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ENCUENTRO # 50
TEMA: Triángulos.Cuadriláteros.Circunferencia. Propiedades.
CONTENIDOS:
1. Triángulos.Rectas notables. Propiedades.
2. Cuadriláteros. Propiedades.
3. Polígonos. Propiedades.
4. Circunferencia. Propiedades.
Ejercicio Reto
1. Examen de la UNI 2012 Considerando la información que se muestra en la siguiente
figura, el valor de x es:
A)100
B)150
C)250
D)300
E)600
2. En la figura, AB ∥ C D y AD ⊥ C B Al calcular el valor de x 0 se obtiene
A)400
B)600
C)1200
D)1300
E)1400
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Triángulos. Propiedades
Definición 1. Triángulo “Si A, B y C son tres puntos cualesquiera no colineales, entonces la
unión de los segmentos AB , BC y AC se llama un triángulo y se denota por △ABC .
Los puntos A, B y C se llaman vértices y los segmentos AB , BC y AC los lados del
triángulo.
Todo triángulo determina tres ángulos ∠ A, ∠B y ∠C , llamados ángulos internos del
triángulo.
La suma de las longitudes de los lados se llama Perímetro del triángulo.”
Clasificación de triángulos
De acuerdo a las medidas de sus lados los triángulos se clasifican en isósceles, equiláteros y escalenos.
De acuerdo a las medidas de sus ángulos tenemos triángulos rectángulos, equiángulos, acutángulos y obtusángulos.
Definición 2. Un triángulo con dos lados congruentes se llama isósceles. Al otro lado generalmente se le llama base y a los ángulos asociados con la base se les llaman ángulos en la
base. Al ángulo opuesto a la base se le llama ángulo en el vértice.
Teorema 1. Los ángulos en la base en un triángulo isósceles son congruentes.
Teorema 2. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes entonces es un triángulo isósceles.
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Definición 3. Un triángulo con sus tres lados congruentes se llama equilátero.
Definición 4. Un triángulo con sus tres ángulos congruentes se llama equiángulo.
Teorema 3. Todo triángulo equilátero es equiángulo y viceversa. Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 600 .
AB ∼
= BC ∼
= AC
∠A ∼
= ∠B ∼
= ∠C
Definición 5. Un triángulo para el cual dos lados cualesquiera no son congruentes, se llama
escaleno.
Definición 6. Un triángulo rectángulo, es un triángulo que tiene un ángulo recto. El lado
opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se les llama catetos.
En los triángulos dibujados, tenemos: AB : hipotenusa; AC y BC : catetos.
Definición 7. Un triángulo se le llama acutángulo, si sus tres ángulos son agudos, y se le
llama obtusángulo si tiene un ángulo obtuso.
Nota:A los triángulos acutángulos y a los obtusángulos se les llama oblicuángulos.
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO
Definición 1. Una mediana de un triángulo es un segmento cuyos extremos son un vértice
del triángulo y el punto medio del lado opuesto.
Todo triángulo tiene tres medianas, una para cada vértice (lo que equivale a decir
una para cada lado). Puede probarse que las medianas se cortan en un punto llamado baricentro.
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También puede probarse que la distancia del baricentro a un vértice es el doble de
la distancia del baricentro al punto medio correspondiente. Es decir la distancia del
punto medio correspondiente al baricentro es
1
3
la medida de la mediana.
AP = 2P M
AM = 3P M
−−→
Definición 2. Si A ∈ ∠B AC y ∠B AD ∼
= ∠D AC , entonces decimos que AD biseca al ∠B AC .
−−→
AL rayo AD se le llama rayo bisector o bisectriz del ∠B AC
Teorema 1. Todo ángulo tiene exactamente una bisectriz.
Una propiedad de la bisectriz es que todo punto de ella equidista de los lados del
ángulo.
Definición 3. Un segmento es una bisectriz de un ángulo de un triángulo, si: está en el rayo
bisector del ángulo y sus extremos son el vértice del ángulo y un punto del lado opuesto.
Todo triángulo tiene tres bisectrices, una para cada ángulo. Puede probarse que se
cortan en un punto llamado incentro, y que el incentro equidista (igual distancia)
de cada lado del triángulo. El incentro siempre pertenece al interior del triángulo.
El incentro es el centro de la circunferencia que puede inscribirse en el triángulo es
decir tangente a los tres lados.
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Definición 4. Una recta es una mediatriz de un lado de un triángulo, si está en el plano
que contiene al triángulo y es mediatriz de dicho lado (es decir, una recta perpendicular al
lado, que pasa por su punto medio).
Una propiedad de la medriatriz es que todo punto de ella equidista de los extremos
del segmento.
Todo triángulo tiene tres mediatrices, una para cada lado. Puede probarse que se
cortan en un punto llamado circuncentro y que el circuncentro equidista de cada
vértice.
En los triángulos acutángulos, el circuncentro se halla en el interior del triángulo,
mientras que en los oblicuángulos se halla en el exterior del triángulo. Para los triángulos rectángulos el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.
El circuncentro es el centro de la circunferencia que puede circunscribirse a un
triángulo, es decir que pasa por los vértices del triángulo.
Definición 5. La altura correspondiente a un lado de un triángulo es un segmento perpendicular a dicho lado, cuyos extremos son el vértice del ángulo opuesto y un punto de la recta
que contiene a dicho lado.
La altura correspondiente a un lado de un triángulo también es la distancia desde el
vértice del ángulo opuesto a dicho lado a la recta que contiene a dicho lado.
Puede probarse que las rectas que contienen a las alturas se cortan en un punto
llamado ortocentro.
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En los triángulos acutángulos, el ortocentro se halla en el interior del triángulo,
mientras que en los oblicuángulos se halla en el exterior del triángulo. Para los triángulos rectángulos el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.
Teorema 2. En un triángulo isósceles, la mediana, la bisectriz, la mediatriz y la altura correspondientes a la base son coincidentes.
Teorema 3. En un triángulo equilátero, el baricentro, el incentro, el circuncentro y el ortocentro coinciden.
Fómulas de área y perímetro de triángulos
Área
A = 12 b · c · sen α
Perímetro
P = a +b +c
A = b·h
2
A=
p=
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√
p(p − a)(p − b)(p − c)
a+b+c
2
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Triángulo Equilátero
p
p
3 2
3 2
A=
l =
h
4
3
P = 3l
Triángulo Isósceles
A=
L √ 2
· 4l − L 2
4
P = 2l + L
Cuadriláteros
Resumen de Propiedades de los cuadriláteros
1. La suma de la amplitud de los ángulos interiores es igual a 3600 .
2. Sus lados opuestos son iguales y paralelos.
3. Los ángulos opuestos son iguales y los consecutivos suman 1800 .
4. Sus diagonales se cortan en su punto medio.
5. Sus diagonales son iguales.
6. Sus ángulos interiores son rectos.
7. Sus diagonales se cortan perpendicularmente y bisecan los ángulos de donde parten.
8. Sus cuatro lados son iguales.
9. La paralela media es igual a la semisuma de la las bases.
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Paralelogramos
Paralelogramo general
Propiedades: 1,2,3,4
A = b ·h
P = 2(a + b)
Rectángulo
Propiedades: 1,2,3,4,5,6
A = b ·h
P = 2(a + b)
Rombo
Propiedades: 1,2,3,4,7,8
d1 · d2
A=
2
P = 4l
Cuadrado
Propiedades: 1,2,3,4,5,6,7,8,9
A = a2
P = 4a
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Trapecios
Trapecio General
Propiedades
AB ∥ C D
(
)
A = a+c
2 h
A = m ·h
P = a +b +c +d
Trapecio isósceles
Propiedades
AB ∥ C D
AD ∼
= BC
(
)
A = a+c
h
2
A = m ·h
P = a +b +c +d
Trapecio rectángulo
Propiedades
AB ∥ C D
AD ⊥ AB
AD ⊥ C D
(
)
A = a+c
h
2
A = m ·h
P = a +b +c +d
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Trapezoide Simétrico
Propiedades
B D ⊥ AC
AB ∼
= BC
AD ∼
= CD
d1 · d2
A=
2
P = 2a + 2b
Ejemplo 1.1. Sea el triángulo ABC cuyos puntos medios de los lados AB , BC y AC son D, E
y F respectivamente, demostrar que DFCE es un paralelogramo.
Solución
Afirmaciones
1. DE = FC , DE ∥ FC
Razones
En todo triángulo el segmento que une
los puntos medios de dos lados es paralelo e igual a la mitad del tercer lado.
DE = 12 AC = 12 (AF + FC ) = 12 (2FC ) = FC
2. DF = E F , D f ∥ EC
En todo triángulo el segmento que une
los puntos medios de dos lados es paralelo e igual a la mitad del tercer lado.
DF = 12 BC = 12 (B E + EC ) = 12 (2EC ) = EC
3. DFCE es un paralelogramo
Si los lados opuestos de un cuadrilátero
son iguales y paralelos, es un paralelogramo.
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Ejemplo 1.2. Sea PQRS los vértices de un paralelogramo, T el punto medio de P S y U el
punto medio de RQ, demuestra que TQUS es un paralelogramo.
Solución
Afirmaciones
Razones
1. P T = T S
T es el punto medio del segmento P T
2. QR = U R
U es el punto medio del segmento QR
3. T S = QU , T S ∥ QU
En un paralelogramo los lados opuestos
son iguales y paralelos.
T S = QU
De la afirmación 3, se tiene que P S =
QR, entonces: P T + T S = QU + U R →
2T S = 2QU → T S = QU
T S ∥ QU
Son segmentos de P S y QR, los que a su
vez son paralelos.
3. TQUS es un paralelogramo
Dos lados opuestos T S y QU son paralelos e iguales.
Ejercicios propuestos
1.
2.
Determina la longitud de los lados del recp
tángulo ABCD, si AO = 2 5 y AB = 2BC
En el rombo MNOP, determina el valor de
los lados si M N = 6x + 5 y M P = 7x − 1
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En la figura, C y D son puntos medios de
3. AE y B F . Encuentran el valor AB , si AB =
x + 1,C D = x + 2, E F = 13.
En la figura, C y D son puntos medios de
4.
AE y B F . Determina la longitud de AE ,
si AB = x + 1,C P = y, P D = 2y + 2, E F =
11, AC = C E = x.
En la figura, los lados AI y B J están divi5. didos en 4 partes iguales. Encentra la longitud AB e I J , si C D = 3a+b
4 y EF =
a+b
2 .
Polígonos
Definición 6. Unpolígono es una figura cerrada formada por la unión de varios segmentos,
de manera que no se cruzan.
Los segmentos se llaman lados del polígono.
Los extremos de los segmentos se llaman vértices.
La suma de las longitudes de los lados se llama perímetro.
Los ángulos del polígono, son los que contienen dos lados consecutivos.
Clasificación de los polígonos
Según la cantidad de lados
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triángulo
3 lados
cuadrilátero
4 lados
pentágono
5 lados
hexágono
6 lados
heptágono
7 lados
octógono
8 lados
eneágono
9 lados
decágono
10 lados
endecágono
11 lados
dodecágono
12 lados
pentadecágono
15 lados
icoságono
20 lados
Otras clasificación
Equiángulo: polígono que tiene sus ángulos internos congruentes.
Equilátero: polígono que tiene sus lados congruentes.
Convexo: si ningún par de sus lados están en lados opuestos de una recta que contenga un lado del polígono. Se reconocen gráficamente por que no tiene ángulos
internos con “medida” mayor que 1800 .
Regular: los polígonos que son a la vez equiláteros y equiángulos.
Todo polígono regular es convexo.
Polígonos regulares
Una de las propiedades de los polígonos regulares es que pueden inscribirse y circunscribirse en una circunferencia.
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Para un polígono regular de n lados se cumple:
θ=
3600
n
α=
n −2
· 1800
n
β=θ=
3600
n
La suma de los ángulos centrales es 3600
La suma de los ángulos internos es (n–2) · 1800
La suma de los ángulos externos es 3600
Si d es el número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un polígono
n(n − 3)
convexo y D es el número total de diagonales, se tiene: d = n − 3, D =
2
Fómula de área y perímetro de polígonos regulares
Si n es el número de lados, a la longitud de cada lado y a p el apotema, se tiene:
P =n·a
Perímetro
Área
A=
1
2 n · a · ap
= 21 · P · a p
Circunferencia y círculo
Propiedades en la circunferencia
1.
Una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el centro
con el punto de tangencia.
Si el radio OP de una circunferencia de centro O, es perpendicular a una recta
←
→
←
→
t que pasa por P, entonces la recta t es tangente a la circunferencia en el
punto P.
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←
→
OP ⊥ t
2. En una circunferencia o en circunferencias congruentes, a cuerdas congruentes le
corresponden arcos congruentes y viceversa.
Ù
AB = C D ⇐⇒ m Ù
AB = mC
D
3. Todo diámetro o radio perpendicular a una cuerda, divide a ésta y a los arcos correspondientes en partes congruentes.
4. En el plano de una circunferencia, la mediatriz de una cuerda pasa por el centro de
la circunferencia.
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5. En la misma circunferencia o en circunferencias congruentes, las cuerdas equidistantes del centro son congruentes y viceversa, si las cuerdas son congruentes, equidistan del centro. Además los arcos determinados por las cuerdas son congruentes.
AB = C D ⇐⇒ OE = OF
Ù
AB ∼
D
AB = C D ⇐⇒ Ù
=C
Relaciones métricas en la circunferencia
←
→
Definición 1. Si P A es tangente a la circunferencia en A, entonces P A se llama segmento
tangente desde P a la circunferencia.
Teorema 1. Los dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior son
congruentes y determinan ángulos congruentes con el segmento que une el punto exterior
con el centro.
Teorema 2. Sean una circunferencia C y un punto Q de su exterior. Sea L1 una secante que
pasa por Q e interseca a C en los puntos R y S; y sea L2 otra secante que pasa por Q e interseca
a C en los puntos U y T, entonces:
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QR · QS = QU · QT
Teorema 3. Sean QT un segmento tangente a una circunferencia en T, y una recta secante
que pasa por Q e interseca a la circunferencia en los puntos R y S, entonces:
2
QT = QR · QS
Teorema 4. Si RS y T U son cuerdas de la misma circunferencia que se cortan en Q, entonces
QR · QS = QU · QT
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Ejemplo 1.1. En la siguiente figura, AB = 25, AE = 18, DC = 27. Determine el valor de EC .
Solución
Sea EC = x, como DC = 27, entonces
E D = 27 − x
Tenemos que: AE · E B = C E · E D
AL sustituir tenemos que:
18(7) = x(27−x) ⇒ x 2 −27x +126 = 0
∴ x1 = 6
x 2 = 21
Hay dos valores para EC .
Ejemplo 1.2. En la figura P A = AD, BC = 7, hallarP D.
Solución
Se cumple que: P A · P D = P B · PC .
Ademas P D = P A AD y PC = P B +
BC = 4 + 7 = 11
Si hacemos P A = x, entonces AD =
P A = x y P D = 2x
Luego x(2x) = (4)(11)
p
∴ x 2 /44 x = 22.
p
Resulta que P D = 2 22
Ejercicios propuestos
1. A partir de la figura y la información dada, encuentre el valor indicado.
a) AC = 16, P B = 6, P D = 8, Hallar AP y PC .
b) AP = 3, PC = 5, P D = 4. Hallar P B .
c) PC = 2 · P A, P D = 4, B D = 12. Hallar AC .
d) B D = 15, P B = 6, P B = 3 · P A. Hallar PC
a) P A = AD, P B = 4, BC = 7, Hallar P D.
b) P D = 6, P A = 2, PC = 5. Hallar P B .
2.
c) P D = 7, AD = 4, BC = 5. Hallar P B .
d) P A = 8, AD = 12, BC = 10. Hallar PC .
d) P D = 12, P A = 4, PC = 10. Hallar BC
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a) P B = 18, AB = 4, Hallar P T .
3.
b) P T = 8, P B B = 20. Hallar P A.
c) P T = 14, P A = 8. Hallar AB .
d) P T = 20, AB = 9. Hallar P B .
4.
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−→
Se tiene P A tangente a la circunferencia en A.
AP = P X = X B . Si PQ = 1 y QR = 8. Determina AX
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