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Unidad 5
Ecuaciones
Objetivos
Al finalizar la unidad, el alumno:
• Resolverá ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita usando
las propiedades de la igualdad.
• Resolverá ecuaciones de segundo grado con una incógnita utilizando la
fórmula general.
• Resolverá ecuaciones que involucren números complejos.
• Resolverá ecuaciones con radicales.
• Resolverá sistemas de ecuaciones utilizando métodos algebraicos.
ecuaciones
Introducción
E
l álgebra está íntimamente relacionada con el estudio de las ecuaciones y
en la práctica son muchos los problemas que se modelan y se resuelven a
través de una ecuación. En la Antigüedad, los babilónicos ya hacían álgebra; sin
embargo, la notación, o sea, la forma como ellos expresaban sus desarrollos dista
mucho de la usada en la actualidad.
Uno de los grandes problemas fue que el alfabeto aún no había
sido inventado, por lo cual en esos tiempos no podían utilizarse letras
para representar las incógnitas y, en su lugar, usaban pequeños símbolos.
Las primeras ecuaciones se deben a Diofanto, quien utilizó de letras para
representar las incógnitas.
Es conveniente mencionar que la palabra “álgebra” se deriva del término
árabe al–jabr que significa “unir”. En la Edad Media un algebrista era un “pega–
huesos” o bien alguien que resolvía ecuaciones.
En esta unidad revisaremos los distintos tipos de ecuaciones, iniciando desde
la ecuación de primer grado con una incógnita (el caso más simple) pasando por
la ecuación de segundo grado con una incógnita incrementando la complejidad
al adicionar radicales; finalmente resolveremos sistemas de ecuaciones de primer
grado que involucren otras variables.
5.1. Ecuaciones lineales
Una ecuación (del latín acquare que significa “igualar”) es una igualdad
que involucra variables; es, dicho de esta manera, un enunciado que asegura la
igualdad entre dos expresiones algebraicas.
Ecuación de primer grado
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es aquella en donde
el exponente de cada una de las variables es 1. Tiene la forma general:
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 +  + an x n = b en donde las ai no son todas cero y representan
números reales al igual que b que también es un número real.
1
Álgebra
superior
a1 , a2 ,..., an se llaman coeficientes; x1 , x2 ,..., x n se llaman variables
(incógnitas). La b se llama término independiente.
Una ecuación entera de primer grado es una ecuación lineal donde los
coeficientes y el término independiente son números enteros. Finalmente,
cuando el número de variables no es muy grande, se acostumbra utilizar las
últimas letras del alfabeto: x, y ó z
Ejemplo 1
a) –4x= 8 es una ecuación entera de primer grado con una incógnita “ x”.
El coeficiente de x es –4 y el término independiente es 8.
b) 3 x + 2 y = −5 es una ecuación entera de primer grado con dos
incógnitas: “x” y “y”. El coeficiente de x es 3, el de y es 2 y el término
independiente es –5.
c) –7x + 9y + 6z = –1 es una ecuación entera de primer grado con tres
incógnitas: “x” , “y” y “z”. El coeficiente de x es –7, el de y es 9, el de z
es 6 y el término independiente es –1.
5.1.1. Propiedades de la igualdad
La igualdad es una relación entre los números reales que tiene las siguientes
propiedades:
Sean a, b, c, x números reales, entonces:
1. Propiedad simétrica
a = x es lo mismo que x = a, por ejemplo: –10 = x es lo mismo que
x = –10
2. Propiedad transitiva
Si x = a y a = b, entonces x = b, por ejemplo: x = 7 – 5, y 7 – 5 = 2, entonces
x=2
18
ecuaciones
3. Si a = b, entonces a + c = b + c , por ejemplo: 3 = 2 + 1,
3 + 2 = (2 + 1) + 2.
4. Si a = b, entonces a – c = b – c , por ejemplo: 3 = 2 + 1,
3 – 1 = (2 + 1) – 1.
5. Si a = b, entonces (a)(c) = (b)(c) , por ejemplo: 3 = 2 + 1,
(3)(2) = (2 + 1)(2).
6. Si a = b y x ≠ 0, entonces
a b
3 2 +1
= , por ejemplo: 3 = 2 + 1, =
x x
2
2
Cuando se encuentran todos los valores reales que pueden tomar las
variables de tal forma que se satisface la igualdad, entonces se ha encontrado
la solución de la ecuación, y sólo entonces puede decirse que la ecuación está
resuelta.
Ejemplo 2
x = –2 es solución de 3x – 2 = 7x + 6, ya que:
3(–2) –2 = 7(–2) +6
–6 – 2 = –14+6
–8 = –8
5.1.2. Solución de ecuaciones lineales
Se llaman ecuaciones lineales a las ecuaciones con una sola variable cuyo
exponente es 1.
Para resolver este tipo de ecuaciones, utilizamos el siguiente algoritmo:
1
Álgebra
superior
1. Eliminación de paréntesis. Si hay, suprimimos todos los niveles de
paréntesis que aparezcan de adentro hacia fuera y resolviendo las
operaciones indicadas.
2. Eliminación de denominadores. Si hay, suprimimos todos los
denominadores multiplicando por el m.c.m.(de los denominadores) en
ambos lados de la ecuación.
3. Agrupación de términos semejantes. Colocamos las expresiones con la
variable en un lado de la igualdad y las expresiones numéricas en el otro
lado.
4. Despeje de la variable. Despejamos la variable aplicando las propiedades
de la igualdad obteniendo así la solución.
5. Comprobación. Si la solución satisface la ecuación propuesta, es decir,
si aparece una identidad verdadera.
6. Otros. Si multiplicamos ambos lados por una expresión que es igual a
cero para algún valor de x, quizá la ecuación resultante no equivalga a la
original.
Ejemplo 3
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 6 x − 7 = 2 x + 5
Como no tiene paréntesis ni denominadores, procedemos a “pasar” los
términos con la variable x a un lado de la igualdad y los términos numéricos del
otro lado; reducimos términos semejantes y despejamos la variable obteniendo
así la solución.
6x − 7 = 2x +5
6x − 2x =5+7
4 x = 12
12
x=
4
x =3
180
ecuaciones
b) (8 x − 2 )(3 x + 4 ) = (4 x + 3)(6 x − 1)
En este caso tenemos paréntesis, por lo que procedemos a realizar las
operaciones indicadas para eliminarlos, de este modo nos queda una ecuación
sin paréntesis la cual procedemos, como en el caso anterior, a encontrar la
solución.
(8 x − 2)(3 x + 4) = (4 x + 3)(6 x − 1)
24 x 2 + 32 x − 6 x − 8 = 24 x 2 − 4 x + 18 x − 3
26 x − 14 x = − 3 + 8
12 x = 5
x=
c)
5
12
3
2
x −2 = x +3
5
4
En este caso se tienen denominadores de los dos lados de la igualdad,
procedemos a multiplicar cada uno de los lados por el denominador logrando así
una ecuación sin denominadores, a continuación, procedemos a resolverla como
en los casos anteriores.
d)
3x − 2 3 − 4 x
=
5
2
3
2
x −2 = x +3
5
4
3


2

5 x − 2  = 4  x + 3
5

4

3 x − 10 = 2 x + 12
3 x − 2 x = 12 + 10
x = 22
En este caso se tienen dos denominadores comunes en cada lado de la
igualdad, multiplicamos cada uno de los lados por el m.c.m. de esos denominadores
con lo cual los eliminamos, procediendo a continuación a resolver la ecuación
resultante.
181
Álgebra
superior
3x − 2 3 − 4 x
=
5
2
 3x − 2 
 3 − 4x 
10 
 = 10 

 5 
 2 
2 (3 x − 2 ) = 5 (3 − 4 x )
6 x − 4 = 15 − 20 x
6 x + 20 x = 15 + 4
26 x = 19
19
x=
26
Ejercicio 1
Resuelve las siguientes ecuaciones lineales.
1. 6 x − 2 + 4 = 18 − 9 x + 24
2. 3 (4 x + 9 ) − 9 = 31 x + 4 (16 + x )
3.
x 7
3
2
x +8− = x +5− x
4
2 3
3
4. (5 x + 2 )(8 x − 4 ) = (4 x − 7 )(10 x + 9 )
5.
2x − 1 2 + x
=
−4
3
182
ecuaciones
5.1.3. Solución de ecuaciones lineales con variable en el denominador
Cuando se tienen ecuaciones donde la variable se encuentra en el
3
denominador, como en = 2 , es necesario definir un nuevo concepto llamado
x
valor prohibido. Éste se define como el conjunto de valores que no pueden ser
asumidos por la variable, ya que la división entre 0 no está permitida.
Para determinar los valores prohibidos de una ecuación, se iguala a cero el
denominador y se despeja la variable.
Ejemplo 4
Determina los valores prohibidos de las siguientes ecuaciones:
a)
5
=3
x
En este caso, al igualar el denominador a cero, obtenemos el valor
prohibido: x = 0
b)
2
2
=
x −5 7
Para determinar el valor prohibido se iguala a cero el denominador y se
despeja la variable:
x −5=0
x =5
Por lo tanto, el valor prohibido para esta ecuación es 5
c)
3
2
=
x + 3 2x − 1
Para determinar el valor prohibido, que en este caso serán dos, se igualan
a cero los denominadores y se despeja la variable:
183
Álgebra
superior
x + 3 = 0 2x − 1 = 0
1
x = −3
x=
2
Por lo tanto, los valores prohibidos para esta ecuación son –3 y
1
2
Ahora procederemos a determinar la solución de una ecuación cuya
variable se encuentra en el denominador. Ésta no debe coincidir con el valor
prohibido, ya que en este caso, la ecuación no tendrá solución.
Para determinar la solución de este tipo de ecuaciones lo primero será
quitar la variable del denominador “pasándola” del otro lado de la igualdad
multiplicando, posteriormente se despejará la variable.
Determinemos la solución de las ecuaciones que se plantearon en el
Ejemplo 4.
Ejemplo 5
a)
5
=3
x
5
5
= 3 ⇒ 5 = 3x ⇒ x =
x
3
Como es diferente al valor prohibido x = 0, la solución de la ecuación es
5
x= .
3
2
2
=
b)
x −5 7
En este caso se requiere quitar los denominadores para lo cual se “pasan”
multiplicando al otro lado de la igualdad y después despejar la variable para
determinar la solución.
2
2
=
x −5 7
2(7) = 2( x − 5)
184
=
−
2 (7 ) = 2 ( x − 5)
ecuaciones
14 = 2 x − 10
14 + 10 = 2 x
24 = 2 x
24
x=
= 12
2
Como es diferente al valor prohibido x = 5 , la solución de la ecuación es
x = 12
c)
3
2
=
x + 3 2x − 1
Primero se quitan los denominadores y posteriormente se procede a
resolver la ecuación
3
2
=
x + 3 2x − 1
3(2 x − 1) = 2( x + 3)
6x − 3 = 2x + 6
6x − 2x = 6 + 3
4x = 9
9
x=
4
1
9
Como este valor es distinto de los valores prohibidos –3 y , x = es la
2
4
solución de la ecuación.
18
Álgebra
superior
Ejercicio 2
Resuelve las siguientes ecuaciones lineales con variable en el denominador
y determina su valor prohibido.
1.
2
3
=−
2x + 1
7
2.
2
1
=
3x + 1 x
3.
8
5
=
5x − 4 3x − 1
4.
5.
x +1 x + 4
=
x −5 x −4
−1
2
=
3x x − 4
5.2. Ecuaciones cuadráticas
En este apartado estudiaremos las ecuaciones cuadráticas, llamadas también
ecuaciones de segundo grado, de gran importancia puesto que son la representación
analítica de curvas tan importantes como: circunferencia, parábola, elipse e
hipérbola (cónicas) que posteriormente se estudiarán.
Una ecuación de segundo grado o una ecuación cuadrática es una ecuación
que, después de haberse simplificado al máximo, puede tomar la forma general
ax 2 +bx+c=0 donde a, b y c son números reales con la única restricción de que
a ≠ 0 ya que, de lo contrario, la expresión ax 2 +bx+c se convertiría en bx+c y
perdería su naturaleza cuadrática; x es la variable de la ecuación, a es el coeficiente
del término cuadrático x 2 , b el coeficiente del término lineal x y c es el termino
independiente.
La forma ax 2 + bx + c = 0 se conoce como la forma estándar de la
ecuación de segundo grado.
18
ecuaciones
5.2.1. Solución de ecuaciones cuadráticas
Considerando la ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, a
continuación realizaremos la deducción de la fórmula general, la cual permitirá
encontrar las raíces o soluciones de cualquier ecuación cuadrática y la naturaleza
de las mismas.
Se inicia a partir de la ecuación ax 2 + bx + c = 0
Restando c en ambos miembros tenemos ax 2 + bx = –c
Tomando como factor el coeficiente de x 2 en el primer miembro
obtenemos
b 

a  x 2 + x  = −c
a 

Completando el trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis:
2
2

b
 1  b  
 1  b 
a  x 2 + x +        = −c + a      
a
  2   a   
 2  a 

2
2

b
 b  
 b 
=
−
+
a  x2 + x + 
c
a




a
 2a  
 2a 

Dividiendo ambos miembros entre a:
2
2
 2 b
 b   −c  b 
=
+
x + x + 




a
 2a   a  2a 

Factorizando el primer miembro y realizando las operaciones en el
segundo:
b 
−c  b 

+
x+
 =

2a 
a  2a 

2
2
b 
−4 ac + b 2

x
+
=


2a 
4 a2

2
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros y despejando x
tenemos:
18
Álgebra
x+
b
−4 ac + b 2
=±
2a
4 a2
x=−
x=−
x=
superior
b
±
2a
b
±
2a
b 2 − 4 ac
4 a2
b 2 − 4 ac
2a
− b ± b 2 − 4 ac
2a
De aquí obtenemos dos soluciones de la ecuación cuadrática
ax 2 + bx + c = 0:
− b + b 2 − 4 ac
x1 =
2a
x2 =
− b − b 2 − 4 ac
2a
− b ± b 2 − 4 ac
se le denomina fórmula general para
2a
resolver la ecuación general de segundo grado.
A la expresión x =
Ejemplo 6
Aplica la fórmula general para resolver la ecuación 187 x 2 − 57 = −158 x
Escribiendo la ecuación en su forma estándar obtenemos
187 x 2 + 158 x − 57 = 0
Determinando los valores de a, b y c se tiene a = 187, b = 158, c = –57.
Aplicando la fórmula general:
x=
−158 ± (158)2 − 4(187)(−57)
2(187)
188
ecuaciones
−158 ± 24964 + 42636
374
51
−158 + 260 102
x1 =
=
=
−158 ± 67600 −158 ± 260
374
374 187
=
=
⇒
418 19
−158 − 260
374
374
x1 =
=−
=
374
374 17
=
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación 187 x 2 + 158 x − 57 = 0 son
3
19
y−
11
17
La expresión en la fórmula que se encuentra dentro de la raíz b 2 − 4 ac
se conoce como discriminante y determina la naturaleza de las soluciones de la
ecuación cuadrática.
• Si el discriminante b 2 − 4 ac es positivo, la ecuación tiene dos soluciones
reales distintas.
• Si el discriminante b 2 − 4 ac es cero, la ecuación tiene dos soluciones
reales iguales.
• Si el discriminante b 2 − 4 ac es negativo, la ecuación tiene dos soluciones
complejas distintas.
Ejemplo 7
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a) x 2 − 6 x = −9
Primero se pone la ecuación en su forma estándar: x 2 − 6 x + 9 = 0
Se identifican los valores de las variables: a = 1; b = –6; c = 9
Se sustituyen en la fórmula general, se realizan las operaciones y se
determinan las soluciones:
18
Álgebra
x=
x=
x=
superior
− b ± b 2 − 4 ac
2a
− (−6 ) ±
(−6 )2 − 4 (1)(9 )
2 (1)
6 ± 36 − 36 6 ± 0 6
=
= =3
2
2
2
Como el discriminante es cero, la ecuación tiene dos soluciones reales
iguales: x = 3
b) x 2 + 6 = 5 x
Primero se pone la ecuación en su forma estándar: x 2 − 5 x + 6 = 0
Se identifican los valores de las variables: a = 1; b = –5; c = 6
Se sustituyen en la fórmula general, se realizan las operaciones y se
determinan las soluciones:
x=
x=
x=
− b ± b 2 − 4 ac
2a
− (−5 ) ±
(−5)
2
2 (1)
− 4 (1)(6 )
5 ± 25 − 24
2
5± 1 5±1
=
⇒
x=
2
2
5+1
=3
2
5 −1
=2
x2 =
2
x1 =
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales
x1 = 3
diferentes:
.
x2 = 2
10
ecuaciones
c) 2 x 2 = 9 x − 6
Primero se pone la ecuación en su forma estándar: 2 x 2 − 9 x + 6 = 0
Se identifican los valores de las variables: a = 2; b = –9; c = 6
Se sustituyen en la fórmula general, se realizan las operaciones y se
determinan las soluciones:
x=
x=
− b ± b 2 − 4 ac
2a
− (2 ) ±
(2 )2 − 4 (2 )(6 )
2 (2 )
−2 ± 4 − 48 −2 ± −44
=
4
4
2 2
x1 = − +
−2 ± 2 11i
4
⇒
x=
4
2 2
x2 = − −
4
x=
11i
1
11i
=− +
4
2
2
11i
1
11i
=− −
4
2
2
Como el discriminante es negativo, la ecuación tiene dos soluciones
complejas conjugadas: −
1
11i
1
11i
+
y= − −
2
2
2
2
Ejercicio 3
Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando la fórmula general.
1. −5 x 2 + 3 x + 9 = 0
2. 16 x 2 − 9 x − 1 = 0
3. 3 x 2 − 2 x − 1 = 0
4. x 2 − 4 x − 5 = 0
11
Álgebra
superior
5.3. Solución de ecuaciones con una incógnita que contengan números
complejos
En este apartado se determinará el procedimiento para resolver ecuaciones
que contengan números complejos. Una vez que se conoce cómo realizar las
operaciones básicas con números complejos, la tarea es sencilla.
Ejemplo 8
a) Considera la ecuación (3 + 2i)x + 8ix + 4 = 0
Tenemos dos números complejos que acompañan a la variable x. Estos
números se pueden sumar de acuerdo con el álgebra de los números complejos
y simplificar. Entonces, la ecuación queda como:
[(3 + 2i) + (0 + 8i) ]x + 4 = 0,
que se puede escribir como:
(3 + 10i)x + 4 = 0
Por último despejamos x de la siguiente manera: restamos 4 a cada
miembro de la ecuación para obtener la siguiente ecuación:
(3+10i)x = –4
y luego dividimos el complejo (3+10i) para obtener:
x=
−4
3 + 10 i
Multiplicando por el conjugado del denominador tenemos:
3 − 10 i −12 + 40 i
−4
⋅
=
3 + 10 i 3 − 10 i
9 + 100
−12 + 40 i −12 40
x=
=
+
i
109
109 109
x=
que es la solución de la ecuación.
b) Toma la ecuación (2 + i)x + (4 + 2i)x + (2 + 4i) = (1 + 3i)
12
ecuaciones
Agrupamos los términos que tienen una variable x en el primer miembro
de la ecuación y a los que no la tienen en el segundo:
(2 + i)x + (4 + 2i)x = (1 + 3i) – (2 + 4i),
factorizamos a la variable x:
x[(2 + i) + (4 + 2i)] = (1 + 3i) – (2 + 4i)
y sumamos los números complejos
(6 + 3i)x = (–1 – i)
Ahora despejamos x y hacemos las operaciones para llegar a lo siguiente:
−1 − i
6 + 3i
−1 − i 6 − 3i −9 − 3i
x=
⋅
=
6 + 3i 6 − 3i 18 + 9
1 1
−9 − 3i
x=
=− − i
27
3 9
x=
Ejercicio 4
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1. (1 + 3i)x = 5
2. (1 + 2i)x + (4 + 3i)x – (5 + 2i) = 0
3. (1 + i)x + (4 + 6i) = (3 + 5i)x + (2 – 5i)
5.4. Ecuaciones con radicales
Existen otros tipos de ecuaciones como x + 5 = 6 ó x 2 + 8 − 2 x = 3
que aún no sabemos resolver. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones con radicales
o ecuaciones con exponentes racionales.
13
Álgebra
superior
Para resolverlas se siguen los siguientes pasos:
1. Se despeja uno de los radicales.
2. Se elevan ambos miembros de la ecuación a una potencia igual a la
del índice del radical, así desaparecerá dicha raíz.
3. Si quedan radicales se repite el proceso siguiendo los pasos 1 y 2.
4. Se resuelve la ecuación resultante.
Ejemplo 9
a) Resuelve la ecuación 5 x − 6 = 8
Primero, como el radical ya está despejado, elevemos al cuadrado toda la
expresión
( 5 x − 6)2 = (8)2
5 x − 6 = 64
Resolvemos la ecuación lineal resultante:
5 x − 6 = 64
5 x = 70
70
x=
5
x = 14
b) Resuelve la ecuación
x2 − 5x − x + 3x = 0
Primero despejamos uno de los radicales:
x2 − 5x = x − 3x ,
ahora elevamos al cuadrado ambos lados de la expresión:
14
ecuaciones
( x 2 − 5 x )2 = ( x − 3 x )2
x2 − 5x = x2 − 2 x 3x + 3x
Simplificando los términos semejantes:
x2 − 5x = x2 − 2 x 3x + 3x
−5 x − 3 x = −2 x 3 x
−8 x = −2 x 3 x
Para despejar el segundo radical se requiere introducir al mismo el factor
2x que lo está multiplicando, para ello se eleva al cuadrado y se multiplica por
3x dentro del radical
2 x 3x = 8x
(2 x )2 3 x = 8 x
12 x 3 = 8 x
y elevando al cuadrado
12 x 3 = 8 x
( 12 x 3 )2 = (8 x )
2
12 x 3 = 64 x 2
12 x 3 − 64 x 2 = 0
Resolviendo la ecuación se tiene que la solución es:
4 x 2 (3 x − 16 ) = 0
4 x2 = 0
x=0
c) Resuelve la ecuación
y
y
3 x − 16 = 0
16
x=
3
4−x
x − 8 x + 32
2
1
=
3
5
Álgebra
superior
Primero despejamos al radical quitando denominadores
5
(4 − x ) =
3
x 2 − 8 x + 32 ,
elevando al cuadrado los dos lados de la expresión:
2
5

2
2
4
x
−
(
)

 = ( x − 8 x + 32)
3

25
(4 − x)2 = x 2 − 8 x + 32
9
Realizando las operaciones indicadas se llega a la ecuación:
25
(4 − x )2 = x 2 − 8 x + 32
9
25
(16 − 8 x + x 2 ) = x 2 − 8 x + 32
9
400 200
25 2
x+
x = x 2 − 8 x + 32
−
9
9
9
112 128
16 2
x+
x = 0,
−
9
9
9
16 x 2 − 128 x + 112 = 0
x2 − 8x + 7 = 0
cuyas soluciones se pueden determinar mediante la fórmula general:
x=
− b ± b 2 − 4 ac 8 ± 64 − 4(1)(7)
=
2a
2(1)
obteniendo
x=1yx=7
1
ecuaciones
Ejercicio 5
Resuelve las ecuaciones:
1.
2.
3.
3x2 − 4 = 4 x
x2 + 6 x = x + 2 x
x − 4 = 8x − 1
5.5. Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método algebraico
Hasta ahora sólo hemos encontrado la solución de ecuaciones con una sola
variable, ¿cuál será la solución de una ecuación lineal con dos o más variables?
Consideremos la ecuación lineal con dos variables de la forma ax + by = c;
si despejamos una de las variables, por ejemplo y obtendremos:
ax + by = c
a
c
y=− x+
b
b
De aquí que para cada valor que demos a la variable x obtendremos uno
para y, así tendremos una infinidad de parejas (x, y) donde y es de la forma
−a
c
y=
x + que satisfacen la ecuación ax + by = c
b
b
Generalizando podemos decir que una ecuación lineal con dos o más
variables puede tener muchas soluciones, así que el conjunto de todas las soluciones
de la ecuación se denomina conjunto solución y cuando éste se determina se dice
que se ha resuelto la ecuación.
Para describir el conjunto solución de una ecuación lineal con dos o más
variables suele utilizarse una representación paramétrica del mismo. Esta técnica
consiste en representar las soluciones de la ecuación mediante el uso de variables
que llamamos parámetros. Los siguientes ejemplos muestran la manera como se
obtiene dicha parametrización.
1
Álgebra
superior
Ejemplo 10
a) Obtén el conjunto solución de la ecuación 3x1 – 5x2 = 7
Para obtener el conjunto solución se despeja una de las variables en función
de todas las demás.
Despejando a x1 se tiene:
x1 =
7 + 5 x2
3
La variable despejada, x1, dependerá del valor que tenga la variable x2,
llamada libre o independiente. Una variable es libre cuando puede asumir cualquier
valor real que es independiente del valor de las otras variables. En este caso x2 es
la variable libre, mientras que x1 no lo es.
Para representar al conjunto solución es conveniente introducir otra
variable, t, llamada parámetro. El parámetro se iguala a la variable libre y el
conjunto solución será:
x2 = t y x1 =
7 + 5t
,
3
donde t es cualquier número real.
Los pares de números que son solución de la ecuación lineal, se pueden
obtener asignándole valores al parámetro t. Por ejemplo, si t = 1, entonces se
obtiene los valores
7 + 5(1) 12
x1 =
=
= 4 y x2 = 1,
3
3
que es solución a la ecuación 3x1 – 5x2 = 7, ya que:
3(4) – 5(1) = 12 – 5 = 7
b) Determina el conjunto solución de x1 – x2 + 6x3 = 2
Despejando la primera variable, x1, en términos de las otras, se tiene que
x2 y x3 serán las variables libres
x1 = 2 + x2 – 6x3
Como se tienen dos variables libres, entonces se utilizarán dos parámetros,
s y t, para sendas variables. Por lo tanto, si x2 = s y x3 = t entonces el conjunto
solución tiene la representación paramétrica:
18
ecuaciones
x2 = s, x3 = t y x1 = 2 + s – 6t
Donde s y t son números reales cualesquiera. Una solución numérica se
obtiene sustituyendo un valor para s y otro para t en las relaciones anteriores. Por
ejemplo, sea s = 2 y t = –1, entonces una solución a la ecuación lineal es:
x2 = 2, x3 = –1 y x1 = 2 + 2 – 6(–1) = 4 + 6 = 10
Verificando que la terna (10, 2, –1) es solución de la ecuación x1 – x2 +
6x3 = 2, se tiene:
10 – 2 + 6(–1) = 8 – 6 = 2,
por lo tanto, sí es solución.
Pero si en vez de tener una ecuación lineal con más de una variable se tienen
varias y se busca obtener el conjunto solución que satisfaga a todas las ecuaciones
simultáneamente, entonces se tiene un sistema de ecuaciones lineales.
Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables es un conjunto de
ecuaciones cuya característica es que cada una de ellas es lineal en las mismas
variables
a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn=b2
a31x1+a32x2+a33x3+...+a3nxn=b3
..............................................
am1x1+am2x2+am3x3+...+amnxn=bm
y donde los números amn son números reales.
Al igual que cuando se tenía sólo una ecuación lineal, los sistemas de
ecuaciones lineales también tienen soluciones.
Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de
números {α1, α2, α3, ...,αn} que satisfacen cada una de las ecuaciones lineales
delsistema.
1
Álgebra
superior
Así,elsistemadeecuacioneslineales:
3x1 + 4x2 = 2
7x1 + 11x2 = 3,
tiene como una solución
x1 = 2 y x2 = –1,
ya que al sustituir estos valores en las ecuaciones anteriores se obtiene:
3(2) + 4(–1) = 6 – 4 = 2
7(2) + 11(–1) = 14 – 11 = 3
Sin embargo, los valores x1 = 1/3 y x2 = 1/4 no son soluciones del sistema
de ecuaciones, ya que, aunque satisfacen a la primera ecuación, no cumplen con
la segunda.
¿Cómo encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones? Para encontrar
la solución a un sistema de ecuaciones lineales con dos variables existen varios
métodos, por ejemplo:
5.5.1. Método por igualación
Para ilustrar este método resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones
x1 + 4x2 = 4
x1 –7x2 = –18
Se elige y despeja una incógnita en las ecuaciones, por ejemplo si se despeja
x1 en ambas ecuaciones:
x1 = 4 – 4x2
x1 = –18 + 7x2
Enseguida se igualan los dos valores de x1 y se obtiene la siguiente
ecuación:
4 – 4x2 = –18 + 7x2
Agrupando los términos con x2 de un lado de la ecuación y los términos
restantes del otro lado queda de la siguiente manera:
4 + 18 = 4x2 + 7x2
Haciendo las sumas se tiene:
22 = 11x2,
Despejando x2 se llega a:
x2 = 22/11 = 2
200
ecuaciones
Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones en las que se
despejó x1, por ejemplo en la primera, se obtiene:
x1 = 4 – 4(2) = 4 – 8 = –4,
por lo que la solución al sistema es:
x1 = –4 y x2 = 2
5.5.2. Método por sustitución
Encontremos la solución del siguiente sistema:
x1 + 5x2 = 6
3x1 – 7x2 = –4
usando el método de sustitución. Para esto, despejemos la variable x1 de la
primera ecuación y tenemos:
x1 = 6 – 5x2
y ahora sustituyamos x1 en la segunda ecuación
3(6 – 5x2) – 7x2 = –4
donde sólo tenemos una ecuación de primer grado con una incógnita, x2.
Despejando x2 para obtener:
3 (6 − 5 x2 ) − 7 x2 = −4
18 − 15 x2 − 7 x2 = −4
−15 x2 − 7 x2 = −4 − 18
−22 x2 = −22
x2 =
−22
=1
−22
Ahora, para encontrar el valor de la otra variable, sustituimos el valor de x2
en cualquiera de las ecuaciones originales, por ejemplo en la primera
x1 + 5(1) = 6
Se obtiene:
x1 = 1
Por lo que la solución al sistema es:
x1 = 1 y x2 = 1
201
Álgebra
superior
5.5.3. Método por reducción
Para ilustrar este método encontremos las soluciones al siguiente sistema:
2x1 + 9x2 = 7
–x1 + 4x2 = 5
Este método consiste en igualar los coeficientes de una de las incógnitas
en ambas ecuaciones. En este caso elegimos a x1 y, para esto, multiplicamos por
2 la segunda ecuación:
2(–x1 + 4x2) = 2(5)
Por lo que obtenemos:
–2x1 + 8x2 = 10
Ahora, como los coeficientes de x1 en el sistema de ecuaciones son iguales
con signo contrario:
2x1 + 9x2 = 7
–2x1 + 8x2 = 10
sumando las dos ecuaciones se obtiene:
0 + 17x2 = 17
y despejando x2 se llega a:
x2 = 17/17 = 1
y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo
en la primera, se llega a:
2x1 + 9(1) = 7
Despejando a x1 se llega a:
x1 = –2/(2) = –1,
Por lo que la solución al sistema es:
x1 = –1 y x2 = 1
5.5.4. Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables e infinitas
soluciones
Existen sistemas de ecuaciones que tienen más de una solución y cuyo
conjunto solución se determina utilizando ecuaciones paramétricas, un ejemplo
de éstos es el sistema:
202
ecuaciones
3x1 + 2x2 = 1
–6x1 – 4x2 = –2
Aplicando el método de reducción, multiplicamos la primera ecuación por
2 para obtener el sistema de ecuaciones:
6x1 + 4x2 = 2
–6x1 – 4x2 = –2
Ahora, sumando las dos ecuaciones se obtiene:
0x1 + 0x2 = 0
La ecuación 0x1 + 0x2 = 0 es la igualdad 0 = 0, esto es, tenemos un
sistema de ecuaciones que al multiplicar una de ellas por un número obtenemos
la otra; en efecto, si multiplicaramos la primera ecuación por –2 se obtendría:
–2(3x1 + 2x2) = –2(1)
–6x1 – 4x2 = –2,
que es la segunda ecuación dada. Cuando se tiene este tipo de sistemas, en
los que una ecuación se obtiene multiplicando o sumando las demás, se dice que
se tiene un sistema de ecuaciones con una infinidad de soluciones.
En nuestro caso, las soluciones al sistema son las mismas de cualquiera
de las dos ecuaciones, por lo tanto obtendremos el conjunto de soluciones de
manera paramétrica.
Despejamos x1 de la primera ecuación:
1 − 2 x2
3
y hacemos x2 igual al parámetro t, de lo que el conjunto solución es:
x1 =
x2 = t y x1 =
1 − 2t
3
5.5.5. Sistemas de ecuaciones lineales que no tienen solución
También existen sistemas de ecuaciones que no tienen ninguna solución,
por ejemplo tratemos de encontrar las soluciones del sistema:
x1 – 2x2 = 3
–2x1 + 4x2 = 9
203
Álgebra
superior
Para esto utilizaremos el método de sustitución; primero despejamos x1 de
la primera ecuación:
x1 = 3 + 2x2
Y la sustituimos en la segunda:
–2(3 + 2x2) + 4x2 = 9
Realizando las operaciones indicadas:
–6 – 4x2 + 4x2 = 9
y sumando los términos semejantes:
–6 = 9
que es un absurdo.
Recordemos que en el ejemplo anterior se llegó a una igualdad 0 = 0 y
el sistema tenía una infinidad de soluciones. ¿Qué pasa cuando se llega a un
absurdo?
La respuesta es que el sistema no tiene solución, cuando esto sucede se
dice que son inconsistentes.
Los sistemas de ecuaciones lineales se dividen en:
a) Consistentes.
i) Pueden tener sólo una solución.
ii) Pueden tener infinidad de soluciones. Las soluciones son
paramétricas.
b) Inconsistentes.
Sin solución.
A dos o más sistemas de ecuaciones que tienen un mismo conjunto
solución, les llamaremos sistemas equivalentes.
Así, en el método de reducción se tenía el sistema original:
2x1 + 9x2 = 7
–x1 + 4x2 = 5
y al multiplicar la segunda ecuación por 2 se obtuvo el sistema:
2x1 + 9x2 = 7
–2x1 + 8x2 = 10
204
ecuaciones
Los dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, ya que ambos tienen
como única solución x1 = –1 y x2 = 1, la comprobación es la siguiente:
Sustituyendo los valores en el primer sistema:
2(–1) + 9(1) = –2 + 9 = 7
–(–1) + 4(1) = 1 + 4 = 5
Por lo tanto, sí es solución del primer sistema y en el segundo sistema
también es solución, entonces los sistemas son equivalentes.
2(–1) + 9(1) = –2 + 9 = 7
–2(–1) + 8(1) = 2 + 8 = 10
5.5.6. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas
Como caso especial de los sistemas de ecuaciones, se va a revisar la situación
en donde se tienen 3 ecuaciones con tres incógnitas.
Ejemplo 11
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
5x + 5y + 2z = 195……………………(1)
4x + 6y + 2z = 200……………………(2)
4x + 5y + 3z = 190……………………(3)
Se va a utilizar el método de reducción, por lo que para iniciar se toman
las ecuaciones 1 y 2 con la finalidad de eliminar la variable x, por lo que se
multiplican los coeficientes invertidos:
–4(5x + 5y + 2z = 195), con lo que se tiene –20x – 20y – 8z = –780
5(4x + 6y + 2z = 200), de la misma manera 20x + 30y + 10z = 1000
y realizando la suma algebraica de las dos ecuaciones obtenidas tenemos
una nueva ecuación:
10y + 2z = 220……………………………… (4)
20
Álgebra
superior
Para continuar con el proceso tomamos ahora las ecuaciones 2 y 3 para
eliminar también a x:
–(4x + 6y + 2z = 200), con lo que se tiene –4x – 6y – 2z = –200
4x + 5y + 3z = 190, como ya se tiene el 4 se queda igual 4x + 5y + 3z = 190
Realizando pues la suma algebraica de las dos ecuaciones obtenidas
tenemos una nueva ecuación:
–y + z = –10 …………………………….. (5)
Ahora, juntando las ecuaciones 4 y 5 llevamos a cabo el mismo proceso:
10y + 2z = 220 analizando, ésta se queda igual 10y + 2z = 220
10(–y + z = –10) con lo que se tiene –10y + 10z = –100
Realizando la última suma tenemos:
12z=120
z=
120
12
z=10
Sustituyendo este valor en la ecuación 5 se tiene:
–y + (10) = –10 y despejando obtenemos que y = 20
Finalmente, sustituimos las dos variables obtenidas en la ecuación 1 para
obtener x:
5x + 5(20) + 2(10) = 195
Y así obtenemos el valor de la variable que faltaba: x = 15
Ejercicio 6
1. Relaciona correctamente la columna de las soluciones con el sistema al
que pertenecen.
Sistemas
a) 5 x + 8 y = 115
3 x + 5 y = 70
Soluciones
1.x =−1,y =3
20
ecuaciones
3 x − y = −6
2x + 3 y = 7
b)
2.Elsistemaesinconsistente.
2x + y + 1 = 0
3.x =15,y =5
d) 2 y = 7 + 4 x
2x − y = 5
4.x =t,y =3t−6
e)
5.x =−1,y =1
c)
3x − 2 y + 5 = 0
21 x − 7 y = 42
−3 x + y = −6
2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de
igualación.
a)
b)
2x + 6 y = 8
3 x − 9 y = 12
−8 x + 8 y = 24
3x + y = 9
3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de
sustitución.
a)
b)
5x + y = 1
x + 2y =5
4 x + 18 y = 14
−2 x + 8 y = 10
4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de
reducción.
a)
b)
3x + 2 y = 4
x + 3 y = −6
x + 4y =1
2 x + 2 y = −2
20
Álgebra
superior
5.6. Solución de ecuaciones con una incógnita que contengan números
complejos
Para completar el álgebra de los números complejos sólo falta saber si
se pueden resolver ecuaciones que contengan números complejos. Una vez
conociendo la manera de realizar todas las operaciones básicas con números
complejos la tarea es sencilla.
Por ejemplo, veamos la ecuación (3+2i)x+8ix+4=0. Tenemos dos números
complejos que acompañan a la variable x. Estos números complejos se pueden
sumar, siguiendo el álgebra de los números complejos, y simplificar. Entonces,
la ecuación queda como:
[(3+2i)+(0+8i)]x+4=0,
que se puede escribir como:
(3+10i)x+4=0
Por último despejamos x de la siguiente manera: restamos 4 a cada miembro
de la ecuación y hacemos las simplificaciones para obtener:
(3+10i)x=–4
luego dividimos el complejo (3+10i) para obtener:
−4
x=
3 + 10 i
Multiplicando por el conjugado del denominador tenemos:
x=
−4(3 − 10 i)
−12 + 40 i
=
,
(3 + 10 i)(3 − 10 i)
109
que es la solución de la ecuación.
Veamos un segundo ejemplo. Tomemos la ecuación:
(2+i)x+(4+2i)x+(2+4i)=(1+3i)
cuya solución se encuentra de la siguiente manera: agrupamos los términos que
tienen a la variable x en el primer miembro de la ecuación y a los que no la tienen
en el segundo:
208
ecuaciones
(2+i)x+(4+2i)x=(1+3i)– (2+4i)
factorizamos a la variable x:
x[(2+i)+(4+2i)]=(1+3i)– (2+4i)
sumamos los números complejos:
(6+3i)x=(–1–i)
Ahora despejamos x y hacemos las operaciones para llegar a:
x=
− 1 − i (−1 − i)(6 − 3i) − 9 − 3i
=
=
6 + 3i (6 + 3i)(6 − 3i)
45
Ejercicio 7
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) (1+3i)x=5
b) (1+2i)x+(4+3i)x–(5+2i)=0
c) (1+i)x+(4+6i)=(3+5i)x+(2–5i)
A continuación se presenta una serie de ejercicios resueltos con el fin de
examinar la manera como se solucionan, para que la pongas en práctica cuando
resuelvas los ejercicios propuestos.
20
Álgebra
superior
Problemas resueltos
Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando las propiedades de la
igualdad.
1. 8 x − 4 + 3 x = 7 x + x + 14
8 x + 3 x − 7 x − x = +14 + 4
3 x = 18
18
x=
=6
3
2.
x
x 3
−1 = −
4
3 2
x


 x 3
12  − 1  = 12  − 
4

3 2
3 x − 12 = 4 x − 18
3 x − 4 x = −18 + 12
− x = −6
x=6
2
3. Resuelve: −5x + 13x + 6 = 0
Se identifican los coeficientes cuidando que la ecuación esté ordenada
respecto a la variable x de forma descendente. Con esta condición tenemos:
a = − 5 ; b = 13 ; c = 6. Se aplica la fórmula general:
x=
x=
−13 ± (132 ) − 4(−5)(6)
2(−5)
−13 ± 169 + 120 −13 ± 289
=
−10
−10
−13 ± 17
x=
−10
Hay dos raíces diferentes, una usando el signo positivo (+) y otra el signo
negativo (−). Llámense x y x a las dos soluciones, que serán:
1
2
210
ecuaciones
x1 =
4
2
−13 + 17
=
=−
−10
−10
5
x2 =
−13 − 17 −30
=
=3
−10
−10
Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella
producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores
hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación.
Probando con x = 3 resulta: −5(3)2 + 13(3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0
tal como se esperaba. Probando x = −2/5 se tiene:
 −2 
 −2 
 4  26 30 −20 26 30
−5 
+
=
−
+
=0
 + 13 
 + 6 = −5   −
5
5
5
5
 5 
 5 
5 5
2
Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 2 y
−2/5 son las soluciones de −5x2 + 13x + 6 = 0
4. Resuelve 6x − x2 = 9
No pueden identificarse los coeficientes directamente, ya que la ecuación
está desordenada y no hay un cero del lado derecho de la igualdad, por lo
tanto deben hacerse los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma
deseada. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta: −x2+ 6x − 9 = 0. Ahora
se identifican los coeficientes a = −1; b = 6; c = −9 y se aplica la fórmula
general:
−6 ± (6 2 ) − 4(−1)(−9) −6 ± 36 − 36 −6 ± 0
x=
=
=
2(−1)
−2
−2
Obsérvese que el discriminante es igual a cero, por lo cual se producen dos
raíces iguales a 3, es decir x1 = x2 = 3. Sustituyendo los valores en la ecuación
original se verifica que 6(3) − 32 = 18 − 9 = 9, con lo cual se ha comprobado la
respuesta.
5. Resuelve: −6x + 13 = − x2
Nuevamente hay que ordenar y trasponer para obtener: x2 − 6x + 13 = 0
identificando los coeficientes a = 1; b = −6 ; c = 13.
211
Álgebra
superior
Aplicando la fórmula general se tiene:
−6 ± (−6 2 ) − 4(1)(13) −6 ± 36 − 52 −6 ± −16
x=
=
=
2(−1)
−2
−2
El discriminante es negativo por lo que las soluciones son números
complejos. Las raíces quedan, entonces de la siguiente forma:
x = −3 + 2i; x = −3 − 2i.
1
2
6. Determina cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones es consistente
o inconsistente, y en su caso encuentra la solución.
a)
b)
c)
6 x1 + 4 x2 = 2
3 x1 + 2 x2 = 6
2 x1 + 3 x2 = 1
4 x1 + 6 x2 = 2
5 x1 + 5 x2 = 3
x1 + x2 = 2
Respuesta
a) Utilizando el método de sustitución despejamos x1 de la segunda
ecuación:
3 x1 + 2 x2 = 6
6 − 2 x2
x1 =
3
 6 − 2 x2
Sustituyendo x1 en la primera ecuación se obtiene 6 
 3
de donde:
 6 − 2 x2 
6
 + 4 x2 = 2
 3 
12 − 4 x2 + 4 x2 = 2
12 = 2,

 + 4 x2 = 2

lo cual es un absurdo, por lo que el sistema de ecuaciones lineales no tiene
solución y por lo tanto es inconsistente.
212
ecuaciones
b) Utilizando el método de reducción se igualan los coeficientes de x1
multiplicando la primera ecuación por 2, con lo que se obtiene el
siguiente sistema de ecuaciones
−2(2 x1 + 3 x2 = 1) −4 x1 − 6 x2 = −2
⇒
4 x1 + 6 x2 = 2
4 x1 + 6 x2 = 2
Sumando estas dos ecuaciones se tiene que
0=0
Por lo tanto, es un sistema con una infinidad de soluciones y en consecuencia
consistente.
Su solución son las ecuaciones paramétricas
2 x1 + 3 x2 = 1
x1 = t
1 − 2 x1
x2 =
⇒
1 − 2t
x2 =
3
3
c) Utilizando el método de sustitución despejamos x1 de la segunda
ecuación:
x1 = 2 − x2
y sustituimos en la primera ecuación 5(2 − x2 ) + 5 x2 = 3 de donde:
5(2 − x2 ) + 5 x2 = 3
10 − 5 x2 + 5 x2 = 3
10 = 3,
lo cual es un absurdo, por lo que el sistema no tiene solución, por lo tanto
es inconsistente.
213
Álgebra
superior
7. Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución
− x1 − 3 x2 = 3
x1 + 6 x2 = 9
Respuesta
Despejando de la segunda ecuación la variable x1:
x1 + 6 x2 = 9
x1 = 9 − 6 x2 ,
Sustituyendo x1 en la primera ecuación obtenemos:
− x1 − 3 x2 = 3
− (9 − 6 x2 ) − 3 x2 = 3
Haciendo las operaciones se llega a:
−9 + 6 x2 − 3 x2 = 3
6 x2 − 3 x2 = 3 + 9
3 x2 = 12
x2 =
12
=4
3
Ahora, sustituyendo x2 en la segunda ecuación y despejando x1 se llega a:
x1 + 6 x2 = 9
x1 + 6 (4 ) = 9
x1 = 9 − 24
x1 = −15,
Por lo que la solución al sistema de ecuaciones es:
x1= −15 y x2 = 4
8. Resuelve el sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación
x1 − 2 x2 = 10
x1 − 3 x2 = 9
214
ecuaciones
Respuesta
Despejando x1 de ambas ecuaciones:
x1 − 2 x2 = 10
x1 = 10 + 2 x2
⇒
x1 − 3 x2 = 9
x1 = 9 + 3 x2 ,
igualando los dos valores de x1 obtenemos:
10 + 2 x2 = 9 + 3 x2
Agrupando términos semejantes se llega a:
−x2 = −1
Ahora multiplicando por –1 tenemos:
x2 = 1
Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones que se despejó x1
se obtiene:
x1 = 10 + 2 x2
x1 = 10 + 2 (1)
x1 = 12,
Por lo tanto la solución al sistema de ecuaciones es:
x1=12 y x2=1
Problemas propuestos
1. Resuelve la siguiente ecuación:
16 + 7x −5 + x = 11x − 3 − x
2. Encuentra el valor de x.
2x −
18
2
=x+
5
5
21
Álgebra
superior
3. Simplifica y despeja la variable x.
( x − 1)( x + 2 ) = ( x + 2 )( x − 3)
4. Aplica la fórmula general para resolver la siguiente ecuación:
2 x2 − x − 3 = 0
5. Simplifica y resuelve.
4 x 2 = 5(4 x − 5)
6. Encuentra las raíces de:
3 2
z − 4z − 1 = 0
2
7. Simplifica y encuentra la solución de:
a)
b)
x+2 = 4−x
−x + 2 = x − 2
c) x − 9 = 2 x − 3
8. Encuentra la solución a los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
b)
−4 x − y = −2
12 x + 3 y = 6
3x + 5 y = 7
2 x − y = −4
− −13+x + 11=y−= −163
c)
−8−x8+x7+y7=y94
= 94
36 x − 11 y = −14
d)
24 x − 17 y = 10
21
ecuaciones
9. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
2 x + 4 y + 6 z = 18
a) 4 x + 5 y + 6 z = 24
3x + y − 2z = 4
x+ y+z=6
b) x − y − 2 z = 5
x − y − 3 z = −10
10. Resuelve los siguientes problemas:
a) La suma de tres cifras de un número es 10. La suma de la cifra de
las centenas y la cifra de las decenas excede en 4 a la cifra de las
unidades, así como la suma de la cifra de las centenas y la cifra de
las unidades excede en 6 a la cifra de las decimales. Encuentra los
números de unidades, decenas y centenas.
b) Tres niños tienen 140.00 pesos, C tiene la mitad de lo que tiene A
y A tiene 10.00 pesos más que B, ¿cuántos pesos tiene cada uno?
21
Álgebra
superior
Autoevaluación
1. La solucion de la ecuación
x
x
x 5
+2−
= − es:
2
12 6 4
a) −3
b) 5
c) No tiene.
d) 13
2. La solucion de la ecuación
x
1
+ 5 = − x es:
6
3
a) −7
b) 8
c) −4
d) 1
3. Las raíces de la ecuación x 2 − 4 x + 3 = 0 son:
a)
b)
c)
d)
x1 = 3 y x2 = 1
x1 = −3 y x2 = 1
x1 = 3 y x2 = −1
x1 = −3 y x2 = −1
4. Las raíces de la ecuación 6 x 2 + 6 x − 12 = 0 son:
a)
b)
c)
d)
x1 = 2 y x2 = 1
x1 = 2 y x2 = −1
x1 = −2 y x2 = 1
x1 = −2 y x2 = −1
5. La solución de la ecuación 3 + x − 1 = 5 es:
a) 2
b) 5
c) –3
d) –2
218
ecuaciones
6. La solución al sistema de ecuaciones
a) x1 = 3 y x2 = 2
b) x1 = 6 y x2 = –1
c) x1 = 2 y x2 = 1
d) x1 = –2 y x2 = –1
7. La solución al sistema de ecuaciones
a) x1 = 0 y x2 = 2
b) x1 = –5/8 y x2 = 8
c) x1 = t y x2 = (8 – 3t)/4
d) x1= –4 y x2 = 5
8. La solución al sistema de ecuaciones
a) x = −1 y y = −1
b) x = 2 y y = 2
c) No hay solución.
d) x = t y y = (4t–1)/5
9. La solución al sistema de ecuaciones
x1 + x2 = 5
es:
x1 − x2 = 1
3 x1 + 4 x2 = 8
es:
8 x1 − 9 x2 = −77
4x − 5y = 1
es:
−12 x + 15 y = 6
x− y=2
es:
−2 x + 2 y = −4
a) x = 1 y y = –1
b) x = t y y = t–2
c) No hay solución.
d) x = 2 y y = 0
10. La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58, halla
ambos números.
a) 3 y 7
b) 8 y 2
c) 5 y 4
d) 7 y 6
21
Álgebra
superior
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio1
Despejando x utilizando las propiedades de la igualdad obtenemos:
1. x =
8
3
2. x = −2
36
3. x =
17
11
4. x = −
6
5. x = −
2
11
Ejercicio2
1. Valor prohibido: x = −
1
17
; solución: x = −
2
6
1
2. Valores prohibidos: x = 0, x = − ; solución: x = −1
3
4
1
3. Valores prohibidos: x = y x = ; solución x = 12
5
3
4. Valores prohibidos: x = 5 y x = 4 ; solución x = 8
5. Valores prohibidos: x = 0 y x = 4 ; solución x =
220
4
7
ecuaciones
Ejercicio 3
Aplicando la fórmula general se tiene:
1. x1 = 1.674 y x2 = −1.074
2. x1 = 0.65 y x2 = −0.095
3. x1 = 1 y x2 = −
1
3
4. x1 = −1 y x2 = 5
Ejercicio 4
1.
2.
3.
1 3
− i
2 2
7
3
−
i
10 10
1 1
+ i
4 4
Ejercicio 5
−2 13
2 13
i
i;
13
13
2. 0; 2
3. 1.78 + 1.66 i; 1.78 − 1.66 i
1.
221
Álgebra
superior
Ejercicio 6
1. a) 3
b)1
c) 5
d) 2
e) 4
2. a) Despejamos de ambas ecuaciones x. De la primera ecuación se
tiene:
x=
y de la segunda:
x=
8−6y
= 4 −3y
2
12 + 9 y
= 4 +3y
3
Igualando las dos expresiones para x se obtiene:
4 – 3y = 4 + 3y,
agrupando los términos con la variable y de un lado de la ecuación y los
términos restantes del otro lado:
4 – 4 = 3y + 3y
de lo que: 6y = 0
y por lo tanto y = 0
Si sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones en las que se
despejó x, por ejemplo en la segunda, se obtiene:
x = 4 + 3(0) = 4
Por lo tanto la solución al sistema es:
x=4yy=0
b) Despejamos a y en ambas ecuaciones obteniendo en la primera
ecuación:
24 + 8 x
y=
=3+ x
8
mientras que en la segunda y = 9 – x
222
ecuaciones
Igualando los dos valores de y se obtiene:
3 + x = 9 – 3x
Agrupando sólo los términos con x de un lado de la ecuación se tiene:
x+3x=9–3
de lo que 4x = 6
y por lo tanto, x = 6/4 = 3/2
Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones en la que se
despejó a y, por ejemplo en la primera, se obtiene:
y = 3 + (3/2) = 9/2
Y por lo tanto, la solución al sistema es:
x = 3/2 y y = 9/2
3. a) Despejamos de la primera ecuación la variable y:
y = 1 – 5x
sustituimos y en la segunda ecuación:
x + 2(1 – 5x) = 5
haciendo las operaciones se tiene:
–9x + 2 = 5
y despejando x se llega a:
x=
5−2
3
1
=− =−
−9
9
3
Para encontrar el valor de y sustituimos x en la primera ecuación:
5(–1/3) + y = 1
despejando a y:
y = 1 + 5/3 = 8/3
Por lo tanto, la solución al sistema es:
x = –1/3 y y = 8/3
b) Despejando de la segunda ecuación a la variable x:
x=
10 − 8 y
= −5 + 4 y
−2
sustituyendo a x en la primera ecuación:
4(–5 + 4y) + 18y = 14,
y haciendo las operaciones se llega a:
34y – 20 = 14,
223
Álgebra
superior
de lo que:
y = 34/34 = 1
ahora sustituyendo y en la segunda ecuación obtenemos:
–2x + 8(1) = 10
y despejando a x se tiene que:
x = 2/–2 = –1
y por lo tanto, la solución al sistema es:
x = –1 y y = 1
4. a) Igualamos los coeficientes de x en ambas ecuaciones multiplicando
la segunda ecuación por 3:
3(x + 3y) = 3(–6)
llegando a:
3x + 6y = –18
ahora, se tiene el sistema de ecuaciones equivalente:
3x + 2y = 4
3x + 6y = –18,
donde los coeficientes de x en ambas ecuaciones son iguales entonces,
restando la segunda ecuación a la primera obtenemos
0 – 2y = 22
y despejando y obtenemos:
y = –22/2 = –11
Para obtener el valor de x sustituimos y en la segunda ecuación:
x + 3(–11) = –6
Y despejando a x se llega a:
x = 33 – 6 = 27
Por tanto la solución al sistema de ecuaciones es:
x = 27 y y = –11
b) Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para igualar los coeficientes
de la variable y en ambas ecuaciones
2(2x + 2y) = 2(1)
se llega a la ecuación:
4x + 4y = 2
224
ecuaciones
y se tiene el sistema de ecuaciones equivalente
x + 4y = 1
4x + 4y = 4,
como los coeficientes de y en ambas ecuaciones son iguales entonces
restando la primera ecuación a la segunda se llega a:
3x + 0 = 3
y despejando x obtenemos:
x = 3/3 = 1
ahora sustituyendo el valor de x en la primera ecuación se tiene:
1 + 4y = 1
restando uno en ambos lados de la igualdad:
4y = 0,
de donde:
y=0
Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es:
x = 1 y y = 0.
Ejercicio 7
a) x =
5(1 − 3 i)
5
5 − 15i 1 3
=
=
= − i
1 + 3 i (1 + 3 i)(1 − 3 i)
10
2 2
b) (5+5i)x=5+2i,
x=
5 + 2 i (5 + 2 i)(5 − 5i) (25 + 10) + (10 − 25)i 35 − 15i
7
3
i
=
=
=
=
+
5 + 5i (5 + 5i)(5 − 5i)
50
50
10 10
c) (4+6i)+(–2+5i)=[(3+5i)+(–1–i)]x,
entonces 2+11i=(2+4i)x de lo que:
x=
2 + 11i (2 + 11i)(2 − 4 i) (4 + 44) + (22 − 8)i 48 + 14 i 12 7
=
=
=
=
+
i
2 + 4i
(2 + 4 i)(2 − 4 i)
20
20
5 10
22
Álgebra
superior
Respuestas a los problemas propuestos
1. x = 7
2. x = 4
3. x = –2
4. x1 = 1.5 y x2 = −1
5. x1 = 2.5 y x2 = 2.5
6. x1 = 2.89 y x2 = −0.23
7. a) x= 1
b) x1 = 1 y x2 = 2 ;
c) x1 = 14 y x2 = 6
8. a) x = t y y = 2–4t
b) x = –1 y y = 2
c) x = –3 y y = 10
d) x = –1 y y = –2
9. a) x = 1, y = 4, z = 3
b) x = 13, y = –22, z = 15
10. a) 5, 2, 3,
b)
A tiene 60.00 pesos.
B tiene 50.00 pesos.
C tiene 30.00 pesos.
22
ecuaciones
Respuestas a la autoevaluación
1. d)
2. b)
3. a)
4. c)
5. b)
6. a)
7. d)
8. c)
9. b)
10. a)
22