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DISTRIBUCIONES BIVARIADAS
F a ,b  Pr X  a ,Y  b
(1.10)
para - < a <  y - < b < , y también nos referiremos a F como la función de distribución
del par (X,Y). Así, si X y Y tienen densidad conjunta f, entonces
F x , y     f x , y dxdy
(1.11 a)
 
F a ,b 
a b
(1.11b)
b
a
para toda a y b por (1.8) y
f a ,b  
en los puntos de continuidad (a,b) de f.
Como en el caso univariado, es posible expresar la probabilidad de que (X,Y) pertenezca a
cualquier rectángulo en términos de su función de distribución. Por ejemplo, tenemos el
siguiente teorema.
Teorema 6.1.1 Permita que las variables aleatorias X y Y tengan función de distribución
conjunta F. Si a < b y c < d, entonces Pr (a < X  b, c < Y  d) = F(b,d) - F(a,d) - F(b,c) +
F(a,c).
PRUEBA Sea A (alternativamente B, C, y D) el evento de que X  a (alternativamente X 
b, Y  c, y Y  d). Entonces nosotros requerimos la probabilidad del evento (B - A)  (D C). Por aplicaciones repetidas del Teorema 2.3.1, se tiene lo siguiente
PB  A  D  C   PB  D  C   P A  D  C 
 PBD   PBC   P AD   P AC 
que es simplemente F(b,d) - F(a,d) - F(b,c) + F(a,c), como lo establecido.
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Tomando límites, podemos ahora expresar la probabilidad que (X,Y) pertenezca a cualquier
rectángulo en términos de su función de distribución (Problemas 6.13 a 6.15). Sin embargo,
esta expresión es mucho menos útil en dos dimensiones que en una, puesto que las funciones
de distribución bivariadas son mucho más difíciles de evaluar o tabular en dos dimensiones
que en una y en dos dimensiones hay una variedad de regiones interesantes que no son
rectángulos.
Concluimos esta sección con el análogo en dos dimensiones de los Teoremas 5.8.1 y 5.8.2.
La prueba del Teorema 6.1.2, sin embargo, está más allá del alcance de este libro.
Teorema 6.1.2 Sea F una función que está definida sobre R2. Entonces F es la
función de distribución de un par (X,Y) de variables aleatorias si y sólo si: