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ENCUENTRO # 52
TEMA: Congruencia de triángulos. Cálculo de áreas.
CONTENIDOS:
1. Criterios de congruencias.
2. Cálculo de áreas
Resolución de Exámenes de Ingreso
1. Una ONG obtiene
5
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de los recursos económicos necesarios para financiar un pro-
yecto de fondos privados,
1
4
de los recursos fueron concedidos por el Gobierno y los
C$ 5000 restantes de los propios recursos de la ONG. ¿Cuántos córdobas se necesita
en total para el proyecto?
A)20000
B)25000
C)30000
D)35000
E)40000
2. Si a = 50, b = 40 , c es el valor de a reducido en un 20 % y d es el valor de b aumentado
en un 20 %, entonces la resta de d menos c es:
A)−10
B)0
C)5
D)10
E)15
Criterios de congruencia
En general dos figuras geométricas son congruentes si tienen exactamente la misma forma
y tamaño. Anteriormente hemos visto la congruencia de segmentos y de ángulos, estableciendo la misma a partir de la igualdad de sus medidas.
Recordemos que el concepto de congruencia está muy cercano al concepto de igualdad,
sin embargo son conceptos diferentes aunque frecuentemente se confunden.
La igualdad es estrictamente la relación entre dos nombres o dos expresiones para el mismo objeto, en cambio la congruencia relaciona dos objetos que tienen la misma forma y
tamaño.
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Definición 1. Dos triángulos son congruentes si tiene congruentes todos su elementos (ángulos interiores y lados).

∼
∼

 AB = DE ∠ A = ∠D
∆ABC ∼
BC ∼
= ∆DE F ⇔
= E F ∠B ∼
= ∠E


∼
∼
C A = F D ∠C = ∠F
Criterios de congruencia
Teorema 1. L.A.L. ( Lado – Angulo – Lado)
Toda correspondencia L.A.L. es una congruencia. Es decir, si dos lados de un triángulo y
el ángulo comprendido por dichos lados, son congruentes respectivamente a dos lados y el
ángulo comprendido por dichos lados de un segundo triángulo, entonces los triángulos son
congruentes.
Si MP ∼
= RT , PQ ∼
= RS y ∠P ∼
= ∠R,
∼
entonces ∆MPQ = ∆T RS
Teorema 2. A.L.A. (Angulo – Lado – Angulo)
Toda correspondencia A.L.A. es una congruencia. Es decir, si dos ángulos de un triángulo y
el lado comprendido por dichos ángulos son congruentes respectivamente a dos ángulos y
al lado comprendido por dichos ángulos de un segundo triángulo, entonces los triángulos
son congruentes.
Si ∠P ∼
= ∠R, ∠Q ∼
= ∠S y PQ ∼
= RS
entonces ∆MPQ ∼
= ∆T RS
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Teorema 3. L.L.L. ( Lado – Lado – Lado)
Toda correspondencia L.L.L. es una congruencia. Es decir si los tres lados de un triángulo son congruentes respectivamente a los tres lados de un segundo triángulo, entonces los
triángulos son congruentes.
Si PQ ∼
= RS, MP ∼
= RT , MQ ∼
=TS
entonces ∆MPQ ∼
= ∆T RS
Ejemplo 0.1. En la figura ABCD es un paralelogramo, AF = C E, DE = F B , DE ∥ F B . Prueba
que ∆AE D ∼
= ∆BC F
Solución
En los triángulos ADE y CFB se cumple:
AD ∼
por ser lados opuestos del parelogramo ABCD
= BC
∼
∠D AE = ∠BC F por ser ángulos aternos entre las paralelasAD yBC
∠ AE D ∼
= ∠BFC por ser ángulos alternos entre las paralelasDE yBF
∠ ADE ∼
= ∠F BC por terceros ángulos de los triángulos ADE y BFC respectivamente
DE ∼
= FB
por datos
∆AE D ∼
= ∆BC F por tener respectivamente congruentes dos lados y el ángulo comprendido por dichos lados.
Ejemplo 0.2. En la figura ABCD rectángulo AC y BD diagonales, E puntos medio de AC y
BD.
Demuestras que: ∆AE D ∼
= ∆BEC , ∆C DE ∼
= ∆ABE , ∆ADC ∼
= ∆DBC .
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Solución
En los triángulos AED y BEC tenemos que:
AD ∼
= BC por ser lados opuestos del restángulo ABCD
AE ∼
= EC por ser E punto medio de las las diagonales del rectángulos ABCD
DE ∼
= EB
por ser E punto medio de las las diagonales del rectángulos ABCD
∆AE D ∼
= ∆BEC por tener respectivamente congruenetes tres lados
En los triángulos CDE y ABE tenemos que:
CD ∼
por ser lados opuestos del restángulo ABCD
= AB
∼
∠EC D = ∠E AB por ser ángulos alternos entre las paralelasC D y AB
∠E DC ∼
= ∠E B A por ser ángulos alternos entre las paralelasC D y AB
∆C DE ∼
= ∆ABE por tener respectivamente congruentes dos ángulos y el lados comprendido
por dichos ángulos.
En los triángulos ADC y DBC tenemos que:
AD ∼
por ser lados opuestos del restángulo ABCD
= BC
DC
es un lado común
∼
∠ ADC = ∠BC D por ser ángulos internos del rectángulo ABCD
∆ADC ∼
= ∆DBC por tener respectivamente congruentes dos lados y el comprendido entre
dichos lados.
Ejercicios propuestos
1. En la figura ABCD es un rectángulo. D, C, E y F son puntos alineados, M ∈ AE , M ∈
BC , AB ∼
= C E y AE ∥ BF .
Demuestras que:
a) ABFE es un paralelogramo.
b) ∆AE D ∼
= ∆BFC
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2. En la figura C es un punto de la circunferencia de centro O y diámetro AB . ∠C AB =
300, BE es tangente en B, O ∈ E D y E D ∥ BC .
a) Prueba que OE ∼
= AB
b) Halla el área rayada conociendo que BC = 4,0d m.
3. Los puntos E y F están sobre el lado DC del rectángulo ABCD. ∆ABG y ∆GF E son
isósceles de base AB y E F respectivamente. AF ∪ BE = {G}. Prueba que DF ∼
= EC .
Cálculo de áreas.
En la figura se trazó el círculo de
centro O y área de 78,5cm 2 . Por
1.
los puntos C y B se trazaron las
tangentes AB, AC de manera que
∠B AC = 60◦ .Calcula el área sombreada.
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2. Examen UNI 2005
ABCD es un cuadrado de 3 cm.
de lado. El perímetro de la región
sombreada, redondeado al cm.
más cercano, es:
A)
12
B)
D) 15
13
C)
14
E) 16
3. Examen UNI 2005
El lado del cuadrado OABC es
10 cm. y O A y OB son los radios
Ù
Ù respecde los arcos C
A y BD,
tivamente. El área de la región
sombreada en cm 2 es:
A)49.21
D)50
B)50.79
C)25.0
E)50.39
4. Examen UNI 2006
La figura que se muestra tiene
por frontera dos cuadrantes y un
semicírculo de 10 cm de radio. Su
área en cm 2 mide:
A)100
D)40 + 50π
B)200
C)100π
E)50 + 40π
5. Examen UNI 2008
La figura muestra una cruz formada por cinco cuadrados de
igual tamaño. Si AB = 10,¿cuánto
mide el área total de la cruz?
A)100
B)200
D)400
E)500
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p
C)100 5
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6. Examen UNI 2009
En el cuadrado ABCD, E es un
punto de la diagonal BD, tal que
DE = 2BE . Si el perímetro del
cuadrado es 48, ¿cuánto mide el
área del triángulo AEB?
A)24
B)32
D)40
E)48
C)36
7. Examen UNI 2010
En la figura PT es el diámetro del
círculo. Cada trazo es un semicírculo con diámetro sobre PT.
Si P T = 4, PQ = QR = RS = ST ,
entonces el área de la región
sombreada marcada con A es:
A)4π
D)π
B)3π
C)2π
E) 12 π
8. Examen UNI 2012
En la figura ABCD es un cuadrado
de lado 2. E es punto medio de
AD y F es el punto medio de BE .
El área del cuadrilátero CDEF, en
unidades cuadradas es:
A) 23
E) 94
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B) 11
5
C)2
D)3
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