Download Análisis complejo - Universidad de Colima

UNIVERSIDAD DE COLIMA
FACULTAD DE CIENCIAS
PROGRAMA ANALÍTICO
ÁREA: Básica
DATOS GENERALES:
Materia: ANÁLISIS COMPLEJO
Licenciatura: Matemáticas
Valor en créditos: 10
Ubicación: Sexto semestre
Horas a la semana: 5
Horas teóricas: 5
Horas prácticas: 0
Materias Antecedentes: Cálculo IV, Análisis real I
Materias Consecutivas: Ninguna
Elaboró: Ricardo A. Sáenz
Fecha de Elaboración: Enero 2008
PRESENTACIÓN:
La teoría de la variable compleja es sin duda una de las más elegantes teorías de
la matemática. Desarrollada durante el siglo XIX, dio origen además a distintas
teorías de la matemática, como la geometría no euclideana y el análisis armónico,
y reforzó algunas existentes, como el análisis de Fourier.
PROPÓSITO DEL CURSO:
Este curso cubre los principios básicos del análisis complejo, a partir de la teoría
de funciones holomorfas, hasta aplicaciones a otras áreas de las matemáticas
como la Teoría de números y la Teoría de Fourier. Cubriremos los teoremas de
Cauchy en integrales de línea, el teorema del residuo, los teoremas de
Weierstrass y de Hadamard en productos infinitos, así como el teorema del mapeo
de Riemann, además de funciones elípticas, los teoremas de Liouville y la función
pde Weierstrass. Incluiremos aplicaciones al estudio de transformadas de Fourier
(teorema de Paley-Wiener) y la teoría de números (teorema del número primo,
funciones theta).
CONTENIDO PROGRAMÁTICO:
UNIDAD I. Preliminares
1. El plano complejo
2. Funciones en el plano complejo
3. Integrales de líneal
UNIDAD II. El Teorema de Cauchy y aplicaciones
1. Teorema de Goursat
2. Primitivas locales y el teorema de Cauchy
3. Evaluación de integrales
4. Fórmulas integrales de Cauchy
5. Aplicaciones: teorema de Morera; representaciones integrales de funciones
holomorfas; principio de reflexión de Schwarz; teorema de aproximación de
Runge
UNIDAD III. Funciones meromorfas y el logaritmo
1. Ceros y polos
2. La fórmula del residuo
3. Singularidades y funciones meromorfas
4. El principio del argumento
5. Homotopía
6. E logaritmo
7. Series de Fourier y funciones armónicas
UNIDAD IV. La transformada de Fourier
1. La clase F
2. La transformada de Fourier en F
3. El teorema de Paley-Wiener
UNIDAD V. Funciones enteras
1. La fórmula de Jensen
2. Productos infinitos; productos de Weierstrass
3. Teorema de factorización de Hadamard
4. La función Gama
5. La función Zeta
Unidad VI: El teorema del número primo
1. Distribución de números primos en la recta real
2. Ceros de la función Zeta y la Hipótesis de Riemann
3. El teorema del número primo
Unidad VII: Mapeos conformes
1. Equivalencia conforme
2. El lema de Schwarz
3. El teorema del mapeo de Riemann
4. La fórmula de Schwarz-Christoffel
Unidad VIII: Funciones elípticas
1. Funciones elípticas
2. La función pde Weierstrass
3. Formas modulares
4. Series de Eisenstein
Unidad IX: Aplicaciones de funciones Theta
1. La función Theta de Jacobi
2. Funciones generatrices
3. Sumas de cuadrados
Unidad X: Expansiones asimptóticas
1. Funciones de Bessel
2. Fase estacionaria; fórmula de Stirling
3. Función de Airy
4. La función de partición y la fórmula de Hardy-Ramanujan
LINEAMIENTOS DIDÁCTICOS:
Exposión del maestro en clase, con énfasis en los métodos de demostración de
los teoremas. Asesoría personal de parte del profesor.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN:
La evaluación parcial consistirá en la asignación de tareas y exámenes escritos:
Tareas: Las tareas consistirán en problemas asignados y su evaluación será
opcional. Cada tarea evaluada corresponderá al 5% de la calificación parcial.
Exámenes parciales: Se aplicará un examen escrito, con duración de una hora,
en cada evaluación parcial. El contenido será el material cubierto en las seis
semanas anteriores, y evaluará tanto la comprensión de los conceptos como la
capacidad del estudiante para aplicar los teoremas cubiertos en problemas
analíticos. El examen proveerá el 70-100% de la calificación parcial, dependiendo
del número de tareas entregadas por el alumno.
El examen ordinario será aplicado al final del semestre y consistirá en un examen
escrito con duración de dos horas. Dicho examen evaluará el material cubierto en
la totalidad del semestre y constituirá el 100% de la calificación ordinaria.
BIBLIOGRAFÍA:

Elias M. Stein y Rami Shakarchi, Complex Analysis, Princeton Univ Press,
2003

Ahlfors, L. V., Complex Analysis, 3era ed., McGraw-Hill, 1979

Burcke, R. B, An Introduction to Classical Complex Analysis, Vol I,
Academic Press, 1979

Conway, J. B., Functions of One Complex Variable, 2a ed., Springer-Verlag,
1978

Lang, S., Complex Analysis, 4a ed., Springer-Verlag, 1999

Levinson, N., y Redheffer, R. M., Curso de variable compleja, Reverté, 1990

Markushevich, A., Teoría de las funciones analíticas, Tomos I y II, Mir, 1978