Download álgebra - Matemática Aplicada II

DPTO. MATEMÁTICA APLICADA II
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR
de INGENIEROS
INGENIERO AERONÁUTICO
PLAN DE LA ASIGNATURA
ÁLGEBRA
CURSO
2010-2011
1. Información general.
Esta asignatura es obligatoria, se imparte en el primer curso de Ingeniero Aeronáutico y
su docencia está asignada al Departamento de Matemática Aplicada II. Tiene una
asignación lectiva de 9 créditos. A partir del curso 2010-2011, esta asignatura tiene el
carácter de asignatura con docencia extinguida. No obstante, los alumnos tienen a su
disposición las horas de tutoria del profesor para las posibles dudas.
2. Objetivos de la asignatura.
El objetivo fundamental de la asignatura es cubrir los contenidos de cualquier asignatura
de álgebra lineal en el nivel de primer curso de universidad, con el añadido por un lado
de ciertos recursos previos como: números complejos, factorización de polinomios,... y
por otro con la relación omnipresente con la geometría, relación que será básica para la
asimilación de los conceptos y las técnicas que se presentan. Aunque a lo largo de la
asignatura puedan citarse algunos, caen fuera del alcance de la asignatura los aspectos
computacionales y numéricos de los temas que se desarrollan.
Las tres horas semanales de clase se dedicarán a desarrollar los contenidos teóricos del
programa (que se detallan más adelante) y a la resolución de problemas y ejercicios que
permitan la asimilación y manipulación de los conceptos y métodos estudiados. El
desarrollo de la signatura será fundamentalmente expositivo y seguirá como referencia
básica los guiones que se elaborarán para cada lección (que describimos más adelante
en el punto dedicado a material de trabajo). Estos guiones estarán complementados con
la bibliografía recomendada para la asignatura.
3. Profesorado.
El profesor de esta asignatura pertenece al Departamento de Matemática Aplicada II y su
despacho y dirección de correo electrónico se puede usar para realizar cualquier tipo de
consulta sobre la asignatura. El coordinador de la asignatura es el propio profesor.
GRUPOS
PROFESOR-COORDINADOR
DIRECCIÓN WEB
CORREO
ELECTRÓNICO
1y2
Fernando Mayoral
Masa
http://www.personal.us.es/mayoral
[email protected]
[email protected]
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4. Programa de la asignatura.
Tema 1.- Introducción.
1.1.- El binomio de Newton.
1.2.- Los números complejos. Operaciones. Las raíces de un polinomio real.
1.3.- Movimientos en el plano. Transformaciones lineales en el plano.
Tema 2.- Curvas y superficies: Cónicas y Cuádricas (I).
2.1.- Las cónicas (I). Ecuaciones reducidas.
2.2.- Las cuádricas (I). Ecuaciones reducidas.
2.3.- Generación de Superficies.
Tema 3.- Formas cuadráticas (I).
3.1.- Definición y matriz simétrica asociada. Signo de una forma cuadrática.
3.2.- Reducción a suma de cuadrados, método de Lagrange.
3.3.- Ley de inercia de Sylvester. Clasificación de las formas cuadráticas.
3.4.- Cónicas, cuádricas y formas cuadráticas.
Tema 4.- Sistemas de ecuaciones lineales.
4.1.- Sistemas de ecuaciones lineales. Notación matricial.
4.2.- Reducción por filas y formas escalonadas.
4.3.- Vectores en Rn . Combinaciones lineales.
4.4.- El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales.
4.5.- Dependencia e Independencia lineal.
4.6.- Transformaciones lineales: matriz asociada, ejemplos geométricos en el plano y en el espacio.
Tema 5.- Álgebra de matrices.
5.1.- Operaciones con matrices. Propiedades.
5.2.- Matriz inversa de una matriz cuadrada.
5.3.- Matrices elementales. Método de Gauss-Jordan.
5.4.- Transformaciones lineales invertibles.
5.5.- Matrices por bloques. Operaciones.
5.6.- Factorización A = LU ó PA = LU de una matriz.
Tema 6.- El espacio vectorial R ..
6.1.- Subespacios vectoriales de R n . Variedades lineales (subespacios afines).
6.2.- Bases de un subespacio. Coordenadas. El teorema de la base.
6.3.- Rango de una matriz. El teorema del rango.
6.4.- Suma e Intersección de Subespacios.
6.5.- Bases de R n . Cambios de base.
6.6.- Transformaciones lineales. Núcleo e Imagen.
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Tema 7.- Ortogonalidad y mejor aproximación.
7.1.- Producto escalar. Norma, distancia, ángulos y ortogonalidad.
7.2.- El complemento ortogonal de un subespacio.
7.3.- Bases ortogonales de un subespacio. Matrices ortogonales.
7.4.- Proyección ortogonal sobre un subespacio. El teorema de la mejor aproximación.
7.5.- El método de Gram-Schmidt. Factorizaciones QR de una matriz.
7.6.- Isometrías en el plano y en el espacio.
7.7.- Problemas de mínimos cuadrados. Ecuaciones normales de Gauss.
7.8.- Ajuste de curvas, regresión lineal.
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Tema 8.- Determinantes.
8.1.- Determinantes. Definición y Propiedades. Regla de Cramer.
8.2.- Área, volumen y transformaciones lineales.
Tema 9.- Autovalores y Autovectores.
9.1.- Definición y propiedades. La ecuación característica.
9.2.- Matrices diagonalizables.
9.3.- Matrices semejantes y aplicaciones lineales.
9.4.- Autovalores y autovectores complejos. Isometrías.
9.5.- Matrices no diagonalizables. Autovectores generalizados.
Tema 10.- Matrices simétricas reales y formas cuadráticas.
10.1.- Matrices simétricas. Diagonalización. El teorema espectral. Descomposición espectral.
10.2.- La descomposición en valores singulares de una matriz.
10.3.- Formas cuadráticas (II). Cambio de variables. El teorema de los ejes principales. Rango y
signo de una forma cuadrática. El cociente de Rayleigh.
Tema 11.- Cónicas y cuádricas (II).
11.1.- Cónicas (II). Reducción de una cónica. Invariantes métricos. Clasificación.
11.2.- Cuádricas (II). Reducción de una cuádrica. Invariantes métricos. Clasificación.
Tema 12.- Aplicaciones del cálculo de autovalores y autovectores.
12.1.- Sistemas de ecuaciones en diferencias.
12.2.- Cadenas de Markov.
12.3.- Ecuaciones en diferencias escalares.
12.4.- Ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales (de primer orden con coeficientes
constantes).
12.5.- Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes.
Tema 13.- Espacios vectoriales generales.
13.1.- Espacios vectoriales generales. Definiciones y Ejemplos.
13.2.- Transformaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita. Matriz asociada.
13.3.- Espacios con producto escalar. Ortogonalidad y mejor aproximación.
5. Material de Trabajo.
Notas de clase. Los estudiantes tienen a su disposición en la Copistería de la Escuela y
en la página de Enseñanza Virtual http://ev.us.es un guión de cada tema. En dichos
guiones se detallan las definiciones, ejemplos y resultados importantes del tema
correspondiente incluyendo una lista de ejercicios seleccionados. Adicionalmente a lo
anterior, se incluye un apéndice relativo a los comandos de MATLAB relacionados con
los conceptos y métodos considerados en el Tema. Aunque el uso del paquete numérico
MATLAB (MATrix LABoratory) no sea un objetivo esencial en la asignatura, se
recomienda su uso por dos motivos. Por un lado es bastante potente y versátil y dispone
de paquetes adicionales sobre ciertos tópicos. Por otro, su uso permite al alumno
comprobar la asimilación de algunos métodos, al tener que programar una determinada
función, y hacer sus propias comprobaciones sobre determinados ejercicios. Hay que
añadir que los aspectos esenciales de MATLAB se estudian en la asignatura de
Informática.
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Textos de consulta. A continuación damos una lista de los libros de consulta que se recomiendan. La mayoría se encuentran en la Biblioteca de la Escuela Técnica Superior de
Ingenieros.
• Referencias básicas:
D.C. Lay. Álgebra lineal y sus aplicaciones.
2ª Edición, actualizada. Ed. Prentice-Hall. 2001.
W.K. Nicholson. Álgebra lineal con aplicaciones.
4ª Edición. Ed. McGraw-Hill. 2003.
• Referencias complementarias:
M. Golubitsky y M. Dellnitz. Álgebra lineal y ecuaciones diferenciales, con uso de
Matlab. Ed. Thomson-Learning. 2002.
S.I. Grossman. Álgebra lineal con aplicaciones. Ed. McGraw-Hill. 1996.
E. Hernández. Álgebra y Geometría. Ed. Addison-Wesley. 1994.
B. Kolman. Álgebra lineal con aplicaciones y Matlab. Ed. Prentice-Hall. 1999.
R.K. Nagle, E.B. Saff y A.D. Snider. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores
en la frontera. Ed. Addison-Wesley/Pearson Educación. 2001.
B. Noble y J.W. Daniel. Álgebra lineal aplicada. Ed. Prentice-Hall. 1989.
G. Strang. Álgebra lineal y sus aplicaciones. Ed. Fondo Educativo Interamericano. 1982.
• Libros de problemas:
J. Arvesú Carballo, F. Marcellán Español y J. Sánchez Ruíz. Problemas Resueltos de Álgebra
Lineal. Ed. Thomson. 2005.
J. Rojo e I. Martín. Ejercicios y Problemas de Álgebra Lineal, 2ª edición. Ed. Mc-Graw-Hill, 2005.
En la Biblioteca de la Escuela hay una gran cantidad y variedad de libros de ejercicios y
problemas resueltos de álgebra lineal (o de álgebra lineal y geometría) que los
estudiantes tienen a su disposición.
• Colecciones de exámenes resueltos de cursos anteriores.
En la página web del Departamento de Matemática Aplicada II y en Copistería hay
disponibles colecciones de ejercicios de exámenes de cursos anteriores.
También se recomienda consultar el “open course”, del Prof. Gilbert Strang, que el
Massachusetts Institute of Technology (MIT) ofrece a través del portal “Universia”,
http://mit.ocw.universia.net/18.06/f02
6. Evaluación.
A partir del curso 2010-2011, esta asignatura tiene el carácter de asignatura extinguida y
el único sistema de evaluación serán los exámenes correspondientes a las convocatorias
que establecen los Estatutos de la Universidad de Sevilla en el Artículo 56.
Cada uno de estos exámenes consiste en la resolución de ejercicios teórico–prácticos a
través de los cuales se evaluarán la asimilación y aplicación de los contenidos expuestos
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en los diferentes temas, así como la capacidad de interrelacionar aspectos y resultados
diferentes. Cada ejercicio se valorará de 0 a 10 puntos. La nota del examen se obtiene
como la media aritmética de las notas de estos ejercicios. El examen se considerará
aprobado cuando dicha media sea igual o superior a 5 puntos.
Las fechas de examen de la asignatura, aprobadas en Junta de Escuela y publicadas en
la página web de la Escuela, son las siguientes:
Tercera Convocatoria
1 de Diciembre de 2010
Primera Convocatoria
7 de Julio de 2011
Segunda Convocatoria
15 de Septiembre de 2011
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