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Visualización con Mathematica VISUALIZACIÓN CON MATHEMATICA 1. INTRODUCCIÓN Fernando Castañeda (*) Un buen amigo me ha hecho ver en numerosas ocasiones que cuando los periódicos dan noticias relativas a incendios de bosques la superficie quemada es tan grande como la provincia completa, a veces se quema el país entero. Seguro que usted, amable lector, también ha tenido experiencias parecidas. El año 2002 se ha producido un fenómeno similar al tener que utilizar los periodistas el euro para dar las noticias relacionadas con los presupuestos. Las cantidades que citaban eran en muchas ocasiones totalmente exageradas. Quienes así escriben sobre la superficie quemada en un incendio o hablan sobre el coste de una determinada carretera no se han parado un segundo a pensar lo que de verdad están diciendo. Las matemáticas deben servir además de para torturar (falsa idea muy generalizada) a los estudiantes, para enseñar y aprender a ser críticos con nuestros propios comentarios: el área de una figura plana no puede ser negativa, una cúbica no tiene puntos picudos, ... En las siguientes líneas, usando fundamentalmente la visualización trataré de indicar como pueden intentar obviarse algunos problemas como los señalados cuando se considera el problema de la representación gráfica de funciones. Para ello haré uso de una herramienta muy interesante que ya es conocida por los profesores y está disponible en los centros de enseñanza como es el programa Mathematica. El interés que estas ideas pudieran tener se pone de manifiesto con toda seguridad de forma mucho más clara en un laboratorio de informática-matemática viviendo lo que aquí, en las siguientes lineas, sólo se puede escribir. 2. FUNCIONES ELEMENTALES En primer lugar se deben presentar las gráficas de las funciones elementales a partir de las cuales se irán construyendo mediante distintas manipulaciones todas las que pueden aparecer en este nivel. 2.1. Funciones polinómicas Son funciones definidas por f (x) = an x n + an-1 x n -1 + · · · + a1 x + a0 , an Þ 0 siendo todos los ak números reales. El grado del polinomio es n y el dominio de cualquier función polinómica es todo R. La gráfica de una función polinómica de primer grado es una recta, por lo que para su representación bastará considerar dos puntos distintos y unirlos con cuidado (a veces se ven rectas torcidas). La de una función polinómica de segundo grado es una parábola y en consecuencia sus elementos determinantes son el eje de la parábola y el extremo (máximo o mínimo). Una forma sencilla de dibujar parábolas puede ser la siguiente: para representar la gráfica de f (x) = x2 – 2x – 2 podemos escribir x2 – 2x – 2 = (x - 1)2 – 3, luego la parábola que buscamos tiene eje de simetría x = 1, mira hacia arriba (coeficiente de x2 positivo), tiene un mínimo en el punto (1,-3) y, por lo tanto, es una de las que aparecen en la Figura 1. (*) Profesor de la Universidad del País Vasco. Euskal Herriko Unibertsitatea. Abril 2003 • 2003ko Apirila 55 Fernando Castañeda 4 2 -1 1 2 3 -2 Figura 1: Gráficas de varias parábolas El valor de la función en cero, o en otro punto, determina finalmente cual de ellas es (Figura 2). 4 2 -1 1 2 3 -2 Figura 2: Gráfica de la parábola y = x 2 – 2x – 2 Lo que se ha hecho en este caso se puede hacer también para la representación de cualquier función polinómica de segundo grado. La representación gráfica de la función y = ax 2 + bx + c, a Þ 0, se puede obtener a partir de la gráfica de y = x 2 , mediante las transformaciones siguientes: Cualesquiera que sean los coeficientes a Þ 0, b y c, podemos escribir: Por lo tanto, para llegar a la representación gráfica de la función ax 2 + bx + c, a partir de la de x 2 , necesitamos hacer el siguiente tipo de transformaciones: 1: Pasar de x 2 a (x + a)2, para un número a positivo o negativo. 2: Pasar de (x + a)2 a (x + a)2 + b, para un número b positivo o negativo. 3: Pasar de (x + a)2 + b a g ((x + a)2 + b), para un número g positivo (g > 1 ó 0 < g < 1) o negativo (g < –1 ó –1 < g < 0). En el caso que hemos considerado, el polinomio x2 - 2x - 2 se puede escribir en la forma (x – 1)2 – 3, por lo que su representación gráfica (ver Figura 3) se obtiene a partir de la gráfica de x 2 , pasando por la de (x-1)2 (se traslada el dibujo una unidad hacia la derecha), para finalizar con la de (x-1)2 -3 (se traslada el dibujo tres unidades hacia abajo). Figura 3: Gráficas de y = x 2 , y = (x –1)2 e y = (x –1)2-3 56 SIGMA Nº 22 fi SIGMA zk. 22 Visualización con Mathematica La gráfica de una cúbica, polinomio de tercer grado, es siempre como una de las que aparecen en la Figura 4. Figura 4: Gráficas de varias cúbicas Por lo tanto, para hacer su representación bastará con localizar sus elementos esenciales que, a la vista de la Figura 4 son: el coeficiente de x 3 (determina si es como las dos primeras o como las dos últimas), los cortes con los ejes, los extremos: un máximo y un mínimo (si los tiene será como la primera o la cuarta; en otro caso como la segunda o la tercera), y el punto de inflexión. Un ejercicio interesante puede ser estudiar los efectos que en la gráfica de una función polinómica, por ejemplo en una cúbica, produce el cambio de uno de sus coeficientes. Figura 5: Gráficas de y = x 3 – (2 + a) x 2 – x + 2 para distintos valores de a Para representar funciones polinómicas de grados superiores se pueden utilizar métodos similares. 2.2. Funciones racionales Son el cociente de dos funciones polinómicas. La función racional más sencilla es la función 1/x, es decir, la función de proporcionalidad inversa. Figura 6: Gráfica de la función de proporcionalidad inversa A partir de la gráfica anterior se puede obtener la gráfica de una función racional que sea el cociente de dos polinomios de primer grado, mediante transformaciones elementales de forma muy sencilla. La gráfica de la función Abril 2003 • 2003ko Apirila 57 Fernando Castañeda se obtiene a partir de la y = 1/x pasando por y = 1/(x + d/c) (es decir la asíntota vertical se desplaza), luego multiplicando por la constante (b/a) – (d/c), después se le suma una unidad y finalmente se multiplica por la constante a/c. En el dibujo siguiente aparecen la gráfica de una función racional, cociente de dos polinomios de primer grado obtenida de esta forma Figura 7: Gráfica de una función racional La representación de funciones racionales del tipo 1/(ax 2 + bx + c) se puede hacer, según sean las raíces del denominador, sumando dos más sencillas. Si, por ejemplo, el denominador tiene dos raíces reales a y b distintas, entonces con lo que su gráfica se obtiene sumando las gráficas de y = 1/(x – a) e y = –1/(x – b), para terminar multiplicando el resultado por la constante 1/(a(a – b)). La gráfica de la función está obtenida utilizando este procedimiento. Las dos asíntotas, x = 1 y x = 2, son un dato importante para la realización del dibujo. Figura 8: Gráfica de una función racional con dos asíntotas verticales 58 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. Visualización con Mathematica También es posible la utilización de estos métodos para la representación de otras funciones racionales. En el caso general, los elementos esenciales en la representación gráfica de las funciones racionales son: los cortes con los ejes, las asíntotas (verticales, horizontales e inclinadas), los extremos (crecimiento y decrecimiento) y los puntos de inflexión (concavidad). 2.3. Funciones radicales Partimos de la más sencilla de todas, la función y = √x y dado que esta es la inversa de y = x 2 , su gráfica es su simétrica con respecto a la recta y = x (ver Figura 9). Figura 9: Gráfica de la función y = √x (junto con las de y = x 2 e y = x) Se pueden considerar otras funciones radicales. Puesto que una función radical y = √g(x) es la compuesta de las funciones y = √t y t = g(x), se puede obtener su gráfica a partir de las de éstas. Para estas funciones radicales, resulta esencial determinar los conjuntos de puntos donde el radicando mantiene el signo positivo, para que la función esté definida. En el dibujo de la Figura 10 se ha utilizado este método para representar y = √p(x), con p(x) un polinomio de segundo grado, por lo que la función no está definida allí donde el polinomio p(x) es negativo. En este caso, para todos los valores de x pertenecientes al intervalo (1, 2). 2 1 1 2 3 Figura 10: Gráfica de la función raíz cuadrada de un polinomio de grado dos También se puede ir un poco más lejos en la utilización de estos métodos y plantear la representación de funciones radicales donde el radicando sea, por ejemplo, un polinomio de grado 3 o superior, o incluso una función racional sencilla (cociente de dos polinomios de primer grado) u otras funciones elementales. Abril 2003 • 2003ko Apirila 59 Fernando Castañeda Otras funciones radicales de interés son las funciones y = √ x, para n = 3, 4, 5, . . . . Para n par estas funciones tienen como dominio la semirrecta positiva y para n impar toda la recta. n En el dibujo siguiente (Figura 11) se representa y = √ x, para distintos valores de n y x ≥ 0, junto con las funciones y = x n , para los mismos valores de n. n Figura 11: Diversas funciones potenciales y radicales En este dibujo se observa, además de la simetría, que, para x = a fijo, los sucesivos valores de n √ a son cada vez más grandes si 0 < a < 1 y se van aproximando a 1 cuando n crece indefinidamente; si 1 < a, son cada vez menores y también se acercan a 1. Si tomamos dos gráficas distintas, es decir, n y m distintos con n < m, resulta que, si 0 < a < 1, n m n n m n entonces √ a < √ a, y si 1 < a, entonces √ a > √ a,. 2.4. Funciones trigonométricas Son las funciones seno, coseno, tangente, cotangente y sus inversas. Una característica esencial de estas funciones es la periodicidad. También son importantes las posibles simetrías. En los siguientes dibujos (Figuras 12 y 13) se representan las gráficas de las funciones y = sin x, y = cos x, y = tan x e y = cot x, y se pueden observar sus correspondientes períodos; por lo tanto, estos dibujos se repiten a lo largo de la recta teniendo en cuenta que las funciones y = sin x e y = cos x son 2π-periódicas y que las funciones y = tan x e y = cot x son π-periódicas. 1 -2p p -p 2p -1 -p -2p p 2p Figura 12: Gráficas de las funciones seno y coseno Un dato notable en el caso de las funciones tan x y cot x es que aparecen las asíntotas verticales, x = π/2, x = -π/2 para la tangente, y x = 0 y x = π para la cotangente, que, como es lógico, también se repiten a lo largo del eje de abscisas, dada la periodicidad de las funciones. 60 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. Visualización con Mathematica Figura 13: Gráficas de las funciones tangente y cotangente La representación gráfica de otras funciones trigonométricas se puede obtener a partir del conocimiento de las gráficas anteriores mediante sencillas transformaciones. La gráfica de la función y = sin (x - a) se obtiene desplazando hacia la derecha a unidades la gráfica del sin x (Figura 14). 1 p 2p -1 Figura14: Gráficas de la función y = sin (x – a) para distintos valores de a positivos En el dibujo siguiente se representan las funciones inversas arcsin x, arccos x y arctan x. Como se observa, las gráficas son simétricas, respecto de la recta y = x, de las gráficas de las funciones sin x, cos x y tan x. Figura 15: Gráficas de funciones trigonométricas inversas 2.5. Funciones exponenciales y logarítmicas Estas funciones se pueden estudiar conjuntamente teniendo en cuenta que unas son las inversas de las otras. Las exponenciales y = a x (a = 1) están definidas en toda la recta. En el siguiente dibujo (Figura 16) están representadas diversas funciones exponenciales, para bases a mayores o menores que 1, y quedan reflejadas algunas de sus propiedades principales. Las funciones exponenciales son siempre positivas y en x = 0 valen todas ellas 1. El crecimiento o decrecimiento de las mismas (dependiendo de si la base es mayor o menor que 1), el valor de los límites de las funciones, cuando x tiende a -∞ o a +∞ permiten completar las gráficas. Abril 2003 • 2003ko Apirila 61 Fernando Castañeda Figura 16: Gráficas de funciones exponenciales, para distintos valores de la base Para las funciones logarítmicas escribimos logx para los logaritmos decimales, es decir, de base 10, lnx para los logaritmos neperianos, luego de base e y loga x para los logaritmos de base a Þ 1 en los demás casos. Las representaciones gráficas de las logarítmicas, cuyo dominio es la semirrecta (0,+∞), se pueden obtener a partir de las de las exponenciales, dado que son sus inversas, y por lo tanto sus gráficas son simétricas, respecto de la recta y = x, de las gráficas de aquéllas. Figura 17: Gráficas de funciones logarítmicas, para distintos valores de la base En la Figura 17, se pueden observar algunas de las principales propiedades de las funciones logarítmicas. Son funciones continuas con dominio el intervalo (0,+∞); crecientes o decrecientes dependiendo de que la base a sea mayor o menor que 1; y, tienden a 7∞ cerca de 0 y a ±∞ en +∞, con el signo dependiendo, de nuevo, de que la base a sea mayor o menor que 1. 2.6. Funciones hiperbólicas A partir de las gráficas de las funciones exponenciales se pueden obtener de forma sencilla las de las funciones hiperbólicas que están definidas de la siguiente manera: 62 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. Visualización con Mathematica En la Figura 18 se representan las gráficas del seno y del coseno hiperbólicos obtenidos a partir de las gráficas de las exponenciales e x y e - x. Figura 18: Gráficas de las funciones seno y coseno hiperbólicos Como se observa en el dibujo, la función seno hiperbólico es impar (simétrica con relación al origen de coordenadas), vale 0 en x = 0, es creciente (la derivada, que es el coseno hiperbólico, es siempre positiva), su derivada en x = 0 es 1, tiene un punto de inflexión en x = 0 y tiende a +∞ cuando x tiende a +∞ (y, por tanto, a -∞ cuando x tiende a -∞). La función coseno hiperbólico es siempre positiva; de hecho se verifica que cosh x ≥ 1, es una función par (simétrica respecto del eje vertical), tiene un mínimo en el punto x = 0 cuyo valor es 1 (su derivada, que es el seno hiperbólico, se anula en x = 0 y es positiva a la derecha y negativa a la izquierda de 0), es, por tanto, creciente en (0,+∞) y decreciente en (-∞, 0) y tiende a +∞ cuando x tiende a ±∞. En la Figura 19 se representan las gráficas de las funciones tangente y cotangente hiperbólicas: Figura 19: Gráficas de las funciones tangente y cotangente hiperbólicas De las propiedades de las funciones tangente y cotangente hiperbólicas se pueden destacar las siguientes: la tangente hiperbólica vale 0 en x = 0, es una función impar, es creciente y tiende a ±1 cuando x tiende a ±∞; en cuanto a la cotangente hiperbólica no está definida en x = 0 y los límites laterales en x = 0 valen ±∞ (positivo por la derecha); es impar, decreciente tanto en (-∞, 0) como en (0,+∞) y cuando x tiende a +∞ la función tiende a 1 y cuando x tiende a -∞ la función tiende a -1. Las funciones hiperbólicas inversas, el argumento seno hiperbólico y el argumento coseno hiperbólico, se pueden escribir de la siguiente forma con ayuda de la función logaritmo neperiano: Abril 2003 • 2003ko Apirila 63 Fernando Castañeda Y, el argumento tangente hiperbólico, definido para |x| < 1, y el argumento cotangente hiperbólico, definido para |x| > 1, son En los siguientes dibujos se representan las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas: Figura 20: Gráficas de las funciones hiperbólicas inversas Cada una de las gráficas es simétrica, respecto de la recta y = x, de su correspondiente función inversa. 3. ALGUNAS MANIPULACIONES CON GRÁFICAS DE FUNCIONES En este apartado vamos a ver como el conocimiento de las gráficas de las funciones elementales (sección anterior) permite, mediante distintas manipulaciones sencillas obtener otras muchas representaciones. 3.1. Cambios (sencillos) en las variables independientes y dependientes Partimos de la gráfica de la función y = f (x) y vemos como son las de las funciones y = f (x) + 2, y = f (x + 2), y = f (x/2), y = 2f (x), y = f (|x|), y = |f (x)|, y = 1/f (x). Lo hacemos a partir de la cúbica y = f (x) siendo f (x) = 2x 3 - 2x (en todos los dibujos está representada con trazo discontinuo la cúbica original y con trazo continuo la gráfica de la nueva función). Al sumar una cantidad a la variable dependiente, la gráfica se mueve en sentido vertical: hacia arriba si la cantidad es positiva y hacia abajo si es negativa (Figura 21). Figura 21: Gráficas de las cúbicas y = f (x) e y = f (x)+2 64 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. Visualización con Mathematica Si sumamos una cantidad a la variable independiente el movimiento de la gráfica es en sentido horizontal: hacia la izquierda si la cantidad es positiva y hacia la derecha si es negativa (Figura 22). Figura 22: Gráficas de las cúbicas y = f (x) e y = f (x + 2) Si multiplicamos las variables x o y por constantes los efectos que se producen quedan reflejados en la Figura 23, lo que ocurría antes en x ahora ocurre en 2x, y en la Figura 24, los ceros, puntos x donde f (x) = 0 son ahora esenciales. Figura 23: Gráficas de las cúbicas y = f (x) e y = f (x/2) Figura 24: Gráficas de las cúbicas y = f (x) e y = 2f (x) También podemos considerar las gráficas de y = f (|x|) o de y = |f (x)| (Figuras 25 y 26). Figura 25: Gráficas de la cúbica y = f (x) y de y = f (|x|) Abril 2003 • 2003ko Apirila 65 Fernando Castañeda Figura 26: Gráficas de la cúbica y = f (x) y de y = |f (x)| En fin, podríamos considerar también la gráfica de y = 1/f (x). Figura 27: Gráficas de la cúbica y = f (x) y de y = 1/f (x) Quizás es más interesante realizar este mismo trabajo a partir de la gráfica de una función sin dar explícitamente su expresión analítica. Por ejemplo, partimos del dibujo que aparece en la Figura 28: Figura 28: Gráfica de una función y = f (x) Se puede obtener entonces las gráficas de las funciones: y = f (2x), y = f (|x|), y = |f (x)| o incluso las de y = e f (x) e y = log |f (x)| (Figuras 29, 30, 31, 32 y 33), u otras. Figura 29: Gráficas de las funciones y = f (x) e y = f (2x) Figura 30: Gráficas de las funciones y = f (x) e y = f (|x|) 66 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. Visualización con Mathematica Figura 31: Gráficas de las funciones y = f (x) e y = |f (x)| Figura 32: Gráficas de las funciones y = f (x) e y = e f (x) Figura 33: Gráficas de las funciones y = f (x), y = |f (x)| e y = log |f (x)| 3.2. Suma de funciones (de sus gráficas) En este apartado vamos a obtener la gráfica de la función y = f (x)+g (x) a partir de las de las funciones y = f (x) e y = g (x). En el apartado anterior hemos visto el caso en que una de las funciones es constante y también ha aparecido ya (Figura 8) la representación gráfica de la función como ejemplo de función racional. El conocimiento de las gráficas de y = 1/(x – 1) e y = 1/(x – 2) (trazo discontinuo), permite obtener la de su suma (trazo continuo) de forma sencilla (Figura 34): Abril 2003 • 2003ko Apirila 67 Fernando Castañeda Figura 34: Gráficas de las tres funciones (los dos sumandos y la suma) Este método está especialmente indicado cuando uno de los sumandos es una función trigonométrica. Consideremos por ejemplo el caso y = x / 2 + sin x. A partir de las gráficas de las funciones y = x / 2 e y = sin x obtenemos la siguiente representación gráfica: Figura 35: Gráficas de las funciones y = x / 2, y = sin x e y = x / 2 + sin x Dado que la derivada de la función es 1/2 + cos x, las soluciones de la ecuación cos x = –1/2 son las abscisas de los extremos (máximos y mínimos) de la gráfica de y = x / 2 + sin x. 3.3. Producto de funciones (de sus gráficas) Dadas dos funciones f y g con gráficas sencillas, podemos hacer la representación de y = f (x) g(x) a partir del conocimiento de las de los factores. El caso en que una de ellas, por ejemplo g(x) = k, es una función constante es el más sencillo: debemos tener en cuenta si la constante es positiva y mayor o menor que 1 o negativa y menor o mayor que -1; el otro elemento importante es el conjunto de puntos donde se anula la función f (x) que, lógicamente quedará invariable. En las Figuras 36 y 37 se pueden ver las distintas situaciones siendo f (x) = x2 - 2x – 3, es decir, como se mueve la parábola. Figura 36: Gráfica de y = x 2 – 2x – 3 y su producto por distintas constantes positivas 68 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. Visualización con Mathematica Figura 37: Gráfica de y = x 2 – 2x – 3 y su producto por distintas constantes negativas Algo más complicado puede resultar el caso general, no obstante, es muy interesante hacer el esfuerzo cuando, por ejemplo, una de las funciones es sencilla (un monomio: x, x 2 , ...) y la otra es una función trigonométrica. Vamos a considerar las gráficas de las funciones y = x sin x e y = x 2 sin x (Figura 38). Figura 38: Gráfica de y = x sin x y de y = x 2 sin x Observemos que, como ya hemos comentado, se mantienen los ceros (puntos de corte con el eje horizontal) y, cuando sin x = ±1, las gráficas de las funciones y = x sin x e y = x 2 sin x llegan a tocar las rectas y = ±x o las parábolas y = ±x 2 respectivamente. Además, dado que | sin x| ≤ 1 los dibujos se mantienen en los recintos limitados por y = ±|x| el primero y por y = ±x 2 el segundo. 3.4. Composición de funciones (de sus gráficas) El problema de la composición es más complicado pero, también se pueden hacer cosas interesantes. Vamos a considerar algunos ejemplos. Para representar gráficamente la función y = ln(3x – 2) podemos considerar las gráficas de y = lnt y de t = 3x – 2 (que, evidentemente, ya conocemos) y a partir de ellas hacer la composición. Figura 39: Gráficas de las funciones y = ln t y t = 3x – 2 La función ln t sólo está definida cuando t > 0, luego 3x – 2 > 0, es decir, para x > 2/3 está definida la función propuesta. Además aquella tiene una asíntota vertical x = 0, luego ésta tendrá la asíntota vertical x = 2/3. Cuando x recorre el intervalo (2/3,+∞), entonces t recorre el intervalo (0,+∞), luego y = ln t se moverá desde -∞ hasta +∞ siempre creciendo y será igual a cero Abril 2003 • 2003ko Apirila 69 Fernando Castañeda sólo una vez, cuando t = 3x – 2 = 1, es decir, cuando x = 1. Con todos estos elementos podemos hacer ya el siguiente dibujo (Figura 40). Figura 40: Gráfica de y = ln (3x – 2) Vamos a considerar otros dos ejemplos interesantes, las gráficas de las funciones y = sin2 x – 2 sin x e y = e3x – 4e2x + 5ex – 2. La primera de ellas es la compuesta de las funciones t = sin x e y = t 2 – 2t cuyas gráficas ya conocemos (Figura 41). Figura 41: Gráficas de t = sin x e y = t 2 – 2t A partir de ellas construimos la gráfica propuesta. Consideremos lo que ocurre en los sucesivos intervalos: cuando x e [0, π/2] entonces t = sin x recorre creciendo el intervalo [0, 1], luego y = t 2 – 2t recorre decreciendo el intervalo [0,-1]; el mismo análisis podemos hacer en los intervalos [π/2, π], [π, 3π/2] y [3π/2, 2π]. Así, por ejemplo, en el intervalo [π, 3π/2] el sin x se mueve entre 0 y -1, luego y = t 2 – 2t irá desde 0 hasta 3 creciendo. De esta forma resulta el dibujo siguiente (ver Figura 42). Figura 42: Gráfica de y = sin2 x – 2 sin x Para hacer la representación gráfica de la función y = e 3 x – 4e 2 x + 5e x – 2 debemos partir de t = e x e y = t 3 – 4t 2 + 5t – 2 cuyas gráficas ya hemos hecho (Figura 43). 70 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. Visualización con Mathematica Figura 43: Gráficas de t = e x e y = t 3 – 4t 2 + 5t – 2 A partir de ellas construir la gráfica de la función propuesta. En este caso los elementos esenciales son: cuando x va desde -∞ hasta 0 entonces e x crece desde 0 hasta 1 y la cúbica crece desde -2 hasta 0, luego la gráfica propuesta tiene en -∞ una asíntota horizontal y = -2 y desde allí crece hasta el origen de coordenadas. Si x se mueve en el intervalo [0, ln2] entonces e x crece desde 1 hasta 2 y la cúbica se mueve primero decreciendo y luego creciendo pasando por el mínimo con lo que la función compuesta hará este recorrido. Finalmente, cuando x e [ln2,+∞), entonces t = e x crece en [2,+∞) y la cúbica también crece en el intervalo [0,+∞). Con todos estos datos tenemos el siguiente dibujo (ver Figura 44). Figura 44: Gráfica de y = e 3 x – 4e 2 x + 5e x – 2 Observemos como ya hemos mencionado que 3.5. Un ejemplo completo de manipulación gráfica Si queremos obtener la representación gráfica de la función podemos actuar de la siguiente manera: Partimos de la conocida gráfica de la función y = x 2 (Figura 45). 3 2 1 -2 -1 -1 1 2 -2 Figura 45: Gráfica de y = x 2 Abril 2003 • 2003ko Apirila 71 Fernando Castañeda a partir de ella por simetría con relación al eje horizontal obtenemos la de y = -x 2 (Figura 46). 3 2 1 -2 -1 1 2 -1 -2 -3 Figura 46: Gráfica de y = x 2 y de y = -x 2 a continuación obtenemos la de y = 3 – x 2 sin más que subir tres unidades la anterior (Figura 47). Los puntos x = ±√3, cortes con el eje OX, cobran importancia. 3 2 1 -2 -1 1 2 -1 -2 -3 Figura 47: Gráfica de y = -x 2 y de y = 3 – x 2 La gráfica de y = √3 – x 2 se obtiene a partir de la de y = 3 – x 2 teniendo en cuenta lo siguiente: en primer lugar, √3 – x 2 sólo está definida si 3 – x 2 ≥ 0, es decir en el intervalo [-√3,√3]; la función vale 0 en x = ±√3 y cuando 3 – x 2 = 1, es decir en x = ±√2, también vale 1; se mantiene el crecimiento y la concavidad del radicando; y, por último √t < t cuando t > 1, pero se da la desigualdad contraria √t > t si t < 1 (ver Figura 48). La visualización de estas últimas desigualdades resulta muy importante. 3 2 √3 1 -1 1 √2 √3 Figura 48: Gráfica de y = 3 – x 2 y de y = √3 – x 2 Observemos también que la gráfica de y = √3 – x 2 es la semi-circunferencia (superior) de ecuación x 2 + y 2 = 3, es decir, de centro el origen de coordenadas (0, 0) y radio √3. Finalmente, en la Figura 49 tenemos la representación gráfica propuesta. Aquí pasamos de y = t a y = 1/t, siendo t = √3 - x 2 . Debemos señalar los siguientes elementos: la gráfica de partida es simétrica, luego también lo es la final; t es siempre positiva, luego también es positiva 1/t; cuando t = 1 también 1/t = 1; cuando t tiende a 0, entonces 1/t tiende a +∞ con lo que 72 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. Visualización con Mathematica aparece la asíntota vertical x = √3 y claro la simétrica; cuando t crece, entonces 1/t decrece y viceversa; en fin, con todos estos datos obtenemos la gráfica de y = 1/√3 – x 2 de forma sencilla y, sobre todo, viendo en cada momento y en cada paso (en cada manipulación) lo que está ocurriendo. 3 2 √3 1 -1 1 √2 √3 Figura 49: Gráfica de y = √3 – x 2 y de y = 1/√3 – x 2 4. OTRAS CUESTIONES RELACIONADAS CON LA VISUALIZACIÓN En las secciones anteriores hemos visto como se pueden aprovechar al máximo los conocimientos que ya se tienen sobre las representaciones gráficas más sencillas (funciones elementales) para a partir de ellas obtener otras más complicadas. No debemos caer en pérdidas innecesarias de tiempo como ocurre, con toda seguridad, cuando por ejemplo buscamos asíntotas y la curva no las va a tener o al no considerar la periodicidad cuando ésta va a resultar fundamental. En resumen, proponemos dedicar los primeros momentos a ver qué tipo de función tenemos y por lo tanto qué tipo de gráfica esperamos; una vez hecho este análisis, buscamos sólo los elementos esenciales de ese dibujo y, para ello, lo relacionamos con otros de tal suerte que mediante manipulaciones sencillas como las que se han comentado, podamos obtener la gráfica planteada. Lo que tenemos que evitar por todos los medios es que, como decíamos al principio, las rectas resulten a veces torcidas, las cúbicas pinchen, la recta tangente a una curva en un punto no pase por ese punto, no sea tangente y a veces, ni siquiera sea una recta, etcétera. En las Figuras 50 y 51 se han reproducido dos ejercicios de un examen de estudiantes de primer curso de la Facultad de Ciencias de la Universidad del País Vasco. En ellos se pueden observar varias de las cosas que venimos comentando y que no deberían pasar. En la Figura 50 para representar una cúbica se han obtenido 6 parejas de valores (x, y = f (x)), y después se han unido con todo cuidado. También resulta curioso ver cómo se resuelven las ecuaciones de tercer grado. Pero sobre todo resulta tremendo constatar la falta total de espíritu crítico: nada termina de encajar en la gráfica y, sin embargo, todo se deja escrito y dibujado. Abril 2003 • 2003ko Apirila 73 Fernando Castañeda Figura 50: Un ejemplo de algo que no debería ocurrir En la Figura 51 ocurren cosas similares. La recta tangente a la curva, que por cierto está bastante bien dibujada (al menos en sus elementos esenciales), ni es tangente, ni pasa por el punto en cuestión. Parece como si primero hubiera hecho la representación gráfica de la curva y = x 2 e - x, luego hubiera hecho las cuentas para obtener la ecuación de la tangente (lamentablemente con error) y, finalmente, hubiese puesto el dibujo de la recta encima. Lo tremendo del asunto es que al ver el resultado final no se le planteara ningún tipo de duda. 74 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. Visualización con Mathematica Figura 51: Otro ejemplo Situaciones como las anteriores se encuentra uno con cierta frecuencia y, como se ha dicho al comienzo no sólo en los exámenes de matemáticas de los estudiantes. Tenemos que tratar de evitar que ocurran este tipo de cosas. Además de permitir resolver problemas como los tratados, la visualización gráfica ayuda a entender mejor, y poder resolver, otros muchos y muy variados problemas. Sin ánimo de ser exhaustivo, vamos a ver a continuación unos cuantos ejemplos en los que un buen dibujo, que no es un dibujo aparentemente perfecto, sino el que muestra mejor lo que es esencial en relación con el problema concreto, ayuda a resolver la cuestión planteada. 4.1. La derivada de Nora En algunas ocasiones hemos denominado el problema de la derivada de Nora a la siguiente cuestión: Bajo qué condiciones se verifica la igualdad: Abril 2003 • 2003ko Apirila 75 Fernando Castañeda Es decir cuándo la derivada lateral (en este caso por la derecha) es el límite lateral (por la derecha) de las derivadas. El siguiente ejemplo pone claramente de manifiesto que es bueno tener cierto cuidado. Dada la función f definida en el intervalo (0, 6) por se pregunta si existen valores del parámetro a que hacen que f sea derivable en todo punto. La “tentación” es hacer lo siguiente. La función derivada para x Þ 1 es y para que f sea derivable en todo punto, también en x = 1, tendrá que ocurrir que es decir, en este caso, tendrá que ocurrir que 1 = a e - 1, luego que a = e. Parece la solución, pero no lo es. El siguiente dibujo (Figura 52) pone de manifiesto el error. Figura 52: Gráfica de la función f (x), para distintos valores de a Para que la función sea derivable primero tiene que ser continua y el único valor de a que hace la función continua en x = 1 es el que hace que los límites siguientes sean iguales es decir, en este caso, 0 = a (1 – e - 1), luego a = 0. Para este valor de a la función no es derivable en el punto x = 1, pues las derivadas laterales son, respectivamente, 1 por la izquierda y 0 por la derecha. 4.2. Resolución de ecuaciones Unos problemas en los que la visualización gráfica puede ser de gran ayuda son los que se plantean en la resolución de ecuaciones. Si queremos, por ejemplo, ver si la ecuación cos x = x tiene alguna solución, un buen dibujo (Figura 53) es fundamental. 76 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. Visualización con Mathematica 1 -2p p -p 2p -1 Figura 53: La solución de cos x = x Ahora ya estamos seguros de que hay solución y que está en el intervalo (0, π/2). Resolver la ecuación equivale a encontrar un punto c en el que la función continua f (x) = cosx – x se anule, es decir, verifique f (c) = 0. Para ello utilizamos los teoremas de las funciones continuas, en concreto el de los valores intermedios, ya que en el intervalo [0, π/2] la función f cambia de signo. En efecto, f (0) = 1, luego positivo, y f (π/2) = -π/2, es decir, negativo. En consecuencia, existe un punto c e (0, π/2) tal que f (c) = 0. Partiendo el intervalo por la mitad podemos aproximarnos más a la solución, y reiterando el proceso, podemos acercarnos tanto como queramos. Tenemos que f (π/4) < 0, luego la solución está en el intervalo [0, π/4]. Siguiendo este proceso, resulta que f (π/8) > 0, luego c e [π/8, π/4]. En fin, es sencillo comprobar que c está comprendido entre 7π/32 y 8π/32, es decir, aproximadamente, entre 0.687 y 0.785. El valor de c, con cinco cifras decimales, es 0.73908. (ver Figura 54). Figura 54: La solución de la ecuación cos x = x está cerca de π/4 También podíamos haber utilizado los conocidos métodos de la secante o Newton para aproximar la solución. 4.3. Desigualdades En muchas ocasiones un buen dibujo es suficiente para probar desigualdades. Si queremos estudiar, por ejemplo, cómo de pequeño es ln (1+x) cuando x es pequeño, podemos probar la validez de la desigualdad: Abril 2003 • 2003ko Apirila 77 Fernando Castañeda Figura 55: La función f (x) = 1/x entre x = 1 y x = 1+1/n El dibujo anterior es claramente una prueba de la desigualdad propuesta. Las áreas de los rectángulos sombreados y de la región bajo la curva y = 1/x en el intervalo [1,1+(1/n)] son precisamente las cantidades 1/(n + 1), 1/n y ln(1 + (1/n)), respectivamente. Por lo que, a la vista del dibujo, se tiene en efecto la desigualdad planteada; así pues ln (1 + 1n) es pequeño, menor que 1/n, cuando n es grande pero, además es mayor que 1/(n + 1). En las lineas anteriores hemos visto como un buen dibujo sirve para demostrar una desigualdad. 4.4. Problemas de optimización Vamos a ver ahora como otro buen dibujo es suficiente para resolver un problema de optimización que, como se puede comprobar, su resolución analítica es bastante farragosa. Se trata de encontrar el triángulo inscrito en una circunferencia de radio r que tenga área máxima. Podemos razonar de la siguiente manera: suponer que el problema está resuelto y dibujar la circunferencia y el triángulo solución. Si giramos el dibujo, lo que no cambia las áreas de las figuras, podemos colocar uno de los lados del triángulo horizontal y, a la vista de la Figura 56 resulta evidente que de todos los triángulos inscritos en la circunferencia y con la misma base (horizontal en el dibujo) tiene área máxima el isósceles, pues es el que tiene la mayor altura. Figura 56: El triángulo isósceles tiene mayor área 78 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. Visualización con Mathematica Claro, si giramos el dibujo y tomamos otro lado (uno de los iguales del isósceles) como base resulta que la solución que buscamos es el triángulo equilátero. Hemos encontrado la solución (Figura 57) mediante la visualización de la misma. Figura 57: El triángulo de área máxima Analíticamente puede comprobarse que el área máxima es 3√3 r 2 /4. 4.5. Problemas inversos Cuando uno ha cogido suficiente destreza en relación con estos problemas de representación gráfica de funciones y está familiarizado con las gráficas de las funciones más sencillas, resulta muy interesante plantearse problemas inversos, dada una gráfica identificar su expresión analítica o problemas de emparejar gráficas y funciones. En la Figura 58 aparecen 12 gráficas (en cada una se pueden ver los elementos esenciales) y a continuación un listado con 18 expresiones analíticas de otras tantas funciones. Se trata de “casar” cada gráfica con la correspondiente expresión analítica. Figura 58: Gráficas de doce funciones Abril 2003 • 2003ko Apirila 79 Fernando Castañeda Las 18 expresiones analíticas: La correspondencia entre gráfica y función es (el primer número corresponde a la gráfica y el segundo a la expresión analítica): 1, 6 2, 8 3, 14 4, 17 5, 13 6, 9 7, 16 8, 15 9, 12 10, 5 11, 2 12, 7 Para realizar la identificación entre las distintas funciones y sus correspondientes gráficas hemos estudiado los elementos esenciales que caracterizan a cada tipo de funciones: polinómicas, racionales, radicales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Es decir, en los distintos casos, hemos analizado, para las diversas funciones sus dominios, rangos, cortes con los ejes, periodicidad, simetrías, monotonía, extremos, concavidad, puntos de inflexión, asíntotas, comportamiento en +∞ y en -∞. Este problema se puede plantear a distintos niveles; por ejemplo, facilita las cosas que el número de gráficas y de funciones sea el mismo. También se puede hacer por familias de funciones: sólo polinómicas, o sólo trigonométricas, etcétera. 4.6. Una resultado importante (y difícil de obtener) demostrado casi sin palabras No quiero terminar este apartado sin mostrar el mejor dibujo de todo el documento. En la Figura 59 se resuelve un problema clásico que hemos tomado de unas notas publicadas por T. Apóstol (“An elementary view of Euler’s summation formula”, Amer. Math. Montly, 1999). Dada una función f positiva y estrictamente decreciente en el intervalo (0, ∞), consideramos la sucesión de números {dn}neN definida por El problema que nos planteamos es estudiar el siguiente límite: El siguiente dibujo es casi una demostración. 80 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. Visualización con Mathematica Figura 59: Los triángulos curvilíneos caben en un rectángulo de área f (1) Como se observa en la Figura 59, estos números son la suma de las áreas de los triángulos curvilíneos sombreados (gris claro), dentro del intervalo [1, n]. La sucesión dn es evidentemente creciente y, como muestra el dibujo está acotada superiormente por f (1), ya que todos los triángulos curvilíneos, del intervalo [1, n] se pueden trasladar al rectángulo de área f (1) sin solapamiento. Por lo tanto, , para todo n con lo que resulta que la sucesión dn es convergente. Escribimos La constante C (f) se denomina constante de Euler generalizada y representa la suma de las áreas de todos los triángulos curvilíneos. Se verifica 0 < C (f) < f (1) La función f puede ser cualquiera con las propiedades indicadas, cuando tomamos la función f (x) = 1/x, entonces C (f) es la clásica constante de Euler, que se representa por g. Entonces tenemos que El valor de la constante de Euler, con 20 decimales correctos, es g = 0.57721566490153286060 . . . y, no se sabe si es un número racional o irracional. Todas las cuestiones que nos hemos planteado en este apartado no son más que una muestra de como la visualización permite resolver de forma sencilla problemas que de otra forma pueden resultar mucho más complicados. Con los ejemplos que hemos mostrado y las herramientas que hemos utilizado, tratamos de poner de manifiesto que no sólo se pueden evitar errores (y se deben evitar, claro): recordar las rectas torcidas, las tangentes que no lo son, etcétera, sino que además se pueden interiorizar los elementos esenciales de las gráficas de las funciones habituales y, utilizar estos conocimientos en la resolución de otros y variados problemas. Abril 2003 • 2003ko Apirila 81 Fernando Castañeda 5. A MODO DE RESUMEN En la introducción decíamos que el posible interés de estas notas quedaría más patente viviendo lo que aquí sólo se puede escribir. Si usted ha llegado hasta este punto, con toda seguridad que se habrá dado perfecta cuenta de ello. Le animamos a que se siente con su ordenador, entre en su programa Mathematica u otros similares y resuelva los problemas que hemos planteados a lo largo de estas páginas u otros parecidos. Llevar luego todas estas historias al aula creemos que puede tener cierto atractivo y, desde luego, resultar muy positivo para los estudiantes. Este pequeño programa puede desarrollarse simultaneando la pizarra en el aula clásica con las prácticas en el laboratorio de informática-matemática de la siguiente forma: en primer lugar, dedicar un cierto tiempo a identificar los elementos esenciales de las gráficas de las funciones elementales: polinómicas, racionales, radicales, exponenciales y logarítmicas y trigonométricas, primero con problemas directos de representación gráfica, luego con otros inversos o de emparejamiento de gráficas y expresiones analíticas. Después se puede jugar con manipulaciones sencillas que permitan obtener rápidamente unas gráficas a partir de otras ya conocidas: cambios en las variables, sumas, productos o composición de funciones. Todo ello permitirá en fin evitar errores como los mencionados, el relacionado con las derivadas laterales es especialmente grave, incrementará sin duda el espíritu crítico, auto-crítico, de los estudiantes y se podrá aprovechar el material y las herramientas desarrolladas para la resolución de otros problemas: aproximación de soluciones de ecuaciones, desigualdades, problemas de optimización, etcétera. En definitiva familiarizar a los alumnos con la visualización gráfica. Como ya hemos comentado todos los dibujos que aparecen en estas lineas, más de 50 han sido realizados con el programa Mathematica e incorporados posteriormente al texto. 6. BIBLIOGRAFÍA Apóstol, T. M.: “An Elementary View of Euler’s Summation Formula”. Amer. Math. Monthly, 1999. Bartle, R. G.: “The Elements of Real Analysis”. John Wiley, 1976. Bagazgoitia, A.; Castañeda, F.; Fernández, S.; Peral, J.C.: “La resolución de problemas en las matemáticas del nuevo bachillerato”. Serv. Edit. Universidad del País Vasco, 1997. Bilbao, M.; Castañeda, F.; Peral, J. C.: “Problemas de Cálculo”. Pirámide, 1998. Enzensberger, H. M.: “El Diablo de los Números”. Siruela, 1997. Guzmán, M. de; Rubio, B.: “Problemas conceptos y métodos del Análisis Matemático”. (3 tomos). Pirámide, 1993. Larson, R. E.; Hostetler, R. P.; Edwars, B. H..: “Cálculo I”. Pirámide, 2002. Hairer, E.; Wanner, G.: “Analysis by Its History”. Benjamin, 1995. Marsden,J.; Weinstein,A.: “Calculus single-variable”. Springer, 1981. Ortega, J.: “Introducción al Análisis Matemático”. Labor, 1993. Polya, G.: “Mathematical Discovery”. John Wiley, 1981. Rudin, W.: “Principios de Análisis Matemático”. Ediciones del Castillo, 1966. Spivak, M.S.: “Calculus”. (3 tomos) Reverté, 1970. Stewart, J.: “Cálculo. Conceptos y contextos”. Thomson, 1999. 82 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.