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Geometría y Trigonometría
Polígonos
5. POLÍGONOS
5.1 Definición y notación de polígonos
Un polígono es una figura geométrica limitada por
segmentos de recta denominados lados, donde el
extremo de un segmento es el origen del otro.
Etimológicamente, la palabra POLÍGONO proviene
de las raíces poli que significa muchos y gonos que
significa ángulos.
Los polígonos se nombran mediante letras
mayúsculas situadas en los vértices del mismo. Su
notación se efectúa escribiendo las letras mayúsculas
después de la palabra polígono o del nombre
específico del polígono, también por sus símbolos
gráficos.
E
D
F
C
A
B
Polígono ABCDEF Hexágono
Hexágono ABCDEF
En un polígono se consideran los siguientes elementos:
Diagonales
•
•
•
•
Lados,
Ángulos,
Diagonales y
Vértices.
Vértice
Ángulo
interno
Ángulo
externo
Lado
43
Unidad uno
Geometría y Trigonometría
5.2 Clasificación de polígonos
Se han establecido tres clasificaciones para los polígonos:
•
•
•
Por la amplitud de sus ángulos.
Por la medida de sus lados y sus ángulos.
Por el número de lados.
AMPLITUD DE LOS ÁNGULOS
Convexos
Cóncavos
Son aquellos cuyos ángulos interiores son Son los que tienen uno o varios
todos menores de 180º y sólo pueden ser ángulos mayores de 180º y pueden ser
cortados en dos puntos por una recta secante. cortados en más de dos puntos por una
recta secante.
MEDIDA DE SUS LADOS y ÁNGULOS
Regulares
Irregulares
Cuando sus lados y ángulos son todos iguales Cuando al menos uno de sus lados o
entre sí.
ángulos es diferente a los demás.
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Polígonos
NÚMERO DE LADOS
NÚMERO DE LADOS
NOMBRE DEL POLÍGONO
3
Triángulo
4
Cuadrilátero
5
Pentágono
6
Hexágono
7
Heptágono
8
Octágono
9
Eneágono
10
Decágono
11
Endecágono
12
Dodecágono
15
Pentadecágono
20
Icoságono
A los demás polígonos se les nombra por el número de sus lados;
por ejemplo: polígono de 13 lados, de 25 lados, etcétera.
5.2.1 Cuadriláteros
Son polígonos limitados por cuatro lados y forman entre sí cuatro ángulos.
Estos polígonos se indican por las letras mayúsculas de sus vértices, escritas enseguida de su
representación gráfica.
C
D
C
C
D
D
B
A
A
B
B
A
ABCD
ABCD
45
ABCD
Unidad uno
Geometría y Trigonometría
Los cuadriláteros se clasifican de acuerdo a sus ángulos y a la forma de sus lados, es decir, al
paralelismo de sus lados opuestos.
Los tres principales grupos son: paralelogramos, trapecios y trapezoides. El esquema siguiente
muestra la división y subdivisión de los cuadriláteros:
Cuadriláteros
Paralelogramos
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
Cuadrado
• Cuatro lados
iguales.
• Cuatro ángulos
rectos.
• Sus diagonales
son iguales y
perpendiculares.
Trapecios
Trapecio escaleno
Trapecio rectangular
Trapecio isósceles
Trapezoides
Simétricos
Asimétricos
PARALELOGRAMOS
Son paralelos sus lados opuestos.
Rectángulo
Rombo
• Lados opuestos
• Cuatro lados
iguales 2 a 2.
iguales.
• Cuatro ángulos
• Ángulos
rectos.
opuestos 2 a 2.
• Diagonales
iguales y
oblicuas.
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Romboide
• Lados opuestos
iguales 2 a 2.
• Ángulos
opuestos iguales
2 a 2.
Geometría y Trigonometría
Polígonos
TRAPECIOS
Si únicamente dos de sus lados opuestos son paralelos.
Escaleno
Rectángulo
Isósceles
Es aquel que tiene los lados no Es aquel que tiene un lado Es aquel que tiene los lados no
paralelos desiguales.
perpendicular a las bases, paralelos de igual longitud,
formando un ángulo recto con formando con las bases
cada base.
ángulos adyacentes iguales.
TRAPEZOIDES
Sus lados opuestos no son paralelos entre sí.
Simétricos
Asimétricos
Son los que tienen dos pares de lados Son aquellos que no ofrecen ninguna de las
consecutivos iguales pero el primer par de lados características de un trapezoide simétrico.
consecutivos iguales es diferente del segundo.
Eje de simetría
47
Unidad uno
Geometría y Trigonometría
EJERCICIO 5-1
INSTRUCCIONES.- Relaciona las columnas escribiendo dentro del paréntesis el número que
corresponda a la respuesta correcta.
1) Figura geométrica limitada por segmentos de recta denominados (
lados, donde el extremo de un segmento es el origen del otro.
) Convexos.
2) Es un elemento del polígono.
(
) Endecágono.
3) Polígono que tiene sus ángulos interiores menores de 180°.
(
) Escaleno.
4) Polígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales.
(
) Asimétrico.
5) Polígono que tiene once lados.
(
) Cóncavos.
6) Cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos.
(
) Trapezoides.
7) Trapecio que tiene los lados no paralelos desiguales.
(
) Muchos y ángulos.
8) Cuadrilátero que sus lados opuestos no son paralelos entre sí.
(
) Regulares.
9) Trapezoide que no ofrece ninguna de las características de un (
trapezoide simétrico.
10) Polígono proviene de las raíces poli y gono que significa:
48
) Polígono.
(
) Paralelogramos.
(
) Vértices.
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Polígonos
EJERCICIO 5-2
INSTRUCCIONES.- Subraya la respuesta correcta de cada una de las siguientes preguntas.
1) Polígonos que tienen uno o varios ángulos mayores de 180°.
A) Regulares
B) Convexos
C) Irregulares
D) Cóncavos
2) Polígonos en los que al menos uno de sus lados o ángulos es diferente a los demás.
A) Regulares
B) Convexos
C) Irregulares
D) Cóncavos
C) Decágono
D) Triángulo
3) Nombre del polígono de 20 lados.
A) Icoságono
B) Pentadecágono
4) Polígonos que tienen únicamente dos de sus lados opuestos paralelos.
A) Paralelogramos
B) Trapecios
C) Trapezoides
D) Rombo
5) Trapezoides que tienen dos pares de lados consecutivos iguales pero el primer par de lados
consecutivos iguales es diferente al segundo.
A) Simétricos
B) Rectángulo
C) Isósceles
49
D) Rombo
Unidad uno
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5.3 Teoremas sobre polígonos
Teorema 1.
La suma de los ángulos interiores ( S ∠i ) de un polígono es igual al producto de dos
ángulos rectos por el número de lados (n) del polígono menos 2.
S ∠i = 180º (n − 2)
La medida de cada ángulo interior (∠i ) de un polígono regular de n lados se puede
calcular por medio de la siguiente fórmula:
∠i =
180º ( n − 2) S ∠i
=
n
n
Teorema 2.
La suma de los ángulos exteriores ( S ∠e ) de un polígono es igual a 360º.
S ∠e = 360º
La medida de cada ángulo exterior (∠e ) de un polígono regular de n lados se
puede calcular por medio de la siguiente fórmula:
∠e =
360º
n
Teorema 3.
El número de diagonales (D ) de un polígono de
producto de n por (n − 3).
D=
n
lados es igual a la mitad del
n(n − 3)
2
(d ) que se pueden trazar desde un vértice de un polígono
n lados es igual a: d = n − 3
El número de diagonales
convexo de
La diagonal es la línea que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
50
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Polígonos
Por ejemplo: Si tenemos una figura de cinco lados
n = 5.
La aplicación de los teoremas nos permite calcular
los siguientes aspectos de este polígono.
Número
de Número de diagonales del La suma de ángulos
diagonales por polígono:
interiores es:
vértice:
d = n−3
n(n − 3)
S∠i = 180º (n − 2)
D=
d =5−3
2
S∠i = 180º (5 − 2)
(
)
5
5
−
3
d =2
S∠i = 540º
D=
2
D=5
La medida de cada
ángulo interior es:
180º (n − 2)
n
180º (5 − 2) 540º
=
∠i =
5
5
∠i = 108º
∠i =
EJERCICIO 5-3
INSTRUCCIONES.- Resuelve los siguientes
correspondientes.
problemas,
aplicando
1) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un heptágono?
2) ¿Cuántas diagonales, en total, se le pueden trazar a un polígono de 15 lados?
51
los
teoremas
Unidad uno
Geometría y Trigonometría
3) ¿Cuántas diagonales se le pueden trazar desde un mismo vértice a un polígono de 14 lados?
4) ¿Cuál es el polígono al que se le pueden trazar 11 diagonales desde un mismo vértice?
5) ¿Cuántos lados tendrá un polígono regular, si sabemos que cada ángulo interior vale 140°?
6) ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores miden 90° cada uno?
7) ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 1260°?
52
Geometría y Trigonometría
Polígonos
5.4 Perímetro y área de polígonos
5.4.1 Definición de perímetro y área
Perímetro
Área
En los cuerpos geométricos las caras o límites de los sólidos se llaman superficies,
las cuales determinan su forma. Al medir el contorno de una figura geométrica
obtenemos su perímetro que representamos con la letra P.
El área de una figura geométrica es la medida de su superficie; la unidad de medida,
generalmente es el metro cuadrado y se expresa en m 2 .
Fórmula
El perímetro y el área de una figura geométrica puede ser indicada por medio de una
fórmula, la cual es la expresión de una ley o de un principio general, usando símbolos
o letras. Una fórmula es una ecuación en la que podemos despejar cualquiera de las
variables que en ella intervienen, considerándola como incógnita.
Ejemplo.- El área del triángulo se expresa como:
A=
bh
2
donde :
b = base
h = altura
2A
b
2A
b=
h
h=
Despejando para altura
Despejando para base
5.4.2 Fórmulas geométricas para calcular superficies y perímetros
RECTÁNGULO
Perímetro
P = 2a + 2b
53
Área
A = ab
Unidad uno
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CUADRADO
Perímetro
P = 4a
Área
A = a2
Perímetro
P = 2b + 2a
Área
A = bh
a
PARALELOGRAMO
TRIÁNGULO
Perímetro
P = a+b+c
Área
1
A = bh
2
A = s ( s − a )( s − b)( s − c)
Semiperímetro = s =
ROMBO
Perímetro
P = 4a
54
Área
1
A = dd '
2
P
2
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Polígonos
TRAPECIO
Perímetro
P =a+b+c+d
Área
1
A = ( a + b) h
2
Perímetro
P = nb
Área
1
A = Pa
2
POLÍGONO REGULAR
donde A =
1
Pa
2
P = Perímetro
a = Apotema
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Unidad uno
Geometría y Trigonometría
EJERCICIO 5-4
INSTRUCCIONES.- Obtén el área y el perímetro de cada uno de los problemas indicados,
además dibuja la figura que corresponda.
1) De un rectángulo cuya base mide 5cm y la altura 3cm.
2) De un cuadrado de 3cm por lado.
3) De un rombo cuya diagonal mayor es de 7cm, la menor de 4cm y sus lados miden 3cm.
56
Geometría y Trigonometría
Polígonos
4) De un triángulo isósceles cuya base mide 6cm, la altura 5cm y los lados 10 cm.
5) De un hexágono regular cuyo lado mide 3cm y su apotema 1.5cm.
6) De un trapecio cuyas bases miden 10cm, 7cm, su altura 5cm y sus otros dos lados miden 6cm.
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