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BAXX5714_Fr 14/5/08 07:40 Página 1 1 bachillerato Matemáticas Maribel Deusa Rodolfo Esteve Pascual Montesinos Antonio J. Ramírez Ernesto Veres BAXX5714_Fr 14/5/08 07:40 Página 2 Matemáticas 1 bachillerato ©ES PROPIEDAD Maribel Deusa Francés Rodolfo Esteve Arolas Pascual Montesinos Estevan Antonio J. Ramírez Ernesto Veres Ferrer Editorial ECIR, S.A. Diseño de interior: Diseño gráfico ECIR Reservados todos los derechos. Ni la totalidad, ni parte de este libro puede ser reproducido o transmitido mediante procedimientos electrónicos o mecanismos de fotocopia, grabación, información o cualquier otro sistema, sin el permiso escrito del editor. Edición: Editorial ECIR Impresión: Industrias Gráficas Ecir (IGE) Ilustraciones: Diseño gráfico ECIR / Salvador Lorente Diseño e ilustración cubierta: Valverde e Iborra / Diseño gráfico ECIR Fotografía:Archivo ECIR/Istockphoto Depósito legal:V-2162-2008 I.S.B.N.: 978-84-9826-402-9 Villa de Madrid, 60 - 46988 - P. I. Fuente del Jarro - PATERNA (Valencia) Tels: 96 132 36 25 - 96 132 36 55 - Móvil: 677 431 115 - Fax: 96 132 36 05 E-mail: [email protected] - http://www.ecir.com 14/5/08 07:40 Página 3 Al confeccionar el presente texto de Matemáticas se han desarrollado los contenidos especificados para este curso por el nuevo currículo de la LOE y se han tenido muy en cuenta los criterios necesarios que faciliten a los alumnos el tránsito de Secundaria Obligatoria a Bachillerato. En nuestra experiencia docente hemos podido constatar que una de las mayores dificultades con la que se encuentra un alumno es la falta de método, tanto en el planteamiento y resolución de problemas como en el razonamiento o en la adquisición de técnicas elementales. Por ello se ha elaborado un texto para ser leído y utilizado por el alumno y que le permitirá adentrarse de forma progresiva en el método matemático ya que se utiliza un lenguaje claro y preciso, no exento del rigor necesario, y se justifican todos aquellos resultados que los alumnos pueden asumir como necesarios. También somos conscientes de que aquello que no se dice, difícilmente puede ser descubierto por el alumno; por eso tras la exposición teórica, en la que los resultados más importantes aparecen resaltados, aparecen ejemplos que en realidad son auténticos ejercicios resueltos. A continuación el alumnado siempre encontrará una selección de ejer cicios propuestos, destinados a consolidar lo aprendido. En la parte final de cada unidad se desarrolla un apartado dedicado a la resolución de problemas. En ellos el alumno puede encontrar la forma de abordar y presentar la solución de un ejercicio. Tras ellos se ha introducido un formulario que revisa las principales fórmulas tratadas en el tema. Después se encuentran los ejercicios finales, en número lo suficientemente elevado como para que el profesor pueda seleccionar los que estime oportuno. Una prueba de autoevaluación con respuesta múltiple puede servir de indicador si los contenidos de la unidad han sido adquiridos. También se ha elaborado un libro del profesor que contiene la solución de todos los ejercicios propuestos en el texto, material complementario, así como comentarios y justificaciones didácticas Presentación BAXX5714_Fr BAXX5714_Fr 14/5/08 07:40 Página 4 Presentación de la unidad Tema 1 1. LOS NÚMEROS REALES Cada unidad se presenta mediante una imagen acompañada de una cita o texto relacionado con los contenidos del tema. Números irracionales Complementando a los números racionales (fracciones de números enteros) se encuentran los números irracionales. Un número irracional es un decimal con infinitas cifras decimales no periódicas. Ejemplos de números irracionales son: • 1,23456789101112131415… • 0,102030405060708090100110120130… • 3,1122334455667788991010111112121313… Un número irracional no es el cociente de dos enteros. Esta característica ya fue estudiada por la escuela pitagórica la cual incluso demostró la «irracionalidad» de algunos números, en particular del número 2 mediante una brillante demostración basada en el método de reducción al absurdo. Demostración de que 2 es irracional: El método de reducción al absurdo es un método de demostración que consiste en suponer cierto lo contrario de lo que se quiere demostrar y llegar así a una contradicción o absurdo. Supongamos que lo que se quiere demostrar es falso, esto es, supongamos que 2 es un número racional. Si 2 es racional entonces se puede escribir como la fracción irreducible a a , es decir: 2 = con a y b enteros y primos entre sí. b b a a2 Si 2 = entonces = 2 ⇒ a 2 = 2b 2 ; por tanto a2 es un número b b2 par (es múltiplo de 2) luego a no puede ser impar pues si lo fuera su cua- En el Teeteto de Platón (147d-148b) se cuenta cómo Teodoro había demostrado que las raíces de los enteros no cuadrados perfectos son irracionales. drado sería impar. Así pues a es par luego a = 2k. b2 Si a = 2k entonces a2 = 4k2 y por tanto 4k2 = 2b2 o lo que es lo mismo = 2k2 y se deduce, igual que antes, que b2 es par y por tanto b es par. Hemos obtenido que tanto a como b son pares, luego no son primos entre si y este resultado contradice la hipótesis inicial; por tanto es necesario negarla y concluir que 2 no es un número racional. El conjunto de los números irracionales se denota por I. Platón y Aristóteles detalle del cuadro “La Academia de Atenas” de RAFAEL Museos vaticanos «Prueban que la diagonal del cuadrado es inconmensurable con el lado, mostrando que si se admite que es conmensurable, un número impar sería igual que uno par» (Aristóteles, Analíticos posteriores. I, 23). Además del comentado π, e, Φ = π es la relación entre la longitud y el diámetro de una circunferencia. e es la base de un sistema de logaritmos que estudiarás mas adelante. 2 otros irracionales famosos son: 1+ 5 . Aquí los tienes con sus 30 primeras cifras decimales: 2 Φ es la proporción entre la diagonal y el lado de un pentágono regular (considerada perfecta en la antigua Grecia). π = 3,141592653589793238462643383279... e = 2,718281828459045235360287471352... Φ = 1,618033988749894848204586834363... 2 3 Tema 1. Los números reales Desarrollo de la unidad Las explicaciones teóricas van acompañadas de multitud de ejemplos y notas marginales que sirven para una mejor comprensión del tema tratado. Además encontramos también ejercicios para repasar lo aprendido antes de seguir adelante. En resumen: Un número irracional es un decimal con infinitas cifras decimales no periódicas que no puede escribirse como el cociente de dos números enteros. Muchas obras de arte han sido construidas con dimensiones áureas, como el Templo de la Concordia de Agrigento en Sicilia. Ejemplos 2 Dado que un número irracional tiene una expresión decimal infinita no periódica, sólo es posible escribirlo mediante una aproximación decimal finita. Los números 3,14 o 3,1416 son aproximaciones decimales de π, así como 1,618 es una aproximación decimal de Φ. En la práctica no tiene sentido decir, por ejemplo, que la longitud de un poste es 4 2 m, ni tampoco decir que esta longitud es 5,656854249 m, por tanto es necesario trabajar con aproximaciones decimales que acarrean un error que debemos conocer. lizada para hallar la anchura de una calle. Como en la práctica no suele conocerse el valor exacto de un número a, no es posible hallar el error absoluto ni el relativo, entonces lo que se hace es determinar cotas o márgenes de error, es decir, números positivos mayores que el valor absoluto del error. Dicho redondeo se hace hasta un orden y este orden determina el número de cifras que se consideran. Una vez conocido el orden del redondeo se sigue la siguiente regla: 1. Si la primera cifra que no se considera es menor que 5 el número se deja como está. 2. Si es mayor o igual que 5 se suma una unidad a la última cifra conservada (si ésta es 9 se reemplaza por un 0 y se aumenta en 1 la cifra anterior). ε es la letra griega épsilon. Se dice que a' es un valor aproximado de a con error menor que ε si |a – a'| < ε. Al número ε se le llama cota del error absoluto. Redondear un número es aproximarlo con otro con el menor error posible. Cuando se realiza una medida se cometen errores que pueden ser sistemáticos (originados por defectos en los instrumentos de medida) o accidentales (debido a imperfecciones cometidas por el lector). Al medir la longitud de un puente de 500 m se ha obtenido un valor de 499 m y al hallar la anchura de una calle de 20 m se ha obtenido 21 m. En ambos casos el error absoluto es 1 m y esto indica que considerar solamente el error absoluto no da idea clara de la calidad de la medida. Los respectivos errores relativos son: 1 1 En el puente: = 0,002 = 0,2 %. En la calle: = 0,05 = 5 %. 500 20 El menor error relativo cometido en la medida del puente deja claro que es más exacta dicha medida que la rea- 2. Aproximaciones decimales y errores En la práctica es costumbre presentar los resultados correspondientes a datos científicos (a) de forma que se observe tanto el valor estimado (a') como la cota del error (ε) de la forma: a = a' ± ε. a´ a–ε a a+ε Ejemplos 3 Sabemos que π = 3,141592654… entonces: 3,14 es un valor aproximado de π con error menor que 0,01 pues |π – 3,14| < 0,01. 3,15 también es un valor aproximado de π con error menor que 0,01 pues |π – 3,15| < 0,01. Ejemplos 1 4 Dado el número A = 4,256197 se tiene: a) Redondeo entero: A = 4. Se ha medido la longitud de una hoja del cuaderno de un alumno y se ha obtenido que dicha longitud está entre 21,7 cm y 21,8 cm. Como la verdadera longitud de la hoja es desconocida, parece razonable decir que dicha longitud es el valor medio 21,75 cm y asignar una cota de error de 0,05 cm. Para esta forma se puede decir que b) Redondeo a centésimas (a 10–2) : A = 4,26 (pues la primer cifra no considerada es 6). c) Redondeo a milésimas (a 10–3) : A = 4,256 (pues la primera cifra no considerada es 1). d) Redondeo a cienmilésimas (a valor obtenido a' valor exacto error absoluto a 10–5) : A = 4,25620 o también A = 4,2562. Si el valor exacto de un número a se sustituye por a' se ha cometido un error denominado error absoluto E = |a – a'|. Se llama error relativo al cociente entre el error absoluto y el real | a – a '| e= |a | Ejercicios 27 ; B = 2 + 5 ; C = π – 3 se pide dar de cada uno un redondeo de orden: 17 a) entero; b) a décimas; c) a centésimas; d) a milésimas. 1 Dados los números A = 2 Da el error absoluto y el relativo que se comete al hacer los redondeos anteriores. 3 Se ha medido una longitud de 500 m con un «metro» cuya longitud exacta es de 98 cm. Determina el error absoluto y el error relativo cometido. 4 Sabiendo que 2 ≈ 1,414 213 562… Indica cuál es la cota de error cometido al redondear 2 como: a) 1; b) 1,41; c) 1,414 21. Si e se multiplica por 100 se obtiene el porcentaje de error relativo. 4 Tema 1. Los números reales 5 Ejercicios resueltos La gran cantidad de ejercicios resueltos que aparecen a lo largo de cada tema sirven para reforzar los contenidos y facilitan la comprensión de lo estudiado en cada tema. EJERCICIOS RESUELTOS 3 α en función de sen α. Escribe sen 3α 6 sen 3α = sen(2α + α) = sen 2α cos α + cos 2 α sen α = 2 sen α cos α cos α + (1 – 2 sen2 α) sen α = Como sen 2x = 2 sen x cos x, sustituyendo se obtiene: 2 sen x cos x = sen x = 2 sen α cos2 α + sen α – 2 sen3 α = 2 sen α (1 – sen2 α) + sen α – 2 sen3 α = 4 Resuelve la ecuación sen 2x = sen x. Solución: Solución: ⇒ sen x = 0 2 cos x – 1 = 0 Sabiendo que A + B + C = 180° demostrar que se verifica: tg A + tg B + tg C = tg A tg B tg C. ⇒ sen x (2 cos x – 1) = 0 de donde obtenemos las soluciones: = 2 sen α – 2 sen3 α + sen α – 2 sen3 α = 3 sen α – 4 sen3 α Así pues sen 3α = 3 sen α – 4 sen3 α 7 Solución: x = 0° ó x = 180° 1 ⇒ cos x = ⇒ 2 x = 60° ó x = 300° Resuelve la ecuación cos x + cos 2 x = 0 Solución: Como cos 2x = 2 cos2 x – 1, sustituyendo en la ecuación queda: cos x + 2 cos2 x – 1 = 0 Como C = 180° – (A + B ) entonces recordando las relaciones entre ángulos suplementarios: tg C = − tg ( A + B ) = − es decir: 2 cos2 x + cos x – 1 = 0. tg A + tg B 1 − tg A · tg B Haciendo cos x = t tenemos la ecuación: 2 t 2 + t – 1 = 0. Resolviendo: sustituyendo tg C en ambos miembros del enunciado: tg A + tg B − t = tg A + tg B tg A + tg B = − tg A ⋅ tg B · 1 − tg A ⋅ tg B 1 − tg A ⋅ tg B Es decir: cos x = −1 ± 1 + 8 −1 ± 3 = = 4 4 1 ⇒ x = 60° ó 300° 2 1 2 –1 cos x = –1 ⇒ x = 180° Operando en el primer miembro: − tg2 A · tg B − tg A · tg2B tg A − tg2 A · tg B + tg B − tg A · tg 2B − tg A − tg B = 1 − tg A · tg B 1 − tg A · tg B 8 Resuelve la ecuación sen x + cos x = 1 Solución: Elevando al cuadrado: (sen x + cos x )2 = 12 = 1 Operando en el segundo miembro: sen2 x + cos2 x + 2 sen x cos x = 1, pero sabemos que sen2 x + cos2 x = 1 y 2 sen x cos x = sen 2x (fórmula del ángulo doble), luego: − tg2 A · tg B − tg A · tg2B 1 − tg A · tg B 1 + sen 2x = 1 ⇒ sen 2x = 0 ⇒ 2x = 0° ó 2x = 180° de donde x = 0° ó x = 90°. lo que justifica la igualdad pues en ambos miembros se ha obtenido igual resultado. 9 2 5 Simplifica las expresiones: A = sen3 x + sen x cos2 x ; B = sen x 1 + cos x Un barco que se encuentra frente a un golfo es observado desde los dos cabos que lo forman y que distan 10 km. Desde cada cabo se ve el barco y el otro cabo con ángulos de 28° y 32°. Calcula la menor distancia a que se encuentra el barco de la costa. Solución: Solución: Para A basta sacar sen x como factor común: A = sen x (sen2 x + cos2 x ) = sen x Para B se aplica la relación sen2 α = 1 – cos2 α: B = 22 sen2 x 1 − cos2 x (1 + cos x )(1 − cos x ) = = 1 − cos x = 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x A Con los datos del enunciado se tiene el siguiente esquema: Como a menor ángulo se opone menor lado, tenemos que calcular el lado AC. Puesto que la suma de los tres ángulos es 180°: Por el teorema de los senos: 10 AC = ⇒ sen 120 ° sen 28 ° AC = 32° 28° B A = 180° – (28° + 32°) = 120° C 10 km 10 sen 28 ° ≈ 5, 24 km. sen 120 ° Tema 6. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera 23 14/5/08 07:40 Página 5 Página formulario Esta página aparece antes de los ejercicios finales de cada tema y srive de resumen de todo lo estudiado anteriormente para poder tener los conceptos claros antes de pasar al apartado siguiente. FORMULARIO Relaciones entre las razones de ángulos distintos Complementarios Suplementarios cos (90° – α) = sen α Difieren en 180° sen (180° – α) = sen α Opuestos sen (180° + α) = –sen α sen (360° – α) = sen (–α) = –sen α sen (90° – α) = cos α cos (180° – α) = –cos α cos (180° + α) = –cos α cos (360° – α) = cos (–α) = cos α tg (90° – α) = ctg α tg (180° – α) = –tg α tg (180° + α) = tg α tg (360° – α) = tg (–α) = –tg α Fórmulas de adición Razones de la suma Razones de la diferencia sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen β cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β tg α + tg β tg (α + β) = 1 − tg α tg β tg (α – β) = tg α − tg β 1 + tg α tg β Fórmulas del ángulo doble y mitad Ángulo doble Ángulo mitad sen 2α = 2 sen α cos α sen A 1 − cos A = ± 2 2 cos A 1 + cos A = ± 2 2 tg A 1 − cos A = ± 2 1 + cos A cos 2α = cos2 α – sen2 α cos 2α = 1 – 2 sen2 α = 2cos2 α – 1 tg 2α = 2 tg α 1 – tg2 α Teoremas Teorema de los senos: a b c = = = 2R sen A sen B sen C C siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. b Teorema del coseno: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A o también: b2 = a2 + c2 – 2ac cos B ; c2 = a2 + b2 – 2ab cos C A a c Tema 6. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera B 25 Ejercicios finales EJERCICIOS FINALES 49 Calcula “rápidamente”: a) cos 73° cos 17° – sen 73° sen 17° b) tg 47 ° + tg 13 ° 1 + tg 47 ° tg 13 ° 60 Hallar la longitud de la diagonal de un pentágono regular de 3 m de lado. 66 Halla el ángulo α de la figura determinado por la diagonal de una cara de un cubo y la diagonal del mismo. 73 Calcula la distancia de un avión A a los puntos P y Q sabiendo que α = 70°, β = 40° y que la distancia entre P y Q es 7 Km. 61 Calcula la altura del edificio de la figura con los datos que en él aparecen. α β A c) 2 cos2 45° – 1 d) 2 sen 135° cos 135° α a 50 Halla tg α sabiendo que tg 2α = 3. a 60° 51 Desarrollar: a) sen (a + b + c) b) cos (a + b + c) a 30° P 70 m. ¡OJO! ACTUALIZAR FIGURA ES MUY ANTIGUA 52 Simplifica las expresiones siguientes: 62 Calcula la altura de la torre de la figura donde DE = 50 m, α = 68°, β = 30° y γ = 42°. 1 − cos 2A a) 1 + cos 2A b) sen 2A 2 sen A c) 1 + ctg A ctg B 1 − ctg A ctg B B 67 Para medir la distancia que hay entre dos puntos A y B entre los que se interpone un obstáculo, por lo que no se puede medir directamente, se procede de la siguiente manera: O Haz un esquema y calcula la distancia AB. A d) sen (60° + x ) + sen (60° – x ) e) sen (30° + x ) + sen (30° – x ) f) sen (90° + x ) cos (180° – x ) + + cos (90° + x ) sen (180° – x ) 53 Halla los ángulos de un triángulo isósceles conociendo la base 12,4 cm y un lado desigual 20,6 cm. Del 54 al 58. Resuelve el triángulo ABC en cada uno de los siguientes casos. 54 a = 26 m, b = 40 m y c = 42 m. 55 b = 13 m, c = 15 m y A = 14° 15'. 56 a = 13 m, b = 14 m y A = 53° 8'. 57 a = 41 m, A = 8° 22' y B = 67° 23'. 58 c = 6 m, A = 45° B = 75°. y 59 Resuelve el triángulo ABC del que se conoce a = 10 m, ha = 6 m y C = 15°. (ha, es la altura sobre el lado a). C α β γ D E ¡OJO! ACTUALIZAR FIGURA ES MUY ANTIGUA 68 Queremos saber la distancia entre dos puntos A y B, ambos inaccesibles. Elegimos dos puntos C y D y efectuamos las mediciones siguientes: CD = 85 m y los ángulos ACB = 12°, BCD = 23°, CDA = 20° y ADB = 17°. Haz un esquema y calcula la distancia AB. 63 El ángulo bajo el cuál se ve, desde un barco, la torre de un faro es de 30°. Cuando el barco ha recorrido 200 m. en la dirección del faro dicho ángulo es de 45°. Calcula la altura de la torre sobre el nivel del mar y la distancia a la que se encuentran el barco del faro en el momento de la segunda medición. 69 Calcula los ángulos de un rombo sabiendo que su lado mide 20 cm y que su diagonal menor es 26 cm. 64 Calcula la distancia entre los puntos A y B, entre los que hay un obstáculo, sabiendo que las distancias a un punto fijo C son AC = 175 m y BC = 90 m y que el ángulo ACB es de 37°. Calcula bajo qué ángulo se verá al doble de distancia de la chimenea. 65 Desde un faro de 25 m de altura se observa un punto sobre la superficie del mar con un ángulo de depresión de 28° 30'. Hallar la distancia de dicho punto al pie del faro. Ángulo de depresión es el ángulo que forma la visual con el plano horizontal. Q 74 Las circunferencias de la figura tiene radios 8 y 5 cm respectivamente. Halla la distancia entre los centro O y O’. Se elige otro punto C accesible desde A por lo que se puede medir la distancia AC = 120 m y con un teodolito se miden los ángulos BAC = 80° y ACB = 50°. 70 Desde un punto de una superficie horizontal se ve una chimenea bajo un ángulo de 25°. 71 En una circunferencia de 1 m de radio trazamos una cuerda que une los extremos de un arco de 110°. Calcula la distancia del centro a la cuerda. 72 Calcula el ángulo que forman las dos rectas tangentes a una circunferencia de 25 cm de radio trazadas desde un punto que dista 40 cm del centro. 28 O’ 30° En las últimas páginas de cada tema se incluye un conjunto de ejercicios para poder trabajar los conceptos desarrollados en la unidad y aplicar así la teoría estudiada. 75 Demuestra que si A, B y C son los ángulos de un triángulo se verifica: B+C A =0 sen – cos 2 2 76 Haya la longitud del segmento PQ de la figura siguiente: D C 10 cm P 8 cm Q A B 77 Demuestra que si A, B y C son los ángulos de un triángulo se verifica: A B+C 1 – sen2 = sen2 2 2 Tema 6. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera 29 Autoevaluación El tema concluye con una antoevaluación tipo test que sirve para poner a prueba la asimilación de los contenidos estudiados. Al mismo tiempo permite trabajar la autonomía e iniciativa personales. AUTOEVALUACIÓN 1 La medida del ángulo de 4 444° al ser reducida al primer giro coincide con la del ángulo de: A 124° 2 B 34° B Si tg α = B A α = 233° Si sen α = A cos α = B sen α = 0,8 21 5 B α ≈ 156° 25' 19'' Si α es un ángulo tal que sec α = B cos α = 2 21 21 D nada de lo anterior 1 , entonces: 2 2 2 C es necesario conocer el signo B c= 3 m C c=2m D nada de lo anterior B B tiene 2 soluciones C ABC es un segmento D nada de lo anterior D nada de lo anterior Si en un triángulo ABC, a = 1 m, b = 3 m y A = 10°, entonces un posible valor de B es: A B = 30° 10 D nada de lo anterior C tg α = Si en un triángulo ABC, a = 5 m, b = 5 m y c = 10 m, entonces B: A C tiene 2 soluciones 9 D nada de lo anterior 3 C cos α = − 5 Si en un triángulo ABC, a = 2 m, b = 1 m y C = 60°, entonces: A c=1m 8 D nada de lo anterior C α = 53º 13’ 2 y 90° < α < 180°, entonces: 5 A no existe α 7 sen α = – 0, 8 4 y 180° < α < 270°, entonces: 3 5 6 C tangente y cotangente secante y coseno Si α es un ángulo agudo tal que cos α = 0,6 entonces A sen α = 0,8 4 D nada de lo anterior La secuencia de signos + – – + corresponde a las razones trigonométricas: A cosecante y seno 3 C 45° B B = 148,6° C no tiene solución D nada de lo anterior Si en un triángulo ABC, a = 2 m, b = 2 m y A = 30°, entonces un posible valor de B es: A B = 30° B tiene 2 soluciones C no tiene solución D nada de lo anterior Tema 6. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera 31 Así es tu libro BAXX5714_Fr BAXX5714_Fr 14/5/08 07:40 Página 6 TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES 1. Números irracionales................................................................................................................................................ 11 2. Aproximaciones decimales y errores ...................................................................................................................... 12 3. Raíces de índice n .................................................................................................................................................... 14 4. Racionalización.......................................................................................................................................................... 16 5. Potencias de exponente fraccionario .................................................................................................................... 17 6. El conjunto de los números reales: la recta real .................................................................................................... 18 7. Intervalo .................................................................................................................................................................... 19 8. Valor absoluto: distancia en la recta ...................................................................................................................... 20 9. Inecuaciones de primer grado con una incógnita ................................................................................................ 22 TEMA 2: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 1. La ecuación ax + by + c = 0 .................................................................................................................................... 35 2. Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas .................................................................................................. 36 3. Discusión de sistemas .............................................................................................................................................. 37 4. Inecuaciones lineales con dos incógnitas .............................................................................................................. 39 5. La ecuación de segundo grado .............................................................................................................................. 41 6. Propiedades de las raíces ........................................................................................................................................ 43 7. Ecuaciones reducibles a cuadráticas ...................................................................................................................... 44 8. Otros sistemas de ecuaciones ................................................................................................................................ 46 TEMA 3: COMBINATORIA 1. Permutaciones ordinarias ........................................................................................................................................ 57 2. Variaciones ordinarias .............................................................................................................................................. 58 3. Variaciones con repetición ...................................................................................................................................... 59 4. Permutaciones con repetición ................................................................................................................................ 60 5. Combinaciones ordinarias........................................................................................................................................ 61 6. Número combinatorio .............................................................................................................................................. 62 7. El triángulo de Tartaglia y el binomio de Newton ................................................................................................ 64 TEMA 4: SUCESIONES DE NÚMEROS REALES 1. Sucesiones de números reales ................................................................................................................................ 77 2. Sucesiones aritméticas ............................................................................................................................................ 78 3. Suma de términos consecutivos de una sucesión aritmética .............................................................................. 81 4. Sucesiones geométricas .......................................................................................................................................... 82 5. Suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica .......................................................................... 83 TEMA 5: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO 1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo...................................................................................................... 93 2. Uso de la calculadora .............................................................................................................................................. 94 3. Otras razones trigonométricas ................................................................................................................................ 95 4. Razones de los ángulos de 0°, 30°, 45°, 60° y 90° ................................................................................................ 96 5. Resolución de triángulos rectángulos .................................................................................................................... 97 14/5/08 07:40 Página 7 TEMA 6: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS: GENERALIZACIÓN 1. Ángulos orientados. Reducción al primer giro ...................................................................................................... 109 2. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera .............................................................................................. 110 3. Las razones en el círculo trigonométrico................................................................................................................ 112 4. Obtención del ángulo conocida una razón............................................................................................................ 113 5. Relaciones entre razones de ángulos distintos...................................................................................................... 115 6. Fórmulas de adición ................................................................................................................................................ 118 7. Razones del ángulo doble y del ángulo mitad ...................................................................................................... 120 8. Fórmulas de transformación en producto.............................................................................................................. 121 9. Ecuaciones trigonométricas .................................................................................................................................... 121 10. Resolución de triángulos cualesquiera .................................................................................................................. 122 11. Casos de resolución de triángulos.......................................................................................................................... 124 12. Área del triángulo y radio del círculo circunscrito ................................................................................................ 126 TEMA 7: LOS NÚMEROS COMPLEJOS 1. Números imaginarios .............................................................................................................................................. 139 2. Números complejos.................................................................................................................................................. 140 3. Representación gráfica ............................................................................................................................................ 141 4. Operaciones .............................................................................................................................................................. 142 5. Forma polar de un número complejo .................................................................................................................... 144 6. Operaciones en forma polar.................................................................................................................................... 146 TEMA 8: VECTORES 1. Vector fijo .................................................................................................................................................................. 161 2. Vectores iguales. Vector libre .................................................................................................................................. 162 3. Producto de un número por un vector .................................................................................................................. 162 4. Suma y resta de vectores ........................................................................................................................................ 163 5. Combinación lineal de vectores. Base.................................................................................................................... 164 6. Base ortonormal. Componentes de un vector en una base ortonormal ............................................................ 165 7. Las operaciones en función de las coordenadas .................................................................................................. 166 8. Producto escalar de dos vectores .......................................................................................................................... 167 9. Consecuencias y propiedades ................................................................................................................................ 168 TEMA 9: LA RECTA EN EL PLANO 1. Ecuaciones de la recta en el plano ........................................................................................................................ 181 2. Ángulo de dos rectas .............................................................................................................................................. 184 3. Paralelismo y perpendicularidad de rectas ............................................................................................................ 185 4. Distancia de un punto a una recta .......................................................................................................................... 187 5. Haces de rectas ........................................................................................................................................................ 188 6. Bisectrices del ángulo de dos rectas ...................................................................................................................... 189 índice BAXX5714_Fr BAXX5714_Fr 14/5/08 07:40 Página 8 TEMA 10: LAS CÓNICAS 1. Lugar geométrico .................................................................................................................................................... 199 2. Las cónicas ................................................................................................................................................................ 200 3. Ecuación de la circunferencia .................................................................................................................................. 201 4. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia ........................................................................................ 202 5. La elipse .................................................................................................................................................................... 204 6. Otras ecuaciones de la elipse.................................................................................................................................. 206 7. La hipérbola .............................................................................................................................................................. 207 8. Otras ecuaciones de la hipérbola .......................................................................................................................... 209 9. La parábola................................................................................................................................................................ 210 10. Otras ecuaciones de la parábola ............................................................................................................................ 211 TEMA 11: LAS FUNCIONES 1. Función real de variable real.................................................................................................................................... 223 2. Ideas para el cálculo del dominio .......................................................................................................................... 225 3. Funciones usuales .................................................................................................................................................... 226 4. Funciones definidas a trozos .................................................................................................................................. 229 5. Operaciones con funciones .................................................................................................................................... 231 6. Composición de funciones ...................................................................................................................................... 232 7. Función inversa de otra............................................................................................................................................ 233 TEMA 12: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. Límite de una función en un punto ........................................................................................................................ 241 2. Límites laterales ........................................................................................................................................................ 243 3. Límites infinitos. Asíntotas verticales ...................................................................................................................... 244 4. Límites en el infinito. Asíntota horizontal .............................................................................................................. 245 5. Continuidad de una función .................................................................................................................................... 246 6. Cálculos de límites.................................................................................................................................................... 248 TEMA 13: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1. El sistema circular...................................................................................................................................................... 261 2. Funciones periódicas................................................................................................................................................ 263 3. La función seno ........................................................................................................................................................ 263 4. La función coseno .................................................................................................................................................... 264 5. La función tangente.................................................................................................................................................. 265 6. Funciones trigonométricas inversas ........................................................................................................................ 266 TEMA 14: LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 1. La función exponencial ............................................................................................................................................ 273 2. La función f (x ) = ex .................................................................................................................................................. 275 3. Problemas exponenciales ........................................................................................................................................ 276 4. Logaritmo de un número ........................................................................................................................................ 278 5. La función logarítmica .............................................................................................................................................. 280 BAXX5714_Fr 14/5/08 07:40 Página 9 TEMA 15: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. APLICACIONES 1. Tasa de variación media de una función ................................................................................................................ 2. Derivada de una función en un punto .................................................................................................................... 3. Interpretación geométrica de la derivada.............................................................................................................. 4. Función derivada ...................................................................................................................................................... 5. Derivada de algunas funciones .............................................................................................................................. 6. Derivada de las operaciones .................................................................................................................................. 7. Derivada de la función compuesta ........................................................................................................................ 8. La derivada y el crecimiento y decrecimiento........................................................................................................ 9. Extremos condicionados .......................................................................................................................................... 293 295 297 298 299 300 302 303 305 TEMA 16: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN 1. Distribuciones bidimensionales .............................................................................................................................. 2. Parámetros ................................................................................................................................................................ 3. Covarianza ................................................................................................................................................................ 4. Correlación lineal ...................................................................................................................................................... 5. Rectas de regresión .................................................................................................................................................. 317 318 319 320 322 TEMA 17: PROBABILIDAD 1. Sucesos ...................................................................................................................................................................... 2. Idea intuitiva de la probabilidad ............................................................................................................................ 3. Probabilidad de Laplace .......................................................................................................................................... 4. Sucesos intersección y unión .................................................................................................................................. 5. Probabilidad de la unión de dos sucesos .............................................................................................................. 6. Probabilidad condicionada ...................................................................................................................................... 7. Sucesos dependientes e independientes .............................................................................................................. 8. Tablas de contingencia y diagramas de árbol ...................................................................................................... 9. Probabilidad total y teorema de Bayes .................................................................................................................. 337 339 341 342 343 345 347 348 350 TEMA 18: LA DISTRIBUCIÓN BINOMINAL 1. Variable aleatoria ...................................................................................................................................................... 2. Función de probabilidad.......................................................................................................................................... 3. Función de distribución............................................................................................................................................ 4. Parámetros de una variable aleatoria discreta ...................................................................................................... 5. La distribución binomial .......................................................................................................................................... 6. Función de distribución de la variable aleatoria binomial.................................................................................... 363 365 366 369 371 374 TEMA 19: LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 1. Variable aleatoria continua ...................................................................................................................................... 2. Función de densidad y función de distribución .................................................................................................... 3. La distribución normal .............................................................................................................................................. 4. Distribución normal tipificada.................................................................................................................................. 5. Uso de tablas ............................................................................................................................................................ 6. Tipificación de la variable ........................................................................................................................................ 7. La normal como aproximación de la binomial ...................................................................................................... 383 383 385 387 387 390 392 SOLUCIONARIO .............................................................................................................................................................. 403 BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 10 Tema 1 LOS NÚMEROS REALES Platón y Aristóteles (los dos personajes del centro de la imagen). Detalle de La Academia de Atenas de RAFAEL. Museos vaticanos. 10 «Prueban que la diagonal del cuadrado es inconmensurable con el lado, mostrando que si se admite que es conmensurable, un número impar sería igual que uno par» (Aristóteles, Analíticos posteriores. I, 23). BAXX5714_01 8/5/08 1. 10:39 Página 11 Números irracionales Complementando a los números racionales (fracciones de números enteros) se encuentran los números irracionales. Un número irracional es un decimal con infinitas cifras decimales no periódicas. Ejemplos de números irracionales son: • 1,23456789101112131415… • 0,102030405060708090100110120130… • 3,1122334455667788991010111112121313… Un número irracional no es el cociente de dos enteros. Esta característica ya fue estudiada por la escuela pitagórica la cual incluso demostró la «irracionalidad» de algunos números, en particular del número 2 mediante una brillante demostración basada en el método de reducción al absurdo. Demostración de que 2 es irracional: Supongamos que lo que se quiere demostrar es falso, esto es, supongamos que 2 es un número racional. Si 2 es racional entonces se puede escribir como la fracción irreducible a a , es decir: 2 = con a y b enteros y primos entre sí. b b a a2 entonces = 2 ⇒ a 2 = 2b 2 ; por tanto a2 es un número b b2 par (es múltiplo de 2) luego a no puede ser impar pues si lo fuera su cuaSi 2= drado sería impar. Así pues a es par luego a = 2k. b2 El método de reducción al absurdo es un método de demostración que consiste en suponer cierto lo contrario de lo que se quiere demostrar y llegar así a una contradicción o absurdo. En el Teeteto de Platón (147d-148b) se cuenta cómo Teodoro había demostrado que las raíces de los enteros no cuadrados perfectos son irracionales. Si a = 2k entonces a2 = 4k2 y por tanto 4k2 = 2b2 o lo que es lo mismo = 2k2 y se deduce, igual que antes, que b2 es par y por tanto b es par. Hemos obtenido que tanto a como b son pares, luego no son primos entre si y este resultado contradice la hipótesis inicial; por tanto es necesario negarla y concluir que 2 no es un número racional. El conjunto de los números irracionales se denota por I. Además del comentado π, e, Φ = 2 otros irracionales famosos son: 1+ 5 . Aquí los tienes con sus 30 primeras cifras decimales: 2 π = 3,141592653589793238462643383279... e = 2,718281828459045235360287471352... π es la relación entre la longitud y el diámetro de una circunferencia. e es la base de un sistema de logaritmos que estudiarás mas adelante. Φ (número aureo) es la proporción entre la diagonal y el lado de un pentágono regular (considerada perfecta en la antigua Grecia). Φ = 1,618033988749894848204586834363... Tema 1. Los números reales 11 BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 12 Muchas obras de arte han sido construidas con dimensiones áureas, como el Templo de la Concordia de Agrigento en Sicilia. En resumen: Un número irracional es un decimal con infinitas cifras decimales no periódicas que no puede escribirse como el cociente de dos números enteros. 2. Aproximaciones decimales y errores Dado que un número irracional tiene una expresión decimal infinita no periódica, sólo es posible escribirlo mediante una aproximación decimal finita. Los números 3,14 o 3,1416 son aproximaciones decimales de π, así como 1,618 es una aproximación decimal de Φ. En la práctica no tiene sentido decir, por ejemplo, que la longitud de un poste es 4 2 m, ni tampoco decir que esta longitud es 5,656854249 m, por tanto es necesario trabajar con aproximaciones decimales que acarrean un error que debemos conocer. Redondear un número es aproximarlo con otro con el menor error posible. Cuando se realiza una medida se cometen errores que pueden ser sistemáticos (originados por defectos en los instrumentos de medida) o accidentales (debido a imperfecciones cometidas por el lector). Dicho redondeo se hace hasta un orden y este orden determina el número de cifras que se consideran. Una vez conocido el orden del redondeo se sigue la siguiente regla: 1. Si la primera cifra que no se considera es menor que 5 el número se deja como está. 2. Si es mayor o igual que 5 se suma una unidad a la última cifra conservada (si ésta es 9 se reemplaza por un 0 y se aumenta en 1 la cifra anterior). Ejemplos 1 Dado el número A = 4,256197 se tiene: a) Redondeo entero: A = 4. b) Redondeo a centésimas (a 10–2) : A = 4,26 (pues la primer cifra no considerada es 6). c) Redondeo a milésimas (a 10–3) : A = 4,256 (pues la primera cifra no considerada es 1). d) Redondeo a cienmilésimas (a 10–5) : A = 4,25620 o también A = 4,2562. valor obtenido a' valor exacto error absoluto a Si el valor exacto de un número a se sustituye por a' se ha cometido un error denominado error absoluto E = |a – a'|. Se llama error relativo al cociente entre el error absoluto y el real | a – a '| e= |a | Si e se multiplica por 100 se obtiene el porcentaje de error relativo. 12 BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 13 Ejemplos 2 Al medir la longitud de un puente de 500 m se ha obtenido un valor de 499 m y al hallar la anchura de una calle de 20 m se ha obtenido 21 m. En ambos casos el error absoluto es 1 m y esto indica que considerar solamente el error absoluto no da idea clara de la calidad de la medida. Los respectivos errores relativos son: 1 1 En el puente: = 0,002 = 0,2 %. En la calle: = 0,05 = 5 %. 500 20 El menor error relativo cometido en la medida del puente deja claro que es más exacta dicha medida que la realizada para hallar la anchura de una calle. Como en la práctica no suele conocerse el valor exacto de un número a, no es posible hallar el error absoluto ni el relativo, entonces lo que se hace es determinar cotas o márgenes de error, es decir, números positivos mayores que el valor absoluto del error. ε es la letra griega épsilon. Se dice que a' es un valor aproximado de a con error menor que ε si |a – a'| < ε. Al número ε se le llama cota del error absoluto. En la práctica es costumbre presentar los resultados correspondientes a datos científicos (a) de forma que se observe tanto el valor estimado (a') como la cota del error (ε) de la forma: a = a' ± ε. a´ a–ε a a+ε Ejemplos 3 Sabemos que π = 3,141592654… entonces: 3,14 es un valor aproximado de π con error menor que 0,01 pues |π – 3,14| < 0,01. 3,15 también es un valor aproximado de π con error menor que 0,01 pues |π – 3,15| < 0,01. 4 Se ha medido la longitud de una hoja del cuaderno de un alumno y se ha obtenido que dicha longitud está entre 21,7 cm y 21,8 cm. Como la verdadera longitud l de la hoja es desconocida, parece razonable decir que dicha longitud es el valor medio 21,75 cm y asignar una cota de error de 0,05 cm. Para esta forma se puede decir que la longitud l de la hoja es l = 21,75 ± 0,05 cm. Ejercicios 27 ; B = 2 + 5 ; C = π – 3 se pide dar de cada uno un redondeo de orden: 17 a) entero; b) a décimas; c) a centésimas; d) a milésimas. 1 Dados los números A = 2 Da el error absoluto y el relativo que se comete al hacer los redondeos anteriores. 3 Se ha medido una longitud de 500 m con un «metro» cuya longitud exacta es de 98 cm. Determina el error absoluto y el error relativo cometido. 4 Sabiendo que 2 ≈ 1,414 213 562… Indica cuál es la cota de error cometido al redondear 2 como: a) 1; b) 1,41; c) 1,414 21. Tema 1. Los números reales 13 BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 14 3. 3 = raíz cúbica; 4 Raíces de índice n El concepto de raíz cuadrada se puede ampliar para representar las solu- = raíz cuarta n ciones de la ecuación x n = a mediante el símbolo a (radical de índice n). La expresión n a = x implica que x n = a siendo n el índice de la raíz, a es el radicando y x es la raíz n-sima de a. Evidentemente n n a = a. Ejemplos 4 a) 16 = 2 pues 24 = 16; 5 c) 3 3375 = 15 pues 153 = 3375; b) 3 −27 = – 3 pues (– 3)3 = –27 d) 6 −36 no existe pues x6 ≥ 0 para todo valor de x. El ejemplo anterior pone de manifiesto que las raíces de índice par sólo existen si el radicando es positivo o nulo mientras que las raíces de índice impar existen siempre y tienen el mismo signo que el radicando. Comprueba si tu calculadora dispone de la tecla para obtener raíces de cualquier índice. Operaciones n Producto ¡Cuidado! n a +b n a +n b Cociente a × n b = n a ×b n a n b =n a b ( ) n Potencia a p (b ≠ 0) = n ap Ejemplos 6 a) b) c) 3 32 × 5 224 5 =5 7 ( 4) = 4 3 2 4 2 = 3 32 × 2 = 3 64 = 3 43 = 4 224 5 5 = 32 = 25 = 2 7 4 42 = 24 = 2 Las operaciones entre radicales de distinto índice se deben realizar transformándolos previamente a un mismo índice. Para ello ten en cuenta la regla siguente: Un radical no varía si se multiplican o dividen el índice y el exponente del radicando por un mismo número no nulo. n 14 a p = nm a pm BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 15 Ejemplos 7 6 a) 3 6 = 62 = 6 36 (multiplicando índice y exponente por 2) b) 12 b 8 = 3 b 2 (simplificando por 4) 2 × c) d) 3 a2 4 b 3 = 6 32 = 12 a8 12 b3 23 × = 12 6 34 = 6 23 × 34 = 6 648 a8 b3 Raíz de raíz La raíz de una raíz es otra raíz que tiene el mismo radicando y su índice es el producto de los índices. np a = np a Ejemplos 8 a) 3 a= 6 a; b) x = 8 c) 2 3 = x; 22 · Extracción e introducción de factores Puedes extraer factores de un radical cuando en él hay factores de exponente mayor o igual que el índice. Factor es aquello que multiplica. En el radicando de ab hay dos factores y en el de La introducción de factores siempre es posible y la operación se realiza elevando el factor al índice del radical. a + b hay dos sumandos, no factores. Ejemplos 9 Extraer los factores posibles de los radicales: a) a) 3 3 x9; b) 4 a9 x 9 = 3 x 3 · 3 x 3 · 3 x 3 = x ·x ·x = x 3 ; o también si dividimos 9 : 3 = 3 ⇒ b) Para extraer factores del radical 4 a 9 , hacemos: 4 3 x 9 = x3 a 9 = 4 a 4 · 4 a 4 · 4 a = a · a · 4 a = a2 4 a 10 Introducción de factores: 5 5 2x 3x 2 = 5 (2x )5 3x 2 = 5 32x 5 · 3x 2 = 96x 7 Tema 1. Los números reales 15 BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 16 Ejercicios 5 Usa la descomposición factorial de los radicandos y calcula: a) 3 2744 6 b) 4 0,0016 493 c) 3 b) 4 23 · 12 · 3 32 · 22 c) 5 9a 2b 6 2x · 8 x 3 d) 16x 3 27a b) 27 24 36 c) 2 2 2 2 4 d) 8x 3 y 12 d) 4 256 Extrae los factores posibles de los radicales: a) 5 256 9 −512 Calcula: a) 2 + 2 + 2 + 2 + 4 8 3 Calcula: a) 23 9 · 27 7 d) Escribe de la forma b) n 3 3x 4 y 6 c) 6 36a 8a 5 a los radicales: a) 3x 3 y 4 2 y 2 b) −3ab 3 4a 4. c) (a − b ) a + b d) 3x 2 3 2x 3 Racionalización Racionalizar una fracción es tranformarla en otra equivalente que no contenga ningún radical en el denominador. Algunos de los posibles casos son: m 1. El denominador es un radical cuadrático: a Se multiplica y se divide por el radical cuadrático del denominador. Se hace: m a = m· a a· a = m· a ( a) 2 = m a a 2. El denominador es un radical de índice n: En este caso debes operar con el radical «conveniente» a fin de conseguir índices y exponentes iguales. Aquí se multiplica y se divide por la expresión conjugada del denominador, sabiendo que la expresión conjugada de A – B es A + B y recíprocamente. 16 Haremos: m n ap = m · n a n−p n a p ·n a n−p = m n m · n a n−p n a p+n−p ap = m · n a n−p a 3. El denominador es una suma o diferencia con al menos un radical cuadrático: m m ·( a − b ) m ·( a − b ) = = a −b a+ b ( a + b )·( a − b ) Análogamente: m a− b = m ·( a + b ) ( a − b )·( a + b ) = m ·( a + b ) a −b BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 17 Ejemplos 11 a) 10 = 10 · 5 = 10 · 5 = 2 5 3·5 3 3 5 3 5· 5 b) c) 2 3 = 3 3 2 · 32 3 3 3 · 32 1 3+ 2 = 2· 3 9 = 3 33 = 2· 3 9 3 1·( 3 − 2 ) = ( 3 + 2 )·( 3 − 2 ) ( 3 − 2) = 3 −2 3− 2 Ejercicios 10 Racionaliza los denominadores: a) 3 ; 3 b) 6 ; c) 2 12 2 5 ; d) 4 5 7− 2 ; e) 22 5+ 3 5. Potencias de exponente fraccionario El concepto de potencia se amplía al caso de exponente fraccionario definiendo: Si no dispones de la tecla n a m /n = a m la tecla de tu calculadora también te permi- Admitimos que las reglas para el cálculo con potencias de exponente entero siguen siendo válidas para potencias con exponente fraccionario. te calcular raíces de cualquier índice. Si el exponente es negativo, el signo menos corresponde al numerador. Así, por ejemplo: 3 − 1 2 1 3 3− 1 = = Ejemplos 12 a) 3a1/3 = 3 3 a ; Ahora podemos justificar la propiedad En efecto: También: nm np pm p a pm = a nm = a n = a= c) 8− 1/3 = 8− 1 = 3 b) 43/2 = 43 = 64 = 8; (p a ) 1 n = ( ) 1 ap 1 n n n 3 1 1 1 = = 8 38 2 a p = nm a pm ap 1 1 × n = ap 1 = a pn = np a Ejercicios 11 Opera las siguientes expresiones y da el resultado sin exponentes fraccionarios: 4 a) 3 · 25/2 ; b) ; c) 3a1/2b − 1/2c 3/4 ; d)(2 a )1/3 (3a 2 )1/4 (ab 5 )− 1/6 1/2 6 − 21/2 Tema 1. Los números reales 17 BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 18 6. Si se trata de una fracción propia (numerador menor que el denominador), se toman desde el cero tantas partes iguales como indica el denominador. Uniendo la última con el 1 y trazando paralelas obtienes los puntos que representan las diferentes fracciones propias todas con igual denominador. Si la fracción es impropia (numerador mayor que el denominador) se escribe en a r la forma = c + donde c es el cocienb d te y r el resto de la división de a entre b. r Ahora la fracción ya es propia. d El conjunto de los números reales: La recta real El conjunto formado por los números racionales Q y los irracionales I recibe el nombre de conjunto de los números reales R. El teorema de Tales permite representar a los números racionales en la 3 2 recta. Por ejemplo, para representar los números y − se haría: 5 3 5 s 4 3 2 1 –1 – 2 3 0 3 5 1 1 2 3 Al representar los números racionales en la recta no debes pensar que ésta se llena por completo, pues hay «huecos» que serán rellenados por los irracionales. Para representar algunos números irracionales puedes hacer la siguiente construcción basada en las relaciones del teorema de Pitágoras. RELACIONES Los números naturales están contenidos en el conjunto de los números enteros N Z Los números enteros están contenidos en el conjunto de los números racionales Z Q Así pues: N Z Q Entre Q e I no hay ninguna relación de inclusión aunque ambos forman el conjunto R de los números reales R=Q∪I Luego: N Z Q R 5 2 3 ⊃ 1 1 1 ⊃ – 3 – 2 0 1 2 5 2 Los números irracionales llenan los huecos dejados por los racionales y de esta forma a todo número real se le puede hacer corresponder un único punto de la recta y recíprocamente. Los números reales llenan por completo la recta. Esta recta se llama recta real. ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ –3 –5 2 –2 – 7 4 –1 – 9 10 0 2 5 1 2 5 Todo número racional o irracional se dice que es un número real. 18 3 BAXX5714_01 8/5/08 7. 10:39 Página 19 Intervalos Un conjunto de números reales es un intervalo de R si, y solamente si, contiene todos los números comprendidos entre dos cualesquiera de sus elementos. Si a y b son dos reales tales que a ≤ b, la notación utilizada es: Intervalo cerrado [a, b] Intervalo abierto ]a, b[ a≤x≤b a<x<b x a Intervalo semiabierto a la izquierda ]a, b] b Intervalo semiabierto a la derecha [a, b[ a<x≤b a≤x<b x a x a b b a x b Los números a y b son los extremos del intervalo. Observa que en un intervalo cerrado por un extremo indica que dicho extremo sí pertenece al intervalo. Si el intervalo es abierto, el extremo no pertenece. Se puede generalizar el concepto para definir los intervalos de extremo infinito. Semirrectas cerradas Semirrectas abiertas [a, +∞[ = {x ∈ R y a ≤ x} x a x a ]–∞, b] = {x ∈ R y x ≤ b} x ]a, +∞[ = {x ∈ R y a < x} b ]–∞, b[ = {x ∈ R y x < b} x b Como casos extremos hay que citar el intervalo {a} = [a, a] y el intervalo vacío Ø = ]a, a[. El conjunto R sería pues el intervalo ]–∞, +∞[. Tema 1. Los números reales 19 BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 20 La intersección de dos intervalos es un intervalo pero la unión de dos intervalos no es necesariamente un intervalo. Observa el ejemplo siguiente: Ejemplos 13 Determina el conjunto P = (]– 3, 2[ ∩ [–1, 5] ∩ ]– 4, 3[) ∪ ]2, 5[ Llamando A = ]– 3, 2[ ∩ [–1, 5] ∩ ]– 4, 3[ ]–3, 2 [ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 [– 1, 5] -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ]–4, 3 [ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 A -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ]2, 5 [ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 P -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Por tanto P = [–1, 2[ ∪ ]2, 5[ Ejercicios 12 ¿Verdadero o falso? ⊃ b) ]2, 3[ [2, 3[; c) [1, 3] ⊃ ]2, 3[; ]– ∞, 3]; d) [–3, 2] ⊃ ⊃ a) [2, 3[ [– 4, 4] 13 Determina el conjunto A = {[1, 4[ ∪ ]5, 8]} ∩ {[–1, 2] ∪ ]3, 6[ ∪ ]7, 9]} 14 Determina el conjunto B = {]–1, 2[ ∩ [0, 3[ ∩ ]–5, 1[} ∪ ]1, 3]. 8. Valor absoluto: distancia en la recta Sea x un número real. Se llama valor absoluto o módulo de x y se escribe |x | al número positivo definido así: • si x es positivo o nulo entonces |x | = x • si x es negativo entonces |x | = –x. Ejemplos 14 a) |8| = 8; |7,5| = 7,5; |–5,8| = 5,8; |–1| = 1; b) |π – 3| = π – 3 pues π – 3 es positivo. Propiedades Cualesquiera que sean los números x e y se verifica: 1. |x | = |–x | 3. 20 x |x | (con y ≠ 0) = y |y | 2. |x · y | = |x | · |y | 4. |x + y | ≤ |x | + |y | BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 21 Ejemplos b) |(– 8) × 4| = |– 8| × |4| = 8 × 4 = 32 15 a) |3 – 7| = |7 – 3| = 4; c) |5| 5 5 5 = =− = |−4 | −4 4 4 d) |– 8 + 5| ≤ |– 8| + |5| pues |– 8 + 5| = 3 y |– 8| + |5| = 8 + 5 = 13 Además, si α ≥ 0 es fácil comprender que: Equivale a Gráficamente |x | = α |x | ≤ α |x | > α x = –α ó x = α –α ≤ x ≤ α x ∈ [– α, α] x < –α ó x > α x ∈ ]– ∞, – α[ ∪ ]α, +∞[ x x x −α 0 α −α 0 α −α La distancia entre dos puntos x e y de la recta real se define: d(x, y ) = |x – y | 0 α d(x, y) x y Propiedades de la distancia Cualesquiera que sean los números reales x, y, z se verifica: 1. d(x, y ) ≥ 0 y d(x, y ) = 0 si y sólo si x = y 2. d(x, y ) = d(y, x ) 3. d(x, y ) ≤ d(x, z ) + d(z, y ) (propiedad triangular) Ejemplos 16 a) d(3, 8) = |3 – 8| = 5; b) d(–2, 5) = |(–2) –5| = |–7| = 7; c) d(– 8, – 4) = |– 8 – (– 4)| = |– 8 + 4| = |– 4| = 4 Ejercicios 15 Da el valor absoluto de los siguientes números: a) 4,6; b) π + 3; c) 5 – 26 ; d) 5–2; e) – 32; f) 28000. 16 Calcula: ||– 2| – |– 4| – |– 3 × 5|| – |2 × (– 5)| 17 Halla x en las ecuaciones siguientes: a) |x | = 7; b) |x – 2| = 3; c) |2 – 3x | = 1 Tema 1. Los números reales 21 BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 22 9. Inecuaciones de primer grado con una incógnita En ocasiones el enunciado de un problema se traduce al lenguaje algebraico mediante el uso de desigualdades. En tales casos hay que resolver inecuaciones en las que es necesario utilizar las siguientes propiedades: 1. Si a < b entonces a + c < b + c Aunque estas propiedades se han escrito con los signos < y > siguen siendo válidas para los demás símbolos de desigualdad. 2. Si a < b y c > 0 entonces a × c < b × c y a b < c c 3. Si a < b y c < 0 entonces a × c > b × c y a b > c c Ejemplos 17 Resolver la inecuación: 1 x − 3 23 − ≥ 3( x − 1) − (4x + 3) 2 3 6 Se multiplica toda la inecuación por el m.c.m. (3, 6, 2) que es 6: 2(x – 3) – 23 ≥ 18(x – 1) – 3(4x + 3) Se realizan las operaciones indicadas: 2x – 6 – 23 ≥ 18x – 18 – 12x – 9 Transponiendo términos queda: 2x – 18x + 12x ≥ –18 – 9 + 6 + 23 Simplificando: – 4x ≥ 2 Para despejar x es necesario dividir por – 4 con lo que la desigualdad cambia de sentido: x ≤ − La solución es x ≤ − 1 2 ⎤ 1 1⎤ o el intervalo ⎥ −∞, − ⎥ 2 2⎦ ⎦ Gráficamente: –1 –1 2 0 Ejercicios 18 Resuelve las siguientes inecuaciones y expresa la solución gráficamente sobre la recta y como un intervalo: 1 x 5x – 9 7x + 5 d) x 3 − 6 ≤ 3 − 4x a) 2x − ≤ 0; b) − 10− 3 > 0; c) > ; 2 3 100 3 19 Mismo ejercicio: a) 6 − 5x 9 − 8x 11 − 10x − − < 0; 3 4 12 b) 3x + 2 – (5x + 1) ≤ – (2x + 3) + x – 6; c) x −2 x −1 x − 6 ; − > 3 5 3 d) 2x − 22 1 + 2x x >2+ 3 2 BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 23 EJERCICIOS RESUELTOS 1 ¿Verdadero o falso? a) La diferencia de dos números irracionales es un irracional. b) El producto de dos números decimales es un decimal. c) La raíz cuadrada de un entero positivo es un número irracional. a d) Todo racional se puede escribir de forma única de la forma con a y b primos entre sí. b Solución: a) Falso. Los números A = 2 + 2 y B = 2 son irracionales y A – B = 2 que no es irracional. 11 6 , = 183 = 0,54 b) Falso. Los números C = y F = son decimales y sin embargo C × F = 1. 6 11 c) Falso. Si el número es cuadrado perfecto su raíz cuadrada no es irracional. Así los números 1, 4, 9, 16, … n2 tienen raíz cuadrada entera. d) Verdadero. Es una propiedad de los números racionales. 2 Demuestra que Solución: 3 es irracional. Por reducción al absurdo. Supongamos que 3 es racional, esto es, supongamos que 3= a con a y b enteros y primos entre si. b a2 = 3 , luego a2 = 3b2 (*) y así a2 es múltiplo de 3, por tanto a2 = 3k y así a debe ser múltiplo de 3 pues b2 si no lo fuera su cuadrado tampoco lo sería. Entonces Si a = 3p es a2 = 9p2 y de (*) tenemos que 9p2 = 3b2, es decir b2 = 3p2 y razonando análogamente, b sería también múltiplo de 3 en contra de la hipótesis de que a y b eran primos entre sí. Por tanto es necesario negar la hipótesis, 3 no es racional luego es irracional. 3 Representa en la recta real los números 3 , 5 y 6 . Solución: Partiendo de la representación de 2 hecha en el tema sólo hay que considerar que: 3 = 12 +( 2 )2 y así Análogamente: Por último: 3 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1 y 2 . 5 = 12 + 22 luego 5 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1 y 2. 6 = 12 +( 5 )2 luego 6 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1 y 3 La representación sería: 2 5 1 5 . 6 1 1 1 0 1 2 3 2 5 6 Tema 1. Los números reales 23 BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 24 EJERCICIOS RESUELTOS 4 Da un redondeo con la precisión p indicada de los siguientes números: 127 13 1 11 b) (p = 10–2) c) (p = 10–1); d) (p = 10–3) a) (p = 10–4); 438 27 13 3 Solución: Observando las expresiones decimales de cada uno de los números, los redondeos buscados son: a) 5 13 ≈ 0,7647; 17 b) 127 ≈ 0,29; 438 c) 11 ≈ 3,7; 3 d) 1 ≈ 0,077 13 a) Calcula la expresión del área de un triángulo equilátero en función de su lado. b) Calcula el área de los triángulos equiláteros de lados 1 cm y 3 cm. c) ¿El área de los triángulos equiláteros es siempre un número irracional? Solución: a) h= l l2 h l 2 ⎛ l⎞ −⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ Luego S = l 2 b) Si l = 1 cm es S = 2 l× = l2 − l2 = 4 3l 2 l = 3 4 2 l 3 l2 3 2 = 2 4 3 cm2. 4 Si l = 3 cm es S = ( 3 )2 3 3 3 = cm2. 4 4 c) No, basta considerar por ejemplo el triángulo equilátero de lado S = 6 ( 4 12 )2 3 = 4 Calcula 2ab 3 · 3 4 12 cuya área es 12 · 3 3 = cm2 . 4 2 4a 2b · 4 2b y da un resultado simplificado. Solución: Como m.c.m.(2, 3, 4) = 12 se transforman todos los radicales en otros equivalentes de índice 12. 2ab 3 ⋅ 3 4a 2b ⋅ 4 2b = = 12 6 6 18 2 a b = 12 17 14 25 2 a b 24 12 (2ab 3 )6 ⋅ 12 (4a 2b )4 ⋅ 12 (2b )3 = ⋅ 12 44 a 8b 4 ⋅ 12 23 b 3 = = 2ab 2 12 25 a 2b 12 6 4 3 6 8 18 4 3 2 4 2 a a b b b = BAXX5714_01 7 8/5/08 10:39 Página 25 3 –1 Simplifica la expresión: 3 +1 Solución 3 −1 Racionalizamos el radicando: 8 Calcula y simplifica la expresión: a b = b a 3 Solución: 9 3 +1 2 3 ⎛ a⎞ b ⎜⎝ b ⎟⎠ a = 6 ( 3 − 1)( 3 − 1) = 3 ( 3 + 1)( 3 − 1) = ( 3 − 1)2 ( 3 )2 − 12 = 3 −1 3 −1 3 − 1 ( 3 − 1) 2 6− 2 = = 2 2 2⋅ 2 = a b b a a 2b = b 2a 6 a b Racionaliza los siguientes denominadores: 3 a) ; b) 2 5 3xy 2 3 x 2y ; c) 2 3− 2 ; d) 3+2 2 5−4 2 . Solución: 3 a) 2 5 b) c) d) 3xy 2 3 x 2y = 3 5 2 5 5 3 = 3− 2 3 5 3 5 = 2⋅5 10 3xy 2 ⋅ 3 xy 2 = 2 = 3+2 2 5−4 2 x 2 y ⋅ 3 xy 2 = 3xy 2 ⋅ 3 xy 2 3 2 (3 + 2 ) (3 − 2 )(3 + 2 ) = x 3y3 = 3xy 2 ⋅ 3 xy 2 = 3 y 3 xy 2 xy 3 2+2 3 2+2 = 7 32 − 2 (3 + 2 2 )(5 + 4 2 ) = (5 − 4 2 )(5 + 4 2 ) 10 Simplifica la expresión = 1 15 + 12 2 + 10 2 + 16 31 + 22 2 = 25 − 32 − 17 1 + 2+ 5 + 2+ 3 1 3+ 2 1 + 2 +1 Solución: Racionalizando cada uno de los sumandos: 1 2+ 5 + 1 2+ 3 + 1 3+ 2 + 1 2 +1 = = 2− 5 2− 3 + + 4−5 4−3 3− 2 2 −1 + 3−2 2−1 5 − 2 + 2 − 3 + 3 − 2 + 2 −1= 5 −1 Pues todos los denominadores son 1 excepto el primero que es –1. Tema 1. Los números reales 25 BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 26 EJERCICIOS RESUELTOS 11 Convierte en potencias de exponente fraccionario las expresiones siguientes: a) 5 ; b) 3 3 ; 2 c) 4 x +y ; 2 2 d) Solución: a) 5 = 51/2 b) 3 3 ⎛ 3⎞ = 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 1/ 3 d) 2 2 = c) 4 x + y = ( x + y )1/ 4 22 ⋅ 2 = 4 23 = 23 / 4 12 Resuelve la ecuación: |x + 6| = |x – 2| Solución: Cada uno de estos valores absolutos es en realidad una distancia. Sean A y B los puntos de abscisa – 6 y 2 respectivamente y sea M el punto de abscisa x. La ecuación |x + 6| = |x – 2| equivale a que MA = MB luego M es el punto medio del segmento AB. Por tanto la solución de la ecuación inicial es x = –2. A M –6 –2 B 2 0 13 Representa como intervalos los conjuntos de números que verifiquen: a) |x | ≤ 2 b) |x – 2| ≤ 4 c) |x | ≥ 3 d) d(x, 3) < 2 e) d(x, –1) ≤ 1 Solución: a) |x | ≤ 2 equivale a –2 ≤ x ≤ 2, luego: x ∈ [–2, 2] [ [ 0 –2 2 b) |x – 2| ≤ 4 equivale a – 4 ≤ x –2 ≤ 4, luego: – 4 + 2 ≤ x ≤ 4 + 2 ⇔ –2 ≤ x ≤ 6. Así: x ∈ [–2, 6] [ [ 0 –2 6 c) |x | ≥ 3 equivale a x ≤ – 3 ó x ≥ 3. Si x ≤ – 3 entonces x ∈ ]– ∞, – 3]. Si x ≥ 3 entonces x ∈ [3, +∞]. Por tanto, |x | ≥ 3 equivale a: x ∈ ]–∞, – 3] ∪ [3, +∞[ [ –3 0 [ 3 d) d(x, 3) < 2 equivale a |x – 3| < 2 o bien –2 < x – 3 < 2 ⇔ –2 + 3 < x < 2 + 3 ⇔ 1 < x < 5. Es decir x ∈ ]1, 5[ 0 [ [ 1 5 e) d(x, –1) ≤ 1 equivale a |x – (–1)| ≤ 1, es decir: |x + 1| ≤ 1 ⇔ –1 ≤ x + 1 ≤ 1 ⇔ –1 –1 ≤ x ≤ 1 – 1⇔ x ∈ [–2, 0] 26 [ [ –2 0 BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 27 x 14 Resuelve la inecuación: 3 − 5x − 4 2 ≤ x − 12 − 5 x 6 Solución: Multiplicándola por el m.c.m. (3, 2, 6) que es 6: 2x – 3(5x – 4) ≤ 6x – (12 – 5x ) 2x – 15x + 12 ≤ 6x – 12 + 5x Transponiendo: 2x – 15x – 6x – 5x ≤ –12 – 12 –24x ≤ –24 De donde: x ≥ 24 = 1. Se ha cambiado el sentido de la desigualdad porque se ha dividido por un número negativo. 24 La solución es x ≥ 1 o bien x ∈ [1, +∞[ Gráficamente: 0 [ 1 x ⎛ 5⎞ 4x + 3 15 Resuelve la inecuación: 2 ⎜ x − ⎟ ≥ 2⎠ 2 ⎝ Solución: Desarrollando el producto del primer miembro: 4x + 3 2x − 5 ≥ luego: 4x – 10 ≥ 4x + 3 ⇒ 0 ≥ 13 2 y como esta desigualdad es falsa, la inecuación propuesta no tiene solución. 16 Resuelve la inecuación: x 13 4 ⎛ 7x 9⎞ + − 2x ≤ 2x + − ⎜ − ⎟ 2 5 5 ⎝ 2 5⎠ Solución: − 3x 13 4 7x 9 + + ≤ 2x + − 2 5 5 2 5 multiplicando la inecuación por 10, que es el m.c.m. (2,5) se obtiene: Operando en cada miembro: –15x + 26 ≤ 20x + 8 – 35x + 18 ⇒ –15x – 20x + 35x ≤ 8 + 18 – 26 Es decir: 0≤0 Y como esta expresión es siempre cierta, cualquier valor de x es solución de la inecuación. Tema 1. Los números reales 27 BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 28 FORMULARIO Errores y cota de error Si el valor exacto de un número a se sustituye por a' el error absoluto es E = |a – a'| y el error relativo es e = | a − a '| |a | Raíces de índice n La expresión n a × n Se dice que a' es un valor aproximado de a con error menor que ε si |a – a'| < ε e siendo ε la cota del error absoluto. Distancia entre puntos La distancia entre dos puntos x e y de la recta real es: d(x, y ) = |x – y | n n a = x implica que x n = a. b = n a ×b ap = nm a pm n n a b = np n a (b ≠ 0) b a= np a n (n a )p = a p a m /n = n Intervalos El intervalo se llama y es un conjunto de números x tales que [a, b] cerrado a≤x≤b ]a, b[ abierto a<x<b [a, b[ semiabierto a la derecha a≤x<b ]a, b] semiabierto a la izquierda a<x≤b [a, +∞[ ó ]– ∞, a] semirrecta cerrada x≥a ó x≤a ]a, +∞[ ó ]– ∞, a[ semirrecta abierta x>a ó x<a Valor absoluto Se llama valor absoluto o módulo del número real x y se escribe |x | al número positivo definido así: • si x es positivo o nulo entonces |x | = x • si x es negativo entonces |x | = –x – [ – [ – 28 |x | = α equivale a x = α ó x = – α 0 0 0 am [ |x | ≤ α equivale a – α ≤ x ≤ α o bien x ∈ [– α, α] [ |x | > α equivale a { xx <> α– αo obienbien xx ∈∈ ]α,[– ∞+, ∞α[[ BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 29 EJERCICIOS FINALES 20 Dí qué números pertenecen a Q y cuáles a I. a) 10 ; b) d) 4,323232…; ) f) 7,324 ; e) 2,010010001… 21 ¿Es cierto que g) 4; c) 2 ; 3 0,04 ; h) π2 355 = π ? Razona la respuesta. 113 22 En la figura siguiente es OB = 7 cm y CD = 5 cm. c) – 6,4 y – 6,28 d) 5 y 6 Indica en cada caso cuál es la cota del error absoluto cometido. 26 En un reconocimiento médico se establece la estatura de un individuo en 183 cm cuando su estatura real es 181 cm. La longitud de una pista de atletismo es de 100,5 m cuando debería ser de 100 m. ¿Cuál de las dos medidas comete menor error absoluto? ¿Cuál tiene menor error relativo? C A D B O 27 Indica qué porcentaje de error relativo se comete cuando se hace un redondeo a décimas del número 15,86352. 28 Ordena en forma creciente los radicales: 3 Da el valor exacto y un redondeo a milésimas de la medida del segmento AB. 23 Da la medida exacta y un redondeo a centésimas de los segmentos AB, BC y BD del tangram siguiente: D 2; 4 3; 4 6; 3; 3 4. n 29 Escribe de la forma a b con b lo menor posible: b) 3 2000 ; a) 1200 ; c) 5 36 ⋅ 24 ⋅ 57 ⋅ x 11 ; d) x 2 − y 2 ; 3 e) x 3 − x 6 ; f) 4 32xy 30 Justifica que: A 8 cm ( ) a) (a 2 − b 2 ) a + b = (a + b ) a − b (con a > b) C B b) (a + b )2 − 4ab = a − b (con a > b) 8 cm c) 24 ¿Cuál es el error absoluto y relativo que se comete al redondear a) 16,7528 a milésimas? b) π a centésimas? c) 2 a enteros? d) 1,2345678… a diezmilésimas? 25 Expresa de la forma a = a' ± ε una medida de la que se sabe que su valor está entre: a) 24,96 y 25,12 b) 10,52 y 10,84 1 2 +1 + 1 3+ 2 = 3 −1 31 Calcula: a) 1 + 2 2 + 4 4 + 6 8 − 74 64 2 1 56 18 − 4 64 8 + 2 2 13 34 3 1 3993 81 − c) 6 576 − 3 81 + 10 5 2 b) 4 324 − d) 56 8 − 310 32 − 88 16 + 24 1 8 Tema 1. Los números reales 29 BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 30 EJERCICIOS FINALES 32 Calcula y da el resultado utilizando una sola raíz como máximo. 3 4 a) 5 · 15 · 75 b) 2 · 4 c) 4 2x · d) 30 · 8 8 · 32 6 8x 5 · 5 4 6 D = ⎡( 2 − 1)( 2 + 1)⎤ ⎣ ⎦ 2 37 Introduce en el radical todos los factores posibles: 64x 2 7 5a · 180a e) 3ab · 4 f) 2xy · 3z · 4 18z 3 y 2 3 C = (2 3 − 3 5 )2 8a b · 6 3 5 a)4 2; b)3a 2b ; c)2xy 3 3 y 2 ; d)(a + b ) a − b ; e)(a − b ) a ; f)3a 2b 2ab 3 24a b 4 38 Calcula: 33 Mismo ejercicio: 3 a) d) 200 3 3 4 ; b) c) ; 2 25 3 4 24a 3 8 4 ; e) 8a 6 50 4 50 2ab · a 2b 4 34 Calcula y simplifica: 3 a) ( 10 − 25 )( 10 + c) (5 − 2 3 )(5 + 9 ) d) (5 3 − 3 5 )(5 5 − 3 3 ) f) ( 3 a − 3 3 32a 3b 3 3 3 a) 8; 3 0,625 b) 2 2 ; ab + 3 b2 ) 1 ; 9 c) 2 3 9 ; d) 3 9 e) 4 3 8 f) ( 3 4 )4 ; ( a3 b 4 6 d) 256 ; ); 3 40 Racionaliza: 1 a) ; 5 2 b ) ( a2 + 2,56 + 3 1715 , − 39 Escribe las siguientes expresiones bajo un solo radical y simplifica el resultado: g) 4 ⎛ 1 ⎞ e) ⎜ 2 + ⎟ ⎝ 2⎠ 3 3 25 ) 1 2a − 3 b) (2a − 3) · 3 3 108 , − ; 3 f) ; 2a 12 3 h) b) 25 ( 3 ; c) 15 ; e) ; h) 5 15 ; 3 8 ; 5 2 ) x 2y 2+x ; 2−x f) 35 Justifica que: ⎛ 3 − 2 2− 3⎞ 1 + ⎜ ⎟ 3+2 2 = 2 ⎝ 6 2 3 ⎠ 36 Simplifica: A= 5 −2 3 3 3 2a 4 3a 2 8xy i) ; 5 4x 3 y 4 41 Escribe sin radicales las siguientes expresiones: a) 1 ; b) 3 9 ; 8; e) c) 4 2 + 3 5 +2 B = 17 − 2 30 · 17 + 2 30 30 g) d) 5 3 · 3 3x 15 3x ; 1 ; 4 f) 3 8 + 8 BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 31 42 Escribe las siguientes expresiones sin exponentes fraccionarios ni negativos: a) 2 b) (4x 2 )3 ; 1 5x 2 ; d) 5 · 3 − 1 2; e) 5 1 2 2 c) 4 − 1 2; f) (1 − x ) 1 2 a) c) 4 − 1 2 b) 27a 2 = 3a 2/3 = 0,5 d) 5 3 5 = 5 3 44 Indica qué números representan los puntos P, Q, R y S representados a continuación. P 1 2 Q 1 2 x −2 = | x + 1| 2 54 Calcula las intersecciones siguientes: A = ]–2, 5[ ∩ [–1, 7] B = ]– ∞, 6] ∩ [– 3, 10] 3 =2 x 0 53 −1 43 ¿Verdadero o falso? 1 2 4x b) |–x + 1| > 52 |x + 3| = |x – 1| − ; 51 a) |–x – 2| < 1; 55 Calcula las uniones siguientes: C = ]– 6, 8] ∪ [– 3, 10[ D = ]– ∞, 3[ ∪ [0, 12] 56 Expresa como un intervalo el conjunto de valores de x que verifican: b) x ≥ 3 a) x > 5 x<8 x<4 { c) x < 1 { x ≥ –4 3 2 { d) –2 < x ≤ 10 { –8 < x < 5 57 Expresa como intervalos: 1 1 a) [–1, 3] – {0} b) [2, 5[ – {2} S –2 –1 0 1 2 c) R – {–2, 3} d) R – [– 5, 0[ R Del 45 al 53. Determina los números reales que verifican la ecuación o inecuación propuesta. 45 a) |x | = 5; 46 a) |x – 1| = 0; 47 a) |x + 2| + 3 = 0; 48 a) |x | ≤ 5; b) |x | = 3 ; 2 Del 58 al 62. Resuelve las siguientes inecuaciones y representa la solución sobre la recta real. c) |x – 2| = 5 58 4x – 2(x – 3) > 7 + 3x b) |x + 5| = 3 59 x + 1 x + 3 2x − 3 − ≥ 2 5 2 60 x − 61 2x − 62 ⎛ x⎞ 4⎜ 5 − ⎟ > 2 − x 4⎠ ⎝ b) |2x – 3| – 1 = 0 b) |x | ≥ 1; 49 a) |x – 4| ≤ 4; b) |2x – 1| < 3 50 a) |3 – 2x | ≤ 3; b) x − 1 ≥2 2 5 c) |x | < 4 6 − 2x 3−x ≤ 2x + 2 − 4 2 x +6 1 ≥ −x 5 4 Tema 1. Los números reales 31 BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 32 AUTOEVALUACIÓN 1 El error absoluto cometido al redondear 15,1326 a milésimas es: A 2 2 B 0,003 C 0,0004 El error relativo cometido al redondear A 0,004 2 hasta centésimas es: 2 − 141 , B D nada de lo anterior C menor de 2 milésimas D nada de lo anterior C D nada de lo anterior 2 3 La diagonal de un cuadrado de lado A 2 2 mide: 2 B 4 La altura de un triángulo equilátero de lado A 3 6 5 El número A mide: C 6 D nada de lo anterior 3 – 3 1,08 es igual a: 13 5 5 B 0,3419952 6 C 3 148 , C 12 C 44 x3y 5( x + 5) + y x − 25 D nada de lo anterior 6 La expresión A 6 4ab2 · a3b2 3 a2b3 4a 4 b es igual a: B 2 3 ab 7 4x Al racionalizar la expresión 4 A 4 4 x3y 5 x +5 + y x −5 8 xy 3 + 5 b5 D nada de lo anterior queda: x –5 4 B 24a 6 4x x 3 5( x + 5) + y x −5 D nada de lo anterior 1 El número A –1 52 – 1 1 52 es igual a: +1 B 2 6 32 3 3 3 B 3 2,56 2 2 2 C 3− 5 2 D nada de lo anterior BAXX5714_01 8/5/08 9 10:39 Página 33 Si un número x verifica que –2 ≤ x + 2 ≤ 1 entonces: A x ∈ [–2, 3] B x ∈ [– 4, –1] 10 La solución de la inecuación A ]– ∞, 0[ C x ∈ ]– 4, 3[ D nada de lo anterior 2x + 1 x – 1 9x + 8 es: – ≤ 3 5 15 B [0, + ∞[ C no tiene solución D nada de lo anterior MISCELÁNEA MATEMÁTICA Los secretos pitagóricos Los Pitagóricos habían considerado como núcleo dogmático de su Filosofía que «los números son la esencia del universo», sin embargo su propio Teorema atenta contra los fundamentos de su doctrina pues el cuadrado, que es una de las figuras geométricas más simples, proporciona una terrible realidad: su diagonal no es conmensurable con el lado. Lo mismo sucede entre la diagonal y el lado del pentágono. Así pues los números (ellos llamaban números solamente a los enteros positivos) no podían medirlo todo. La Geometría no medía siempre con exactitud. Apareció la magnitud inconmensurable, lo irracional –no expresable mediante razones–, «el alogon», y provocó una crisis sin precedentes en la Historia de la Matemática. Con el descubrimiento de los inconmensurables quedaban afectadas y debían ser reconstruidas todas las pruebas pitagóricas de los teoremas en los que haya que comparar razones de magnitudes geométricas. Se explica, pues, el consiguiente secretismo de los pitagóricos sobre la cuestión irracional y la leyenda del castigo por su divulgación. La conmoción que el nuevo ente provocó en la Matemática griega queda reflejada en el siguiente escrito de Jámblico (Vida Pitagórica. XXXIV, 246-247, p. 141). «Se dice que el primero que reveló la naturaleza de la conmensurabilidad e inconmensurabilidad a los indignos de participar de tales conocimientos fue aborrecido [por la comunidad pitagórica] hasta el punto de que no sólo lo expulsaron de la vida y de la vivienda en común, sino que incluso le erigieron una tumba como si él, que había sido una vez compañero, hubiese abandonado la vida entre los hombres. [...] Otros afirman que la divinidad se enojó contra quien divulgó la doctrina de Pitágoras, pereciendo como un impío en el mar por sacrílego al haber revelado la doctrina de los números irracionales y la inconmensurabilidad.» Pitágoras. Detalle de la Academia de Atenas de Rafael. Tema 1. Los números reales 33