Download Fundación Uno - Portal de Matematica

Portal
de Matemática
Fundación Uno
Líder en Ciencia y Tecnología
ENCUENTRO # 49
TEMA: Ángulos en Geometría Euclidiana.
CONTENIDOS:
1. Introducción a Geometría Euclidiana.
2. Ángulos entre rectas paralelas y una transversal.
3. Ángulos en el triángulo y cuadriláteros.
4. Ángulos en la circunferencia.
Ejercicio Reto
¯
¯
¯ 2x − 3 ¯
¯
¯ ≤ 1:
El conjunto solución de la desigualdad lineal ¯
5 ¯
A)−4 ≤ x ≤ 1 B)4 ≤ x ≤ −1 C)−1 ≤ x ≤ 4 D)1 ≤ x ≤ 4 E)−1 ≤ x ≤ 1
1. Examen de la UNAN 2014:
2. La gráfica que se muestra en la figura siguiente corresponde a la función:
A) f (x) = |x + 3|
B) f (x) = −|x| + 3
C) f (x) = −3|x|
D) f (x) = 3 + |x|
E) f (x) = −|x − 3|
1. Introducción a Geometría Euclidiana.
1.1. Conceptos y definiciones básicas de geometría
Concepto 1. Punto: “El punto es una idea, una abstracción que usamos para indicar una
posición en el espacio, no tiene “dimensiones”, ni largo, ni ancho ni alto. No puede definirse
ni “dibujarse”, pero sí representarse gráficamente con la marca más pequeña posible que
podamos hacer en el papel.”
Portal de Matemática
sv.portaldematematica.com
Portal
de Matemática
Fundación Uno
Líder en Ciencia y Tecnología
Concepto 2. Recta: “La recta también es una idea. Nadie ha “visto” una recta en su vida,
porque sólo existe en nuestra mente. Es un conjunto infinito de puntos que tampoco puede
“dibujarse”, pero sí representarse. Nos indica una dirección; gráficamente la representamos
con una “raya”, un “segmento”, colocándole en su extremo puntas de flecha para indicar
su carácter de conjunto infinito que se extiende en ambos sentidos. Podemos asociar un
número llamado distancia, a cada pareja de los puntos, que conforman la recta y por eso
decimos que tiene “una dimensión”.”
Concepto 3. Plano: “El plano es otro conjunto infinito de puntos, que a su vez contiene
infinitas rectas. La idea que tenemos en mente nos permite identificar qué “superficies” son
planas y cuales no. Además de la distancia, podemos asociarle otro número que conocemos
como área y decimos que es “bidimensional”.”
Definición 1. Segmento: “Para dos puntos cualesquiera A y B el segmento, denotado por
AB , es el conjunto de los puntos A y B , y de todos los puntos que están entre A y B . AB =
{A, B } ∪ {X /A − X − B }. Los puntos A y B se llaman extremos de AB . Se tiene también que
AB = B A. A la distancia entre los puntos A y B , AB , se le llama la longitud o medida del
segmento.”
→
→. El rayo, denotado por −
Definición 2. Rayo: “Sean A y B dos puntos de una recta ←
m
AB , es el
conjunto de los puntos del segmento AB y el conjunto de todos los puntos X tales que B está
−→
−→
entre A y X . AB = AB ∪ {X /A − B − X }. El punto A se llama extremo del rayo AB . Notemos
que el rayo es un conjunto infinito.”
Definición 3. Ángulo: “Un ángulo es la unión de dos rayos no colineales que tienen el origen
en común.
Los dos rayos se llaman los lados del ángulo y el extremo común se llama vértice.
−→ −→
Si los rayos se denotan por AB , AC el ángulo se denota por ∠B AC o ∠C AB o ∠ A.
Cuando se utilizan tres puntos, el vértice siempre es el segundo.
La notación ∠ A, es decir nombrando únicamente el vértice la usamos siempre que no
se genere confusión acerca del ángulo al cual nos estamos refiriendo, es decir que A no
sea al mismo tiempo vértice de otro ángulo.”
Portal de Matemática
sv.portaldematematica.com
Portal
de Matemática
Fundación Uno
Líder en Ciencia y Tecnología
Tipo 1.1. Clasificación de los ángulos según su medida:
Subtipo 1.1.1. Ángulo agudo: es el ángulo cuya medida es menor que 90;
es decir: 0 < α < 90.
Subtipo 1.1.2. Ángulo recto: es aquel ángulo cuya medida es igual a 90;
es decir: α = 90.
Subtipo 1.1.3. Ángulo obtuso: es el ángulo cuya medida es mayor que 90; es decir:
90 < α < 180.
Tipo 1.2. Clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición y características:
Subtipo 1.2.1. Ángulos complementarios: Son dos ángulos cuyas medidas suman 90o .
Subtipo 1.2.2. Ángulos suplementarios: Son dos ángulos cuyas medidas suman 180o .
Subtipo 1.2.3. Ángulos adyacentes: Son dos ángulos de vértice común y un lado común.
Subtipo 1.2.4. Ángulos consecutivos: Son tres o más ángulos de vértice común que de dos
en dos son adyacentes.
Portal de Matemática
sv.portaldematematica.com
Portal
de Matemática
Fundación Uno
Líder en Ciencia y Tecnología
2. Ángulos entre rectas paralelas y una transversal.
Tipo 2.1. Ángulos Alternos: Son de igual medida.
Subtipo 2.1.1. Alternos internos
Subtipo 2.1.2. Alternos externos
Tipo 2.2. Ángulos Correspondientes: Son de igual medida.
Subtipo 2.2.1. Correspondientes Agudos
Subtipo 2.2.2. Correspondientes Obtusos
Tipo 2.3. Ángulos Conjugados: Son suplementarios.
Subtipo 2.3.1. Conjugados Internos
Subtipo 2.3.2. Conjugados Externos
3. Ángulos en el triángulo y cuadriláteros.
Definición 4. Triángulo: “Si A, B y C son tres puntos cualesquiera no colineales, entonces
la unión de los segmentos AB , BC y AC se llama un triángulo y se denota por △ABC .
Portal de Matemática
sv.portaldematematica.com
Portal
de Matemática
Fundación Uno
Líder en Ciencia y Tecnología
Los puntos A, B y C se llaman vértices y los segmentos AB , BC y AC los lados del triángulo.
Todo triángulo determina tres ángulos ∠ A, ∠B y ∠C , llamados ángulos internos del
triángulo.
La suma de las longitudes de los lados se llama Perímetro del triángulo.”
Teorema 1. En un triángulo cualquiera, la
suma de las medidas de sus 3 ángulos interiores es 180o . En el gráfico se puede observar
que α + β + θ = 180.
Teorema 2. La medida de un ángulo exterior (ϕ), es igual a la suma de 2 ángulos interiores (α) y (β), no adyacentes a él; es decir:
ϕ = α + β.
Observación 1. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360o . Entonces
ϵ1 + ϵ2 + ϵ3 = 360o .
Tipo 3.1. Clasificación de los triángulos según sus ángulos:
Subtipo 3.1.1. Acutángulo: Es aquel que tiene 3 ángulos agudos.
Subtipo 3.1.2. Obtusángulo: Es aquel triángulo que tiene un ángulo obtuso y dos agudos.
Subtipo 3.1.3. Rectángulo: Es aquel triángulo que tiene un ángulo recto y dos agudos.
Subtipo 3.1.4. Equilátero: Sus tres ángulos internos miden lo mismo, osea 60o .
Subtipo 3.1.5. Isósceles: Es aquel triángulo que tiene dos ángulos iguales.
Portal de Matemática
sv.portaldematematica.com
Portal
de Matemática
Fundación Uno
Líder en Ciencia y Tecnología
Definición 5. Cuadrilátero: “Si A, B,C y D son cuatro puntos coplanares, tales que no hay
tres colineales y los segmentos AB , BC ,C D y D A únicamente se intersecan en los extremos
entonces la unión de estos segmentos forman el cuadrilátero ABC D.”
Observación 2. Todo cuadrilátero donde la suma de sus ángulos interiores opuestos es 180◦
se llama cuadrilátero cíclico y por sus cuatro vértices pasa una circunferencia cuyo centro
es el circuncentro de cualquier triángulo formado con 3 de los vértices del cuadrilátero.
Teorema 3. La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es igual a 360◦ : α+β+γ+δ =
360◦ .
Definición 6. Polígono: “Un polígono es una figura cerrada formada por la unión de varios
segmentos, de manera que no se cruzan.
Los segmentos se llaman lados del polígono.
Los extremos de los segmentos se llaman vértices.
La suma de las longitudes de los lados se llama perímetro.
Los ángulos del polígono, son los que contienen dos lados consecutivos.”
Teorema 4. En todo polígono convexo de n lados, la suma de sus ángulos interiores está
dada por: S ∠i = 180(n − 2).
Teorema 5. En todo polígono convexo, la suma de sus ángulos exteriores es: S ∠e = 360◦ .
Tipo 3.2. Propiedades de un polígono regular de n lados:
Subtipo 3.2.1. La medida de un ángulo interior, está dada por la siguiente relación: i =
180(n−2)
n
Subtipo 3.2.2. La medida del ángulo exterior está dada por la siguiente relación: e = 360
n
Portal de Matemática
sv.portaldematematica.com
Portal
de Matemática
Fundación Uno
Líder en Ciencia y Tecnología
Subtipo 3.2.3. La medida del ángulo central está dada por la siguiente relación: c = 360
n
Subtipo 3.2.4. La medida de la suma de los ángulos centrales es de 360◦ .
4.
Ángulos en la circunferencia.
Definición 7. Circunferencia: Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro de la circunferencia.
Definición 8. Radio: Se llama radio a todo segmento que une el centro con un punto de la
circunferencia. También se le llama radio a la longitud de dicho segmento.
Definición 9. Arco: es una “porción” continua de la circunferencia y su medida se
define como la medida del ángulo central
que lo determina: m Ù
AB = m ∠ AOB . La
medida del arco mayor correspondiente es
Ú
m AC
B = 360◦ –m Ù
AB .
Tipo 4.1. Relaciones entre ángulos y arcos en la circunferencia
En dependencia del punto donde se localice
el vértice de un ángulo y la relación entre sus
lados y una circunferencia se tienen diversos
tipos de ángulos, entre ellos se tienen:
Subtipo 4.1.1. Ángulo central: Es todo ángulo con su vértice en el centro de la circunferencia. Su medida es igual a la de su arco
correspondiente
Portal de Matemática
sv.portaldematematica.com
Portal
de Matemática
Fundación Uno
Líder en Ciencia y Tecnología
Subtipo 4.1.2. Ángulo inscrito: Es el ángulo
que tiene su vértice en la circunferencia y sus
lados son rayos secantes.
Teorema 6. La medida de un ángulo inscrito
es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. En la figura, m ∠ AP B = 1 m Ù
AB .
2
Subtipo 4.1.3. Ángulo semi-inscrito: Es el
ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados lo forman un rayo tangente y
un rayo secante.
Teorema 7. La medida de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. En la figura, m ∠ AP B =
1 Ù
mP B .
2
Ù
Subtipo 4.1.4. Ángulo interior: Es el ángu- En la figura,m ∠ AP B = 12 [m Ù
AB + mC
D] y
1
Ù
Ù
lo cuyo vértice es un punto interior de la cir- m ∠ APC = [m AC + m B D]
2
cunferencia. Sus lados y sus prolongaciones
forman dos secantes que se cortan en el interior.
Teorema 8. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas
de los arcos comprendidos por sus lados y sus
prolongaciones.
Subtipo 4.1.5. Ángulo exterior: Es el ángulo cuyo vértice es un punto exterior de la circunferencia y sus lados son dos secantes, dos tangentes o uno secante y otro tangente.
Teorema 9. La medida de un ángulo exterior es igual a la semi-diferencia de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados y sus prolongaciones. En la figura, m ∠P =
1
Ù
[m Ù
AB –mC
D]. Si el ángulo exterior es formado por una tangente y una secante o bien por
2
dos tangentes, la fórmula anterior es válida, aunque la forma de denotar los arcos varíe.
Portal de Matemática
sv.portaldematematica.com
Portal
de Matemática
Fundación Uno
Líder en Ciencia y Tecnología
5. Miscelánea de problemas varios sobre ángulos
5.1. Ángulos entre paralelas.
1. Si L 1 ∥ L 2 y α + β = 225, hallar "x".
2. En la figura L 1 ∥ L 2 , hallar "β".
3. Si L 1 ∥ L 2 , calcular "θ".
Portal de Matemática
sv.portaldematematica.com
Portal
de Matemática
Fundación Uno
Líder en Ciencia y Tecnología
→
−
−
4. Si L 1 ∥ L 2 y →
a ∥ b , calcular "ϕ".
5.2. Ángulos en el triángulo y cuadrilátero.
1. En un triángulo ABC , se toman los puntos M , P y N sobre AB , AC y BC , respectivamente tal que: AM = M P y P N = NC . Hallar la m ∠M P N , si m ∠B = 70◦ .
2. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo son proporcionales a los números 2, 3 y 4. Calcular la medida del suplemento del complemento del ángulo intermedio del triángulo.
Portal de Matemática
sv.portaldematematica.com
Portal
de Matemática
Fundación Uno
Líder en Ciencia y Tecnología
3. Calcular la medida del mayor ángulo de un triángulo, en el cual la medida del mayor
ángulo es el duplo de la medida del menor y la medida del tercer ángulo excede a la
del menor ángulo en 16◦ .
4. En un triángulo ABC , AC = BC , sobre AC se toma el punto "E ", tal que: AB = B E =
EC . Hallar la m ∠ AC B .
5. En la figura los polígonos C ARM E N y C P AT QS son hexágonos regulares; calcular
la medida del ángulo T B E .
Portal de Matemática
sv.portaldematematica.com
Portal
de Matemática
Fundación Uno
Líder en Ciencia y Tecnología
5.3. Ángulos en la circunferencia.
1. En la figura mostrada M A = M B , si la m ∠M AB = 75◦ . Calcular la m Ù
AB .
MN.
2. Si la recta "L.es tangente a la circunferencia en "M ", calcular la medida de Ú
3. Dadas las circunferencias tangentes exteriores, calcular la m ∠B .
Portal de Matemática
sv.portaldematematica.com