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UNIDAD No. 4
Integral Impropia
Integrales impropias
INTEGRALES IMPROPIAS

Hasta ahora, en nuestro estudio del
área bajo la curva mediante la
integral definida hemos
sobreentendido que:
1.
2.

Los límites de integración son finitos.
La función f(x) es continua en [a,b] o
bien es acotada en ese intervalo, si
f(x) es discontinua.
Cuando se elimina alguna de estas
dos condiciones, se dice que la
integral resultante es una integral
impropia.
INTEGRALES
IMPROPIAS…

Existen dos tipos de integrales
impropias:

Integrales con límites de integración

infinitos.
2
 ( x  5)
5

dx
Integrales que se vuelven infinitas en
algún número del intervalo de
integración. 1 dx
x
2
2
INTEGRALES
IMPROPIAS…

Determine el resultado de evaluar la
siguiente integral definida:
1
dx
 2 x 2

Comente la respuesta con sus
compañeros.

INTEGRALES IMPROPIAS CON
LÍMITES DE INTEGRACIÓN
INFINITOS
Si f(x) está definida en un intervalo no acotado, entonces hay
tres integrales impropias posibles con límites de integración
infinitos:



f ( x) es continua en (, b], entonces :
b
Lim b
 f ( x)dx  t  t f ( x)dx
Si f ( x) 
es continua en t [a,), entonces :
Lim
a f ( x)dx  t  a f ( x)dx
Si
Si
f ( x) es continua
para toda x,
y c es cualquier número, entonces :

c



c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
INTEGRALES IMPROPIAS CON
LÍMITES DE INTEGRACIÓN
INFINITOS…
Cuando los límites:
b
b
Lim
 f ( x)dx  t   f ( x)dx

t

Lim
t
 f ( x)dx  t   f ( x)dx
a
a

c



c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
existen, se dice que las integrales convergen.
Si el límite no existe, se dice que la integral diverge.
INTEGRALES IMPROPIAS CON
INTEGRANDOS INFINITOS EN EL
INTERVALO DE INTEGRACIÓN



f
(
x
)


cuando
x

b
Si f es continua en [a,b) y
entonces: b
Lim t
a f ( x)dx  t  b a f ( x)dx
Si f es continua en (a,b] y
entonces: b
f ( x)   cuando x a 
b
Lim
 f ( x)dx  t  a  f ( x)dx

a

t
Si f ( x)   cuando x  c
para algún c en (a,b) y si f
es continua en todos los demás números de [a,b], entonces:
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
INTEGRALES IMPROPIAS CON
INTEGRANDOS INFINITOS EN EL
INTERVALO DE INTEGRACIÓN…

Cuando los límites:
b
t
Lim
 f ( x)dx  t  b  f ( x)dx

a
a
b
b
Lim
 f ( x)dx  t  a  f ( x)dx

a
b
t
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
existen, se dice que las integrales convergen.
Si el límite no existe, se dice que la integral diverge.
PROBLEMAS
Determine si las integrales indicadas son
convergentes o divergentes, en caso de ser
convergente, determine su valor.

4
1.
1

x
0

3.

1

dx
1
dx
2
x
x
2
dx
0

7.
0

1
4. 
dx
2
 1  x


5.
x
xe
dx
2. 
1
6.  3 dx
4 x

x
e
0 1  e x dx
8.
 senxdx
0