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Visualización con Mathematica
VISUALIZACIÓN CON MATHEMATICA
1. INTRODUCCIÓN
Fernando Castañeda (*)
Un buen amigo me ha hecho ver en numerosas ocasiones que cuando los periódicos dan noticias relativas a incendios de bosques la superficie quemada es tan grande como la provincia
completa, a veces se quema el país entero. Seguro que usted, amable lector, también ha tenido
experiencias parecidas. El año 2002 se ha producido un fenómeno similar al tener que utilizar
los periodistas el euro para dar las noticias relacionadas con los presupuestos. Las cantidades
que citaban eran en muchas ocasiones totalmente exageradas. Quienes así escriben sobre la
superficie quemada en un incendio o hablan sobre el coste de una determinada carretera no
se han parado un segundo a pensar lo que de verdad están diciendo.
Las matemáticas deben servir además de para torturar (falsa idea muy generalizada) a los estudiantes, para enseñar y aprender a ser críticos con nuestros propios comentarios: el área de
una figura plana no puede ser negativa, una cúbica no tiene puntos picudos, ... En las siguientes líneas, usando fundamentalmente la visualización trataré de indicar como pueden intentar
obviarse algunos problemas como los señalados cuando se considera el problema de la representación gráfica de funciones. Para ello haré uso de una herramienta muy interesante que ya
es conocida por los profesores y está disponible en los centros de enseñanza como es el programa Mathematica. El interés que estas ideas pudieran tener se pone de manifiesto con toda
seguridad de forma mucho más clara en un laboratorio de informática-matemática viviendo lo
que aquí, en las siguientes lineas, sólo se puede escribir.
2. FUNCIONES ELEMENTALES
En primer lugar se deben presentar las gráficas de las funciones elementales a partir de las cuales se irán construyendo mediante distintas manipulaciones todas las que pueden aparecer en
este nivel.
2.1. Funciones polinómicas
Son funciones definidas por f (x) = an x n + an-1 x n -1 + · · · + a1 x + a0 , an Þ 0 siendo todos los
ak números reales. El grado del polinomio es n y el dominio de cualquier función polinómica
es todo R.
La gráfica de una función polinómica de primer grado es una recta, por lo que para su representación bastará considerar dos puntos distintos y unirlos con cuidado (a veces se ven rectas torcidas). La de una función polinómica de segundo grado es una parábola y en consecuencia sus elementos determinantes son el eje de la parábola y el extremo (máximo o
mínimo). Una forma sencilla de dibujar parábolas puede ser la siguiente: para representar la
gráfica de f (x) = x2 – 2x – 2 podemos escribir x2 – 2x – 2 = (x - 1)2 – 3, luego la parábola que
buscamos tiene eje de simetría x = 1, mira hacia arriba (coeficiente de x2 positivo), tiene un
mínimo en el punto (1,-3) y, por lo tanto, es una de las que aparecen en la Figura 1.
(*) Profesor de la Universidad del País Vasco. Euskal Herriko Unibertsitatea.
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Fernando Castañeda
4
2
-1
1
2
3
-2
Figura 1: Gráficas de varias parábolas
El valor de la función en cero, o en otro punto, determina finalmente cual de ellas es (Figura 2).
4
2
-1
1
2
3
-2
Figura 2: Gráfica de la parábola y = x 2 – 2x – 2
Lo que se ha hecho en este caso se puede hacer también para la representación de cualquier
función polinómica de segundo grado.
La representación gráfica de la función y = ax 2 + bx + c, a Þ 0, se puede obtener a partir de
la gráfica de y = x 2 , mediante las transformaciones siguientes:
Cualesquiera que sean los coeficientes a Þ 0, b y c, podemos escribir:
Por lo tanto, para llegar a la representación gráfica de la función ax 2 + bx + c, a partir de la
de x 2 , necesitamos hacer el siguiente tipo de transformaciones:
1: Pasar de x 2 a (x + a)2, para un número a positivo o negativo.
2: Pasar de (x + a)2 a (x + a)2 + b, para un número b positivo o negativo.
3: Pasar de (x + a)2 + b a g ((x + a)2 + b), para un número g positivo (g > 1 ó 0 < g < 1)
o negativo (g < –1 ó –1 < g < 0).
En el caso que hemos considerado, el polinomio x2 - 2x - 2 se puede escribir en la forma
(x – 1)2 – 3, por lo que su representación gráfica (ver Figura 3) se obtiene a partir de la gráfica
de x 2 , pasando por la de (x-1)2 (se traslada el dibujo una unidad hacia la derecha), para finalizar con la de (x-1)2 -3 (se traslada el dibujo tres unidades hacia abajo).
Figura 3: Gráficas de y = x 2 , y = (x –1)2 e y = (x –1)2-3
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SIGMA Nº 22 fi SIGMA zk. 22
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La gráfica de una cúbica, polinomio de tercer grado, es siempre como una de las que aparecen en la Figura 4.
Figura 4: Gráficas de varias cúbicas
Por lo tanto, para hacer su representación bastará con localizar sus elementos esenciales que,
a la vista de la Figura 4 son: el coeficiente de x 3 (determina si es como las dos primeras o
como las dos últimas), los cortes con los ejes, los extremos: un máximo y un mínimo (si los
tiene será como la primera o la cuarta; en otro caso como la segunda o la tercera), y el punto
de inflexión.
Un ejercicio interesante puede ser estudiar los efectos que en la gráfica de una función polinómica, por ejemplo en una cúbica, produce el cambio de uno de sus coeficientes.
Figura 5: Gráficas de y = x 3 – (2 + a) x 2 – x + 2 para distintos valores de a
Para representar funciones polinómicas de grados superiores se pueden utilizar métodos similares.
2.2. Funciones racionales
Son el cociente de dos funciones polinómicas. La función racional más sencilla es la función
1/x, es decir, la función de proporcionalidad inversa.
Figura 6: Gráfica de la función de proporcionalidad inversa
A partir de la gráfica anterior se puede obtener la gráfica de una función racional que sea el
cociente de dos polinomios de primer grado, mediante transformaciones elementales de forma
muy sencilla. La gráfica de la función
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se obtiene a partir de la y = 1/x pasando por y = 1/(x + d/c) (es decir la asíntota vertical se desplaza), luego multiplicando por la constante (b/a) – (d/c), después se le suma una unidad y
finalmente se multiplica por la constante a/c.
En el dibujo siguiente aparecen la gráfica de una función racional, cociente de dos polinomios
de primer grado obtenida de esta forma
Figura 7: Gráfica de una función racional
La representación de funciones racionales del tipo 1/(ax 2 + bx + c) se puede hacer, según sean
las raíces del denominador, sumando dos más sencillas. Si, por ejemplo, el denominador tiene
dos raíces reales a y b distintas, entonces
con lo que su gráfica se obtiene sumando las gráficas de y = 1/(x – a) e y = –1/(x – b), para
terminar multiplicando el resultado por la constante 1/(a(a – b)). La gráfica de la función
está obtenida utilizando este procedimiento. Las dos asíntotas, x = 1 y x = 2, son un dato
importante para la realización del dibujo.
Figura 8: Gráfica de una función racional con dos asíntotas verticales
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SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.
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También es posible la utilización de estos métodos para la representación de otras funciones
racionales.
En el caso general, los elementos esenciales en la representación gráfica de las funciones
racionales son: los cortes con los ejes, las asíntotas (verticales, horizontales e inclinadas), los
extremos (crecimiento y decrecimiento) y los puntos de inflexión (concavidad).
2.3. Funciones radicales
Partimos de la más sencilla de todas, la función y = √x y dado que esta es la inversa de
y = x 2 , su gráfica es su simétrica con respecto a la recta y = x (ver Figura 9).
Figura 9: Gráfica de la función y = √x (junto con las de y = x 2 e y = x)
Se pueden considerar otras funciones radicales. Puesto que una función radical y = √g(x) es la
compuesta de las funciones y = √t y t = g(x), se puede obtener su gráfica a partir de las de
éstas.
Para estas funciones radicales, resulta esencial determinar los conjuntos de puntos donde el
radicando mantiene el signo positivo, para que la función esté definida. En el dibujo de la
Figura 10 se ha utilizado este método para representar y = √p(x), con p(x) un polinomio de
segundo grado, por lo que la función no está definida allí donde el polinomio p(x) es negativo. En este caso, para todos los valores de x pertenecientes al intervalo (1, 2).
2
1
1
2
3
Figura 10: Gráfica de la función raíz cuadrada de un polinomio de grado dos
También se puede ir un poco más lejos en la utilización de estos métodos y plantear la representación de funciones radicales donde el radicando sea, por ejemplo, un polinomio de grado
3 o superior, o incluso una función racional sencilla (cociente de dos polinomios de primer
grado) u otras funciones elementales.
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Otras funciones radicales de interés son las funciones y = √ x, para n = 3, 4, 5, . . . . Para n
par estas funciones tienen como dominio la semirrecta positiva y para n impar toda la recta.
n
En el dibujo siguiente (Figura 11) se representa y = √ x, para distintos valores de n y x ≥ 0,
junto con las funciones y = x n , para los mismos valores de n.
n
Figura 11: Diversas funciones potenciales y radicales
En este dibujo se observa, además de la simetría, que, para x = a fijo, los sucesivos valores de
n
√ a son cada vez más grandes si 0 < a < 1 y se van aproximando a 1 cuando n crece indefinidamente; si 1 < a, son cada vez menores y también se acercan a 1.
Si tomamos dos gráficas distintas, es decir, n y m distintos con n < m, resulta que, si 0 < a < 1,
n
m
n
n
m
n
entonces √ a < √ a, y si 1 < a, entonces √ a > √ a,.
2.4. Funciones trigonométricas
Son las funciones seno, coseno, tangente, cotangente y sus inversas. Una característica esencial de estas funciones es la periodicidad. También son importantes las posibles simetrías. En
los siguientes dibujos (Figuras 12 y 13) se representan las gráficas de las funciones y = sin x,
y = cos x, y = tan x e y = cot x, y se pueden observar sus correspondientes períodos; por lo
tanto, estos dibujos se repiten a lo largo de la recta teniendo en cuenta que las funciones
y = sin x e y = cos x son 2π-periódicas y que las funciones y = tan x e y = cot x son π-periódicas.
1
-2p
p
-p
2p
-1
-p
-2p
p
2p
Figura 12: Gráficas de las funciones seno y coseno
Un dato notable en el caso de las funciones tan x y cot x es que aparecen las asíntotas verticales, x = π/2, x = -π/2 para la tangente, y x = 0 y x = π para la cotangente, que, como es lógico,
también se repiten a lo largo del eje de abscisas, dada la periodicidad de las funciones.
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Figura 13: Gráficas de las funciones tangente y cotangente
La representación gráfica de otras funciones trigonométricas se puede obtener a partir del
conocimiento de las gráficas anteriores mediante sencillas transformaciones. La gráfica de la
función y = sin (x - a) se obtiene desplazando hacia la derecha a unidades la gráfica del sin x
(Figura 14).
1
p
2p
-1
Figura14: Gráficas de la función y = sin (x – a) para distintos valores de a positivos
En el dibujo siguiente se representan las funciones inversas arcsin x, arccos x y arctan x. Como
se observa, las gráficas son simétricas, respecto de la recta y = x, de las gráficas de las funciones sin x, cos x y tan x.
Figura 15: Gráficas de funciones trigonométricas inversas
2.5. Funciones exponenciales y logarítmicas
Estas funciones se pueden estudiar conjuntamente teniendo en cuenta que unas son las inversas de las otras. Las exponenciales y = a x (a = 1) están definidas en toda la recta. En el siguiente
dibujo (Figura 16) están representadas diversas funciones exponenciales, para bases a mayores o menores que 1, y quedan reflejadas algunas de sus propiedades principales. Las funciones exponenciales son siempre positivas y en x = 0 valen todas ellas 1. El crecimiento o decrecimiento de las mismas (dependiendo de si la base es mayor o menor que 1), el valor de los
límites de las funciones, cuando x tiende a -∞ o a +∞ permiten completar las gráficas.
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Figura 16: Gráficas de funciones exponenciales, para distintos valores de la base
Para las funciones logarítmicas escribimos logx para los logaritmos decimales, es decir, de
base 10, lnx para los logaritmos neperianos, luego de base e y loga x para los logaritmos de
base a Þ 1 en los demás casos.
Las representaciones gráficas de las logarítmicas, cuyo dominio es la semirrecta (0,+∞), se
pueden obtener a partir de las de las exponenciales, dado que son sus inversas, y por lo tanto
sus gráficas son simétricas, respecto de la recta y = x, de las gráficas de aquéllas.
Figura 17: Gráficas de funciones logarítmicas, para distintos valores de la base
En la Figura 17, se pueden observar algunas de las principales propiedades de las funciones
logarítmicas.
Son funciones continuas con dominio el intervalo (0,+∞); crecientes o decrecientes dependiendo de que la base a sea mayor o menor que 1; y, tienden a 7∞ cerca de 0 y a ±∞ en +∞,
con el signo dependiendo, de nuevo, de que la base a sea mayor o menor que 1.
2.6. Funciones hiperbólicas
A partir de las gráficas de las funciones exponenciales se pueden obtener de forma sencilla las
de las funciones hiperbólicas que están definidas de la siguiente manera:
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En la Figura 18 se representan las gráficas del seno y del coseno hiperbólicos obtenidos a partir de las gráficas de las exponenciales e x y e - x.
Figura 18: Gráficas de las funciones seno y coseno hiperbólicos
Como se observa en el dibujo, la función seno hiperbólico es impar (simétrica con relación al
origen de coordenadas), vale 0 en x = 0, es creciente (la derivada, que es el coseno hiperbólico, es siempre positiva), su derivada en x = 0 es 1, tiene un punto de inflexión en x = 0 y
tiende a +∞ cuando x tiende a +∞ (y, por tanto, a -∞ cuando x tiende a -∞). La función coseno
hiperbólico es siempre positiva; de hecho se verifica que cosh x ≥ 1, es una función par (simétrica respecto del eje vertical), tiene un mínimo en el punto x = 0 cuyo valor es 1 (su derivada,
que es el seno hiperbólico, se anula en x = 0 y es positiva a la derecha y negativa a la
izquierda de 0), es, por tanto, creciente en (0,+∞) y decreciente en (-∞, 0) y tiende a +∞
cuando x tiende a ±∞.
En la Figura 19 se representan las gráficas de las funciones tangente y cotangente hiperbólicas:
Figura 19: Gráficas de las funciones tangente y cotangente hiperbólicas
De las propiedades de las funciones tangente y cotangente hiperbólicas se pueden destacar
las siguientes: la tangente hiperbólica vale 0 en x = 0, es una función impar, es creciente y
tiende a ±1 cuando x tiende a ±∞; en cuanto a la cotangente hiperbólica no está definida en
x = 0 y los límites laterales en x = 0 valen ±∞ (positivo por la derecha); es impar, decreciente
tanto en (-∞, 0) como en (0,+∞) y cuando x tiende a +∞ la función tiende a 1 y cuando x
tiende a -∞ la función tiende a -1.
Las funciones hiperbólicas inversas, el argumento seno hiperbólico y el argumento coseno
hiperbólico, se pueden escribir de la siguiente forma con ayuda de la función logaritmo neperiano:
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Y, el argumento tangente hiperbólico, definido para |x| < 1, y el argumento cotangente hiperbólico, definido para |x| > 1, son
En los siguientes dibujos se representan las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas:
Figura 20: Gráficas de las funciones hiperbólicas inversas
Cada una de las gráficas es simétrica, respecto de la recta y = x, de su correspondiente función inversa.
3. ALGUNAS MANIPULACIONES CON GRÁFICAS DE FUNCIONES
En este apartado vamos a ver como el conocimiento de las gráficas de las funciones elementales (sección anterior) permite, mediante distintas manipulaciones sencillas obtener otras
muchas representaciones.
3.1. Cambios (sencillos) en las variables independientes y dependientes
Partimos de la gráfica de la función y = f (x) y vemos como son las de las funciones
y = f (x) + 2, y = f (x + 2), y = f (x/2), y = 2f (x), y = f (|x|), y = |f (x)|, y = 1/f (x). Lo hacemos a
partir de la cúbica y = f (x) siendo f (x) = 2x 3 - 2x (en todos los dibujos está representada con
trazo discontinuo la cúbica original y con trazo continuo la gráfica de la nueva función).
Al sumar una cantidad a la variable dependiente, la gráfica se mueve en sentido vertical: hacia
arriba si la cantidad es positiva y hacia abajo si es negativa (Figura 21).
Figura 21: Gráficas de las cúbicas y = f (x) e y = f (x)+2
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Si sumamos una cantidad a la variable independiente el movimiento de la gráfica es en sentido horizontal: hacia la izquierda si la cantidad es positiva y hacia la derecha si es negativa
(Figura 22).
Figura 22: Gráficas de las cúbicas y = f (x) e y = f (x + 2)
Si multiplicamos las variables x o y por constantes los efectos que se producen quedan reflejados en la Figura 23, lo que ocurría antes en x ahora ocurre en 2x, y en la Figura 24, los ceros,
puntos x donde f (x) = 0 son ahora esenciales.
Figura 23: Gráficas de las cúbicas y = f (x) e y = f (x/2)
Figura 24: Gráficas de las cúbicas y = f (x) e y = 2f (x)
También podemos considerar las gráficas de y = f (|x|) o de y = |f (x)| (Figuras 25 y 26).
Figura 25: Gráficas de la cúbica y = f (x) y de y = f (|x|)
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Figura 26: Gráficas de la cúbica y = f (x) y de y = |f (x)|
En fin, podríamos considerar también la gráfica de y = 1/f (x).
Figura 27: Gráficas de la cúbica y = f (x) y de y = 1/f (x)
Quizás es más interesante realizar este mismo trabajo a partir de la gráfica de una función sin
dar explícitamente su expresión analítica. Por ejemplo, partimos del dibujo que aparece en la
Figura 28:
Figura 28: Gráfica de una función y = f (x)
Se puede obtener entonces las gráficas de las funciones: y = f (2x), y = f (|x|), y = |f (x)| o
incluso las de y = e f (x) e y = log |f (x)| (Figuras 29, 30, 31, 32 y 33), u otras.
Figura 29: Gráficas de las funciones y = f (x) e y = f (2x)
Figura 30: Gráficas de las funciones y = f (x) e y = f (|x|)
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Figura 31: Gráficas de las funciones y = f (x) e y = |f (x)|
Figura 32: Gráficas de las funciones y = f (x) e y = e
f (x)
Figura 33: Gráficas de las funciones y = f (x), y = |f (x)| e y = log |f (x)|
3.2. Suma de funciones (de sus gráficas)
En este apartado vamos a obtener la gráfica de la función y = f (x)+g (x) a partir de las de las
funciones y = f (x) e y = g (x). En el apartado anterior hemos visto el caso en que una de las
funciones es constante y también ha aparecido ya (Figura 8) la representación gráfica de la
función
como ejemplo de función racional.
El conocimiento de las gráficas de y = 1/(x – 1) e y = 1/(x – 2) (trazo discontinuo), permite obtener la de su suma (trazo continuo) de forma sencilla (Figura 34):
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Figura 34: Gráficas de las tres funciones (los dos sumandos y la suma)
Este método está especialmente indicado cuando uno de los sumandos es una función trigonométrica.
Consideremos por ejemplo el caso y = x / 2 + sin x. A partir de las gráficas de las funciones
y = x / 2 e y = sin x obtenemos la siguiente representación gráfica:
Figura 35: Gráficas de las funciones y = x / 2, y = sin x e y = x / 2 + sin x
Dado que la derivada de la función es 1/2 + cos x, las soluciones de la ecuación cos x = –1/2
son las abscisas de los extremos (máximos y mínimos) de la gráfica de y = x / 2 + sin x.
3.3. Producto de funciones (de sus gráficas)
Dadas dos funciones f y g con gráficas sencillas, podemos hacer la representación de y = f (x) g(x)
a partir del conocimiento de las de los factores. El caso en que una de ellas, por ejemplo g(x) = k,
es una función constante es el más sencillo: debemos tener en cuenta si la constante es positiva
y mayor o menor que 1 o negativa y menor o mayor que -1; el otro elemento importante es
el conjunto de puntos donde se anula la función f (x) que, lógicamente quedará invariable. En
las Figuras 36 y 37 se pueden ver las distintas situaciones siendo f (x) = x2 - 2x – 3, es decir,
como se mueve la parábola.
Figura 36: Gráfica de y = x 2 – 2x – 3 y su producto por distintas constantes positivas
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Figura 37: Gráfica de y = x 2 – 2x – 3 y su producto por distintas constantes negativas
Algo más complicado puede resultar el caso general, no obstante, es muy interesante hacer el
esfuerzo cuando, por ejemplo, una de las funciones es sencilla (un monomio: x, x 2 , ...) y la
otra es una función trigonométrica. Vamos a considerar las gráficas de las funciones
y = x sin x e y = x 2 sin x (Figura 38).
Figura 38: Gráfica de y = x sin x y de y = x 2 sin x
Observemos que, como ya hemos comentado, se mantienen los ceros (puntos de corte con el
eje horizontal) y, cuando sin x = ±1, las gráficas de las funciones y = x sin x e y = x 2 sin x llegan a tocar las rectas y = ±x o las parábolas y = ±x 2 respectivamente. Además, dado que
| sin x| ≤ 1 los dibujos se mantienen en los recintos limitados por y = ±|x| el primero y por
y = ±x 2 el segundo.
3.4. Composición de funciones (de sus gráficas)
El problema de la composición es más complicado pero, también se pueden hacer cosas interesantes.
Vamos a considerar algunos ejemplos.
Para representar gráficamente la función y = ln(3x – 2) podemos considerar las gráficas de
y = lnt y de t = 3x – 2 (que, evidentemente, ya conocemos) y a partir de ellas hacer la composición.
Figura 39: Gráficas de las funciones y = ln t y t = 3x – 2
La función ln t sólo está definida cuando t > 0, luego 3x – 2 > 0, es decir, para x > 2/3 está definida la función propuesta. Además aquella tiene una asíntota vertical x = 0, luego ésta tendrá
la asíntota vertical x = 2/3. Cuando x recorre el intervalo (2/3,+∞), entonces t recorre el intervalo (0,+∞), luego y = ln t se moverá desde -∞ hasta +∞ siempre creciendo y será igual a cero
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sólo una vez, cuando t = 3x – 2 = 1, es decir, cuando x = 1. Con todos estos elementos podemos hacer ya el siguiente dibujo (Figura 40).
Figura 40: Gráfica de y = ln (3x – 2)
Vamos a considerar otros dos ejemplos interesantes,
las gráficas de las funciones y = sin2 x – 2 sin x e y = e3x – 4e2x + 5ex – 2. La primera de ellas es
la compuesta de las funciones t = sin x e y = t 2 – 2t cuyas gráficas ya conocemos (Figura 41).
Figura 41: Gráficas de t = sin x e y = t 2 – 2t
A partir de ellas construimos la gráfica propuesta. Consideremos lo que ocurre en los sucesivos intervalos:
cuando x e [0, π/2] entonces t = sin x recorre creciendo el intervalo [0, 1], luego y = t 2 – 2t
recorre decreciendo el intervalo [0,-1]; el mismo análisis podemos hacer en los intervalos
[π/2, π], [π, 3π/2] y [3π/2, 2π]. Así, por ejemplo, en el intervalo [π, 3π/2] el sin x se mueve
entre 0 y -1, luego y = t 2 – 2t irá desde 0 hasta 3 creciendo. De esta forma resulta el dibujo
siguiente (ver Figura 42).
Figura 42: Gráfica de y = sin2 x – 2 sin x
Para hacer la representación gráfica de la función y = e 3 x – 4e 2 x + 5e x – 2 debemos partir de
t = e x e y = t 3 – 4t 2 + 5t – 2 cuyas gráficas ya hemos hecho (Figura 43).
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Figura 43: Gráficas de t = e x e y = t 3 – 4t 2 + 5t – 2
A partir de ellas construir la gráfica de la función propuesta. En este caso los elementos esenciales son: cuando x va desde -∞ hasta 0 entonces e x crece desde 0 hasta 1 y la cúbica crece
desde -2 hasta 0, luego la gráfica propuesta tiene en -∞ una asíntota horizontal y = -2 y desde
allí crece hasta el origen de coordenadas. Si x se mueve en el intervalo [0, ln2] entonces e x
crece desde 1 hasta 2 y la cúbica se mueve primero decreciendo y luego creciendo pasando
por el mínimo con lo que la función compuesta hará este recorrido. Finalmente, cuando
x e [ln2,+∞), entonces t = e x crece en [2,+∞) y la cúbica también crece en el intervalo [0,+∞).
Con todos estos datos tenemos el siguiente dibujo (ver Figura 44).
Figura 44: Gráfica de y = e 3 x – 4e 2 x + 5e x – 2
Observemos como ya hemos mencionado que
3.5. Un ejemplo completo de manipulación gráfica
Si queremos obtener la representación gráfica de la función
podemos actuar de la siguiente manera: Partimos de la conocida gráfica de la función y = x 2
(Figura 45).
3
2
1
-2
-1
-1
1
2
-2
Figura 45: Gráfica de y = x 2
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a partir de ella por simetría con relación al eje horizontal obtenemos la de y = -x 2 (Figura 46).
3
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
Figura 46: Gráfica de y = x 2 y de y = -x 2
a continuación obtenemos la de y = 3 – x 2 sin más que subir tres unidades la anterior (Figura
47). Los puntos x = ±√3, cortes con el eje OX, cobran importancia.
3
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
Figura 47: Gráfica de y = -x 2 y de y = 3 – x 2
La gráfica de y = √3 – x 2 se obtiene a partir de la de y = 3 – x 2 teniendo en cuenta lo siguiente:
en primer lugar, √3 – x 2 sólo está definida si 3 – x 2 ≥ 0, es decir en el intervalo [-√3,√3]; la
función vale 0 en x = ±√3 y cuando 3 – x 2 = 1, es decir en x = ±√2, también vale 1; se mantiene el crecimiento y la concavidad del radicando; y, por último √t < t cuando t > 1, pero se
da la desigualdad contraria √t > t si t < 1 (ver Figura 48). La visualización de estas últimas desigualdades resulta muy importante.
3
2
√3
1
-1
1
√2
√3
Figura 48: Gráfica de y = 3 – x 2 y de y = √3 – x 2
Observemos también que la gráfica de y = √3 – x 2 es la semi-circunferencia (superior) de
ecuación x 2 + y 2 = 3, es decir, de centro el origen de coordenadas (0, 0) y radio √3.
Finalmente, en la Figura 49 tenemos la representación gráfica propuesta. Aquí pasamos de
y = t a y = 1/t, siendo t = √3 - x 2 . Debemos señalar los siguientes elementos: la gráfica de partida es simétrica, luego también lo es la final; t es siempre positiva, luego también es positiva
1/t; cuando t = 1 también 1/t = 1; cuando t tiende a 0, entonces 1/t tiende a +∞ con lo que
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aparece la asíntota vertical x = √3 y claro la simétrica; cuando t crece, entonces 1/t decrece y
viceversa; en fin, con todos estos datos obtenemos la gráfica de y = 1/√3 – x 2 de forma sencilla y, sobre todo, viendo en cada momento y en cada paso (en cada manipulación) lo que
está ocurriendo.
3
2
√3
1
-1
1
√2
√3
Figura 49: Gráfica de y = √3 – x 2 y de y = 1/√3 – x 2
4. OTRAS CUESTIONES RELACIONADAS CON LA VISUALIZACIÓN
En las secciones anteriores hemos visto como se pueden aprovechar al máximo los conocimientos que ya se tienen sobre las representaciones gráficas más sencillas (funciones elementales) para a partir de ellas obtener otras más complicadas. No debemos caer en pérdidas
innecesarias de tiempo como ocurre, con toda seguridad, cuando por ejemplo buscamos
asíntotas y la curva no las va a tener o al no considerar la periodicidad cuando ésta va a resultar fundamental. En resumen, proponemos dedicar los primeros momentos a ver qué tipo de
función tenemos y por lo tanto qué tipo de gráfica esperamos; una vez hecho este análisis,
buscamos sólo los elementos esenciales de ese dibujo y, para ello, lo relacionamos con otros
de tal suerte que mediante manipulaciones sencillas como las que se han comentado, podamos obtener la gráfica planteada.
Lo que tenemos que evitar por todos los medios es que, como decíamos al principio, las rectas resulten a veces torcidas, las cúbicas pinchen, la recta tangente a una curva en un punto
no pase por ese punto, no sea tangente y a veces, ni siquiera sea una recta, etcétera. En las
Figuras 50 y 51 se han reproducido dos ejercicios de un examen de estudiantes de primer
curso de la Facultad de Ciencias de la Universidad del País Vasco. En ellos se pueden observar varias de las cosas que venimos comentando y que no deberían pasar.
En la Figura 50 para representar una cúbica se han obtenido 6 parejas de valores (x, y = f (x)),
y después se han unido con todo cuidado. También resulta curioso ver cómo se resuelven las
ecuaciones de tercer grado. Pero sobre todo resulta tremendo constatar la falta total de espíritu crítico: nada termina de encajar en la gráfica y, sin embargo, todo se deja escrito y dibujado.
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Figura 50: Un ejemplo de algo que no debería ocurrir
En la Figura 51 ocurren cosas similares. La recta tangente a la curva, que por cierto está bastante bien dibujada (al menos en sus elementos esenciales), ni es tangente, ni pasa por el
punto en cuestión. Parece como si primero hubiera hecho la representación gráfica de la
curva y = x 2 e - x, luego hubiera hecho las cuentas para obtener la ecuación de la tangente
(lamentablemente con error) y, finalmente, hubiese puesto el dibujo de la recta encima. Lo tremendo del asunto es que al ver el resultado final no se le planteara ningún tipo de duda.
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Visualización con Mathematica
Figura 51: Otro ejemplo
Situaciones como las anteriores se encuentra uno con cierta frecuencia y, como se ha dicho
al comienzo no sólo en los exámenes de matemáticas de los estudiantes. Tenemos que tratar
de evitar que ocurran este tipo de cosas.
Además de permitir resolver problemas como los tratados, la visualización gráfica ayuda a
entender mejor, y poder resolver, otros muchos y muy variados problemas. Sin ánimo de ser
exhaustivo, vamos a ver a continuación unos cuantos ejemplos en los que un buen dibujo,
que no es un dibujo aparentemente perfecto, sino el que muestra mejor lo que es esencial en
relación con el problema concreto, ayuda a resolver la cuestión planteada.
4.1. La derivada de Nora
En algunas ocasiones hemos denominado el problema de la derivada de Nora a la siguiente
cuestión: Bajo qué condiciones se verifica la igualdad:
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Es decir cuándo la derivada lateral (en este caso por la derecha) es el límite lateral (por la derecha) de las derivadas. El siguiente ejemplo pone claramente de manifiesto que es bueno tener
cierto cuidado. Dada la función f definida en el intervalo (0, 6) por
se pregunta si existen valores del parámetro a que hacen que f sea derivable en todo punto.
La “tentación” es hacer lo siguiente. La función derivada para x Þ 1 es
y para que f sea derivable en todo punto, también en x = 1, tendrá que ocurrir que
es decir, en este caso, tendrá que ocurrir que 1 = a e - 1, luego que a = e.
Parece la solución, pero no lo es. El siguiente dibujo (Figura 52) pone de manifiesto el error.
Figura 52: Gráfica de la función f (x), para distintos valores de a
Para que la función sea derivable primero tiene que ser continua y el único valor de a que
hace la función continua en x = 1 es el que hace que los límites siguientes sean iguales
es decir, en este caso, 0 = a (1 – e - 1), luego a = 0. Para este valor de a la función no es derivable en el punto x = 1, pues las derivadas laterales son, respectivamente, 1 por la izquierda
y 0 por la derecha.
4.2. Resolución de ecuaciones
Unos problemas en los que la visualización gráfica puede ser de gran ayuda son los que se
plantean en la resolución de ecuaciones. Si queremos, por ejemplo, ver si la ecuación
cos x = x
tiene alguna solución, un buen dibujo (Figura 53) es fundamental.
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Visualización con Mathematica
1
-2p
p
-p
2p
-1
Figura 53: La solución de cos x = x
Ahora ya estamos seguros de que hay solución y que está en el intervalo (0, π/2). Resolver la
ecuación equivale a encontrar un punto c en el que la función continua
f (x) = cosx – x
se anule, es decir, verifique f (c) = 0. Para ello utilizamos los teoremas de las funciones continuas, en concreto el de los valores intermedios, ya que en el intervalo [0, π/2] la función
f cambia de signo. En efecto, f (0) = 1, luego positivo, y f (π/2) = -π/2, es decir, negativo. En
consecuencia, existe un punto c e (0, π/2) tal que f (c) = 0. Partiendo el intervalo por la mitad
podemos aproximarnos más a la solución, y reiterando el proceso, podemos acercarnos tanto
como queramos.
Tenemos que f (π/4) < 0, luego la solución está en el intervalo [0, π/4]. Siguiendo este proceso,
resulta que f (π/8) > 0, luego c e [π/8, π/4]. En fin, es sencillo comprobar que c está comprendido entre 7π/32 y 8π/32, es decir, aproximadamente, entre 0.687 y 0.785. El valor de c, con
cinco cifras decimales, es 0.73908.
(ver Figura 54).
Figura 54: La solución de la ecuación cos x = x está cerca de π/4
También podíamos haber utilizado los conocidos métodos de la secante o Newton para aproximar la solución.
4.3. Desigualdades
En muchas ocasiones un buen dibujo es suficiente para probar desigualdades. Si queremos
estudiar, por ejemplo, cómo de pequeño es ln (1+x) cuando x es pequeño, podemos probar la
validez de la desigualdad:
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Figura 55: La función f (x) = 1/x entre x = 1 y x = 1+1/n
El dibujo anterior es claramente una prueba de la desigualdad propuesta. Las áreas de los rectángulos sombreados y de la región bajo la curva y = 1/x en el intervalo [1,1+(1/n)] son precisamente las cantidades 1/(n + 1), 1/n y ln(1 + (1/n)), respectivamente. Por lo que, a la vista
del dibujo, se tiene en efecto la desigualdad planteada; así pues ln (1 + 1n) es pequeño, menor
que 1/n, cuando n es grande pero, además es mayor que 1/(n + 1).
En las lineas anteriores hemos visto como un buen dibujo sirve para demostrar una desigualdad.
4.4. Problemas de optimización
Vamos a ver ahora como otro buen dibujo es suficiente para resolver un problema de optimización que, como se puede comprobar, su resolución analítica es bastante farragosa. Se trata
de encontrar el triángulo inscrito en una circunferencia de radio r que tenga área máxima.
Podemos razonar de la siguiente manera: suponer que el problema está resuelto y dibujar la
circunferencia y el triángulo solución. Si giramos el dibujo, lo que no cambia las áreas de las
figuras, podemos colocar uno de los lados del triángulo horizontal y, a la vista de la Figura 56
resulta evidente que de todos los triángulos inscritos en la circunferencia y con la misma base
(horizontal en el dibujo) tiene área máxima el isósceles, pues es el que tiene la mayor altura.
Figura 56: El triángulo isósceles tiene mayor área
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Visualización con Mathematica
Claro, si giramos el dibujo y tomamos otro lado (uno de los iguales del isósceles) como base
resulta que la solución que buscamos es el triángulo equilátero. Hemos encontrado la solución (Figura 57) mediante la visualización de la misma.
Figura 57: El triángulo de área máxima
Analíticamente puede comprobarse que el área máxima es 3√3 r 2 /4.
4.5. Problemas inversos
Cuando uno ha cogido suficiente destreza en relación con estos problemas de representación
gráfica de funciones y está familiarizado con las gráficas de las funciones más sencillas, resulta
muy interesante plantearse problemas inversos, dada una gráfica identificar su expresión analítica o problemas de emparejar gráficas y funciones. En la Figura 58 aparecen 12 gráficas (en
cada una se pueden ver los elementos esenciales) y a continuación un listado con 18 expresiones analíticas de otras tantas funciones. Se trata de “casar” cada gráfica con la correspondiente expresión analítica.
Figura 58: Gráficas de doce funciones
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Las 18 expresiones analíticas:
La correspondencia entre gráfica y función es (el primer número corresponde a la gráfica y el
segundo a la expresión analítica):
1, 6
2, 8
3, 14
4, 17
5, 13
6, 9
7, 16
8, 15
9, 12
10, 5
11, 2
12, 7
Para realizar la identificación entre las distintas funciones y sus correspondientes gráficas
hemos estudiado los elementos esenciales que caracterizan a cada tipo de funciones: polinómicas, racionales, radicales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Es decir, en los
distintos casos, hemos analizado, para las diversas funciones sus dominios, rangos, cortes con
los ejes, periodicidad, simetrías, monotonía, extremos, concavidad, puntos de inflexión, asíntotas, comportamiento en +∞ y en -∞.
Este problema se puede plantear a distintos niveles; por ejemplo, facilita las cosas que el
número de gráficas y de funciones sea el mismo. También se puede hacer por familias de funciones: sólo polinómicas, o sólo trigonométricas, etcétera.
4.6. Una resultado importante (y difícil de obtener) demostrado casi sin palabras
No quiero terminar este apartado sin mostrar el mejor dibujo de todo el documento. En la
Figura 59 se resuelve un problema clásico que hemos tomado de unas notas publicadas por
T. Apóstol (“An elementary view of Euler’s summation formula”, Amer. Math. Montly, 1999).
Dada una función f positiva y estrictamente decreciente en el intervalo (0, ∞), consideramos
la sucesión de números {dn}neN definida por
El problema que nos planteamos es estudiar el siguiente límite:
El siguiente dibujo es casi una demostración.
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Visualización con Mathematica
Figura 59: Los triángulos curvilíneos caben en un rectángulo de área f (1)
Como se observa en la Figura 59, estos números son la suma de las áreas de los triángulos curvilíneos sombreados (gris claro), dentro del intervalo [1, n]. La sucesión dn es evidentemente
creciente y, como muestra el dibujo está acotada superiormente por f (1), ya que todos los
triángulos curvilíneos, del intervalo [1, n] se pueden trasladar al rectángulo de área f (1) sin
solapamiento. Por lo tanto,
,
para todo n
con lo que resulta que la sucesión dn es convergente. Escribimos
La constante C (f) se denomina constante de Euler generalizada y representa la suma de las
áreas de todos los triángulos curvilíneos. Se verifica
0 < C (f) < f (1)
La función f puede ser cualquiera con las propiedades indicadas, cuando tomamos la función
f (x) = 1/x, entonces C (f) es la clásica constante de Euler, que se representa por g. Entonces
tenemos que
El valor de la constante de Euler, con 20 decimales correctos, es
g = 0.57721566490153286060 . . .
y, no se sabe si es un número racional o irracional.
Todas las cuestiones que nos hemos planteado en este apartado no son más que una muestra
de como la visualización permite resolver de forma sencilla problemas que de otra forma pueden resultar mucho más complicados. Con los ejemplos que hemos mostrado y las herramientas que hemos utilizado, tratamos de poner de manifiesto que no sólo se pueden evitar errores
(y se deben evitar, claro): recordar las rectas torcidas, las tangentes que no lo son, etcétera, sino
que además se pueden interiorizar los elementos esenciales de las gráficas de las funciones
habituales y, utilizar estos conocimientos en la resolución de otros y variados problemas.
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5. A MODO DE RESUMEN
En la introducción decíamos que el posible interés de estas notas quedaría más patente
viviendo lo que aquí sólo se puede escribir. Si usted ha llegado hasta este punto, con toda
seguridad que se habrá dado perfecta cuenta de ello. Le animamos a que se siente con su
ordenador, entre en su programa Mathematica u otros similares y resuelva los problemas que
hemos planteados a lo largo de estas páginas u otros parecidos.
Llevar luego todas estas historias al aula creemos que puede tener cierto atractivo y, desde
luego, resultar muy positivo para los estudiantes.
Este pequeño programa puede desarrollarse simultaneando la pizarra en el aula clásica con
las prácticas en el laboratorio de informática-matemática de la siguiente forma: en primer
lugar, dedicar un cierto tiempo a identificar los elementos esenciales de las gráficas de las funciones elementales: polinómicas, racionales, radicales, exponenciales y logarítmicas y trigonométricas, primero con problemas directos de representación gráfica, luego con otros inversos o de emparejamiento de gráficas y expresiones analíticas. Después se puede jugar con
manipulaciones sencillas que permitan obtener rápidamente unas gráficas a partir de otras ya
conocidas: cambios en las variables, sumas, productos o composición de funciones. Todo ello
permitirá en fin evitar errores como los mencionados, el relacionado con las derivadas laterales es especialmente grave, incrementará sin duda el espíritu crítico, auto-crítico, de los estudiantes y se podrá aprovechar el material y las herramientas desarrolladas para la resolución
de otros problemas: aproximación de soluciones de ecuaciones, desigualdades, problemas de
optimización, etcétera. En definitiva familiarizar a los alumnos con la visualización gráfica.
Como ya hemos comentado todos los dibujos que aparecen en estas lineas, más de 50 han
sido realizados con el programa Mathematica e incorporados posteriormente al texto.
6. BIBLIOGRAFÍA
Apóstol, T. M.: “An Elementary View of Euler’s Summation Formula”. Amer. Math.
Monthly, 1999.
Bartle, R. G.: “The Elements of Real Analysis”. John Wiley, 1976.
Bagazgoitia, A.; Castañeda, F.; Fernández, S.; Peral, J.C.: “La resolución de problemas en
las matemáticas del nuevo bachillerato”. Serv. Edit. Universidad del País Vasco, 1997.
Bilbao, M.; Castañeda, F.; Peral, J. C.: “Problemas de Cálculo”. Pirámide, 1998.
Enzensberger, H. M.: “El Diablo de los Números”. Siruela, 1997.
Guzmán, M. de; Rubio, B.: “Problemas conceptos y métodos del Análisis Matemático”.
(3 tomos). Pirámide, 1993.
Larson, R. E.; Hostetler, R. P.; Edwars, B. H..: “Cálculo I”. Pirámide, 2002.
Hairer, E.; Wanner, G.: “Analysis by Its History”. Benjamin, 1995.
Marsden,J.; Weinstein,A.: “Calculus single-variable”. Springer, 1981.
Ortega, J.: “Introducción al Análisis Matemático”. Labor, 1993.
Polya, G.: “Mathematical Discovery”. John Wiley, 1981.
Rudin, W.: “Principios de Análisis Matemático”. Ediciones del Castillo, 1966.
Spivak, M.S.: “Calculus”. (3 tomos) Reverté, 1970.
Stewart, J.: “Cálculo. Conceptos y contextos”. Thomson, 1999.
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