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MODALIDAD SEMIPRESENCIAL
Te rc e r C i c l o d e E d u c a c i ó n G e n e ra l B á s i c a p a ra Ad u l t o s
Matemática
6
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Matemática
Matemática
6
Tercer Ciclo de Educación
General Básica para Adultos
MODALIDAD SEMIPRESENCIAL
Ministro de Educación de la Nación
Lic. Andrés Delich
Subsecretario de Educación Básica
Lic. Gustavo Iaies
[email protected]
Material elaborado por los
Equipos Técnicos del Programa de
Acciones Compensatorias en Educación
del Ministerio de Educación.
Ministerio de Educación de la Nación. Santa Fe 1548. Buenos Aires.
Hecho el depósito que marca la ley 11.723. Libro de edición argentina.
ISBN 950-00-0300-7. Primera Edición. Primera Reimpresión.
Índice
Introducción
.........................................................
Perímetros, superficies y volúmenes
5
.......................
6
Perímetro o superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Duplicando longitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Variación de superficie y volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Semejanza de figuras
............................................
28
Teorema de Pitágoras
............................................
37
¿Qué es un teorema? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Claves de Corrección
.............................................
73
.................................................................
99
Anexos
Introducción
E
ste es el último de los libros del área matemática. En la primera
parte trabajará sobre las relaciones que existen entre perímetros,
superficies y volúmenes. Se considerará especialmente si la equivalencia en perímetros implica equivalencia de superficies y si la
equivalencia de superficies necesariamente significa equivalencia
de los volúmenes de los cuerpos.
En la segunda parte se desarrolla el tema semejanza entre figuras,
se trata de un concepto que se utiliza corrientemente.
En el apartado en el que se considera el Teorema de Pitágoras también
se presentan algunas reflexiones sobre la matemática como ciencia.
Finalmente se plantean actividades con el propósito de que usted
pueda repasar algunos conceptos y procedimientos ya estudiados.
5
Perímetros, superficies y volúmenes
E
stos tres conceptos han sido trabajados en los libros anteriores.
El perímetro es la longitud del borde de una figura plana. Por
ejemplo, el cerco perimetral de un campo. Cuando se trata de la superficie de una figura plana nos referimos a la región del plano interior a la línea que la limita. Por ejemplo, la cantidad de vidrio necesario para poner en una ventana. Por último, el volumen es el lugar que ocupa un cuerpo en el espacio. Por ejemplo, la tierra que se
necesita para completar un pozo.
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Actividad Nº1
a Dibuje un rectángulo de 3 cm de largo por 4 cm de ancho.
Marque una de las diagonales de ese rectángulo y córtelo por
ella. Quedan dos piezas triangulares.
b Haciendo coincidir un lado completo de ambas piezas arme
diferentes figuras. Vaya dibujando las figuras que obtiene.
c ¿Cuántas figuras diferentes se pueden armar?
d Calcule el área de todas ellas.
e Halle el perímetro de cada una. Si es necesario utilice la regla.
f Compare sus respuestas a los items d y e. ¿Qué conclusión
puede obtener?
Actividad Nº2
En el Libro 5 usted armó un cuadrado, un paralelogramo, un
rectángulo y un triángulo utilizando en cada caso las siete
piezas del Tangram.
a ¿Cuánto mide la superficie de cada una de las figuras que armó?
b ¿Cuánto mide el perímetro de cada una?
7
¿Perímetro o superficie?
U
n agricultor va a comprar un campo y le dan a elegir entre uno que
mide 190 m de frente por 110 m de fondo y el otro 150 m por 140 m.
El fabricante de alambrados le aconseja: “Comprá el de 190 por 110
porque tiene mayor perímetro así que debe tener mayor superficie".
¿Qué piensa usted acerca de ese razonamiento?
Al agricultor le interesa poseer la mayor región interior, la mayor
superficie, que es donde él planta y cosecha.
Relea en el Libro 5 lo estudiado sobre perímetros y
superficies.
Para calcular el perímetro de un polígono basta con sumar la longitud de sus lados. En este caso, como se trata de rectángulos tienen dos pares de lados iguales.
Para calcular el perímetro, basta con multiplicar por dos cada lado y sumar los resultados. A cada uno de los lados se lo simboliza con L1 y L2.
Para hallar la superficie se multiplican entre sí los lados.
Perímetro del rectángulo
= 2 . L1 + 2 . L2
Superficie del rectángulo
= L 1 . L2
Perímetro de un rectángulo
= 2 . 190 m + 2 . 110 m
Perímetro de un rectángulo
= 600 m
Superficie de este rectángulo = 190 m . 110 m
Superficie de este rectángulo = 20.900 m2
Perímetro del otro rectángulo = 2 . 150 m + 2 . 140 m
Perímetro del otro rectángulo = 580 m
Superficie de este rectángulo = 150 m . 140 m
Superficie de este rectángulo = 21.000 m2
Si se completa un cuadro con los valores de los terrenos que pretendía comparar el agricultor se obtiene:
8
Medidas lineales
Perímetro
Superficie
190 m; 110 m
600 m
20.900 m2
150 m; 140 m
580 m
21.000 m2
Observe que el terreno que tiene mayor perímetro tiene menor
área. Por lo tanto a mayor perímetro no le corresponde mayor
área, como se podría suponer.
En la actividad del Tangram usted advirtió que tanto el cuadrado
como el rectángulo, el paralelogramo y el triángulo poseen la misma superficie pero varían sus perímetros.
Actividad Nº3
Dibuje en el papel cuadriculado a 1 cm que tiene en el Anexo I
todos los rectángulos posibles cuyos lados sean valores enteros y su superficie mida 20 cm2.
a ¿Qué relación existe entre los lados de rectángulos que tienen
igual superficie? Justifique su respuesta.
b Complete una tabla consignando el valor de los lados, la superficie y el perímetro:
Lado 1
Lado 2
Superficie
Perímetro
c Compare los valores de los perímetros de estos rectángulos
que son equivalentes en superficie. ¿Qué conclusión obtiene?
Analice ahora qué sucede si se mantiene constante el perímetro.
9
Actividad Nº4
Sobre papel cuadriculado dibuje todos los rectángulos posibles
cuyos lados midan valores enteros y su perímetro sea 20 cm.
a Halle las áreas respectivas y ordénelas de menor a mayor.
b ¿Cuál de estos rectángulos posee mayor área?
Como habrá comprobado al realizar las actividades anteriores:
existen figuras que tienen la misma superficie pero distinto perímetro;
• existen figuras que tienen igual perímetro pero diferente superficie.
•
Por lo tanto se puede concluir que:
la equivalencia de perímetros no implica la equivalencia de superficies;
• la equivalencia de superficies tampoco implica la equivalencia
de perímetros.
•
Actividad Nº5
a Halle el perímetro y la superficie de las figuras dibujadas sobre la trama cuadriculada de 1 cm.
La unidad de longitud es un lado de un cuadradito, es decir 1 cm.
La unidad de superficie es un cuadradito de 1 cm de lado, es
decir 1 cm2.
10
a ¿Qué conclusiones puede extraer sobre la equivalencia de las
superficies y los perímetros hallados?
b Si las tres últimas figuras fuesen las plantas (planos) en escala
de tres casas, ¿cuál elegiría para que le representara menos gasto en paredes exteriores con relación a la superficie cubierta?
c Dibuje la figura formada por cuadrados de 1 cm2 que posea menor área y mayor perímetro, siguiendo la secuencia de D, E y F.
Actividad Nº6
En una inmobiliaria se ofrecen dos terrenos con las siguientes
dimensiones:
Terreno A: largo 75 m y ancho 25 m
Terreno B: largo 80 m y ancho 20 m
El terreno A tiene mayor superficie que el B
a Determine el perímetro de cada terreno.
b ¿Cuánto mide la superficie de cada uno?
c ¿Cuál de los dos terrenos compraría usted si le informan que
valen lo mismo? ¿Por qué?
11
Actividad Nº7
Dos jardines tienen la misma superficie. El primero es un cuadrado de 19,8 m de lado. El segundo es un rectángulo de 29,7
m de largo. Calcule el perímetro de cada uno.
Duplicando longitudes
Si preguntamos qué sucede con el perímetro y la superficie de un
cuadrado al duplicar la medida de los lados, muchas personas afirmarán rápidamente que se duplicarán tanto el perímetro como la
superficie. Analicemos los siguientes ejemplos.
Un cuadrado tiene 3 cm de lado. Si se duplica la medida de su lado, ¿qué sucede con el perímetro?, ¿por qué número queda multiplicada su superficie?
Le sugerimos que reproduzca los siguientes gráficos en hojas cuadriculadas a 1 cm. (Anexo I)
Solución gráfica:
Al duplicar el lado (de 3 cm se pasó a 6 cm) el perímetro quedó
duplicado (de 12 cm se pasó a 24 cm).
En el mismo gráfico se observa que la superficie es de 36 cm2 y
que el cuadrado entra 4 veces en el nuevo cuadrado. Es decir que
al duplicar el lado, la superficie se cuadruplicó.
12
También se puede hallar la solución mediante un procedimiento
aritmético.
Solución aritmética:
Perímetro del cuadrado
Perímetro del cuadrado pequeño
Perímetro del cuadrado más grande
= 4 . Lado
= 4 . 3 cm = 12 cm
= 4 . 6 cm = 24 cm
Como puede observar al duplicar el lado del cuadrado, el perímetro
se duplicó.
Superficie del cuadrado
= L2
Superficie del cuadrado menor = (3cm)2
Superficie del cuadrado mayor = (6 cm)2
= 9 cm2
= 36 cm2
La superficie del primer cuadrado es de 9 cm2 y la del segundo mide 36 cm2.
Cuando se duplica el lado del cuadrado la superficie se cuadruplica.
En el Libro 3 usted estudió que al variar el lado de un cuadrado su
perímetro varía en la misma proporción. Por eso se dice que el perímetro está en función del lado en una relación de proporcionalidad directa.
Siga analizando qué sucede con la superficie de los cuadrados al
modificar la longitud del lado. Considere estas variaciones a partir
de las medidas de un cuadrado de 1 cm de lado.
Su superficie es de 1 cm2
Si se duplica el lado del cuadrado se observa que se cuadruplica la
superficie.
Si se triplica el lado del cuadrado se observa que su superficie quedó multiplicada por 9.
13
Si se cuadruplica el lado del cuadrado la superficie queda multiplicada por 16.
Si se multiplica por 10 el lado del cuadrado su superficie queda
multiplicada por 100.
Como puede observar, no existe relación de proporcionalidad directa entre la medida del lado de un cuadrado y su superficie.
Actividad Nº8
Aunque la relación del lado del cuadrado y la medida de su
superficie no sea de proporcionalidad directa, puede afirmarse que, la superficie del cuadrado está en función del lado.
Revise, si es necesario, el concepto de función en el Libro 3.
a ¿Cómo varía la superficie del cuadrado en función de la variación del lado?
b ¿Cómo se puede expresar la superficie de un cuadrado en
función del lado?
14
Actividad Nº9
a
Halle la superficie de las secciones de cada una de las estructuras de acero que se muestran en las siguientes figuras.
b
Actividad Nº10
El perímetro de un cuadrado es 36 cm.
a Calcule la medida de la superficie de este cuadrado.
b Encuentre qué altura debe tener un paralelogramo si tiene la misma medida su superficie que el cuadrado y su base mide 6 cm.
Actividad Nº11
a Halle el perímetro del rectángulo y del paralelogramo.
b Antes de hallar la superficie de estos cuadriláteros estime qué
relación guardan entre sí ambas superficies. ¿Son iguales o
diferentes? ¿Por qué?
c Halle la superficie. ¿Cómo resultó su estimación?
Ministerio de Cultura y Educación de la Nación
15
Variación de superficie y volumen
El panal de las abejas está compuesto por celdillas que puestas una
a continuación de la otra forman un cubrimiento hexagonal. ¿Qué
ventaja brinda esto a la abeja?
Analice una celdilla: es un cuerpo parecido a un prisma cuya base
exterior es un hexágono regular.
¿Por qué decimos parecido a un prisma? Porque un prisma tiene
sus bases planas, en cambio, el fondo de una celdilla (donde la
abeja deposita la miel) está formado por tres caras congruentes simulando una copa. Cada una de estas caras es un rombo.
A continuación, ilustramos el aspecto de una celdilla y su desarrollo en el plano. Para poder comprender una sorprendente curiosidad de la naturaleza, le adjuntamos el desarrollo en el Anexo II para que arme con él una celdilla.
Los naturalistas se preguntaron si las medidas de los ángulos de los
rombos que forman la base tendrían influencia en el mayor aprovechamiento del espacio de la colmena y la menor cantidad de material utilizado en su construcción. Es sabido que, la cera con que
se construyen las celdas donde se guarda la miel es una sustancia
difícil de fabricar.
Al medir los ángulos de estos rombos se obtuvieron los siguientes
valores: 109° 28’ y 70° 32’ .
16
Entonces se le encargó a un matemático el siguiente cálculo:
Supuesta una vasija hexagonal que termine en tres caras rómbicas
de fondo, averiguar cuáles son los ángulos de los rombos que darían el mayor aprovechamiento del espacio con el menor material.
Hecho este cálculo se obtuvieron los siguientes valores: 109° 26’ y
70° 34’. Se consideró entonces, que este pequeño “error" de la abeja era tan insignificante que no se le dio importancia.
Años después, el famoso matemático Mac Laurin no se conformó
con la pequeña discrepancia planteada entre el valor del ángulo
construido por la abeja y el calculado en forma teórica por el hombre. Al resolver nuevamente el problema encontró que los ángulos
que brindan mayor aprovechamiento del espacio son 109° 28’ y 70°
32’, es decir ¡coinciden exactamente con las medidas de los ángulos
de los rombos que forman las celdillas fabricadas por las abejas!
Comprobamos una vez más que la naturaleza nos sorprende con su
belleza y perfección.
Adaptación del original de Rafael Rodríguez Vidal1 realizada por P. Sadovsky y otros.2
“Maravillosa naturaleza”.
La idea que destacamos en el texto anterior -mayor aprovechamiento del espacio con la menor cantidad de material- es algo que interesa especialmente a los fabricantes que deben envasar sus productos.
Ellos necesitan, en general, guardar la mayor cantidad de material
dentro del mínimo envoltorio.
El concepto matemático que se refiere a la cantidad de material es
el volumen y el del envoltorio es la superficie.
Analizaremos entonces la relación entre el volumen de un cuerpo y
su superficie. Para ello utilizará el Soma que construyó en el Libro 5.
Con las 7 piezas del Soma arme un cubo. Si las aristas de cada cubito son de una unidad ¿cuál es la superficie total y cuál el volumen del cubo formado?
1
2
Rafael Rodríguez Vidal; Diversiones matemáticas. Reverté, Barcelona. 1983.
P. Sadovsky, M. Kass, M. C. Panizza y M. I. Reyna; Matemática 2. Santillana, Buenos Aires, 1989.
17
Unidad de
longitud
Unidad de
superficie
Unidad de
volumen
Seguramente encontró que la superficie mide 54 unidades cuadradas (54 u2) y el volumen 27 unidades cúbicas (u3).
Actividad Nº12
a Construya distintos cuerpos con las siete piezas del Soma.
b Halle las áreas de cada uno y los volúmenes correspondientes.
Compárelos y obtenga alguna conclusión respecto de las
equivalencias.
Actividad Nº13
a Arme con cubos, prismas que contengan ocho cubos iguales.
b Halle las áreas totales y los volúmenes.
Algunas cajas donde se guardan herramientas tienen una forma de prisma rectangular, como se muestra en el dibujo:
alto
ancho
largo
18
Recuerde que para calcular el volumen de un prisma hay que calcular la superficie de la base y multiplicar el resultado por la altura.
Por tratarse de un rectángulo, en este caso, la superficie de la
base se calcula multiplicando el largo por el ancho:
Volumen del prisma rectangular = largo x ancho x alto.
Hay dos cajas similares de herramientas cuyas dimensiones son:
Caja I:
Caja II:
largo = 2 dm
largo = 16 dm
ancho = 32 dm
ancho = 2 dm
alto = 1 dm
alto = 2 dm
Calculemos el volumen de la primera caja:
Volumen de la caja = largo x ancho x alto
Volumen de la caja 1= 2 dm x 32 dm x 1 dm
Volumen de la caja 1= 64 dm3
Calculemos también el volumen de la caja 2:
Volumen de la caja 2= 16 dm x 2 dm x 2 dm
Volumen de la caja 2= 64 dm3
Es evidente que las dos cajas son equivalentes en volumen.
Veamos qué sucede con sus superficies totales.
¿Cómo se determinan las superficies totales de las cajas? Basta con
calcular la superficie de cada una de las caras y luego sumarlas.
La caja I tiene dos caras rectangulares de 1 dm x 32 dm; dos caras
rectangulares de 2 dm x 1 dm y otras dos caras rectangulares de 32 dm
x 2 dm.
19
Revise el procedimiento
para resolver cálculos combinados en el Libro 3.
Si se expresa la superficie total como suma de todas ellas en un
cálculo combinado quedará expresado:
Sup (caja 1) = 2 x 1 dm x 32 dm + 2 x 2 dm x 1 dm + 2 x 32 dm x 2 dm
Sup (caja 1) = 196 dm2
Para la segunda caja:
Sup (caja II) = 2 x 2dm x 16dm + 2 x 2dm x 2dm + 2 x 2dm x 16dm
Sup (caja II) =136 dm2
Al determinar la superficie de cada una de las cajas se observa que
las superficies son distintas:
Sup (caja I) = 196 dm2
Sup (caja II) = 136 dm2
Por lo tanto, así como sucede entre la superficie y el perímetro, la
equivalencia entre volúmenes no implica equivalencia entre las
superficies.
Existen cuerpos que tienen igual volumen
pero distinta superficie.
Actividad Nº14
Halle las áreas totales de cada uno de los siguientes cuerpos
y los volúmenes correspondientes. Hay huecos donde usted
no ve cubos.
20
Le presentamos el siguiente problema que se le atribuye al gran
científico Galileo:
Si se tiene una hoja de anotador con el largo distinto del ancho
y se desea obtener un cilindro al cual se le agregará luego un fondo
para poder llenarlo de líquido, ¿cuál de los dos cilindros posibles
contendrá mayor cantidad de líquido?
Vamos a suponer que el largo de la hoja es de 12,56 cm y el ancho
de 6,28 cm. La hoja puede estar representada por este dibujo:
Como se observa en el dibujo, con la misma hoja se pueden obtener dos cilindros distintos: uno más alto que el otro o bien uno de
base mayor que la del otro.
Calcularemos ahora el volumen de cada uno.
Para poder hacerlo se necesita conocer el radio de la base, que no
es un dato. Sin embargo se conoce la longitud de la circunferencia de
la base, porque en uno de los cilindros será el ancho de la hoja y en
el otro el largo. Para poder resolverlo le proponemos revisar lo estudiado en el Libro 5 sobre ecuaciones.
En los Libros 2 y 5 se trabajó con cálculo de volúmenes. Consúltelos si lo cree
necesario.
Para llegar a calcular el volumen es preciso resolver un problema
intermedio que se podría enunciar del siguiente modo:
21
¿Cuál es el radio de una circunferencia de 12,56 cm?, ¿y si la longitud de la circunferencia es de 6,28 cm?
Recuerde que la longitud de la circunferencia se calcula:
Long (circunf.) = 2 . . r
Se conoce la longitud, no así el radio r, que es la incógnita de la siguiente ecuación:
12,56 cm = 2 x 3,14 x r
de donde podemos despejar el radio, dividiendo ambos miembros
por 2 x 3,14
12,56 cm
2 x 3,14 x r
________
= __________
2 x 3,14
2 .x 3,14
Ahora se puede simplificar en el segundo miembro 3,14 y 2. Al
hacerlo se obtiene:
12,56 cm
________
2 . 3,14 = r
12,56 cm
________
= 2 cm (radio).
2 . 3,14
El radio del primer cilindro es de 2 cm.
Para el radio de la base del segundo cilindro procedemos de manera similar:
Long (circunf.) = 2 . . r
6,28 cm = 2 . 3,14 . r
de donde podemos despejar el valor del radio del nuevo cilindro
6,28 cm
________
=r
2 . 3,14
6,28 cm = 1 cm (radio)
________
2 . 3,14
Luego de resolver estos problemas intermedios se puede calcular el
volumen de los cilindros, y comprobar si son equivalentes al tener
la misma superficie lateral.
Recuerde que para calcular el volumen de un cilindro se debe multiplicar la superficie de la base por la altura. Expresado en un cálculo combinado:
22
Vol. (cilindro) = Sup del círculo de la base por altura
Vol. (cilindro) = . r 2. h
El volumen del primer cilindro es:
Vol. (cilindro) = 3,14 . 4 cm2 . 6,28 cm
Vol. (cilindro) = 78,8768 cm3
El volumen del segundo cilindro es:
Vol. (cilindro) = 3,14 . 1 cm2 . 12,56 cm
Vol. (cilindro) = 39,4384 cm3
Como puede observar los cilindros tienen la misma superficie lateral y poseen diferente volumen. De los dos cilindros posibles, el
primero podrá contener mayor cantidad de líquido. En la Actividad
Nº 14 usted halló que hay cuerpos con la misma superficie total y
distinto volumen.
Por ello se puede concluir que:
Existen cuerpos que tienen la misma superficie
pero distinto volumen.
Ya se analizó qué sucede con el perímetro y con la superficie al variar el lado de un cuadrado. Se considerará ahora si existe relación
de proporcionalidad entre la arista de un cubo y su volumen.
En el Anexo III encontrará desarrollos de cubos de 1 cm de arista,
de 2 cm de arista, de 3 y así hasta 5 cm de arista para que pueda
armarlos y comprobar los datos de la siguiente tabla.
arista del cubo
superficie de
una cara del cubo
superficie
total del cubo
volumen del cubo
1 cm
2 cm
3 cm
4 cm
5 cm
1 cm2
4 cm2
9 cm2
16 cm2
25 cm2
6 cm2
24 cm2
36 cm2
96 cm2
150 cm2
1 cm3
8 cm3
27 cm3
64 cm3
125 cm3
23
Cada cara del cubo es un cuadrado. Al duplicar el lado de ese cuadrado la superficie se cuadruplica y en consecuencia sucede lo
mismo con la superficie total del cuerpo.
¿Qué sucede con el volumen al duplicar la arista? El volumen se
multiplica por 8.
Si se triplica la arista, se multiplica por 9 la superficie y se multiplica por 27 el volumen.
Como puede observar, la variación de la arista define una variación del volumen, pero puede afirmarse que:
No hay relación de proporcionalidad
entre la arista y el volumen del cubo.
Si se analiza qué sucede con la relación entre la superficie total y
el volumen, también puede afirmarse que:
No hay relación de proporcionalidad
entre la superficie de un cuerpo y su volumen.
Actividad Nº15
Haga otra tabla con las medidas de las aristas, las superficies
de cada cara y de los volúmenes.
aristas
superficie de
una cara
volumen
1
2
3
4
5
1
4
9
16
25
1
8
27
64
125
a Compare esta tabla con la correspondiente de la Actividad
Nº 36 del Libro 3.
b Si bien no hay relación de proporcionalidad directa entre la
arista y el volumen del cubo, sí puede decirse que el volumen es
una variable dependiente de la arista. ¿Cuál es la función que
expresa esta relación?
24
Analice qué sucede cuando se multiplica por 10 el lado de un cuadrado o la arista de un cubo y verá qué es lo que se aplica para calcular la relación entre las unidades de superficie y de volumen. Cada decímetro tiene 10 cm, por lo tanto si se dibuja un cuadrado de
un decímetro (se multiplicó por 10 la longitud del lado de un cuadrado de 1 cm) su superficie queda multiplicada por 100.
Si se considera un cubo cuya arista es de 10 cm su volumen será
1.000 cm3. Recuerde que en el SIMELA (Sistema Métrico Legal Argentino), las unidades de superficie y de volumen se definen a partir de las unidades de longitud.
La relación que existe entre las unidades de longitud es de potencias
de 10. El metro tiene 10 decímetros, 100 (102) cm, 1000 (103) mm.
Relea en el Libro 4 el apartado Notación Científica.
La relación que existe entre las unidades de superficie es de potencias de 100. El metro cuadrado tiene 100 decímetros cuadrados,
10.000 cm2 (1002), 1.000.000 mm2 (1003)
La relación que existe entre las unidades de volumen es de potencias de 1.000. El metro cúbico tiene 1.000 decímetros cúbicos, 106
centímetros cúbicos y 109 milímetros cúbicos.
Actividad Nº16
Considere recipientes de base rectangular que tengan todos el
mismo volumen 64 dm3. Las dimensiones de cada uno son:
largo
ancho
alto
volumen
1 dm
2 dm
4 dm
16 dm
32 dm
64 dm
16 dm
8 dm
4 dm
4 dm
2 dm
2 dm
1 dm
4 dm
8 dm
8 dm
4 dm
2 dm
1 dm
1 dm
1 dm
64 dm3
64 dm3
64 dm3
64 dm3
64 dm3
64 dm3
64 dm3
superficie
a Complete en la tabla la medida correspondiente a cada superficie total.
25
b ¿Cuáles son las dimensiones del recipiente que tiene la menor superficie?
c En la hojalatería le venden una chapa por m2. ¿Cuál de las dimensiones elegiría para la caja, de tal manera que tenga el
menor costo posible? (Recuerde que todas las cajas tienen el
mismo volumen.)
Actividad Nº17
Se han construido, con un mismo material, cuatro cubos macizos cuyas aristas son respectivamente de 6 cm; 8 cm; 10 cm
y 12 cm. Hay que colocarlos en los platillos de una balanza
de modo que éstos queden en equilibrio.
¿Qué cubo o cubos pondría en cada platillo? Justifique su respuesta.
Actividad Nº18
En una plaza hay un cantero aproximadamente cuadrado que
tiene un círculo inscripto en el que se quiere plantar flores,
dejando cubierto de pasto el resto de la superficie del cuadrado. Se sabe que el cuadrado tiene 400 cm de perímetro.
a ¿Cuál es la superficie que se cubrirá con pasto?
Otra persona, en vez de plantar en un solo círculo, quiere poner las flores en los cuatro círculos iguales de mayor superficie que puedan trazarse dentro del cuadrado de tal forma que
ninguno se superponga.
b ¿Qué superficie quedará cubierta de césped? Justifique su respuesta. Compárela con la obtenida en el item anterior.
26
Actividad Nº19
a Un campo tiene una superficie de una hectárea. ¿Cuál es su perímetro, si tiene la forma aproximadamente de un cuadrado?
b Otro campo está integrado por dos terrenos:
• uno es un rectángulo de 40 m x 50 m;
• el otro es un triángulo rectángulo isósceles.
Los lados iguales son los del ángulo recto. No se conoce la
longitud de estos lados, pero se sabe que uno de los lados
iguales coincide con uno de los lados del rectángulo.
De las dos posibilidades de formar el campo, ¿cuál encierra la
mayor superficie?
Le dibujamos una de las maneras posibles. Dibuje usted las otras.
Actividad Nº20
Una figura de cartulina, que representa una cara con sombrero, está compuesta por un trapecio isósceles y dos semicírculos construidos: uno sobre la base menor (que será la copa del
sombrero) y otro sobre la mayor (que será la cara ). Los datos
del trapecio son: Base mayor = 20 cm; base menor = 14 cm;
altura del trapecio = 12 cm.
Determine:
• la superficie total que tiene la figura;
• la cantidad de cinta necesaria para bordear el contorno de la
figura;
• el menor tamaño posible de la cartulina en la que se la dibujará.
27
Semejanza de figuras
A
l observar las siguientes letras notamos inmediatamente que todas ellas poseen la misma forma pero no poseen el mismo tamaño.
En este caso el tamaño de la letra crece y por lo tanto decimos que
la letra A se encuentra amplificada.
En este segundo caso el tamaño de la letra A decrece, por lo tanto
decimos que hemos efectuado una reducción.
Todas las imágenes de las letras, ¿son iguales? Seguramente responderemos negativamente, dado que las letras son de diferentes
tamaños. Pero, ¿se podría afirmar que son distintas las letras aes
dibujadas? También responderíamos negativamente a esta última
pregunta dado que las letras comparten la misma forma.
¿Cómo puede ser que a las imágenes anteriores le asignemos tanto
similitudes como diferencias?
Las siguientes imágenes permitirán explicar esta ambigua impresión.
28
Tomaremos una parte de los dos dibujos para simplificar la comparación de ambas imágenes.
29
Ministerio de Cultura y Educación de la Nación
Como se advierte, se trata de dos triángulos: ABC y el A’B’C’. Procederemos a medir la longitud de sus lados y la amplitud de sus
ángulos. Si es necesario revise en el Módulo Nº 4 cómo utilizar el
transportador.
Comience con los ángulos; extreme las precauciones para medir
con la mayor precisión posible.
Observe:
como son los ángulos A y A’ = . . . . . . . . . . . . .
como son el B y el B’
= .............
y como el C y el C’
= .............
Siga__
con los lados.
AB
__ = . . . . . . . . . . . . .
AC
__ = . . . . . . . . . . . . .
BC = . . . . . . . . . . . . .
___
A’B’
___ =
A’C’
___ =
B’C’ =
.............
.............
............
Observará que los lados varían. Veamos en qué forma lo hacen. Para ello analizaremos
la medida
___ __ entre ___
___siguientes
__ el cociente
__ de los
pares de lados: AB con A’B’, BC con B’C’ y AC con A’C’ .
Analice los pares de lados que estamos considerando. Ambos tienen como extremos los vértices de ángulos iguales.
30
___
A’B’
___
__ = ___ =
AB
___
B’C’
___
__ = ___ =
BC
___
A’C’
___
__ = ___ =
AC
¿Cómo son todos los cocientes?
Un error de medición pequeño, 1 o 2 milímetros, puede alejar bastante los resultados. Si tomamos la medida con total precisión obtenemos cocientes aproximadamente iguales.
Relea en el Libro 2
Módulo 4 el tema Razones y Proporciones.
Que los cocientes sean iguales implica que la razón (el cociente) entre los lados originales y los de la ampliación es siempre la misma.
Esto significa que la relación que existe entre un par de lados es
igual a la razón que existe entre los otros pares de lados respectivos.
___
___
A’B’
__ = 2 significa que el lado A’B’ es el
En este caso si obtenemos ___
___
AB
doble que el AB. Pero como los demás pares también dieron por
cociente 2 o un número muy próximo a 2, significa que todos los
lados del segundo triángulo son el doble de los del primero. El
triángulo se duplicó.
Los triángulos ABC y A’B’C’ son triángulos semejantes; el cociente entre sus lados respectivos, que en este caso resultó ser 2, nos
indica cuántas veces más grande o más chica es una figura con
respecto a la otra.
El número que obtenemos como cociente en cualquiera de los pares de lados correspondientes se llama “razón de semejanza".
Actividad Nº21
a Analice si existe proporcionalidad entre los lados respectivos
de los triángulos considerados. Justifique su respuesta.
b Los dos triángulos considerados son semejantes. Defina con
sus palabras cuándo dos triángulos son semejantes. Considere para ello las dos condiciones analizadas.
Lo comprobado para estos triángulos, ¿se mantendrá en el resto de
la figura?
31
Tome la medida de cualquiera de las partes del tractor grande, por
ejemplo la distancia entre la rueda grande y la chica, tome la misma medida en el tractor chico y luego calcule el cociente.
Puede comparar también la rueda grande de cada tractor. O la parte del tractor que le interese. Comprobará de esta manera que cada
una de las piezas del segundo tractor es exactamente el doble que
la misma pieza del primero.
A las figuras que poseen ángulos iguales
y lados directamente proporcionales
se las denomina figuras semejantes.
Observe la siguiente figura:
Si nos alejamos del cuadrilátero lo veremos más chico.
¿Serán semejantes?
Según lo expresado en la definición, para ser semejantes estos dos
polígonos deben tener los ángulos respectivamente iguales y los
lados respectivos directamente proporcionales.
Actividad Nº22
a Mida los ángulos y compruebe si son o no iguales.
b Luego tome la
___
AB
___
__ = ___ =
A’B’
medida de los lados y complete:
___
___
___
BC = ___ =
CD = ___ =
AD = ___ =
___
___
___
B’C’
C’D’
A’D’
c ¿Cómo son los resultados?
d De acuerdo con las respuestas anteriores, ¿son semejantes los
cuadriláteros?, ¿cuál es la razón de semejanza?
32
La razón de semejanza que obtuvo en esta oportunidad es aproxi1 .
madamente 0,33, número que equivale aproximadamente a __
3
En este caso la razón nos está indicando que el segundo triángulo
es la tercera parte del primero.
Actividad Nº23
a Si la razón de semejanza entre dos figuras es 4, ¿qué puede
decir de la segunda figura con respecto a la primera?
1 , ¿la segunda figura es una amb Si la razón es 0,5, es decir __
2
pliación o una reducción de la primera? ¿Cuántas veces?
c Y si la razón es 1, ¿cómo son las figuras?
La semejanza no se limita a las figuras geométricas, está presente en
un gran número de situaciones cotidianas. En los mapas, en las fotografías, en los planos de propiedades o piezas de máquinas, al hacer
una ampliación o reducción en una fotocopiadora, etc. Cuando se
realizan trabajos aplicando escalas, se está trabajando con semejanza.
Actividad Nº24
a En un mapa trazado a escala 1:400.000 dos ciudades se encuentran separadas por 4 cm de distancia.
Le proponemos que revise
el concepto de escala en el
Libro 1, Módulo 3.
¿Cuál será la distancia real que separa ambas localidades?
Exprese el resultado utilizando notación científica. Puede consultar el Libro 4.
b ¿Cómo puede fabricarse la maqueta de un auto deportivo para respetar la escala 1:72?
c Se quiere representar dos localidades que están separadas por
360 km en un mapa trazado a escala 1 cm : 2 . 105 m ¿Cuál
será la distancia que separe a los respectivos puntos que representan a las ciudades?
33
Actividad Nº25
Un cliente de una casa de fotocopias discute con el dueño
acerca de la eficacia con la que el comercio confeccionó el
trabajo encargado. La imagen entregada debía ser reducida al
50 % de su superficie. El cliente midió el ancho de la figura
original, el ancho de la reducción y encontró que el primero
era el doble con respecto al segundo, luego reiteró el procedimiento con el largo. Estas mediciones le sirvieron para determinar la nueva superficie. ¿Por qué está enojado el cliente?
Justifique su respuesta.
La semejanza de figuras llega a la industria del papel
La industria papelera ha estandarizado el tamaño de las hojas. Por
ejemplo, si tomamos una hoja de papel A3 y la plegamos al medio,
cortando ambas hojas obtenemos un par de hojas A4.
Si reiteramos el procedimiento con una hoja A4 obtendremos dos
hojas de tamaño A5.
Cada uno de los tamaños es de la mitad de la superficie de los anteriores.
34
Registremos las medidas de cada una de las hojas:
A3: 297 mm x 420 mm.
A4: 210 mm x 297 mm.
A5: 148 mm x 210 mm.
Por tratarse de rectángulos se sabe que todos los ángulos son iguales y rectos. Por ello nos ocuparemos de la razón de semejanza.
Obtengamos los cocientes entre los respectivos largos y los respectivos anchos de las hojas tamaño A3 y A4.
420 mm =˜ 1,414
Largo
de A3 = _______
__________
297 mm
Largo de A4
297 mm =˜ 1,414
Ancho de A3 = _______
___________
210 mm
Ancho de A4
Podemos concluir que los tamaños de hojas de papel A3 y A4 son
rectángulos semejantes, para los cuales su razón de semejanza será aproximadamente igual a 1,414.
Actividad Nº26
a En cualquier diccionario enciclopédico busque el mapa de la
República Argentina (o el de su provincia) y determine la distancia entre la capital y una localidad que haya elegido. (Le
recordamos que debe tener en cuenta cuál es la escala en la
cual fue hecho el mapa.)
b Para determinar la altura de un edificio se tienen los siguientes datos: la distancia desde el observador hasta el edificio es
de 60 m. La distancia del mismo observador hasta un poste
cuya altura es de 2 m es igual a 5 m. Tanto el poste como el
edificio están en la misma línea de observación y el observador mira al ras del suelo.
Haga el dibujo correspondiente.
c En una fotografía hay dos personas. Allí se ha reducido la altura de cada una a la quinta parte. Si en la foto una persona
mide 36 cm y otra 36,5 cm, ¿cuál es la altura real de ambas?
35
d Un cantero triangular tiene por lados: 4 m; 5 m; 7 m. Se quiere hacer un plano en la escala siguiente: 1:100. Dibuje el plano del cantero. ¿Cuáles serán las longitudes de los lados en
ese plano?
e En una fotografía se presentan dos esqueletos de animales
prehistóricos que vivieron en el sur de la Argentina. El esqueleto del más pequeño tiene en la foto una longitud de 6,5 cm
mientras que la del más grande es de 11,5 cm.
Se sabe que el dinosaurio más grande medía 36 m de longitud. ¿Cuál era la longitud del menor? ¿Cuál es la razón de
semejanza?
36
Teorema de Pitágoras
P
ara resolver muchas situaciones geométricas en las que se trabaja con polígonos se suele dividir el polígono en triángulos. Usted
ya utilizó esta estrategia al demostrar que la suma de los ángulos
interiores de un cuadrilátero es igual a 360° (o un ángulo de un giro). Revise en el Libro 5 los aspectos allí considerados.
Los triángulos pueden ser obtusángulos, acutángulos y rectángulos. Trabajaremos sobre éstos últimos, pues presentan propiedades
que resultan útiles para resolver situaciones en las que se conocen
las longitudes de dos de los lados y se quiere conocer la longitud
del tercero, el perímetro del triángulo o la superficie.
Revise en el Libro 4 lo estudiado sobre la unicidad del triángulo -dadas
las medidas de los tres lados, el triángulo que se puede formar es único-.
Para dibujar un triángulo cualquiera se pueden trazar dos lados de
los cuales se conocen sus medidas, dependerá del ángulo que se
forme entre ellos la medida que tomará el tercer lado.
37
Actividad Nº27
Dibuje diferentes triángulos rectángulos comenzando por elegir la medida de los lados que corresponden a los del ángulo
recto. Propóngase elegir diferentes medidas para el tercer lado. ¿Es posible?
Analice las siguientes situaciones para ver cómo puede calcularse el tercer lado de un triángulo rectángulo si se conocen
los otros dos.
Situación 1
¿Cuál es el largo de una escalera, para alcanzar un techo que
está a una altura de 3 m, si el pie de la escalera está separado
a 4 m de la pared?
Situación 2
Necesitamos instalar una antena de transmisión radial de doce metros de altura sobre una terraza. Disponemos de cinco
metros de distancia entre el pie de la antena y el borde de la
terraza. Es necesario sujetarla con un cable de acero que una
la punta de la antena con el borde de la terraza. Es imprescindible conocer la longitud del cable dado que si añadimos dos
tramos no podremos tensarlo suficientemente y si nos excedemos el corte del cable es muy trabajoso.
38
Situación 3
Una plaza rectangular tiene 90 metros de ancho y 120 metros
de largo. Si se construye un sendero que lo atraviesa diagonalmente, ¿qué longitud tiene el sendero?
Las tres situaciones tienen algo en común. En las tres la información y la medida que queremos hallar corresponden a
lados de un triángulo rectángulo.
39
Situación 1
Situación 2
Situación 3
40
El nombre de los lados de un triángulo rectángulo son:
Se llama cateto a cada uno de los lados del ángulo recto; por lo
tanto ambos catetos son perpendiculares entre sí. Se denomina hipotenusa al lado opuesto al ángulo recto.
Como puede observar, en todos los triángulos rectángulos cada cateto es la altura correspondiente al otro cateto, pues para hallar la
altura debe trazarse una perpendicular al lado. Por ser triángulos
rectángulos, ambos catetos son perpendiculares.
Relea en el Libro 4 el apartado sobre Triángulos.
En el problema de la Situación 1, los catetos son: la altura de la terraza (cateto menor) y la separación entre el pie de la escalera y la
pared (cateto mayor). La hipotenusa es la escalera.
Ya se analizó que conocidos dos lados de un triángulo rectángulo
existe un único valor posible para el tercer lado.
Una forma de hallar los resultados de los problemas planteados es
dibujándolos y tomando la medida que se busca. Esta estrategia de
solución que le proponemos utilizar tiene como dificultad poder
graficar los triángulos.
41
Actividad Nº28
a Represente el triángulo de la Situación 1 con un triángulo
rectángulo cuyos catetos son de 3 y 4 cm. ¿Qué escala se propone utilizar?
b Mida la hipotenusa del triángulo que dibujó. ¿Cuál es la longitud de la escalera?
c Si compara el triángulo real y el triángulo dibujado verá que
son figuras semejantes, porque tienen ángulos iguales y lados
correspondientes proporcionales. ¿Cuál es en este caso la razón de semejanza?
Actividad Nº29
Dibuje un triángulo rectángulo que represente a la segunda
situación (escala 1 cm equivalente a 1 m).
Mida la hipotenusa y determine la longitud del cable de acero.
Actividad Nº30
a Realice para la Situación 3 la misma experiencia que en los
casos anteriores, pero con una escala diferente. Piense cuántos metros representa con 1 cm y luego dibuje el triángulo y
determine la longitud del sendero.
b Explique con sus palabras cómo se calcula la longitud real del
segmento dibujado que la representa si se conoce la escala
con la que se está trabajando.
A través de los dibujos hemos podido dar respuesta a las tres situaciones planteadas, pero este proceso es poco práctico para averiguar la
medida de uno de los lados de un triángulo rectángulo cuando se conocen los otros dos lados. Veamos otro modo más apropiado.
42
El primero de los triángulos dibujados tiene catetos de 3 y 4 cm y
la hipotenusa mide 5 cm.
Considere los números 3, 4 y 5 y observe que si se eleva a cada uno
de ellos al cuadrado y se los suma, el resultado es igual al cuadrado del tercero.
32 + 42 = 52
9 + 16 = 25
¿Será casualidad?
Actividad Nº31
a Eleve al cuadrado los catetos del triángulo de la segunda situación, sume los resultados. Eleve al cuadrado la hipotenusa ¿Dio
lo mismo?
b Repita el cálculo con los lados de la tercera situación.
Que en los tres triángulos ocurra esto puede seguir siendo casualidad.
Analicemos estas situaciones gráficamente.
Piense unos instantes en qué significa geométricamente elevar al
cuadrado la longitud del cateto mayor. Significa averiguar la superficie de un cuadrado que tenga como lado un segmento de esa
longitud. Podemos entonces proyectar un cuadrado que tiene como
lado el valor del cateto.
43
Ahora apliquemos el mismo procedimiento para el cateto menor.
Y ahora con la hipotenusa.
Si usted suma la cantidad de cuadraditos de las dos últimas figuras
y compara el resultado con la obtenida en primer lugar, notará que
la cantidad de cuadraditos contenidos en los cuadrados proyectados a partir de ambos catetos reunidos equivalen a la cantidad de
cuadraditos de la hipotenusa.
44
Hemos encontrado una propiedad fundamental en los triángulos
rectángulos:
En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados
de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Esto se ha probado para tres triángulos rectángulos, pero esto no nos
asegura que ocurra en todos. ¿En cuántos se cumplirá la propiedad?
En los libros anteriores se ha insistido que en matemática no es suficiente con comprobar que cierta propiedad ocurre en uno o varios
ejemplos, pues podrían estar considerándose casos particulares. Para
ser válida la afirmación es necesario asegurarnos qué ocurre en general, para todos los casos posibles, o sea siempre. Para ello, como
ya analizó en el Libro 5 es necesario demostrar la propiedad.
Cuando se demuestra la propiedad -es decir que ocurre siempre- recibe el nombre de teorema, en este caso “Teorema de Pitágoras". Con
esa denominación estamos significando que se verifica en todos los
casos, que no es casualidad que lo observemos en algún ejemplo.
45
¿Qué es un teorema?
E
n las diversas civilizaciones de la Antigüedad la matemática se
desarrolló a partir de diferentes problemas y se obtuvieron diferentes resultados. Algunos pueblos utilizaron una matemática más
práctica, para resolver problemas particulares.
Entre esas civilizaciones los egipcios y los babilonios realizaron importantes aportes al conocimiento matemático. Por ejemplo, los egipcios pudieron resolver ecuaciones sencillas, pudieron calcular el área
de triángulos, rectángulos y trapecios, volúmenes de cilindros, prismas rectos, tronco de pirámide de base cuadrada, que les permitió la
construcción de las pirámides. Los babilonios utilizaron un sistema
de numeración posicional de base 60, nos legaron innumerables tablas numéricas, como las de cuadrados y cubos de números, podían
hallar el área de triángulos y trapecios, el área del círculo con = 3,
volúmenes de prismas y cilindros y casos particulares del Teorema de
Pitágoras. Pero no demostraron ninguna preocupación por justificar
y probar las reglas que utilizaban.
Busque en el Libro 3 de
Ciencias Sociales información sobre los pueblos
mencionados.
Fue en Grecia donde nació la matemática tal como la conocemos
hoy. Antes de los griegos, la matemática tenía como objetivo fundamental hallar procedimientos aritméticos o geométricos que permitieran solucionar situaciones de la vida práctica. Durante ese período no se buscaba la sistematización, la generalización y la abstracción que hoy tiene la matemática.
Muchos historiadores señalan a Tales de Mileto como el primero en
adoptar el método deductivo (siglo VI a.C.) y a Euclides (siglo III
a.C.) como el padre de la ciencia matemática.
La matemática trabaja con abstracciones. Actualmente se basa en
cuatro pilares.
1.
2.
3.
4.
46
Los conceptos primitivos.
Los axiomas.
Las definiciones.
Los teoremas.
No es nuestro propósito desarrollar con profundidad cada uno de
estos conceptos, sólo daremos una noción de cada uno de ellos.
Los conceptos primitivos: son los elementos con los que iniciamos
cada una de las ramas de la matemática; no tienen definición explícita. Por ejemplo: punto, recta y plano.
Los axiomas: son las propiedades o atributos que tienen -entre
otros elementos- los conceptos primitivos, y que implícitamente
los definen. Por ejemplo: “Dos puntos determinan una y sólo una
recta a la cual ellos pertenecen".
Las definiciones: establecen nuevos elementos, deben ser precisas
y determinar sólo aquello a lo que le asignamos esa denominación.
Por ejemplo: “Un polígono es regular si todos sus lados y todos sus
ángulos son iguales".
Los teoremas: son los enunciados de propiedades o proposiciones
verdaderas seguidas de sus demostraciones. Por ejemplo: el teorema de Pitágoras que en párrafos anteriores hemos enunciado.
Axioma y teorema son conceptos semejantes, en ambos casos se
enuncian propiedades. Pero existe una diferencia fundamental, los
axiomas (que son muy pocos) no necesitan demostración, mientras
que los teoremas sí.
Una demostración comienza con un enunciado, en el que especificamos bajo qué condiciones se cumple determinada propiedad; y una
demostración consiste en utilizar reglas lógicas que nos conduzcan, a
partir del enunciado, a verificar que la propiedad se cumple siempre.
Existen teoremas cuyas demostraciones son complejas, por eso en
ocasiones sólo enunciamos la propiedad (y la utilizamos) sin hacer
su demostración. En otros casos las demostraciones no son tan
complejas y podemos realizarlas con pocos conocimientos previos,
como lo hicimos al demostrar en el Libro 5 que la suma de los ángulos interiores de los cuadriláteros es de 360º.
Por la importancia que tienen los axiomas, es decir las propiedades que
no se demuestran y que se consideran ciertas para demostrar los teoremas, se considera que la matemática tiene una estructura axiomática.
47
¿Por qué Teorema de Pitágoras?
En general los teoremas que tienen nombres de matemáticos, como
este, son homenajes a ellos.
En el caso de Pitágoras, él junto a sus discípulos llamados “los pitagóricos", trabajaron con los números entre otros temas. Ellos encontraron y demostraron la relación existente entre la hipotenusa
y los catetos de un triángulo rectángulo. Por eso esta propiedad
lleva su nombre.
Luego de estas aclaraciones vamos a retomar el desarrollo de la propiedad de los lados de un triángulo rectángulo y “demostrar" el Teorema de Pitágoras. La siguiente es una de las posibles demostraciones.
Al trabajar con un teorema se debe tener claro:
•
qué es lo que se quiere demostrar: en este caso que la suma de los
cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa;
•
qué información se tiene a partir del enunciado: en este caso se
está trabajando con un triángulo rectángulo, es decir que tiene
catetos (que son los lados que forman el ángulo recto) e hipotenusa .
Para demostrar los teoremas, en general, se hacen figuras de análisis para interpretar el problema, pero se debe tener cuidado al hacerlas que no se esté trabajando con un caso particular, sino que
sirvan para el análisis de todas las situaciones posibles.
Para demostrar el Teorema de Pitágoras partiremos de dos cuadrados de igual medida. No importa su longitud pues, se debe analizar
la situación general. Es decir que a lo largo de la demostración hay
que estar atentos a si lo que se está afirmando se cumple efectivamente cualquiera sea la medida de los lados de los cuadrados para
los infinitos cuadrados que existen. Llamaremos I a uno de los
cuadrados y II al otro para diferenciarlos. Llamaremos l letra l) al
lado de estos cuadrados
II
I
48
P l a n
S o c i a l
E d u c a t i v o
En el cuadrado I determinamos un punto a una distancia cualquiera del vértice. El lado quedará dividido en dos segmentos a los que
se llamará a y b.
b
a
El lado del cuadrado puede ser expresado como la suma de los dos
segmentos que quedaron determinados:
l=a+b
Se reitera el procedimiento en los lados restantes, conservando la
medida y garantizando que los segmentos que tienen en común un
vértice del cuadrado sean iguales entre sí. Si se trazan los segmentos que tienen como extremos estos puntos y que sean paralelos a
los lados queda el cuadrado I dividido en dos cuadrados de diferente tamaño y dos rectángulos iguales.
Como puede observar, no importa a qué distancia de uno de los extremos haya marcado el punto, pues siempre el lado del cuadrado (I) quedará igual a la suma de los dos segmentos (a y b), y se determinarán los
dos cuadrados y los dos rectángulos. Si se hubiese marcado el punto justo en la mitad del segmento I, quedarían determinados cuatro cuadrados. Si es necesario revise el Libro 5 para ver que todo cuadrado es un
rectángulo, por lo tanto se estaría en un caso particular de rectángulo.
49
Si se trazan las diagonales de los rectángulos puede verse que en
cada uno de ellos quedan determinados dos triángulos rectángulos.
Los catetos son los segmentos a y b, y las diagonales las hipotenusas, a las que se llamarán h. Se puede considerar que a es la base
de un triángulo y b su altura respectiva.
h
h
¿Cuál será la superficie del cuadrado I?
El cuadrado I está formado por un cuadrado de lado a, un cuadrado de lado b, y 4 triángulos rectángulos de cateto menor a, cateto
mayor b e hipotenusa h.
Por lo tanto la superficie del cuadrado I es la suma de la superficie
del cuadrado de lado a; más la superficie del cuadrado de lado b;
más la superficie de cuatro triángulos de base a y altura b.
.a.b
_______
Superficie del cuadrado I = a2 + b2 + 4
2
Se trata ahora de encontrar una expresión para calcular la superficie
del cuadrado II, que como sabe, es equivalente a la del cuadrado I.
En el cuadrado II se dibujan triángulos rectángulos cuyos vértices coincidan con los del cuadrado y sus catetos sean respectivamente a y b.
50
¿Cuál será la superficie del cuadrado II?
El cuadrado II está formado por un cuadrado de lado h y cuatro triángulos rectángulos de cateto menor a, de cateto mayor b e hipotenusa h.
Por lo tanto la superficie del cuadrado II es la suma de la superficie
del cuadrado de lado h más el cuádruple de la superficie de un
triángulo de base a y altura b.
.b
____
Superficie del cuadrado II = h2 + 4 . a
2
Ambos cuadrados son iguales, en consecuencia se puede afirmar
que sus superficies también lo son. Por lo tanto la expresión de la
superficie del primer cuadrado tiene que ser igual a la expresión de
la superficie del segundo.
Sup. del Cuadrado I = Sup. del Cuadrado II
.b
a2 + b2 + 4 . a____
2
.b
= h2 + 4 . a____
2
Notará la presencia de los cuatro triángulos rectángulos en ambos
cuadrados. Si se descuenta la superficie de los triángulos, se están
descontando superficies iguales a ambos cuadrados; por lo tanto la
superficie del cuadrado I sin los cuatro triángulos debe ser igual a
la superficie del cuadrado II sin los cuatro triángulos.
a2 + b2 = h2
51
Si analiza qué representa la expresión obtenida verá que a y b son
los catetos de cualquiera de los triángulos rectángulos y h es la hipotenusa de esos mismos triángulos.
La nueva distribución de las figuras evidencia que hemos demostrado que la propiedad se cumple para todos los triángulos rectángulos existentes.
El Teorema de Pitágoras permite hallar el tercer lado de un triángulo rectángulo cuando los otros dos son conocidos.
Relea en el Libro 1 Módulo 3
el tema medidas de longitud.
52
Por ejemplo:
El tamaño de los televisores se indica según la longitud de la diagonal
de su pantalla medida en pulgadas. Si un televisor tiene 16´´ (16 pulgadas) de ancho y 12 de alto, ¿cuántas pulgadas tiene su diagonal?
Si bien los bordes de la pantalla son algo redondeados, podemos
tomar a la mitad de la pantalla como un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 12 y 16, y cuya hipotenusa queremos hallar.
Por el Teorema de Pitágoras podemos escribir la ecuación
x2 = 122 + 162
x2 = 144 + 256
x2 = 400
Preguntarse qué número al cuadrado es 400 equivale a preguntarse la
raíz cuadrada de dicho número. Como el número 400 es positivo tendrá dos soluciones una positiva y otra negativa. En este caso, como se
están considerando longitudes el resultado negativo no tiene sentido,
por lo tanto se la desecha como respuesta para este problema.
Calculamos la raíz cuadrada de 400.
x = 400
x = 20
El televisor es de 20´´
Al inicio de este tema se planteó que conocidos dos de los lados de un
triángulo rectángulo el otro queda determinado. Usted construyó en
una actividad anterior no sólo hipotenusas, dados los catetos, sino
también un cateto al tener como dato el otro cateto y la hipotenusa.
Al trabajar con el Teorema de Pitágoras, también se puede calcular alguno de los catetos si es que se conoce la hipotenusa. Por ejemplo:
Una escalera de dos hojas tiene una longitud de 2,4 metros. Cuando está abierta, la parte que apoya sobre el suelo se separa 1,2 metros. ¿A qué altura está la parte más alta de la escalera?
Se traza en el gráfico la altura que corresponde al lado que queda
en el suelo; luego se considera uno de los dos triángulos rectángulos que se forman al trazar la altura.
53
Quedaría el siguiente esquema:
Revise en el Libro 5 cómo
se resuelven ecuaciones.
En este triángulo la hipotenusa es conocida: 2,4 m, pues es el largo de la escalera. Uno de los catetos también es dato, 0,6 m (por ser
la mitad de la separación total). Queremos hallar el otro cateto, al
que llamaremos x porque desconocemos su valor.
El Teorema de Pitágoras sostiene que:
“El cuadrado de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de los catetos"
Para nuestro triángulo será:
(2,4 m)2
5,76 m2
5,76 m2 - 0,36 m2
5,4 m2
entonces x
54
= (0,6 m)2 + x2
= 0,36 m2 + x2
= x2
= x2
= 5,4 m2 = 2,32 m
En este problema también se descartó el resultado negativo de la raíz
porque se está calculando una longitud. La escalera alcanza una altura de 2,32 metros.
Actividad Nº32
Tal como se señaló en el Libro 5 muchas veces, es necesario
hacer una figura de análisis que nos permita visualizar la situación que se está considerando. Por ello le proponemos que
al resolver los siguientes problemas comience por hacer la representación gráfica de cada uno de ellos.
Para resolver los siguientes ejercicios utilice una calculadora y
redondee los resultados considerando la cantidad de cifras pertinentes a cada problema. Si lo considera necesario, puede volver al Libro 4 para revisar el uso de la calculadora y redondeo.
a Los bomberos tienen una escalera de 16 m. Se produjo un incendio de tal magnitud que por las llamas no existen posibilidades de acercarse a más de 6 metros del pie del edificio, ¿hasta qué altura se podrá realizar el rescate con esta escalera?
b ¿Cuántos metros debe caminar un chico para recuperar su barrilete que cayó verticalmente al suelo desde la posición señalada por el dibujo?
c Se desea reforzar con dos barras de hierro soldadas el piso del
baúl rectangular de un auto, para que pueda cargar un tubo
de gas. Sus dimensiones son 70 cm de ancho y 90 cm de largo y las barras que queremos agregar cruzan el baúl en forma
diagonal. ¿Cuál será la longitud de cada barra?
55
d ¿Cuál es el perímetro del romboide MNPQ?
__
NQ = 7 cm
__
OQ
__ = 4 cm
MP = 6 cm
e Si doblamos un papel glasé -esos papeles de colores, cuadrados, de 10 cm de lado- por su diagonal, obtenemos un triángulo isósceles donde los lados iguales miden 10 cm. ¿Cuánto
mide su perímetro?
Cuando se trabajó sobre el teorema de Pitágoras vimos que para hallar el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo se debe
sumar el cuadrado de los catetos. En la situación 1 era: 52 = 32 + 42.
Si en lugar de hacer esta operación primero sumamos los catetos y
luego los elevamos al cuadrado ¿el resultado será el mismo?
Verifiquemos si
32 + 42 es igual a (3 + 4)2.
32 + 42 = 9 + 16 = 25
= 49
(3 + 4)2 = 72
/ 32 + 42
Los resultados son distintos. Por lo tanto: (3 + 4)2 =
La conclusión anterior no es válida sólo para los números 3, 4 y 5. Considere otros valores y comprobará que no es lo mismo sumar y luego
elevar al cuadrado que elevar al cuadrado y luego sumar las potencias.
Actividad Nº33
En lenguaje simbólico (Libro 5) exprese la propiedad anterior generalizando para cualquier par de números y cualquier exponente.
56
En los párrafos anteriores vimos que (a + b)2 =/ a2 + b2. Analicemos
a qué es igual (a + b)2.
Puede aprovecharse el gráfico que utilizamos anteriormente.
La superficie de este cuadrado la obtenemos con (a + b)2, pero observando los cuadriláteros en que quedó dividido el cuadrado podemos
decir que el área del cuadrado es equivalente a la suma de las áreas
de los dos cuadrados a x a y b x b y de los dos rectángulos a x b.
Es decir que: (a + b)2 = a2 + b2 + a x b + a x b pero sumar dos veces el mismo rectángulo es lo mismo que multiplicar por dos a x b,
con lo que nos queda:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2
x
a
x
b
Al hacer este análisis no tomamos un valor en particular de a o de b.
El enunciado anterior es válido para cualquier par de valores a y b.
Actividad Nº34
Exprese en lenguaje coloquial la propiedad del recuadro anterior.
A continuación le proponemos un conjunto de actividades que le
permitirán revisar algunos de los contenidos trabajados en los libros. No encontrará en los márgenes de las hojas la indicación para consultar otros materiales. En esta ocasión este trabajo lo dejamos por su cuenta. Tampoco se incluyen las claves de corrección
de estas actividades. Trate de resolverlas usted solo y luego discuta
las respuestas con sus compañeros y con su docente.
57
Actividad Nº35
Fundación de Cartago
Acerca de la fundación de Cartago existe la siguiente leyenda:
Adaptación del texto de Geometría. Su enseñanza. Estructura Modular 2. Prociencia. Conicet. Módulo I. Buenos Aires,
1986. Texto original de Perelman; Problemas y experimentos recreativos, Mir, Moscú,
1975.
“Dido, hija del rey de Tiro, perdió a su esposo asesinado por el
hermano de ella. Como fue perseguida huyó hacia África desembarcando con muchos tirios en su costa norte.
En ese lugar le compró al rey de Numidia, Iarbas (parece que
quedó prendado de la belleza de Dido), tanta tierra como podía delimitar un cuero de toro.
Cuando el trato quedó cerrado la astuta reina cortó el cuero
de toro en tiras muy estrechas. Gracias a ello, abarcó un territorio suficiente como para construir una fortaleza.
Así, según la leyenda, se fundó el recinto fortificado de Cartago en torno al cual se edificó después la ciudad que habría
de traer tantos dolores de cabeza a los romanos."
Luego de la lectura del texto le proponemos que resuelva las
siguientes actividades.
a Considere que la piel del toro está representada por una hoja de
papel glasé, de diario, de cuaderno, y aplique la idea de Dido.
¿Es única la respuesta que usted puede dar con respecto a la
superficie delimitada por el papel que cortó? ¿Por qué?
b Suponga que un cuero de toro tiene una superficie rectangular de 4 m2 y que la reina Dido lo cortó en tiras de 1 cm de ancho, de forma rectangular y las colocó una a continuación de
otra para obtener así una larga tira. ¿Cuál es la longitud de
esa tira? Exprésela en metros.
c Puede pensarse que el rey Iarbas, dándose cuenta del engaño
del que lo hizo víctima Dido exigió como condición suplementaria que la piel del toro no pudiera ser cortada en varios
trozos para posteriormente unirlos.
¿Podría haberse acotado de esta manera un terreno propicio
para fundar la ciudad? ¿Por qué? ¿Cómo?
58
d Cierre la tira como si fuera un hilo (desprecie el ancho de 1
cm) y obtenga una poligonal cerrada de manera tal que se
formen distintos rectángulos.
¿Cuál es la longitud de la poligonal?
e Complete la siguiente tabla usando solamente múltiplos de 10
para hallar el rectángulo que encierra la mayor superficie. ¿Por
qué se acota el problema al usar solamente múltiplos de 10?
Medida de
la base
Medida de
la altura
Medida del
la perímetro
Medida de
la superficie
f ¿Es posible encontrar una figura geométrica que encierre una
mayor superficie que la hallada en el punto anterior? ¿Cuál
es? Determínela.
Actividad Nº36
En la ciudad de Ushuaia, durante el invierno pasado, se registraron durante una semana las siguientes temperaturas máximas y mínimas:
Día
Temperatura
mínima (°C)
Temperatura
máxima (°C)
Lunes
-10
-2
Martes
-5
3
Miércoles
-6
-2
Jueves
0
4
Viernes
1
7
Sábado
-2
6
Domingo
-1
7
59
a ¿Cuál fue la temperatura promedio (máxima y mínima) de la
semana?
b ¿Cuál fue la amplitud térmica de cada día de la semana?
c ¿Cuál fue el día más frío y cuál el menos frío? ¿Por qué?
Actividad Nº37
En una determinada ciudad, la temperatura a las 10 de la mañana era de 6°C. A las 20, el termómetro marcaba 5°C menos.
A las 23 horas el termómetro marcaba 8°C menos que a las 10
de la mañana.
a ¿Cuál era la temperatura a las 20 horas?
b ¿Cuál es la temperatura a las 23 horas?
c ¿Hace más frío a las 23 horas que a las 20? ¿Por qué?
Actividad Nº38
Se tienen 64 esferitas iguales de 1 cm de diámetro. Hay que colocarlas en una caja que tiene la forma de prisma recto rectangular.
a ¿Cuáles son las posibles medidas del largo, del ancho y del alto de la caja para que quepan exactamente todas las esferitas?
b ¿Qué dimensión elegiría usted para construir la caja de manera de usar la menor cantidad de material?
60
Actividad Nº39
Un cubo contiene exactamente a una pelota. Otro cubo, igual
al anterior, contiene exactamente 27 pelotitas todas iguales.
Si la pelota grande y las chicas están construidas con el mismo material, ¿cuál de los cubos pesa más? ¿Por qué?
Recuerde que la fórmula que permite calcular el volumen de
la esfera es V(esfera) = 4/3 π r3, donde la letra r representa la
longitud del radio de la esfera.
Suponga que la arista de cada cubo es de 27 cm y que el diámetro de cada esfera pequeña del segundo cubo tiene un diámetro de 9 cm.
Actividad Nº40
Calcule mentalmente
__ *
Sabiendo que una buena aproximación del número es 22
7
a La longitud de una circunferencia cuyo radio es 7 cm.
b La longitud de una circunferencia cuyo diámetro es de 28 cm.
c Las dimensiones de un terreno cuadrado cuya superficie es 81 m2.
d Las dimensiones que tendrá un tanque cisterna cúbico que
tiene 1000 litros de capacidad.
* Esta aproximación de π la comenzó a utilizar el célebre Arquímedes.
61
Actividad Nº41
En algunos países utilizan una rueda métrica (o rueda metro o
rueda click) para medir la longitud de las canchas de fútbol,
de terrenos, etcétera.
La rueda se desplaza, volviendo al punto inicial tras haber recorrido justo un metro, y hace un click. (Cada click que se escucha marca que midió un metro.)
¿Qué diámetro debe tener la rueda para que la longitud de su
circunferencia sea de un metro?
Actividad Nº42
En Rusia utilizan unos carros que tienen las ruedas delanteras
mucho más pequeñas que las traseras.
¿A qué se debe que esas ruedas delanteras se gasten mucho
más que las traseras?
Actividad Nº43
Usted dispone de una soga cuyos extremos están unidos y cuya longitud es de 36 metros. Arme algunos rectángulos.
a Escriba en una tabla los posibles valores naturales para la base
y para la altura.
62
base
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
altura
17 16
b Complete la siguiente tabla y responda: ¿cuál es el rectángulo que tiene la mayor superficie?
base
altura
1
2
17
16
perímetro
superficie
c De acuerdo con la tabla anterior, ¿en qué se parecen todos los
rectángulos encontrados?
d Represente gráficamente en los siguientes ejes los valores hallados en el punto a.
e Identifique cada una de las funciones anteriores.
63
Actividad Nº44
De “Diversiones Matemáticas”.
Juegos y comentarios al margen
de la clase. Rafael Rodríguez
Vidal. Reverté. Barcelona.1983
Dice una vieja historia que cierto día acercóse un mozo a un
vendedor de espárragos en el mercado, y así le dijo:
-Ved que traigo conmigo este cordel que mide un palmo, y
pregunto cuánto me cobraréis por el mazo de espárragos que
pueda atar con él.
Pidió el aldeano cinco reales y el mozo se mostró conforme,
pagó y se llevó la mercancía. A los dos días presentóse el mozo y dijo al vendedor:
-Aquí vuelvo con este cordón, que mide dos palmos. Os acordaréis que por los espárragos que pude atar con el cordel de
un palmo me cobrásteis cinco reales. Así que por el mazo que
atemos con este cordón de dos palmos os pagaré diez reales si
lo véis justo.
Aceptó el aldeano, aunque concluida la venta se quedó con
una cierta duda de si le habría o no engañado el comprador.
¿Hubo engaño?
Analice usted el problema. Si es necesario grafique la situación.
Actividad Nº45
La falta de proporcionalidad entre longitudes, superficies y
volúmenes tiene influencia en los gráficos estadísticos. Por
ejemplo, si se indica con una moneda cierta ganancia por la
producción de algún producto en una provincia y en otra se
quiere indicar que hay el doble de producción, el gráfico que
se hace puede llevar a confusión. Quedaría así:
Explique usted por qué decimos que llevaría a confusión.
64
Actividad Nº46
De cómo los indios de la isla de Vancouver conseguían trazar
las líneas destinadas a fijar la planta de una casa cuadrada,
según Dirk J. Struik.
“Desde un punto que había de estar en el centro de la línea
frontal del edificio, tendían una cuerda hasta el medio de la
línea posterior. Después de señalar con estacas esos dos puntos, partían la cuerda en dos mitades y extendían una mitad a
la derecha y la otra a la izquierda de la estaca frontal.
Luego, empleando otra cuerda para medir la distancia desde
la estaca trasera hasta los extremos de la cuerda delantera,
ajustaban esta última hasta que las distancias entre la estaca
posterior y las dos esquinas frontales fuesen iguales. Así, la
línea frontal queda exactamente colocada en ángulo recto
con la línea del centro. Los ángulos traseros se determinaban
del mismo modo."
De “Diversiones Matemáticas”.
Juegos y comentarios al margen
de la clase. Rafael Rodríguez
Vidal. Reverté. Barcelona.1983
P
B
A
—— —— —— —— —— —— ——
FP = AF + FB; AF = FB; PA = PB
Explique las propiedades de las alturas de los triángulos.
Se debe a una aplicación práctica de una propiedad de las alturas de los
triángulos.
65
Actividad Nº47
Ordene los siguientes recipientes de acuerdo con su capacidad:
Botella de lavandina 2 l
3 (750 cm3)
Botella de vino de __
4
Botella de gaseosa 1500 cm3
Cartón de leche 500 cm3 tetrabrik
Balde 1 dal
Balde 8 l
Actividad Nº48
a La piscina de un club tiene 25 m de largo por 7,5 m de ancho
por 2,5 m de profundidad. ¿Cuánto tarda en llenarse si la
bomba echa 120 l de agua por minuto?
b Si se cambia el agua cada 15 días y permanece abierta 3 meses
en el verano, ¿cuántos hl de agua se consumen en la temporada?
Actividad Nº49
a Explique con sus palabras la siguiente secuencia de gráficos de la
izquierda y determine a qué fórmula de superficie es posible arribar.
b Exprese simbólicamente los diferentes pasos.
Actividad Nº50
a Se desea alambrar con tres hilos una plazoleta triangular cuyos lados miden 30, 50 y 80 m. ¿Qué cantidad de alambre será necesario?
b Si se debe usar la misma cantidad de alambre, también dando tres
vueltas, ¿qué dimensiones debería tener una plazoleta cuadrada?
66
Actividad Nº51
Queremos plastificar el piso de un salón cuyo perímetro es de 24
m. Le dicimos al vendedor que nos pase el presupuesto. Cuesta
$ 40 el metro cuadrado. El empleado nos dice son $1.440. Pero
nosotros discutimos pues el cálculo nos dio $1.280.
Explique a qué se debe la diferencia.
Actividad Nº52
a Si se conoce cuánto mide la diagonal de una plaza cuadrada,
•
¿es posible hallar su superficie?
•
trate de relacionar al cuadrado con los otros cuadriláteros
que conoce. En especial, ¿de cuáles de ellos se usa la diagonal para hallar la superficie?
Fundamente su respuesta.
b ¿Qué relaciones es posible establecer entre las superficies de los
triángulos (ABM, ABN, ABP, ABQ) y la del paralelogramo ABCD?
Actividad Nº53
a Dibuje un trapecio cuya base menor mida 8 cm, su base mayor
12 cm y su altura 6 cm. ¿Puede hallar una única solución?
b Las siguientes afirmaciones ¿son verdaderas o falsas?
“Para definir un trapecio alcanza con conocer las medidas de sus bases y su altura."
“Para definir un rectángulo basta conocer su largo y su ancho."
“Para definir un cuadrado es suficiente con conocer la medida de su lado."
67
Actividad Nº54
a Considere un cuadrado de lado 1. Si marca los puntos medios
1 .
de los lados y los une obtiene otro cuadrado cuya área es __
2
Compruébelo.
b Cómo haría para ampliar una pileta de beber al doble del espejo de agua si le dan la siguiente información:
La pileta es cuadrada; su borde es de 100 m y en cada esquina hay cuatro ombúes que no se pueden arrancar.
c ¿Qué sucederá con el perímetro de la nueva pileta? Le damos
una ayuda: en la nueva pileta, los ombúes quedan exactamente en el punto medio de cada borde de la pileta.
1 m de profundidad, ¿cuánta agua contend Si la pileta tiene __
2
drá la primera pileta? ¿Y la ampliada?
68
Actividad Nº55
El siguiente gráfico representa la distribución de los habitantes de una provincia agrupados por edades (en intervalos de
10 años) y por sexo.
200
varones
mujeres
180
en miles de habitantes
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0 a10
11 a 20
21 a 30
31 a 40
41 a 50
51 a 60
61 a 70
71 a 80
más de
80
a ¿A qué edad la cantidad de mujeres y de varones es la misma?
b ¿En cuál de los intervalos de edades se da la mayor desproporción entre varones y mujeres?
c ¿Cuál es, aproximadamente, la cantidad de mujeres que hay
en la ciudad entre 41 y 50 años?
69
Actividad Nº56
La exportación de cereales de un país varió a través de los
años según el siguiente gráfico.
a ¿Cuál era, aproximadamente, la exportación en el año 1900?
b ¿En que período aumentó (porcentualmente) más la exportación?
c ¿En cuántas toneladas se incrementó la exportación entre
1890 y 1980?
d ¿Cuál es el porcentaje de incremento que calculó en el punto
anterior?
70
Actividad Nº57
Imagine que usted es un periodísta. En la editorial le solicitan
que escriba un artículo periodístico sobre el consumo de tabaco en la Argentina para el sumplemento del diario del domingo. Para facilitar su tarea le indican el titular y el copete
que deberá tener la nota y los gráficos que debe incluir.
Escriba el artículo.
Hay humo en el negocio del tabaco
Cómo reacciona la industria argentina de los cigarrillos frente al estancamiento que, desde hace cinco años, afecta al consumo local.
Referencias Si fuma
No fuma
¿USTED FUMA?
Referencias: Si Fuma
41,8
58,2
HOMBRES
No Fuma
33,1
66,9
MUJERES
Clarín, 22 de agosto de 1999.
71
72
P l a n
S o c i a l
E d u c a t i v o
Claves de Corrección
Actividad Nº1
a
b
c Se pueden armar dos paralelogramos, el rectángulo, dos triángulos y
un romboide.
d El área de todas ellas es equivalente a la del rectángulo original, por
lo tanto es de 12 cm2
73
e El perímetro del rectángulo es de 14 cm.
El de uno de los paralelogramos es de 16 cm y el del otro es de 18 cm
El perímetro de los triángulos isósceles es de 18 cm en un caso y de
16 cm en el otro. El perímetro del romboide es de 14 cm.
f Las superficies son todas equivalentes pero los perímetros no lo son.
Hay figuras que tienen la misma superficie y el mismo perímetro
pero distinta forma.
Actividad Nº2
a En los cuatro casos las superficies son equivalentes, porque están
armadas con las mismas piezas. Dado que el lado del cuadrado que
se forma tiene 10 cm, su superficie es de 100 cm2, que como ya se
dijo es la medida de la superficie de todas las figuras.
b El perímetro del cuadrado es de 40 cm, el del rectángulo de 42,42
cm, el del paralelogramo de 48,28 cm, y el del triángulo de 48,28 cm.
74
Actividad Nº3
En este caso dibujamos sólo una de los rectángulos posibles para
cada medida.
a La relación que existe entre los lados de rectángulos que tienen
igual superficie es de proporcionalidad inversa, porque al variar uno
el otro necesariamente varía en la proporción inversa (doble-mitad,
triple-tercio,etc). Lo que se mantiene constante es el producto entre
los lados, es decir la superficie del rectángulo.
b
lado 1
1 cm
2 cm
4 cm
5 cm
10 cm
20 cm
Lado 2
20 cm
10 cm
5 cm
4 cm
2 cm
1 cm
Superficie
20 cm2
20 cm2
20 cm2
20 cm2
20 cm2
20 cm2
Perímetro
42 cm
24 cm
18 cm
18 cm
24 cm
42 cm
c Los perímetros son diferentes, aunque los rectángulos tengan
superficies equivalentes.
75
Actividad Nº4
a
lado 1
1 cm
2 cm
3 cm
4 cm
5cm
Lado 2
9 cm
8cm
7 cm
6 cm
5 cm
Superficie
9 cm2
16 cm2
21 cm2
24 cm2
25 cm2
b El cuadrado es el rectángulo de perímetro 20 cm y es el que posee
mayor área.
Actividad Nº5
a
perímetro
A
8 cm
B
8 cm
C
8 cm
D
12 cm
E
12 cm
F
12 cm
superficie
4 cm2
3 cm2
2 cm2
9 cm2
8 cm2
7 cm2
b El perímetro permanece constante pero el área va disminuyendo.
c La figura D con el mismo gasto en paredes que las otras (E y F)
abarcaría una mayor superficie.
La figura con menor área y mayor perímetro siguiendo esa
secuencia sería
Esta figura tiene 4 cm2 de superficie y 16 cm de perímetro. Se puede
observar que el perímetro no es sólo la medida del borde “externo" ,
sino también el del otro borde. Piense que si tuviese que cercar este
terreno tan particular debería rodear los cuatro cuadrados.
76
Actividad Nº6
a El perímetro de cada terreno se calcula:
Terreno A:
Per (A) = 2 . largo + 2 . ancho
Per (A) = 2 . 75 m + 2 . 25 m
Per (A) = 150 m + 50 m
Per (A) = 200 m
Terreno B:
Per (B) = 2 . largo + 2 . ancho
Per (B) = 2 . 80 m + 2 . 20 m
Per (B) = 160 m + 40 m
Per (B) = 200 m
Ambos terrenos tienen el mismo perímetro
b La superficie de cada terreno se calcula:
Terreno A:
Sup (A) = largo x ancho
Sup (A) = 75 m x 25 m
Sup (A) = 1875 m2
Terreno B:
Sup (B) = largo x ancho
Sup (B) = 80 m x 20 m
Sup (B) = 1600 m2
Ambos terrenos tienen distinta superficie.
c Al considerar sólo las dimensiones es probable que usted haya
elegido el primer terreno ya que ocupa mayor superficie pero el
precio es el mismo. No obstante para la compra de un terreno se
consideran otros aspectos. Podría suceder que los terrenos del
primero se inundaran y los del segundo no. Podría tener muy difícil
acceso, o estar muy alejado de centros comerciales. Depende de
para qué lo quiera debería contemplar otras muchas variables.
77
Actividad Nº7
Para calcular el perímetro del rectángulo es necesario conocer la
medida de los lados. Sólo se tiene como dato uno de los lados. Pero
se sabe que su superficie es equivalente a la de un cuadrado del que
se puede calcular la superficie, por conocer la medida del lado. Si se
halla la superficie del rectángulo se podrá entonces calcular el lado
que falta para calcular el perímetro.
Superficie del jardín cuadrado:
(19,8 m )2 = 392,04 m2
Superficie del jardín rectangular = 392,04 m2
392,04 m2 = 29,7 m x ? m
En este caso se tiene una ecuación donde la incógnita está multiplicada por 29,7 m Por ello se dividen ambos miembros por ese valor,
para poder simplificar en el segundo miembro y que el valor buscado quede despejado.
392,04
m2 = 29,7
mxXm
______
________
29,7 m
29,7 m
El lado desconocido del jardín rectangular se encuentra dividiendo
la superficie por el lado conocido:
392,04 m2 : 29,7 m = X m
392,04 m2 : 29,7 m = 13,2 m
Para calcular el perímetro de un rectángulo hay que sumar el doble
de cada lado, pero es lo mismo que hallar el doble de la suma de los
dos lados (que es el semiperímetro o la mitad del perímetro)
Perímetro del jardín rectangular: 2 x ( 29,7 m + 13,2 m) = 85,8 m
Perímetro del jardín cuadrado : 19,8 m x 4 = 79,2 m
El perímetro del cuadrado se puede calcular multiplicando por 4 la
medida de cada lado:
Perímetro del cuadrado = 4 . l
Perímetro del cuadrado = 4 . 19,8 m
Perímetro del cuadrado = 79,2 m
78
Actividad Nº8
a La superficie del cuadrado está en función del lado. Varía según el
cuadrado del lado.
b En el Libro 3 se señaló que la función que representa esta relación es:
Superficie del cuadrado = lado2
Por lo tanto la superficie del cuadrado es directamente proporcional al cuadrado del lado.
Actividad Nº9
Existen diversas posibilidades para calcular las superficies de las
diferentes secciones de las estructuras de acero. Aquí le planteamos
sólo algunas.
Se tienen dos trapecios pequeños y dos más grandes.
Se necesita saber cuánto mide la base menor del trapecio pequeño.
Se encuentra restando a 8 cm que es la base mayor, dos veces 2 cm.
Se obtiene así 4 cm.
La superficie del trapecio más pequeño se calcula sumando las bases
(en este caso 4cm y 8 cm), multiplicándolas por su altura (en este
caso 2 cm) y dividiendo el resultado por 2.
a.1
(B + b) x H
Superficie del trapecio pequeño = ________
2
(8cm+4cm
) x 2 cm
Superficie del trapecio pequeño = _______________
2
Aquí se puede simplificar el 2 del numerador (porque está multiplicando) con el del denominador. Así el resultado será 12 cm2.
Si se procede en forma similar con el otro trapecio se verá que sus bases miden 8 cm y 12 cm y que la altura también es de 2 cm. Por ello la
de cada trapecio grande será de 20 cm2.
Por estar la estructura formada por dos de los trapecios pequeños
(de 12 cm2 cada uno) y dos de los trapecios más grandes (de 20 cm2
cada uno) la estructura total tendrá 64 cm2.
79
Superficie total= 2 . sup. trapecio pequeño + 2 . sup. trapecio grande
Superficie total= 2 x 12 cm2 + 2 x 20 cm2
Superficie total= 24 cm2 + 40 cm2
Superficie total= 64 cm2
a.2 Se tiene un rectángulo grande al que se le puede restar el más pequeño. Esta es más sencilla porque hay que calcular la superficie de dos
rectángulos.
Uno de ellos tiene 12 cm x 8 cm y el otro tiene 8 cm x 4 cm. Por lo
tanto la superficie de uno será de 96 cm2 y la del otro de 32 cm2, que
restadas darán los 64 cm2.
b La superficie de la segunda figura se puede calcular de diferentes
maneras según sean los rectángulos que se consideren.
Pueden tenerse en cuenta los rectángulos.
O también los rectángulos:
Una tercera opción, esta vez para restar superficies es:
80
Si se consideran los rectángulos de 15 cm x 5 cm y el de 4 cm x 7 cm
Se tiene que la superficie del primer rectángulo es de 75 cm2 y la del
segundo es de 28 cm2. Por lo tanto la superficie total es de 103 cm2
Si se considera el segundo gráfico:
El valor de la base del rectángulo de la izquierda se halla como diferencia entre la base de la figura (15 cm) y el lado que mide 7 cm. O
sea que el rectángulo de la izquierda tendrá por superficie 40 cm2
pues 8 cm x 5 cm= 40 cm2 .
El rectángulo de la derecha tiene como base 7 cm y la altura se la puede obtener como la suma de 4 cm y 5 cm. Por lo que las dimensiones
de este rectángulo son 7 cm y 9 cm. Su superficie será 63 cm2
La superficie total es entonces 40 cm2 + 63 cm2 = 103 cm2. Como ya
se había obtenido con la otra descomposición de la figura.
En la tercera de las opciones se puede restar a un rectángulo de 15 cm
por 9 cm la superficie de un rectángulo de 4 cm por 8 cm. Por lo
tanto será 135 cm2 menos 32 cm2, con lo que también se halla el
resultado buscado.
Actividad Nº10
a Si el perímetro del cuadrado es de 36 cm significa que cada lado mide
9 cm, porque al perímetro total (la suma de los cuatro lados iguales)
se lo divide por 4 (cantidad de lados iguales). Por lo tanto la medida de
su superficie será de 81 cm2, dado que la medida de la superficie se
calcula elevando al cuadrado la medida del lado.
b Para calcular la medida de la superficie de un paralelogramo tiene que
multiplicarse la base por su altura. Si se conoce la superficie que es de
81 cm2, y la base mide 6 cm se puede plantear una ecuación donde la
incógnita será la longitud de la altura (h).
Superficie del paralelogramo = base x altura
81 cm2 = 6 cm x h
Basta con dividir ambos miembros por 6 cm para poder simplificar
6 cm x h
81
cm2 = _______
_____
en el segundo miembro.
6 cm
6 cm
2
81
cm
_____
y quedará:
= h
6 cm
H = 13,5 cm
81
Actividad Nº11
a Ambas figuras tienen dos lados de 7 cm y dos lados de 5 cm. Por lo
tanto el perímetro de ambas es de 24 cm.
b La superficie del rectángulo será mayor porque la altura del paralelogramo tiene una longitud menor que la del rectángulo.
c La base del paralelogramo es de 7 cm y la altura es de 4 cm según el
gráfico. Por lo tanto la superficie es de 28 cm2
En el caso del rectángulo la base es de 7 cm y la altura de 5 cm, por lo
tanto la superficie es de 35 cm2
Actividad Nº12
82
Aquí se muestran sólo algunas de las posibles construcciones.
Depende de la que usted haya hecho el valor de la superficie. En
todos los casos el volumen será de 27 unidades cúbicas.
Actividad Nº13
Todos los volúmenes son equivalentes. Si se considera como unidad
al volumen de un cubo, en todos los casos el volumen será de 8
unidades cúbicas (u3)
Actividad Nº14
En todos los casos la medida de la superficie total es de 52 unidades
cuadradas mientras que en cada uno cambia la medida del volumen.
El cuerpo A mide 23 u3, el cuerpo B mide 22 u3 y el C 21 u3.
83
Actividad Nº15
a a Los valores corresponden a los cuadrados y a los cubos de los
números de la primera columna.
b b El volumen del cubo puede calcularse elevando al cubo la medida
de la arista, por lo tanto su expresión general será:
V = a3
En esta función queda explícito que el volumen del cubo es directamente proporcional al cubo de la arista.
Actividad Nº16
a
largo en dm
ancho en dm
alto en dm
volumen en dm3
superficie en dm2
1 dm
2 dm
4 dm
16 dm
32 dm
64 dm
16 dm
8 dm
4 dm
4 dm
2 dm
2 dm
1 dm
4 dm
8 dm
8 dm
4 dm
2 dm
1 dm
1 dm
1 dm
64 dm3
64 dm3
64 dm3
64 dm3
64 dm3
64 dm3
64 dm3
160 dm2
112 dm2
96 dm2
136 dm2
196 dm2
258 dm2
168 dm2
b La caja cuyas dimensiones son 4 dm x 4 dm x 4 dm (es decir, una
caja cúbica).
c La que permite construir un cubo porque necesitaría menor cantidad de chapa.
Actividad Nº17
Al ser los cubos de un mismo material y macizos el equilibrio de los
pesos implica el equilibrio de los volúmenes.
En todos los casos el volumen a calcular corresponde a cubos, por lo
tanto habrá que elevar al cubo las aristas correspondientes (puede
ayudarse con la tabla de cubos del Libro 3 o usar la calculadora).
84
Así se tiene que el cubo de 6 m de arista tiene un volumen de 216 cm3,
el de 8 cm tiene 512 cm3, el 10 cm tiene 1000 cm3 y el de 12 cm tiene
1728 cm3 de volumen.
El volumen del último cubo es de 1728 cm3, que equivale a la suma de
216 cm3, 512 cm3 y 1000 cm3.
Habría que poner juntos los cubos cuyas aristas miden 6 cm; 8 cm y
10 cm mientras que el cubo más grande habría que colocarlo en el
otro platillo de la balanza para obtener el equilibrio.
Actividad Nº18
a Para calcular la superficie cubierta con pasto hay que restarle a la superficie del cuadrado la superficie del círculo.
En este caso si el perímetro del cuadrado es de 400 cm significa que
cada lado de la plaza mide 100 cm. Por lo tanto la superficie del cuadrado será de 100 m2, o sea 10.000 cm2.
La longitud del diámetro del círculo es igual a la longitud del lado del
cuadrado, por lo tanto su radio será la mitad de 100 cm, es decir 50 cm.
Conocido el radio se puede calcular la superficie del círculo multiplicando su cuadrado por el número PI. Así se obtiene que la superficie
del cuadrado es de 7850 cm2.
Como la superficie a cubrir de pasto es la diferencia entre las dos superficies calculadas, bastará con restar a los 10.000 cm2 del cuadrado los
7850 cm2 del círculo. Por lo tanto la superficie buscada es de 2150 cm2.
b La superficie de cada círculo se puede obtener conociendo el radio.
Como cada diámetro es la mitad del lado del cuadrado, sus radios
serán la cuarta parte de dicho lado. O sea que cada radio tiene 25 cm.
La superficie de cada círculo pequeño es de 1962.5 cm2, porque 25 al
cuadrado es 625 y a este resultado hay que multiplicarlo por π, que
se lo considera con dos decimales de aproximación, o sea 3,14.
85
Como hay cuatro círculos iguales bastará con multiplicar por cuatro
la superficie hallada para uno de ellos. Así se obtiene que la
superficie que deberían cubrir las flores es de 7850 cm2, que es la
misma que la hallada anteriormente. Por lo tanto en cualquiera de
los dos casos la superficie de pasto sería equivalente.
Actividad Nº19
a Si la superficie es de una hectárea y el terreno tiene forma de
cuadrado, entonces cada lado mide 100 m de largo. Por lo tanto su
perímetro será de 400 m.
b Los tres campos posibles son:
En cualquiera de los tres casos se tiene que calcular la superficie del
rectángulo, que no variará para cualquiera de las dos posibilidades, y
sumarle la superficie del triángulo.
La superficie del rectángulo se obtiene multiplicando las medidas de
los lados, por lo tanto será de 2.000 m2.
A partir de ahora consideraremos las dos primeras figuras. Si usted
quiere encontrar la tercera consulte con su docente.
En cualquier triángulo rectángulo un lado del ángulo recto es la altura correspondiente al otro. Por lo tanto, en los triángulos isósceles
que consideramos se tiene como datos un lado y su correspondiente altura. En este caso la altura y el lado del triángulo son iguales.
Dado que la superficie del triángulo es
x altura
_________
Sup. del triángulo = Base
2
86
En el caso del triángulo rectángulo en el que uno de los lados coincide
con el lado menor del rectángulo, o sea el que mide 40 m , se tendrá:
40 m x 40 m
Sup. del triángulo = __________
2
Sup. del triángulo = 800 m2
Si a este valor se le suma la superficie del rectángulo (2.000 m2) se
tiene que el campo medirá 2800 m2
Si se considera el triángulo rectángulo cuyos lados iguales miden 50
m entonces la superficie será:
50 m x 50 m
Sup. del triángulo = __________
2
Sup. del triángulo = 1250 m2
En este caso la superficie total del terreno será de 3.250 m2.
Actividad Nº20
Para poder analizar mejor el problema conviene hacer una figura de
análisis:
La superficie total será la suma de las superficies de los dos semicírculos y del trapecio. Por lo tanto hay que calcular cada una de ellas.
Debe tenerse en cuenta que las bases del trapecio se corresponden
con el diámetro de los círculos, o sea que hay que dividirlos por dos
para calcular los radios.
87
Superficie del círculo= π . R2
Por lo tanto la superficie del semicírculo será:
. R2
Superficie del semicírculo = π____
2
2
π
_________
Superficie del semicírculo 1 = . (10 cm)
2
π
.
100
cm2
_________
Superficie del semicírculo 1 =
2
Superficie del semicírculo 1 = 157 cm2
π . (7 cm)2
Superficie del semicírculo 2 = ________
2
Superficie del semicírculo 2 = 76.93 cm2
La superficie del trapecio es:
+ b ). h
_______
Sup. del trapecio = (B
2
(20
cm +14 cm). 12 cm
__________________
Sup. del trapecio =
2
Sup. del trapecio= 204 cm2
Por lo tanto la superficie total de la figura es de 437.93 cm2.
Para ver el mínimo tamaño de la cartulina en la que se la dibujará hay
que considerar que entren las longitudes totales de ancho y largo. Es
decir se inscribe la figura en un rectángulo:
Como se puede observar el ancho será el del diámetro del círculo mayor
(o sea la base mayor del trapecio) y la otra medida es la suma de la altura
del trapecio y de los dos radios de los círculos. Por lo tanto el ancho será
de 20 cm y el largo de la cartulina deberá ser de 29 cm.
88
Actividad Nº21
a Existe relación de proporcionalidad directa entre los lados respectivos de los triángulos considerados porque hay una constante de
proporcionalidad que es la razón de semejanza.
Consulte su respuesta con su docente.
Actividad Nº22
a Cada ángulo de la primera figura tiene un ángulo respectivo en la
segunda que es igual.
b Consulte con su docente su respuesta
c Los resultados dependerán de las mediciones que usted haya hecho,
sin embargo si están relativamente bien medidos serán todos apro1 o 0,33.
ximadamente a __
3
Actividad Nº23
a La segunda figura será el cuádruple de la primera.
b Es una reducción, por lo tanto la segunda será la mitad de la primera
figura.
c Si la razón es 1 significa que los lados son iguales, por lo tanto las
figuras también lo son.
Actividad Nº24
a La escala indicada expresa que por cada 1 cm dibujado la distancia
real es de 400.000 cm. Por lo tanto si se tienen 4 cm se tendrán
1.600.000 cm reales, que se puede expresar como 1,6 x 106cm. Sin
89
embargo distancias tan grandes no suelen expresarse en cm sino en m
o km. Si se lo expresa en metros se tendrá 1,6 x 104 m. Si se lo expresa en kilómetros no se justifica utilizar notación científica pues es 16
km (1,6x 101).
b Cada una de las medidas reales deberá ser divida por 72.
Por cada cm representado hay 200.000 m reales, que es lo mismo
que decir 200 km, por lo tanto
200 km ............... 1 cm
360 km ............... x
c Como se trata de escala es una proporcionalidad directa:
360 km . 1 cm
X = _____________
200 km
X= 1,8 cm
Actividad Nº25
Tal como se vio en la primera parte de este libro, al duplicar el lado
de un cuadrado lo que sucede con la superficie de la figura es que se
cuadruplica. Por lo tanto si se duplicara cada lado de la fotocopia la
superficie de la figura estaría cuadruplicada. Y si se redujera cada lado a su mitad la superficie sería la cuarta parte, o sea un 25% de la
superficie original. Recuerde que la relación de proporcionalidad
que se da es inversa.
El cliente solicitó el 50% de la superficie y recibió el 25% de la misma. A esto se debió su enojo.
El comerciante interpretó, como siempre lo hacen en ese tipo de comercio, el 50% de los lados y de la diagonal. Como usted sabe así se
obtiene el 50% del perímetro pero no el 50 % de la superficie.
90
Actividad Nº26
a Consulte su respuesta con el docente.
b En este caso conviene hacer una figura de análisis.
La distancia desde el observador hasta el edificio es de 60 m. La distancia del mismo observador hasta un poste cuya altura es de 2 m
es igual a 5 m. Tanto el poste como el edificio están en la misma línea de observación y el observador mira al ras del suelo.
En este caso por ser la misma línea de observación el ángulo de los
triángulos que se forman es el mismo. Por lo tanto los tres ángulos
respectivos de los dos triángulos son iguales ( el tercero lo es porque
uno de cada uno de ellos es recto) La relación que se da entre dos de
los lados tiene que tener la misma razón de semejanza que los otros
dos, por lo tanto:
se calculó la razón de semejanza considerando el cociente entre la
distancia al edificio (60 m) y la distancia al poste (5 m). La razón es
12, por lo tanto a 2 m que es la altura del árbol habrá que multiplicarla por 12. El edificio tiene una altura de 24 m.
c Si la fotografía redujo a la quinta parte la altura de cada persona
entonces a las alturas que están representadas en las fotos hay que
multiplicarlas por 5. Por lo tanto una persona tendrá 180 cm que es
91
lo mismo que decir 1.80 m y la otra 182,5 cm. En general las alturas
de las personas se expresan en metros y con una precisión no menor
a los centímetros por lo tanto si se redondea se dirá que la persona
mide 1,83 m. Si lo necesita recuerde que redondeo puede repasarlo
en el Libro 4.
d
Las longitudes de los lados del plano serán de 4, 5 y 7 cm respectivamente, pues cada cm representa 100 cm que equivale a decir que
1 cm representa 1m.
e Por tratarse de una foto, que es una representación a escala de la
realidad, las figuras que se forman, por ser semejantes, tendrán los
lados respectivos directamente proporcionales. Es decir que existe
una razón de semejanza que es la escala que tiene la representación. En este caso para hallarla se divide la longitud real del dinosaurio más grande (36 m = 3600 cm) por su representación en la
foto (11,5 cm). La razón de semejanza es de 313.
Es decir por cada centímetro se indican 3.13 m. Así la longitud del
dinosaurio más pequeño es de 20.35 m, que se obtiene de multiplicar la razón de semejanza por la longitud representada en la foto.
Actividad Nº27
a Por tratarse de triángulos rectángulos ya se conoce el valor de un
ángulo. Si usted elige previamente la longitud de dos de los lados
solo podrá dibujar un triángulo rectángulo, pues con estos datos el
tercer lado ya queda determinado.
No importa si la longitud de los lados que eligió son los dos que corresponden a los lados del ángulo recto , o es el lado opuesto y uno
de los lados del ángulo recto.
92
Actividad Nº28
a
Si hay que representar 1m dibujando una longitud de 1cm, entonces
la escala que se le propone es de 1cm : 1m.
b La hipotenusa mide 5 cm. Por lo tanto la longitud de la escalera será de 5 m.
La razón de semejanza es la escala utilizada, expresada las longitudes en las mismas unidades. En este caso: 1 cm: 100 cm, lo que equivale a decir que la razón de semejanza será 1/100, o sea 0,01.
Actividad Nº29
En este caso como en el anterior usted no está haciendo una figura
de análisis. Está dibujando en escala para poder medir una longitud
que desconoce.
Los 12 m de la antena se transformarán en 12 cm en el dibujo y los
5 m de distancia entre el pie de la antena y el borde de la terraza en
5 cm. Por lo tanto el dibujo queda:
93
La hipotenusa mide aproximadamente 13 cm. Por lo tanto la longitud del acero será de 13 m considerando que en la escala utilizada
1 cm representa 1 m.
Actividad Nº30
a El tamaño del dibujo depende de la escala que usted haya elegido.
La longitud del sendero dibujada dependerá de la escala, pero la del
sendero real será de 150 m.
b Para mayor seguridad sobre sus respuestas le sugerimos consultar la
respuesta con su docente.
Actividad Nº31
a Los catetos del triángulo miden 5 m y 12 m. Se pide calcular:
c12 +c22 = x
En este caso:
(5m)2 + (12 m)2 = 25 m2 +144 m2 = 169 m2
Si se eleva al cuadrado la hipotenusa calculada por medición (13 m)
también se obtiene 169 m2.
b Para las medidas de los bordes de la plaza y el sendero se realizará el
mismo procedimiento solicitado, en este caso las medidas corresponden a 90 m y a 120 m.
(90 m)2 + (120 m)2 = 8.100 m2 +14.400 m2 = 22.500 m2, que coincide
con (150 m)2
Observe que las medidas de cada cateto se las coloca entre paréntesis porque también a la unidad hay que elevarla al cuadrado.
94
Actividad Nº32
a En este caso se conoce la longitud de la hipotenusa y uno de los catetos. Por ello se puede plantear una ecuación donde la incógnita
sea el otro cateto.
SI hipotenusa2 = cateto12 + cateto22
(16 m)2 = (6 m)2 + cateto22
Para despejar la incógnita hay que restar (6 m)2 a ambos miembros
para que se pueda cancelar los (6 m)2 que están sumando con los
que están restando y se mantenga la relación de igualdad.
(16 m)2 - (6 m)2 = (6 m)2 + cateto22 - (6 m)2
(16 m)2 - (6 m)2 = cateto22
Con lo cual para obtener el cuadrado de un cateto tendrá que elevar
al cuadrado la medida de la hipotenusa y restarle el cuadrado del
otro cateto. En este caso:
256 cm2 - 36 cm2 = cateto22
220 cm2 = cateto22
Por lo tanto se tiene que hallar la raíz cuadrada del número 220 porque ese será el número que elevado al cuadrado tenga por resultado
220. Como usted ya sabe hay dos resultados posibles, uno positivo y
el otro negativo, pero como se está trabajando con longitudes sólo
se considerará el resultado positivo:
Cateto2 = 220 cm2
Cateto 2= 14.83 cm
b Ya se analizó en el item anterior que para calcular un cateto hay que
obtener la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la
hipotenusa (h) y el cuadrado del otro cateto (c). En este caso será:
X = h2 - c2
X = (17 m)2 - (15 m)2
X = 289 m2 - 225 m2
X = 64 m2
X=8m
95
c En este caso se quiere calcular la longitud de la hipotenusa. Por lo
tanto:
h2 = c12 + c22
h2 = (70 cm)2 + (90 cm)2
h2 = 4900 cm2 + 8100 cm2
h2 = 13000 cm2
h = 13000 cm2
h = 114,02 cm
Cada barra mide 114,02 cm
__
__
__
d Como NQ mide 7 cm y OQ mide 4 cm se deduce que NO mide 3 cm.
__
__ __
Además MO y OP miden 3 cm cada uno pues MP es cortado en partes
__
iguales por la diagonal mayor NQ. Entonces
__ __ utilizando el Teorema de
Pitágoras se pueden hallar los lados MN y NP
N
P
M
___ __
MN = NP = (3 cm)2 + (3 cm)2 = 18 cm2 ≈ 4,24 cm
Luego también utilizando el Teorema de Pitágoras se puede calcular
___ __
la medida de los lados MQ y PQ.
M
P
Q
___ __
MQ = PQ = (3 cm)2 + (4 cm)2 = 25 cm2 = 5 cm
Finalmente el perímetro del romboide MNPQ se halla así
2 x (4,24 cm+ 5 cm) = 18,48 cm
96
O también se podría hallar
2 x 4,24 cm + 2 cm x 5 cm = 8,48cm + 10 cm = 18,48 cm
El perímetro del romboide es aproximadamente 18,48 cm.
e Para calcular el perímetro es necesario conocer la medida de la
diagonal del cuadrado que es la hipotenusa de un triángulo
rectángulo isósceles cuyos lados iguales miden 10 cm. Por lo tanto
habrá que calcular la raíz cuadrada de 200 cm2 que es 14,14 cm.
Actividad Nº33
Cualquier par de números se los representará con las letras a y b. Se
usan dos letras distintas para indicar que son dos números diferentes (aunque en algún caso particular puedan ser iguales). Si el exponente puede tomar cualquier valor deberá ser simbolizado con otra
letra, por ejemplo n.
Por lo tanto la expresión quedará
an + bn =/ (a + b)n
Actividad Nº34
El cuadrado de una suma de dos términos, es igual al cuadrado del
primer término más el cuadrado del segundo más el doble producto
del primer término por el segundo.
97
ANEXO I
Papel cuadriculado de 1 cm de lado
Matemática 6
ANEXO I
Papel cuadriculado de 1 cm de lado
Matemática 6
ANEXO I
Papel cuadriculado de 1 cm de lado
Matemática 6
ANEXO I
Papel cuadriculado de 1 cm de lado
Matemática 6
ANEXO II
Panal de abeja. Desarrollo.
Matemática 6
ANEXO III
Desarrollo de cubos.
Matemática 6
ANEXO III
Desarrollo de cubos.
Matemática 6
Material de distribución gratuita
6
MODALIDAD SEMIPRESENCIAL
Te rc e r C i c l o d e E d u c a c i ó n G e n e ra l B á s i c a p a ra Ad u l t o s
Matemática
6
6
Matemática