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Linealidad en los circuitos eléctricos
Objetivos
1. Establecer el concepto de circuito lineal y sus principales propiedades, según los criterios
dados en el texto.
2. Definir el concepto de función de red (FR) y establecer su clasificación al análisis de
circuitos.
3. Explicar el método de los valores proporcionales y el teorema de la superposición,
ilustrando la aplicación de ambos.
Sumario:
a) Concepto de circuito resistivo lineal. Principio de proporcionalidad.
b) Función de red. Clasificación.
c) Método de los valores proporcionales
d) Principio de linealidad. Teorema de la Superposición.
Bibliografía básica: Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería”
William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición
Capítulo 5. Epígrafes 5.1 y 5.2.
Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón
Fandiño y digitalizados por el Lic. Raúl Lorenzo Llanes.
Introducción
¿A qué se denomina resistor lineal? ¿Cómo es su característica volt- ampere? ¿Elíptica?
¿Hiperbólica?
Resistor lineal: resistencia constante e independiente del valor de la tensión
aplicada entre sus terminales, v = i R. Su característica volt- ampere es lineal. (Página 23,
Figura 2.23)
¿A qué se denomina elemento lineal? ¿A qué se denomina fuente dependiente lineal?
¿Cuándo un circuito eléctrico es lineal? Se aclararán estas cuestiones en la presente
actividad.
a) Concepto de circuito resistivo lineal. Principio de proporcionalidad.
Desde el inicio se ha aclarado que se trabajará con circuitos lineales en la asignatura. Ahora
se detallará lo que se entiende por eso. Se trabajó con el resistor lineal el cual se acaba de
rememorar.
Elemento lineal: elemento pasivo que tiene una relación lineal de tensión-corriente o
característica volt- ampere lineal.
Por otro lado las fuentes con que se ha trabajado hasta ahora son lineales también: estímulos
constantes o fuentes dependientes proporcionales a la variable de control (en función de la
primera potencia de la variable de control o a la suma de tales cantidades)
1 Ejemplo 1
¿Cuáles de las fuentes dependientes mostradas son lineales? ¿Cuáles no lineales?
Circuito lineal: El circuito formado por fuentes independientes,
fuentes dependientes lineales y elementos lineales.
Consecuencia inmediata: En el caso de circuitos resistivos
puros con resistencias constantes, estímulos constantes y
fuentes dependientes lineales (si existen) la red se describe mediante un conjunto de
ecuaciones algebraicas lineales: Leyes de Ohm y las de Kirchhoff, divisores, ecuaciones de
mallas y ecuaciones de nodos.
No se puede perder de vista que el circuito lineal es un modelo y en la práctica solo como
aproximación (en algunos casos muy buena aproximación) la red se comporta linealmente
dentro de ciertos intervalos de valores de los estímulos aplicados.
Principio de proporcionalidad:
Sea f el estímulo aplicado a la red lineal (señal de entrada) y
g la respuesta del circuito (señal de salida)
Esto es: g = H f, siendo H una función característica del circuito
entonces si el estímulo aumenta k veces la respuesta aumenta
k veces
Demostración:
Para otro estímulo f1 se cumple g1 = H f1
Si f1 = k f entonces g1 = H (k f)= k (H f)=k g
Significado físico:
En un circuito lineal si el estímulo se duplica, la respuesta se duplica, si el estímulo se triplica,
la respuesta se triplica sin distorsión o sea sin cambiar de forma. En circuitos lineales cuando
hay un solo estímulo, la respuesta tiene la misma forma de onda que el estímulo, y por tanto
la respuesta a un estímulo constante es constante, si el estímulo es sinusoidal, la respuesta
será sinusoidal etc.
b) Función de red. Clasificación.
Esta propiedad permitirá introducir el concepto de función de red (FR) el cual es
modernamente esencial en aplicaciones de electrónica industrial, automatización, maquinaria
II y que se estudiará a lo largo de toda la teoría de circuitos incluyendo a la asignatura
Circuitos Eléctricos III.
No es posible que aún se pueda comprender en toda su magnitud la importancia esencial de
este concepto, pero es bueno aprenderlo desde ahora.
2 Basados en la figura anterior, se define la función de red como H = g / f, o sea, respuesta
entre estímulo. Cuando se calcularon ganancias de tensión o corriente, se estaban calculando
funciones de red, en circuitos resistivos.
Propiedad esencial: La Función de Red (FR), H, es una característica de la red y no
depende del valor particular que tome el estímulo.
Utilidad que pueden comprender ahora (hay otras): Conocida la FR es posible conocer la
respuesta del circuito a diferentes estímulos, sin necesidad de realizar todo el análisis de
nuevo.
Clasificación
b.1) Funciones de entrada. En un mismo par de terminales: Resistencia de entrada V1 /I1,
conductancia de entrada I1 /V1
b. 2) Funciones de transferencia. Entre diferentes pares de terminales: Resistencias de
transferencia, conductancia de transferencia I2 /V1, relación de transferencia de tensiones
HV = V2 /V1, y relación de transferencia de corrientes Hi = I2 / I1.
c) Método de los valores proporcionales
Este un circuito lineal, resistivo puro con resistencias constantes y configuración de escalera,
conexiones sucesivas serie - paralelo. Tiene un solo estímulo.
El método, basado en el Principio de Proporcionalidad, parte
de suponer valor uno (1) a la tensión o a la corriente en la red
más alejada de la fuente, (I1*), obtener el estímulo que la genera
(E*) y conocido el valor de E, calcular la verdadera respuesta I1
mediante la constante de proporcionalidad entre E* / E que es la
*
misma para I1 /I1. Parece absurdo pero la mejor forma de comprenderlo es a través de un
ejemplo.
Ejemplo 2
Si E = 10v, calcule la corriente I1 aplicando el método de los valores proporcionales
Solución:
I1* = 1 A valor supuesto
3 Retroceda aplicando sucesivamente las Leyes de Ohm y las de Kirchhoff y calcule E* = 8 V.
Pero E no es igual a E*, por lo tanto,
H = E / E* = 1/8= 1,25 = k
Todos los valores calculados se verán afectados por esa constante de proporcionalidad.
Por ejemplo I1 = kI1* = 1,25 A.
¿Cuál será el valor de V1 si: a) E = 16V, b) E = 64V?
Calculando V1 para otra tensión de entrada, por ejemplo, E = 16V. En la red Hv=V1 / E = 1/8
de donde V1 = Hv(E) = (1/8) 16v = 2V
Calcule V1 con E = 64V como trabajo independiente
d) Principio de linealidad. Teorema de la superposición
Sea g la respuesta de la red a una combinación de estímulos.
Puede demostrarse que
g =H1 f1 + H2 f2 +………+Hn fn
En esta expresión cada sumando es el aporte de cada estímulo
considerado cuando actúa solo, siendo las H constantes.
El Principio de linealidad establece la validez de la combinación lineal en sistemas lineales.
Enunciado: La respuesta es una función lineal de los diferentes estímulos.
La consecuencia más importante de la linealidad es la superposición. Es esencial desde el
punto de vista conceptual y como método de cálculo.
El texto establece en la página 112 el principio de superposición como: La respuesta (una
corriente o tensión) en un circuito lineal que tiene más de una fuente independiente se obtiene
sumando las respuestas ocasionadas por las fuentes independientes separadas que actúan
solas. Esto es, la respuesta a la acción simultánea de varios estímulos es igual a la suma
algebraica de las respuestas de cada estímulo individual.
Pueden encontrarse otros enunciados (todos equivalentes)
En la página 114 establece el teorema de superposición: En cualquier red lineal, la tensión o
la corriente a través de cualquier resistor o fuente se calcula sumando algebraicamente todas
las tensiones o corrientes individuales ocasionadas por fuentes independientes separadas que
actúan solas, junto con todas las demás fuentes de tensión independientes sustituidas por
cortocircuitos y todas las demás fuentes de corriente independientes sustituidas por circuitos
abiertos.
4 Ejemplo 3
Calcule la corriente i aplicando el teorema de la
superposición, si la tensión de la fuente es E1 = 100 cos (t) y
la corriente de la fuente de corriente es I2 = 10 A
Solución:
Calcular i implica calcular los aportes de cada estímulo por
separado y al final, sumarlos algebraicamente.
En el segundo esquema se desactiva la fuente de corriente
para calcular el aporte de la fuente de tensión cosinusoidal.
Aplicando simplificaciones y divisores: i´ = - 2 cos (t)
En el tercer esquema se desactiva la fuente de tensión para calcular el aporte de la fuente de
corriente.
Aplicando divisor de corriente: i” = 4 A
Resultado final: i = i´ + i” = 4 – 2 cos (t) A
Resumen: Resaltar la importancia de conocer cómo se desactiva una fuente y de la
simplificación de circuitos aplicando las Leyes de Ohm y las de Kirchhoff, divisores, así como
las transformaciones estudiadas en el análisis de circuitos.
Conclusiones
Rememorar los nuevos conceptos estudiados: ¿Principio de proporcionalidad? ¿Principio de
linealidad? ¿Principio de superposición? Resaltar que aplicar superposición supone
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Orientaciones para el trabajo independiente
Capítulo 5.
Epígrafes 5.1 y 5.2 (Linealidad y superposición). Ejemplos 5.1 y 5.2
(superposición), 5.3 (superposición con fuente dependiente). Prácticas 5.1 (superposición).
Ejercicios 2 al 6. Estudie detenidamente el Ejemplo 5.2 pues se analiza un caso práctico
donde se considera que los resistores en un circuito no pasen de su valor nominal de potencia
y se sobrecalienten. Tarea 8.
Realice el siguiente ejercicio.
Calcule el aporte de cada fuente a la corriente I.
¿Cuántas fuentes independientes hay? ¿Cómo se
desactivan?¿Es la FD un estímulo? ¿Se desactiva?
Respuesta:
• Aporte de Io: I´ = - IoR2/R2 + R1 (1 - k)
• Aporte de E: I” = E/R2 + R1 (1 - k)
Además del teorema de la superposición, existen otros teoremas muy importantes en la
solución de circuitos lineales. Estos son: el teorema de Thévenin, el teorema de Norton y el de
la máxima transferencia de potencia. ¿Qué particularidades presenta el teorema de Thévenin?
¿Cuáles el de Norton? ¿Cuáles el de la máxima transferencia de potencia?
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba
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