.13 Si p < q son primos y q ≡ 1( mod p ) , entonces existe un entero r tal que: r p ≡ 1( mod q ) y que {a, b : a = b = 1, aba = b p q −1 r ≡ 1( mod q ) r } es un grupo no abeliano de orden pq. Proposición 3.22 Sea G un grupo, G = pq, p < q primos: i) Si G es abeliano, entonces G ≅ ¢ pq luego G es cíclico. ii) Si G no es abeliano, entonces se cumplen: a) q ≡ 1( mod p ) ; b) ∀r ∈ ¢ + tal que r p ≡ 1( mod q ) y r ≡ 1( mod q ) , tenemos que: G ≅ {a, b : a p = b q = 1, aba −1 = b r } Demostración Sean S p < G y S q < G tal que S p = p , S q = q ( S p ≅ ¢ p , S q ≅ ¢ q ) Como ( p, q ) = 1 ⇒ S p I Sq = 1 ⇒ S p Sq = pq = G luego: G = S p Sq S p I S q = {e} nq = 1 + kq | p ⇒ { nq = 1 ⇒ S q < G p <q n p = 1 ⇒ S p < G ⇒ G ≅ S p × S q ≅ ¢ p × ¢ q ≅ ¢ pq n p = 1 + kp | q ⇒ n p = q Si n p = q ⇒ q ≡ 1( mod p ) Sea r ∈ ¢ + tal que r p ≡ 1( mod q ) y r ≡ 1( mod q ) . Como n p ≠ 1 ⇒ S p <G , y además G = S p S q , S q < G , S p I S q = {e} implica que: ∃α ∈ S p y β ∈ S q tal que αβ ≠ βα ya que de lo contrario α = βαβ −1 , ∀α ∈ S p , β ∈ S q y entonces: ∀g ∈ G ⇒ ∃a ∈ S p , ∃b ∈ Sq tal que g = ab, y ∀s ∈ S p y se tiene que: −1 −1 −1 gsg −1 = ( ab ) s ( ab ) = absb { a = asa ⊂ S p ⇒ S p < G −1 =s S p y Sq son cíclicos más aún son simples ⇒ si α β ∈ S q entonces { ∈ Sp, y { ≠e ≠e S p = α , S q = β con α = p , β = q y como: - 100 - Notas de Álgebra II Acciones - 101 - −1 −1 l α β { α ≠ β ⇒ ∃!l ∈ {2,..., q − 1} tal que αβα = β c Sq < G P β Si αβα −1 = β l ⇒ (αβα −1 ) = ( β l ) ⇒ αβ lα −1 = β l sustituyendo: l l 2 α (αβα −1 )α −1 = β l ⇒ α 2 βα −2 = β l y así sucesivamente α t βα −t = β l 2 2 t ∀t ∈ ¢ pero como α p = e ⇒ α p βα − p = β l ⇒ β = β l ⇒ l p ≡ 1( mod q ) donde 2 ≤ l ≤ q − 1 p p luego l ≡ 1( mod q ) En ¢×q es ( l) p =1 y l≠1⇒ l = l = p Análogamente para r ∈ ¢×q es r = r = p , r = {1, r ,..., r p −1} Pero como ¢×q es cíclico, entonces tiene un único subgrupo de orden p; luego l = r ⇒ ∃c ∈ {1,..., p − 1} tal que l = r c en ¢ q . l≠1 1 ≤ c ≤ p − 1 ⇒ c ≠ 0 en ¢ p ⇒ ∃d ∈ {1,..., p − 1} tal que cd = 1 ⇔ cd ≡ 1( mod p ) En ¢ q es l d = r cd = r ⇒ ld ≡ r ( mod q ) E555555555F cd ≡ 1( mod p ) r =p Sea α 0 = α d ∈ α = S p , d ≡ 0 ( mod p ) ⇒ S p = α 0 E55555F α 0 βα 0−1 = α d βα − d = β ( ld ) = β r ⇒ α 0 βα 0−1 = β r ↑ l ≡ r ( mod q ) β =q d Luego G = S p S q = α 0 β = α 0 , β , α 0p = e, β q = e y α 0 βα 0−1 = β r esto implica que existe un epimorfismo entre {a, b : a p = b q = 1, aba −1 = b r } y G dado por : {a , b : a p = b q = 1, aba −1 = b r } → G a Î α0 bÎ β Como ambos grupos tienen orden pq dicho epimorfismo es un isomorfismo. Observar que la proposición anterior prueba que hay solamente dos grupos de orden pq con p < q a menos de isomorfismos. - 101 - Notas de Álgebra II Capítulo 3 - 102 - Corolario 3.23 Dado un grupo G tal que G = 2 p con p primo distinto de 2, entonces G ≅ ¢ 2 p o G ≅ D p Demostración 2 Si G es no abeliano, como ( p − 1) = p 2 − 2 p + 1 ≡ 1( mod p ) p − 1 ≡ 1( mod p ) pues p ≠ 2 Entonces tomando p = 2, q = p y r = p − 1 en la proposición anterior es: G ≅ {a, b : a 2 = b p , aba −1 = b p −1} = D p Ejemplo 3.9 Si G = 6 y G no es abeliano entonces G ≅ D3 en particular S 3 ≅ D3 Ejemplo 3.10 Si G = 35 ⇒ G = 3 ⋅ 7, 7 ≡ 1( mod 5 ) ⇒ G ≅ ¢ 35 . Teorema de Cauchy Sea G un grupo finito, p primo tal que p | G , entonces existe un elemento a ∈ G tal que a = p . Demostración (J.H. MacKay) Consideremos la p-uplas de elementos de G tales que su producto nos de el neutro del grupo o sea: X = {( a1 , a2 ,..., a p ) : ai ∈ G ∀i = 1,..., p y a1a2 ...a p = e} Como a p es determinado unívocamente por ( a1a2 ...a p −1 ) , entonces: −1 p −1 X = AApG−1 = G (arreglos con repetición) Consideremos la acción de ¢ p actuando en X, definida por una k permutación circular de la p-upla, en forma explícita: k ( a1 ,..., a p ) = ( ak +1 ,..., a p , a1 ,..., ak ) Primero que nada ( ak +1 ,..., ak ) ∈ X por que si xy = e ⇒ yx = x −1 ( xy ) x = x −1x = e , y por otro lado se trata de una acción de ¢ p sobre X porque: i) h g( k g x ) = ( h + k )g x (notación aditiva para el grupo aditivo ¢ p ) ii) 0 g x = x y en este caso X 0 conjunto de puntos fijos de la acción, es tal que ( a1 ,..., a p ) ∈ X 0 si y solo sí a1 = a2 = ... = a p es decir X 0 = {( a,..., a ) : a ∈ G y a p = e} . Además como ¢ p = p ⇒ ¢ p es un p-grupo actuando en X, entonces por la proposición 3.12 X = X0 (mod p) y p| G entonces X = 0 ( mod p ) y como ( e,..., e ) ∈ X 0 ⇒ X 0 ≥ 1 , entonces X 0 ≥ p ⇒ ∃a ≠ e tal que a p = e ⇒ a = p - 102 - Capítulo 4 Cuerpos Definición 4.1 Un cuerpo es un anillo conmutativo K ≠ {0} en el cual todo elemento no nulo es invertible. Definición 4.2 Un subcuerpo de K es un subconjunto S ⊂ K que verifica: • Si a, b ∈ S ⇒ a − b ∈ S y a ⋅ b ∈ S ∀a, b ∈ S • Si a ∈ S , a ≠ 0 ⇒ a −1 ∈ S , ∀a ∈ S • 1∈ S Luego S es un cuerpo restringiendo + y ⋅ de K a S. Ejemplo 4.1 Tenemos que ¤ ⊂ ¡ ⊂ £ es una cadena de subcuerpos. Ejemplo 4.2 ¢ p = ¢ p¢ con p primo, es un cuerpo. Ejemplo 4.3 Si K es un cuerpo ⇒ K [ x ] polinomios en la variable x es un dominio de ideales principales, K ( x ) = { gf : f , g ∈ K [ x ] , g ≠ 0} es el cuerpo de fracciones de K [ x ] llamado el cuerpo de las expresiones racionales en la variable x. Generalizando para más variables si K es cuerpo K [ x1 ,..., xn ] dominio factorial y su cuerpo de fracciones es K ( x1 ,..., xn ) = { gf : f , g ∈ K [ x1 ,..., xn ] , g ≠ 0}. Ejemplo 4.5 Si K cuerpo, f ∈ K [ x ] y f = { fg : g ∈ K [ x ]} el ideal generado por f, entonces: K [ x] f es un cuerpo ⇔ f es irreducible. - 103 - Notas de Álgebra II Capítulo 4 - 104 - Definición 4.2 Dados dos cuerpos k , f un morfismo de cuerpos es una función ϕ : K → f que verifica: ϕ ( a + b ) = ϕ ( a ) + ϕ (b ) ; ∀a, b ∈ K ϕ ( ab ) = ϕ ( a )ϕ ( b ) ; ⇔ ϕ es un morfismo de anillos ϕ (1) = 1 Observación 4.1 Si ϕ : k → f es un morfismo y a ∈ K , a ≠ 0 ⇒ a es invertible, entonces: ϕ ( a ) ≠ 0 1 = ϕ (1) = ϕ ( aa −1 ) = ϕ ( a ) ϕ ( a −1 ) ⇒ −1 −1 ϕ ( a ) = ϕ ( a ) . por lo que Imϕ es un subcuepo de F y como kerϕ < K y los únicos ideales de un cuerpo son {0} y el propio cuerpo K y por definición ϕ (1) = 1 ⇒ ker ϕ = {0} ⇒ ϕ es inyectivo. Entonces K es isomorfo a Imϕ y podemos ver al morfismo ϕ como la inclusión, es decir K ≅ Imϕ ⊆ F , tenemos una copia de K por medio de ϕ en F. Definición 4.3 Dados dos cuerpos F , K , decimos que el par ordenado ( F ,K ) es una extensión de cuerpos, y si K es un subcuerpo de F , decimos también que F es una extensión de K . En general usaremos la notación F ⊃ K para indicar que F es una extensión de K. Observación 4.2 Si A es un anillo y K es un subanillo de A que es un cuerpo, entonces A es un K-espacio vectorial. En particular si F es una extensión de K , entonces F es un K-espacio vectorial. Escribimos [ F : K ] = dim K F . Definición 4.4 La extensión F ⊃ K se dice finita si [ F : K ] < ∞ e infinita en el caso contrario. Llamaremos grado o dimensión de la extensión F ⊃ K a [ F : K ]. Observación 4.3 Si F es un cuerpo y K i ⊂ F es un subcuerpo ∀i ∈ I , entonces: IK i es un subcuerpo de F . i∈I Además: K := I L K i ⊂ L i∈I U donde L subcuerpo de F. K es el menor subcuerpo de F que contiene a K i , ∀i ∈ I . - 104 - Notas de Álgebra II Cuerpos - 105 - Definición 4.5 Si I = {1,..., n} , escribimos K = K 1 ...K n y decimos de K que es el cuerpo compuesto de K1 ,..., K n . Observación 4.4 Lo anterior prueba que si F es un cuerpo fijo, la familia de subcuerpos de F forma un retículo completo respecto al orden dado por la inclusión. Definición 4.5 Si F ⊃ E ⊃ K es una torre de extensiones, decimos que E es un cuerpo intermedio entre F y K . Sea F ⊃ K una extensión fija, definimos: Lat ( F , K ) = {E : E es un cuerpo intermedio entre F y K } Claramente Lat ( F , K ) es un reticulado completo respecto a la inclusión, si L , E ∈ Lat ( F ,K ) ⇒ E ∧ L = E I L y E ∨ L = E L . Definición 4.6 Sea F ⊃ K una extensión fija. Si S ⊂ F es un subconjunto, definimos: 1)El conjunto generado por K y S es: K [S ] = I A, K US ⊂ A A subanillo de F K [ S ] ⊂ F subanillo y luego K [ S ] es un dominio. 2) El subcuerpo generado por K y S es: K (S ) = K ( S ) ⊂ F subcuerpo. Es K U S ⊂ K [ S ] ⊂ K ( S ) ⊂ F . I L, K US ⊂L L subcuerpo de F Notación Si S = {u1 ,..., un } escribimos K [{u1 ,..., un }] = K [u1 ,..., un ]. K ({u1 ,..., u n } ) = K ( u1 ,..., u n ) . y K [u1 ,..., u n ] = { f ( u1 ,..., u n ) : f ∈ K [ x1 ,..., xn ]} K ( u1 ,..., un ) = { (( f u1 ,...,un ) g u1 ,...,un ) } : f , g ∈ K [ x1 ,..., xn ] , g ( u1 ,..., un ) ≠ 0 Observación 4.5 Si K ⊂ F y L ⊂ F son subcuerpos, entonces: K L = K (L ) = L (K ) ⊂ F Definición 4.7 Si F es un cuerpo, le llamamos cuerpo primo de F a la intersección de todos los subcuerpos de F . - 105 - Notas de Álgebra II Capítulo 4 - 106 - Proposición 4.1 Si P es un cuerpo primo de F, entonces P ≅ ¤ o P ≅ ¢ p para algún p primo. Demostración Observar que como: 1F ∈ P ⇒ n ⋅ 1F ∈ P , ∀n ∈ ¢ ⇒ {n ⋅1F : n ∈ ¢} ⊂ P . Consideremos el morfismo de anillos ϕ : ¢ → F definido por ϕ ( n ) = n ⋅1F . El kerϕ es un ideal de ¢ y Imϕ = {n ⋅1F : n ∈ ¢} ⊂ P . Entonces se pueden presentar los siguientes casos: a) ker ϕ = {0} ⇒ ϕ es inyectivo: si 0 ≠ n ∈ ¢ ⇒ ϕ ( n ) ≠ 0 en F ⇒ ϕ ( n ) es invertible ⇒ ∃! ϕˆ : ¤ → F morfismo de cuerpos tal que el diagrama ϕ conmuta. ¢ F Como ϕ̂ es inyectivo ⇒ ¤ ≅ Im ϕˆ = ϕϕ((mn)) : n, m ∈ ¢, m ≠ 0 Ñ Como Im ϕ ⊂ P y P es un subcuerpo entonces: ϕ̂ Im ϕˆ ⊂ P ⇒ Im ϕˆ = P ⇒ P ≅ ¤ ¤ ¤ ≅ Im ϕˆ ⇒ ¤ es subcuerpo de F { b) ker ϕ ≠ {0} ⇒ ∃! p ∈ ¢ + tal que ker ϕ = p } y ∃ϕ% : ¢ inyectivo de anillos tal que el diagrama conmuta: Con Im ϕ% = Im ϕ y ¢ p ≅ Im ϕ% = Im ϕ . Imϕ% ⊂ F subanillo y F cuerpo Imϕ% dominio, entonces: ¢ p dominio ⇒ ¢ p cuerpo y p es primo. Luego ⇒ Im ϕ ≅ ¢ p es un subcuerpo de F y Im ϕ ⊂ P lo que implica P = Im ϕ ⇒ P ≅ ¢ p . →F p ¢ π morfismo ϕ F Ñ ¢p = ¢ ϕ% p Definición 4.8 Si P ≅ ¤ decimos que la característica de F es cero ( carF =0 ) y si P ≅ ¢ p decimos que la característica de F es p ( carF = p ). Luego si carF = p > 0, es p = min {n ∈ ¢ + : n ⋅ 1F = 0}. Observar que si F es cuerpo finito, necesariamente es carF = p > 0. Por otro lado, si p es primo positivo entonces ¢ p ( x ) es un cuerpo infinito de característica p. Definición 4.9 Una extensión F ⊃ K se dice finitamente generada si existen u1 ,..., un ∈ F tales que F = K ( u1 ,..., un ) . - 106 - Notas de Álgebra II Cuerpos - 107 - Definición 4.10 Una extensión se dice simple si existe u ∈ F tal que F = K ( u ) . Observación 4.6 K ( x ) ⊃ K , es simple (luego finitamente generado) pero dim K K ( x ) = ∞, ⇒ K ( x ) ⊃ K no es finita. Proposición 4.2 Sea F ⊃ E ⊃ K una torre de extensiones entonces: [F : K ] = [F : E ] ⋅ [E : K ], y por lo tanto F ⊃ K es finita si y solo sí F ⊃ E y E ⊃ K son finitas. Demostración Sean {ei : i ∈ I } una base de E como K-espacio vectorial {f j : j ∈ J } una base de F como E-espacio vectorial. Afirmamos que {ei f j : ( i, j ) ∈ I × J } es una base de F como K-espacio vectorial. Primero probamos que es generador: Si x ∈ F ⇒ ∃a j ∈ E tal que x = ∑ a j f j ⇒ x = ∑ aij ei f j ; ∃aij ∈ K tal que a j = ∑ aij ei i, j i∈I j∈J Ahora probamos que es L.I. K ∈} } aij e j = 0 ⇒ aij = 0 Sean aij ∈ K tal que 0 = ∑ aij ei f j = ∑ ∑ aij ei f j ⇒ ∑ i i, j j i 1424 3 ∀j ∈ J , ∀i ∈ I ∈E ∈K Definición 4.11 Sea F ⊃ K una extensión y u ∈ F fijos Definimos: εu : K [ x] → F n n i=0 i=0 ∑ ai xi Î ∑ aiu i morfismo de anillos. Im ε u = K [u ] y ker ε u = { f ∈ K [ x ] : f ( u ) = 0} ideal de K [ x ]. a) Si ker ε u = {0} decimos por definición que u es trascendente sobre K. Lo εu que implica K [u ] ≅ K [ x ] . K [ x] ≅ K [u ] Si f ∈ K [ x ] verifica f ( u ) = 0 ⇒ f = 0. Considerando el siguiente diagrama: ϕ ψ Si 0 ≠ f ∈ K [ x ] ⇒ 0 ≠ f ( u ) = ϕ ( f ) ∈ K ( u ) lo K ( x) K (u ) que significa que ϕ ( f ) es invertible en K ( u ) . Entonces ∃!ψ : K ( x ) → K ( u ) morfismo de - 107 - Notas de Álgebra II Capítulo 4 - 108 - cuerpos que extiende a ϕ . f (u ) ψ (f g)= , ∀f , g ∈ K [ x ] con g ≠ 0 g (u ) ⇒ ψ es sobre ⇒ ψ es isomorfismo K ( u ) ≅ K ( x ) b) ker ε u ≠ {0} decimos por definición que u es algebraico sobre K. ⇔ 0 ≠ f ∈ K [ x ] tal que f ( u ) = 0 ∃! p ∈ K [ x ] mónico de grado positivo tal que ker ε u = p . εu Es por el diagrama de la derecha que implica: K [ x] K [u ] ⊂ F K [ x] ≅ K [u ] dominio ⇒ p irreducible p Ñ π ≅ K x ⇒ [ ] cuerpo ⇒ K [ u ] cuerpo luego: K [ x] p p K [ x] K [ u ] ⊂ K ( u ) ⇒ K ( u ) = K [u ] ≅ p El polinomio p se llama el polinomio irreducible de u sobre K y escribimos: p = IrrK ( u ) y queda determinado por lo siguiente: p es mónico p (u ) = 0 Si f ∈ K [ x ] y f ( u ) = 0 ⇒ p | f Definición 4.12 Una extensión F ⊃ K se dice algebraica si todo elemento de F es algebraico sobre K , en caso contrario se dice trascendente. Ejemplo 4.6 K ⊃ K es una extensión algebraica: si u ∈ K ⇒ u es raíz de x − u ∈ K [ x ] ⇒ IrrK ( u ) = x − u. Ejemplo 4.7 K ( x ) ⊃ K es trascendente y simple. n n i =1 i =0 Sea u = x ∈ K ( x ) si f = ∑ ai x i ∈ K [ x ] es tal que f ( u ) = 0 ⇒ ∑ ai x i = 0 en K ( x ) n ⇒ ∑ ai x i = 0 en K [ x ] ⇒ f = 0 ⇒ u = x es trascendente sobre K . i =0 Ejemplo 4.8 £ ⊃ ¡ es algebraica y simple £ = {a + bi : a, b ∈ ¡} ⊂ ¡ [ i ] ⊂ ¡ ( i ) ⊂ £ ⇒ £ = ¡ [i ] = ¡ ( i ) Si u = a + bi ⇒ ( u − a ) = ( bi ) ⇒ u 2 − 2 au + a 2 + b 2 = 0 luego u es raíz del 2 2 polinomio x 2 − 2ax + a 2 + b 2 ∈ ¡ [ x ] ⇒ u es algebraico sobre R. - 108 - Notas de Álgebra II - 109 - 2 es algebraico sobre ¤ : Ejemplo 4.9 ( 2) = x Cuerpos ( ) { ( ) − 2 ⇒ ¤ 2 = ¤ 2 cuerpo. Observar que: ¤ 2 = f 2 : f ∈ ¤ [ x ] es decir que si f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n con ai ∈ ¤ entonces: Irr¤ f ( 2) = a 0 2 + a1 2 + a2 { } 2 ) + a ( 2 ) ... + a ( 2 ) ({ { = a + b 2 : a, b ∈ ¤ = ¤ una base de ¤ 2 3 n 3 2 ( 2) 2 2 cuerpo y ¤ 2 sobre ¤. Recordar: ( ) } n reagrupando nos queda: ( 2 ) : ¤ = 2 teniendo que {1, 2} es 1 1 a −b 2 a −b 2 a b = ⋅ = 2 = 2 − 2 2 2 2 2 a − 2 b a − 2 b a + b 2 a + b 2 a − b 2 a − 2b 1 424 3 1 424 3 ∈¤ Ejemplo 4.10 Irr¤ ( Irr¤( 2 ) ) 2 + 3 es algebraico sobre ¤: 2 + 3 = x 4 − 10 x + 1 ∈ ¤ [ x ] ( ∈¤ ) 2 + 3 = x 2 − 2 2 x + 1∈ ¤ ( 2 ) [ x] . Si u = 2 + 3 ⇒ u − 2 = 3 ⇒ u 2 − 2 2u + 1 = 0 ⇒ u 2 − 1 = 2 2u luego: ⇒ u 4 − 2u 2 + 1 = 8u 2 ⇒ u 4 − 10u 2 + 1 = 0 Ejemplo 4.11 ¡ ⊃ ¤ es trascendente: π y e son trascendente. Proposición 4.3 Sea K ⊂ E ⊂ F una torre de extensiones y u ∈ F algebraico sobre K entonces u es algebraico sobre E y IrrE ( u ) | IrrK ( u ) . Demostración Sea p = IrrK ( u ) ⇒ p ∈ K [ x ] ⊂ E [ x ] y p ( u ) = 0 ⇒ u es algebraico sobre E y IrrE ( u ) | p = IrrK ( u ) . Como consecuencia si F ⊃ K es una extensión algebraica ⇒ F ⊃ E es algebraica. Proposición 4.4 Sea F ⊃ K una extensión y u ∈ F . Entonces las siguientes propiedades son equivalentes: i) K [u ] es un cuerpo ii) K [u ] = K ( u ) iii) dim K K [u ] < ∞ - 109 - Notas de Álgebra II Capítulo 4 - 110 - iv) [ K ( u ) : K ] < ∞ (es decir que la extensión K ( u ) ⊃ K es finita) v) u es algebraico sobre K . Además, si u es algebraico sobre K, entonces si n = grIrrK ( u ) = [ K ( u ) : K ] implica que {1, u , u 2 ,..., u n−1} es una base de K ( u ) como K- espacio vectorial. Demostración De ser u = 0 todo es obvio. Entonces supongamos u ≠ 0 i) ⇔ ii) esto es evidente porque K U {u} ⊂ K [u ] ⊂ K ( u ) { ≠0 iv) ⇒ iii) Es K ⊂ K [u ] ⊂ K ( u ) ⇒ K [u ] es un K –subespacio de K ( u ) , luego si dim K K ( u ) = [ K ( u ) : K ] < ∞ ⇒ dim K K [u ] < ∞ . iii) ⇒ v) {1, u , u 2 ,..., u n ,...} ⊂ K [u ] necesariamente es L.D. ⇒ ∃a0 , a1 ,..., an ∈ K no todos nulos tales que a0 + a1u + a2u 2 + ... + anu n = 0 ⇒ f ( u ) = 0 siendo: n 0 ≠ f = ∑ ai xi ∈ K [ x ] i=0 v) ⇒ iii) Sea IrrK ( u ) = a0 + a1 x + ... + an−1 x n−1 + x n ∈ K [ x ]. Sea S el subespacio generado por {1, u , u 2 ,..., u n−1} esto implica: n −1 n u n = −∑ ai u i ∈ S ⇒ u n+1 = −∑ ai u i ∈ u , u 2 ,..., u{n ⊂ S ⇒ u n+1 ∈ S ⇒ i =0 i =1 ∈S n +1 ⇒ u n+ 2 = −∑ ai u i ∈ u 2 ,..., u n , u n+1 ⊂ S ⇒ u n+ 2 ∈ S ⇒ i =2 ... { por inducción ⇒ u m ∈ S ∀m ∈ ¥ luego f ( u ) ∈ S , ∀f ∈ K [ x ] ⇒ S = K [u ] y {1, u, u ,..., u n−1} genera a K [u ]; Ahora 2 supongamos que {1, u ,..., u n −1} no es linealmente independiente, entonces: ∃b0 , b1 ,..., bn−1 ∈ K no todos nulos tales que n −1 n −1 i=0 i =0 ∑ biu i = 0, sea 0 ≠ g = ∑ biu i ∈ K [ x ] lo anterior ⇒ g ( u ) = 0 ⇒ IrrK ( u ) | g y como grIrrK ( u ) = n y gr ( g ) = n − 1 tenemos un absurdo luego {1, u ,..., u n −1} es L.I y por lo tanto es base de K [u ] y: ⇒ dim K K [u ] = n = grIrrK ( u ) . i) ⇒ v) 0 ≠ u ∈ K [u ] ⇒ ∃u −1 ∈ K [u ] ⇒ ∃g ∈ K [ x ] tal que u −1 = g ( u ) ⇒ ug ( u ) = 1 luego u es raíz de xg − 1 ∈ K [ x ] y xg − 1 ≠ 0. i) ii) K x v) ⇒ i) esto ya lo probamos K [u ] ≅ [ ] iii) IrrK ( u ) cuerpo, (ver definición 4.11 b). v) iv) iii) ⇒ iv) Es dim K K [u ] < ∞ y como iii) ⇒ ii), es: - 110 - Notas de Álgebra II Cuerpos - 111 - K ( u ) = K [u ] ⇒ [ K ( u ) : K ] = dim K K ( u ) = dim K K [ u ] < ∞. Proposición 4.5 Sea σ : K → l un isomorfismo de cuerpos, K ⊂ F , l ⊂ H , y sean u ∈ F , v ∈ H entonces si: i) u y v son trascendentes sobre K y l respectivamente. ii) u y v son algebraicos y Irrl ( v ) = σ ( IrrK ( u ) ) . En cualquiera de los dos caso existe un isomorfismo σ% : K ( u ) → l ( v ) tal que σ% |K = σ y σ% ( u ) = v . Demostración i) De acuerdo a la definición 4.11 si u y v son trascendentes entonces: K ( x ) ≅ K (u ) l ( x ) ≅ l (v ) llamemos a dichos isomorfismos ψ K ,u y ψ l ,v respectivamente. Definimos σ% = ψ l ,v o σ oψ K−1,u , obviamente queda σ% : K ( u ) → l ( v ) y tal que: K ( x) ψ K ,u K (u ) σ σ% l ( x) ψ l ,v l (v ) σ% ( u ) = ψ l ,v σ ψ K−1,u ( u ) = ψ l ,v σ ( x ) = ψ l ,v ( x ) = v { 1442443 =x =x análogamente ∀k ∈ K se tiene que: σ% ( k ) = ψ l ,v σ ψ K−1,u ( k ) = ψ l ,v σ ( k ) = σ ( k ) ⇒ σ% |K = σ { 1442443 ∈l =k ii) De acuerdo a lo visto en la definición 4.11 K [ x] l [ x] ≅ K (u ) y ≅ l ( v ) y llamemos a dichos isomorfismos ϕ ,ψ IrrK ( u ) Irrl ( v ) K [ x] σ π ϕ K (u ) K [ x] IrrK ( u ) l [ x] π σ0 σ% - 111 - l [ x] Irrl ( v ) ψ l (v ) Notas de Álgebra II Capítulo 4 - 112 - A partir del isomorfismo de cuerpo que tenemos, definimos el isomorfismo de anillos que seguimos llamando igual y tal que: n n σ ∑ ai x i = ∑ σ ( ai ) x i i =0 i =0 como σ ( IrrK ( u ) ) = Irrl ( v ) tenemos que se induce un isomorfismo σ 0 tal que: σ0 : K [ x] l [ x] → dado por σ 0 ( f + IrrK ( u ) ) = σ ( f ) + Irrl ( v ) IrrK ( u ) Irrl ( v ) entonces σ% = ψ o σ 0 o ϕ −1 es un isomorfismo de K ( u ) → l ( v ) y tal que: ∀k ∈ K σ% ( k ) = ψ (σ 0 (ϕ −1 ( k ) ) ) = ψ (σ 0 ( k + IrrK ( u ) ) ) = ψ σ ( k ) + Irrl (v ) = σ ( k ) ∈l luego σ% |K = σ y además: σ% ( u ) = ψ (σ 0 (ϕ −1 ( u ) ) ) = ψ (σ 0 ( x + IrrK ( u ) ) ) = ψ σ ( x ) + Irrl ( v ) = v =x o sea σ% ( u ) = v como en la tesis. Proposición 4.6 Sean E y F extensiones de K y u ∈ E y v ∈ F algebraicos sobre K. Entonces u y v son raíces de un mismo polinomio irreducible f ∈ K [ x ] si y solo sí existe un isomorfismo ϕ de cuerpos entre K ( u ) y K ( v ) que lleva a u en v y es la identidad sobre K. Demostración ⇐ que : Sea ϕ : K ( u ) → K ( v ) isomorfismo tal ϕ (u ) = v K ϕ ( x ) = x ∀x ∈ K n f ( x ) = ∑ ai xi ∈ K [ x ] , si f = IrrK ( u ) ⇒ f ( u ) = 0, Sea K (u ) ϕ ≅ ϕ |K K (v) K i=0 entonces: 0 n n ∈K n n i ϕ f ( u ) = ϕ ∑ ai u i = ∑ ϕ ai ϕ ( u i ) = ∑ ai ϕ ( u ) = ∑ ai vi = f ( v ) { i =0 =0 i =0 i =0 123 ϕ morfismo i =0 =v = { = ai luego f ( v ) = 0 . ⇒ Sea f ∈ K [ x ] irreducible tal que f ( v ) = f ( u ) = 0. Siempre podemos suponer que f es mónico, luego f = IrrK ( u ) = IrrK ( v ) y esto implica: - 112 - Notas de Álgebra II Cuerpos K ( u ) = K [u ] ≅ - 113 - K [ x] K [x ] K [ x ] = = ≅ K [v] = K ( v ) IrrK ( u ) f IrrK ( v ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ u [ x ]u [ k ]u ↓ [ x ]v [ k ]v v k ↓ k ∀k ∈ K p (u ) p ( v ) ∀p ∈ K [ x ] [ p] Luego K ( u ) ≅ K ( v ) . En el cuadro anterior la notación [ x ]u corresponde a la clase de x respecto a IrrK ( u ) . Observación 4.7 El isomorfismo de la proposición anterior es único: Si ϕ : K ( u ) → K ( v ) , ϕ |K = Id. y ϕ ( u ) = v , entonces como K ( u ) = K [u ] = { g ( u ) : g ∈ K [ x ]} entonces: n n ϕ ∑ ai u i = ∑ ai v i , ∀a0 ,..., an ∈ K ⇔ ϕ ( g ( u ) ) = g ( v ) , ∀g ∈ K [ x ]. i =0 i =0 Ejemplo 4.12 Sea f = x 3 − 2 ∈ ¤ [ x ] u = 3 2 ⇒ f = Irr¤ ( u ) apliquemos Ruffini para determinar las otras raíces 1 0 0 −2 3 2 1 ( luego x 3 − 2 = x − 3 2 )( x 2 + 3 2 x + 3 22 3 2 3 22 −2 3 2 3 22 0 ) Consideremos v = λ 3 2 (candidato a isomorfismo) entonces: f ( v ) = v3 − 2 = 2λ 3 − 2 = 2 ( λ 3 − 1) = 0 ⇒ λ 3 − 1 = 0 Aplicamos Ruffini para hallar todas las raíces de λ 3 − 1 1 0 0 −1 1 1 1 1 1 1 1 0 o sea que λ 3 − 1 = ( λ − 1) ( λ 2 + λ + 1) y hallando las raíces de λ 2 + λ + 1 λ= −1 ± −3 −1 ± i 3 −1+2i = = −1−i 2 2 2 - 113 - 3 =w 3 =w Notas de Álgebra II Capítulo 4 - 114 - se tiene que ww = 1 ⇒ w = w−1 además: 2 1 − 2i 3 − 3 −2 − 2i 3 −1 − i 3 w2 = ( −1+2i 3 ) = = = =w 4 4 2 Luego las raíces de λ 3 − 1 son w0 , w y w2 : ⇒ f ( v ) = v3 − 2 = 0 ⇔ v = wl 3 2, l = 0,1, 2 los posibles isomorfismos son: ϕ 32 ¤ 32 ¤ wl 3 2 ϕ 3 2 = w⋅ 3 2 2 3 w ⋅ 2 ¤ ( ) ( ) ( ) Proposición 4.7 i) Toda extensión finita es algebraica y finitamente generada. ii) Toda extensión finitamente generada por elementos algebraicos es finita (y consecuentemente algebraica). iii) Toda extensión generada por elementos algebraicos es algebraica (y vale el recíproco). Demostración i) Sea F ⊃ K finita. Si u ∈ F es F ⊃ K ( u ) ⊃ K , como F ⊃ K es finita ⇒ K ( u ) ⊃ K es finita ⇒ u es algebraico sobre K. Sea B = {u1 ,..., un } una base de F como K-espacio vectorial. ⇒ F = K u1 + ... + K un ⊂ K ( u1 ,..., un ) ⊂ F ⇒ F = K ( u1 ,..., un ) . ii) Sea F = K ( u1 ,..., un ) ⊃ K con u1 , u2 ,..., un ∈ F algebraicos sobre K. Tenemos una torre de extensiones: F = K ( u1 ,..., un ) ⊃ .... ⊃ K ( u1 , u2 ) ⊃ K ( u1 ) ⊃ K F = K ( u1 ,..., un ) u1 es algebraico sobre K ⇒ K ( u1 ) ⊃ K es finita K ( u1 ,..., un −1 ) u2 es algebraico sobre K K ⊂ K ( u1 ) ⊂ F { ⇒ u2 es u2∈ algebraico sobre K ( u1 ) ⇒ K ( u1 , u2 ) = K ( u1 )( u2 ) ⊃ K ( u1 ) es finita, entonces: K ( u1 , u2 ) ⊃ K ( u1 ) ⊃ K ⇒ K ( u1 , u2 ) ⊃ K es finita finita finita K ( u1 , u2 ) K ( u1 ) Razonando por inducción obtenemos que: F = K ( u1 ,..., un ) ⊃ K es finita iii) ⇐ Supongamos F ⊃ K es una extensión algebraica ⇒ F = K ( F ) ⊃ K y los elementos de F son algebraicos sobre K. - 114 - Notas de Álgebra II Cuerpos - 115 - ⇒ Supongamos que F = K ( S ) ⊃ K , S conjunto de elementos de F algebraicos sobre K . Sea l = U K (T ) , como K U S ⊂ U K (T ) = l , entonces si l es un cuerpo T ⊂S T finito T ⊂S T finito ⇒ K ( S ) ⊂ l por definición de K ( S ) (cuerpo generado), además como T ⊂ S ⇒ K (T ) ⊂ K ( S ) ⇒ l = U T ⊂S S finito K (T ) ⊂ K ( S ) , luego l = K ( S ) = F . Probemos entonces que l es un cuerpo: K ⊂ L ⇒ 1∈ L Si a, b ∈ L ⇒ ∃T1 ,T2 finitos tal que: a ∈ K (T1 ) ⇒ {a, b} ⊂ K (T1 U T2 ) subcuerpo de F b ∈ K (T2 ) ⇒ a − b, ab, a −1 ( si a ≠ 0) ∈ K (T1 U T2 ) ⊂ U K (T ) = L ⇒ l es un cuerpo. T ⊂S T finito En forma explícita: f u ,..., u K ( S ) = g ((u11,...,unn )) : f , g ∈ K [ x1 ,..., xn ] con g ( u1 ,..., u n ) ≠ 0, u1 ,..., un ∈ S ∀n ∈ ¢ + . { } Si u ∈ K ( S ) ⇒ ∃n ∈ ¢ + , T = {u1 ,..., un } ⊂ S y f , g ∈ K [ x1 ,..., xn ] con g ( u1 ,..., un ) ≠ 0 tal que: u= f (u1 ,...,un ) g (u1 ,...,un ) , luego u ∈ K ( u1 ,..., u n ) . Como u1 ,..., un ∈ S ⇒ u1 ,..., un son algebraicos sobre K. ⇒ { K ( u1 ,..., un ) ⊃ K es ii) finita y por lo tanto algebraica, y u ∈ K ( u1 ,..., un ) ⇒ u es algebraico sobre K. Observación 4.8 i) y ii) implican que una extensión F ⊃ K es finita si y solo sí F es finitamente generada por elementos algebraicos. ¤ 2, 3 Ejemplo 4.13 ¤ 2, 3 ⊃ ¤ es finitamente generado ( ) por elementos algebraicos, luego es finita. Ejemplo 4.14 K ( x ) ⊃ K es finitamente generado (es más es simple) pero no es algebraica, ya que x es trascendente sobre K. (ejemplo 4.7) ( ¤ ) ( 2) ¤ ( 3) ¤ Definición 4.13 Sea C una clase de extensiones de cuerpos. Decimos que C es una buena clase si verifica: - 115 - Notas de Álgebra II Capítulo 4 - 116 - i) Dada una torre de extensiones E ⊃ F ⊃ K . La extensión E ⊃ K está en C si y solo sí E ⊃ F y F ⊃ K están en C. ii) Dada F ⊃ K en C, se cumple que para toda extensión E ⊃ K tal que existe L con L ⊃ F y L ⊃ E , entonces: E F ⊃ E está en C. Observación 4.9 i) y ii) implican que si C es una buena clase, entonces vale: Si tenemos L ⊃ F ⊃ K y L ⊃ E ⊃ K con F ⊃ K y E ⊃ K en E C , entonces E F ⊃ K está en C. ∈C E EF K F ∈C ∈C E ∈C EF EF F K E F K L E.F F K ∈C K Proposición 4.8 a) La clase de extensiones finitas es una buena clase. b) La clase de extensiones algebraicas es una buena clase. Demostración a) La parte i) ya la vimos. L ii) Dado el reticulado de la derecha con F ⊃ K finita esto implica que existen u1 ,..., un ∈ F algebraicos sobre K tales que: E.F F = K ( u1 ,..., un ) ? ⇒ E F = E K ( u1 ,..., un ) = E ( u1 ,..., un ) con u1 ,..., un ∈ E F alg. E F sobre K ⊂ E ⇒ son algebraicos sobre E ⇒ E F ⊃ E es finita. K b) i) Sean E ⊃ F ⊃ K . Si E ⊃ K es algebraica ⇒ ∀u ∈ F ⊂ E es algebraica sobre K ⇒ F ⊃ K es algebraica y ∀u ∈ E algebraica sobre K ⊂ F ⇒ es algebraica sobre F ⇒ E ⊃ F es algebraica. Recíprocamente si E ⊃ F y F ⊃ K son algebraicas: Si u ∈ E . como E ⊃ F es algebraico ⇒ ∃a0 ,..., an ∈ F no todos nulos tales que: a0 + a1u + ... + an u n = 0. Sea F0 = K ( a0 ,..., an ) u es algebraico sobre F0 ⇒ F0 ( u ) ⊃ F0 es finita y como a0 ,..., an ∈ F y F ⊃ K es algebraica ⇒ a0 ,..., an son algebraicos sobre K ⇒ F0 ⊃ K es finita, luego: ⇒ F0 ( u ) ⊃ K finita ⇒ F0 ( u ) ⊃ K algebraica ⇒ u es algebraica sobre K. Luego E ⊃ K es algebraica. - 116 - Notas de Álgebra II Cuerpos - 117 - ii) F ⊃ K es algebraica ⇒ E F = E ( F ) ⊃ E los elementos de F (pensados en E F ) son algebraicos sobre E. ⇒ E F ⊃ E es algebraica. Observación 4.10 Vale también que la clase de extensiones finitamente generadas es una buena clase. Proposición 4.9 Sea F ⊃ K extensión y E = {u ∈ F : u es algebraico sobre K}. Entonces E es un subcuerpo de F , K ⊂ E ⊂ F y E ⊃ K es algebraica. Demostración Es claro que K ⊂ E ⊂ F . Sean u , v ∈ E ⇒ K ( u , v ) ⊃ K es algebraica y : u − v ∈ K ( u , v ) , uv ∈ K ( u , v ) , v −1 ∈ K ( u , v ) si v ≠ 0 Luego u − v, uv, v −1 son algebraicos sobre K. ⇒ u − v, uv, v −1 ∈ E por definición ⇒ E es un subcuerpo de F y es obvio que E ⊃ K es algebraica. Observación 4.11 El cuerpo E construido en la proposición anterior es la mayor extensión algebraica de K contenida en F. Proposición 4.10 Sea K un cuerpo y f ∈ K [ x ] irreducible, gr ( f ) = n > 0 . Entonces existe una extensión simple F = K ( u ) de K tal que: i) u ∈ F es raíz de f. ii) [ K ( u ) : K ] = n. iii) Si E = K ( v ) es otra extensión simple de K tal que v es raíz de f, entonces existe un único isomorfismo de cuerpos η : K ( u ) → K ( v ) tal que η ( u ) = v y η |K = Id. Demostración Observar que si probamos que existe F = K ( u ) extensión simple tal que u es raíz de f, entonces [ K ( u ) : K ] = grIrrK ( u ) = gr ( f ) = n ⇒ [ K ( u ) : K ] = n. f ∈ K [ x ] es irreducible ⇒ π Sea ϕ : K y K [ x ] → K [ x] K [ x] f es un cuerpo. f = E morfismo de anillos. ≅ → ϕ ( K ) entonces ⇒ ϕ : K → E morfismo de cuerpos ⇒ ϕ es inyectivo ⇒ K ϕ 123 ⊂E n n si es f = ∑ ai y i ∈ K [ y ] , sea ϕ f = ∑ ϕ ( ai ) y i ∈ E [ y ] . { i=0 i=0 = ai - 117 - Notas de Álgebra II Capítulo 4 n Sea z = x ∈ E , ϕ f ( z ) = ∑ ai x i = f = 0 en E = - 118 - K [ x] i =0 f luego: ϕ f ∈ E [ y ] , z ∈ E es raíz de ϕ f Sea S un conjunto tal que S = E \ ϕ ( K ) y S I K = φ . Definimos F = S U K y extendemos ϕ : K → E a una biyección ϕ̂ . Definimos una estructura de cuerpo en F copiando la estructura de E vía ϕ̂ : Si a, b ∈ F ,definimos: (ϕˆ ( a ) + ϕˆ ( b ) ) a ⋅ b = ϕˆ −1 (ϕˆ ( a ) ⋅ ϕˆ ( b ) ) . a + b = ϕˆ ϕ E z=x K ϕ̂ F −1 u = ϕˆ −1 ( z ) De esta forma F es un cuerpo y ϕˆ : F → E es un isomorfismo de cuerpos. Como ϕ : K → E es un morfismo de cuerpos y ϕˆ |K = ϕ , entonces la operaciones de F restringidas a K coinciden con las de K ; por ejemplo si a, b ∈ K , es: ϕˆ a{ + b = ϕˆ ( a ) + ϕˆ ( b ) = ϕ ( a ) + ϕ ( b ) = ϕ a{ + b = ϕˆ a{ + b ⇒ a{ + b = a{ +b en F en K en K ϕˆ biy. en F en K Luego F ⊃ K es una extensión. Sea n n i u = ϕˆ −1 ( z ) ∈ F ⇒ ϕˆ ( u ) = z ⇒ ϕˆ ( f ( u ) ) = ∑ ϕˆ ai ϕˆ ( u ) = ∑ ϕ ( ai ) z i ⇒ { ∈K i=0 i=0 =a i ϕˆ ( f ( u ) ) = ϕ f ( z ) = 0 ⇒ f ( u ) = 0 en F con u ∈ F ϕˆ iso. K [ x] { } m i i b x : b ∈ K ∀ i = 1,..., m = b x : b ∈ K ∀ i = 1,..., m = ∑ ∑ i i i i i =0 f i=0 m m = ∑ bi z i : bi ∈ K ∀i = 1,..., m = ∑ ϕ ( bi ) z i : bi ∈ K ∀i = 1,..., m = i =0 i =0 = {ϕ g ( z ) : g ∈ K [ x ]} = ϕ ( K ) [ z ] Como E = = m F = ϕˆ −1 ( E ) = ϕˆ −1 (ϕ ( K ) [ z ]) = ϕˆ −1 (ϕ ( K ) ) ϕˆ −1 ( z ) = K [u ] ⇒ F = K (u ). = { K (u ) u alg. sobre K iii) Se deduce de la proposición 4.5 Corolario 4.11 Sea K un cuerpo y f ∈ K [ x ] , gr ( f ) = n . Entonces existe una extensión simple F = K ( u ) de K tal que: i) u ∈ F es raíz de f. ii) [ K ( u ) : K ] ≤ n y vale la igualdad si f es irreducible. - 118 - Notas de Álgebra II Cuerpos - 119 - Demostración Si f es irreducible, entonces es el teorema anterior. Si f no es reducible, gr ( f ) > 0 ⇒ ∃f1 ,..., f r ∈ K [ x ] irreducibles tales que: f = f1. f 2 ..... f r La tesis se deduce aplicando a f1 el teorema anterior. Definición 4.14 Sea K un cuerpo y f ∈ K [ x ] , gr ( f ) = n > 0. Decimos que f se escinde en K (o en K [ x ] ) si existen u0 , u1 ,..., un ∈ K tales que: f = u0 ( x − u1 ) ... ( x − un ) (pueden aparecer elementos repetidos en u0 ,..., un ). Definición 4.15 Una extensión F ⊃ K es un cuerpo de descomposición de f sobre K si f se escinde en F y F = K ( u1 ,..., un ) siendo u1 ,..., un las raíces de f en F. Ejemplo 4.15 x 2 − 2 ∈ ¤ [ x ] tiene raíces ± 2 ∈¤ Entonces ¤ ( 2 ) = {a + b ( 2 ) es el cuerpo de descomposición de x 2 } 2 : a, b ∈ ¤ . − 2 ∈ ¤[ x] . Corolario 4.12 Sea K un cuerpo y f ∈ K [ x ] , gr ( f ) = n > 0. Entonces existe F cuerpo de descomposición de f con [ F : K ] ≤ n !. Demostración Por el corolario anterior, existe F1 = K ( u1 ) ⊃ K extensión tal que u1 es raíz de f y [ F1 : K ] ≤ n . Como f ∈ F1 [ x ] y u1 ∈ F1 es raíz de f ⇒ ∃g1 ∈ F1 [ x ] tal que f = ( x − u1 ) g1 con gr ( g1 ) = n − 1. Aplicando ahora el mismo razonamiento a g1 ∈ F1 [ x ] , gr ( g1 ) = n − 1 ⇒ ∃F2 = F1 ( u2 ) ⊃ F1 extensión tal que u2 es raíz de g1 y [ F2 : F1 ] ≤ n − 1. Luego F2 = F1 ( u2 ) = K ( u1 )( u2 ) = K ( u1 , u2 ) y: [ F2 : K ] = [ F2 : F1 ][ F1 : K ] ≤ ( n − 1) n g1 ∈ F2 [ x ] , u2 ∈ F2 tal que g1 ( u2 ) = 0 ⇒ ∃g 2 ∈ F2 [ x ] , gr ( g 2 ) = n − 2 tal que: g1 = ( x − u2 ) g 2 ⇒ f = ( x − u1 ) g1 = ( x − u1 )( x − u2 ) g 2 . Ahora consideramos g 2 ∈ F2 [ x ] , gr ( g 2 ) = n − 2 y le aplicamos el corolario anterior y así seguimos hasta obtener F = Fn = K ( u1 ,..., u n ) extensión de K, tal que: f = g n ( x − u1 )( x − u2 ) ...( x − un ) en F [ x ] con gr ( g n ) = 0 ⇔ g n = u0 ∈ F ⇒ por lo tanto: f = u0 ( x − u1 )( x − u2 ) ... ( x − un ) y [ F : K ] ≤ n!. Observar que si f ∈ K [ x ] y f = u0 ( x − u1 )( x − u2 ) ...( x − un ) en F [ x ] con F ⊃ K extensión entonces u0 ∈ K (ya que f = u0 x n + ... ). - 119 - Notas de Álgebra II Capítulo 4 - 120 - Definición 4.16 Sea K un cuerpo y S ⊂ K [ x ] \ K , una extensión F ⊃ K se dice un cuerpo de descomposición de S sobre K si todo polinomio de S escinde en F y F = K (T ) siendo T el conjunto de las raíces de los polinomios de S. Observar que en el caso finito S = { f1 ,..., f n } entonces un cuerpo de descomposición de S es el mismo que un cuerpo de descomposición de f = f1. f 2 .... f n . Corolario 4.13 Sea K cuerpo y f1 , f 2 ,..., f n ∈ K [ x ] \ K . Entonces existe una extensión F ⊃ K finita que es un cuerpo de descomposición de f1 ,..., f n . Ejemplo 4.16 Sea f = ( x 2 − 2 )( x 2 + 1) ∈ ¤ [ x ] para descomposición de f consideramos F = ¤ ( ( ) el ( ) 2, − 2, i, −i = ¤ )( x + 2 ) ( x − i)( x + i ) en ¤ ( y el cuerpo de descomposición es F = ¤ ( 2, i ) . f = x− 2 hallar cuerpo de 2, i entonces: ) 2, i [ x ] Definición 4.17 Un cuerpo K es algebraicamente cerrado si todo polinomio no constante en K [ x ] tiene alguna raíz en K . Observación 4.12 Es claro que si K es algebraicamente cerrado y f ∈ K [ x ] \ K , entonces f escinde en K. En particular si f ∈ K [ x ] es irreducible, entonces necesariamente es gr ( f ) = 1 . Ejemplo 4.17 Si estamos en un cuerpo algebraicamente cerrado el polinomio: x 2 + 1 no es irreducible Luego si K es algebraicamente cerrado y E ⊃ K es algebraica ⇒ E = K Observación 4.13 Si K es algebraicamente cerrado ⇒ K = ∞ . Demostración Supongamos que K es finito y sea K = {u1 , u2 ,..., un } consideremos: f ( x ) = ( x − u1 )( x − u2 ) ... ( x − un ) + 1 f ( x ) ∈ K [ x ] ya que después de hacer todos los productos, los coeficientes de f son productos y sumas de elementos de K, luego tienen que pertenecer a K , por ser este un cuerpo, como además 1∈ K , resulta que f es un polinomio en K [ x ]. Pero no - 120 - Notas de Álgebra II Cuerpos - 121 - tiene ninguna raíz en K ( f ( ui ) = 1 ∀i = 1,..., n ) lo que es un absurdo por se K algebraicamente cerrado. Proposición 4.14 Si K es un cuerpo, entonces existe F algebraicamente cerrado que extiende a K. Demostración Sea Λ = K [ x] \ K y consideremos para cada indeterminada x f . Sea el anillo K x f : f ∈ Λ = U Γ⊂Λ , Γ finito f ∈Λ una K x f : f ∈ Γ y el ideal I = f ( x f ) : f ∈ Λ . Probaremos que 1 ∉ I , para lo cual suponemos que 1 ∈ I ⇒ = xi n ∃g1 ,..., g n ∈ K x f : f ∈ Λ } I = K x f : f ∈ Λ ⇒ tal que 1 = ∑ g i f i x fi f f i =1 ∃ 1 ,..., n ∈ Λ Cada gi es un polinomio en una cantidad finita de variables y podemos suponer que g1 ,...g n ∈ K [ x1 ,..., xm ] con m ≥ n : n ⇒ 1 = ∑ gi ( x1 ,..., xm ) fi ( xi ) ∈ K x f : f ∈ Λ i =0 Considerando f1 ,..., f n ∈ K [ x ] \ K el corolario 4.12 nos dice que existe una extensión E de K en la cual cada fi tiene una raíz zi , i = 1,..., n entonces definiendo zi = 0 si n < i ≤ m y evaluando en z1 ,..., zm tenemos: 1 = ∑ g i ( z1 ,...zm ) fi ( zi ) = 0 en E { =0 Luego I Ü K x f : f ∈ Λ ⇒ ∃M ideal maximal de K x f : f ∈ Λ tal que I ⊂ M . Sea ϕ : K y K x f : f ∈ Λ la inclución como terminos independientes K x : f ∈ Λ π π : K x f : f ∈ Λ → f la proyección canónica M ϕ es un morfismo de anillos inyectivo; π es un morfismo de anillos inyectivo. Como M es ideal maximal ⇒ L = K x f : f ∈ Λ es un cuerpo M Tenemos que ϕˆ : K → L es un morfismo de anillos por ser ( ϕ̂ = π o ϕ ) composición de morfismos de anillos y como además K y L son cuerpos entonces ϕ̂ es un morfismo de cuerpos, no nulo ϕˆ (1) ≠ 0 ⇒ inyectivo. - 121 - Notas de Álgebra II Capítulo 4 - 122 - n Si f = ∑ ai y i ∈ Λ ⊂ K [ y ] ⇒ ϕˆ ( f ) ∈ L [ y ] , sea x f ∈ L , es ϕˆ ( f ) ( x f ) = i=0 n n n = ∑ ϕˆ ( ai ) x if = ∑ ai x if = ∑ ai xif = f ( x f { i =0 i =0 i =0 = ai ) = x f ∈I ⊂ M 0 ⇒ ϕˆ f ( x f ) = 0 en L , ∀f ∈ Λ. Como en la proposición 4.10 , construimos un cuerpo F1 que extiende a K tal que si f ∈ K [ x ] \ K , entonces f tiene alguna raíz en F1 . Aplicando el razonamiento anterior a F1 , existe una extensión F2 ⊃ F1 tal que todo polinomio no constante en F1 [ x ] tiene alguna raíz en F2 . Razonando inductivamente construimos una sucesión de extensiones: ... ⊃ Fn ⊃ Fn−1 ⊃ .... ⊃ F2 ⊃ F1 ⊃ K tal que todo polinomio en Fn−1 [ x ] \ Fn−1 tiene alguna raíz en Fn , ∀n = 1, 2,... ∞ Sea F = U Fn , la condición Fn ⊃ Fn −1 extensión ∀n ⇒ que F es un cuerpo y n =1 F ⊃ K extensión. Sea f ∈ F [ x ] \ F ⇒ ∃n tal que f ∈ F n [ x ] ⇒ ∃u ∈ F n+1 ⊂ F tal que f ( u ) = 0. ⇒ F es algebraicamente cerrado. Definición 4.18 Si K es un cuerpo y F ⊃ K es una extensión algebraica y F es algebraicamente cerrado, entonces decimos que F es una clausura algebraica de K. Corolario 4.15 Si K es un cuerpo, entonces existe K clausura algebraica de K. Demostración Sea F ⊃ K extensión con F algebraicamente cerrado. Sea K = {u ∈ F : u es algebraico sobre K } ⇒ F ⊃ K ⊃ K es una torre de extensiones y K ⊃ K es algebraica. Sea f ∈ K [ x ] \ K ⇒ f ∈ F [ x ] \ F con F algebraicamente cerrado ⇒ ∃u ∈ F tal que f ( u ) = 0. u K ⊂F es algebraico sobre K ⇒ K ( u ) ⊃ K algebraica ⇒ K ( u ) ⊃ K algebraica K ⊃ K algebraica ⇒ u es algebraico sobre K ⇒ u ∈ K. Luego K es algebraicamente cerrado. Observación 4.14 Existencia del cuerpo de descomposición Sea K un cuerpo y S = { f λ : λ ∈ Λ} ⊂ K [ x ] \ K . Sea K la clausura algebraica de K y T = {u ∈ K : ∃λ ∈ Λ tal que f λ ( u ) = 0} . - 122 - Notas de Álgebra II Cuerpos - 123 - Entonces K (T ) es el cuerpo de descomposición de S. Observación 4.15 Si K es una clausura algebraica de K, entonces K es el cuerpo de descomposición sobre K de S = K [ x ] \ K . Observación 4.16 En general escribiremos K a la clausura algebraica de K que es único a menos de isomorfismo. Proposición 4.16 Sea σ : K → l isomosfismo de cuerpos, S ⊂ K [ x ] de grado ≥ 1 y sea σ ( S ) = {σ ( f ) : f ∈ S } definido por: σ ( an x n + ... + a1x + a0 ) = σ ( an ) x n + ... + σ ( a1 ) x + σ ( a0 ) Entonces si K ′ y l ′ son respectivamente los cuerpos de descomposición de S y σ ( S ) , σ se extiende a un isomorfismo σ ′ : K ′ → l ′ . Demostración σ′ • Primero lo probaremos para cuando el conjunto S K′ l′ consta de un solo polinomio S = { f } ⊂ K [ x ] . σ% Procedemos por inducción en el grado [ K ′ : K ] . K (u ) K (v) Si [ K ′ : K ] = 1 ⇒ K ′ = K ⇒ que f se descompone sobre K : σ f ( x ) = u0 ( x − u1 )( x − u2 ) ... ( x − un ) con ui ∈ K y K l por lo tanto σ ( f )( x ) = σ ( u0 ) ( x − σ ( u1 ) ) ( x − σ ( u 2 ) ) ...( x − σ ( u n ) ) con σ ( ui ) ∈ l luego σ ( f ) se descompone en l y no hay nada que extender, es decir σ ′ = σ . Supongamos ahora que el resultado es válido para [ K ′ : K ] = n > 1 , entonces existe u raíz de f en K ′ \ K y consideremos K Ø K ( u ) ⊂ K ′ ⇒ [ K ′ : K ( u )] < n . Se tiene que u es raíz de un factor irreducible g de grado > 1 de f y sea v una raíz de σ ( g ) en l ′ , σ ( g ) es irreducible de grado > 1 ⇒ l Ø l ( v ) y por la proposición 4.5 σ se extiende a σ%:K ( u ) → l ( v ) tal que σ% ( u ) = v y σ%|K = σ . Y como [ K ′ : K ( u )] < n y K ′ cuerpo de descomposición de f sobre K ( u ) , l ′ cuerpo de descomposición de σ f sobre K ( v ) , se puede aplicar la hipótesis de inducción y σ% (y por lo tanto σ ) se extiende a un isomorfismo σˆ : K ′ → l ′ . • En general con S conjunto arbitrario de funciones. ( F ,τ , E ) : K ⊂ F ⊂ K ′; l ⊂ E ⊂ l ′ y Sea F = τ : F → E es un isomorfismo que extiende a σ - 123 - Notas de Álgebra II Capítulo 4 - 124 - F ≠ φ por lo anterior y definimos en F una relación de orden dada por: ( F ,τ , E ) ≤ ( F ′,τ ′, E ′) si F ⊂ F ′, E ⊂ E ′,τ = τ ′ |F así tenemos una cadena {( Fα ,τ α , E α ) : α ∈ I } que además esta acotada por: U Fα ,τ , U E α donde τ |Fα = τ α ∀α ∈ I α∈I α∈I Aplicando el lema de Zorn hay un elemento maximal que llamamos ( K 0 ,τ 0 , l0 ) falta probar que K 0 = K ′ y que l0 = l ′. Supongamos que K 0 ≠ K ′ ⇒ ∃ f ∈ S tal que no se descompone en K 0 pero como f se descompone en K ′ ⇒ existe un cuerpo K1 de descomposición de f sobre K 0 . K0 ⊂ K1 ⊂ K ′ Por el caso anterior donde S = { f } , τ 0 se extiende a un isomorfismo τ%0 : K 1 → l1 donde l0 ⊂ l1 ⊂ l ′ , l1 cuerpo de descomposición de τ 0 ( f ) sobre l0 , entonces ( K 0 ,τ%0 , l1 ) ≥ ( K 0 ,τ 0 , l 0 ) lo cual es absurdo, luego K 0 = K ′ Supongamos que l0 ≠ l ′ entonces usamos el mismo argumento que antes con τ 0−1 . Corolario 4.17 Sea S = { fα ∈ K [ x ] : de grado ≥ 1 ∀α ∈ I } , si K ⊂ l , K ⊂ l ′ son dos cuerpos de descomposición de S sobre K , entonces l y l ′ son isomorfos. Demostración Simplemente aplicamos la proposición anterior a σ = Id|K . σ′ l l′ σ = Id K K Corolario 4.18 Si F y E son dos clausuras algebraicas de K entonces existe un isomorfismo τ entre ellos y tal que: σ′ τ |K = Id K Demostración Por observación 4.14 si S = K [ x] \ K K′ σ = Id K K ⇒ K es el cuerpo de descomposición sobre K de S. Entonces si tenemos dos clausuras algebraicas ⇒ tenemos dos cuerpos de descomposición, y por el corolario anterior tienen que ser isomorfos, luego las clausuras algebraicas son isomorfas. - 124 - Capítulo 5 Extensiones de Galois Definición 5.1 Sea F un cuerpo, Aut ( F ) = {ϕ : F → F : ϕ isomorfismo de cuerpos} es un grupo con la operación de composición. Si K ⊂ F es un subcuerpo, definimos GalK F = Aut K F = {ϕ ∈ Aut ( F ) : ϕ |K = Id.} es el grupo de Galois de F en K. Observar que GalK F < Aut ( F ) (subgrupo). Observación 5.1 Si E ⊃ K y F ⊃ K son extensiones escribimos ϕ : E ^ → F si K Z ϕ : E → F es un morfismo de cuerpos tal que ϕ |K = Id. y diremos que ϕ es un morfismo sobre K . Observar que en este caso E y F son K-espacio vectorial y ϕ : E → F es K- lineal : ϕ ( k ⋅ x ) = ϕ ( k ) ⋅ ϕ ( x ) = k ⋅ ϕ ( x ) , ∀k ∈ K , x ∈ E Luego un morfismo de cuerpos ϕ : E → F es K-lineal ⇔ ϕ |K = Id. En particular GalK F < {ϕ : F → F : ϕ es isomorfismo de K − espacios vectoriales} Ejemplo 5.1 F = K ( x ) expresiones racionales. f ( x ) f ( ax ) Para cada a ∈ K \ {0} definimos σ a : F → F por σ a claramente = g ( x ) g ( ax ) σ a ∈ Gal K F . Si K = ∞ ⇒ σ a : a ∈ K \ {0} = ∞ ⇒ Gal K K ( x ) es infinito. Para cada b ∈ K definimos τ b : F → F por: f ( x) f ( x + b) τb ⇒ τ b ∈ GalK K ( x ) , ∀b ∈ K . = g ( x) g ( x + b) - 125 - Notas de Álgebra II Capítulo 5 - 126 - τ σ ( x ) = ax + b Si a ≠ 1, b ≠ 0 ⇒ b a ⇒ τ bσ a ≠ σ aτ b ⇒ GalK F σ aτ b ( x ) = a ( x + b ) = ax + ab es no abeliano Proposición 5.1 Sea F ⊃ K extensión, σ ∈ Gal K F y f ∈ K [ x ] . Si u ∈ F es una raíz de f, entonces σ ( u ) también es raíz de f. Demostración Como σ ( u ) es raíz de f. f ( u ) = 0 ⇒ 0 = σ ( 0 ) = σ ( f ( u ) ) = f (σ ( u ) ) implica Observación 5.2 Sea u algebraico sobre K y {1, u,..., u } base de K ( u ) como K-espacio vectorial. f = IrrK ( u ) , que gr ( f ) = n ⇒ n −1 Sea K ( u ) ⊃ K y consideremos el conjunto R = {raíces en K ( u ) de f } Si σ ∈ GalK K ( u ) ⇒ σ ( u ) ∈ R ,como σ : K ( u ) → K ( u ) se tiene que para un ^ elemento cualquiera de K ( u ) : K Z σ ( a0 + a1u + ... + an −1u n−1 ) = a0 + a1σ ( u ) + ... + an −1σ ( u ) n −1 con ai ∈ K ∀i = 1,..., n − 1 y σ queda determinado conociendo σ ( u ) . Luego el mapa: Φ u : GalK K ( u ) → R y como σ ( u ) = τ ( u ) ⇔ τ −1σ ( u ) = u ⇔ σ Î σ ( u ) ⇔ τ −1σ = Id. ⇔ σ = τ ⇒ Φ u es inyectivo. Por otro lado si v ∈ K ( u ) es una raíz de f , queremos saber si existe σ ∈ GalK K ( u ) tal que σ ( u ) = v ⇒ Φ u es una biyección. Sabemos que existe un único isomorfismo (proposición 4.5): ≅ σ : K ( u ) → K ( v) ^ K Z tal que: σ ( u ) = v , además como v ∈ K ( u ) ⇒ K ( v ) ⊂ K ( u ) y el que IrrK ( v ) = f = IrrK ( u ) esto implica que [ K ( v ) : K ] = gr ( f ) = [ K ( u ) : K ] luego K ( u ) = K ( v ) entonces σ es un automorfismo ⇒ σ ∈ GalK K ( u ) GalK K ( u ) = {raíces de f en K ( u )} ≤ gr ( f ) = [ K ( u ) : K ] si f se factoriza completamente en K ( u ) (sin raíces repetidas) implica que vale la igualdad. Si f escinde en K ( u ) y tiene solo raíces simples en K ( u ) , entonces: GalK K ( u ) = [ K ( u ) : K ] Ejemplo 5.2 K ⊃ K extensión trivial ⇒ Gal K K = {Id} . - 126 - Notas de Álgebra II Galois - 127 Ejemplo 5.3 Gal¤ ¤ ( u ) con u = 3 2 ⇒ Si σ ∈ Gal¤ ¤ ( u ) significa que σ ( u ) es raíz σ ( u ) = u de x 3 − 2 y σ ( u ) ∈ ¤ ( u ) ⊂ R ⇒ ⇒ σ = Id. luego: σ |¤ = Id. Gal¤ ¤ ( u ) = {Id} y ¤ Ö ¤ ( u ) Ejemplo 5.4 Sea u = 2 Gal¤ ¤ ( 2 ) , como x 2 − 2 = Irr¤ ¤ ( x2 − 2 = x − 2 ( 2 ), )( x + 2 ) 2 raíces ∈¤ − 2 ( 2) ( 2 ) = 2 ⇒ Gal ¤ ( 2 ) ≅ ¢ ⇒ Gal ¤ ( 2 ) = {Id;σ } con σ = Id Además ¤ ( 2 ) : ¤ = gr ( Irr ¤ ( 2 ) ) = 2 ⇒ {1, 2 } es una base y se tiene: ¤ ( 2 ) = {a + b 2 : a, b ∈ ¤} − 2 es raíz de x − 2 = Irr ¤ ( 2 ) ⇒ ∃σ ∈ Gal ¤ ( 2 ) , σ ( 2 ) = − 2 entonces: σ ( a + b 2 ) = a − b 2 a, b ∈ ¤ ⇒ Gal¤¤ ¤ 2 ¤ 2 ¤ 2 ¤ ¤ Ejemplo 5.5 £ ⊃ ¡, £ = ¡ ( i ) raíces Irr¡ ( i ) = x 2 + 1 → ±i ∈ ¡ ( i ) x 2 + 1 = ( x − i )( x + i ) en £ [ x ] Gal¡ £ = 2 ⇒ Gal¡ £ = {Id;σ } σ ( i ) = −i tal que σ deja a los reales fijos entonces σ ( a + bi ) = a − bi a , b ∈ ¡ es σ ( z ) = z Ejemplo 5.6 Sea la extensión ¤ Irr¤ ( 3) = x 2 − 3 ∈ ¤ [ x] ⊂ ¤ Veamos si 3 ∈ ¤ ( ( 2 )[ x ] ( 2 ) = {a + b ) 2, 3 ⊃ ¤ } 2, a, b ∈ ¤ ⇒ ¤ ( ) 2, 3 = ¤ 2 3 = a + b 2 con a , b ∈ ¤ elevando al cuadrado ¤ 2 se tiene: 2 3 = a 2 + 2 2ab + 2b 2 ordenando a = 0 3144 = a 242444 + 2b 2 + 23 ab 2 ⇒ 2ab = 0 ⇒ ¤ b = 0 ∈¤ es decir que : Irr¤( 2 )¤ ( ) - 127 - ( 2 )( 3 ) Irr¤ ¤ ( 3) = x ( 2) = x 2 −3 2 −2 Notas de Álgebra II 3 ∉¤ ( 2) ⇒ x 2 Capítulo 5 ( 2 )[ x] ⇒ Irr ( ) ( 3 ) = x − 3 3 ) : ¤ ( 2 ) = 2 ⇒ ¤ ( 2, 3 ) : ¤ = 4 − 3 Irred. en ¤ ( 2 ¤ ¤ 2, Por otro lado como: 2 ∈ ¤ 2, 3 ⇒ 2 + 3 ∈¤ 3 ∈ ¤ 2, 3 y como vimos en el ejemplo 4.10 ( ( Irr¤¤ ) ) ( - 128 - ( 2 ) 2, 3 ⇒ ¤ ( ) 2+ 3 ⊂¤ ( 2, 3 ) 4 G555555555555555555555 H 4 2 2 + 3 = x − 10 x + 1 ⇒ ¤ ⊂ ¤ 2 + 3 ⊂ ¤ 2, 3 E55555555555 F ) ( ) ( ) 4 Es decir: ¤ 2 + 3 : ¤ = 4 = dim ¤ ¤ ¤ 2, 3 : ¤ = 4 = dim ¤ ¤ tenemos las raíces del Irr¤ ¤ 2 + 3 ( ) ) ( ( ( ( ) ) 2 + 3 ⇒¤ 2, 3 ) ( ) 2+ 3 =¤ ( 2, 3 ) 2+ 3 2+ 3 σ1 σ 2− 3 2− 3 x 4 − 10 x 2 + 1 LL 2 LL σ3 − 2− 3 − 2 − 3 σ4 − 2+ 3 − 2 + 3 1 = 3 − 2 entonces si llamamos u = 2 + 3 entonces: Observar que 2+ 3 3 − 2 = u −1 , − 2 − 3 = −u , 2 − 3 = −u −1 los automorfismos: σ1 σ 2 σ 3 σ 4 u −u −1 u Id −u u −1 Y como σ 22 ( u ) = σ 2 ( −u −1 ) = − ( −u −1 ) = u; σ 32 ( u ) = σ 3 ( −u ) = − ( −u ) = u ; −1 σ 42 ( u ) = σ 4 ( u −1 ) = ( u −1 ) = u −1 Todos al cuadrado dan la identidad ⇒ Gal¤ ¤ ( ) 2, 3 ≅ ¢ 2 × ¢ 2 ≅ ¢ 2 ⊕ ¢ 2 2 = 12 ( u + u −1 ) y mirando las bases se Como u = 2 + 3, u = 2 − 3 ⇒ −1 3 = 12 ( u − u ) tiene 1, 2 base de ¤ 2 y 1, 3 base de ¤ 3 entonces: −1 { } ( ) { } - 128 - ( ) Notas de Álgebra II Galois { } ( 2, 3 ) y ¤ ( 2, 3 ) = {a + b 2 + c 3 + d 6 : a, b, c, d ∈ ¤} σ ( 2 ) = σ ( u + u ) = ( −u − u ) = − 2 ⇒ σ ( 3 ) = σ ( u − u ) = ( −u + u ) = 3 σ ( 2 ) = (u + u ) = 2 2 → 2 ⇒ 3 → − 3 σ ( 3 ) = (u − u ) = − 3 - 129 ⇒ 1, 2, 3, 6 base de ¤ −1 2 1 2 2 2 1 2 2 4 1 2 4 1 2 1 2 −1 1 2 −1 −1 −1 σ2 2 →− 2 σ 2 → 3 3 σ4 σ4 −1 entonces: σ2 →a − b 2 + c 3 + d 6 σ 3 →a − b 2 − c 3 + d 6 a + b 2 + c 3 + d 6 → σ4 → a + b 2 − c 3 + d 6 Observación 5.3 Se puede probar que dado G grupo finito ⇒ ∃F ⊃ K extensión tal que GalK F = G. Es un problema abierto si ∃F ⊃ ¤ tal que Gal¤ F = G. Proposición 5.2 Sea F ⊃ K una extensión entonces: i) Si F ⊃ E ⊃ K cuerpo intermedio ⇒ Gal E F < Gal K F ii) Si H < GalK F ⇒ F H = {v ∈ F : σ ( v ) = v, ∀σ ∈ H } es un cuerpo intermedio entre F y K. Demostración i) si σ ∈ GalE F , F ^ σ → F ⇒ σ ∈ GalK F E ↑ K Z ii) v ∈ K ⇒ σ ( v ) = v, ∀σ ∈ GalK F ⇒ K ⊂ F H falta probar que F H es un cuerpo σ ( u − v ) = σ ( u ) − σ ( v ) = u − v Sean u , v{ ∈ F H ⇒ ⇒ u − v, uv −1 ∈ F H luego F H −1 −1 −1 ≠0 σ ( uv ) = σ ( u ) σ ( v ) = uv es un cuerpo. Observación 5.4 Sea F ⊃ K una extensión fija y G = GalK F consideremos los conjuntos: S = { H : H < G} , F = {E : F ⊃ E ⊃ K cuerpo intermedio} Definimos las siguientes funciones: - 129 - Notas de Álgebra II F →S Capítulo 5 S →F E Î E ′= = Gal E F H Î 'H = F H La correspondencia da vuelta las inclusiones F ′ = GalF F = {Id} K ′ = Gal K F = G por def. '{Id} = F = F Ahora no siempre se cumple que: ' G = F G = F GalK F = K por ejemplo: Id Si u = 2 ∈ ¡ ⇒ Gal¤ ¤ 3 ( 2 ) = {Id} ⇒ ¤ ( 2 ) 3 3 - 130 F U {Id} ∧ F U {Id} E U E’ ∧ ‘H U H ∧ K G Gal¤ ¤ (3 2) =¤ ( 2) 3 ∧ ? K Id =¤ G ( 2) × ¤ 3 En general lo que se cumple que K ⊂ F G Definición 5.2 Dada una extensión F ⊃ K decimos que es de Galois si F GalK F = K es decir que si y solo sí ∀u ∈ F \ K , ∃σ ∈ GalK F , σ ( u ) ≠ u. Ejemplo 5.7 Según lo visto en ejemplo 5.5 Gal¡ £ = {Id,σ } , σ ( z ) = z . Si z ∈ £, y σ ( z ) = z ⇔ z ∈ ¡ ⇒ £Gal ¡£ = ¡ . Luego es una extensión de Galois. Ejemplo 5.8 Las extensiones que ya hemos visto: F ⊃ F , ¤ 3 ⊃ ¤, ¤ 3, 2 ⊃ ¤, ( ) son de Galois. Y las extensiones ¤ ( 2 ) ⊃ ¤, 3 ( ) ¡ ⊃ ¤, no son de Galois. Lema 5.3 Sean F ⊃ K extensión y L, M cuerpos intermedios. Sea H y J subgrupos de G = GalK F entonces: i) F ' = {Id} y K ' = G i) GalF F = {Id} , Gal K F = G ii) '{Id} = F ii) F {Id} = F iii) l ⊂ m ⇒ GalM F < GalL F ; iii) l ⊂ m ⇒ m ' < l ' ; H <J ⇒FJ ⊂FH iv) l ⊂ F GalL F , H < Gal F H F ( ) H < J ⇒ 'J ⊂ 'H iv) l ⊂ ' ( l ') y H ⊂ ( ' H ) ' v) l ' = [ ' ( l ')] ' 'H = '[( ' H ) '] v) GalL F = GalF ( GalL F ) F , F H = F - 130 - Gal FH F Notas de Álgebra II Galois - 131 Demostración Los casos i) y ii) ya los vimos. iii) l ⊂ m , ⇒ m ' = Gal M F < Gal L F = l ' J H H < J ⇒ ' J = F ⊂ F = ' H iv) l ⊂ ' ( l ') ⇔ ' ( l ') = F GalL F = {v ∈ F : σ ( v ) = v, ∀σ ∈ GalL F } ⊃ l ( ' H ) ' = GalF H F = ϕ : F ^→ZF , σ ∈H ⇒ FH v ∈F H σ : F → F ⇒σ : F ^→ZF , ⇒ H ⊂ GalF H F = ( ' H ) ' ⇒ FH σ ( v) = v v) l ⊂ ' ( l ') ⇒ [ ' ( l ')] ' ⊂ l ' ⇒ l ' = [ ' ( l ')] ' el otro es análogo. l ' ⊂ [ ' ( l ')] ' Observación 5.5 Sea F ⊃ K extensión, por definición F es de Galois sobre K si y solo sí F GalK F = K es decir si y solo sí ' ( K ') = K . Sea E un cuerpo intermedio F ⊃ E ⊃ K entonces: F ⊃ E es de Galois ⇔ F Gal E F = E ⇔ ' ( E ') = E Definición 5.3 Dada F ⊃ K y G = GalK F . Sean F ⊃ E ⊃ K y H < G decimos que E es cerrado si ' ( E ') = E ⇔ F GalE F = E ⇔ F ⊃ E es de Galois; y decimos que H es cerrado si ( ' H ) ' = H ⇔ Gal F H F = H . Luego F ⊃ K es de Galois si y solo sí K es cerrado. Proposición 5.4 Sea F ⊃ K una extensión, la correspondencia l → l ' , H → ' H (definida en la observación 5.4) establece una biyección entre los subcuerpos cerrados de F que contienen a K y los subgrupos cerrados de G = Gal K F . Demostración Sean Fc = {l ⊃ E ⊃ K : ' ( E ') = E } S c = {H < G : ( ' H ) ' = H } Si E ∈Fc ⇒ [' ( E ' )] ' = E ' ⇒ E ' ∈ S c ⇒ (Fc ) ' ⊂ S c y análogamente ' (S c ) ⊂ Fc Ahora vamos a ver una serie de lemas previos a la demostración del teorema central de este capítulo, que es el Teorema de Galois. Lema 5.5 Sea F ⊃ K una extensión, F ⊃ M ⊃ l ⊃ K , cuerpos intermedios. Si [ M : l ] < ∞ ⇒ [ l ' : M '] ≤ [ M : l ] en particular: - 131 - Notas de Álgebra II Capítulo 5 - 132 - Si [ F : K ] < ∞ ⇒ Gal K F ≤ [ F : K ]. Demostración Tenemos que l ' = Gal L F , M ' = Gal M F supongamos que se cumple la primer afirmación de la tesis lo que significa que la correspondencia de subcuerpos l → l ' a subgrupos es en general una contracción. Entonces: [ GalL F : GalM F ] ≤ [ M : l ] y en el caso particular siguiente: GalK F :GalF F ≤ [ F : K ] 123 {Id} P GalK F ≤ [ F : K ] tenemos la segunda parte de la afirmación de la tesis. Para probar la primera parte lo hacemos por inducción completa en el grado [ M :l ] Sea n = [ M : l ] y consideremos el caso n = 1 ⇔ M = l ⇒ l ' = M ' luego se cumple. M M’ Sea ahora n > 1 , ⇒ M × l y supongamos que el n k teorema vale para toda extensión con grado < n . Sea u ∈ M \ l , M ⊃ l finita ⇒ u es algebraico sobre l (u ) l (u ) ' L. Sea f = IrrL ( u ) con gr ( f ) = k > 1 ( u ∉ l ) . k k G55555H L L’ M ⊃ l ( u ) ⊃ l entonces [ M : l ( u )] = nk consideremos E5555555555F n los siguientes casos: a) k < n [ l (u ) ' : M '] ≤ [ M : l ( u )] = kn nk < n , [ M : l ( u )] = kn hip⇒ de ind. ⇒1< k < n ⇒ [ l ' : l ( u ) '] ≤ [ l ( u ) : l ] = k k < n , [ l ( u ) : l ] = k hip.⇒ de ind. Luego [ l ' : M '] = [ l ' : l ( u ) '] ⋅ [ l ( u ) ' : M '] ≤ nk ⋅ k = n = [ M : l ] b) k = n n l (u ) l (u ) ' k = 1 ⇒ M = l ( u ) , f = IrrL ( u ) Sea T = {raíces de f en l ( u )} , T ≤ gr ( f ) = n = [ M :l ] n Sean las coclases a izquierda: L L’ l' = τ ⋅ l ( u ) ' : τ ∈ l '} ⇒ l ' = l ' : M ' l (u ) ' { l (u ) ' P l (u ) ' K G - 132 - Notas de Álgebra II Galois - 133 f ∈ l x y τ |l = Id ↓ Entonces si τ ∈ l ' = Gal L F , f ( u ) = 0 ⇒ 0 = τ ( f ( u ) ) = f (τ ( u ) ) ⇒ τ ( u ) ∈ T Tenemos entonces un mapa µ : l ' → T τ Î τ (u ) () Debido a que si τ ∈ l ', ∀σ ∈ l ( u ) ' = GalL ( u ) F ⇒ τ ⋅ σ u = τ ( u ) , se puede pasar ↓ ∈l ( u ) al cociente, con lo cual se induce el siguiente mapa: µˆ : l ' →T l (u ) ' τ = τ ⋅ l (u ) ' Î τ ( u ) µ GalL F µ̂ Sean τ 1 ,τ 2 ∈ l ' = Gal L F tal que τ 1 ( u ) = τ 2 ( u ) ⇒ τ 2−1τ 1 ( u ) = u con τ 2−1τ 1 : F ^ → F luego deja fijo l Z T GalL F GalL ( u ) F u y L entonces: τ 2−1τ 1 : F → F ⇒ τ 2−1τ 1 ∈ Gal l ( u ) F = l ( u ) ' ⇒ τ 1 ⋅ l ( u ) ' = τ 2 ⋅ l ( u ) ' ⇒ el mapa µ̂ ^ l (u ) Z ↑ l es inyectivo ⇒ [ l ' : M '] ≤ T ≤ [ M : l ]. Si F es el cuerpo de descomposición de f sobre l ⇒ µ es sobreyectivo. Lema 5.6 Sea F ⊃ K una extensión , H < J < G = Gal K F .entonces: Si [ J : H ] < ∞ ⇒ [ ' H : ' J ] ≤ [ J : H ]. Es decir que la segunda correspondencia de H → ' H es también una contracción Demostración Sea [ J : H ] = n y supongamos que [ ' H : ' J ] > n ⇒ ∃{u1 ,..., u n+1} ⊂ ' H , linealmente independiente sobre ' J {Id} [ J : H ] = n, sea J H = {τ1H ,τ 2 H ,...,τ n H } , τ1 ,τ 2 ,...,τ n ∈ J Consideremos el sistema de n ecuaciones con n+1 H variables x1 ,..., xn+1 definido por: τ 1 ( u1 ) x1 + τ 1 ( u 2 ) x2 + L + τ 1 ( un +1 ) xn +1 = 0 M (1) M τ ( u ) x + τ ( u ) x + L + τ ( u ) x = 0 n 1 1 n 2 2 n n +1 n +1 Sea A = (τ i ( u j ) )ij ; A ∈ Mn×( n +1) ( F ) , ⇒ T ( X ) = AX TA : F n +1 → F n X Î AX J GalK F F 'H = F H 'J = F J K ker TA ≠ {0} ⇒ Este sistema siempre admite una solución no trivial. - 133 - Notas de Álgebra II Capítulo 5 - 134 - Sea ( a1 ,..., an +1 ) ∈ F n+1 solución no trivial con una cantidad minimal de entradas no nulas. Reordenando si es necesario podemos suponer ai ≠ 0 ∀i = 1,..., r y ai = 0 para todo i = r + 1,..., n + 1 . Como ker TA es un subespacio de F n+1 podemos suponer a1 = 1F (si no multiplicamos por a1−1 ). Afirmación 1 Probaremos que {u1 ,..., u n+1} L.I. sobre ' J = F J ⇒ ∃σ ∈ J tal que y1 = σ ( a1 ) , y2 = σ ( a2 ) ,..., yr = σ ( ar ) , yr +1 = .... = yn +1 = 0 es solución de (1) y σ ( a2 ) ≠ a2 Si se cumple lo anterior, tenemos que la resta de dos soluciones es también una solución, pero: x1 − y1 = 1 − σ (1) = 1 − 1 = 0 implica que la resta es una solución no ⇒ trivial de (1) con r − 1 entrada no nula x2 − y2 = a2 − σ ( a2 ) ≠ 0 Luego necesariamente [ ' H : ' J ] ≤ n = [ J : H ] y se cumple la tesis. Demostración En J !i : τ iH = H , reordenando podemos suponer τ 1H = H ⇔ τ 1 ∈ H luego H ∃ como u1 ,..., un+1 ∈ ' H = F H ⇒ τ1 ( ui ) = ui , ∀i = 1,..., n + 1. Los ai son solución, tenemos que la primer ecuación de (1) queda: u1a1 + u2 a2 + ... + ur ar = 0 Como {u1 ,..., u n+1} ⊂ F es L.I. sobre ' J y a1 ,..., ar ∈ F son no nulos, ⇒ ∃i : ai ∉ ' J y podemos suponer reordenando que a2 ∉ ' J = F J ⇒ ∃σ ∈ J : σ (a 2 ) ≠ a 2 . Consideremos el sistema de ecuaciones en F. στ 1 ( u1 ) x1 + στ 1 ( u 2 ) x2 + L + στ 1 ( u n+1 ) xn+1 = 0 τ1 ∈ H < J (2) M M στ i ∈ J σ τ J , ∈ i στ ( u ) x + στ ( u ) x + L + στ ( u ) x = 0 n 1 1 n 2 2 n n +1 n +1 Como x1 = a1 , x2 = a2 ,..., xr = ar , xr +1 = .... = xn +1 = 0 es solución de (1) en F y σ ∈ Aut ( F ) ⇒ y1 = σ ( a1 ) ,..., yr = σ ( ar ) , yr +1 = ... = yn +1 = 0 es solución de (2). Afirmación 2 El sistema de ecuaciones (1) y el (2) son el mismo a menos de reordenar las filas. Demostración Dado i ∈ {1,.., n} , ∃! j ∈ {1,.., n} tal que στ i ( ul ) = τ j ( ul ) , ∀l = 1,.., n + 1 Ya que: {στ1H , στ 2 H ,...,στ n H } = {τ1H ,τ 2 H ,...,τ n H } = J H porque si η ∈ J ⇒ σ −1η ∈ J ⇒ ∃!i tal que σ −1η H = τ i H ⇒ η H = στ i H luego: J = {η H : η ∈ J } ⊂ {στ H ,..., στ H } ⊂ J 1 n H H Es decir que para cada j , ∃!i tal que τ j H = στ i H . - 134 - Notas de Álgebra II Galois - 135 Además, Sea i, j tal que στ i H = τ j H ⇒ στ i ( ul ) = τ j ( ul ) , ∀ = 1,..., n + 1 ya que: ∃V ∈ H tal que στ i = τ j V l u l = τ j ( ul ) , ∀l = 1,..., n + 1 . ∈H ∈F H Lo que significa que los sistemas son equivalentes porque la fila i de (2) coincide con la fila j de (1) , y entonces: y1 = σ ( a1 ) ,..., yr = σ ( ar ) , y r +1 = ... = yn = 0 es solución de (1) con σ ∈ J ,σ ( a2 ) ≠ a2 luego queda probada la afirmación 1, y por lo tanto el Lema. y ul ∈ ' H = F H ⇒ στ i ( ul ) = τ j V Lema 5.7 Sea F ⊃ K una extensión, F ⊃ M ⊃ l ⊃ K , H < J < G = GalK F . i) Si L es cerrado y [ M : l ] < ∞ ⇒ M es cerrado y [ l ' : M '] = [ M : l ] ; ii) Si H es cerrado y [ J : H ] < ∞ ⇒ J es cerrado y [ ' H : ' J ] = [ J : H ]; iii) Si F ⊃ K es de Galois finita, entonces todos los cuerpos intermedios entre F y K y todos los subgrupos de G son cerrados y GalK F = [ F : K ]. Demostración i) l cerrado ⇔ ' ( l ') = l ( l ' ) ≤ [ l ' : M '] ≤ [ M : l ] [ M :l ] < ∞ ⇒ { [ l ' : M '] ≤ [ M : l ] < ∞ ⇒ { ' ( M ' ) : '{ L. 5.5 L. 5.6 =l l ⊂ M ⊂ ' ( M ' ) ⇒ [ M : l ] ≤ ' ( M ') : ' ( l ') ≤ [ l ' : M '] ≤ [ M : l ] ⇒ se tienen { =l que cumplir todas las igualdades: [ M : l ] = [ l ' : M '] [ ' ( M ') : l ] = [ M : l ] ⇒ M = ' ( M ') l ⊂ M ⊂ ' ( M ') ii) H cerrado ⇒ ( ' H ) ' = H ' H ) ' ≤ [ ' H : ' J ] ≤ [ J : H ] < ∞ [J : H ] < ∞ ⇒ { [' H : ' J ] ≤ [ J : H ] < ∞ ⇒ { ( ' J ) ' : ({ L. 5.6 L. 5.5 =H H < J < ( ' J ) ' ⇒ [ J : H ] ≤ ( ' J ) ' : { H ≤ [' H : ' J ] ≤ [ J : H ] < ∞ luego se tienen que =( ' H ) ' cumplir todas las igualdades: [ J : H ] = [' H : ' J ] [( ' J ) ' : H ] = [ J : H ] < ∞ ⇒ J = (' J ) ' H < J < (' J ) ' - 135 - Notas de Álgebra II Capítulo 5 - 136 - iii) Sea F ⊃ K de Galois finita F ⊃ K finita ⇒ ∀E tal que F ⊃ E ⊃ K es E ⊃ K finita F ⊃ K de Galois ⇒ K es cerrado ;E ⊃ K finita ⇒ E es cerrado y K {' : E =G ' = [ E : K ] finita F {Id} E H finita Tomando E = F es Gal K F = G = G : Id = F : K { } [ ] { { { = K ' =F ' ( i) K G Luego G < ∞ ⇒ H < ∞, ∀H < G , {Id} = F ' ⇒ ( '{Id}) ' = F ' = {Id} ⇒ {Id} cerrado ⇒ H es cerrado. Si H < G ⇒ [ H : {Id}] = H < ∞ Definición 5.4 Sea F ⊃ K una extensión y E tal que F ⊃ E ⊃ K . Decimos que E estable (respecto a F ⊃ K ) si σ ( E ) ⊂ E , ∀σ ∈ Gal K F . En este caso σ |E : E ^ → E , σ ∈ GalK F ⇒ σ −1 ∈ GalK F y esto implica: K Z σ (E ) ⊂ E ⇒ σ ( E ) = E ⇒ σ |E ∈ Gal K E ∀σ ∈ Gal K F σ −1 ( E ) ⊂ E ⇒ E ⊂ σ ( E ) Lema 5.8 Sea F ⊃ K extensión, G = GalK F entonces se cumplen: i) Si F ⊃ E ⊃ K y E es estable ⇒ E ' < G , ii) Si H < G ⇒ ' H es estable. Demostración i) E ' = Gal E F . Sean σ ∈ G = GalK F y τ ∈ E ' = GalE F τ : F ^ → F E ↑ K Z ⇒ σ −1τσ ∈ Aut ( F ) queremos ver si σ −1τσ ∈ GalE F = E ' . Sea u ∈ E como E es estable se cumple que: −1 −1 σ (u ) ∈ E ⇒ σ ( u ) = u ⇒ σ −1τσ |E = Id { τσ ( u ) = σ ( u ) ⇒ σ τσ ( u ) = σ{ τ ∈Gal E F lo que Id significa que σ −1τσ ∈ GalE F = E ' ⇒∴ E ' < G . ii) Sea H < G, ' H = F H = { x ∈ F : σ ( x ) = x ∀σ ∈ H } . Sea u ∈ F H y σ ∈ Gal K F queremos ver si σ ( u ) ∈ F H ⇔ τσ ( u ) = σ ( u ) , ∀τ ∈ H esto último a su vez se cumple ⇔ σ −1τσ ( u ) = u, ∀τ ∈ H . Entonces como H < G ⇒ σ −1τσ ∈ H ⇒H σ −1τσ ( u ) = u , ∀u ∈ ' H = F H ⇒ tesis. u∈F - 136 - Notas de Álgebra II Galois - 137 Lema 5.9 Sea F ⊃ K extensión de Galois y F ⊃ E ⊃ K con E estable, entonces E ⊃ K es de Galois. Demostración Sea u ∈ E \ K ⇒ u ∈ F \ K y por ser F ⊃ K de Galois ∃σ ∈ GalK F tal que σ ( u ) ≠ u . E es estable ⇒ σ |E ∈ Gal K E y σ |E ( u ) ≠ u . F Galois E k estable ⇒ Galois Lema 5.10 Sea F ⊃ E ⊃ K tal que E ⊃ K es algebraica y de Galois entonces E es estable. ⊃4 F ⊃E K ⇒ E estable 1 42 3 alg. y Galois Demostración Sea u ∈ E y IrrK ( u ) = f ∈ K [ x ] , distintas de f en E ⇒ r ≤ n = gr ( f ) . sean u = u1 , u2 ,..., ur raíces Sea τ ∈ GalK E , como f ∈ K [ x ] y f ui = 0 ⇒ 0 = τ ( f ( ui ) ) = f (τ ( ui ) ) es decir ∈E que τ ( ui ) son raíces de f en E ⇒ {τ ( u1 ) ,...,τ ( ur )} = {u1 ,..., ur } Sea g = ( x − u1 ) ... ( x − ur ) ∈ E [ x ] ⇒ τ g = ( x − τ ( u1 ) ) ... ( x − τ ( ur ) ) = g entonces: ⇒ τ g = g ∀τ ∈ GalK E , pero τ g = ∑τ ( ai ) x i = ∑ ai x i = g luego τ ( ai ) = ai i i ∀τ ∈ GalK E ⇒ ai ∈ E y como E ⊃ K de Galois ⇒ ai ∈ E GalK E = K ⇒ que tenemos así g ∈ K [ x ] , y u = u1 raíz de g ⇒ f | g por ser f = IrrK ( u ) entonces n = gr ( f ) ≤ gr ( g ) = r ⇒ f = g ⇒ n= r, como g mónico luego todas las raíces de f son distintas y están en E. Importante resultado a tener en cuenta. F ⊃E ⊃4 K si f = IrrK ( u ) ⇒ todas las raíces de f son distintas y están en E 1 42 3 Gal K E alg. Galois Si σ ∈ GalK F , f ∈ K [ x ] ⇒ σ ( u ) ∈ {u1 ,..., u n } ⊂ E ⇒ σ ( E ) ⊂ E ⇒ E es estable ∀σ ∈ Gal K F Definición 5.5 Sea F ⊃ E ⊃ K , τ ∈ GalK E decimos que es extendible a F si existe σ ∈ GalK F tal que σ |E = τ F F σ Observación 5.6 E τ E {τ ∈ GalK E : τ extendible a F } < GalK E Sea e% = σ ( e ) = τ ( e ) ⇒ σ −1 ( e% ) = τ −1 ( e% ) = e K - 137 - Notas de Álgebra II Capítulo 5 - 138 - Si σ 1 |E = τ1 , σ 2 |E = τ 2 ⇒ σ 2−1 |E = τ 2−1 como σ 2 ( E ) = τ 2 ( E ) = E ⇒ σ 1σ 2 |E = τ1τ 2 Lema 5.11 Sea F ⊃ E ⊃ K con E estable y G = GalK F entonces G isomorfo a {τ ∈ GalK E : τ es extendible a F } < GalK E . E' es Demostración Si E estable ⇒ Φ : G = GalK F → GalK E morfismo de grupos, tal σ Îσ| |E ≅ Im Φ ; entonces como Im Φ = {τ ∈ GalK E : τ estiende a F } , y : ker Φ ker Φ = {σ ∈ GalK F : σ |E = Id} = GalE F = E ' , sustituyendo se tiene la tesis. que G Proposición 5.12 (Teorema de Galois) Si F ⊃ K es una extensión de Galois finita, entonces existe una correspondencia uno a uno que invierte el orden de inclusión entre F = {E : F ⊃ E ⊃ K , cuerpo intermedio} y S = {H : H < Gal K F } Definida en la observación 5.4 que verifica: i) [ E :l ] = [ GalL F :GalE F ] ∀l , E tal que K ⊂ L ⊂ E ⊂ F ; En particular GalK F = [ F : K ]. ii) ∀E tal que F ⊃ E ⊃ K ⇒ F ⊃ E es de Galois; Y además E ⊃ K es de Galois si y solo sí GalE F < GalK F y en este caso el mapa: GalK F → Gal K E σ Îσ| |E es un epimorfismo de núcleo GalE F . Luego induce un isomorfismo GalK F ≅ GalK E GalE F F {Id} E GalE F σ Ïσ| |E A las correspondencias ya la hemos notado como Galois L Gal( g) F y F ( g) o ( g ) ' y ' ( g ) y decir que una es la inversa de la otra quiere decir que: E GalE F = E , GalF H F = H ; o ' ( E ') = E , ( ' H ) ' = H K GalL F < G Demostración Para ver que la correspondencia es una biyección, basta con probar que todos los subcuerpos y subgrupos son cerrados y eso es el Lema 5.7 y antes habíamos probado de que existe una correspondencia biyectiva entre cerrados (proposición 5.4). Además el Lema 5.7 prueba que en este caso si F ⊃ E ⊃ l ⊃ K entonces [ E : l ] = [ l ' : E '] y GalK F = [ F : K ] . Sea F ⊃ E ⊃ K como E es cerrado, es F ⊃ E de Galois. - 138 - Notas de Álgebra II Galois - 139 F ⊃ K finita ⇒ E ⊃ K finita ⇒ E ⊃ K es algebraica. Si E ⊃ K es de Galois ⇒ { E es estable ⇒ { E ' < G. Lema 5.10 Lema 5.8 Si E ' < G ⇒ ⇒ E es estable ⇒ { ' ( E ') es estable { E ⊃K Lema5.9 Lema 5.8 E cerrado ⇒ ' ( E ') = E F ⊃ K de Galois es de Galois Sea F ⊃ E ⊃ K con E ⊃ K de Galois. GalK E = [ E : K ] GalK F ≅ GalK F =G GalE F E' E y E ' son cerrados y ' G = K (F ⊃ K de Galois) ⇒G = G : E '] = { [ ' ( E ') : ' G ] = [ E : K ] E' [ Lema 5.7 ≅ G → Gal K E Lema 5.11 G ° Gal K E ' E ⇒ E' σ Î σ |E σ Î σ |E pero E ⊃ K de Galois ⇒ GalK E = [ E : K ] < ∞ Ejemplo 5.9 Sea F = ¤ G = Gal¤ ¤ ( ) ( ) 2, 3 ⊃ ¤ veremos que es de Galois. 2, 3 = {σ 1 , σ 2 , σ 3 ,σ 4 } = {Id,σ ,τ ,στ } σ 2 = τ 2 = Id; y στ = τσ σ tales στ ⇒ G ≅ ¢ 2 ⊕ ¢ 2 τ 2 − 2 2 − 2 3 3 − 3 − 3 Los subgrupos de G son: H = {Id,σ } , J = {Id,τ } , K = {Id,στ } Como vimos en el ejercicio 5.6 { σ yτ siendo F = a+b 2+c 3 +d } 6 : a, b, c, d ∈ ¤ = 2 3 ( ) ( 3) τ (a + b 2 + c 3 + d 6 ) = a + b 2 − c 3 − d 6 ⇒ F = ¤( 2 ) στ ( a + b 2 + c 3 + d 6 ) = a − b 2 − c 3 + d 6 ⇒ F = ¤ ( 6 ) σ a+b 2+ c 3+d 6 = a−b 2+c 3−d 6 ⇒ F H = ¤ J K - 139 - que Notas de Álgebra II Capítulo 5 F G = F {Id,σ ,τ ,στ } = F {σ } I F {τ } I F {στ } = ¤ - 140 - ( 3) I ¤( 2 ) I ¤( 6 ) {Id} H K F =¤ J ¤ ( 3) ¤ Se tiene que ¤ 2, 3 ¤ ) ( 2) ¤ G Subgrupos ( 6) ( Subcuerpos ( 3 ) I ¤ ( 2 ) I ¤ ( 6 ) = ¤ ⇒ ' ¤ ' = ¤ ⇒ la extensión es de Galois. Corolario 5.13 Sea F ⊃ K de Galois finita, L y E cuerpos intermedios entre F y K ; H y J subgrupos de G = GalK F , entonces se cumple: i) GalE L F = GalE F I GalL F , ii) GalE IL F = Gal E F ∨ Gal L F . Si E ⊃ K es de Galois, entonces: GalE IL F = Gal E F ⋅ GalL F iii) F H I J = F H ⋅ F J iv) F H ∨ J = F H I F J . Si H < G ⇒ F HJ = F H I F J Demostración Según la nomenclatura que estamos usando la i) y ii) corresponde a demostrar que: El ′ = E ′ I l ′ ; ( E I l )′ = e ′ ∨ l ′ F Id El ' = E 'I l ' EL E L E Il K ⇒ E’ L’ E '∨ l ' = ( E I l ) ' ( El ) ' ⊂ E 'I l ' ⇒ ( E I l ) ' ⊃ E '∨ l ' G E 'I l ' ⊂ E ' ⇒ ' ( E 'I l ') ⊃ ' E ' = E ⇒ ' ( E 'I l ') ⊃ El ⇒ E 'I l ' ⊂ ( El ) ' ⊂l' ⊃ 'l ' = l E ' ⊂ E ' ∨ L ' ⇒ E ⊃ ' ( E '∨ L ') ⇒ E I L ⊃ ' ( E '∨ L ') ⇒ ( E I L ) ' ⊂ E '∨ L ' L'⊂ L⊃ - 140 - i) ii) Notas de Álgebra II Galois - 141 Si E ⊃ K de Galois ⇒ E ' < G ⇒ E '∨ L ' = E ' L ' ⇒ ( E I L ) ' = E ' L '. iii) y iv) F Id Sean: ' H = E y 'J = l EL HIJ E ⇐ L Galois '( g ) E Il H J < H ∨ J = HJ K Observar que si H <G entonces: y E ⊃ K es H ∨ J = HJ de Galois. G (i) ( ' H ' J ) ' = ( ' H ) ' I (' J ) ' = H I J ⇒ H ' J ' = ' ( H I J ) E = 'H, L = 'J ⇒ ( ' H I ' J ) ' (=ii) ( ' H ) '∨ ( ' J ) ' = H ∨ J ⇒ H ' I J ' = ' ( H ∨ J ) , Corolario 5.14 Si con F ⊃ K Galois finita entonces si GalL F I GalE F = {Id} ⇒ F = E l F L E K Demostración GalE L F = GalL F I Gal E F = {Id} ⇒ E l = F {Id} = F Proposición 5.15 (Teorema de Artin) Sea F un cuerpo, G < AutF y K = F G , entonces F ⊃ K es de Galois. Si G es finito, entonces F ⊃ K es de Galois finita y GalK F = G. Demostración Como K = F G = {u ∈ F : σ ( u ) = u , ∀σ ∈ G} entonces: Si u ∈ K ⇒ σ ( u ) = u , ∀σ ∈ G ⇒ G < Gal K F . Sea u ∈ F \ K ⇒ u ∉ F G ⇒ ∃σ ∈ G tal que σ ( u ) ≠ u σ ( u ) ≠ u ⇒ F ⊃ K es de Galois. Si G es finito ⇒ [ F : K ] = F {Id} : F G ≤ { Lema 5.6 F ⊃ K de Galois finita ⇒ { ∃σ ∈ GalK F tal que G < Gal K F [G : {Id}] = G ⇒ F ⊃ K es finita. ⇒ GalK F = [ F : K ] ≤ G < ∞ ⇒ G = GalK F . G < Gal K F - 141 - Notas de Álgebra II Capítulo 5 - 142 - Observación 5.7 Sea K cuerpo , f ∈ K [ x ] \ K , F ⊃ K extensión y u ∈ F tal que f ( u ) = 0, entonces: i) u es raíz múltiple de f ⇔ f ( u ) = f ' ( u ) = 0 ⇔ ( x − u ) divide a f y f ' en F [ x ] . ii) f tiene solo raíces simples en F ⇔ f ' ≠ 0 (suponiendo f irreducible). iii) Si f es irreducible en K [ x ] y car ( K ) = 0 ⇒ f ' ≠ 0 . Luego f tiene sólo raíces simples en F. Definición 5.6 Sea K un cuerpo i) f ∈ K [ x ] irreducible se dice separable si existe extensión F ⊃ K , cuerpo de descomposición de f sobre K tal que f tiene sólo raíces simples en F. Si f ∈ K [ x ] no es irreducible, f = f1. f 2 .... f r con fi ∈ K [ x ] irreducible no necesariamente distintos decimos que f es separable si fi es separable ∀i. Ejemplo 5.10 f = ( x 2 + 1)( x 2 − 2 ) ( x − 1) ∈ ¤ [ x ] es separable por serlo cada factor. 3 4 ii) Sea F ⊃ K extensión. Un elemento u ∈ F se dice separable sobre K si u es algebraico sobre K e IrrK ( u ) ∈ K [ x ] es separable. iii) Una extensión F ⊃ K es separable si todo u ∈ F es separable sobre K. Observación 5.8 i) Si f ∈ K [ x ] , F ⊃ K extensión ⇒ f ∈ F [ x ] , entonces f ∈ K [ x ] es separable ⇒ f ∈ F [ x ] es separable. ii) Si F ⊃ K es separable ⇒ F ⊃ K es algebraica. iii) Si car ( K ) = 0 y F ⊃ K es algebraica ⇒ F ⊃ K es separable. Lema 5.16 Sea F ⊃ K extensión finita entonces F ⊃ K es de Galois si y solo sí: GalK F = [ F : K ] Demostración ⇒ ya la vimos. ⇐ [ F : K ] finita ⇒ GalK F ≤ [ F : K ] < ∞ Sea K 0 = F G = ' G entonces por el Teorema de Artin F ⊃ K 0 es de Galois finita y GalK F = GalK 0 F F K0 GalK F = GalK 0 F = [ F : K 0 ] K P ⇒ [F : K 0 ] = [ F : K ] [F : K ] Pero [ F : K ] = [ F : K 0 ] ⋅ [ K 0 : K ] ↓ y por lo tanto F ⊃ K es de Galois finita. finito ⇒ [ K 0 : K ] = 1 ⇒∴ K 0 = K - 142 - Notas de Álgebra II Galois - 143 Proposición 5.17 Sea F ⊃ K extensión entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) F ⊃ K es algebraica y de Galois. ii) F ⊃ K es separable y F es el cuerpo de descomposición de una familia S de polinomios de K [ x ]. iii) F es un cuerpo de descomposición de una familia S de polinomios separables de K [ x ]. Demostración i) ⇒ ii) u ∈ F ⇒ IrrK ( u ) = ( x − u1 ) .... ( x − ur ) ∈ F [ x ] Lema 5.10 Con u = u1 , u2 ,.., ur ∈ F raíces simples y distintas (escinde) luego por definición es separable ⇒ u es separable sobre K ⇒ F ⊃ K separable. F ⊃ K algebraica ⇒ F = K (T ) , T ⊂ F elementos algebraicos sobre K. Si t ∈ T , t es algebraico sobre K ⇒ f t = IrrK ( t ) ∈ K [ x ] , f t ( t ) = 0 Sea S = { f t : t ∈ T } ⊂ K [ x ] y consideremos R = {raíces de los f t , con t ∈ T }. Como ft ∈ K [ x ] es separable ∀t ∈ T y las raíces de ft están en F se tiene: F = K (T ) ⊂ K ( R ) ⊂ F ⇒ F = K ( R ) ⇒ F es el cuerpo de descomposición de S. ii) ⇒ iii) Por hipótesis F ⊃ K es separable y F cuerpo de descomposición de S entonces sea f ∈ S ⊂ K [ x ] , f = af1... f r ∈ K [ x ] con f1 ,..., f r ∈ K [ x ] mónicos e ≠0 irreducibles y a ∈ K × . f escinde en F ⇒ f i escinde ∀i ∈ {1,..., r} Sea u ∈ F tal que fi ( u ) = 0 ⇒ f i = IrrK ( u ) ∈ K [ x ] ⇒ f i separable fi mónico e irreducible ∈ K [ x ] F ⊃ K separable u∈ iii) ⇒ i) Para demostrar esto consideraremos dos casos: a) Sea S < ∞, S = { f1 ,..., f r : separables} ⊂ K [ x ] r si f = ∏ f i ∈ K [ x ] ⇒ f es separable ⇒ F es el cuerpo de descomposición de f i =1 por def. Queremos probar que F ⊃ K es de Galois finito. F ⊃ K finitamente generada por elementos algebraicos ⇒ finita ⇒ [ F : K ] = n < ∞ . Queremos ver que: [ F : K ] = Gal K F y lo probaremos por inducción completa en n. 1) Supongamos [ F : K ] = 1 ⇒ F = K ⇒ GalK F = {Id} y se tiene: GalK F = 1 = [ F : K ]. 2) Supongamos n > 1 y razonamos por inducción - 143 - Notas de Álgebra II Capítulo 5 - 144 - f = ag1...g t ∈ K [ x ] con g i mónico e irreducible ∈ K [ x ] ⇒ gi separable ∀i = 1,..., t Si gr ( gi ) = 1 ∀i = 1,..., t ⇒ F = K ⇒ n = 1 Existe entonces alguno de grado > 1 podemos suponer sin perder generalidad que es el primero. gr ( g1 ) = s > 1 Como f se escinde en F y es separable ⇒ g1 se escinde y es separable. Entonces si T = {raíces de g1 en F } ⇒ T = s es decir: g1 = ( x − u1 ) ... ( x − us ) ∈ K [ x ] con ui ≠ u j ∀i ≠ j Sea u = u1 entonces IrrK ( u ) = g1 ∈ K [ x ] donde [ K ( u ) : K ] = gr ( g1 ) = s . El mapa µ̂ ya definido en Lema 5.5, en este caso es una biyección: µˆ : GalK F GalK ( u ) F F →T {Id} τ Î τ (u ) entonces s = GalK F = F F GalK ( u ) F GalK : Gal K ( u ) n K (u ) como s > 1 ⇒ [ F : K ( u )] = ns < n s F es el cuerpo de descomposición de f sobre K ⇒ F es cuerpo de descomposición de f ∈ K ( u ) [ x ] sobre K K ( u ) ⇒ f ahora como polinomio en K ( u ) [ x ] es separable y por hipótesis de inducción como: [ F : K ( u )] = ns < n ⇒ GalK (u ) F = [ F : K ( u )] entonces por ser: GalK (u ) F s GalK F GalK F = GalK F : Gal K ( u ) F ⋅ Gal K ( u ) F sustituyendo GalK F = [ K ( u ) : K ] ⋅ [ F : K ( u )] = [ F : K ] ⇒ F ⊃ K es de Galois. b) Sea ahora S = ∞ con S familia de polinomios separables. F = K (T ) , con T = {u ∈ F : f ( u ) = 0 para algún f ∈ S } ⇒F = U t1 ,..., tn ∈T n∈¢ + K ( t1 ,..., t n ) tenemos que probar que F ⊃ K es algebraica y de Galois, algebraica es obvio ya que los elementos de T son algebraicos y toda extensión generada por elementos algebraicos es algebraica. F ⊃ K es de Galois ⇔ F Gal K F = K lo que equivale a demostrar: Si u ∈ F \ K entonces ∃σ ∈ Gal K F , tal que σ ( u ) ≠ u. - 144 - Notas de Álgebra II Galois - 145 Sea u ∈ F \ K , F = K (T ) = U K ( t1 ,..., tn ) ⇒ ∃ algún n ∈ ¢ + , t1 ,..., tn ∈ T tal que: u ∈ K ( t1 ,..., tn ) Si i ∈ {1,..., n} , ti ∈ T ⇒ ∃f i ∈ S ⊂ K [ x ] tal que f i ( ti ) = 0 Consideremos el cuerpo de descomposición de los fi y sea: R = {ti ∈ T : f i ( ti ) = 0 para algún i = 1,..., n} Luego K ( R ) es el cuerpo de descomposición de los fi es decir de { f1 ,..., f n } ⊂ S ⊂ K [ x ] y t1 ,..., tn ∈ R ⇒ u ∈ K ( t1 ,..., tn ) ⊂ K [ x ] ⇒ u ∈ K ( R ) \ K y por lo tanto K ( R ) ⊃ K es finita y aplicando la parte a) se tiene que es de Galois. Luego ∃σ ∈ GalK K ( R ) tal que σ ( u ) ≠ u Como F es el cuerpo de descomposición de S σ% F F sobre K ( R ) σ se extiende a σ% ∈ Gal K F alg. σ% : F → F tal que σ% |K ( R ) = σ y como σ ( u ) ≠ u se tiene: K ( R) σ% ( u ) ≠ u ⇒ ' ( GalK F ) = K u∈K ( R ) P ≅ K ( R) K ' ( K ') ⇒ F ⊃ K es de Galois. Corolario 5.18 Sea F ⊃ K una extensión entonces son equivalentes: i) F ⊃ K es finita y de Galois. ii) F ⊃ K es separable y F es el cuerpo de descomposición de una familia de polinomios en K [ x ]. iii) F es el cuerpo de descomposición de una familia finita de polinomios separable. iv) F es el cuerpo de descomposición de un polinomio f ∈ K [ x ] separable, es decir cuyos factores irreducibles son separables. Definición 5.7 Dada una extensión F ⊃ K decimos que es normal si para todo f ∈ K [ x ] irreducible que tiene una raíz en F , entonces tiene todas sus raíces en F . Proposición 5.19 Sea F ⊃ K una extensión algebraica, entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones: i) F ⊃ K es normal ii) F es el cuerpo de descomposición de una familia de polinomios S ⊂ K [ x ]. iii) Si K clausura algebraica de K σ : F → K entonces: σ ( F ) = F . ^ K y K ⊂ F ⊂ K , y para todo morfismo Z - 145 - Notas de Álgebra II Capítulo 5 - 146 - Demostración i) ⇒ ii) Sea {uα }α∈I una base de F sobre K , por definición de normal el polinomio IrrK ( uα ) como tiene una raíz uα ∈ F se descompone en F , (y además F está generado por {uα }α∈I ) por lo tanto F es el cuerpo de descomposición de S = {IrrK ( uα ) : α ∈ I } . ii) ⇒ iii) Sea el morfismo σ : F ^ → K , si F es el cuerpo de descomposición de K Z S ⊂ K [ x ] y u es raíz de f ∈ S ⇒ σ ( u ) es raíz de f ⇒ σ ( u ) ∈ F . Sea T = {raíces de f : f ∈ S } entonces σ lleva a T sobre sí mismo y T genera a F (por definición de cuerpo de descomposición) entonces σ ( F ) = F . iii) ⇒ i) K alg. cerrado Si σ : F → K ⇒ σ ( F ) = F ^ K Z alg. Por ser: alg. F 64 4744 8 K ⊂1 F42 ⊂4 K 3 ⇒ F = K alg. K K ⊂ F ⊂ K Sean f ∈ K [ x ] , irreducible con una raíz u ∈ F nos ⇒F =K alg. tomamos v ∈ F = K otra raíz de f, por ser u y v raíces de un mismo polinomio irreducible sabemos que existe σ : K ( u ) → K ( v ) isomorfismo que deja fijo K , y que σ ( u ) = v , por la proposición 4.16 (para S = K [ x ] \ K ) σ se extiende a σ : K → K isomorfismo, y entonces como σ |F : F → K se tiene que lleva F en F ⇒ σ ( u ) = v ∈ F , es decir que por definición la extensión F ⊃ K es normal como se quería demostrar. Corolario 5.20 Sea F ⊃ K una extensión algebraica entonces F ⊃ K es de Galois si y solo sí. F ⊃ K es normal y separable. (Y si car ( K ) = 0, alcanza con pedir que F ⊃ K sea normal). Demostración Por la proposición 5.17 F ⊃ K de Galois y algebraica ⇔ la extensión F ⊃ K es separable y F es cuerpo de descomposición de una familia S de polinomios de K [ x ] y por la proposición anterior esto último es equivalente a que F ⊃ K es normal. Si la característica de K es cero y F ⊃ K algebraica ⇒ F ⊃ K es separable. - 146 - σ K K F F K (u ) σ K K (v) Notas de Álgebra II Galois - 147 Proposición 5.21 (Teorema fundamental de Galois generalizado) Sea F ⊃ K una extensión algebraica de Galois, entonces existe una correspondencia biunívoca entre la familia F de cuerpos intermedios y la familia S de subgrupos cerrados de G = GalK F que verifica: ii)’ ∀E tal que F ⊃ E ⊃ K ⇒ F ⊃ E es de Galois. Y además E ⊃ K es de Galois si y solo sí GalE F < GalK F y: GalK F GalK E ≅ GalE F Demostración Alcanza con probar que toda extensión intermedia es cerrada. Por la proposición 5.17 sabemos que F es el cuerpo de descomposición de una familia S ⊂ K [ x ] de polinomios separables sobre K . Sea S ′ = { g ∈ E [ x ] factor irreducible de algún polinomio en S } es una familia en E [ x ] de polinomios separables, ⇒ F ⊃ E es de Galois. ( F cuerpo de descomposición de S’ sobre E ) ⇒ que es cerrada ya que F GalE F = E ⇒ ( ' E ) ' = E ⇒ E cerrado. ii)’ E ⊃ K es de Galois ⇔ GalE F < GalK F igual que en el teorema fundamental. Si GalE F < GalK F ⇒ E es estable y : GalK F ≅ {σ ∈ GalK E que se extiende a GalK F } = GalK E GalE F ya que F es el cuerpo de descomposición de polinomios en E porque F ⊃ E es de Galois. Ejemplo 5.11 Sea F = ¤ ( u , i ) , con u = 4 2 ∈ ¡ f = x 4 − 2 ∈ ¤ [ x], ( x4 − 2 = 0 ⇒ x2 − 2 )( x 2 ) + 2 =0⇒ ( x − 2 )( x + 2 )( x − i 2 )( x + i 2 ) = 0 4 4 4 4 las raíces de f son ±u , ± iu ∈¤ ( u , i ) . Se deduce de ¤ ( u , i ) = ¤ ( u , −u , ui, −ui ) raíces de f ⇒ f ∈ ¤ [ x ] es irreducible Más inmediato que lo anterior es decir que es f = x 4 − 2 ∈ ¤ [ x ] irreducible por el criterio de Eisenstein (2 divide a 2 y a cero, pero 22 no divide a 2). Sea G = Gal¤ F . Tenemos que ¤ ( u , i ) ⊃ ¤ ( u ) ⊃ ¤ ⇒ [ ¤ ( u , i ) : ¤] = [ ¤ ( u )( i ) : ¤ ( u )] ⋅ [ ¤ ( u ) : ¤] E5555555555F E555555 F 2 Irr¤ ( u ) = x − 2 4 4 i ∉ ¤ ( u ) ⊂ ¡, x 2 + 1 ∈ ¤ [ x ] ⊂ ¤ ( u ) [ x ] ⇒ Irr¤( u ) ( i ) = x 2 + 1 - 147 - G =8 Notas de Álgebra II Capítulo 5 ¤ ( u, i ) - 148 - {Id} Gal 2 4 Gal ¤ (u ) 4 ¤ (i ) 8 ¤ H 2 Gal J G 2 < Siendo H = Gal¤(u )¤ ( u , i ) y J = Gal¤(i )¤ ( u , i ) H = [ ¤ ( u , i ) : ¤ ( u )] = 2 J = [ ¤ ( u , i ) : ¤ ( i )] = 4 ⇒ [G : J ] = 2 ⇒ J < G ⇒ ¤ ( i ) ⊃ ¤ es de Galois. Como: J < G , H < G y J I H = Gal¤( u )¤ ( u , i ) I Gal ¤( i ) ¤ ( u, i ) = Gal ¤( u )( i ) ¤ ( u, i ) = Gal¤(u ,i ) ¤ ( u, i ) = {Id} Se tiene JH = J ⋅ H = 2 ⋅ 4 = 8 = G ⇒ G = HJ ⇒ G ≅ J ãτ H τ H = 2 ⇒ H = {Id,τ } , ¤ ( u , i ) → ¤ ( u, i ) ^ ¤( u ) Z Irr¤( u ) ( i ) = x 2 + 1 tal que i ∉ ¤ ( u ) τ ( i ) = ±i ∈ ¤ ( u, i ) si τ ≠ Id ⇒ τ ( i ) = −i y τ ( u ) = u ⇒ H = {Id,τ } , con τ ( u ) = u y τ ( i ) = −i J = 4, J = Gal¤(i )¤ ( u, i ) [¤ ( i )(u ) : ¤ ( i )] = [¤ ( u, i ) : ¤ ( i )] = J = 4 ⇒ grIrr¤( i ) ( u ) = 4 4 ⇒ Irr¤( i ) ( u ) = x − 2 4 4 u verifica x − 2 = 0 con x − 2 ∈ ¤ [ x ] ⊂ ¤ ( i ) [ x ] Si ϕ ∈ Gal¤( i ) ¤ ( u , i ) ⇒ ϕ ( u ) = ±u , ±iu y ϕ ( i ) = i, ϕ |¤ = Id entonces J = {Id,σ ,η ,ϕ } tales que: Id σ u i u i η ϕ iu −u −iu i i i ¢ J = 4 ⇒J ≅ 4 ¢ 2 × ¢ 2 σ ( u ) = iu ⇒ σ 2 ( u ) = σ ( iu ) = iσ ( u ) = i ⋅ iu = −u ⇒ σ 2 = η σ 3 ( u ) = σ (σ 2 ( u ) ) = σ ( −u ) = −σ ( u ) = −iu = ϕ ( u ) ⇒ σ 3 = ϕ entonces: - 148 - Notas de Álgebra II Galois - 149 J = {Id,σ ,σ 2 ,σ 3} , σ 4 = Id ⇒ J ≅ ¢ 4 τ σ J < G ⇒ τσ τ −1 ∈ J , u → u → iu =τ τ → { −iu ⇒ τστ −1 = σ 3 τ ( iu ) =τ ( i )u =− iu =σ 3 ⇒ G = τ ,σ , con τ = 2, σ = 4, τστ = σ 3 ⇒ G ≅ D4 luego G = {Id,τ ,σ ,σ 2 ,σ 3 ,στ ,σ 2τ ,σ 3τ } = Gal¤ ¤ ( u , i ) u i Id τ σ σ2 σ3 στ σ 2τ σ3 u i u iu −i i −u i −iu i iu −i −u −i −iu −i τ σ u → u → iu i → −i → −i σ 2τ ( u ) = σ 2 ( u ) = −u = σ 2 ( u ) = τσ 2 ( u ) 2 2 2 ⇒ σ τ = τσ ⇒ σ τ es de orden 2, 2 2 2 2 σ τ ( i ) = σ ( −i ) = −i = σ ( −i ) = τσ ( i ) análogamente στ = τσ 3 , σ 3τ = τσ ⇒ que στ ; σ 3τ son de orden 2 . Los subgrupos de orden 4 son: σ 2 ,τ = {Id,σ 2 ,τ , σ 2τ } ; σ = {Id,σ ,σ 2 , σ 3} ; σ 2 , στ = {Id,σ 2 ,στ ,σ 3τ } La tabla de subgrupos de G es: ¤ ( u, i ) {Id} τ σ 2τ σ2 σ 2 ,τ σ ¤ (u ) σ 3τ στ σ 2 , στ (C ) ( D) ( A) ¤ (i ) (E) (F ) ( B) ¤ σ ,τ (A) [ ¤ ( u ) : ¤] = 4 ⇒ ¤ ( u ) = {a + bu + cu 2 + du 3 : a, b, c, d ∈ ¤} σ 2 ( u ) = −u 2 σ 2 ( u 2 ) = ( −u ) = u 2 ⇒ σ 2 ( a + bu + cu 2 + du 3 ) = a − bu + cu 2 − du 3 = 3 σ 2 ( u 3 ) = ( −u ) = −u 3 = a + bu + cu 2 + du 3 ⇔ b = d = 0 ¤ ( u, i ) σ 2 ,τ ⊂ ¤ (u ) ⇒ ¤ ( u, i ) σ 2 ,τ = ¤ (u ) σ 2 ,τ - 149 - = ¤ (u ) τ |¤( u ) = Id σ2 = {a + cu 2 : a, c ∈ ¤} Notas de Álgebra II Capítulo 5 que es igual a ¤ ( u 2 ) , luego ¤ ( u , i ) - 150 - = ¤(u2 ) σ 2 ,τ (D) Como: σ 2 ,τ I σ = σ 2 ⇒ ¤ ( u , i ) Luego ¤ ( u , i ) (B) ¤ ( u , i ) σ2 σ 2 ,στ = ¤ ( u, i ) σ2 = ¤(u2 , i ) ⊂ ¤ ( u 2 , i ) ⇒ ¤ (u, i ) P ¤ ( u ,i ) σ 2 ,τ ⋅ ¤ ( u, i ) = ¤(u2 , i ) σ 2 ,στ σ σ 2 ,στ = ¤ ( u 2 ) ⋅¤ ( i ) = ¤ ( u 2 , i ) = ¤(u2 , i) στ σ2 ¤ (u 2 , i ) = ¤ (u 2 ) (i ) ⊃ ¤ (u 2 ) ⊃ ¤ u = 4 2 ⇒ u 2 = 2, ⇒ Irr¤ ( u 2 ) = x 2 − 2 ⇒ {1, u 2 } base de ¤ ( u 2 ) sobre ¤ Irr¤ ( i ) = x 2 + 1 ⇒ {1, i} base de ¤ ( u 2 , i ) sobre ¤ ( u 2 ) Luego: ¤ ( u 2 , i ) = {a + bi + cu 2 + diu 2 } : a, b, c, d ∈ ¤ entonces como: τ σ i → −i → −i u 2 → u 2 → −u 2 ⇒ στ ( a + bi + cu 2 + diu 2 ) = a − bi − cu 2 + diu 2 = iu 2 → −iu 2 → iu 2 = a + bi + cu 2 + diu 2 ⇔ b = c = 0 σ 2 ,στ Luego ⇒ ¤ ( u , i ) = ¤ ( iu 2 ) (C ) , ( E ) y ( F ) u −u 1 σ τ στ σ 3τ 2 u2 1 u 1 iu −u 2 1 −iu −u 2 a b c 2 u3 −u 3 −iu 3 iu 3 d i −i ui ui −i u −i −u e f u 2i −u 2 i u 2i u 2i g (C) ¤ ( u, i ) σ 2τ ⇒ b = d = e = g = 0 ⇒ ¤ (u, i ) σ 2τ → base de ¤ ( u , i ) sobre ¤ u 3i ui −u 3 u3 h 3 = {a + cu 2 + fui + hu 3i : a , c, f , h ∈ ¤} ( ui )2 = −u 2 ⇒ ( ui )3 = −u 3i luego como ¤ ( u , i ) σ τ = ¤ ( u 2 , ui, u 3i ) = ¤ ( ui ) . 2 Entonces: ⇒ ¤ ( u , i ) Análogamente: σ 2τ = ¤ ( ui ) ¤ ( u, i ) στ ¤ ( u, i ) σ τ 3 = ¤ ( u ( i + 1) ) = ¤ ( u (1 − i ) ) - 150 - Capítulo 6 Proposición 6.1 Sea E ⊃ K una extensión algebraica, entonces existe un cuerpo F tal que K ⊂ E ⊂ F y : i) F ⊃ K es normal. ii) Si K ⊂ E ⊂ E' ⊂ F y E' ⊃ K es normal entonces E' = F iii) Si E ⊃ K es separable entonces F ⊃ K es de Galois. iv) Si [ E : K ] < ∞ entonces [ F : K ] < ∞ y F está determinada por i) y ii) salvo isomorfismos. F F Demostración i) Sea {uα }α∈I una base de E sobre K y consideremos el E normal Galois conjunto: Sep. S = {IrrK ( uα ) : α ∈ I } y sea F el cuerpo de descomposición y alg. ⇒ de S sobre E. Entonces F es el cuerpo de descomposición K K sobre K ⇒ F ⊃ K es normal (y K ⊂ E ⊂ F ) ii) Si K ⊂ E ⊂ E' ⊂ F y E' ⊃ K es normal ⇒ que todas las raíces de IrrK ( uα ) ∀α ∈ I están en E' ⇒ E' = F . iii) Si E ⊃ K es separable ⇒ IrrK ( uα ) son separables ∀α ∈ I entonces F es el cuerpo de descomposición de polinomios separables ⇒ F ⊃ K es separable (y normal) ⇒ es de Galois. iv) Si [ E : K ] es finito ⇒ I es finito ⇒ S es finito ⇒ [ F : K ] es finito porque si S = { f1 ,..., f m } ⇒ [ F : K ] ≤ ( grf1 )!( grf 2 )!... ( grf m )! < ∞ Si K ⊂ E ⊂ F' y F' verifica i) y ii) , dado uα ∈ E ⊂ F' el IrrK ( uα ) se descompone en F' ⇒ F' contiene un cuerpo de descomposición F0 de S ( F0 = K ( R ) con R el ii) conjunto de las raíces de los f ∈ S ) ⇒ F0 ⊃ K es normal ⇒ F0 = F' ≅ F (ya que dos cuerpos de descomposición son isomorfos). - 151 - Notas de Álgebra II Capítulo 6 - 152 - Definición 6.1 Dada una extensión E ⊃ K entonces al cuerpo de la proposición anterior F llamaremos clausura normal de E ⊃ K . Observación 6.1 f ∈ ¡ [ x ] de grado impar tiene una raíz real ( por Teorema de Bolzano), y además para todo λ ∈£ ⇒ ∃u ∈£ tal que ( ±u ) = λ . 2 Lema 6.2 Si K es un cuerpo infinito, E ⊃ K una extensión separable de dimensión [ E : K ] finita, entonces ∃u ∈ E tal que E = K ( u ) , es decir es simple. Demostración Sea u ∈ E tal que K ⊂ K ( u ) ⊂ E y de manera que [ K ( u ) : K ] sea máximo. Si fuera K ( u ) ≠ E ⇒ ∃v ∈ E \ K ( u ) entonces por ser E ⊃ K algebraica y separable por proposición anterior existe F tal que K ⊂ E ⊂ F y además F ⊃ K es de Galois de dimensión finita ( [ F : K ] < ∞ ) ⇒ que hay una cantidad finita de extensiones intermedias entre K y F ya que por ser la extensión de Galois se tiene que GalK F = [ F : K ] < ∞ ⇒ que tenemos una cantidad finita de subgrupos y por la correspondencia de Galois tenemos una cantidad finita de cuerpos intermedios, entonces si consideramos: K ⊂ K ( u + av ) con a ∈ K son una cantidad finita de extensiones luego por ser K infinito para distintos valores de a tienen que ser la misma extensión. ∃a, b ∈ K , a ≠ b tal que K ( u + av ) = K ( u + bv ) entonces se puede escribir: −1 v = ( a − b ) ( u + av − ( u + bv ) ) ∈ K ( u + av ) y en consecuencia: u = ( u + av ) − av ∈ K ( u + av ) luego: K ( u ) Ø K ( u + av ) con u + av ∈ E y [ K ( u ) : K ] no sería máximo, lo cual es absurdo ⇒ K ( u ) = E . Observación 6.2 No existen extensiones de dimensión 2 sobre £ . Demostración Sea una extensión F ⊃ £ con [ F : £ ] = 2 y consideremos u ∈ F \ £ 2 G5555555H £ ⊂ £ ( u ) ⊂ F ⇒ [ F : £ ( u )] = 1 ⇒ F = £ ( u ) E5555F ≠1 ⇒ Irr£ ( u ) tiene grado 2, sea entonces Irr£ ( u ) = x 2 + px + q con p, q ∈ £ lo que tiene raíces en los complejos ⇒ u ∈£ , lo que es absurdo. - 152 - Notas de Álgebra II Grupo de Galois de Polinomios - 153 - Proposición 6.3 (Teorema fundamental del álgebra) El cuerpo de los complejos es algebraicamente cerrado. Demostración Alcanza con probar que £ no tiene extensiones de dimensión finita. Supongamos que si las hubiera E ⊃ £ , entonces: ¡ ⊂ £ ⊂ E , con ¡ ⊂ E alg. y sep. E55F 2 ya que car ¡ = 0 ⇒ ∃F tal que ¡ ⊂ £ ⊂ E ⊂ F con F ⊃ ¡ de Galois y dimensión finita. Como [£ : ¡ ] = 2 ⇒ 2 | [ F : ¡ ] ⇒ 2 | Gal¡ F , sea H un 2-Sylow de Gal¡ F entonces [ Gal¡ F :H ] es impar ⇒ F H : ¡ es impar, entonces F H ⊃ ¡ de dimensión finita y separable con ¡ infinito ⇒ por el lema que es una extensión simple, o sea F H = ¡ ( u ) y ese u es tal que Irr¡ ( u ) tiene como grado F H : ¡ que es impar ⇒ que el grado del irreducible es uno ya que todo polinomio de grado impar tiene una raíz real u ∈ ¡ ⇒ F H = ¡ ⇒ F H : ¡ = 1 entonces: [ Gal¡ F : H ] = 1 ⇒ H = Gal¡ F = 2m por ser un 2-Sylow Si m > 1 ⇒ como F ⊃ ¡ es de Galois ⇒ F ⊃ £ es de Galois ⇒ Gal£ F = 2m−1 > 1 por corolario 3.16 Gal£ F tiene un subgrupo J de orden 2m− 2 ≥ 1 ⇒ [ Gal£ F : J ] = 2 , pero entonces F J : £ = 2 , contradiciendo la observación ⇒ m = 1 [ F :¡ ] = 2 ⇒ [ F : £ ] = 1 ⇒ £ = E ⇒ que es algebraicamente cerrado. y luego Corolario 6.4 Toda extensión algebraica propia de ¡ es isomorfa a £ . Demostración Sea E Ù ¡ una extensión algebraica. Sea u ∈ E \ ¡ sea v ∈£ raíz de Irr¡ ( u ) ⇒ ∃ un isomorfismo σ : ¡ ( u ) → ¡ ( v ) tal que σ ( u ) = v y σ |¡ = Id. se tiene: 2 G5555555 H ¡ Ø ¡ ( v ) ⊂ £ ⇒ [£ : ¡ ( v )] = 1 ⇒ ¡ ( v ) = £ E5555F ≠1 entonces ¡ ⊂ £ ≅ ¡ ( u ) ⊂ E y E es algebraico sobre £ ⇒ ¡ ( u ) = E y £ ≅ E Notación Si K es un cuerpo, f ∈ K [ x ] notaremos K f al cuerpo de descomposición de f sobre K y G f al grupo de Galois GalK K f . - 153 - Notas de Álgebra II Capítulo 6 - 154 - Observación 6.3 Si las raíces de f son todas distintas en K f ⇒ sus factores irreducibles { g1 ,..., g l } son separables, como K f es el cuerpo de descomposición de { g1 ,..., g l } ⇒ K f ⊃ K es una extensión de Galois. Definición 6.2 Un subgrupo H de S n es transitivo si la acción de H sobre S n es transitiva, es decir si dados ( i , j ) ∈ {1,..., n} ⇒ ∃σ ∈ H tal que σ ( i ) = j . Proposición 6.5 i) G f es isomorfo a un subgrupo de S n si f tiene n raíces distintas en K f . ii) Si f , irreducible es separable de grado n, entonces n | G f y G f ⊂ S n es transitivo. Demostración i) Si las raíces de f sobre K f son u1 ,..., un y σ ∈ G f ⇒ σ ( ui ) = u j para algún j, ∀i . Sea la correspondencia σ → permutación σ que lleva i en j como arriba, es decir: σ ( ui ) = uσ ( i ) Por ser σ inyectiva ⇒ que dicha correspondencia está bien definida. Además esa correspondencia es un morfismo de grupos de G f → S n y es inyectivo porque como K f = K ( u1 ,..., u n ) , si σ ( ui ) = ui y σ ∈ Gal K K f ⇒ σ = Id. ⇒ que el núcleo es la identidad ⇒ inyectivo. ii) G f ⊂ S n con n el grado de f Sea u una raíz de f en K f entonces: K ⊂ K ( u ) ⊂ K f por ser f irreducible ⇒ [ K ( u ) : K ] = n E55555F n entonces n | K f : K y como f es separable y K f cuerpo de descomposición de f sobre K ⇒ la extensión es de Galois K f : K = G f luego n | G f . Sean ui , u j dos raíces de f en K f ⇒ ∃σ 0 : K ( ui ) → K ( u j ) isomorfismo con σ 0 |K = Id. y tal que σ 0 ( ui ) = u j y sabemos que se extiende a: σ :Kf → Kf entonces σ es un automorfismo tal que σ |K = Id. ⇒ σ ∈ G f con σ ( ui ) = u j esto quiere decir viendo a σ ∈ S n que σ ( i ) = j . Corolario 6.7 Si f es irreducible de grado 2 entonces G f ≅ ¢ 2 ( ≅ S2 ) si f es separable y G f = {Id.} en caso contrario. - 154 - Notas de Álgebra II Grupo de Galois de Polinomios - 155 - Demostración S 2 ≅ ¢ 2 el único subgrupo transitivo y de orden un múltiplo de dos es el mismo grupo. Si no es separable f ( x ) = ax 2 + bx + c con a ≠ 0 se tiene que 0 = f ' ( x ) = 2ax + b por lo que carK = 2 y b = 0 entonces f ( x ) = ax 2 + c tiene una raíz doble d ∈ K f tal que d 2 = − c a ( ya que a ( x − d ) = a x 2 − 2 dx + d 2 2 σ ( d ) = d y σ |K = Id. ⇒ G f = {Id.} =0 ) entonces si σ ∈ G f Definición 6.3 Si carK ≠ 2, f ∈ K [ x ] de grado n con n raíces distintas en K f definimos: ∆ = ∏ ( ui − u j ) ∈ K f , u1 ,..., un raíces de f en K f i< j Llamaremos discriminante de f a D = ∆ 2 ∈ K f Ejemplo 6.1 f ( x ) = ax 2 + bx + c entonces: D = ∆ 2 = ( u1 − u 2 ) = ( u1 + u2 ) − 4u1u2 = 2 D= 2 b 2 4c − a2 a b 2 − 4ac a2 Proposición 6.8 Sean K y f como en la definición anterior entonces: i) Si σ ∈ G f ⊂ S n σ ( ∆ ) = sgσ ⋅ ∆ ii) D ∈ K Demostración i) σ ∏ ( ui − u j ) = ∏ ( uσ ( i ) − uσ ( j ) ) = sgσ ⋅ ∏ ( ui − u j ) = sgσ ⋅ ∆ i< j i< j i< j ii) 2 2 σ ∈ G f ⇒ σ ( D ) = σ ( ∆ 2 ) = (σ ( ∆ ) ) = ( ±∆ ) = D luego D ∈ K f Gf = K por ser la extensión de Galois, (corolario 5.18). Corolario 6.9 Sean K y f como en la proposición anterior, la extensión intermedia que corresponde a G f I An en la correspondencia de Galois es K ( ∆ ) . En particular si G f ⊂ An , entonces V∈ K . Demostración - 155 - Notas de Álgebra II Capítulo 6 Consideremos la correspondencia de Galois para subgrupos: G IA ' ( G f I An ) = K f f n = = {u ∈ K f : σ ( u ) = u ∀σ ∈ G f I An } σ ∈ G f ⇒ σ : K f ^ → Z K f K σ ∈ G f I An ⇒ ⇒ σ ∈ An ⇒ σ (V) =V que K y V quedan fijos, luego K (V) queda fijo y K f G f I An ⊃ K (V) . Si ahora consideramos - 156 Gf K K ( V) G f I An ' ( G f I An ) Gal K ( V ) K f Id Kf la correspondencia de Galois para subcuerpos K (V) ' = Gal K (V) K f se tiene que: σ :Kf K f ⇒ σ ∈ Gal K K f = G f K ( V) ↑ ⇒ σ ∈ G f I An ⇒ GalK (V) K f ⊂ G f I An K y como V∈ K (V) ⇒ σ (V) =V⇒ σ ∈ An Pero como las correspondencias dan vuelta las inclusiones se tiene que: (ver figura) GalK (V) K f = G f I An ^ → Z Por otro lado como: An < S n ⇒ G f I An < G f ⇒ K (V ) ⊃ K es de Galois y entonces K (V) es cerrado y se tiene: Gal K G IA K f f n = K f K ( V) f = K ( V ) En el caso particular que G f ⊂ An se tiene que G f I An = G f y por lo ya demostrado K (V) = K f G f I An = Kf Gf = K y entonces K (V) = K ⇒V∈ K . Proposición 6.10 Si carK ≠ 2 y f separable de grado 3, entonces: S Gf = 3 A3 Para ver cual es: G f = A3 ⇔ D = d 2 para algún d ∈ K Demostración G f es transitivo y el orden es múltiplo de 3, como además G f < S3 3 ⇒ G f = A3 porque es normal y es un 3-Sylow ⇒ transitiva y S3 = 6 ⇒ G f = 6 ⇒ G f = S3 Para probar la otra afirmación: ⇐ ) Si D = d 2 para algún d ∈ K como d , ∆ son raíces en K f del polinomio x 2 − D ⇒ d = ±∆ ⇒ ∆ ∈ K ⇒ G f ⊂ A3 ⇒ G f = A3 - 156 - Notas de Álgebra II Grupo de Galois de Polinomios - 157 - ⇒ ) Si G f = A3 ⇒ G f ⊂ A3 ⇒ ∆ ∈ K ⇒ este ∆ es el d de la tesis por ser ∆ 2 = D . Observación 6.4 Si las raíces de f son u1 , u2 , u3 G f tiene los subgrupos A3 , (1, 2 ) , ( 2,3) , (1,3) , las correspondientes extensiones son K ( ∆ ) , K ( u3 ), K (u1 ) , K (u 2 ) . Proposición 6.11 Sea carK ≠ 2,3 , f ( x ) = x3 + bx 2 + cx + d con b, c, d ∈ K tal que tiene tres raíces diferentes en K f . Sea g ( x ) = f ( x − b3 ) ∈ K [ x ] entonces g ( x ) = x 3 + px + q con discriminante D ( f ) D ( f ) = −4 p 3 − 27 q 2 Demostración Si las raíces de f son u1 , u 2 , u3 las de g son de la forma ui + b3 para i = 1, 2,3 ⇒ D ( f ) = D ( g ) . g ( x ) = ( x − b3 ) + b ( x − b3 ) + c ( x − b3 ) + d 3 2 = x 3 −bx 2 + b3 x − b27 + bx 2 − 2 b3 x + b3 + cx − cb3 + d 2 3 2 3 = x 3 + ( c − b3 ) x + d + 827b − cb3 14444244443 1442443 2 3 q p D ( f ) = ( u1 − u2 ) ( u2 − u3 ) ( u1 − u3 ) haciendo cuentas y usando relación entre coeficientes y raíces se llega a que D ( f ) = −4 p 3 − 27 q 2 2 2 2 Ejemplo 6.2 f ( x ) = x3 − 3 x + 1 ∈ ¤ [ x ] es separable por ser car¤ = 0 . Además es irreducible porque si tiene una raíz racional c d ⇒ c |1 y d |1 ⇒ ±1 sería raíz y no lo es. 3 2 D ( f ) = −4 ( −3 ) − 27 (1) = 3 ( 27 ) = 81 = 9 2 ⇒ G f ≅ A3 . Ejemplo 6.3 f ( x ) = x3 + 3 x 2 − x − 1 ∈ ¤ [ x ] Entonces: 3 2 g ( x ) = ( x − 1) + 3 ( x − 1) − ( x − 1) − 1 = x 3 − 3 x2 + 3 x − 1 + 3 x 2 − 6 x + 3 − x + 1 − 1 = x3 − 4 x + 2 Aplicando Eisenstein se tiene que 2 divide a todos los coeficientes menos el primero y su cuadrado no divide al termino independiente, por lo que es irreducible. 3 2 D ( f ) = −4 ( −4 ) − 27 ( 2 ) = 4 ( 64 ) − 4 ( 27 ) = 4 ( 37 ) que no es un cuadrado perfecto, luego G f ≅ S3 . - 157 - Notas de Álgebra II Capítulo 6 - 158 - Grupo de Klein Llamamos grupo de Klein al siguiente grupo: N = {e, (12 )( 34 ) , (13)( 24 ) , (14 )( 23)} ≅ ¢ 2 × ¢ 2 < S4 se tiene que N < S 4 ya que ∀σ ∈ S4 σ (12 )( 34 ) σ −1 = (σ (1)σ ( 2 ) ) (σ ( 3) σ ( 4 ) ) , es un producto de trasposiciones disjuntas de S 4 y como la cantidad de elementos de esta clase son tantos como: C24 6 = =3 2 2 que son las tres que aparecen en el grupo de Klein, entonces σ (12 )( 34 )σ −1 ∈ N . Además podemos ver que N < A4 < S4 con N < S4 ⇒ N < A4 . Proposición 6.12 Sea f de cuarto grado con raíces u1 , u2 , u3 , u4 distintas en K f . Sean α = u1u2 + u3u4 , β = u1u3 + u2u4 , γ = u1u4 + u2u3 entonces K (α , β , γ ) es la extensión intermedia que corresponde a G f I N en la correspondencia de Galois. Es decir GalK (α ,β ,γ ) K f = G f I N . Además: GalK K (α , β , γ ) ≅ Gf Gf I N Demostración Para ver esto último observar que por ser N < S 4 ⇒ G f I N < G f ⇒ que la extensión K (α , β , γ ) ⊃ K es de Galois y por la proposición 5.12 (Teorema de Galois) se tiene dicho isomorfismo. G IN Consideremos K f f está claro que los elementos de N dejan fijo a los α , β , γ por como están definidos los mismos. Falta probar que si σ ∈ G f I N C no deja fijo a los Kf Id. K (α , β , γ ) Gf I N Galois K Gf < α , β , γ . Sea en S 4 σ = (12 ) entonces: σ (β ) = γ ≠ β lo mismo con cualquier otra trasposición. Sea ahora σ = (123 ) entonces σ (α ) = u2u3 + u1u4 ≠ α lo mismo si se tratara de cualquier otro 3-ciclo ( ijk ) Sea σ = (1234 ) entonces σ (α ) = u2u3 + u4u1 ≠ α y lo mismo para cualquier otro 4ciclo ( ijkl ) .Luego: Kf G f IN = K (α , β , γ ) - 158 - Notas de Álgebra II Grupo de Galois de Polinomios - 159 - y por ser la extensión K (α , β , γ ) ⊃ K de Galois, K (α , β , γ ) es cerrado y como la correspondencia de Galois lleva cuerpos cerrados en grupos cerrados, entonces: GalK (α ,β ,γ ) K f = G f I N Definición 6.4 Sea f de cuarto grado con raíces distintas en K f y sean α , β y γ como en la proposición anterior, llamamos resolverte cúbica de f que notamos por R f a: R f = ( x − α )( x − β )( x − γ ) ∈ K (α , β ,γ ) [ x ] Lema 6.13 Si f ( x ) = x 4 + bx3 + cx 2 + dx + e ∈ K [ x ] entonces: R f = x3 − cx 2 + ( bd − 4e ) x − b 2e + 4ce − d 2 (en particular entonces está en K [ x ] ) Demostración Cuentas y relaciones entre raíces y coeficientes. Polinomio de cuarto grado 4 8 4 | G Si f es además irreducible ⇒ f y G f < S 4 entonces: G f = 12 24 ⇒ G f = S 4 • Analicemos el caso G f = 12 ⇒ G f = A4 vamos a probar que el único subgrupo de S 4 de orden 12 es A4 . Supongamos que H < S 4 , H = 12 ⇒ [ S4 : H ] = 2 ⇒ H < S 4 consideremos la proyección canónica: S π : S4 → 4 H σ ÎσH 3 y tomemos un 3-ciclo σ ∈ S 4 entonces como π (σ 3 ) = (π (σ ) ) = Id. es decir si π (σ ) ≠ Id. sería de orden 3, pero S3 H = 2 ⇒ π (σ ) = Id. ⇒ σ ∈ H y como los 3ciclos generan a A4 ⇒ A4 ⊂ H ⇒ A4 = H . • Sea G f = 8 ⇒ G f es un 2-Sylow. El diedral D4 = ( 24 ) ; (1234 ) es un grupo de orden 8 que no es normal en S 4 . El número de 2-Sylow en S 4 tiene que dividir a 3 y como no es normal no puede ser 1 lo que significa que son tres 2-Sylow. - 159 - Notas de Álgebra II Capítulo 6 - 160 - Entonces hay tres 2-Sylow, y los tres son ≅ D4 entonces G f = 8 ⇒ G f ≅ D4 que es transitivo ya que (1234 ) lleva el 1 → k . k • G f = 4 si es generado por un 4-ciclo que es transitivo ⇒ G f ≅ ¢ 4 . En caso contrario sea V = {e, (12 ) , ( 34 ) , (12 )( 34 )} no es transitivo y lo mismo si hay dos trasposiciones disjuntas. Como (12 ) ⋅ (13) = (132 ) que es un 3-ciclos que no puede haber por ser el grupo de orden 4. Si consideramos que {(12 ) , (12 )( 34 )} ⊂ V ⇒ ( 34 ) ∈ V y este caso ya fue analizado. Sea {(12 ) , (13 )( 24 )} ⊂ V y como (12 ) ⋅ (13)( 24 ) = (1324 ) que tiene orden 4 y generaría a G f , pero no estamos en este caso, luego: N Gf ≅ ¢ 4 Observación 6.5 K (α , β , γ ) es el cuerpo de descomposición de R f es decir: K (α , β , γ ) = K R f Proposición 6.14 Sea f irreducible, y m = [ K (α , β , γ ) : K ] entonces (por problema del practico) m | gr ( R f )! ⇒ m | 3! = 6 se tiene: m = 6 ⇔ G f = S4 m = 3 ⇔ G f = A4 m = 1 ⇔ Gf = N ≅ ¢ 4 m = 2 ⇔ Gf = ≅ D4 ⇔ f es irreducible sobre K (α , β , γ ) Demostración Está claro que solo alcanza con hacer todas las implicancias en un solo sentido, elegimos ⇐ , entonces: • Sea G f = S 4 , por ser K (α , β , γ ) ⊃ K de Galois y K ⊂ K (α , β , γ ) ⊂ K f entonces: E55555555F m m = GalK K (α , β , γ ) = Gf Gf I N = S S4 24 = 4 = =6 S4 I N N 4 • G f = A4 en este caso: m= A4 12 = =3 A4 I N 4 - 160 - Notas de Álgebra II Grupo de Galois de Polinomios - 161 - • Gf = N N =1 N entonces G f está generado por un 4-ciclo es decir por ejemplo: m= • Gf ≅ ¢4 G f = (1234 ) , (13 )( 24 ) , (1432 ) , e{ 1442443 144424443 1442443 ∈N σ σ 2∈N σ3 y tenemos ¢4 4 = =2 ¢4 I N 2 lo mismo si G f estuviera generado por otro 4-ciclo. m= • G f ≅ D4 un de las formas de escribir D4 es: D4 = ( 24 ) , (1234 ) { 1442443 entonces D4 = {e, σ ,τ ,τ , τ , στ , στ , στ 2 3 2 σ 3 τ } observamos que σ ,τ ∉ N y si hacemos: στ = ( 24 )(1234 ) = (14 )( 23 ) ∈ N pero στ ⋅ τ = στ 2 ∉ N porque uno pertenece y el otro no, 2 τ 2 = (1234 ) = (13 )( 24 ) ∈ N στ ⋅ τ 2 = στ 3 = (14 )( 23) ⋅ (13)( 24 ) = (12 )( 34 ) ∈ N son cuatro los elementos de la intersección, entonces: 8 m= =2 4 K ⊂ K (α , β , γ ) ⊂ K f , por otro lado GalK (α ,β ,γ ) K f = G f I N = D4 I N = N que es E55555555F 2 transitivo, entonces dadas dos raíces ui , u j distintas de f sabemos que existe un isomorfismo σ ∈ GalK (α ,β ,γ ) K f tal que σ ( ui ) = u j , es decir: σ |K (α ,β ,γ )( ui ) : K (α , β ,γ )( ui ) ^ → K (α , β ,γ ) Z K (α , β ,γ ) ( u j ) luego IrrK (α ,β ,γ ) ( ui ) = IrrK (α ,β ,γ ) ( u j ) ∀i , j = 1,..., 4 ⇒ IrrK (α ,β ,γ ) ( ui ) tiene grado ≥ 4 y f se anula en u1 , u2 , u3 , u4 ⇒ IrrK (α ,β ,γ ) ( ui ) | f como f es mónico ⇒ f = IrrK (α ,β ,γ ) ( ui ) y por lo tanto f es irreducible sobre K (α , β , γ ) . 4 G555555555555 H Por otro lado si G f ≅ ¢ 4 ⇒ K ⊂ K (α , β , γ ) ⊂ K f ⇒ K f : K (α , β , γ ) = 2 E55555555F 2 entonces si fuese f irreducible sobre K (α , β , γ ) se tendría que: - 161 - Notas de Álgebra II Capítulo 6 - 162 - 2 G5555555555555555555 H K (α , β , γ ) ⊂ K (α , β ,γ )( ui ) ⊂ K f lo cual es absurdo. E555555555555555F 4 Ejemplo 6.4 Sea f ( x ) = x 4 + 4 x 2 + 2 ∈ ¤ [ x ] irreducible por Eisenstein. R f = x3 − 4 x 2 − 8 x + 32 = ( x − 4 ) ( x 2 − 8 ) ( 2 ) ⇒ m = 2 y: 2 )( x + 2 − 2 ) entonces f no es irreducible en ¤ ( 2 ) entonces ¤ (α , β , γ ) = ¤ R f = ¤ ( por ser f ( x ) = x 2 + 2 + 2 ∴Gf ≅ ¢ 4 Ejemplo 6.5 f ( x ) = x 4 − 10 x 2 + 4 ∈ ¤ [ x ] es irreducible ya que si tiene una raíz racional c d tiene que ser c | 4 y d |1 ⇒ ±1, ±2, ±4 serán raíces y como f es par alcanza con verificar si los positivos son raíces y se tiene que f (1) , f ( 2 ) , f ( 4 ) ≠ 0 , sea: R f = x3 + 10 x2 − 16 x − 160 = ( x + 10 )( x + 4 )( x − 4 ) ∈ ¤ ( x ) luego m = 1 ⇒ G f = N . Ejemplo 6.6 Sea f ( x ) = x 4 − 5 x 2 + 6 = ( x 2 − 3)( x 2 − 2 ) no es irreducible y para hallar G f de una forma diferente al ejemplo 5.9, como ¤ f = ¤ observamos que en ¤ ⊂ ¤ ya que ( 2 ) ⊂ ¤( ) 2 ( ) ( 2 ) ya que si: = 3 con b ≠ 0 2 a 2 4244 + 2b432 + 2 ab 144 { 2 = 3 ⇒ a = 0 ⇒ 2b = 3 ⇒ b = ± =3 2, 3 2, 3 por ser x 2 − 2 irreducible sobre ¤ 2 ∉ ¤ por otro lado x 2 − 3 es irreducible sobre ¤ (a + b 2 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) 3 2 ∉¤ ( ) entonces ⇒ ¤ 2, 3 : ¤ 2 = 2 y ¤ 2 : ¤ = 2 ⇒ ¤ 2, 3 : ¤ = 4 y como la extensión ¤ 2, 3 ⊃ ¤ es de Galois por ser cuerpo descomposición de un conjunto de polinomios { x 2 − 2, x 2 − 3} separables. ⇒ G f = 4 Sea G f = {e,σ 1 , σ 2 ,σ 3} = {e,σ ,τ ,στ } con σ 2 = τ 2 y στ = τσ y definidos: σ τ στ 2 − 2 2 − 2 3 3 − 3 − 3 - 162 - Notas de Álgebra II Grupo de Galois de Polinomios - 163 - y por lo tanto G ≅ ¢ 2 × ¢ 2 . f Ejemplo 6.7 f ( x ) = x 4 − 2 ∈ ¤ [ x ] es irreducible sobre ¤ entonces: ( R f = x3 + 8 x = x ( x 2 + 8 ) ) ( ) y ¤ (α , β , γ ) = ¤ i 2 ⇒ ¤ i 2 : ¤ = 2 ⇒ m = 2 y entonces: ¢ 4 Gf ≅ D4 Sea u = 4 2 entonces las raíces de x 4 − 2 son u , −u , ui, −ui ⇒ x 4 − 2 es irreducible ( ) sobre ¤ i 2 ya que: 4 ( ) 2 ∈ ¤ i 2 ⇒ 4 2 = a + bi 2 con a, b ∈ ¤ y b ≠ 0 entonces elevando al cuadrado: 2 = a 2 − 2b2 + 2 ab 2i ⇒ a = 0 ⇒ −2b 2 = 2 ⇒ b ∉ ¤ análogamente si 4 ( ) 2i ∈ ¤ i 2 ⇒ 4 2i = a + b 2i con a, b ∈ ¤ b ≠ 0 elevando al cuadrado: − 2 = a 2 − 2b2 + 2 ab 2i ⇒ a = 0 ⇒ 2b 2 = 2 ⇒ b ∉ ¤ lo mismo con las demás raíces. Luego G f ≅ D4 . Ver ejemplo 5.11 donde se muestran todos los subgrupos y los correspondientes cuerpos intermedios. Proposición 6.15 Sea p primo y f ∈ ¤ [ x ] de grado p, irreducible sobre ¤ y tal que tiene p − 2 raíces reales y dos raíces complejas, entonces G f ≅ S p Demostración Como f tiene dos raíces complejas estas tienen que ser conjugadas y por lo tanto existe un isomorfismo τ : £ → £ tal que τ ( z ) = z ⇒ τ ∈ G f y es (viendo a G f < S p ) es una transposición ( ab ) ∈ S p por otro lado como f es irreducible p | G f ⇒ por ser p primo aplicando Cauchy ⇒ existe un elemento de orden p ⇒ existe un p ciclo ( ai1....b....i p −1 ) ∈ G f entonces σ k = ( ab.....) para algún k ⇒ ( ab....) ∈ G f Podemos suponer reordenando las raíces de f si fuera necesario que: (12 ) , (12.... p ) ∈ G f Y como {(1k ) : k = 2,..., p} genera a S p , y: k −k (12... p ) (12 )(12... p ) = ( k + 1, k + 2 ) ∈ G f ∀k = 0,..., p − 2 de esta forma tenemos todas las transposiciones de la forma: - 163 - Notas de Álgebra II Capítulo 6 - 164 - (12 ) , ( 23 ) , ( 34 ) ,..., ( p − 1, p ) y podemos construir (13) = ( 23)(12 )( 23) y por inducción (1, k + 1) = ( k , k + 1)(1, k )( k , k + 1) ∈ G f con k = 2,..., p − 1 ∴G f ≅ S p Ejemplo 6.8 es f ( x ) = x5 − 4 x + 2 ∈ ¤ [ x] irreducible por Eisenstein y haciendo un bosquejo de f ( x ) , por ser f ′ ( x ) = 5 x 4 − 1 4 y 2 x 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 Entonces por tener 3 raíces reales y dos complejas es aplicable la proposición y G f ≅ S5 -4 Ejemplo 6.9 Sea f r ( x ) = ( x 2 + 4 ) x ( x 2 − 4 )( x 2 − 16 ) ... ( x 2 − 4 r 2 ) tal que 2r + 3 es primo. Tenemos que el grado de f r es p = 2r + 3 con p primo y con 2r + 1 raíz reales y dos raíces complejas, entonces es aplicable la proposición ⇒ G f ≅ S p Definición 6.5 Sea K un cuerpo, K ( x1 ,..., xn ) el cuerpo de fracciones del anillo K [ x1 ,..., xn ] , siendo: K ⊂ K ( x1 ,..., xn ) una extensión donde los xi son trascendente sobre K y algebraicamente independientes. Sea σ ∈ S n , existe un único homomorfismo de anillos que seguimos llamando σ : σ : K [ x1 ,..., xn ] → K ( x1 ,..., xn ) tal que σ ( k ) = k ∀k ∈ K y σ ( xi ) = xσ (i ) , y se extiende a σ ∈ Aut ( K ( x1 ,..., xn ) ) por medio de: f σ(f) σ = con g ≠ 0 g σ (g) La aplicación de S n → Aut ( K ( x1 ,..., xn ) ) es un homomorfismo inyectivo, luego: S n ≅ G ≤ Aut ( K ( x1 ,..., xn ) ) Sea S K ( x1 ,..., xn ) = K ( x1 ,..., xn ) - 164 - G Notas de Álgebra II Grupo de Galois de Polinomios - 165 - el cuerpo fijo de G, que llamamos funciones racionales simétricas sobre K en las variables x1 ,..., xn . Observación 6.6 Por el teorema de Artin la extensión S K ( x1 ,..., xn ) ⊂ K ( x1 ,..., xn ) es de Galois y con grupo de Galois isomorfo a S n y como S n es finito entonces la dimensión es n! . Proposición 6.16 Sea G un grupo finito, entonces existe una extensión de Galois con grupo de Galois isomorfo a G. Demostración G es isomorfo a un subgrupo G% de S n donde n = G . Por el Teorema de Cayley G actúa por biyecciones en G con la multiplicación a izquierda: G×G → G x ⋅ y Î xy se induce un morfismo de G → Biy ( G ) ≅ S n que es inyectivo. Sea K un cuerpo S K ( x1 ,..., xn ) ⊂ K ( x1 ,..., xn ) es de Galois con grupo de Galois S n y dimensión finita. G% Sea E = K ( x1 ,..., xn ) entonces: G% = Gal E K ( x1 ,..., xn ) ≅ G y la extensión E ⊂ K ( x1 ,..., xn ) es de Galois. S K ( x1 ,..., xn ) ⊂ E ⊂ K ( x1 ,..., xn ) Definición 6.6 Sea K un cuerpo llamaremos funciones simétricas elementales f1 ,..., f n ∈ S K ( x1 ,..., xn ) a las siguientes: f1 ( x1 ,..., xn ) = x1 + x2 + ... + xn = ∑ xi f 2 ( x1 ,..., xn ) = M f k ( x1 ,..., xn ) = ∑ 1≤ i < j ≤ n 1≤ i ≤ n xi x j M ∑ 1≤ i1 <... <ik ≤n xi1 ...xik Probaremos que K ( f1 ,..., f n ) = S K ( x1 ,..., xn ) para ello veremos el siguiente lema: - 165 - Notas de Álgebra II Capítulo 6 - 166 - Lema 6.17 Sean f1 ,..., f n las funciones elementales en S K ( x1 ,..., xn ) y para 1 ≤ k ≤ n − 1 sean h1 ,..., hk funciones elementales en la variables x1 ,..., xk , dichas funciones h1 ,..., hk ⊂ K ( x1 ,..., xn ) ; entonces las h j son polinomios en las variables f1 ,..., f n , xk +1 ,..., xn con coeficientes en K. Demostración Si k = n − 1 f1 = x1 + ... + xn y entonces h1 = f1 − xn , análogamente: h2 = h1 = x1 + ... + xn−1 ∑ xx i, j≠n i< j i j = f 2 − h1 xn y así sucesivamente: hk = f k − hk −1 xn Aplicando una inducción para atrás. Si vale para k + 1 llamemos a dichas funciones g1 ,..., g k +1 entonces como antes: h j = g j − h j −1 xk +1 Como por hipótesis de inducción los g j son polinomios en f1 ,..., f n , xk + 2 ,..., xn , entonces las h j son polinomios en f1 ,..., f n , xk +1 ,..., xn . Proposición 6.18 Sea K un cuerpo, entonces: S K ( x1 ,..., xn ) = K ( f1 ,..., f n ) Demostración Sea F = K ( f1 ,..., f n ) sabemos que: K ( f1 ,..., f n ) ⊂ S K ( x1 ,..., xn ) ⊂ K ( x1 ,..., xn ) 144444444444424444444444443 grado n ! vamos a probar que [ K ( x1 ,..., xn ) : K ( f1 ,..., f n )] ≤ n ! entonces como: [ K ( x1 ,..., xn ) : K ( f1 ,..., f n )] ≤ 1 [ K ( x1 ,..., xn ) : S K ( x1 ,..., xn )] se tiene que [ S K ( x1 ,..., xn ) : K ( f1 ,..., f n )] = 1 ⇒ S K ( x1 ,..., xn ) = K ( f1 ,..., f n ) [ S K ( x1 ,..., xn ) : K ( f1 ,..., fn )] = Consideremos F ⊂ F ( xn ) ⊂ F ( xn , xn −1 ) ⊂ ... ⊂ F ( x1 ,..., xn ) ⊂ K ( x1 ,..., xn ) entonces tenemos que [ F ( xn ) : F ] ≤ n ya que: g n ( y ) = ( y − x1 )( y − x2 ) ... ( y − xn ) y haciendo cuentas n g n ( y ) = y n − ( x1 + ... + xn ) y n −1 + ... + ( −1) ( x1 x2 ...xn ) ∈ F [ y ] , g n ( xn ) = 0 y es el irreducible de xn en F . Para la extensión F ( xn ,..., xk +1 ) ⊂ F ( xn ,..., xk +1, xk ) probaremos que: - 166 - Notas de Álgebra II Grupo de Galois de Polinomios - 167 - [ F ( xn ,..., xk ) : F ( xn ,..., xk +1 )] ≤ k para ello tomamos el polinomio irreducible: g k ( y ) = ( y − x1 ) ... ( y − xk ) donde los coeficientes son las funciones elementales en las variables x1 ,..., xk , que por el Lema anterior ∈ F ( xk +1 ,..., xn ) ⇒ g k ∈ F ( xk +1 ,..., xn ) [ y ] y g k ( xk ) = 0 . Luego [ F ( x1 ,..., xn ) : F ] ≤ n! ⇒ F = S K ( x1 ,..., xn ) . Corolario 6.19 Sea Pn ( x ) = xn − f1 xn −1 + ... + ( −1) f n ∈ K ( f1 ,..., f n ) [ x ] llamado polinomio general de grado n, como Pn ( x ) = ( x − x1 )( x − x2 ) ....( x − xn ) Entonces el grupo de Galois de Pn sobre K ( f1 ,..., f n ) es: GPn = GalK ( f1 ,..., fn ) K ( x1 ,..., xn ) ≅ S n n Demostración Claramente el cuerpo de descomposición de Pn es: K ( f1 ,..., f n )( x1 ,..., xn ) = K ( x1 ,..., xn ) y como K ( f1 ,..., f n ) = S K ( x1 ,..., xn ) = K ( x1 ,..., xn ) n ⇒ GPn ≅ S n . S Lema 6.20 Sea el conjunto B = { x1i1 x2i2 ...xnin : 0 ≤ ik < k , ∀k = 1,..., n} es una base de K ( x1 ,..., xn ) sobre S K ( x1 ,..., xn ) . Demostración Primero que nada # B = n! ya que tenemos k valores posibles para ik luego # B = 1 × 2 × 3 × ... × k × ...× n = n ! Por la observación 6.6 se cumple: (1) [ K ( x1 ,..., xn ) : S K ( x1 ,..., xn )] = n ! y por lo visto en la proposición 6.18 se cumple que: (2) [ K ( f1 ,..., fn , xn ,..., xk ) : K ( f1 ,..., fn , xn ,..., xk +1 )] ≤ k Para que se cumpla (1) ⇒ que en (2) se tienen que cumplir todas las igualdades. Entonces como K ( f1 ,..., f n , xn ) ⊃ K ( f1 ,..., f n ) es una extensión simple, el conjunto {x in n : 0 ≤ in < n} es una base de K ( f1 ,..., f n , xn ) sobre K ( f1 ,... f n ) = S K ( x1 ,..., xn ) . De igual manera el conjunto { xkik : 0 ≤ ik < k } es una base de K ( f1 ,..., f n , xn ,..., xk ) sobre K ( f1 ,..., f n , xn ,..., xk +1 ) , generalizamos por inducción y multiplicando las bases se tiene { x1i1 x2i2 ...xnin : 0 ≤ ik < k ,∀k = 1,..., n} es una base de K ( x1 ,..., xn ) sobre K ( f1 ,..., f n ) = S K ( x1 ,..., xn ) . - 167 - Notas de Álgebra II Capítulo 6 - 168 - Proposición 6.21 Sea K un cuerpo y f1 ,..., f n las funciones simétricas elementales en K ( x1 ,..., xn ) , entonces: i) Todo polinomio P ∈ K [ x1 ,..., xn ] , se puede escribir de manera única como combinación lineal de los n! elementos de B del lema anterior con coeficientes en K [ f1 ,..., f n ] . ii) Todo polinomio P ∈ K [ x1 ,..., xn ] simétrico, entonces P ∈ K [ f1 ,..., f n ] . Demostración k Sea g k ( y ) = ( y − x1 )( y − x2 ) ....( y − xk ) = y k − h1 y k −1 + ... + ( −1) hk siendo h j los mismos que consideramos en la proposición 6.17, que de acuerdo a la misma son polinomios en las variables f1 ,..., f n , xn ,..., xk +1 , y como g k ( xk ) = 0 se puede despejar xkk : xkk = h1 xkk −1 + .... − ( −1) hk k y así resulta que xkk se expresa como un polinomio sobre K en las variables f1 ,..., f n , xn ,..., xk +1 y en xkik con 0 ≤ ik < k . Si procedemos paso a paso empezando por k = 1 y sustituimos las xkk en el polinomio P ∈ K [ x1 ,..., xn ] se obtiene un polinomio en f1 ,..., f n , x1 ,..., xn donde los exponentes de xk son menores que k, es decir que P es combinación lineal de los n! elementos de B con coeficientes en K [ f1 ,..., f n ] . La unicidad se desprende del hecho de que los elementos de B son una base sobre S K ( x1 ,..., xn ) = K ( f1 ,..., f n ) ⇒ los elementos de B son linealmente independientes sobre K ( f1 ,..., f n ) .Esto prueba i) y también implica que si un polinomio P ∈ K ( x1 ,..., xn ) es una combinación lineal de los elementos de B con coeficientes en K ( f1 ,..., f n ) entonces los coeficientes son de hecho polinomios en K [ f1 ,..., f n ]. En particular si P es un polinomio simétrico (esto es que P ∈ S K ( x1 ,..., xn ) = K ( f1 ,..., f n ) ) y escribiendo P = Px10 x20 ....xn0 se tiene que en realidad por lo antes dicho que P ∈ K [ f1 ,..., f n ]. - 168 - Apéndice A Construcciones con regla y compás Supongamos que disponemos solo de una regla, sin marcas y un compás donde podemos hacer uso de la regla solo para construir una recta de la que conocemos dos puntos y el compás para construir una circunferencia de la que conocemos el centro y un punto de la misma. Definición A.1 Sea P un subconjunto de ¡ 2 conteniendo por lo menos dos puntos distintos. Diremos que una recta r ∈ ¡ 2 es una recta de P si r contiene dos puntos distintos en P, y diremos que una circunferencia C ∈ ¡ 2 es una circunferencia de P si C tiene su centro, y un punto en P. Definición A.2 Llamaremos operaciones elementales en P a las siguientes operaciones: I) Intersección de dos rectas en P. II) Intersección de una recta de P y una circunferencia de P. III) Intersección de dos circunferencias de P. Definición A.3 Un punto P ∈ ¡ 2 se dice constructible a partir de P si podemos determinar P a través de una de esas operaciones elementales en P. Denotamos por P al subconjunto de puntos de ¡ 2 que son construtible a partir de P. Sea P0 = {O,A} siendo O ( 0,0 ) ; A (1,0 ) ⇒ P0 = {O,A,B,C,D,E} con B ( −1, 0 ) , 1 3 1 3 C ( 2, 0 ) y D , ; E ,− y llamaremos P1 = P0 2 2 2 2 P2 = P1 ,....,Pn+1 = Pn ∀n ∈ ¥ - 169 - y así sucesivamente Notas de Álgebra II Apéndice A - 170 - ∞ Cada Pn es finito ∀n ∈ ¥ y si definimos P∞ = UPn , P∞ es obvio que es infinito y n =1 que P∞ = P∞ . Definición A.4 Los puntos del plano perteneciente a P∞ son llamados puntos constructibles y las rectas en P∞ esto es conteniendo dos puntos distintos constructibles son llamadas rectas constructibles Definición A.5 Un número real a se dice constructible si ( a, 0 ) ∈P∞ . Proposición A.1 i) Si A y B son dos puntos distintos constructibles, entonces el punto medio M del segmento que determinan es también constructible y la rectas perpendiculares a AB por A, B y M son constructibles. ii) Sean A y r punto y recta respectivamente constructibles tales que A ∈ r , si B y C son puntos constructibles, entonces existe un punto constructible X tal que X ∈ r y los segmentos AX y BC tienen la misma longitud. Demostración i) Usando las circunferencias centradas en cada punto y que pasa por el otro, como en la figura, construimos los puntos C, D, E , F y por lo tanto la recta CD es constructible. M queda construido por la - 170 - Notas de Álgebra II Construcciones con regla y compás - 171 - intersección de dos recta CD y AB constructibles. Para las perpendiculares por A y B procedemos en forma análoga teniendo presente que A es punto medio de EB y B es punto medio de AF. ii) Si construimos primero el punto de intersección de BC con r (P) haciendo circunferencias de centro en P que pasen por B y C, construimos los punto B’ C’ pertenecientes a r tales que la longitud del segmento BC es igual a la del segmento B’C’. Luego podemos suponer que los puntos A, B y C pertenecen a r. Sea M el punto medio de BC construido como en la parte a) y haciendo la circunferencia de centro B que pase por A obtenemos un punto N tal que AB = BN ( esto es que los segmentos AB y BN tienen la misma longitud). Construimos la circunferencia de centro M que pase por N y construimos el punto X como intersección de dicha circunferencia con la recta r. Tenemos así XM = MN , luego este punto X es la solución porque: BM = MC y ⇒ BX = NC XM = MN entonces AX = AB + BX = BN + NC = BC . Observación A.1 Dados un punto y una recta constructibles que no se pertenecen, se puede construir la perpendicular por el punto a la recta, construyendo primero la circunferencia de centro el punto y que pase por un punto de la recta, determinando con la intersección de dicha circunferencia y la recta un segmento, al cual como en la proposición anterior construimos el punto medio, el punto dado y éste punto nos determinan la perpendicular deseada. Proposición A.2 i) Sean A, B y C tres puntos constructibles no alineados. Entonces existe un punto constructible D, tal que A, B, C, y D forman un paralelogramo. En particular la recta paralela a AB pasando por C es constructible. - 171 - Notas de Álgebra II Apéndice A - 172 - ii) Un punto A = ( a, b ) ∈ ¡ 2 es constructible si y solo sí sus coordenadas a, b ∈ ¡ son números constructibles. Demostración Sean r y s las recta constructibles determinadas por los puntos AB y AC. Aplicando ii) de la proposición anterior construimos el punto X ∈ r tal que BX = AC y con el mismo procedimiento construimos un punto Y ∈ s tal que CY = AB . Ahora al punto D lo construimos como intersección de las circunferencias C1 de centro B que pasa por X y la circunferencia C2 de centro C que pasa por Y. ii) ⇒ Sea A = ( a, b ) un punto constructible y sea M el punto medio de OA. El punto A x ( a ,0 ) se obtiene con intersección de la circunferencia de centro en M y que pasa por A con la recta OP con O = ( 0,0 ) y P = (1, 0 ) La misma circunferencia interceptada con la perpendicular por O, es el punto A1 de coordenadas ( 0,b ) ii) ⇐ Supongamos a, b ∈ ¡ constructibles, esto es que los puntos son constructibles. ( a , 0 ) y ( b, 0 ) Construimos el punto ( 0,b ) interceptando la circunferencia de centro en O y que pasa por ( b, 0 ) con la recta perpendicular a la recta determinada por los puntos dados, y luego como sabemos construir perpendiculares se construye el punto ( a, b ) . Proposición A.3 Sea C¡ = { x ∈ ¡ : x es constructible} es un subcuerpo de ¡ que contiene a ¤ . Demostración Sabemos que ¢ ⊂ C¡ . Tenemos que probar: 1) Si a, b ∈C¡ ⇒ a − b ∈C¡ 2) Si a, b ∈C¡ ⇒ a ⋅ b ∈C¡ - 172 - Notas de Álgebra II Construcciones con regla y compás - 173 - 3) Si 0 ≠ a ∈C¡ ⇒ a −1 ∈C¡ Vamos a asumir sin perdida de generalidad que b > a > 0 Consideremos A = ( a, 0 ) , B = ( b,0 ) Por la proposición A.1 ii) podemos construir X sobre la recta OU (siendo O = ( 0,0 ) y U = (1, 0 ) ), tal que OX = AB y así X = ( b − a, 0 ) . Antes que nada observe que existen rectas constructibles que pasan por O distintas de las rectas OU y OT siendo T = ( 0,1) Sea r una de esas rectas constructibles como en la figura de más abajo. Construimos la perpendicular a r por A y por U e interceptamos con r para obtener el punto A’ y U’ luego construimos la paralela a UA’ por U’ y la interceptamos con OU, y así obtenemos X. Que por semejanza se tiene: OA OA' OU a= = = OU OU' OX 1 luego OX = lo que a prueba 3) Construimos ahora la perpendicular por B a la recta r determinando B’, construimos la paralela por A a UB’ interceptando a r en A’’, luego construimos la perpendicular a r por A’’ interceptando a OU en Y, El punto Y es tal que por semejanza: OA OA'' OY OY a= = = = ⇒ OY = a ⋅ b OU OB' OB b Lo que prueba 2). Definición A.6 Sea P = ( u , v ) ∈Pn diremos que u , v son coordenadas de Pn y denotamos por Cn el conjunto de todas las coordenadas de Pn . Sabemos por la proposición A.3 que Cn ⊂ C¡ , ∀n ∈ ¥ . Así por ejemplo C0 = {0,1} ; C1 = {0,1, −1, 12 , 3 2 ,− 3 2 , 2} Sea K 0 = ¤, K1 = ¤ (C1 ) , K 2 = ¤ (C2 ) ,..., K n = ¤ (Cn ) ,.... Como C0 ⊂ C1 ⊂ ... ⊂ Cn ⊂ .... ⊂ C¡ y ¤ ⊂ C¡ tenemos: ¤ = K 0 ⊂ K1 ⊂ .... ⊂ K n ⊂ K n+1 ⊂ ... ⊂ C¡ . - 173 - Notas de Álgebra II Apéndice A - 174 - Obsérvese también que si a ∈C¡ entonces ( a,0 ) ∈Pn para algún n esto es a ∈Cn para algún n, y por lo tanto a ∈ K n . Luego: ∞ K ∞ = U K n = C¡ n= 0 Esta interpretación de C¡ la usaremos en la siguiente proposición. Proposición A.4 C¡ es una extensión algebraica de los racionales tal que ∀α ∈C¡ tenemos que [ ¤ (α ) : ¤ ] es una potencia de 2. Demostración Basta probar que ∀α ∈C¡ se tiene [¤ (α ) : ¤ ] = 2 s para algún s ∈ ¥ . ∞ Como α ∈C¡ = U K n ⇒ ∃n ∈ ¥ tal que α ∈ K n = ¤ (Cn ) . Por la proposición 4.2 n =0 [¤ (α ) : ¤] divide a [ K n : ¤] entonces es suficiente demostrar que [ K n : ¤] = 2s para algún s ∈ ¥ . Vamos a probar que [ K n : ¤] es una potencia de 2 por inducción completo sobre n Si n = 0 tenemos que K 0 = ¤ La proposición es válida. Observe además que si n = 1 tenemos que K1 = ¤ ( 3 ) y la proposición es también válida. Supongamos ahora que [ K i : ¤] es una potencia de 2 ∀i tal que 0 ≤ i < n , vamos a probar que [ K n : ¤] es también una potencia de 2. Como K n −1 ⊂ K n y [ K n : ¤] = [ K n : K n −1 ] ⋅ [ K n −1 : ¤] luego es suficiente si probamos que [ K n : K n−1 ] es potencia de 2 para probar la proposición. Sea L = K n y L0 = K n−1. Sabemos que: L = L0 (Cn ) , si Cn = {α1 ,...,α k } ⇒ L = L0 (α1 ,...,α k ) Si denotamos L0 ⊂ L1 = L0 (α1 ) ⊂ L2 = L1 (α 2 ) ⊂ ... ⊂ Li = Li −1 (α i ) ⊂ ... ⊂ Lk = L entonces es suficiente si probamos que [ Li : Li −1 ] es potencia de 2. Li = Li −1 (α i ) y α i ∈Cn ⇒ ∃β i ∈Cn tal que Ai = (α i , β i ) o Bi = ( β i ,α i ) ∈Pn , Sin perdida de generalidad supongamos que Ai = (α i , β i ) ∈Pn . Como Pn = Pn −1 ⇒ A i = (α i , β i ) es obtenido por una de las tres operaciones elementales en Pn−1 .Se puede demostrar sin grandes dificultades que α i tendrá que satisfacer una ecuación de grado menor o igual a 2 (será de grado uno si la operación elemental es la I) con coeficientes sobre el cuerpo K n−1 = ¤ (Cn−1 ) . Ahora como K n −1 = L0 ⊂ Li −1 1 ≤ i ≤ k ⇒ α i es raíz de un polinomio de grado uno o 2 sobre el cuerpo Li −1 ⇒ [ Li : Li −1 ] = 1 o 2 como queríamos demostrar. - 174 - Notas de Álgebra II Construcciones con regla y compás - 175 - Proposición A.5 i) No existe α ∈C¡ tal que el volumen del cubo de arista α sea el doble del volumen del cubo de arista 1. ii) No existe α ∈C¡ tal que el área del cuadrado de lado α sea igual al área del círculo de radio 1. iii) Es imposible trisecar un ángulo de 60° con regla y compás (regla sin marcas) Demostración i) Claramente α 3 = 2, o sea Irr¤ (α ) = x 3 − 2 ⇒ [¤ (α ) : ¤ ] = 3 entonces por la proposición anterior α no es constructible. ii) Como α 2 = π y como π es trascendente sobre ¤ ⇒ π ∉C¡ y por tanto α ∉C¡ . 2π 2π π 1 iii) Sea θ = ⇒ 3θ = = y como cos3θ = y por otro lado: 18 6 3 2 1 cos3θ = 4cos3 θ − 3cosθ = ⇒ 8cos3 θ − 6cosθ − 1 = 0 2 2π es raíz del polinomio p ( x ) = 8x 3 − 6 x − 1 y p es y por lo tanto u = cos 18 irreducible sobre ¤ ⇒ [ ¤ ( u ) : ¤] = 3 ⇒ que u no es constructible, entonces θ no es constructible porque de serlo tendría que ser u = cosθ constructible. Proposición A.6 i) Todo polígono regular de n = 2r lados es constructible. ii) Si un polígono regular de n lados es constructible entonces el polígono regular de 2n lados, también es constructible. iii) Si p es un número primo ≥ 3 ,si un polígono regular de p lados es constructible, s entonces existe s ∈ ¥ tal que p = 22 + 1. En particular el heptágono regular no es constructible. Demostración Los itens i) y ii) es consecuencia de los siguientes casos: a) El cuadrado es un polígono constructible. b) Es posible bisecar un ángulo con regla y compás 2π 2π iii) Como cos es constructible, entonces se sigue ,sen p p 2π 2π [ ¤ (α , β ) : ¤] = 2m donde α = cos y β = sen . p p m+1 2 Ahora como [ ¤ (α , β , i ) : ¤] = 2 (con i = −1 ) donde ¤ (α , β , i ) ⊂ £. 2π 2π + isen = α + i β ∈ ¤ (α , β , i ) entonces: p p ¤ (ζ ) ⊂ ¤ (α , β , i ) y [ ¤ (ζ ) : ¤] = 2 r para algún r ∈ ¥ Ahora sea ζ = cos - 175 - que Notas de Álgebra II Apéndice A - 176 - Observar que ζ es la raíz p-esima de la unidad distinto de uno, entonces: Sabemos que Irr¤ (ζ ) = x p −1 + x p −2 + ... + x + 1 y por tanto p − 1 = 2r ⇒ p = 2 r + 1 Vamos a probar que r = 2 s para algún s ∈ ¥ . Supongamos que t es un factor impar de r mayor que 1 entonces r = t ⋅ v y: p = 2r + 1 = ( 2v ) + 1 donde t es impar mayor que 1 t entonces: p = ( 2v + 1) ( 2v ) contradiciendo el caso de que p es primo. t −1 − ( 2v ) t −2 + ... ± 1 Proposición A.7 (Teorema de Gauss) Un polígono regular de n lados es constructible si y solo sí n = 2 r ⋅ p1.... pk donde r ∈ ¥ y p1 ,..., pk son primos distintos impares de la forma pi = 22 + 1, 1 ≤ i ≤ k , si ∈ ¥. si s Los números Fs = 2 2 + 1 son llamados números de Fermat. - 176 - Índice alfabético Acción 73 Acción fiel 76 Acción por conjugación 80 Acción por traslación 83 Acción transitiva 76 Acción trivial 75 Algebraicamente cerrado 119 Algebraico 108 Anillo conmutativo 103 Asociativa 1 Automorfismo 16 Base 70 Buena clase 115 Característica de un cuerpo 106 Ciclo de longitud r 49 Clase de conjugación de un elemento 58 Clausura algebraica 122 Clausura Normal 152 Coclase a derecha 25 Coclase a izquierda 25 Conjunto cociente a derecha 26 Conjunto cociente a izquierda 27 Conjunto de representantes 28 Conjunto generador 12 Conmutan 2 Constructible 153 Coordenadas 173 Cuerpo 103 Cuerpo algebraicamente cerrado 120 Cuerpo cerrado 138 Cuerpo compuesto 105 Cuerpo de descomposición 119 Cuerpo estable 133 Cuerpo extendible 139 Cuerpo intermedio 105 Cuerpo primo 105 - 177 - Discriminante de f 155 Divisores elementales 71 Ecuación de las clases 82 Elemento separable 144 Elementos conjugados 57 Endomorfismo 16 Epimorfismo 16 Escinde 119 Estabilizador 78 Extensión algebraica 108 Extensión de cuerpos 104 Extensión de Galois 132 Extensión finita 104 Extensión finitamente generada 106 Extensión infinita 104 Extensión normal 143 Extensión separable 144 Extensión simple 107 Extensión trascendente 108 Factores invariantes 71 Finitamente generado 70 Finitamente generado 12 Funciones racionales simétricas sobre un cuerpo 164 Funciones simétricas elementales 165 G-actúa en X 73 G-conjunto 73 G-estable 76 Grado de una extensión 104 Grupo 4 Grupo abeliano 4 Grupo abeliano libre 70 Grupo alternado 56 Grupo cíclico 19 Grupo de Galois 127 Grupo de isotropía 78 Grupo de Klein 157 Grupo definido por los generadores 66 Grupo libre 60 Grupo simétrico 47 Grupo simple 57 Inclusión 19 Indice 27 Inverso 4 Invertible 3 Isomorfismo 16 Ley de Composición 1 Modulo H 24 Monoide 2 Monoide conmutativo Monomorfismo 15 Morfismo de cuerpo 104 Morfismo de Grupos 14 Neutro 1 Normalizador 82 Número constructible 170 Operación binaria 1 Operaciones elementales 169 Orbitas 78 Orden de un elemento 12 Orden de un grupo 5 Palabra reducida 61 Permutación impar 56 Permutación par 56 Permutaciones 47 Permutaciones disjuntas 50 p-grupo 91 Polinomio de cuarto grado 159 Polinomio irreducible 108 Polinomio separable 144 Primer teorema de isomorfismo 40 Primer teorema de Sylow 93 Producto directo de Grupos 18 Producto semidirecto 87 Proyección 19 p-subgrupo de Sylow 91 - 178 - Punto fijo 80 Puntos constructibles 169 Rango 70 r-ciclo 49 Recta constructible 170 Representación de un grupo 66 Resolverte cúbica de f 158 Segundo teorema de isomorfismo 42 Segundo teorema de Sylow 95 Semigrupo 2 Subcuerpo 103 Subcuerpo generado 105 Subgrupo 9 Subgrupo cíclico generado por a 11 Subgrupo de Galois cerrado 133 Subgrupo de torsión 70 Subgrupo normal 35 Subgrupo normal generado 66 Subgrupo transitivo 154 Subgrupos de Sylow 90 Subgrupos propios 10 Subgrupos triviales 10 Submonoide 3 Teorema de Artin 143 Teorema de Cauchy 95 Teorema de Galois 140 Teorema de Gauss 176 Teorema de Lagrange 30 Teorema fundamental del álgebra 153 Tercer teorema de isomorfismo 43 Trascendente 107 Trasposición 49