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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
CAPÍTULO 11. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Introducción
La noción de área, que se formaliza en la teoría como una función de medida, en su génesis
histórica tiene un papel similar y paralelo o quizás más relevante que la relación de semejanza,
porque la medición de las extensiones de las tierras, para calcular así mismo las partes que
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serian anegadas por los ríos en las temporadas de lluvias y que posteriormente serian las más
fértiles, se convertían en un problema real de supervivencia de la población como ocurría con el
pueblo Egipcio. Su presentación como una función de medida para polígonos simples permite
una vez más mostrar la arquitectura magnífica que subyace en la Geometría como una teoría
Axiomática; puesto que con tres propiedades de definición, que caracterizan a esta función,
permite finalmente determinar el área de cualquier polígono simple. Son en consecuencia
muchas las razones que me llevan a considerar que un tema de tanta importancia no puede
reducirse al aspecto totalmente mecánico y marginal de reducir este tema a la memorización de
unas fórmulas.
Objetivos específicos.
1. Presentar el área como una función de medida con dominio en el conjunto de polígonos
simples definidos en un plano dado y el conjunto de los números reales positivos.
2. Construir en forma coherente y precisa la determinación de las áreas en su orden de los
siguientes polígonos convexos: rectángulo, paralelogramo, triángulo, trapecio y rombo.
3. Destacar como la distancia de un punto a una recta y que en este contexto particular se
designa genéricamente como altura, tiene un papel determinante y unificador en la aplicación
de la función área.
4. Concluir como el área del triángulo se convierte nuevamente en la piedra angular en la
determinación del área de cualquier polígono convexo, utilizando la partición en triángulos y
aplicando la fórmula de Herón, procedimiento que en la actualidad subsiste para el cálculo del
área en polígonos de este tipo.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
5. Estudiar el problema de la cuadratura de un polígono convexo, aprovechando este
importante teorema que recoge elementos básicos de la función área como de la
proporcionalidad.
6. Mostrar cómo se induce desde la geometría, pero que finalmente es en el cálculo donde
se resuelve, la determinación de la longitud de la circunferencia, el área del círculo y el
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surgimiento del número Pi.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
11.1 LA FUNCIÓN ÁREA
Definición 67. Área.
Designamos por P  p / p es un polígono simple en un plano   .
Definimos una función A de P en R  que llamaremos área así:
A : P  R
p  A( p)
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Con las siguientes propiedades:
2
i.)El área de un cuadrado de lado l es igual a l .
ii.)Si un polígono simple p se particiona en n polígonos simples: p1 , p 2 ,  , p n entonces
n
A( p)   A( p i )  A( p1 )  A( p 2 )    A( p n ) .
i 1
Esta propiedad se designa como el Postulado de adición de Áreas.
iii.)Si dos polígonos son congruentes entonces tienen la misma área.
Notación: Dado un polígono de vértices A1 , A2 , , An indicaremos su área por:
A A1 A2  An  ó S  A1 A2  An  ó m A1 A2  An  .
Estas designaciones corresponden respectivamente a las iniciales en mayúsculas de las
palabras: Área, Superficie y en minúcula de medida.
Cuando un polígono simple p se particiona en n polígonos simples, deben cumplirse dos
condiciones: la unión de los n polígonos generados en la partición, incluyendo sus
interiores debe ser igual al polígono inicial y la intersección de dos polígonos cualesquiera
generados en la partición puedes ser únicamene: el conjunto vacio, un punto, un segmento
o una poligonal.
Definición 68. Área Unitaria.
Es el área correspondiente a un cuadrado de lado igual a uno. En consecuencia su área
es una unidad.
Definición 69. Polígonos equivalentes.
Diremos que dos polígonos son equivalentes si tienen la misma área.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Convención: Para indicar que los polígonos p y p’ son equivalentes, lo notamos p  p' .
Observación. Si p  p' entonces p ~ p' y p  p' .
TEOREMA 101
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El área de un rectángulo de lados a y b es a  b .
Demostración:
Sea: ABCD: rectángulo; con AB  a , BC  b .
Construyamos un cuadrado de lado a  b .
Particionemos el cuadrado en 5 polígonos simples como se indica en la figura; en
consecuencia se tiene:
𝑝4
𝑝5
𝑝3
Figura 204
A( MNRT )  a  b 
2
Condición. (i) de la definición de área.
 A p1   A p 2   A p 3   A p 4   A p 5 
 4 A p1   A p 5  . Condición (ii) de la definición de área
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
 4 A p1   a  b  . Condición (i) de la definición de área.
2
Luego a  b   4 A p1   a  b  y A p1   a  b .
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2
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
11.2 ÁREAS DE LOS POLÍGONOS BÁSICOS
TEOREMA 102
El área de un paralelogramo es igual al producto de la longitud de uno de sus lados
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por la distancia al lado opuesto.
Demostración:
Sean: ABCD paralelogramo, AH  DC

Tracemos por B; BH'  DC
Figura 205
El ADH  BCH ' (Hipotenusa – ángulo agudo)
En consecuencia DH  CH '
(1’)
A( ABCD )  AADH   A ABCH  condición (ii) de la definición de área.
 ABCH '  A ABCH  condición (iii) a partir de (1)
 A ABHH ' condición (ii)
 HH 'HA  Teorema 1, para HH '  HC  CH '  HC  DH  DC
 DC HA  .
Observación.
El teorema anterior también se enuncia así: “El área de un paralelogramo es igual al producto de
la longitud de un lado por la altura relativa a ese lado”. Entendiéndose por altura el segmento
perpendicular trazado desde un punto cualquiera del lado opuesto, al lado en mención.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Corolario 1.
Si dos paralelogramos tienen un lado respectivamente congruente y la altura asociada a
esos lados, respectivamente congruentes, entonces son equivalentes.
TEOREMA 103
El área de un triángulo es igual al semiproducto de la longitud de uno cualquiera de sus
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lados por la longitud de la altura relativa a ese lado.
Demostración:
Sea ABC , con AH  BC .


Tracemos por A, AK || BC (V.P.E.)


Tracemos por C, CT || AB (V.P.E.)


Designemos por P la intersección de AK y CT ; en consecuencia ABCP es un
paralelogramo. (1)
ABC  APC (L-L-L) de (1). (2)
Figura 206
A( ABCP)  ( BC)( AH ) Teorema 2 de (1)
 A(ABC)  A(APC) Condición (ii) de la definición de área. (1)
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
 2 A(ABC) Condición (iii) de la definición de área. De (2)
Luego A(ABC) 
( BC)( AH )
.
2
Corolario 1.
Si dos triángulos tienen un lado respectivamente congruente y la altura a ese lado también
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congruente, entonces los triángulos son equivalentes.
Corolario 2.
⃡ , 𝑋 ∈ ⃡𝐴𝐽, entonces A(ABC)  A(XBC) .
Dado ∆ 𝐴𝐵𝐶; ⃡𝐴𝐽 ∥ 𝐵𝐶
Figura 207
Corolario 3.
En un triángulo rectángulo el área es el semiproducto de las longitudes de los catetos.
Corolario 4.
En un triángulo equilátero de lado a el área es
a2 3
.
4
TEOREMA 104. Fórmula de Herón
Sea ∆ 𝐴𝐵𝐶, como se indica en la figura 208. 𝑎, 𝑏, 𝑐 las medidas de los lados. Si se designa,
𝑝=
𝑎+𝑏+𝑐
2
,
entonces, AΔABC 
p p  a p  b p  c .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Demostración:
Sea: ABC , con AH 1  BC .
A(ABC) 
( BC)( AH1 )
Teorema 103.
2

 Teorema de Pitágoras
(1) AH12  b 2  (a  x) 2 
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(1) AH12  c 2  x 2
Figura 208
Resolviendo para x se tiene: x 
AH1
AH1
AH1
AH1
a2  c2  b2
y sustituyendo en (1).
4a 2


 a 2  c 2  b 2  4a 2 c 2  a 2  c 2  b 2
 
 c  
2a
4a 2


2ac  a 2  c 2  b 2 2ac  a 2  c 2  b 2

4a 2
a  c 2  b 2 b 2  a  c 2  a  c  b a  c  b b  a  c b  a  c 

4a 2
4a 2
2 p2 p  2b 2 p  2c 2 p  2a  4 p p  a  p  b  p  c 


4a 2
a2
2



y AH1 

2


2
p p  a  p  b  p  c  Sustituyendo en la formula inicial se tiene:
a
AΔABC 
p p  a p  b p  c
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TEOREMA 105.
El área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura; entendiéndose la
altura como la distancia entre las bases.
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Demostración:
Figura 209
Sean: ABCD trapecio; AD // BC , DH  BC .
Construyamos la diagonal BD y tracemos por A, AK // BD (V.P.E).
Luego ADBK es un paralelogramo.
A ΔBCD   A ΔABD   A ΔDBC 
Pero A ΔABD   A ΔADK 
Condición ii. Definición de área.
Corolario 2. Teorema 103.
También ΔADK  ΔKBD y en consecuencia ΔADK  ΔKBD .
Así A ΔABD   A ΔKBD  .
Sustituyendo en la expresión se tiene:
A ΔBCD   A ΔKBD   A ΔDCB 
1
1
1
A ΔBCD   A ΔKCD   KC DH   KB  BC DH    AD  BC DH 
2
2
2
Corolario 1.
El área de un trapecio es igual al producto de la altura por la paralela media.
TEOREMA 106.
El área de un rombo es igual al semiproducto de sus diagonales
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
La demostración se deja al lector.
TEOREMA 107.
Si dos triángulos son semejantes, la razón de sus áreas es igual al cuadrado de la razón de
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semejanza.
Demostración:
Sean∆ 𝐴𝐵𝐶~∆ 𝐴′𝐵′𝐶′ con:
AB
BC
AC


k
A' B' B' C' A' C'
AH  BC
A' H'  B' C'
AH
k
A' H'
De
corolario 3 del
la
hipótesis
y
Teorema 88
(Semejanza).
Figura 210
1
BC AH 
BC AH   k .k  k 2
A ΔABC
2
Así:


A ΔA' B' C'  1 B' C'  A' H '  B' C'  A' H ' 
2
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
11.3 ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR
TEOREMA 108.
El área de un polígono regular es igual al semiproducto del perímetro por la longitud de
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su apotema.
Demostración:
Sea :𝐴1 𝐴2 𝐴3 ⋯ 𝐴𝑛 polígono regular.
a: apotema
𝑝 = 𝐴1 𝐴2 + 𝐴2 𝐴3 + ⋯ + 𝐴𝑛 𝐴1; perímetro.
𝐴(𝐴1 𝐴2 ⋯ 𝐴𝑛 ) = 𝐴(∆𝑂𝐴1 𝐴2 ) + ⋯ + 𝐴(∆𝑂𝐴𝑛 𝐴1 )
1
𝑝𝑎
𝐴(𝐴1 𝐴2 ⋯ 𝐴𝑛 ) = 𝑛(∆𝑂𝐴1 𝐴2 ) = 𝑛 (𝐴1 𝐴2 )(𝑎) =
2
2
Figura 211
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
11.4 LA CUADRATURA DE UN POLÍGONO CONVEXO DE N LADOS
TEOREMA 109. Cuadratura de un polígono convexo de n lados.
Todo polígono convexo es equivalente a un cuadrado.
Observaciones
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La demostración de este teorema se desarrolla en (𝑛 ≥ 4) dos fases así:
i. Probar que todo polígono convexo de n lados es equivalente a un polígono de n  1
lados y en esta forma se llega en consecuencia; a probar que todo polígono convexo de n
lados (𝑛 ≥ 4) es equivalente a un triángulo. (Inducción sobre n).
ii. Probar que todo triángulo es equivalente a un cuadrado.
De i. y de ii. se concluye por lo tanto que todo polígono convexo es equivalente a un
cuadrado.
Ilustración: Dado el polígono A1 A2 A3 A4 A5 determinar un cuadrado equivalente.
Fase 1.
Trazamos A1 A4 (diagonal entre los vértices adyacentes a A5 ) en esta forma “aislamos el
vértice A5 ”.
Figura 212
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Por A5 trazamos A5k // A1 A4 . Sea P1 la intersección de A3 A4 con As k .
Tracemos A1 P1 .
A ΔA1 A4 A5   A ΔA1 A4 P1 
Corolario 2. Teorema 3. (1)
𝐴(𝐴1 𝐴2 ⋯ 𝐴5 ) = 𝐴(𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 ) + 𝐴(𝐴1 𝐴5 𝐴4 )
Condición ii. Definición de área.
𝐴(𝐴1 𝐴2 ⋯ 𝐴5 ) = 𝐴(𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 ) + 𝐴(𝐴1 𝐴4 𝑃1 )
Condición ii. Definición de área de (1).
𝐴(𝐴1 𝐴2 ⋯ 𝐴5 ) = 𝐴(𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝑃1 )
Definición de área.
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En forma análoga se procede y se concluye que A A1 A2 A3 A4 A5   A ΔA1 A2 P2  , esto es:
A1 A2 A3 A4 A5  ΔA1 A2 P2 .
Fase 2.
Veamos que A ΔA1 A2 P2   AOMRS  ; siendo OMRS cuadrado.
Si designamos por X lado del cuadrado equivalente se tiene:
X es media proporcional entre
1
 A1 A2 P2 H   X 2 ; esto es;
2
1
 A1 A2  y P2 H  .
2
Esta situación nos lleva a apoyarnos en el Teorema 13 (Semejanza) que establece “La
altura asociada a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que
determinan en ella”; para determinar el lado X es la siguiente construcción.
Sea
1
 A1 A2 P2 H   X 2
2
O: Punto medio de M 1M 2 donde M1M 
1
 A1 A2   P2 H .
2
Trazamos C O ,OM 1  .
Levantamos por A2 , A2W  M1M 2 . Designamos por T la intersección de A2W con
C O ,OM 1  .
ΔM 1TM 2 es rectángulo, y en consecuencia por el teorema 13 (de semejanza)
A2T 2 
A1 A2
P2 H  ; luego X  A2T .
2
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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 213.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
11.5 LONGITUD Y ÁREA DE LA CIRCUNFERENCIA. EL NÚMERO 𝝅. ÁREA
DE UN SECTOR CIRCULAR.
Se expone a continuación un teorema, cuyo resultado es una consecuencia inmediata de uno
de los casos de semejanza; pero por su relación inmediata con el tema a desarrollar; se ha
incluido en esta sección.
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TEOREMA 110.
Dos polígonos regulares de igual número de lados son semejantes.
La demostración se propone al lector.
Conceptos introductorios.
Consideremos C O , r  e inscribamos un polígono regular de n lados 𝐴1 𝐴2 𝐴3 ⋯ 𝐴𝑛 .
Designemos por: Pn : este polígono; ln : lado del polígono; a n ; apotema; pn : perímetro; APn 
: Área del polígono; siendo APn  
pn an
; pn  n.ln .
2
Figura 214
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Si duplicamos el número de lados del polígono anterior, obtenemos otro polígono regular
de 2n lados; P2 n cuyos elementos designamos así:
l2 n : Lado del nuevo polígono.
𝑎2𝑛 : Apotema.
P2 n : Perímetro.
AP2 n  : Área; con an  a2 n (¿Por qué?)
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pn  p2 n (¿Por qué?) y A pn   A p2 n  .
Si duplicamos de nuevo, el número de lados del último polígono; obtenemos otro polígono
2
regular de 2 n lados.
Podemos continuar en esta forma el proceso constructivo de polígonos regulares por
duplicación de los lados para obtener los polígonos: 𝑃𝑛 , 𝑃2𝑛 , 𝑃22 𝑛 ⋯ 𝑃2𝑘 𝑛 ⋯ y las sucesiones
monótonas crecientes:
{𝑎𝑛 , 𝑎2𝑛 , 𝑎22 𝑛 ⋯ 𝑎2𝑘 𝑛 ⋯ } con: 𝑎𝑛 < 𝑎2𝑛 < 𝑎22 𝑛 < ⋯ < 𝑎2𝑘 𝑛 < ⋯
{𝑝𝑛 , 𝑝2𝑛 , 𝑝22 𝑛 ⋯ 𝑝2𝑘 𝑛 ⋯ } con: 𝑝𝑛 < 𝑝2𝑛 < 𝑝22 𝑛 < ⋯ < 𝑝2𝑘 𝑛 < ⋯
{𝐴(𝑃𝑛 ), 𝐴(𝑃2𝑛 ), 𝐴(𝑃22 𝑛 ) ⋯ 𝐴(𝑃2𝑘 𝑛 ) ⋯ } con: 𝐴(𝑃𝑛 ) < 𝐴(𝑃2𝑛 ) < 𝐴(𝑃22 𝑛 ) ⋯ < 𝐴(𝑃2𝑘 𝑛 ) < ⋯
Definición 70. Longitud de C O , r  .
La notamos por L y se define como: L  Lim p2 k n
k 
Definición 71. Límite de las apotemas.
r  Lim a2 k n
k 
Observaciones:
La longitud C O , r  es el límite de los perímetros de los polígonos regulares inscritos o
circunscritos, cuando el número de lados del polígono aumenta indefinidamente.
En este caso el radio es el límite de las apotemas de dichos polígonos.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
TEOREMA 111.
La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es constante.
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Demostración:
Figura 215
Sean: C( O ,r ) ; C( O' ,r' ) .
Inscribimos en cada circunferencia un polígono regular de n lados.
A1 A2 A3  An Teorema 69 y en consecuencia .𝐴′1 𝐴′2 𝐴′3 … 𝐴′𝑛
Luego A1 A2  An ~ A'1 A' 2  A' n y ΔOA1 A2 ~ ΔO' A'1 A'2 ; esto es:
A1 A2 A'1 A' 2

r
r'
(2’)
Multiplicando por n en (2’) se tiene:
p p'

r
r'
n A1 A2  n A'1 A'2 

que corresponde a
r
r'
(2”)
Cuando n crece indefinidamente (paso al límite) se tiene:
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
L L'

r
r'

L
L'

k
2r 2r'
El valor de esta constante corresponde al número  , π  3,1416
π  Q* .
Corolario
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La longitud de una circunferencia de radio r es igual a 2 𝜋𝑟.
TEOREMA 112. Área del círculo.
Convención: Dada C( O,r ) ; designemos por Θ( O,r ) el conjunto unión entre C( O,r )
y su interior. Dicho conjunto lo llamaremos círculo de centro O y radio r.
El área del círculo Θ( O,r ) es πr 2 .
Demostración:
Sea C( O ,r ) .
Inscribimos en C( O ,r ) un polígono regular de n lados.
En los conceptos introductorios (página 374) se estableció que al duplicar k veces el
número de lados del polígono inicial se tiene:
A p 2 k n  
p 2k n  a 2k n
(Teorema 108)
2


 p 2k n  a 2k n 


k 
2


En consecuencia: Lim A p 2 k n  Lim
k 
Lim A p 2k n  
k 



1
Lim p k   Lima k  Propiedad de límite.
2 k  2 n k   2 n

k 
k 


En consecuencia Lim A p 2 k n 
k 


Corolario Teorema 11 y Lim a 2 k n  r Definición.
Pero Lim p 2k n  2πr
1
2πr r   πr 2 .
2
Este límite lo definimos como el área del círculo (𝑂, 𝑟) y en consecuencia:
Área del círculo (𝑂, 𝑟) = 𝜋𝑟 2 .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Corolario.
Si el ángulo central está dado en radianes se tiene:

i)
Longitud del arco AMB  r θ .
1 2
r θ.
2
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ii) Área del Sect OBMA 
TEOREMA 113.



Dada C( O,r ) ; θ : ángulo central en grados, AMB : arco subtendido por el ángulo θ ; entonces:
2πr θ
360

i)
Longitud del arco AMB 
ii) Área del sector circular OBMA lo
designamos
Sect OBMA 
por
Sect OBMA
πr 2θ
.
360 
Figura 216
216
iii) Área del segmento circular AMB la
designamos por Sg AMB
Sg AMB  Sect OAMB  A ΔOAB 
Figura 217
216
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
11.6 EJERCICIOS PROPUESTOS
Temas: 
1.
Función área.
Señale para cada enunciado si es verdadero o es falso, justificando su determinación.
1.1. El área de un polígono simple siempre es un número entero y positivo.
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1.2. El área de un polígono simple puede ser un número real cualquiera.
1.3. Con relación a los polígonos señalados en las figuras siguientes:
1.3.1
A(A1A2A3A4A5A6)= A(ΔA1A2A3) + A(ΔA1A3A5) + A(ΔA1A5A6) +
A(ΔA3A4A5)
1.3.2
A(B1B2B3B4B5B6)=
A(ΔB1SB6)
A(B2STKWB4B3) + A(B4B5KW)
+
A(ΔB6B5T)
+
A(ΔB1B2S)
+
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1.3.3. A(C1C2C3C4C5C6)= A(ΔC3C4C5) + A(ΔC3C5C6) + A(ΔC2C3C6) +
A(ΔC1C2C3)
1.3.4
A(D1D2D3D4D5D6D7)= A(D1D2D3D4) + A(ΔD1D4D7) + A(ΔD6D7F) +
A(D4D5D6S)
1.4 Si dos polígonos son semejantes, entonces, son equivalentes.
1.5 Si dos polígonos son congruentes, entonces, son equivalentes.
1.6 Si dos polígonos son equivalentes, entonces, son congruentes.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
1.7 El área de un rectángulo es igual al producto de la medida de un lado cualquiera
por la distancia al lado opuesto.
1.8 El área de un rombo es igual al producto de la medida de un lado cualquiera por
la distancia al lado opuesto.
1.9 El área de un paralelogramo es igual al producto de la medida de un lado
cualquiera por la distancia al lado opuesto.
1.10 Un polígono convexo de 15 lados es equivalente a un polígono convexo de 8
lados.
2
3
Para cada uno de los polígonos siguientes, determine un cuadrado equivalente.
Calcule el área para cada uno de los polígonos siguientes.

3.1. ΔABC rectángulo, ABC recto,
BH altura.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
3.2. ABCD rombo, d (O, DC )  1.7
3.3. ABCDE representa un terreno, las
longitudes de los lados están en metros, calcule
el área del terreno.
Sugerencia:
Particione
el
polígono
en
triángulos, utilice ley de cosenos y de senos.
4
Calcule el área sombreada en cada una de las figuras
siguientes,
teniendo
en
cuenta
las
hipótesis
respectivas.
4.1. El ΔABC es equilátero, inscrito en C(0, r), AH
altura. Calcule el área sombreada en términos del radio r.
Sugerencia: Tenga presente las propiedades de los
segmentos notables en el triángulo isósceles.
4.2. Las tres circunferencias son congruentes
de radio r y tangentes entre sí. Calcule
el área sombreada en términos de r.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
4.3. ABCD es un cuadrado de lado  . Con
centros en cada vértice y radio igual a
la mitad de la diagonal, se trazan al

interior del cuadrado los arcos: P1OP2 ,



P3 OP4 P5 OP6 P7 OP8 . Calcule el área
M
a
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ci o
al
sombreada en términos del lado  .
Sugerencia: Calcule inicialmente el área
de un aspa de la cruz.
4.4.
En la figura ΔPQT es equilátero,
C (0,r)
está inscrita en este triángulo, AB
cuerda diametral, AB // QT // SM ; AK
WB
y
tangentes a C(0, r); S entre A y K, M
entre B y W. SMWK cuadrado, O’
punto de
intersección de las diagonales de este

cuadrado, GFL semicircunferencia inscrita
en SMLG.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Calcule el área sombreada en términos de r.
4.5. ABCD es un cuadrado de lado  . Los arcos
se han construido en la forma descrita en el
literal 4.3. Calcule el área sombreada en
M
a
U te
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ci o
al
términos de  .
5
En el paralelogramo ABCD de la figura M es el
punto medio de BC y N lo es de
CD . Demuestre que ΔABM 
ΔADN.
Sugerencia: Determine AC .
Compare ΔABM y
ΔACM; compare ΔADN
y ΔACN.
6
En el ΔABC de la figura O es el baricentro,
AM 1 , BM 2 , CM 3 medianas. Demuestre
que : ΔOBM1  ΔOM1C  ΔOCM2 
ΔOAM2  ΔOAM3  ΔOM3B
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
7
Lúnulas de Hipócrates
En la figura ΔABC es rectángulo y está inscrito en la semicircunferencia de cuerda
diametral AB .
Tomando como cuerda diametral cada cateto se traza una semicircunferencia en el
exterior del triángulo. Las regiones sombreadas se denominan lúnulas.
M
a
U te
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m ca
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ci o
al
Demuestre que la suma de las regiones sombreadas es igual al área del ΔABC.
8
En
la
figura
ABCD
es
un
paralelogramo, P es un punto
cualquiera de la diagonal BD . Se
determinan
PA
y
PC
.
Demuestre que ΔAPD  ΔCPD y
ΔAPB  ΔCPB.
9
En el trapecio ABCD de la figura,
AB // DC ; M1 y M2 puntos medios de AD
y BC respectivamente. Demuestre que
ΔAM2D  ΔBM1C.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
10 En cada uno de los numerales siguientes, calcular la razón o el incremento pedido.
10.1. Si el radio de una circunferencia se incrementa en una unidad, entonces, calcule la
razón de la longitud de la nueva circunferencia respecto al nuevo diámetro.
10.2. Si el diámetro de una circunferencia se incrementa en
 unidades, entonces, calcule
el incremento en la longitud de la nueva circunferencia.
10.3. Si el radio de una circunferencia se incrementa en el 100%, entonces, calcule el
M
a
U te
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al
incremento de la nueva área del círculo.
11 Si el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles es igual a 2k , calcule, en función de k ,
el área del triángulo.
12 El área de un círculo es igual 64 unidades de área. Calcule el área del exágono regular
circunscrito a este círculo.
13 En la circunferencia C(0, r) de la figura, AB es
cuerda

diametral, AT  TB y m( DMF ) 
1
4
medida del arco total de la circunferencia.
Calcule A (ATB) /A (DOF ) .
14 Si se designa por L el perímetro de un triángulo
equilátero inscrito en una circunferencia, calcules el área del círculo en función de L.
15 Dados
dos
cuadrados
cualesquiera
de
lados
de
longitudes
a
y b unidades
respectivamente, construya:
15.1. Un cuadrado equivalente a la suma de las áreas de los dos cuadrados.
15.2. Un cuadrado equivalente a la diferencia de las áreas de los dos cuadrados
16 Generalice el problema anterior en su literal 15.1. Sean los cuadrados de lados cuyas
longitudes corresponden a a1 , a 2 , a 3 ,…, a n unidades. Construya un cuadrado equivalente a
la suma de las áreas de los
n
cuadrados.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
17 Demuestre ilustrando con una construcción precisa que el cuadrado construido sobre la
diferencia de dos segmentos, es equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre
ellos menos el doble del rectángulo construido con estos mismos segmentos.
(Demostración geométrica de una propiedad algebraica)
18 Demuestre ilustrando con una construcción precisa que la diferencia entre los cuadrados
construidos sobre dos segmentos es equivalente al rectángulo una de cuyas dimensiones
M
a
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al
es la suma de ellos y la otra dimensión es la diferencia de los mismos. (Demostración
geométrica de una propiedad algebráica)
19 El diámetro de una toronja es de 10 centímetros y la cáscara tiene 6mm de espesor. Si se
corta un trozo de cáscara tangente a la pulpa interior, como se indica en la figura, calcule
el diámetro y la longitud de la circunferencia del trozo que se ha cortado.
20 El perímetro de un triángulo es el doble del perímetro de la circunferencia inscrita en él. Si
el área del círculo es 12m 2 , calcule el área del triángulo. ¿Puede obtenerse una
generalización del problema planteado y concluirse un teorema?
21 En un rombo una de las diagonales mide el doble de la otra. Si el área del rombo se
designa por A en unidades de área, calcule la dimensión del lado del rombo en función de
A.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
22 En la figura ABCD es un cuadrado
de área 25 unidades de área, P un
punto arbitrario, P  BC .Por A
se
levanta
AT  AP
;
CD  AT  Q . Deteminamos
M
a
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al
QP . Si el área del ΔPAQ es igual
a 15,125 unidades de área,
calcule QD.
23 En el paralelogramo ABCD, M es el punto medio de la diagonal BD , K  BC tal que
BK 
1
BC . Demuestre que (A (BMK) /A (MKCD) )= 1/5
3

24 El ΔABC de la figura es rectángulo, con A
recto, M es el punto medio de BC ,
MK  BC .
Si B  12 unidades y 6,2
unidades, calcule el área del cuadrilátero
ACMK.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
25.
En el ΔABC de la figura, AP1 
1
1
1
AC , AP2  CB , BP3  BA ; AP2 , BP1 y CP3 se
3
3
3
1
A (ABC) .
7
M
a
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al
intersectan como se indica. Demuestre que A (STW ) =
26 En el ΔABC de la figura los lados son tangentes a las circunferencias y estas son a su vez
tangentes entre sí r  17 y r’  10 unidades respectivamente, calcule el área del ΔABC.
Sugerencia: 1) Pruebe que ΔABC es isósceles y en
⃡ es mediatriz de BC .
consecuencia 𝐴𝐻
2)Determine los radios asociados a los
puntos de tangencia sobre los lados
AB y AC y considere los triángulos
semejantes.
H
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
27 En la figura ABCDEF es regular, H1 H 2  AB ,
H1 H 2  ED y H1, O, H2 son colineales, H1H2=50

unidades. ST es una cuerda diametral con ST =
16 unidades. Calcule el área de la figura
M
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al
sombreada.
28 En la figura el círculo C(0’, r’) está contenido en el
círculo C(0, r). Si el área del círculo mayor es igual
al valor del área de la región sombreada
multiplicada por el término

a
, pruebe que r / r ‘
b
a
.
ab
29 Si un arco intersectado por un ángulo central de 60º en un círculo C(O1, r1) tiene la
misma longitud que un arco intersectado por un ángulo central de 45º en un círculo
C(O2, r2) , calcule la razón entre las áreas
del primer círculo al segundo.
30 En la figura AB no nulo cualquiera, se
determina la semicircunferencia de centro
en O y diámetro AB . P un punto
cualquiera, P  Int ( AB ) . En el mismo
semiplano de la circunferencia se trazan
dos semicircunferencia de diámetros AP y
PB respectivamente. Por P se levanta el segmento perpendicular que intersecta el arco
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
en K. Con centro en P se determina la circunferencia de radio PK . Demuestre que la
razón entre el área sombreada y el área del círculo de centro en P y radio PK es igual a
M
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al
1
.
4
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
11.7 EJERCICIOS RESUELTOS
Ilustración N° 1
En la figura las tres circunferencias son
congruentes y tangentes dos a dos. Calcule
el área de la región rayada en términos del
M
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al
radio común 𝑅.
Procedimiento.
1. Determinemos el ∆ 𝑂1 𝑂2 03;
definición de triángulo.
2. ∆ 𝑂1 𝑂2 03 es equilátero; ¿por qué?



3. 𝑚 (O1 ) = 𝑚 (O2 ) = 𝑚 (O3 ) = 60°; de 2 consecuencia por equivalencia.
4. Designamos por 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 los puntos de tangencia.



5. T1T2 ≅ T2T3 ≅; T1T3 teorema de relaciones ángulos vs arcos, de las premisas y 3.
6. Sect 𝑂1 𝑇1 𝑇3 ≡ sect 𝑂2 𝑇1 𝑇2 ≡ sect 𝑂3 𝑇2 𝑇3 ; de 3 y 5.
7. 𝐴 (región rayada) = 𝐴(∆ 𝑂1 𝑂2 03 ) − 3𝐴 (sector 𝑂1 𝑇1 𝑇3 ); de 6.
8. 𝐴(∆ 𝑂1 𝑂2 03 ) =
(2 𝑅)2 √3
4
; ¿por qué?
9. 𝐴 (sect 𝑂1 𝑇1 𝑇3 ) =
𝜋𝑅2 ×60°
; teorema
360°
10. 𝐴 (sect 𝑂1 𝑇1 𝑇3 ) =
𝜋𝑅2
6
área del sector circular y 3.
unidades de área; de 6.
11. 𝐴 (región rayada) = 𝑅 2 √3 −
𝜋𝑅2
; sustitución 8
2
y 6 en 7.
𝜋
= 𝑅 2 (√3 − 2 ) = 0.16 𝑅2 unidades de área.
Ilustración N° 2
Teorema de las Lúnulas de Hipócrates.
Se
designan como
Lúnulas de Hipócrates, las dos figuras comprendidas entre las
circunferencias construidas sobre la hipotenusa de un triángulo como cuerda diametral y las
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
construidas sobre los catetos como cuerdas diametrales, respectivamente. En la figura se
M
a
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al
determinan como las regiones rayadas.
Demuestre que la suma de las áreas de las dos Lúnulas es igual al área del ∆ 𝐴𝐵𝐶.
Demostración
1. 𝐴(𝐿1 ) + 𝐴(𝐿2 ) =
1
2
𝐴𝐵 2
1
2
𝜋( 2 ) +
𝐴𝐶 2
1
𝐵𝐶 2
𝜋 ( 2 ) − [ 𝜋 ( 2 ) − 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶)]
2
*Observemos que los dos primeros sumandos de la derecha en la igualdad
corresponden a las áreas de los dos semicírculos con cuerdas diametrales sobre cada uno
de los catetos. Por tanto para determinar exactamente la suma de las áreas de las Lúnulas
debemos restarle las áreas de los segmentos circulares con cuerdas sobre cada cateto y
arcos en los arcos inferiores que delimitan cada una de las Lúnulas.
La suma de estas áreas de los dos segmentos circulares con iguales a la diferencia entre el
área del semicírculo de cuerda diametral sobre la hipotenusa y el área del ∆ 𝐴𝐵𝐶.
2. 𝐴(𝐿1 ) + 𝐴(𝐿2 ) =
1
8
3. 𝐴(𝐿1 ) + 𝐴(𝐿2 ) =
𝜋
(𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 2 − 𝐵𝐶 2 ) + 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶); ¿por qué?
8
𝜋
(0) + 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶); ¿por qué?
8
4. 𝐴(𝐿1 ) + 𝐴(𝐿2 ) =
𝜋. 𝐴𝐵2 +
1
8
𝜋. 𝐴𝐶 2 −
5. 𝐴(𝐿1 ) + 𝐴(𝐿2 ) = 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶); de 4.
1
8
𝜋. 𝐵𝐶 2 + 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶); ¿por qué?
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Ilustración N° 3
En la figura ABCD es un cuadrado, de lado
a, con centro en cada uno de los vértices
1
y radio 𝑅 = 2 𝐴𝐶 se trazan los arcos:




M
a
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m ca
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al
E O F , G O H , I O J , K O L.
Calcule el área de la figura rayada.
Procedimiento.
Este tipo de ejercicios se constituye en un problema donde las relaciones espaciales juegan un
papel tan importante como las mismas herramientas de la geometría. Por ello es necesario
analizar con detalle las relaciones que presentan en sí mismas las figuras, en cuanto a su
distribución, antes de tratar de ensayar cualquier cálculo, esto es diseñar una estrategia para
abordar la solución del problema.
1. Consideremos en esta figura una cruz que se aproxima a la cruz de Malta y calculemos
el área correspondiente a la mitad del aspa total.
En particular señalemos el área de la región limitada por 𝐸𝑂𝐹𝐽𝑂𝐼.
̅̅̅̅)
2. 𝐴(mitad de un aspa) = 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) − 𝐴 (semicirculo de centro en A y radio 𝐴𝐹
= 𝐴 (∆ 𝐷𝐸𝐼) − 𝐴(∆𝐹𝐵𝐽) ; ¿por qué?
= 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) − 𝐴 (semicirculo de centro en A y radio ̅̅̅̅
𝐴𝐹 )
3.
= 𝐴(cuadrado de lado ̅̅̅̅
𝐹𝐵); ¿por qué?
4. 𝐴 (𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝑎2 ; área del cuadrado.
5. 𝐴𝐹 =
1
𝐴𝐶
2
1
= 2 √2𝑎2 =
𝑎 √2
; ¿por qué?
2
6. 𝐴(semicirculo de centro en A y radio ̅̅̅̅
𝐴𝐹 ) =
7.
𝐹𝐵 = 𝑎 − 𝐴𝐹 = 𝑎 −
𝑎 √2
; propiedad
2
1
2
2
𝑎√2
)
; teorema
2
𝜋 (
área del círculo.
de la medida y sustitución de 5.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
2
𝑎√2
8. 𝐴(cuadrado de lado ̅̅̅̅
𝐹𝐵) = (𝑎 − 2 ) ; área del cuadrado y sustitución de 7.
1
9. 𝐴(mitad del aspa) = 𝑎2 − 2 𝜋
𝑎2
2
− (𝑎 −
𝜋
2
𝑎√2
)
; sustitución de
2
= 𝑎2 − 4 𝑎2 − 𝑎2 (1 −
𝜋
= 𝑎2 [1 − 4 − (1 −
4, 6, 7 en 3.
2
√2
)
2
2
√2
)
]
2
M
a
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al
= 0.13 𝑎2
10. 𝐴(de la cruz) = 2 × 0.13 𝑎2
= 0.26 𝑎2 en unidades de área.
Ilustración N° 4
Construya un cuadrado equivalente a:
1. La suma de dos cuadrados dados.
2. La diferencia de dos cuadrados dados.
Procedimiento.
1. Sean 𝐴𝐵𝐶𝐷 y 𝑃𝑄𝑅𝑆 dos cuadrados dados de lados de longitudes a y b en unidades de
longitud respectivamente.
2. Si designamos por  el lado del cuadrado correspondiente a la solución en el primer
caso; se debe cumplir la siguiente relación: 𝐴 (𝐴𝐵𝐶𝐷) + 𝐴(𝑃𝑄𝑅𝑆) =
del cuadrado.
 2 ; teorema área
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
3. 𝑎2 + 𝑏 2 =
 2 ; sustitución de 1 en 2.
4. En consecuencia  corresponde a la medida de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo de catetos de longitudes a y b respectivamente; ¿por qué?
5. En el segundo caso; si designamos por m la medida del cuadrado equivalente a la
diferencia de las áreas dadas; se debe cumplir que: 𝐴 (𝐴𝐵𝐶𝐷) − 𝐴(𝑃𝑄𝑅𝑆) = 𝑚2 .
6. 𝑎2 − 𝑏 2 = 𝑚2 ; sustitución de 1 en 5.
M
a
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7. 𝑎2 = 𝑚2 + 𝑏 2; despejando en 6.
8. En consecuencia m corresponde a la medida de un cateto en un triángulo rectángulo
de hipotenusa de medida a y un cateto de medida b; ¿por qué?
Ilustración N° 5
Si el perímetro de un triángulo es el doble de la longitud de una circunferencia inscrita en él, y
el área del círculo es de 12 m2 calcule el área del triángulo.
𝑖. 𝐶(𝑂, 𝑅) inscrito en ∆ 𝐴𝐵𝐶
Hipótesis
𝑖𝑖. Perímetro del ∆ 𝐴𝐵𝐶 = 2 longitud de 𝐶(𝑂, 𝑅)
𝑖𝑖𝑖. Área (círculo (𝑂, 𝑅)) = 12𝑚2
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Tesis: calcular 𝐴 (∆ 𝐴𝐵𝐶)
1. Si designamos por 𝐻1 , 𝐻2 , 𝐻3 los puntos de tangencia de 𝐶(𝑂, 𝑅) con los lados
̅̅̅̅, ̅̅̅̅
̅̅̅̅ respectivamente, entonces, ̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅, ̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ y 𝑂𝐻
̅̅̅̅̅̅3 ⊥ 𝐴𝐶
̅̅̅̅ ; ¿por qué?
𝐴𝐵
𝐵𝐶 y 𝐴𝐶
𝑂𝐻1 ⊥ 𝐴𝐵
𝑂𝐻2 ⊥ 𝐵𝐶
2. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 2(2𝜋𝑅); de ii.
3. 𝜋𝑅 2 = 12 𝑚2 ; de iii. y área del círculo.
12
M
a
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al
4. 𝑅 = √ 𝜋 = 1.95 𝑚; despejando en 3.
5. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 4 × 𝜋 × 1.95 𝑚; sustitución de 4 en 2.
= 24.5 𝑚
̅̅̅̅, 𝑂𝐵
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅
6. Determinamos 𝑂𝐴
𝑂𝐶 ; definición de segmentos.
7. 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶) = 𝐴( ∆𝑂𝐴𝐵) + 𝐴(∆𝑂𝐵𝐶) + 𝐴(∆𝐴𝑂𝐶); propiedad función área.
1
2
8. 𝐴( ∆𝑂𝐴𝐵) =
1
2
9. 𝐴(∆𝑂𝐵𝐶) =
𝐴𝐵. 𝑂𝐻1 ; teorema área del triángulo.
𝐵𝐶. 𝑂𝐻2 ; teorema área del triángulo.
1
10. 𝐴(∆𝐴𝑂𝐶) = 2 𝐴𝐶. 𝑂𝐻3 ; teorema área del triángulo.
1
1
1
11. 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶) = 2 𝐴𝐵. 𝑂𝐻1 + 2 𝐵𝐶. 𝑂𝐻2 + 2 𝐴𝐶. 𝑂𝐻3 ; sustitución de 8, 9 y 10 en 7.
=
1
2
𝑅 (𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶); factorizando.
=
1
2
× 1.95 × 24.5 𝑚2 ; sustitución de 4 y 5.
= 23.9
Ilustración N° 6
En la figura las circunferencias de radios 5 cm y
13 cm respectivamente, son tangentes entre si y
tangentes, como indica de la figura al ∆ 𝐴𝐵𝐶.
Calcule el área del ∆ 𝐴𝐵𝐶
1. Designamos por 𝐻´, 𝐻 y 𝐾 los puntos de
tangencia de las circunferencias con los
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅
lados 𝐴𝐶
𝐵𝐶 respectivamente; 𝐹´ y 𝐹
los puntos de tangencia de las mismas
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
̅̅̅̅; 𝑇 el punto de tangencia entre las dos circunferencias.
con 𝐴𝐵
̅̅̅̅ , 𝐵𝐹
̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝐾
̅̅̅̅, ̅̅̅̅
2. ̅̅̅̅
𝐴𝐹 ≅ 𝐴𝐻
𝐶𝐻 ≅ ̅̅̅̅
𝐶𝐾 . Teorema rectas tangentes a una circunferencia
desde un punto exterior a ella.
3. Determinamos 𝐴𝑂′ ; definición de semirrecta.

4. 𝐴𝑂′ ; bisectriz de BAC; teorema rectas tangentes a una circunferencia desde un punto
exterior a ella.
M
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5. 𝑂′ ∈ 𝐴𝑂, 𝐾 ∈ 𝐴𝑂; ¿por qué?
̅̅̅̅ ⊥ 𝐵𝐶
̅̅̅̅ ; de 1, propiedad de los radios asociados a los puntos de tangencia (teorema).
6. 𝑂𝐾
7. ̅̅̅̅
𝐴𝐾 es bisectriz y altura en el ∆ 𝐴𝐵𝐶; de 4, 5 y 6.
8. ∆ 𝐴𝐵𝐶 es isósceles con ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ; de 7 por teorema reciproco de las propiedades de los
segmentos notables del triángulo isósceles.
9. 𝐴 (∆ 𝐴𝐵𝐶) =
𝐵𝐶.𝐴𝐾
; teorema
2
área del ∆ 𝐴𝐵𝐶.
10. 𝐴𝐾 = 𝐴𝐺 + 𝐺𝐾 = 𝐴𝐺 + 36 𝑐𝑚
′ 𝐻 ′ y ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
11. Determinemos los radios 𝑂
𝑂𝐻 , definición de segmentos.
′ 𝐻 ′ ⊥ ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ⊥ ̅̅̅̅
12. 𝑂
𝐴𝐶 y 𝑂𝐻
𝐴𝐶 ; de 1, ¿por qué?
13. ∆ 𝐴𝑂′ 𝐻 ′ ~ ∆ 𝐴𝑂𝐻 , (A-A); ¿por qué?
14.
𝐴𝑂 ′
𝐴𝑂
15.
𝐴𝐺+5
𝐴𝐺+23
𝑂′ 𝐻′
; consecuencia
𝑂𝐻
=
de 13.
5
= 13; sustitución en 14.
16. 𝐴𝐺 = 6.25 𝑐𝑚; despejando en 15.
17. 𝐴𝐾 = 42.25 𝑐𝑚; sustitución 16 en 10.
18. ∆ 𝐴𝐾𝐶 ~ ∆ 𝐴𝑂′ 𝐻 ′ (A-A); ¿por qué?
19.
𝐾𝐶
𝑂′ 𝐻′
20.
𝐾𝐶
5
=
=
𝐴𝑂 ′
𝐴𝐶
𝐴𝐾
= 𝐴𝐻′ ; consecuencia de 18.
42.25
; transitividad
𝐴𝐻 ′
en 19 y sustitución.
21. 𝐴𝐻 ′ = √𝐴𝑂′ 2 − 𝑂′ 𝐻 ′ 2; teorema de Pitágoras, en el ∆ 𝐴𝑂′ 𝐻 ′ .
= √(11.25)2 − 25 = 10.07𝑐𝑚
22. 𝐾𝐶 =
5×42.25
10.07
𝑐𝑚; de 20 y 21.
= 20.97 𝑐𝑚
23. 𝐾𝐶 =
𝐶𝐵
; ¿por qué?
2
24. 𝐴(∆ 𝐴𝐵𝐶) = 20.97 × 42.25 𝑐𝑚2 ; sustitución 17 y 22 en 9.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
= 885.98 𝑐𝑚2 .
Ilustración N°7
̅̅̅̅ y 𝐵𝐷
̅̅̅̅se cortan en 𝑂. Si los triángulos formados tienen
En un trapecio ABCD, las diagonales 𝐶𝐴
las áreas indicadas:
𝐴 (∆𝐴𝑂𝐷) = a 1 ; 𝐴(∆𝐷𝑂𝐶) = a 2 ; 𝐴(∆𝐵𝑂𝐶) = a 3 ; 𝐴(∆𝐵𝑂𝐴) = a 4
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Demostrar que el área del trapecio ABCD está dada por :
Á𝑟𝑒𝑎 𝐴𝐵𝐶𝐷 = (√a2 + √a4 )2
Demostración
1. 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐴((∆ 𝐴𝑂𝐷) +
𝐴(∆𝐷𝑂𝐶) + 𝐴(∆𝐶𝑂𝐵) +
𝐴(∆𝐵𝑂𝐴). ¿Por qué?
2. 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ; de 1.
3. El área del ∆ 𝐴𝐷𝐶 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 ∆ 𝐵𝐶𝐷. ¿Por qué?
4. a 1 + a 2 = a 2 + a 3 , luego a 1 = a 3 ; de 3.
5. 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = a 2 + a 4 + 2a 1 ; de 4 en 2.
6. Aplicando una relación entre las áreas de dos triángulos obtenemos:
a 1 𝑂𝐴. 𝑂𝐷 𝑂𝐴
=
=
a 2 𝑂𝐷. 𝑂𝐶 𝑂𝐶
siendo el ∡ 𝐴𝑂𝐷 y ∡𝐷𝑂𝐶 suplementarios.
¿Son estas las únicas relaciones? ¿Cuáles otras se podrían plantear? ¿Cuáles de ellas nos
llevan a la solución?
Continuemos con el problema:
7. De 6,
a1
a2
a
= a 4 , pero a 1 = a 3 , entonces, (a 1 )2 = a 2 . a 4 y sustituyendo en 5 se tiene:
3
𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = a 2 + a 4 + 2√a 2 . a 4 . Luego: 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) = (√a 2 + √a 4 )2 ¿Por qué?
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Ilustración N°8
ABCD es un cuadrado de lado a. Desde cada vértice como centro y con radio a se trazan arcos
de circunferencia que se cortan en 𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝑄. Hallar el área de la región sombreada.
i. 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrado.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Hipótesis
ii.

DMB


 BPD
 CNA

 AQC
Tesis: Hallar el área sombreada.
Demostración.
1.
Determinemos
̅̅̅̅̅
𝑀𝐴
y
̅̅̅̅̅
𝑀𝐵
.
2. El área a determinar es cuatro veces el
área sombreada 𝐷𝑀𝐶. ¿Por qué?
3. Hallemos el área sombreada 𝐷𝑀𝐶
𝐴(𝐷𝑀𝐶) = 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) − 𝐴(𝑠𝑒𝑐𝑡(𝐴𝐷𝑀)) − 𝐴(𝑠𝑒𝑐𝑡(𝐵𝐶𝑀)) − 𝐴(∆ 𝐴𝑀𝐵)
Ahora: 𝑚 (∡𝑀𝐴𝐵) = 𝑚 (∡𝑀𝐵𝐴) = 60°. ¿Por qué?
4.𝑚 (∡𝐷𝐴𝑀) = 𝑚 (∡𝐶𝐵𝑀) = 30°. ¿Por qué?
5. AM = MB = AB = r = a
6. Entonces el área del 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴𝐷𝑀 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐷𝐶𝑀
7. 𝐴(𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 𝐷𝑀𝐶) = 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) − 2𝐴(𝑠𝑒𝑐𝑡 𝐴𝐷𝑀) − 𝐴(∆ 𝐴𝑀𝐵)
1
1
= (𝐴𝐵)2 − 2 [2 𝑟 2 𝜃] − 2 𝐴𝐵. ℎ
𝜋
1
a√ 3
)
2
= a2 − a2 . 6 − 2 a(
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
a2
= 12 (12 − 2𝜋 − 3√3)
8. Área sombreada = 4 𝐴(𝐷𝑀𝐶) =
a2
(12 − 2𝜋
3
− 3√3)
M
a
U te
so ri
a
no l e
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m ca
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ci o
al
NOTA: consultar el concepto de simetría.