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UNIVERSIDAD NACIONAL AUT ÓNOMA DE MÉXICO Clave 1244 Universidad de Londres Preparatoria , A.C. Clave: 1500 Asignatura:_ Matemáticas V GUÍA DE ESTUDIO Profesora: _ Ivone Edith Salas López Escribir las definiciones de a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) línea recta cónicas circunferencia parábola elipse hipérbola mediatriz mediana altura bisectriz círculo Responder los criterios que cumplen a) b) c) d) e) las rectas paralelas las circunferencias concéntricas una familia de circunferencias el radio de la circunferencia (<,> ó = a cero) la excentricidad (<,> ó = a uno). Desarrollar los siguientes reactivos 1. ¿Cuál es el producto cartesiano y gráfica de los siguientes conjuntos a = {x I x ε N, x ≤ 4} y b = {y I y ε N, y ≤ 7}? 2. A una distancia de 30 metros de la base de una antena de transmisiones se observa la punta de la misma a un ángulo de 70°. ¿Qué altura tiene la estructura? 3. Si a y b son los catetos de un triángulo rectángulo y tienen los valores de 4 y 3 respectivamente. Calcular el valor de las funciones seno, coseno y tangente para estos valores y para los dos ángulos agudos. 4. ¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones? a) 25x+ 5x+1=750 b) 2x= 32x-5 c) log (x) + log (x -4) = 1 5. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A(2, 5) y B( 7, -1). 6. Discuta (intersección con los ejes X y Y, simetrías respecto a los ejes y respecto al origen, dominio y rango, asíntotas verticales y horizontales, ) y grafique la ecuación xy - y – x + 2 = 0. 7. Dados los puntos a (10, 5) y b (4, -5), determinar: a) distancia entre los puntos b) punto medio c) la pendiente. 8. Expresa la ecuación normal de la recta 3x - 13y – 2 = 0. 9. Una recta corta en el eje x y en el eje y, en 2 y -6, respectivamente. Determinar la ecuación simétrica, ecuación ordinaria y ecuación general de la recta. Identifica su pendiente y ordenada al origen. 10. Encontrar la distancia entre la recta 5x-7y+1=0 a) el punto (5,-3) b) la recta 15x-21y+2=0. y 11. Para el triángulo determinado por los puntos P1(-2,1), P2(5,5) y P3(7,-2), obtener la ecuación de a) la mediatriz del segmento determinado por P1 y P2 b) la mediana del segmento del segmento determinado por el P1 y P3 , al P2 c) la altura trazada desde el P1. 12. Obtener la ecuación de la bisectriz positiva de las rectas 7x - 10y – 10 = 0 y 5x – y +2 = 0 13. Los puntos A (2, -1) y B (2, 5), son loes extremos del diámetro de una circunferencia, determine centro, radio y la ecuación ordinaria. 14. Halle la ecuación general, de una circunferencia con radio 6 y centro (3, -4). 15. Encontrar el centro y radio de la circunferencia descrita por la ecuación -2x2 - 2y2 + 28x - 16y + 208 = 0. 16. Realiza un dibujo sobre las rectas notables en una circunferencia. 17. Realiza un dibujo sobre las secciones cónicas. ̂ = 52°, 𝐵𝐹 ̂ = 220°. Encuentra los ̂ = 63° y 𝐴𝐶 18. En la siguiente figura 𝐴𝐵 valores de E a) b) c) d) e) f) ̂ 𝐵𝐶 ̂ 𝐴𝐶𝐵 ∢𝐴𝐸𝐵 ∢𝐵𝐴𝐶 ∢𝐴𝐶𝐷. ∢𝐵𝑂𝐹 A B O F D C 19. Encuentra la ecuación de la cónica cuyo foco es el punto (2,-7), ecuación de la directriz 3x-4y+9=0 y excentricidad 2/3. ¿A qué lugar geométrico corresponde? Formulario de Matemáticas V Teorema de Pitágoras Trinomio cuadrado perfecto 𝐶. 𝑂𝑝2 + 𝐶. 𝐴𝑑 2 = 𝐻𝑖𝑝2 (a±b)2=a2±2ab+b2 𝐶. 𝑂𝑝 𝐻𝑖𝑝 𝐶. 𝐴𝑑 cos 𝜃 = 𝐻𝑖𝑝 𝐶. 𝑂𝑝 tang 𝜃 = 𝐶. 𝐴𝑑 2 2 √(𝑥 𝑑= 2 − 𝑥1 ) + (𝑦2 − 𝑦1 ) 𝑦2 − 𝑦1 𝑚= 𝑥2 − 𝑥1 𝑃𝑚 (𝑥𝑚 , 𝑦𝑚 ) donde 𝑥 +𝑥 𝑦 +𝑦 𝑥𝑚 = 1 2 3 𝑦𝑚 = 1 2 3 sen 𝜃 = Razones trigonométricas Distancia entre dos puntos Pendiente de dos puntos Punto medio de dos puntos Ec. punto-pendiente Ecuación que pasa por dos puntos dados, 𝑃1(𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑃2(𝑥2 , 𝑦2 ) Distancia de un punto 𝑃1(𝑥1 , 𝑦1 ) a una recta 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Pendiente de una recta 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Abscisa al origen de una recta 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Ordenada al origen de una recta 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Ec. simétrica Ec. ordinaria Ec. normal Parámetros de la ecuación normal de una recta 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦2 − 𝑦1 𝑦 − 𝑦1 = (𝑥 − 𝑥1 ) 𝑥2 − 𝑥1 𝑑= √𝐴2 + 𝐵2 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎=− 𝐴 𝐶 𝑏=− 𝐵 𝑥 𝑦 + =1 𝑎 𝑏 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑤 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑤 − 𝑝 = 0 𝐴 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝑤 = = 𝑟 ±√𝐴2 + 𝐵2 𝑚=− 𝑠𝑒𝑛𝑤 = 𝑝= con Ángulo w, de la recta en su forma normal |𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶| 𝐵 ±√𝐴2 + −𝐶 ±√𝐴2 + 𝐵2 𝐵2 = = 𝐵 𝑟 −𝐶 𝑟 𝑟 = ±√𝐴2 + 𝐵2 𝐴 𝑤 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( 𝑟 ) 𝑥𝑚 = Para ec. de Mediana en un triángulo 𝑥1 +𝑥3 2 𝑦𝑚 = 𝑦1 +𝑦3 2 𝑦2 − 𝑦𝑚 (𝑥 − 𝑥𝑚 ) 𝑥2 − 𝑥𝑚 𝑥 +𝑥 𝑦 +𝑦 = 1 2 𝑦𝑚 = 1 2 𝑦 − 𝑦𝑚 = 𝑥𝑚 Para ec. de Mediatriz de un segmento 2 𝑦 −𝑦 𝑚𝑃2𝑃3 ̅̅̅̅̅̅̅̅ Ec. de Bisectriz Ecuaciones de la circunferencia -General -Ordinaria, con centro en (ℎ, 𝑘) y radio 𝑟 -Canónica Radio, 𝑟 Centro (h, k) Formulación de una cónica con Foco (𝑥𝐹 , 𝑦𝐹 ) Y Directriz 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 −1 𝑚′ = 𝑚 2 1 𝑚𝑃1𝑃2 ̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑥 −𝑥 2 Para ec. de Altura de un triángulo 2 1 ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑃1𝑃2 𝑦 − 𝑦𝑚 = 𝑚′(𝑥 − 𝑥𝑚 ) 𝑦 −𝑦 −1 = 𝑥3 −𝑥2 𝑚𝐴 = 𝑚 3 ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑃2𝑃3 2 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚𝐴 (𝑥 − 𝑥1 ) 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 = 2 2 ±√𝐴1 + 𝐵1 ±√𝐴2 2 + 𝐵2 2 𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 1 √𝐷 2 + 𝐸 2 − 4𝐴𝐹 𝑟= 2𝐴 ℎ= −𝐷 2𝐴 )2 + −𝐸 2𝐴 − 𝑦𝐹 )2 y𝑘= (𝑦 √(𝑥 − 𝑥𝐹 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 ±√𝐴2 + 𝐵2 =𝑒