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MACROPROCESO: DOCENCIA
PROCESO: LINEAMIENTOS CURRICULARES
PROCEDIMIENTO: APROBACIÓN Y REVISIÓN DEL PLAN ACADÉMICO EDUCATIVO
CONTENIDOS PROGRAMATICOS
Código: D-LC-P02-F01
Versión: 03
Pagina 1 de 3
Fecha: Septiembre 16 de 2010
PROGRAMA ACADÉMICO: MATEMÁTICAS
SEMESTRE: X
ASIGNATURA: ELECTIVA V - GEOMETRÍA ALGEBRAICA
CÓDIGO: 8109414
NÚMERO DE CRÉDITOS: 3
PRESENTACIÓN
La Geometría algebraica es una disciplina clásica con una larga y distinguida presencia en diferentes áreas de
las matemáticas. Por ejemplo se trabaja en Álgebra, teoría de números, variable compleja y, más
recientemente, en la física teórica.
Además, la geometría algebraica se encarga del estudio de las ecuaciones polinómicas con coeficientes en un
cuerpo.
Últimamente, nuevos métodos de la geometría algebraica han dado lugar a importantes y avances inesperados
en otras áreas de las matemáticas, como la estadística, el análisis numerico, la combinatoria y la computación
simbólica.
JUSTIFICACIÓN
Como la geometría álgebraica estudia los sistemas de ecuaciones polinómicas con coeficientes en un cuerpo,
es conveniente comparar esta “definición” con otra más conocida, como por ejemplo el álgebra lineal que
estudia los sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes en un cuerpo.
De esta manera el profesional en matemáticas que conozca el álgebra lineal reconocerá que esta es una buena
forma de describirla, e igualmente sabrá que en realidad el álgebra lineal trasciende su propósito original, de
modo que es fácil encontrar libros de algebra lineal en los que los sistemas de ecuaciones sean una
herramienta secundaria.
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COMPETENCIAS
Capacidad de análisis y síntesis (Se entrena de forma intensa)
Capacidad para aplicar la teoría a la práctica (Se entrena de forma moderada)
Habilidades de investigación (Se entrena de forma moderada)
Capacidad para conectar los puntos de vista algebraico y geométrico.
Capacidad para conectar los puntos de vista teórico/básico con problemas prácticos/reales.
Capacidad para generalizar e interpretar resultados y métodos clásicos conocidos previamente por el
estudiante, con vistas a abarcar
campos nuevos para él.
Desarrolla las competencias comunicativas (hablar, leer, escuchar, escribir) mediante la interacción con el
grupo.
METODOLOGÍA
Exposición de los temas básicos por parte del docente.
Desarrollo de ejercicios y talleres dirigidos por el docente. Socializaciones orales por parte de los
estudiantes.
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PROCESO: LINEAMIENTOS CURRICULARES
PROCEDIMIENTO: APROBACIÓN Y REVISIÓN DEL PLAN ACADÉMICO EDUCATIVO
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Lecturas dirigidas por parte de los estudiantes en forma individual y grupal.
Socializaciones individuales de los estudiantes en el tablero.
Desarrollo de exposiciones por parte de los estudiantes.
INVESTIGACIÓN
Como es sabido, la investigación formativa enfocada no solamente a lograr una mejor comprensión conceptual,
sino a continuar despertando la curiosodad y la formulación de conjeturas, por ende la investigación en este
curso se apoya fundamentalmente a través de la solución planeada de ejercicios y problemas y en la
reformulación lógica y coherente de las situaciones problema cambiando algunas de las condiciones o
informaciones de los enunciados iniciales, asi como la ejercitación y analisis coherente en las ejercicios tipo
demostrativo.
MEDIOS AUDIOVISUALES
Computador, Video beam, retroproyector, Libros y talleres, Tablero y marcadores, Apuntes Web.
EVALUACIÓN
EVALUACIÓN COLECTIVA
La promocion del trabajo en equipo tanto en clase como extraclase se hará en forma permanente para
favorecer la discusión y la argumentación entre pares, la solidaridad y el aprovechamiento de los recursos, las
exposiciones se podran aprovechar para praticar la autoevaluación y cohevaluación.
La cantidad de exámenes, talleres y/o trabajos y sus respectivas ponderaciones se acordarán con los
estudiantes.
EVALUACIÓN INDIVIDUAL
Se enfatizará en la evaluación formativa (no como un mecanismo de control sino de diagnóstico), de manera
que cada estudiante tenga la oportunidad de evaluar objetivamente la calidad del trabajo. De tal forma lograrán
una visión amplia y suficiente de cada tema y sus aplicaciones.
La evaluación en el logro individual de las competencias matemáticas se hace continuamente en clase, en
tutoría y en la revisión de pruebas orales y/o escritas.
CONTENIDOS TEMÁTICOS MÍNIMOS
Variedades algebraicas
- Variedades afines
- Variedades proyectivas
- Variedades cuasiproyectivas
- Producto de variedades
- Aplicaciones racionales
Dimensión
- Aplicaciones finitas
- La dimensión de un conjunto algebraico
- Variedades tangentes y diferenciales
- Puntos regulares
- Inmersi´on de variedades
- Curvas algebraicas
Variedades complejas
- Las estructuras topológica y analítica
- El teorema de conexión
- Variedades proyectivas
- Superficies de Riemann
- El teorema de Lefschetz
Temas complementarios.
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- Morfismos entre variedades. Propiedades.
- Geometría algebraica local y singularidades.
- Métodos computacionales en geometría algebraica.
-Topologia de Zariski.
LECTURAS MÍNIMAS
Lecturas del texto guía
Lectura de Artículos sobre el tema
Lecturas de biografias de Matemáticos famosos
BIBLIOGRAFÍA E INFOGRAFÍA
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Ivorra Castillo Carlos, Geometría algebraica.
Fulton, W. Curvas algebraicas. Introducción a la geometría algebraica. Reverté, Barcelona, 1971.
Kendig, K. Elementary Algebraic Geometry. Springer, New York, 1977.
HARRIS, J. - Algebraic Geometry - A First Course, GTM 133, Springer-Verlag, 1992.
HARTSHORNE, R. - Algebraic Geometry. Berlin, Springer, 1977.
SEMPLE, J.G. e ROTH, L. - Algebraic Geometry, Oxford University Press, 1949.
SHAFAREVICH, I. R. - Basic Algebraic Geometry. Berlin, Springer-Verlag, 1974.
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Código: D-LC-P02-F01
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Fecha: Septiembre 16 de 2010
PROGRAMA ACADÉMICO: MATEMÁTICAS
SEMESTRE: X
ASIGNATURA: ELECTIVA V - GEOMETRÍA ALGEBRAICA
CÓDIGO: 8109414
NÚMERO DE CRÉDITOS: 3
PRESENTACIÓN
La Geometría algebraica es una disciplina clásica con una larga y distinguida presencia en diferentes áreas de
las matemáticas. Por ejemplo se trabaja en Álgebra, teoría de números, variable compleja y, más
recientemente, en la física teórica.
Además, la geometría algebraica se encarga del estudio de las ecuaciones polinómicas con coeficientes en un
cuerpo.
Últimamente, nuevos métodos de la geometría algebraica han dado lugar a importantes y avances inesperados
en otras áreas de las matemáticas, como la estadística, el análisis numerico, la combinatoria y la computación
simbólica.
JUSTIFICACIÓN
Como la geometría álgebraica estudia los sistemas de ecuaciones polinómicas con coeficientes en un cuerpo,
es conveniente comparar esta “definición” con otra más conocida, como por ejemplo el álgebra lineal que
estudia los sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes en un cuerpo.
De esta manera el profesional en matemáticas que conozca el álgebra lineal reconocerá que esta es una buena
forma de describirla, e igualmente sabrá que en realidad el álgebra lineal trasciende su propósito original, de
modo que es fácil encontrar libros de algebra lineal en los que los sistemas de ecuaciones sean una
herramienta secundaria.
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COMPETENCIAS
Capacidad de análisis y síntesis (Se entrena de forma intensa)
Capacidad para aplicar la teoría a la práctica (Se entrena de forma moderada)
Habilidades de investigación (Se entrena de forma moderada)
Capacidad para conectar los puntos de vista algebraico y geométrico.
Capacidad para conectar los puntos de vista teórico/básico con problemas prácticos/reales.
Capacidad para generalizar e interpretar resultados y métodos clásicos conocidos previamente por el
estudiante, con vistas a abarcar
campos nuevos para él.
Desarrolla las competencias comunicativas (hablar, leer, escuchar, escribir) mediante la interacción con el
grupo.
METODOLOGÍA
Exposición de los temas básicos por parte del docente.
Desarrollo de ejercicios y talleres dirigidos por el docente. Socializaciones orales por parte de los
estudiantes.
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Lecturas dirigidas por parte de los estudiantes en forma individual y grupal.
Socializaciones individuales de los estudiantes en el tablero.
Desarrollo de exposiciones por parte de los estudiantes.
INVESTIGACIÓN
Como es sabido, la investigación formativa enfocada no solamente a lograr una mejor comprensión conceptual,
sino a continuar despertando la curiosodad y la formulación de conjeturas, por ende la investigación en este
curso se apoya fundamentalmente a través de la solución planeada de ejercicios y problemas y en la
reformulación lógica y coherente de las situaciones problema cambiando algunas de las condiciones o
informaciones de los enunciados iniciales, asi como la ejercitación y analisis coherente en las ejercicios tipo
demostrativo.
MEDIOS AUDIOVISUALES
Computador, Video beam, retroproyector, Libros y talleres, Tablero y marcadores, Apuntes Web.
EVALUACIÓN
EVALUACIÓN COLECTIVA
La promocion del trabajo en equipo tanto en clase como extraclase se hará en forma permanente para
favorecer la discusión y la argumentación entre pares, la solidaridad y el aprovechamiento de los recursos, las
exposiciones se podran aprovechar para praticar la autoevaluación y cohevaluación.
La cantidad de exámenes, talleres y/o trabajos y sus respectivas ponderaciones se acordarán con los
estudiantes.
EVALUACIÓN INDIVIDUAL
Se enfatizará en la evaluación formativa (no como un mecanismo de control sino de diagnóstico), de manera
que cada estudiante tenga la oportunidad de evaluar objetivamente la calidad del trabajo. De tal forma lograrán
una visión amplia y suficiente de cada tema y sus aplicaciones.
La evaluación en el logro individual de las competencias matemáticas se hace continuamente en clase, en
tutoría y en la revisión de pruebas orales y/o escritas.
CONTENIDOS TEMÁTICOS MÍNIMOS
Variedades algebraicas
- Variedades afines
- Variedades proyectivas
- Variedades cuasiproyectivas
- Producto de variedades
- Aplicaciones racionales
Dimensión
- Aplicaciones finitas
- La dimensión de un conjunto algebraico
- Variedades tangentes y diferenciales
- Puntos regulares
- Inmersi´on de variedades
- Curvas algebraicas
Variedades complejas
- Las estructuras topológica y analítica
- El teorema de conexión
- Variedades proyectivas
- Superficies de Riemann
- El teorema de Lefschetz
Temas complementarios.
MACROPROCESO: DOCENCIA
PROCESO: LINEAMIENTOS CURRICULARES
PROCEDIMIENTO: APROBACIÓN Y REVISIÓN DEL PLAN ACADÉMICO EDUCATIVO
CONTENIDOS PROGRAMATICOS
Código: D-LC-P02-F01
Versión: 03
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- Morfismos entre variedades. Propiedades.
- Geometría algebraica local y singularidades.
- Métodos computacionales en geometría algebraica.
-Topologia de Zariski.
LECTURAS MÍNIMAS
Lecturas del texto guía
Lectura de Artículos sobre el tema
Lecturas de biografias de Matemáticos famosos
BIBLIOGRAFÍA E INFOGRAFÍA
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Ivorra Castillo Carlos, Geometría algebraica.
Fulton, W. Curvas algebraicas. Introducción a la geometría algebraica. Reverté, Barcelona, 1971.
Kendig, K. Elementary Algebraic Geometry. Springer, New York, 1977.
HARRIS, J. - Algebraic Geometry - A First Course, GTM 133, Springer-Verlag, 1992.
HARTSHORNE, R. - Algebraic Geometry. Berlin, Springer, 1977.
SEMPLE, J.G. e ROTH, L. - Algebraic Geometry, Oxford University Press, 1949.
SHAFAREVICH, I. R. - Basic Algebraic Geometry. Berlin, Springer-Verlag, 1974.
MACROPROCESO: DOCENCIA
PROCESO: LINEAMIENTOS CURRICULARES
PROCEDIMIENTO: APROBACIÓN Y REVISIÓN DEL PLAN ACADÉMICO EDUCATIVO
CONTENIDOS PROGRAMATICOS
Código: D-LC-P02-F01
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Pagina 7 de 3
Fecha: 16 de septiembre de 2010
PROGRAMA ACADÉMICO: MATEMÁTICAS
SEMESTRE: X
ASIGNATURA: ELECTIVA V - TEORÍA DEL CAOS
CÓDIGO: 8109413
NÚMERO DE CRÉDITOS: 3
PRESENTACIÓN
Este documento presenta el programa y aspectos referentes a la justificación, las competencias que el
estudiante debe desarrollar, la metodología, los aspectos a investigar, las ayudas audiovisuales, formas de
evaluación, contenidos temáticos mínimos, las lecturas mínimas que el estudiante debe realizar y la bibliografía
e infografía necesaria, todos ellos apuntan a delinear el derrotero sobre el cual el estudiante debe transitar para
ser realizar una labor proficiente y necesaria para su futuro trabajo profesional.
JUSTIFICACIÓN
Los adelantos en matemáticas han evidenciado la conexión de la realidad con aspectos que permanecieron
como teóricos durante mucho tiempo, los fractales y el comportamiento “caótico” son algunos de estos
conceptos; su conexión con la mecánica y los sistemas dinámicos es innegable e inevitable. La comprensión
de los principios que rigen el “caos” determinístico es necesaria para modelar situaciones reales cuyos patrones
de comportamiento quedan perfectamente descritos por este concepto. El estudiante con inquietud en
profundizar en los sistemas dinámicos tiene que vérselas con el caos y los fractales.
COMPETENCIAS
Competencia genérica:
Explicar analíticamente sistemas determinísticos que generan comportamientos caóticos de acuerdo con la
teoría existente.
Competencias componentes:
Explicar los comportamientos de mapeos uni y bidimensionales, su estabilidad o inestabilidad según la teoría
existente.
Identificar los atractores caóticos de un sistema mecánico según la teoría propuesta.
Explicar el principio de cascada en bifurcaciones según la teoría propuesta.
METODOLOGÍA
Para lograr las competencias propuestas se hace necesario que el estudiante se responsabilice del proceso
formativo formulando preguntas, estableciendo o identificando claramente el propósito de cada situación, la
información que necesita para enfrentarla, los conceptos que le permitirán solucionarla, los supuestos que es
necesario explicitar, el punto de vista que ha tomado para la solución, el desarrollo del ejercicio y las
conclusiones a las que ha llegado después de terminada la actividad. La pre-lectura de los temas a ser tratados
en la materia es condición indispensable para mejorar el rendimiento individual y grupal. La participación en
clase y la preparación de sustentaciones se constituye en elemento vital para la dinámica de aprehensión del
conocimiento y recreación del mismo. Todo lo anterior es coherente con el Modelo Pedagógico General
Investigativo, en el cual se busca la ubicación del estudiante que explore sus potencialidades y se ubique como
discente en el contexto de su carrera, además, que potencialice sus competencias comunicativas y
argumentativas con miras a su futura labor como docente.
INVESTIGACIÓN
El estudiante basará su trabajo inicialmente en los documentos:
• Pensamiento analítico de la Fundación para el Pensamiento Crítico:
http://www.criticalthinking.org/resources/PDF/SP-Pensamientoanal%C3%ADtico.pdf
De igual forma otros textos que el docente y el estudiante encuentre necesarios para complementar la labor de
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conceptualización del ejercicio investigativo en matemáticas fundamentales.
MEDIOS AUDIOVISUALES
Los recursos audiovisuales que se necesitan son: video beam, proyectores, entre otros, que serán solicitados
según sea necesario.
EVALUACIÓN
EVALUACIÓN COLECTIVA
Las evaluaciones se realizan según el capítulo tercero del reglamento estudiantil, a través de la coevaluación y
heteroevaluación
EVALUACIÓN INDIVIDUAL
La evaluación individual de igual forma tiene en cuenta lo contemplado en el reglamento estudiantil,
adicionalmente se busca fortalecer las competencias comunicativas generales y aplicadas a la matemática.
Para el caso en particular, la evaluación tendrá apoyo en la plataforma virtual con que cuenta la universidad
(Moodle).
CONTENIDOS TEMÁTICOS MÍNIMOS
Unidad 1: Mapeos unidimensionales
Mapeos unidimensionales
Gráfica de Cobweb: representación gráfica de una órbita
Estabilidad de Puntos fijos
Puntos periodicos
La familia de mapeos logísticos
El mapeo logístico G x = 4x 1− x
Dependencia sensitiva de las condiciones lineales
Unidad 2: Mapeos bidimensionales
Modelos matemáticos
Puntos fijos atractores, fuentes y sillas de montar
Mapeos lineales
Cambios de coordenadas
Mapeos no lineales y la matriz jacobiana
Variedades estables e inestables
Transformaciones matriciales en elipses
Unidad 3: Caos
Exponentes de Lyupanov
Órbitas caóticas
Mapeos logísticos
Gráficas de transición y puntos fijos
Sumideros atractores
Unidad 4: Fractales
Conjuntos de Cantor
Contrucciones probabilísticas de fractales
Fractales de sistemas determinísticos
Entornos fractales de sumideros
Dimensión fractal
Calculando la dimensión
Dimensión de correlación
Unidad 5: Caos en mapeos bidimensionales
Exponentes de Lyupanov
Cálculo numérico de los exponentes
Dimensión de Lyupanov
El teorema bidimensional del punto fijo
MACROPROCESO: DOCENCIA
PROCESO: LINEAMIENTOS CURRICULARES
PROCEDIMIENTO: APROBACIÓN Y REVISIÓN DEL PLAN ACADÉMICO EDUCATIVO
CONTENIDOS PROGRAMATICOS
Código: D-LC-P02-F01
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Particiones de Markov
El mapeo de herradura
Unidad 6: Atractores caóticos
Conjuntos límite hacia adelante
Atractores caóticos
Atractores caóticos de mapeos de extensión de intervalo
Medida
Medida natural
Medida invariante para mapeos unidimensionales
Unidad 7: Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales lineales unidimensionales
Ecuaciones diferenciales no lineales unidimensionales
Ecuaciones diferenciales lineale es más de una dimensión
Sistemas no lineales
Movimiento en en un campo de potencial
Modelos Lotka-Volterra
Unidad 8: Órbitas periodicas y conjuntos límite
Conjuntos límite para ecuaciones diferenciales planares
Propiedades de los conjuntos límite Prueba del teorema de Poincaré – Bendixon
Unidad 9: Caos en las ecuaciones diferenciales
El atractor de Lorenz
Estabilidad en grande, inestabilidad en pequeño
El atractor Rössler
Circuito Chua
Osciladores forzados
Exponentes de Lyupanov en flujos
Unidad 10: Variedades estables y crisis
El teorema de la variedad estable
Puntos homoclínicos y heteroclínicos
Crisis
Prueba del teorema de variedad estable
Variedades estables e inestables para mapeos de dimensión superior.
Unidad 11: Bifurcaciones
Nodo silla de montar y bifurcaciones de periodo doble
Diagramas de bifurcación
Continuabilidad
Bifurcaciones de mapeos unidimensionales
Bifurcaciones en el plano: caso de la contracción del área
Caso de la preservación del área
Bifurcaciones en las ecuaciones diferenciales
Bifurcaciones de Hopf
Unidad 12: Cascadas
Cascadas
Diagramas esquemáticos de bifurcación
Bifurcaciones genéricas
El teorema de la cascada
Unidad 13: Reconstrucción de los datos
Gráficos de retraso en series de tiempo
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PROCESO: LINEAMIENTOS CURRICULARES
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Versión: 03
Pagina 10 de 3
Coordenadas de retraso
Embedología
LECTURAS MÍNIMAS
Las lecturas mínimas que el estudiante debe realizar son:
Caos: un intento de descripción matemática de la complejidad del mundo de Adrian Silva.
Los contenidos de las siguientes páginas web:
http://www.divulgauned.es/spip.php?article168
http://www.antroposmoderno.com/antro-articulo.php?id_articulo=152
http://www.scribd.com/doc/19126444/TEORIA-DEL-CAOShttp://www.sectormatematica.cl/fractales/musicaenelcaos.pdf
BIBLIOGRAFÍA E INFOGRAFÍA
ALLIGOOD, Kathleen T. et al. CHAOS:
An Introduction to
Dynamical Systems
. Springer. 3a Ed. New York. 2000.
ACHENSON, David. From calculus to chaos. Oxford-press. 2Da Ed. New York. 1998.
SCHECK, Florian. MECHANIC, from Newton's law to deterministic chaos. Springer. Berlin. 2005.