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II. TRIGONOMETRÍA .m om A. ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS Un ángulo es la abertura que existe ebtre dos líneas que se cortan. x La trigonometría se encarga del estudio de la medida de los triángulos, es decir de la medida de sus ángulos y sus lados. to .c Los ángulos positivos siempre se miden en el sentido opuesto de las manecillas del reloj, y los negativos en el sentido de las manecillas. lix Para medir los ángulos se tienen dos tipos de unidades: Grados sexagesimales Radianes grados sexagesimales radianes 1 velta 1 revolución 360 2 w w .c a la relación entre los grados y los radianes es la siguiente w cuando aparece el símbolo “pi” (π), quiere decir que el ángulo está en radianes. Para realizar conversiones de radianes a grados y viceversa, nuestra relación que no debemos olvidar es: 180 radianes Matemáticas V - Geometría Analítica 14 Prof. Jesús Calixto Suárez. 180 1 180 Entonces, como tenemos 240° los multiplicamos por uno y no se altera: 240 240 4 1 180 180 3 240 120 60 12 4 OJO: No utilizamos 180 pues: 180 90 45 9 3 2 24 0 24 4 240 180 grados 18 0 18 3 1 es decir no se simplifican los grados sexta sexagesimales. ó 5 a grados 6 Ahora sí, usamos la relación .c b) Convertir om .m 1 Una cantidad dividida entre ella misma resulta uno. x Ejemplos: a) Convertir 240° a radianes Primero observemos que: 180 1 , pues como tenemos to (radianes), debemos dividir por π, es decir: 5 , para eliminar π 6 180 .c a lix 180 5 180 5 6 30 5 150 6 6 6 5 150 6 Ejercicios.- Convertir a) 120°radianes b) 135°radianes 15 grados 6 12 grados e) 5 d) w c) w f) 560°radianes g) 18°radianes w 7 grados 2 h) 70°radianes i) 12.4radianesgrados Matemáticas V - Geometría Analítica 15 Prof. Jesús Calixto Suárez. x B. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Primero consideremos a los triángulos rectángulos (triángulos que tiene un ángulo recto, es decir de 90°), en los cuales se cumple el ya conocido TEOREMA DE PITÁGORAS y las seis funciones trigonométricas definidas de la siguiente forma: cateto opuesto = a cateto adyacente = b para el ángulo β: cateto opuesto = b cateto adyacente =a om para el ángulo α: .m IDENTIFICA LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS EN TU FORMULARIO Como podrás ver para un ángulo de un triángulo rectángulo su cateto opuesto es el lado que tiene enfrente de él. cos( ) cateto adyacente b hipotenusa c tan( ) cateto opuesto a cateto adyacente b csc( ) hipotenusa c cateto opuesto a to cateto opuesto a hipotenusa c sec( ) lix sen( ) .c TEOREMA DE PITÁGORAS: c2 a2 b2 cateto adyacente b cateto opuesto a .c a cot( ) hipotenusa c cateto adyacente b Recuerda tanto el teorema de Pitágoras como las seis funciones trigonométricas antes mencionadas sólo sirven para triángulos rectángulos, y para triángulos que no son rectángulos veremos más adelante dos leyes para resolverlos. w w De las anteriores funciones trigonométricas podemos observar que seno y cosecante son funciones recíprocas, es decir: 1 1 ó sen( ) csc( ) csc( ) sen( ) w Análogamente podemos decir: 1 1 tan( ) cot( ) ó cot( ) tan( ) Y finalmente 1 1 ó cos( ) sec( ) sec( ) cos( ) Matemáticas V - Geometría Analítica 16 Prof. Jesús Calixto Suárez. .m x EJEMPLOS: a) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo om Como se puede ver el triángulo es rectángulo, sin embargo el Teorema de Pitágoras no es posible utilizarlo pues se desconocen dos valores “x” y “y”, entonces apliquemos por ejemplo la función coseno para el ángulo C ya que según el triángulo anterior tenemos: 23 cateto adyacente x hipotenusa Despejando a x 23 23 ( x )cos(35) 23 x 28.07, x 28.07 cos(35) 0.8191 .c cos(35) y (28.07)sen(35) y (28.07)(0.5735) y 16.09 28.07 .c a sen(35) lix to Ahora para encontrar a y podemos aplicar el Teorema de Pitágoras o la función trigonométrica seno para el ángulo C, utilicemos la función seno primero: y cateto opuesto sen(35) 28.07 hipotenusa Despejando a y Bien, ahora encontremos el valor de y pero con el Teorema de Pitágoras. 28.072 232 y2 (Recuerda que no se conocían x ni y al inicio pero una vez encontrado x ya se puede aplicar el teorema de Pitágoras) w 787.9249 529 y2 787.9249 529 y2 w 258.9249 y 16.09 y w Finalmente para encontrar el ángulo D, tenemos C+D+90=180 La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo mide 180° D = 180°–90°–35° , D= 55° Matemáticas V - Geometría Analítica 17 Prof. Jesús Calixto Suárez. Como podrás notar entre más datos se van obteniendo al resolver un triángulo es más fácil ir encontrando el valor de las demás incógnitas x Recuerda: om .m En tu calculadora observa las teclas j, k y l las cuales tienen en su parte superior a sus funciones inversas J, K y L respectivamente que funcionan de la siguiente manera: Si sen(30°) = 0.5 , entonces sen-1(0.5) = 30° Si cos(45°)= 0.707106 , entonces cos-1(0.707106) = 45° , para que obtengas las inversa de una función en tu calculador primero se teclea en la parte superior izquierda de ésta la tecla inv o 2nd o una tecla de color naranja en algunos casos .c a lix to .c EJERCICIOS.Considera el siguiente triángulo rectángulo y contesta los incisos a) C = 34.7° y=7 D= ? x=? z=? b) D = 58° x = 98 C=? y=? z=? y= 7 z=? C=? D=? d)z=8 y= 16 x=? C=? D=? w w w c)x= 12 Matemáticas V - Geometría Analítica 18 Prof. Jesús Calixto Suárez. Resuelve los siguientes problemas om .m x 1.-Una torre de 40 metros de altura está situada en la orilla de un lago. Desde la punta de la torre el ángulo de depresión de un objeto en la orilla opuesta del lago es de 30° ¿Cuál es el ancho del lago? lix to .c 2.-Encuentre la altura de un edificio si a 8.66 metros de su base, el ángulo entre el suelo y la azotea del edificio es de 60°. w w w .c a 3.-Un puente sobre un río tiene 200 metros de largo. Las dos secciones del puente rotan hacia arriba formando un ángulo de 30° para dar paso a los barcos. Un motociclista quiere saltar de una sección a otra, él sabe que puede dar saltos hasta de 20 metros, ¿puede el motociclista saltar de un lado al otro, sin peligro? Matemáticas V - Geometría Analítica 19 Prof. Jesús Calixto Suárez. C. TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS om .m x Para resolver un triángulo que no es rectángulo, ya no nos sirve el Teorema de Pitágoras ni las seis funciones trigonométricas que ya conocemos, ahora tenemos a la LEY DE LOS SENOS y la LEY DE LOS COSENOS que dicen lo siguiente: Observa que en el triángulo siguiente, el lado a se pone enfrente del ángulo A, enfrente del lado b se pone el ángulo B y enfrente del lado c se pone el ángulo C. a2 b2 c 2 2(b)(c )cos A b2 a2 c 2 2(a)(c )cos B to a b c sen A sen B sen C LEYES DE LOS COSENOS .c LEYES DE LOS SENOS sen A sen B sen C a b c lix c 2 a2 b2 2(a)(b)cos C Se necesita tener 2 ángulos y un lado ó 2 lados y un ángulo Se necesita tener dos lados y el ángulo entre dichos ángulos o los tres lados. .c a EJERCICIOS.- Resuelve los siguientes triángulos que no son rectángulos (ley de los senos y ley de los cosenos): (b) a = 16, b =13, B = 12° (c) b = 11, c = 24, C = 41° (d) a = 6, b = 8, c = 10 (e) a = 17, c = 20, B = 117° (f) a = 13, b = 10, c = 25 w w w (a) a = 8 , b= 5, A = 54° Matemáticas V - Geometría Analítica 20 Prof. Jesús Calixto Suárez. D. ALGUNOS VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS DE 30°, 45° Y 60° Como ya lo sabes en un triángulo rectángulo tenemos: .m x lado más grande del triángulo como hay un ángulo de 90°, el triángulo se llama rectángulo om Ahora consideremos un triángulo isósceles cuyos lados midan 2 unidades (pudieran ser de 3,4,5,…, etc unidades) .c Recuerda: Para cualquier triángulo, al sumar sus ángulos interiores resulta 180° to Si lo dividimos a la mitad con una línea vertical obtenemos lo siguiente lix por el teorema de Pitágoras tenemos: 22 x 2 12 4 1 x2 3 x2 .c a 3x recordemos nuestra definición de seno coseno y tangente c.o. c.a. c.o. , cos , tan ( sen ), entonces de nuestro triángulo rectángulo escribimos: h h c.a. w w w Ahora Matemáticas V - Geometría Analítica sen30 1 c.o. 2 hipotenusa 3 c.a. 2 hipotenusa 1 c.o. tan30 3 c.a. cos30 21 Prof. Jesús Calixto Suárez. θ 30° 60° Seno 1 0.5 2 3 0.8660 2 1 0.5 2 x si de la misma manera encontramos el valor de las funciones trigonométricas pero para el ángulo de 60° tenemos en resumen: .m 3 0.8660 2 1 0.5773 Tangente 3 1.732 3 Para el ángulo de 45° se considera un cuadrado cuyos lados sean 1 y se divide a la mitad con una diagonal, teniéndose nuevamente un triángulo rectángulo: .c a lix to .c om Coseno sen45 x2 2 x 2 1 cateto opuesto 2 hipotenusa cos45 1 cateto adyacente 2 hipotenusa tan45 1 cateto opuesto 1 cateto adyacente w w w entonces: por Pitágoras: x 2 12 12 Matemáticas V - Geometría Analítica 22 Prof. Jesús Calixto Suárez. En resumen: Seno Coseno Tangente 45° 1 2 1 2 3 2 1 3 1 Además, con tu calculadora verifica que: sen0 0 cos0 1 3 2 1 2 3 om sen90 1 tan0 0 60° x 30° 1 2 .m θ tan90 N.E. (no existe) cos90 0 .c a lix to .c E. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Una identidad trigonométrica es aquella en la que se puede tener cualquiera de las seis razones trigonométricas, seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, y donde su veracidad depende de quién la esté comprobando, para determinar si se cumple o no la igualdad analizada utilizando identidades trigonométricas básicas que las puedes encontrar en tu formulario y son: Elementales: sen x cos x tan x cot x cos x sen x 1 1 csc x ó sen x sen x csc x 1 1 cot x ó cot x tan x tan x 1 1 sec x ó cos x cos x sec x w w Pitagóricas: sen2 x cos2 x 1 1 tan2 x sec2 x 1 cot 2 x csc2 x w Ejemplo: demostrar las siguientes identidades trigonométricas. a) tan x csc x sec x Matemáticas V - Geometría Analítica 23 Prof. Jesús Calixto Suárez. Siempre se tiene que sustituir todas las razones trigonométricas que aparecen en la igualdad por senos y cosenos. Aún no sabemos si la igualdad es cierta. om sen x 1 ? 1 cos x sen x cos x .m sen x 1 1 = cos x sen x cos x x Es decir, tan x csc x sec x 1 1 cos x cos x b) sen2 x csc x tan x cos x sen2 x csc x tan x cos x 1 sen x y a tan x por , es decir, sen x cos x to Primero sustituimos a csc x por .c Claramente la igualdad es “obvia”, por tanto la identidad está demostrada. lix sen2 x 1 sen x cos x 1 sen x cos x 1 .c a sen 2 x sen x cos x sen x cos x sen x sen x Igual que en ejemplo anterior es obvio que sen x sen x c) sen2 x 1 cos x 1 cos x w En este caso ya todo tiene senos y cosenos, por tanto, de la identidad pitagórica sen2 x cos2 x 1 despejamos a sen2 x quedando: sen2 x 1 cos2 x Sustituyendo en nuestra identidad: ? w w sen2 x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 2 ? 1 cos x 1 cos x esto es una diferncia de cuadrados 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x La igualdad es fácil de entender. Matemáticas V - Geometría Analítica 24 Prof. Jesús Calixto Suárez.