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Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemáticas
Programa de Maestría en Matemáticas
Programa de Curso
Nombre: ANÁLISIS COMPLEJO
Código:
CNM-671
Tipo de curso:
Electivo
Areas:
Ecuaciones Diferenciales, Algebra.
Horas Teóricas:
4
Horas Prácticas:
0
Horas Teórico-Prácticas:
0
Modalidad:
Presencial
Prerrequisitos:
CNM-607 (Análisis Real)
Correquisitos:
Ninguno
Jornada:
Diurna
Número de horas semanales con presencia del profesor: 4
Número de horas semanales de dedicación del estudiante, en trabajo independiente: 12
Créditos: 5
(Ultima Revisión: Mayo 2003, Profesor Leonardo Solanilla)
OBJETIVOS:
1. GENERALES
1.1 Con base en el Álgebra y la Topología contemporáneas, estudiar el Análisis de
funciones complejas de una variable compleja.
2. ESPECÍFICOS
2.1 Familiarizar al estudiante con las nociones fundamentales de C-diferenciabilidad y
holomorfía.
2.2 Demostrar los principales teoremas de integración de funciones complejas de una
variable dejando en claro su sustrato topológico.
2.3 Formalizar los conceptos de convergencia de sucesiones, series y productos infinitos
en el plano complejo.
2.4 Ilustrar en detalle algunas aplicaciones del Análisis Complejo a la continuación
analítica. Las aplicaciones conformes, las funciones armónicas y el Pincipio del
Máximo.
CONTENIDO:
1. NÚMEROS COMPLEJOS, FUNCIONES COMPLEJAS
1.1 Estructuras algebraicas, representación geométrica de los complejos.
1.2 Transformaciones de Möbius.
1.3 Funciones y superficies de Riemann Elementales.
2. DIFERENCIACIÓN
2.1
2.2
2.3
2.4
Continuidad, derivada compleja y propiedades básicas.
C-diferenciabilidad y ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Holomorfía.
Dominios del plano complejo.
3. INTEGRACIÓN
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Curvas, caminos, integral y propiedades.
Integración básica.
Número de giros y homología de dominios complejos.
Lema de Goursat y Teorema Integral del Cauchy.
Consecuencias del Teorema de Cauchy.
4. SERIES INFINITAS
5. TEOREMA DEL RESIDUO
6. POLOS Y CEROS
7. PRODUCTOS INFINITOS
8. TEOREMA DEL PRODUCTO DE WEIERSTRASS
9. FUNCIONES MEROMORFAS
10. CONTINUACIÓN ANALÍTICA
11. APLICACIONES CONFORMES
12. FUNCIONES ARMÓNICAS
13. PRINCIPIOS DEL MÁXIMO
14. TEOREMA DE LA APLICACIÓN DE RIEMANN
BIBLIOGRAFÍA:
1. REMMERT, R. Funktionentheorie, Springer, 1957.
2. AHLFORS, L.V. Complex Analysis, McGraw-hill, 1966.
3. NEVANLINNA, R. & PAATERO, V. Introduction to Complex Analysis, Chelsea,
1969.
4. CHOUDHARY, B. The Elements of Complex Analysis, John Wiley, 1983.
5. PALKA, B.P. An Introduction to Complex Function Theory, Spinger, 1991.
6. MATHIAK, K. Funktionentheorie, TUB, IAZ, http:/www.algebra.tu-bs.de/mathiak,
1994.
7. ARNOLD, D.N. Complex Analysis, PSU, http:/www.ima.imn.edu/~arnold/
502.s97,1997.