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CAPACITORES.
Un capacitor es un dispositivo de dos terminales, consiste en cuerpos conductores
separados por un material no conductor que se conoce con el nombre de aislante o dieléctrico. El
símbolo del capacitor se muestra en la figura 64.
A causa del dieléctrico las cargas no pueden moverse de un cuerpo conductor a otro
dentro del dispositivo, estas pueden transportarse a través de un circuito externo, conectado
entre las terminales del capacitor.
i
Para describir la relación carga-voltaje del capacitor transferimos carga de una placa a
otra, supongamos que por medio de un circuito externo tomamos una pequeña carga ∆ de la
placa inferior a la placa superior. Este deposita una carga + ∆ en la placa superior y deja una
carga -∆ en la placa inferior, entonces la capa superior se eleva a un potencial con respecto a la
placa inferior ∆. Cada ∆ que transfiéranos incrementa la diferencia de potencial.
La carga del capacitor (46) es directamente proporcional a la diferencia de potencial, esto
significa que una variación en el voltaje V entre las terminales corresponde a una variación de
carga q en el capacitor.
q = CV
Donde c es una constante de proporcionalidad conocida como capacitancia y su unidad es
el Faradio (F) =
.
Diferenciando la ecuación (46) tenemos:
i = = C .
De la ecuación (47) observamos que si V es constante entonces la corriente i es igual a
cero.
Concluimos de lo anterior que: Un capacitor actúa como un circuito abierto ante el voltaje
de corriente directa (cd).
EJEMPLO
Un voltaje el cual se incrementa linealmente de 0 a 1V en segundos, ver figura 65, se aplica a
un capacitor de 1F, hallar la corriente en el capacitor.
V = 0
V = at
t ≤ 0
0 ≤ t ≤ V 1
t " Si el voltaje anterior se aplica a las terminales de un capacitor de un faradio de la
corriente, como muestra la figura 66.
t 0
i 0
0 # $ # t % i a
Figura 66
i 0
Encontramos v(t) en términos de i(t) integrando la ecuación (47) dv vt Donde:
V0 t / (- )*$ + , t / .
idt obtenemos:
(48)
- voltaje en el capacitor con un tiempo t / .
. La ecuación (48) también puede escribirse como la integral indefinida mas una constante
de integración.
V0 t Si se toma t / = - y se supone que V0 t ( )*$ + k
(2 )*$
9.1 Almacenamiento de energía de los capacitores.
El voltaje entre las terminales de un capacitor esta acompañado por la separación entre
sus placas. Estas cargas tienen fuerzas eléctricas que actúan sobre ellas, un campo eléctrico se
define como la fuerza que actúa sobre unidad de carga positiva.
La energía acumulada en un capacitor esta almacenada en el campo eléctrico.
w0 t 4 5 *$ 4 ,) *$ 4 ,6
2
Puesto que v9∞ w0 t 2
8
2
*,
1
*$ C 4 , *, 6, 8 t 4
*$
2
2
2
0 entonces podemos escribir:
6, 8
(50)
9.2 Conexión de capacitores.
9.2.1 Capacitores en serie.
Consideramos una conexión en serie de N capacitores, ver figura 67:
Aplicando la segunda ley de Kirchoff
tenemos:
Figura 67
vt 1
>6
1
+
v v1 + v2 + … + vn
Sustituyendo la ecuación (48) en la (51):
$
$
1
1
( ; *$ + ,1 t0 + 6 (t ; *$ + ,2 t0 61 t0
0
2
$
1
1
+
⋯
+
)
*$
+
,
t
@ (t
1 0 + v2 t0 +
62
6=
0
vt0 es el voltaje en Cs en t = t / .
B
C
+
D
+ …+
E
– ∑I
JK
+…+
1
6=
… + vN t0 (51)
(t ; *$ $
0
H
(52)
Para el caso cuando dos capacitores se encuentran conectados en serie:
CL C D
C MD
¿Cuál será la formula cuando hay conectados tres capacitores en serie?
9.2.2
Capacitores en paralelo.
Figura 68
Aplicando la primera ley de Kirchoff tenemos, figura 68:
i i + i8 + … + iO C
+ C8
+ . . . + CR
i C + C8 + … + CO i CS
Cp C + C8 + … + CO
∑I
JK 6O
(53)
10 INDUCTORES.
Un inductor es un dispositivo de dos terminales que consiste en un alambre conductor
embobinado. Una corriente que fluya a través de este dispositivo produce un flujo magnético el
cual forma trayectorias cerradas, ver figura 69.
Supongamos que la bobina tiene N
vueltas y que el flujo magnético Φ pasa a
través de cada vuelta. El flujo total se conoce
comúnmente como flujo total concatenado o
Figura 69
enlazado (54).
λ NΦ
(54)
En un inductor lineal, el acoplamiento por flujo es directamente proporcional a la corriente
que lo produce:
(55)
λ Li
Donde L es la constante de la proporcionalidad conocida como inductancia en webers por
Amperio. Su unidad es el Henrio (H).
En la ecuación (55) vemos que un incremento en i produce un incremento en λ, el cual
genera un voltaje en la n-ésima vuelta de la bobina.
De esta manera, el voltaje es igual a la razón de cambio en el tiempo del flujo magnético
total.
v V
L
(56)
La ecuación (56) muestra que si i es constante, entonces el voltaje es igual a 0. Por lo
tanto, un inductor actúa como un corto circuito ante la corriente de corriente directa (cd).
Por otro lado, mientras i cambie con mayor rapidez, mayor será el voltaje que aparezca
entre las terminales del inductor.
Encontramos ahora la corriente i(t) en términos del voltaje v(t).
Integrando la ecuación (56) tenemos:
iW t X
(- X $ dt + it / .
57
Si aceptamos que t / 9 e iW 9∞ 0, entonces:
iW t X
(2 X $ dt
(58)
10.1 Conexión de los inductores.
10.1.1 Conexión en serie.
v v1 + v2 + … + vn
Aplicando la segunda ley de Kirchoff, ver figura 70:
v L1
*)
*$
+ L2
*)
*$
+ … + L`
v L1 + L2 + … + LN Figura 70
v Ls
*)
*$
*)
*$
*)
*$
∑a
=1 Ln
Ls L1 + L2 + … + Ln
*)
*$
(59)
10.1.2 Conexión en paralelo
Aplicando la primera ley de Kirchoff, ver
figura 71:
i i + i8 + … + iO
it (- *$+
.
Figura 71
( *$+ i
XC -.
(t) +
( *$+ i8 (t)
XD - .
+ … + i(t) +
i (t / ) + i8(t / ) + … + iO (t0)
it ∑I
(- *$ + it / JK
it
X[
=
( *$+ iO
XE - .
X[
.
( *$ + it / X[ -.
+ +…+
= ∑I
JK X
XC
XD
XE
H
(t) = (
XC
+
XD
+…+
XE
(60)
10.2 Almacenamiento de energía en los inductores.
Una corriente i que fluye a través del inductor produce un flujo concentrado total λ. Para
establecer el flujo Φ en el inductor es necesario un trabajo. El trabajo o energía se almacena en el
campo magnético.
wW t (2 i dt (2 \ i dt L (2 ) *) L
La energía almacenada en el inductor esta dada por:
wW t L
]D
8
t (K 2
como i9∞ 0 entonces
]D
8
^2_
wW t 11
8
L i8 t
(61)
Leyes de la conmutación
En las redes eléctricas pueden conectarse o desconectarse las ramas activas o pasivas, en
ellas pueden ocurrir cortos circuitos en algunas partes, diferentes tipos de interrupción, cambios
repentinos de los parámetros, etc.
Como resultado de estos cambios, denominados conmutaciones (que ocurren
instantáneamente) en los circuitos, surgen los procesos transitorios que terminan pasado un
tiempo (teóricamente en un tiempo infinito) después de la conmutación.
A continuación formu8lamos las dos leyes de la conmutación:
11.1
Primera ley de la conmutación
El voltaje que aparece en las terminales de un capacitor lineal siempre debe ser una
función continua.
v0 0 v0 0 v0 0M)
Donde: v0 (0 ) = lim→2 Vt , el valor limite de v0 (t) cuando t se
t # 0
Aproxima a 0 desde valores de t > 0, es decir, desde “arriba”.
Cualquier cambio abrupto o instantáneo en el voltaje requiere que una corriente infinita
fluya a través del capacitor, el cual requiere una potencia infinita en las terminales del capacitor, lo
que es físicamente imposible.
De tal manera que los cambios abruptos de o instantáneos en el voltaje a través del
capacitor no son posibles.
Primera ley de conmutación: El voltaje en el capacitor conserva en el momento de la
conmutación, la magnitud que tenía antes de la conmutación y después cambia empezando de la
magnitud.
En la figura 72 analizaremos los cambios de voltaje en los elementos del circuito para los
instantes t = 0-, t = 0M y t =∞.
Figura 72
El esquema de figura 72 para un t = 0 nos queda de la misma forma, por lo tanto en:
v0 0 VfK8Ώ
t = 0
VfK8Ώ
VfKhΏ 0
Tomando en cuenta la primera ley de la conmutación, tenemos:
t 0M
v0 0 v0 0M 0
Por lo tanto, el voltaje es igual a cero y significa un corto circuito.
El esquema de la figura 72 para un t = 0M queda de la forma en que se muestra 73.
VfK8Ώ = VfKhΏ = 20
VR2Ώ = 20 – 12 3
2+3
8V
12 V
Figura 73
El esquema para un t = ∞ queda como en la figura 74.
VR4Ώ = 0
VR2Ώ = 20
2
2+12
VR12Ώ = Vc 20
2.857 V
12
12+2
17.143 V
Figura 74
11.2
0
0M
Segunda ley de conmutación
La corriente circula por un inductor lineal siempre debe ser una función continua.
(63)
iW 0 iW 0 iW 0M Donde:
iL (0) = lim→2 )$
i (0M) = lim→2 )$
t<0
t>0
Tiempo antes de acción del interruptor.
Tiempo después de la acción del interruptor.
Los momentos 0 y 0M físicamente son el mismo instante de tiempo pero para el circuito
significan diferentes estados. Generalmente 0 es el instante antes de la conmutación y en este
momento evaluamos las condiciones iníciales, y 0M es el primer instante después de la
conmutación y en este momento permanecen constantes los parámetros que no cambian
abruptamente como son el voltaje en el capacitor y la corriente en el inductor.
Los cambios abruptos en la corriente requieren un voltaje infinito aparezca entre las
terminales del inductor, esto requiere que exista una potencia infinita en las terminales del
inductor, lo cual es físicamente imposible. De esta manera, los cambios instantáneos en la
corriente a través del inductor no son posibles.
Segunda ley de conmutación. La corriente en el inductor se conserva en el momento de la
conmutación, la magnitud que tenia antes de la conmutación y después empieza a cambiar a
partir de esa magnitud.
En la figura 75 analizaremos los cambios de corriente en los elementos del circuito para las
instantes t = 0, t = 0M y t =∞.
Figura 75
El esquema de la figura 75 para un t = 0 queda de la misma forma, por lo tanto:
iL iR9Ώ iR3Ώ 0
Tomando en cuenta la segunda ley de conmutación, tenemos:
iL (0M) = )X (0) = 0
La corriente en el inductor es igual a cero, por lo tanto, este se comporta como un circuito
abierto.
76.
El esquema de la figura 75 para un t = 0M queda de la forma que se muestra en la figura
iR3Ώ 18A
iR9Ώ 0A
Figura 76
El esquema para un t = ∞ queda
como en la figura 77.
iL ∞ 18
3
3+9
4.5A
Figura 77
Los ejemplos de los 72 y 75 muestran que aun cuando se cumpla con las leyes de la
conmutación, hay casos particulares en los cuales el capacitor puede actuar como un corto circuito
y el inductor, como un cortó abierto. Podemos observar que los resistores, la corriente y el voltaje,
cambian generalmente de manera abrupta.
12
Procesos transitorios, forzados y naturales
En capítulos anteriores consideramos los estados permanentes de los circuitos, es decir,
los voltajes y las corrientes permanecen constantes en un largo tiempo.
Este régimen se establece cuando esta actuando una fuente de energía por un tiempo
bastante prolongado, pero no en el momento de conectar o desconectar la fuente de alimentación
o en el momento de cambio de sus parámetros, es decir después de la conmutación.
Desde el momento de la conmutación en el circuito se observa un proceso transitorio, que
dura un tiempo prolongado (teóricamente infinito) y después se convierte paulatinamente en un
régimen establecido. De esta manera el proceso transitorio permite una transición suave de este
nivel de energía a otro circuito o sistema.
La solución transitoria es un medio para describir la manera con que el circuito reacciona
para satisfacer las condiciones iníciales al aplicar una función de excitación, que demande un
cambio en el estado de energía.
En la vida cotidiana podemos percibir el proceso transitorio al conectar o apagar el radio.
Usted puede observar que al desconectar el aparato de sonido sigue trabajando todavía unos
segundos, ¿Por qué paso esto?
Por que los elementos del radio tienen energía acumulada y sin tener fuente de
alimentación comienzan a liberar esta energía permitiendo funcionar nuestro aparato. Lo mismo
pasa cuando conectamos; el sonido tarda en aparecer por que el aparato necesita un tiempo para
pasar un estado establecido (sin fuente de energía) a otro funcionando.
De esta manera un régimen establecido esta separado de otro por un intervalo de tiempo
durante el cual pasan los fenómenos que aseguran un cambio gradual del estado anterior al nuevo
estado.
El estudio del proceso transitorio se simplifica si se considera el proceso transitorio como
resultado de la superposición de dos procesos: primero, es el régimen establecido que se supone
que empieza momentáneamente después de la conmutación; y el segundo, es el proceso libre que
caracteriza el cambio del régimen establecido anterior al nuevo régimen establecido.
El proceso libre (conocido comúnmente como respuesta natural) depende de la
“naturaleza” general del circuito (el tipo de elementos que lo forman, su tamaño, la forma en que
están interconectados) y no depende del tipo de fuente empleada.
Tomando en cuenta que los circuitos que contienen los capacitores o inductores se
describen en el caso general por las ecuaciones integrodiferenciales, la respuesta natural es al
mismo tiempo la solución de una ecuación diferencial, lineal, homogénea o sea, es la función
complementaria.
El régimen establecido proporciona la respuesta que tiene la misma forma que la función
de excitación. Por lo tanto, si la función de excitación es una senoide la respuesta forzada será
también una senoide. La respuesta forzada es la solución particular de la ecuación diferencial no
homogénea.
De esta manera la respuesta total puede representarse como la suma de las dos
respuestas (natural y forzada).
i i f + in
VL VLf + VLn
vR vRf + vRn
VC VCf + VCn
Veremos el circuito de la figura 78:
(64)
Por la segunda ley de Kirchoff, para cualquier t:
+ ( ) *$ e
Ri + L
*$
6
Donde i es la corriente del proceso transitorio.
Cuando el proceso transitorio termina, empieza el
proceso forzado.
*)
Figura 78
1
Rif + L
+ ( )s *$ e
*$
6
Donde
it - es la corriente forzada
Restando la ecuación de la primera y representando i – it
*)s
1
Rin + L
*)=
*$
+
1
6
( )= *$ 0
o
iR tenemos:
VRn + VLn + VCn 0
La diferencia entre voltajes y corrientes de los procesos transitorio y forzado se llama
voltaje y corriente natural.
Por causa de la corriente natural el proceso se aproxima continuamente al forzado.
13
Circuito de primer orden
En este capitulo introduciremos el estudio de circuitos integrados por un solo elemento
que almacena energía. De este modo, el tipo de circuito que analizaremos es aquel que contiene
un solo capacitor o un solo inductor, y además cualquier cantidad de resistencias y fuentes.
Se demuestra que las ecuaciones que describen a estos circuitos pueden ponerse en la
forma que considere una variable desconocida.
13.1
Circuitos RL
Cualquier circuito compuesto por resistencias y un inductor representa un caso donde
ocurre una disipación de energía, así como un almacenamiento de la misma en forma de campo
magnético, A continuación presentamos los siguientes casos que se pueden dar en circuitos RL.
13.1.1 Circuito RL simple (sin fuentes)
La corriente y voltaje producidos por la energía almacenada en el
inductor esta dada por:
WL = L i8 (t)
8
Tomando en cuenta que no hay fuentes conectadas en el circuito de la figura
79:
if 0 Entonces i in
Figura 79
VR + VL Ri + L
Aplicando la segunda ley de Kirchoff tenemos:
+ i=0
v
X
*)
*$
0
Hay que encontrar una expresión para i(t) que satisfaga a esta ecuación y que tenga el
valor I0 en t = 0.
Para resolver una ecuación diferencial separamos las variables para integrar ambos
miembros de la ecuación:
v
X
=- i
(w
.
(Multiplicamos por dt y dividimos entre i)
w
v
= (/ 9 X dt
ln i – ln I/ = - t
i(t) = I0 e y x
v
X
ln i(w
.
v
X
= - dt
9
v
X
t (/
w
De igual forma podemos encontrara las respuestas utilizando integrales definidas:
(
= ( 9 dt obteniendo:
v
X
ln i = 9 t + k
X
La constante de integración la calculamos para que satisfaga la condición inicial i(0) = I/
v
Entonces en t = 0 la respuesta se convierte en ln I/ = K por lo tanto:
v
ln i = 9 t + K I0
i(t) = I0 e
X
x
y
-
Representando v = { la siguiente ecuación queda de la siguiente forma:
X
it I0 e { 9$
I0 e9∝t
(65)
∝ = = coeficiente de amortiguación.
}
v
X
Donde:
{ es la constante de tiempo y puede ser definida como el tiempo en el cual iR
disminuye en e veces respecto a la magnitud inicial, ver figura 80.
La corriente natural se amortigua con menor rapidez cuando
mayor sea la constante de tiempo { o menor el coeficiente
de amortiguación, es decir, para valores mayores de
inductancia (L) y valores menores de resistencia (R). En caso
general denominamos { X
v
Donde
R es la resistencia equivalente vista desde las terminales del inductor, para t > 0
(suponiendo que es el tiempo cuando se lleva a cabo la conmutación).
La potencia instantánea entregada al resistor es:
p(t) = R i8 (t) = R I0 2 e
~Dx
y
De esta manera la energía absorbida por el resistor cuando la corriente se hace infinita
esta dada por:
W(∞) = (/ 5$dt = (/ I0 2 e
2
2
~Dx
y
= I0 2 R>9
~Dx
2
X
e y - (/
@
8v
= I0 2 L
8
Este es el resultado que se esperaba, por que la energía total almacenada inicialmente en
el inductor es WW = I/ y no hay energía almacenada en el inductor en el tiempo infinito, ya que
8
toda la energía almacenada inicialmente en el inductor se dispara a través del resistor.
(66)
En el circuito de la figura 81 encontrara iW cuando la corriente en t = 0 es
Ejemplo
igual a 10 A.
iL =Ae
X
{=
8v´
{=
R = 5 + 10‖100 + 15_ = 35Ω
seg.
35
iL =Ae9 3
Figura 81
Por la segunda ley de la conmutación
i09 i0 iL = 10 e
i0+ A 10
13.1.2 Circuito RL con fuentes de energía
13.1.2.1
Circuito RL en corto circuito.
i09 =
vM
La corriente forzada después de la conmutación es igual a 0
La corriente es el inductor antes de la conmutación es constante, ver figura 82.
if = 0 por lo tanto i = in
Evaluando en t = (0M) tenemos:
Figura 82
i(0 ) = i(0) = i(0M) =
i = in VL = L
Ejemplo:
vM
=L
e
$
9
vM
=
vM
e \vM
>9 X@ e y = - E vM e = - eL
Tomando en cuenta la figura 83 encontrar la corriente en el inductor iW .
Figura 83
Recordemos que iL = iLn + iLf
La respuesta forzada iLf = 0 ya que para un t = ∞ la fuente de corriente de 10A esta en
corto circuito, por lo tanto.
iL = iLn = Ae .
{ = v donde R = 8/M/ = 12Ω
Donde
{=
X
8//
8./~
8
Por lo tanto:
iW =Ae
CD
DC.~ = Ae h/-
Para encontrar la condición inicial es necesario redibujar el circuito, ver figura 84, para un t = 0
Figura 84
Recuerde que el inductor se
comporta como un corto circuito
Por divisor de corriente, tenemos:
/
iL (0 ) = (10)
= 8A
/M8/
Evaluando en t = i(0M ), obtenemos:
iL (0M) = iL (0 ) = 8A
Sustituyendo el valor de A en la ecuación de la respuesta correcta completa queda:
iL = 8eh/- (A)
13.1.2.2
Circuito RL con corriente directa
Como sabemos la corriente transitoria i tiene 2
componentes que son: corriente forzada y corriente natural,
ver figura 85.
i(0 ) = 0
Figura 85
i = if + i n =
v
-
v
e =
v
Procedemos a encontrar la corriente forzada if =
>; 9 e @
v
VL = VLn = L = L 9
v
e
>
@
v X
= -V
Antes de conectar la tensión en el inductor VL = 0 y en el momento de la conmutación VL = -V
entonces la tensión natural y transitoria cambian abruptamente.
Ejemplo:
iL .
En el circuito que se muestra en la figura 86, encontrar la corriente en el inductor
Figura 86
iL = iLf + iLn
Para encontrar la respuesta forzada
redibujaremos el circuito para un t = ∞,
ver figura 87.
iW (∞) = M‖/_ .
Figura 87
{= =
X
v
8h/
8
M/ ‖_
=
/
/M
h
= 25 A
Para encontrar la condición inicial es necesario redibujar el circuito para un t = 0 , como
se muestra en la figura 88.
iL (0) =
8h/
= 40A
$
iL = 25 + Ae = 25 + Ae h-
Figura 88
Por la ley segunda de la conmutación, tenemos: iL (0) = iL (0M) = 40
Evaluando en t = 0, la ecuación de la respuesta correcta, tenemos:
40 = 25 + A ⟹ A = 15
La respuesta total queda iL == 25 + 15eh- (A)
13.2 Circuito RC
13.2.1 Circuito RC sin fuentes
Suponga que el capacitor se carga a un voltaje de v0 , ver la figura
89, en el tiempo inicial, el cual tomaremos como t = 0.
La energía almacenada inicialmente en el capacitor es:
wc (0) = C v/ 2
8
if = 0 entonces i = in i =
Figura 89
= C Aplicando la segunda ley de Kirchoff, tenemos:
Ri + v = 0 = RC + v = 0
+
v
v=0
Separando las variables v y t:
v
=-
v
=
v
(
dt
v
=-
( *$ ln v = - v + k
Donde k la seleccionamos de tal modo que satisfaga la condición inicial.
Por la primera ley de la conmutación tenemos:
v(0) = v(0) = v(0M) = v0
ln v (0) = ln
v0 = k
ln v – ln v/ = ln
v = v0 e
9
.
=-
$
6
v
(67)
Donde: { = RC coeficiente de tiempo, ver figura 90.
En caso general { = R´C
(68)
Donde R´ es la resistencia equivalente vista desde las terminales del capacitor para t > 0 (cuando la
conmutación se lleva a cabo para un t = 0).
Cuando el tiempo se incrementa, el voltaje y la energía almacenada en el capacitor
decrecen.
La potencia instantánea, absorbida por el resistor es:
PR (t) =
D v
=
. D
v
ex
D
Por lo tanto, la energía absorbida por el resistor en un tiempo infinito es:
WR (∞) = (/ v dt = (/ v. ex = -8 CV0 2 ex (/
=8CV0 2
la cual es la igual a la energía almacenada inicialmente en la red.
2
2
D
D
2
Figura 90
Ejemplo:
En el circuito de la figura 91 encontrar vc .
Vc = Vcf + Vcn
Como podemos observar Vcf = 0. Por lo
tanto.
$
Vc = Vcn = Ae = Ae
v´
Figura 91
=
C.
x´
=2
En la figura 92 determinamos las condiciones
iníciales.
Vc (0M) = VR 5Ώ = (40)
M
= 25
Por la ley de la conmutación tenemos:
Vc (0) = Vc (0M ) = 25 = A
Figura 92
Por lo tanto queda:
Vc = 25e 8-
13.2.2 Circuito en corto circuito
Vc = Vcf + Vcn
Tomando en cuenta la figura 93, podemos observar que la
respuesta forzada del voltaje en el capacitor es igual a cero, debido a
que en un t = la fuente de voltaje E se encuentra en corto circuito.
Figura 93
Como Vcf = 0 entonces Vc = Vcn
H + Vcn = 0
La solución general de la ecuación anterior es:
Vcn = Ae
Por la ley de la conmutación, tenemos:
V (0 ) = V (0M ) = E = A
Donde: A = E es el voltaje inicial en el capacitor y lo encontramos a partir de las condiciones
iníciales.
Vcn = Ee
Aplicando la segunda ley de Kirchoff, tenemos:
Sustituyendo la constante A en la ecuación de la respuesta, obtenemos:
rin + Vcn = 0
in = -
J
=-
e
Graficando el resultado anterior,
obtenemos la figura 94.
Figura 94
13.2.3 Circuito RC con corriente directa
Vc = Vcf + Vcn
Vcf = E
El capacitor no fue cargado
V(0 ) = 0V.
Por la ley de la conmutación.
V(0 ) = i(0M ) = 0
Figura 95
Evaluando la expresión en t = 0
0 = E + A ⟹ A = -E
Vc = E (1- e )
ic = C
=
v
e
Ejemplo
En el esquema de la figura 96 encontrar las corrientes i1 ,i2 , e i3 y el voltaje en el capacitor.
Datos
R1 = R3 = 5Ω
R2 = 10 Ω
R4 = 15 Ω
C = 1 F
E = 15 V
Figura 96
Para facilitar la solución de nuestro ejercicio, dividiremos nuestro esquema en tres partes:
t<0
En este tiempo encontramos el valor de las condiciones iníciales,
donde el capacitor se comporta como u circuito abierto, ver figura 97.
i1 = i2 =
vMv8Mvh
=
M/M
Vc (0) = i2 (R2 + R4 ) = 0.510 + 15 = 125
Figura 97
t=∞
en este tiempo encontramos el valor de la componente forzada, el
capacitor se comporta como un circuito abierto, ver figura 98.
Vcf = R2 i2f
i2f = i1f =
vMv8
=
Vcf = 10 (1) = 10 V
Figura 98
i3f = 0A
M/
= 1A
t>0
en este tiempo encontramos el valor de la componente natural, se
conecta el capacitor y las fuentes se ajustan a cero, ver figura 99.
Tomando en cuenta que
Vc = Vcf + Vcn
$
Vc = 10 Ae ´6
Entonces:
R´= R +
Figura 99
= ./~ 1210h seg.
vMv8
/
M∩
R´ = 5 +
v´
vv8
La respuesta correcta puede escribirse Vc = 10 Ae8/
Evaluando en t = 0:
i3 = C
i2 =
-
2.5 = 10A
A = 2.5
Vc = 10 + 2.5e8/ -
= 10 (-30)( 10h) e8 / = -0.3e8/
M v
v8
=
/M8. ~CDC. M /. ~CDC. =
/
i1 = i2 + i3 = 1 + 0.1e8/
-
-
1 + 0.1e8/
-
+ (-0.3e8/ -) = 1 – 0.2e8/
-
= 8.33Ω
14 Función escalón unitario
La operación de un interruptor en serie con una batería es equivalente a una función de excitación
que vale cero hasta que se cierra el interruptor, y después es igual al voltaje de la batería.
En esta función de excitación cambia su magnitud instantánea en el momento de la
conmutación, este tipo de funciones se relaciona con funciones singulares.
La función más importante de este tipo son la función escalón unitario e impulso unitario.
La función de excitación unitaria (conocida como la función de heaviside) se define como
una función del tiempo, que vale cero cuando su argumento es negativo y vale uno cuando su
argumento es positivo.
La descripción matemática de la función (69):
Figura 100
0 $ # 0_
u (t)¡
1 $%0
La grafica se muestra en la figura 100
Por medio de la función escalón unitario puede expresarse cualquier tipo de funciones. Una fuente
de voltaje o de corriente puede ser representada como una multiplicación u(t) por el voltaje o la
corriente.
Un escalón de voltaje de V voltios se representa como V u(t) y su circuito equivalente se muestra
en la figura 101.
Figura 101
Como podemos observar existe un corto circuito para t < 0 y el voltaje es cero. Para t > 0 aparece
un voltaje V entre las terminales.
Analógicamente en el circuito equivalente de una fuente de escalón de corriente de I
amperios, ver figura 102.
Figura 102
Existe un circuito abierto para t < 0 y la corriente es igual a cero. Para t > 0 fluye una corriente de I
amperios entre las terminales.
En circuitos reales no es necesario que la fuente de voltaje este en corto circuito para t < 0,
basta conectar una fuente de voltaje en serie con un interruptor, y esto es equivalente a un
generador de escalón de voltaje, ver figura 103.
Figura 103
Regresando a nuestra definición de escalón unitario, podemos generalizarla reemplazando
t por t – t0 , obteniendo:
u (t – t0 )¢
0 $ # $0 _
1 $ % $0
(70)
su grafica se muestra en la figura 104
Figura 104
La función u (t – t0 ) es la función u (t) atrasada t0 segundos.
Multiplicando esta función por V o I resulta una fuente de escalón de
voltaje o de corriente, cuyo valor cambia abruptamente en el tiempo
t0 .
Las funciones escalón son útiles en la formulación de funciones complejas.
Por ejemplo, tomemos el siguiente pulso de voltaje, según la figura 105:
0 $#0
0
# $ # $/_
v(t)£
1 $ % $0
Su grafica es
Figura 105
Puesto que u(t) se hace 1 para t > 0 y –ut – t / se hace -1 para t > t / obtenemos:
V1 (t) = V ¤¥ $ 9 ¥$ 9 $/¦
(71)
Como podemos observar nuestro pulso original esta formado por dos pulsos, de tal forma
que podemos verificar este resultado, observemos la figura 106
t<0
V1 (t) = V(0 - 0) = 0
0 < t < t0
V1 (t) = V(1 - 0) = v
Figura 106
t > t0
V1 (t) = V1 9 1 = 0
La fuente que suministra el pulso rectangular de voltaje se muestra en la figura 107.
Figura 107
Ejemplo: Dibujar la grafica para las siguientes funciones:
ft 40u 9t
ft 3u t 9 1
ft t 2u3 9 t Esta función podemos escribirla de la siguiente forma:
2u 9t 9 3
14.1
Respuesta al escalón unitario
La respuesta al escalón es la respuesta del circuito que tiene solo una entrada, la cual es la
función escalón unitario. Respuesta y escalón de entrada pueden ser una corriente o un voltaje.
Esta es la situación cuando los corrientes y los voltajes en la red son iguales a cero en t = 0 .
Así la respuesta al escalón es la respuesta a la entrada de un escalón unitario sin energía
inicial almacenada en el circuito.
Figura 108
vc Por ejemplo, encontramos la respuesta al escalón V en el circuito RC con una entrada
ut V, cuyo impulso de entrada se muestra en la figura 108.
Figura 109
El sistema equivalente del circuito se
muestra en la figura 109.
Aplicando la segunda ley de Kirchoff
tenemos:
RC + v = u(t)
En el tiempo t = 0- tenemos:
+ v = 0
+
v
v
=
u (t)
Cuya solución es v = A ex
Al aplicar la condición inicial Vc (0M ) = V(0) = Vc (0 ) vemos que A es igual a cero.
vt 0 para t # 0.
Lo anterior confirma nuestra afirmación de que la respuesta es cero antes del cambio de la
entrada.
En el tiempo t > 0, ver figura 110.
Figura 110
*,
*$
+
,
v
=
1
6
Sabemos que v = vf + vn
entonces:
vf = 1 y
vn = Ae x
de tal manera que:
v = 1 + Ae x
Tomando en cuenta que Vc (0 ) = V(0) = Vc (0M ) ⟹ 0 ⟹ A = -1, y por lo tanto la solución para todo
tiempo es igual:
0 $#0
_
v(t)¨
1 – © x $ % 0
(72)
Lo escrito en la ecuación 72 puede escribirse usando la función escalón unitario.
v(t) = (1- e x ) u(t)
(73)
Tomando en cuenta la expresión 73 la grafica de salida es, figura 111.
Figura 111
14.2
Aplicación del principio de superposición
En la figura 112 encontrar v, utilizando el principio de superposición.
El valor de la fuente de corriente es ig = 10 ut – 10 ut 9 1 , analicemos el
problema.
Figura 112
Esta fuente es equivalente a un par de
fuentes de corriente independientes
conectadas en paralelo.
ig = ig1 + ig2
ig1 = 10 u(t)
ig2 = -10 ut 9 1
La respuesta debida al escalón de corriente iª es:
v = 121 – e- u (t)
Figura 113
Observemos que iª8 es negativa de
iª, atrasado un segundo en el tiempo.
Por tanto V8 se obtiene a partir de V ,
al multiplicar V por 91 y
reemplazar t por t 9 1, ver figura
113.
v8 = -12 I – e- u t 9 1
Y obtenemos que:
v(t) = 12 1 – e- u (t) -12 1 – e- u t 9 1
15
«
El caso general
Las ecuaciones que describen las redes son casos especiales de una expresión dada por:
+ Py = Q
(74)
Donde y es la variable incógnita (v, i) y P, Q son constantes.
Por separación de variables se puede encontrar la solución de la ecuación (74). Veremos
otro método, el del factor de integración, que consiste en multiplicar la ecuación por un factor que
hace de su miembro izquierdo una derivada perfecta y luego se integran ambos.
«
+ Pye¬- = >
Consideremos la derivada de un producto:
(ye¬- ) =
«
+ @ e¬-
Si multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por e¬- , tenemos:
(ye¬- ) = Qe¬
Integrando ambos miembros de la ecuación
ye¬- = ( ® e¬- dt + A
(76)
y = e ¬- ( Q e¬-dt + Ae¬Lo cual es valido si Q es una función de tiempo o una constante.
(75)
(77)
En el caso de la corriente directa
°
y = Ae ¬- + = yR + yt
(78)
±
Observemos que yR tiene la misma forma matemática que una respuesta sin fuentes y yt
es una constante proporcional a Q, además 1/P es la constante de tiempo en la respuesta natural.
Ejemplo
Utilizando la figura 114 encontrar la corriente i8 para t > 0, si i8 0 1 A.
Figura 114
Despejando i y sustituyendo en i8 :
D
+ 10i8 5
P = 10 y Q = 5
i8 = Ae /- + 8
Evaluando en t = 0;
=A+8
El problema de la figura 114 podemos solucionarlo
utilizando 2 métodos;
• Método generalizado
Aplicando análisis de mallas tenemos:
8) 9 4)8 10
_
*)8
£
94)8 + 12)8 +
0
*$
A=8
Por lo tanto la respuesta correcta es:
i8 = e/- +
8
8
Método clásico
Este método consiste en encontrar la respuesta completa como la suma de dos respuestas, y se
utiliza para circuitos de corriente directa que no tenga elementos como amplificadores
operacionales o fuentes dependientes.
i8 = i8t + i8R
t=0
En este tiempo encontramos el valor de la
corriente forzada, el inductor se comporta
como un corto circuito, ver figura 115
Figura 115
V = 10
´
´³
´
Mh
´³
= 4V
i8t = = = A
8
{= =
X
v
M
³
=
/
8
1
2
i8 = 2 + Ae 9{
1
Donde:
4
$
i8 = 8 e /- + 8
Observemos que no importa utilizar el método generalizado o el método clásico, en este caso en
particular la respuesta es la misma.
Generalizando nuestro análisis,
«
+ Pyt Qt
(79)
Donde: Q(t) es variable.
La solución general (complementaria) es independiente de la forma particular de la función
excitación, en cambio la solución particular (respuesta forzada) tiene una forma que es asimilar a
la forma particular de la función excitación.
Para diferentes Q(t) podemos encontrar yt sustituyendo una forma supuesta para y(t) y
resolviendo para constantes desconocidas (utilizando el método de los coeficientes
indeterminados), ver tabla 1.
Tabla 1
µ
Q(t)
¶
¶$
·
·
¶ + ¶$
+ ¸$
·
¶© ¹ ∗ 5
¶© »
+ ¸$
·© ·$© »
¶ sin ¹$
· cos ¹$ + ¸
¶ cos ¹$
· cos ¹$ + ¸
Ejemplo: Encontrar iW en la figura 116.
cos ¹$
cos ¹$
Donde Vª = V sin ¾tut
Aplicando la segunda ley de Kirchoff
L + Ri = V sin ¾t
*)
*$
Figura 116
Suponemos la forma de la respuesta forzada
según tabla 1:
it = A sin ¾t + B cos ¾ t
Sustituyendo la expresión (81) en la ecuación (80) tenemos:
L½ (A cos wt – B sin wt) + R (A sin wt + B cos wt) = V sin wt
Igualando los coeficientes correspondientes de sin ¾t y cos ¾t
O en forma matricial
Resolviendo
A=
v
v D M ÀXD
9¿\
·
_
_ =
¿\
¸
0
y
B=
¡
(80)
9\¿¸ + · _
\¿· + ¸ 0
ÀX
v D M ÀXD
(81)
Supongamos que los parámetros R = 2Ω, L = 1H, ¾ = 1 *ÃÁ©Â y V = 10v, con estos datos A = 4 y
B = 2, de donde it = 4 sin t – 2 cos t.
i iR + it Ke¬- + 4 sin t – 2 cos t Ke8- + 4 sin t – 2 cos t
(82)
Evaluando la ecuación (82) en t = 0.
i0 0 K – 2
K=2
i 2e8- + 4 sin t – 2 cos t
A continuación presentamos algunos problemas resueltos que nos ayudaran a comprender
el material antes expuesto.
Ejemplo: Encontrar i, utilizando la figura 117, y suponiendo que i0 2A.
Aplicando análisis de mallas:
3
+ 6) 9 2) 0
_
Å 2
1 *)
4) 9 2) 3
2 *$
8 +
8 Como V =
4i = 2i
i = i +
Figura 117
Sustituyendo i en la primera ecuación,
8 Resolviendo
h 8
+ 6i – 2 > ) +
8 8
+ 6i – i -
@=0
=0
h + 5i = 0 multiplicado por (4/5) obtenemos:
La respuesta completa es:
+ 4) = 0
i = 2eh-
Ejemplo:
Encontrar el voltaje en el capacitor si a) Vª = 6v y b) Vª e - y el voltaje inicial V0 (0)
= 2v, ver figura 118.
Figura 118
Aplicando análisis de nodos
1 1 1
1
1
V È + + É 9 V0 È É Vª È É
3 2 2
2
3 _
Å
1
1
1 *
9V È É + V0 +
0
2
2
12 *$
Despejando V en la primera ecuación:
V – V0 = Vª
Sustituyendo V en la segunda ecuación:
- > Ç +
8
8
+
h
8
@+ V0 > @ +
8
8
V0 = > @ Vª
8
V = V0 +
8
Vª
=0
+ 3 V0 = 2 Vª
Vª = 6v
V0ª = K ⟹ 3K = 12 ⟹ K = 4
V0 = Ae
-
+4
+ 3V0 = 12
(83)
Evaluando en t = 0 la expresión 83, y dada la condición inicial, obtenemos:
Vª = 6e-
+ 3V0 = 6eV0t = Ae- t
Ae- – 3Ae-t + 3Ae- = 12eA = 12
V0 = 12e-t + A e
2=A+4
A = -2
V0 = 4 –2e-
(84)
Tomando en cuenta la condición inicial evaluamos, la ecuación (84) en t = 0:
Entonces
V0 (0) = 2 = A
V0 = 2e- + 12te-
Ejemplo:
En el esquema de la figura 119 encontrar la corriente i.
V0 = Aex´ + V0t
V0t = 8v
Evaluando (85) en t = 0
V0 = Ae
C
D
C.
Figura 119
+8
(85)
V0 (0) = 12 = A + 8 ⟹ A = 4
V0 = 4e- + 8
Aplicando la segunda ley de Kirchoff tenemos:
V = 8 – V0 = 8 – 8 – 4e- = 94e
+ 3i – (3) C = 0
8
+ 3i = V = (94e-) = 96e
8
8
iR = Aeit = Ke -5Ke- + 3Ke- = 96e-2K = -6
K=3
i = 3e- + Ae
(86)
Evaluando la ecuación (86) en t = 0
i(0M ) = 0 = 3 + A ⟹ A = -3
i = 3(e- – e -)
Ejemplo: En la figura 120 encontrar el voltaje V.
Figura 120
1
1
1
1
V È + É 9 Vª È É 9 V È É 0
2 4
2
4
_
Å
1
1 *1
1 *Ç
V È É + 9
0
3
6 *$
6 *$
C
C
+
+ V =
Ê
Ê
2V = = eVt = Ke - ⟹ K = V = 6eV (0M) = 2 = 6 + A ⟹ A = -4
h
15.1
V
= V
h
+ Ae8-
V = 6e- – 4e8- Vª ⟹V = 3V – 2Vª = 3(6e-- – 4e8-) – 2(2e-) = V = 14e- – 12e8
8
Condiciones iníciales aplicadas en t Ë 0.
Hasta este momento hemos ejemplificados esquemas en lo cuales las condiciones iníciales
se muestran en un t = 0.
Analizaremos el caso en el cual se especifiquen condiciones iníciales para valores de t
diferentes de cero.
Ejemplo:
Supongamos que el circuito de la figura 121 es excitado solo por una
condición inicial en el capacitor.
V0 (t / ) = V/
Señalamos que la constante de tiempo para este
circuito, es, el tiempo que requiere una variable para
decaer hasta 36.8% de su valor inicial, es 0
{ = RC
Figura 121
Puesto que el circuito es invariante en el tiempo, este hecho debe seguirse cumpliendo sin
importar en que constante empezamos a contar el tiempo. Por tanto, si el voltaje V(t) en el
capacitor es igual V/ en cierto tiempo t / , su valor será igual a 0.368V/ al tiempo t / + RC
t/
t = RC + t /
Además, todos los valores de V(t) exhibirán un comportamiento exponencial similar. Debe
ser aparente, tanto por nuestro dibujo, ver figura 122, como por nuestro análisis anterior, que las
curvas tienen las misma forma pero se encuentran desplazadas a lo largo le la abscisa por la
cantidad t / .
Si llamamos curva a la punteada V (t) Y a la curva continua V(t), es posible definir
matemáticamente tal desplazamiento por medio de la relación.
Figura 122
V(t) = V (t – t / )
Esta ecuación define
una operación del tiempo que se denomina
usualmente en forma matemática como
corrimiento o traslación.
Se aplica sin dificultad en una amplia variedad de problemas en los que elementos se agregan o
eliminan de un circuito, abriendo o cerrando interruptores, en diferentes instantes de tiempo.
Si la expresión para la curva punteada es V = V/ e x u(t), entonces la expresión para la
curva continua V(t) es:
V(t) = V/ e x u(t – t / )
En otras palabras, si sustituimos el argumento t – t0 por el argumento t en la expresión
para la curva punteada, obtenemos la expresión correcta para la curva continua. Para comprobar
la validez de esta expresión, notamos que cuando t = t /
V(t / ) = V/ .
~.
16
Circuitos de segundo orden
En esta capitulo estudiaremos las propiedades de los circuitos que tienen dos elemento
que almacenan energía. Hay tres tipos posibles de estos circuitos con un inductor y un capacitor.
El circuito de segundo orden puede también incluir una cantidad de resistencias y de
fuentes (independientes y dependientes).
Estos circuitos están caracterizados por ecuaciones diferenciales de segundo orden.
16.1
Circuito RLC en paralelo
Supongamos que la energía puede almacenarse tanto en el inductor como en el capacitor,
entonces la corriente como en el inductor como el voltaje en el capacitor podrán tener valores
iníciales diferentes de cero, analicemos la figura 123.
Las condiciones iníciales son:
+ ( ,*$ - i(t / ) + C
\ Figura 123
D
i(0) = I/
v(0) = V/
Entonces con base en la primera ley de Kirchoff tenemos:
1
.
*$
=0
Tomamos la derivada con respecto al tiempo, el resultado
es la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.
C + v + X v = 0
La solución de la ecuación (87) la buscamos de la forma:
v = AeLSustituyendo (88) y (87) obtenemos:
(87)
(88)
CAS 8 eL- + ASeL- + AeL- = 0
v
L-
Factorizando tenemos: Ae (CS 8 +
X
S
v
CS 8 + S + = 0
v
X
X
+ )=0
(89)
La expresión (89) es conocida como ecuación característica o auxiliar, tomando en cuenta que es
una expresión cuadrática hay dos soluciones, identificadas por S y S8 .
8
S = - 8v + Í>8v@ −
8
S8 = - 8v - Í>8v@ −
X
(90)
X
(91)
Si cualquiera de estos valores se usa para S en la solución supuesta, entonces la solución
satisface a la ecuación diferencial dada.
Supongamos que en (87) se sustituye por S por S : v = A eLC - y S por S8 : v8 = A 8 eLD La primera suposición satisface a la ecuación diferencial:
D C
D
D D
C D
C
+
C
v D
v + v = 0
X
+ v8
X
+
=0
Sumando las ecuaciones diferenciales anteriores, tenemos:
D ( M )
( M )
C
D
+ X (v +v8 ) = 0
C C D D + v La suma de dos soluciones es también una solución, por tanto, tenemos que la respuesta natural
es la forma:
v = A eLC - + A 8 eLD(92)
A y A8 son constantes arbitrarias que deben solucionarse para satisfacer las dos
condiciones iníciales especificadas.
Donde:
Denominamos: ¾0 =
Ï=
8v
√X
frecuencia de resonancia
coeficiente de amortiguamiento o frecuencia neperiana.
Las ecuaciones (90) y (91) podemos escribirlas de la siguiente manera:
S = -∝ + Ð∝8 − ¾/ 8
S = -∝ - Ð∝8 − ¾/ 8
La naturaleza de las respuesta depende de las magnitudes de ∝ y ¾/ .
16.1.1 Caso sobreamortiguado.
Una respuesta sobreamortiguada se obtiene de un circuito de segundo orden cuando las
raíces de la ecuación característica son ambas reales y diferentes. Este es el caso cuando ∝ > ¾/ .
En este caso el radical utilizado para calcular S y S8 será real y ambos serán reales además
Ð∝8 9 ¾/ 8 <∝.
-∝ - Ð∝8 9 ¾/ 8 < -∝ + Ð∝8 9 ¾/ 8 < 0.
Por lo tanto, la respuesta puede expresarse como la suma algebraica de dos funciones
exponenciales decrecientes, las cuales se aproximan a cero.
V0 = A eLC - + A8 eLD -
(93)
Ejemplo 1: En el circuito de la figura 124 encontrar V0 siendo condiciones iníciales V0 (0) = 0 e iW (0)
= 10A
∝=
1
8v
¾/ =
1
=
√\6
1
1
42
26
=
1
= 3.5
Í7
1
42
= √6
S,8 = -∝ Ò Ð∝8 9 ¾/ 8 = 3.5 Ò Ð3.58 9 √6 = -6;
Escribiendo la forma general de solución de la
respuesta natural, tenemos:
Figura 124
v(t) = AeLC - + A 8 eLD - = A e- + A 8e-
Tomando en cuenta que la condición inicial v(0) = 0:
0 = A + A8
(94)
Para obtener la segunda ecuación que relacione A1 y A2 tomamos la derivada v(t) con respecto al
tiempo.
= - Ae- – 6A8 e-
_ ^
=
-K/³
M
Evaluando en t = 0M
9A – 6A 8
Recordemos i0 debe evaluarse en t = 0 , por que puede cambiar de manera abrupta o
instantánea, como i0 = C despejando obtenemos = por lo tanto:
_
^
-K/³
=
/³ =
y /³ M x /³ =
/³ =
/
C
D
420 = 9 A – 6A 8
= 420
(95)
Resolviendo las ecuaciones (94) y (95) obtenemos los valores para las constantes:
A = 84 y A8 = -84
Por lo tanto, la solución final para la respuesta natural es:
V(t) = 84(e- - e-)
Ejemplo: encontrar V0 en la figura 125.
Figura 125
¾/ =
√X
=
C
Íh
CD
√3
∝=
8v
=
C
CD
8
=2
Como podemos observar ∝ > ¾/ por lo tanto nuestro caso es sobreamortiguado, su formula es: v
= A e LC - + A8 eLD Procedemos a encontrar los valores de las raíces:
S,8 = - Ò Ð8 9 ¾/ 8 = -2 Ò Í28 9 √38 = -2 Ò 1 = -3, -1
Como V0t = 0 entonces:
V0 = V0t + V0R
V0 = V0R = A e- + A8 e-
(96)
Para encontrar las condiciones iníciales dibujamos nuestro esquema para u tiempo t < 0.
Debemos recordar que para este
tiempo el capacitor se comporta
como un circuito abierto y el
inductor, como un corto circuito,
ver figura 126.
Figura 126
Tomando en cuenta las leyes de conmutación tenemos:
v0 (0 ) = v0 (0) = v0 (0M ) = 0
/
iW (0) = iW (0) = iW (0M ) =
= 2A
8M
Evaluando la expresión (96) en t / tenemos:
v0 (0M ) = 0 = A + A 8
= 93A - A 8 =
/³ .
Para encontrar i0 (0M ) volvemos a dibujar nuestro circuito, tomando en cuanta las condiciones
iníciales que obtuvimos anteriormente, ver figura 127:
i0 (0M) = -2
Nos queda un sistema de dos ecuaciones:
· + ·8 0
£93· 9 · 8
Figura 127
92
C
CD
924
_
(97)
Resolviendo las ecuaciones (97) tenemos:
-2A = -24 ⟹ A = 12
A8 = A = -12
Por lo tanto
V0 = 12(e - - e-)
16.1.2 Caso críticamente amortiguado
El caso cuando Ï = ¾/ recibe el nombre de críticamente amortiguado, en este caso LC =
4R8 C8 o L = 4R8 C, cuando Ï = ¾/ la ecuación diferencial se convierte en:
D D
+ 2Ï
+ Ï 8V = 0
(98)
L a solución puede expresarse como la solución de dos funciones, una de ellas es
exponencial negativa y la otra es una multiplicación de t por una exponencial negativa.
V = © Ó (At + A8)
(99)
Ejemplo:
¿Qué valor de R provocara un amortiguamiento crítico en el circuito
mostrado en la figura 128? Usando el valor de R calcúlese i0 (t).
Ï = ¾/
L = 4R8C
R8 =
1
46
⟹R= Í
1
2
\
6
Figura 128
Sustituyendo en los valores de LC obtenemos:
R= Í
= Í
8 8///~CD 8
/~
Ï = ¾/ =
= e/
√X
Õ
=
/~Ô 8//
Ð8///~CD = 2500
10
(At + B)
Tomando en cuenta las leyes de la conmutación tenemos:
v0 (0) = v0 (0) = v0 (0M ) = 0
/
iW (0 ) = iW (0) = iW (0M ) =
= 24mA
8//
Evaluando en v0 (0M ) = 0 = B
Por lo tanto V0 = Ate/
Õ
= Ae/ - 10 Ate/
_
^
-K/³
Õ
=A=
/³ 8h/~
= 8///~CD = (1.2)10
Recordemos que para encontrar el valor de la corriente i0 (0M) es aconsejable dibujar, ver figura
129, el esquema tomando en cuenta las condiciones iníciales.
Figura 129
i0 (0M ) = 24mA
V0 (t) = 1.2 x 10 te/ v
i0 (t) = C = 200 x 108
i0 (t) = 24e/
Õ
16.1.3 Caso subamortiguado
(1 - 10 t)
(1.2 x 10 te/ )
Õ
mA
Es el caso cuando Ï < ¾/ y el radical para expresiones S y S8 se vuelve negativo, usando
números complejos, la respuesta exponencial se transforma en una respuesta senoidal
amortiguada.
V0 = A eÖC - + A 8eÖD Donde
S,8 = 9Ï Ò ÐÏ 8 9 ¾/ 8
ÐÏ 8 9 ¾/ 8 = √91 о/ 8 9 Ï 8 = jо/ 8 9 Ï 8
y luego
Donde j = √91
Ahora se toma el nuevo radical, para el caso subamortiguado es real y se llama ¾× ,
frecuencia natural de resonancia.
La respuesta puede escribirse como:
¾× = о/ 8 9 Ï 8
V0 (t) = © Ó t(A cos ¾× + A 8 sin ¾ t)
La ecuación (100) es una función senoidal amortiguada.
(100)
Si Ï = 0 lo cual corresponde a una resistencia infinitamente grande V0 (t) se transforma en una
senoide no amortiguada, que oscila con una amplitud constante.
Pueden construirse circuitos RLC en paralelo reales con valores tan grandes de R que
puedan mantener por años su respuesta natural senoidal no amortiguadas.
También pueden fabricarse redes activas que a cada oscilación de V0 (t) introduzcan una
porción de energía, para que pueda mantenerse una respuesta senoidal casi perfecta. Este circuito
es un oscilador senoidal o generador de señales.
Ejemplo tomando en cuanta la figura 130 encontramos iW.
Figura 130
Ï = 8v = 888/~ = 400
¾/ =
√X
=
Ð88/
= √250000
Como podemos observar Ï <¾/ , por lo tanto nuestro caso es subamortiguado.
¾× = о/ 8 9 Ï 8 = √2500008 9 4008 = 300
131.
Recordemos que la ecuación general es:
(101)
iW (t) = © Ó t(Acos ¾× t + Bsin ¾× t)
Sustituyendo los valores en (101) obtenemos:
iW (t) = © h//t(Acos 300t + Bsin 300t)
Encontramos las condiciones iníciales en un momento t < 0, tomando en cuenta la figura
Figura 131
iW (0 ) =iW (0) = iW (0M ) =
h/
8//
= 0.18A
Para 0M dibujamos el esquema, en la figura 132.
Figura 132
vW (0M ) = v0 (0M) = 0
y
= -400eh//- (Acos 300t + Bsin 300t) + eh//- (-300 Asin 300t + 300 Bcos 300t)
_y ^t=0^+ = -400 A + 300 B = X/ = / = 0
X
Despejando B obtenemos:
³
8
4
3
¡
· 0.18 _
9400· + 300¸
B = A = 0.24
Entonces:
iW (t) = eh//- (0.18cos 300 + 0.24sin 300t)
16.2
Circuito RLC en serie
Analizaremos el circuito de la figura 133.
El circuito RLC en paralelo. Por tanto. Las
ecuaciones del circuito RLC en paralelo tienen
contrapartes duales en el circuito RLC en serie
Figura 133
V(0) = V/
i(0) = i/
La ecuación del lazo o malla es:
*2 )
*)
L
)
L *$2 + r*$ + 6 = 0
*)
*$
+ ri + ( ) dt - V0 (t / )
6
1
.
(102)
La ecuación (102) es el dual de la ecuación RLC en paralelo:
C
*2 )
*$2
1 *,
+
*$
+\=0
(87)
De tal manera que la información obtenida en el circuito RLC en paralelo es directamente aplicable
el circuito RLC en serie. Donde la respuesta de voltaje se transforma en una respuesta de
corriente.
Ls 8 + rs + = 0
1
La ecuación característica resultante es:
6
(103)
Donde las raíces se definen como: S,8 =
8
Ò Í>2\@ 9
8X
4\
El circuito RLC en serie es sobreamortiguado si:
8X
>
√X
Ó
y la respuesta es:
C > D
i = A eLC - + A8 eLD -
El circuito RLC en serie es críticamente amortiguado si:
hX
C= D
en cuyo caso s = s8 =
y la respuesta es:
i = (A + A8t) eLD -
8X
El circuito RLC en serie es subamortiguado si:
1
\6
C<
hX
D
resonancia es: =
en cuyo caso la frecuencia de resonancia es: Ø/ =
8X
y la frecuencia natural de resonancia
y la respuesta es: i = © Ó (A cos ¾× + A 8 sin Ø× t)
, el coeficiente de
√X
es: ¾× = о/ 8 9 Ï 8 .
16.3 Respuesta completa del circuito RLC
Ahora veremos los circuitos RLC en los cuales se conectan fuentes de corriente directa a la
red produciendo respuestas forzadas.
La solución general la obtenemos siguiendo el mismo método usado en los circuitos RL y
RC, esto es, calculando la respuesta forzada u natural.
La respuesta completa se expresa como la suma de las respuestas forzada y natural,
finalmente se calculan las condiciones iníciales y se aplican a la respuesta completa para
encontrara los valores de las constantes.
Ejemplo:
De acuerdo con la figura 134 encontrar iW (t).
Figura 134
Ï=
Ø/ =
©¥),
√X
8X
=
200+50
8
Ð///~
= 25
= √400
Como podemos observar Ï > Ø/ , por lo tanto es sobreamortiguado.
Encontramos las raíces.
=
S,8 = 9Ï Ò ÐÏ 8 9 ¾/ 8 = 925 Ò Í258 9 √400 8 = -25 Ò 15 = -10; -40
Recordemos que la respuesta completa para la corriente es:
iW (t) = iWt + iWO = iWt + A e/- + Aeh/-
La componente forzada la encontramos en un t =∞, dibujando el esquema nos queda, ver figura
135.
Figura 135
Observando el esquema tenemos que iWt = 10 A.
Entonces:
iW (t) = 10 + A e/- + A8 eh/Encontrando las condiciones iníciales en t < 0, tenemos, ver figura 136:
Figura 136
Para la figura 136 iW (0 ) = 10A y V0 (0 ) = -1Kv
iW (0 ) =iW (0) = iW(0M ) = 10 = 10 + A + A 8
_y ^
-K/~
= -10A - 40 A8 =
\
X
Para encontrar VL se sugiere dibujar el esquema como el de la figura 137 para un t = 0+.
Figura 137
Aplicando la segunda ley de Kirchoff en la malla, tenemos:
500 + VW - (-1000) = 0
VW - 1500v
-10A - 40 A8 =
91500
= -300
· + ·8 10 9 10 0 _
¢ 910· 9 40·8 9300
-30A8 = -300
A 8 = 10
A = A 8 = -10
Por lo tanto la respuesta correcta es iW = 10 - 10e/- + 10eh/Ejemplo:
Tomando en cuenta la figura 138 encontrar V0 (t).
Figura 138
Ï=
v
8X
Ø/ =
=
8h
88
√X
=
=6
C
Í8
= √32
Encontramos las raíces S,8 = 96 Ò √68 9 32 = -6 Ò 2 94; 98
Tomando en cuenta que Ï > Ø/ , entonces la formula general para el caso sobreamortiguado es:
V0 = V0t + V0R = V0t + A e h- + A 8 eRecordemos que la componente forzada la encontramos en un t = 8 y dibujamos el esquema para
el tiempo antes descrito, ver figura 139.
V0 = -48 + A eh- + A 8 e-
(104)
Las condiciones iníciales las encontramos
en un t /~ .
v0 (0) = v0 (0) = v0 (0M) = 0
iW (0-) = iW (0) = iW (0M) = 0
Evaluando en 0 la expresión (104) tenemos:
v0 (0) = -48 + A + A 8
*
_ Ú
^
Figura 139
*$ t0
+
= -4A - 8·8 =
)Ú 0+ =
92
1
= -128
Recordemos que para encontrar i0 (0M ) es necesario dibujar el esquema para ese tiempo, tomando
en cuenta las condiciones iníciales, ver figura 140.
Como podemos observar
i0 (0M ) = -2A.
Figura 140
A = 64
A8 = -16
· + ·8 48
_
¢
94· 9 8·8 9128
Por tanto
16.4
V0 = -48 + 64eh- - 16e-
Caso general
A continuación analizaremos la técnica para la solución de circuitos RLC que tienen
diferentes tipos de excitación o están presentes fuentes dependientes o amplificadores
operacionales.
Ejemplo:
Tomando en cuenta la figura 141 encontrar V .
El circuito es de segundo orden, pero como observamos no lo podemos relacionar con
algún circuito RLC, ya sea en serie o en paralelo, debido a la interconexión de los elementos.
Analicemos el circuito aplicando análisis de nodos:
Figura 141
C
+ 21 9 22 4
_
£ *$
4 ( ,8 *$ + 4,8 9 2, 0
(105)
Suponemos las siguientes soluciones
para V y V8 .
V = k eLV8 = k 8 eL-
En forma de matrices tenemos:
Á+2
Û−2
−2
Þ© 4
X
Ý
Ü
ß = 0
+
4
Þ
©
8
Á
h
Como la respuesta natural es la respuesta sin fuentes, entonces:
Á+2
Û−2
−2
,
0
X
Ü
,8 = 0
+
4
Á
h
Al hacer igual a cero la determinante de la matriz cuadrada, en el primer miembro de la ecuación
anterior, se obtiene la ecuación característica:
(s + 2) > + 4@ - (-2)(-2) = 0
Á
s 8 + 2s + 2 = 0
s = -1 ± j1
h
La forma de las raíces corresponde al caso subamortiguado.
Suponemos que buscamos la respuesta para V0 que es igual a V .
VR = e- (A cos t + Bsin t)
Ahora buscamos la respuesta forzada, como la excitación de cd entonces la respuesta
también es una constante.
Primero tenemos que expresar nuestras ecuaciones en términos de V0 e iW para esto
hacemos lo siguiente.
vW = v8 = L
Å
à
C
*$
*,
*$
*)\
=
1 *)\
h + 2,1 − 2v2 = 4
4 4 ,8 *$ + 4,8 − 2, = 0
+ 2,1 − 2
−2, +
y
*$
y
*$
=4
+ )X = 0
Suponemos la forma de la respuesta forzada
Vt = A
iWt = A8
_
_
(106)
Sustituyendo en la ecuación (106)
0 + 2 · 9 0 4 _
¢
92· + 0 + ·8 0
Vt = 2
De donde:
Podemos comprobar el resultado resolviendo el circuito, ver figura 142, para t =∞.
Como podemos observar
V0 = Vf = IR = I
1
á
4
= 8 = 2v
Entonces la respuesta completa es:
v = 2 + e- (A cos t + B sin t)
Evaluando en cero tenemos
v (0) = 0 = 2 + A
Figura 142
*,
_ 1
^
*$ t0+
= -A + B
Para encontrar _
*,1
^
*$ t0+
M
otra vez utilizamos las ecuaciones (106) en términos de V0 e iW ,pero
evaluamos en t = 0 . Tomamos en cuenta que V0 (0M) = iW(0M ) = 0
_C ^
4
_ ⟹ à -K/³
_
à
y
920 + y + 0 0
0
C
+ 20 9 8
y
4
El resultado lo comprobamos resolviendo el circuito de la figura 143 para un t = 0+.
Figura 143
i0 = 4A
*,Ú
_
^
*$
t0
+
)
4
= Ú= =4
Entonces las ecuaciones para determinar A y B nos quedan de la siguiente manera:
¡
2+· 0 _
· 92_
⟹¡
9· + ¸ 4
¸2
y la respuesta total es: V = V0 = 2 e-t(-2 cos t + 2 sin t)
Ejemplo:
Determine iW (t) para las ecuaciones iníciales iW (0) = i´W(0) = 1, ver figura 144.
Figura 144
Aplicando análisis de mallas obtenemos:
)X + 9 9 3)/ 4
1 )X + y + y 9 0 3)0
*$
*$
*$
_
_⇒à
à
*)\
*)
.
y
2)/ +
9
0
9 + 2)0 + 0 0
*$
*)
Utilizando matrices tenemos:
)
2Á + 1
9Á93
0
x Ý Xß =
)
9Á
2+Á
0
/
*)\
*)0
dt
(2s + 1)(2 + s) - (-s)(-s - 3) = 0
s 8 + 2s + 2 = 0
s,8 = -1Ò j1
Entonces:
iW = e- (A cos t + Bsin t)
Evaluando en t = 0.
iW (0) = 1 = A
*)
_ \
^
*$ t0
= -A + B = 1
B=1+A=2
iW = e- (cos t + 2 sin t)
Ejemplo:
Con base en la figura 145 encontrar el valor de la corriente i para todo tiempo.
Aplicando análisis de mallas
tenemos:
Figura 145
*)1
Å *$
+ 2) 9 2) 0
_
*)1
*$
i = A eLi = A8 eL-
+ 5) 9 2)1 0
)
Á+2 92
0
x =
92
Á+5
)
0
(s + 2)(s + 5) - (2)(2) = 0
s 8 + 7s + 6 = 0
s,8 = -3.5 Ò √12.25 9 6 = -6; -
La forma de las raíces corresponde al caso sobreamortiguado
i = Ae- + A8 eLa respuesta it = 0 por ausencia de fuentes de energía para un t = 0.
Buscamos las condiciones iníciales, recordemos que i(0 ) = i(0M), de acuerdo con la figura 146.
Analizaremos el circuito para un t = 0 .
i(0) =
h/
8M
D
D³
>8M@ = 5A.
8
i(0) = i(0M ) = 5 = A + A 8
Figura 146
Evaluamos las ecuaciones en t =0M.
i (0 ) = i (0 ) =
M
h/
D
8M
D³
= 12.5A
= -6 A - A8
+ 2) 9 2) 0 _⇒ =0
à *)1
*)1
+ 5) + 2)1 0
Tarea: comprueba el resultado en el siguiente circuito sabiendo que:
*,
_ 1
^
*$ t0+
=
y /³ X
Encuentra VW (0M )
Finalmente las ecuaciones nos quedan
· + ·8 5 _
¢ ⇒ A = -1; A 8 = 6
96· + ·8 0
Figura 147
i =-e- + 6e-
Por lo tanto
Ejemplo:
En la figura 148 encuentre el voltaje de salida V3.
Las condiciones iníciales son:
Vã (0) = 0v
Vä (0) = 2v
Figura 148
1
3
9
9 8 > @ > + @ +
8
8
_
à
1
1
1 *2
91 > @ + 2 > @ +
0
2
2
6 *
1 *
h
El amplificador operacional que se muestra en la figura 148 es un seguidor de voltaje, por lo tanto
V = V8 .
5 + 1 9 2 9 >8@ 8
_
à
1
1
1 *2
9 > @ 1 + > @ 2 +
0
*
2
1 *
h
6 2
Multiplicando las 2 ecuaciones anteriores por 6, obtenemos:
* *8
9
9 38 8
*$
*$
_
Å
*8
93 + 38 +
0
*$
5 +
V = K eLÁ+5
93
y
V8 = K 8 eL-
V
9s93
8
x Ý ß =
8
Á+3
0
(5 + s)(s + 3) - (-3)(-s-3) = 0
Obtenemos la ecuación característica
s 8 + 5s + 6 = 0
Donde
s,8 = -2.5 ± √6.25 − 6 = -2; -3
Por lo tanto concluimos que el caso es amortiguado:
V8R = A e 8- + A8 ePara encontrara la componente forzada, obtenemos la tabla 1, tenemos la r5espuesta para V1f = A
Sustituyendo en las ecuaciones tenemos:
y V2f = B.
5· + 0 − 0 − 3¸ = 0_
¡
−3· + 3¸ + 0 = 0
A=B=4
Entonces Vt = A = 4
La respuesta correcta es V8 = 4 + A e8- + A8 eV8 (0M) = Vã (0) = 0 = 4 + A + A8
_*,2^
*$
t=0+
= -2A - 3A8 = ¿?
Evaluando las ecuaciones en t = 0M y tomando en cuenta que:
V8 (0M) = Vã (0) = V (0M ) = 0
Vä (0) = 2 = V(0M) - V(0M ) ⇒ V (0M ) = 2V (0M ) = 2 + 0 = 2
De esta manera V (0) = 2; V8 (0M ) = 0
Para t = 0M
Å
5(2) +
4 + · + ·8 = 0 _
¢
⇒ A = -6; A8 = 2
−2· − 3·8 = 6
Entonces la respuesta correcta es:
V8 (t) = V (t) = 4 - 6e8- + 2e-
*1
*$
−
*2
*$
− 3(0) = 8
−3(2) + 3(0) +
*2
*$
=0
_
